HTX 2. år
røve
Matematik B
”Motion og sport”
HTX 2. år
Klasse: 08xcb
Skole: HTX Christiansbjerg
Vejledere: xxxxxxxxxxxx xxxxxx
HTX 2. år
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 2 af 20
Indhold
Indholdsfortegnelse ........................................................................................................................................... 2
Opgave 1 ............................................................................................................................................................ 3
a) Bestem tagets vinkel med vandret ........................................................................................................ 3
b) Massen af limtræsbue ........................................................................................................................... 4
Del 1 ........................................................................................................................................................... 4
Del 2 ........................................................................................................................................................... 5
Del 3 ........................................................................................................................................................... 6
Massen af limbuen .................................................................................................................................... 7
c) Størrelser og koordinater til kræfterne ................................................................................................. 7
d) Højden hvor spilleren rammer bolden. ................................................................................................. 9
e) x-koordinaten til stedet hvor bolden lander. ........................................................................................ 9
f) Boldens maksimale højde .................................................................................................................... 10
g) Boldens korteste afstand til loftet. ...................................................................................................... 11
h) Tilnærmet værdi for længden af en kort serv ..................................................................................... 13
i) Vinkel som bolden rammer gulvet med .............................................................................................. 14
j) Analytisk beskrivelse af basketballbane .............................................................................................. 15
Opgave 2 .......................................................................................................................................................... 17
a) Beskrivelse af gavlen samt dekoration. ............................................................................................... 17
a) Find arealet af gavlen .......................................................................................................................... 18
b) Find intervallet til funktionen for bølgerne ......................................................................................... 18
c) Find en tilnærmet værdi for arealet af vandet .................................................................................... 18
d) Find arealet og cirklens ligning for solen ............................................................................................. 19
e) Find ved hjælp af punkterne A og B, længden mellem disse. ............................................................. 19
f) Find arealet af sejlet ............................................................................................................................ 19
g) Find forskriften for siden HG ............................................................................................................... 20
h) Find forskriften for siden EF, som har modsat hældning af HG .......................................................... 20
Kilder ................................................................................................................................................................ 20
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 3 af 20
På figur 1 ses et tværsnit af en sportshal.
Koordinaterne til punkter er ikke helt ens for
alle elever, da man i et program skal
indtaste sin fødselsdato, og derved får man
nogle personlige koordinater. I mit tilfælde
(30-10-92) er koordinaterne:
A(-10,57;5,50)
B(0;9,73)
C(10,57;5,50)
Opgave 1
a) Bestem tagets vinkel med vandret
Hvis vi laver en retvinklet trekant af halvdelen af taget, kan vi benytte en af de trigonometriske formler som
lyder: Tangens til en vinkel er lig med modstående katete over hosliggende katete, i dette tilfælde:
( )
tan
a
v
b
=
Længden af siden b finder jeg ved at,
tage x-værdien til B (0) og trække x-
værdien til A (-10,57) fra.
( )
0 10,57
10,57
B A
b x x
b
b m
= − ⇒
= − − ⇔
=
Længden af siden a finder jeg ved at, tage y-værdien til B(9,73) og trække y-værdien til A(5,5) fra.
9,73 5,5
4,23
B A
a y y
a
a m
= − ⇒
= − ⇔
=
Vi har nu de nødvendige længder for at kunne finde vinklen med vandret:
( )
( )
( )
1
4, 23
tan
10,57
tan 0, 40
tan 0, 40
21,81
v
v
v
v
−
= ⇔
≈ ⇔
≈ ⇔
≈ °
Figur
2
, Retvinklet trekant, halvdelen af taget
Figur 1
08xcb, HTX Christiansbjerg
S
ide 4 af 20
b) Massen af
limtræsbue
I denne opgave skal jeg finde arealet af en
limtræsbue. På figur
3 ses det at jeg
en limtræsbue op i 3 stykker. Jeg
finde
arealet af buen over 3 omgange.
Hvorefter
jeg til sidst finder massen.
Der er 3 formler som går igen en del gange i
denne opgave. Det drejer sig om
trigonometriske formler der gælder for
retvinklede tr
ekanter. Disse formler ses på
figur 4
, og de kan bruges til at finde sider eller
vinkler i en retvinklet trekant:
Del 1
Jeg starter med at finde den første del af
øverste del (se figur 3).
Jeg starter med at finde koordinaterne til punktet E. Ud fra
figuren ved jeg at længden
EM
er 5,75m.
er en ret vinkel nede v
ed punktet M. Jeg finder nu v
90 10 58, 2 21,8
M
v
= ° − ° − ° = °
Jeg kan nu finde
KE
:
( ) ( )
sin 21,8 sin 21,8 5,75 2,135
5, 75
KE
= ⇔ ⋅ = ⇔ ≈
På figuren ses det at punktet E på x
-
5,66m-2,135m=3,525m fra
punktet C. Vi ved at x
C er 10,57, og derfor må x-
koordinaten til E være
10,57-3,525=7,045.
Figur
4
, Trigonometriske formler, pkt 48 i Matematik 112
Højere Teknisk Eksamen
Matematik B: “Motion og sport”
I denne opgave skal jeg finde arealet af en
3 ses det at jeg
har delt
finde
r
Hvorefter
Der er 3 formler som går igen en del gange i
trigonometriske formler der gælder for
ekanter. Disse formler ses på
, og de kan bruges til at finde sider eller
Jeg starter med at finde den første del af
buen, dette er den
Jeg starter med at finde koordinaterne til punktet E. Ud fra
er 5,75m.
Jeg ved også at der
ed punktet M. Jeg finder nu v
(M)
:
sin 21,8 sin 21,8 5,75 2,135
KE KE m
= ⇔ ⋅ = ⇔ ≈
-
aksen må ligge:
punktet C. Vi ved at x
-koordinaten til
koordinaten til E være
:
Figur 3, Limtræsbuen opdelt i 3 stykker
, Trigonometriske formler, pkt 48 i Matematik 112
Figur 5
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 5 af 20
Figur 6
Jeg finder nu forskriften for den rette linje (y=ax+b)der går igennem B og C (se figur 1). Da B ligger på y-aksen
må y-værdien til dette punkt være skæring med y-aksen, og altså ”b” i forskriften. For at finde hældningen
”a” benytter følgende formel:
2 1
2 1
y y
a
x x
−
=
−
, hvilket i vores tilfælde bliver:
5, 5 9,73
0,400
10,57 0
a
−
= ≈ −
−
.
Linjens ligning må da være:
0, 4 9,73
y
= − +
. Jeg indsætter E
x
og finder den tilhørende y-værdi:
0, 4 7, 045 9,73 6,912
y y= − ⋅ + ⇔ =
, koordinaterne til punktet E er ( 7,045 ; 6,912 ).
Jeg finder nu afstanden mellem punkterne B og E, ved at bruge afstandsformlen:
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
AB x x y y
= − + − , i vores tilfælde:
( ) ( )
2 2
7,045 0 6,912 9,73 49,637 7,942 7,588
BE BE BE m
= − + − ⇔ ≈ + ⇔ ≈
Jeg lader bunden af bjælken fortsætte lidt så der i toppen bliver dannet en lille retvinklet trekant. Med denne
trekant er Del 1 et rektangel. Da jeg ved at limtræsbuen er 0,75m bred, kan jeg finde arealet af rektanglet:
2
1
7,588 0,75 5, 691
Del
A l b A m m m
= ⋅ = ⋅ ≈
For at få arealet af Del 1 mangler jeg at trække arealet af trekanten fra.
I opgave a fandt jeg at vinklen med vandret var 21,81°. Denne viden vil jeg bruge
nu. Hvis man laver en vandret linje fra D mod venstre, er vinklen mellem siden CD
og denne vandrette linje også 21,81°. Vinklen mellem siden AD og den vandrette
linje er 90°. Vinklen D må derfor være 90°-21,81°= 68,19°.
Jeg finder nu
CD
:
( )
( )
0,75 0,75
tan 21,81 0,300
tan 21,81
CD CD m
CD
= ⇔ = ⇔ ≈
Jeg finder arealet af trekanten:
1
2
A h b
= ⋅ ⋅
2
1
1
0,75 0,3 0,113
2
Del
A m m m
= ⋅ ⋅ ≈
Jeg finder nu arealet af Del 1:
2 2 2
1 1 1 1
5, 691 0,113 5,578
Del Del Del Del
A A A A m m m
= − = − ≈
Del 2
Jeg vil nu finde arealet af Del 2 (se figur 3). Dette vil jeg gøre ved at finde arealet af cirkeludsnittet 2 gange
med forskellig radius, og derefter trække dem fra hinanden. Vi har fået oplyst at radius i den lille cirkel er 5m
og radius i den store cirkel er 5,75m. Vi har ligeledes fået oplyst at udsnitsvinklen er 58,2°. Til at finde arealet
af et cirkeludsnit vil jeg benytte følgende formel:
2
360
v
A r
π
= ⋅ ⋅
°
Jeg starter med at finde arealet for cirkeludsnittet, når det har en radius på R=5,75m:
2 2
58,2
5,75 16, 79
360
R R
A A m
π
°
= ⋅ ⋅ ⇔ ≈
°
Jeg finder nu arealet for cirkeludsnittet med en radius r=5m:
2 2
58, 2
5 12,70
360
r r
A A m
π
°
= ⋅ ⋅ ⇔ ≈
°
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 6 af 20
Jeg tager nu arealet for cirkeludsnittet med en radius på r=5m og trækker dette fra cirkeludsnittet med en
radius på R=5,75m:
2 2 2
2 2
16,79 12,70 4,09
Del R r Del
A A A A m m m
= − ≈ − ≈
Del 3
Jeg mangler nu den sidste del. Jeg
har lavet et rektangel hvori Del 3
indgår. Jeg skal altså finde arealet af
rektanglet og trække arealerne af de
2 trekanter fra.
Jeg starter med at finde arealet af
trekant 1 (QPR).
Da linjen QP er vandret, må vinklen
ved P være 10° ligesom vinklen ved
O. Jeg ved også at linjen PR er
0,75m, da dette er bredden af buen.
Jeg finder nu længden af siden QP:
( ) ( )
cos 10 cos 10 0,75 0,739
0,75
QP
QP QP m
= ⇔ ⋅ = ⇔ ≈
Jeg finder nu længden af siden RQ:
( ) ( )
sin 10 sin 10 0,75 0,130
0,75
RQ
RQ RQ m
= ⇔ ⋅ = ⇔ ≈
Jeg finder arealet af trekant 1 (QPR):
2
1
1 1
0,739 0,130 0, 048
2 2
Del
A h b A m m m
= ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ≈
Jeg vil nu finde arealet af trekant 2 (SRT). Som det ses på figuren er trekanten nærmest delt op (SRT) og (ZRU)
er ligedannede trekanter. For at finde arealet, vil jeg starte med at finde
RZ
. Jeg ved at fra punkt O til R er
der 5 meter:
( ) ( )
sin 10 sin 10 5 0,868
5
RZ
RZ RZ m
= ⇔ ⋅ = ⇔ ≈ , for at finde
RS
, lægger jeg blot
ZS
, som er
1,57m til.
0,868 1,57 2,438
RS RZ ZS RS RS m
= + ⇔ ≈ + ⇔ ≈
.
Hvis man kigger på trekanten (RUO) har vi en vinkel på 10° ved O, en vinkel på 90° ved R og en ikke oplyst
vinkel ved U. Da vinkelsummen i en trekant er 180°, må vinkel U være:
0
U
v
= ° − ° − ° = °
. Da
(SRT) og (ZRU) er ligedannede trekanter må vinkel T også være 80°. Jeg finder nu
TS
:
( )
( )
2, 438 2,438
tan 80 0, 430
tan 80
TS TS m
TS
≈ ⇔ ≈ ⇔ ≈
Figur 7
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 7 af 20
Jeg finder nu arealet af trekant 2 (SRT):
2
3 2
1 1
2, 438 0, 430 0,524
2 2
Del
A h b A m m m
= ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ≈
Jeg finder nu arealet af rektanglet, og jeg starter med at finde
PN
:
( ) ( )
sin 10 sin 10 5, 75 0,998
5,75
PN
PN PN m
= ⇔ ⋅ = ⇔ ≈
. For at finde
PF
, lægger jeg blot
NF
, som
er 1,57m, til:
0,998 1,57 2,568
PF PN NF PF m m PF m
= + ⇔ ≈ + ⇔ ≈
.
Jeg kan nu finde arealet af rektanglet:
2
3 3
2,568 0,739 1,897
Del Del
A l b A PF QP A m m m
= ⋅ = ⋅ ⇔ ≈ ⋅ ≈
Jeg trækker nu de to trekanter fra og finder arealet af Del 3:
2 2 2 2
3 3 3 1 3 2 3
1,897 0, 048 0,524 1,325
Del Del Del Del Del
A A A A A m m m m
= − − ≈ − − ≈
Massen af limbuen
Jeg kan nu finde massen af limbuen, ved at tage det samlede areal, gange det med tykkelsen på 0,30m og
gange det med densiteten på
3
480
kg
m
:
( )
( )
( )
2 2 2
1 2 3
3 3
2 3
3 3
0,30 480 5,578 4,09 1,325 0, 30 480
10,993 0,30 480 3, 82,992
træ Del Del Del træ
træ træ træ
kg kg
m A A A m m m m m m
m m
kg kg
m m m m m m kg
m m
= + + ⋅ ⋅ ⇔ ≈ + + ⋅ ⋅ ⇔
≈ ⋅ ⋅ ⇔ ≈ ⋅ ⇔ ≈
c) Størrelser og koordinater til
kræfterne
For at løfte limtræsbjælken skal en kran løfte med en kraft, kaldet
, som er lige så stor men modsat rettet tyngdekraften. Når
bjælken hænger stille er kræfterne i balance. Jeg skal finde
størrelsen og koordinaterne til
1 2
og
F F
(se figur 8). Jeg starter
med at finde retningsvinklerne til
1 2
og
F F
: Retningsvinklen, er
den vinklen som vektoren ville få hvis jeg satte den ind i
enhedscirklen. På figur 8 ses de forskellige vinkler jeg skal bruge,
og disse er fundet ved sund fornuft. Fx er en vandret linje 180°, og
vi har så en vinkel på 115°, så jeg trækker de 115° fra 180°, og
finder min ønskede vinkel på 65°. Retningsvinklerne er:
Figur 8
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 8 af 20
1 1
2 2
F v
F v
= = ° + ° = °
= = ° − ° = °
Ved hjælp af retningsvinklen kan jeg opskrive en vektor:
( )
( )
cos
sin
a v
a
a v
⋅
=
⋅
( )
( )
( )
( )
1 1 1
1 1
1 1 1
cos cos 225
sin sin 225
F v F
F F
F v F
⋅ ⋅
= ⇔ =
⋅ ⋅
og
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
cos cos 295
sin sin 295
F v F
F F
F v F
⋅ ⋅
= ⇔ =
⋅ ⋅
J
eg kender vektor
F
, som er lig
m g
− ⋅
, massen af buen fandt jeg i opgave b, og
g
er oplyst til
0
9,82
−
.
F
må derfor være:
(
)
( ) ( )
1582,992 0
0
1582,992 9,82
15544,981
F F
− ⋅
= ⇔ =
− ⋅ −
I opgaven står der at når bjælken hænger stille er kræfterne i balance. Det må betyde at
1 2
0
F F F
+ + =
,
hvor
0
0
0
=
. Jeg opstiller nu 2 ligninger. 1 ligning med vektorernes x-værdier, og 1 anden ligning med deres
y-værdier. Ved at gøre dette for jeg 2 ligninger med 2 ubekendte, hvor længderne af
1
F
og
2
F
er de
ubekendte. Jeg benytter Mathcad, og for at programmet giver mig et brugbart svar med decimaler,
omregner jeg retningsvinklerne til radianer på følgende måde:
180
gradtal
radiantal
π
= ⋅
°
.
(
)
1 2
x F og y F
= =
D
a størrelsen på vektorerne er det samme som længden, kender vi størrelserne på
1
F
og
2
F
:
1 2
6991, , 401
F N F N
≈ ∧ ≈
Jeg mangler nu kun at finde koordinaterne til de 2 vektorer, jeg tager her min tidligere opskrivning af
vektorerne og indsætter den fundne længde:
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1
1
cos 225
6991, 215 cos 225
4943,536
6991, 215 sin 225
4943,536
sin 225
F
F F F
F
⋅
⋅
−
= ⇔ ≈ ⇔ ≈
⋅
−
⋅
Given
0 x cos
5 π⋅( )
4
⋅+ y cos
59 π⋅( )
36
⋅+
0
x sin
5 π⋅( )
4
⋅+ y sin
59 π⋅( )
36
⋅+
0
Find x y, ( )
0344
1873
→
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 9 af 20
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
cos 295
11697, 401 cos 295
4934,535
11697, 401 sin 295
10501, 446
sin 295
F
F F F
F
⋅
⋅
= ⇔ ≈ ⇔ ≈
⋅
−
⋅
d) Højden hvor spilleren rammer bolden.
Hvis der lægges et koordinatsystem ind i et snit langs badmintonbanen (se figur 9), således at
badmintonbanens midte befinder sig i
(0;0) kan man tilnærmelsesvis beskrive boldens bane, ved lang serv,
ved følgende funktion, hvor y-koordinaten angiver boldens højde over gulvet målt i meter.
(
)
3 4 3 3 3 2
4,293 10 4,386 10 3, 790 10 0,9784 3, 468, 2,5
y f x x x x x hvor x
− − −
= = − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ≥ −⋅ ⋅ ⋅
Der er oplyst at badmintonspilleren
rammer bolden i x=-2,5, og jeg skal nu
finde ud af, i hvilken højde bolden
bliver ramt.
Jeg vil tage ovenstående forskrift for
boldens bane, og sætte x til at være
-2,5 og derefter finde den tilhørende
y-værdi, som er højden hvori bolden
bliver ramt:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
4 3 2
3 3 3
2,5 4,293 10 4,386 10 2,5 3,790 10 0,9784 2,5 3, 46
8
2,5 0,168 0,069 0,024 2,446 3, 468
2,5
2,5 0 0
2,5
,9
f
f
f
− − −
− = − ⋅ − ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⇔
− ≈ − +
⋅ − ⋅ ⋅
− ⇔
≈
−
− +
−
Den tilhørende y-værdi til x=-2,5 er altså 0,90. Badmintonspilleren rammer bolden 0,90m over gulvet.
e) x-koordinaten til stedet hvor bolden lander.
Vi skal i denne opgave bestemme x-koordinaten til det punkt hvor bolden lander. Jeg vil benytte samme
metode som i foregående opgave. Jeg skal dog bare finde x-værdien i stedet for y-værdien. Bolden lander på
jorden, dvs. på x-aksen, hvor y=0. Jeg sætter derfor y til at være 0 og finder den tilhørende x-værdi:
3 4 3 3 3 2
0 4,293 10 4,386 10 3,790 10 0,9784 3, 468
x x x x
− − −
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅⋅ +⋅ ⋅
Da x står i fire potenser, vil det være en møjsommelig proces at isolere x. Jeg vælger derfor at benytte min
lommeregner. På lommeregneren benytter jeg funktionen ”solve” og jeg skriver:
(
)
3 4 3 3 3 2
solve 0 4, 293 10 4,386 10 3, 790 10 0,9784 3, 468,
x x x x x
− − −
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅⋅ +⋅ ⋅
Figur
9
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 10 af 20
Vi får ved hjælp af lommeregneren at:
6,676 3,194
x x
≈ ∨ ≈ −
Da vi ved at vores forskrift for boldens forløb kun
gælder når
2,5
x
≥ −
, ved vi også at vores ønskede
værdi er:
6,676
x
≈
f) Boldens maksimale højde
I denne opgave skal vi finde den maksimale højde som bolden opnår under en lang serv. For at løse opgaven
vil jeg benytte forskriften for forløbet af den lange serv, og benytte mig af differentialregning:
Jeg vil finde maksimumpunktet og jeg starter med at finde differentiere for at finde differentialkvotienten til
forskriften for servens forløb:
(
)
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3 4 3 3 3 2
3 4 3 3 3 2
3 33 23
4,293 10 4,386 10 3, 790 10 0,9784 3, 468
' 4, 293 10 ' 4,386 10 ' 3, 790 10 ' 0,9784 ' 3, 468 '
' 4, 293 10 4,386 10 3, 790 10 0,9784 1 0
' 01
4 2
0,
3
f x x x x x
f x x x x x
f x x x
f x
x
− − −
− − −
− − −
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⇔
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⇔
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⇔
= −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2
3 2
717 0,01316 0,00758 0,9784
' 0,01717 0,01316 0,00758 0,9784
x x x
f x x x x
⋅ − ⋅ − + ⇔
= − ⋅ − ⋅ − +
Jeg ved at hvor differentialkvotienten er lig 0, har en funktion et maksimumspunkt og/eller et
minimumspunkt. Denne funktion har dog kun et maksimumspunkt da funktionen starter uendelig langt nede
i 3. kvadrant, den kører så op til et maksimumspunkt i 1. kvadrant, hvorefter den kører ned og slutter
uendelig langt nede i 4. kvadrant. Jeg sætter derfor differentialkvotienten lig 0, og løser den fremkomne
ligning:
3 2
0 0,01717 0, 01316 0,00758 0,9784
x x x= − ⋅ − ⋅ − +
Jeg benytter igen min lommeregner, denne gang til at løse ovenstående 3. grads ligning. Jeg benytter
funktionen ”solve” og skriver:
(
)
3 2
solve 0 0,01717 0,01316 0, 00758 0,9784,
x x x x
= − ⋅ − ⋅ − +
Vi får ved hjælp af lommeregneren at:
3,573
x
≈
Vi ved nu at på det punkt hvor funktionen har en x-
værdi på 3,573, der er bolden på sit højeste. Vi
mangler nu kun at finde den tilhørende y-værdi som
angiver selve højden. Jeg tager forskriften for servens
forløb, og sætter x-værdien til 3,573:
Figur 10
Figur 11
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 11 af 20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
4 3 2
3 3 3
3,573 4, 293 10 3,573 4,386 10 3,573 3, 790 10 3,57
3 0,9784 3,573 3, 468
3,573 0,700 0, 200 0,048 3, 496 3, 468
3,573 6,016
f
f
f
− − −
≈ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⇔
≈ − − − + ⇔
≈
⋅
+
⋅ ⋅
Den tilhørende y-værdi til x=3,573 er altså 6,016. Den maksimale højde som bolden opnår er 6,016m.
g) Boldens korteste afstand til loftet.
I denne opgave skal boldens korteste afstand til loftet findes. Den korteste afstand vil være en vinkelret linje
fra loftet, der går ned på kurven for serven. Det punkt på kurven hvor afstanden er kortest går der en tangent
igennem. Denne tangent har samme hældning som loftet. Jeg vil derfor starte med at finde
differentialkvotienten til funktionen for servens forløb. Dette vil jeg gøre fordi differentialkvotienten er lig
hældningen til tangenten.
Differentialkvotienten til servens forløb fandt jeg i opgave f, og den var:
(
)
3 2
' 0,01717 0,01316 0,00758 0,9784
f x x x x= − ⋅ − ⋅ − +
Jeg kender nu differentialkvotienten til funktionen for servens forløb, og mangler nu bare at finde loftets
hældning. Da loftet er en ret linje, vil tangenten ligge i og følge linjen. Hældningen til tangenten er derfor
også lig hældningen til loftet. Jeg finder derfor differentialkvotienten til loftet. Forskriften for loftet fandt jeg i
opgave b, og den var:
(
)
0,4 9,73
l x x= − +
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
' 0, 4 ' 9,73 '
' 0, 4 1 0
' 0, 4
l x x
l x
l x
= − + ⇔
= − ⋅ + ⇔
= −
J
eg sætter nu de 2 differentialkvotienter (hældninger), lig hinanden for at finde ud af ved hvilken x-værdi,
afstanden er mindst. Ved den mindste afstand skal de 2 hældninger som sagt være det samme, derfor sætter
jeg hældningerne lig hinanden og løser mht. x.
( ) ( )
3 2
3 2
' 0,01717 0,01316 0, 00758 0,9784
0,4 0,01717 0,01316 0,00758 0,97
' 0,4
84
f x x x x
x
l x
x x
= −= − ⋅ − ⋅ − + ∧
− = − ⋅ − ⋅ − +
Jeg benytter igen min lommeregner, denne gang til at løse ovenstående 3. grads ligning. Jeg benytter
funktionen ”solve” og skriver:
(
)
3 2
solve 0, 4 0,01717 0, 01316 0, 00758 0,9784,
x x x x
− = − ⋅ − ⋅ − +
Vi får ved hjælp af lommeregneren at:
x=4,041
Vi ved nu at hvor x-værdien på servens forløb er
4,041, er der kortest afstand til loftet. Vi tager derfor
forskriften for serven og sætter x-værdien til 4,041,
og finder den tilhørende y-værdi.
Figur 12
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 12 af 20
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
4 3 2
3 3 3
4,041 4, 293 10 4, 041 4,386 10 4,041 3,790 10 4,041
0,9784 4,041 3,468
4,041 1,145 0, 289 0,062 3,954 3, 468
4,041 5,926
f
f
f
− − −
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ +
⋅ + ⇔
≈ − − − + ⇔
≈
⋅
+
⋅ ⋅
Jeg kender nu den tilhørende y-værdi til x=4,041. Den
korteste afstand fra servens forløb til loftet, er fra dette
punkt (4,041 ; 5,926) og vinkelret ind på loftet. Jeg skal
derfor finde denne afstand.
Til at finde afstanden vil jeg gøre brug af
”Afstandsformlen på explicit form”:
Afstanden
(
)
1
Dist ,
P l
fra et punkt
(
)
1 1 1
,
P x y
til en linje l:
y ax b
= +
kan bestemmes af:
( )
1 1
1
2
Dist ,
1
a x b y
P l
a
⋅ + −
=
+
Linjen l er i dette tilfælde loftet. Og punktet
1
P
er det punkt på servens forløb vi lige har fundet.
(
)
: 0, 4 9, 73
l l x x= − +
(
)
(
)
(
)
1 1 1
: ; 4, 041 ; 5,926
punkt
P f x x y= =
I vores tilfælde vil formlen se således ud:
( ) ( )
( )
1 1
2
Dist ,
1
punkt
a x b y
f x l x
a
⋅ + −
=
+
J
eg vil nu indsætte tallene:
( ) ( )
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
0, 4 4, 041 9,73 5,926
Dist ,
0,4 1
2,188
Dist ,
0,84
Dist , 2,387
punkt
punkt
punkt
f x l x
f x l x
f x l x m
− ⋅ + −
= ⇔
− +
≈ ⇔
≈
Badmintonboldens mindste afstand til loftet er 2,387m
Figur 13, Afstandsformlen på explicit form
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 13 af 20
h) Tilnærmet værdi for længden af en kort serv
I denne opgave har vi fået nogle punkter oplyst (se figur
14), disse punkter beskriver den korte serv i badminton.
Opgaven går ud på at finde den længde som
badmintonbolden bevæger sig under serven.
Jeg benytter grafprogrammet, Graphmatica, hvori jeg
benytter funktionen ”Data Plot Editor” og indtaster x- og
y-koordinaterne fra tabellen (figur 14). Herefter benytter
jeg curvefit, der laver en tendenslinje for punkterne. Jeg
prøvede mig lidt frem med forskellige grader af
polynomier, og fandt at et 4.grads og et 3. grads
polynomium beskriver punkterne udmærket i vores
interval. Jeg vælger at bruge 3. grads polynomiet, da
dette vil lette mine kommende beregninger. Funktionen
ses på figur 15.
Figur 15
Ifølge vejledningen til projektet fik vi af vide at:
Kurvelængden, fra punkt a til b,
a b
s
−
af grafen for en funktion
f
i
[
]
;
x a b
∈
, kan findes ved følgende
bestemte integral:
( )
( )
2
1 '
b
a b
a
s f x dx
−
= +
∫
Ved hjælp af Graphmatica, ved vi at forskriften til kurven er:
(
)
3 2
0,067 0,25 0,038 1,64
f x x x x= − − + +
Jeg starter med at differentiere forskriften:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
3 2
2
2
' 0,067 ' 0,25 ' 0,038 ' 1,64 '
' 0,067 3 0, 25 2 0,038 0
' 0,201 0,5 0,038
f x x x x
f x x x
f x x x
= − − + + ⇔
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⇔
= − ⋅ − ⋅ +
Figur 14
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 14 af 20
Ud fra de punkter jeg har fået oplyst, ved jeg
at intervallet er fra -1,60 til ca. 2,04. Når x-
værdien er 2,04, har bolden ikke helt ramt
jorden og jeg ønsker derfor at finde ud af i
hvilket punkt den har ramt. Når bolden
rammer gulvet som faktisk er x-aksen, må y-
værdien være lig 0. Jeg benytter
Graphmatica, og finder funktionens skæring
med y-aksen.
Da funktionen skærer y-aksen i (2,0983 ; 0)
må vores interval altså være fra -1,60 til
2,0983.
Jeg skal nu benytte den formel vi har fået opgivet i vejledningen. Jeg benytter Mathcad som er et CAS-
program, til at løse udtrykket.
En tilnærmet længde af boldens bane er 4,485m
i) Vinkel som bolden rammer gulvet med
Denne opgave går ud på at finde en tilnærmet værdi for den vinkel som bolden rammer gulvet med.
Jeg vil finde funktionen for den tangent der rører boldens bane i det punkt hvor bolden rammer jorden, dette
punkt fandt jeg i foregående opgave og det er: (2,0983 ; 0)
Jeg starter med at finde hældningen til tangenten som er det samme som differentialkvotienten som vi også
fandt i foregående opgave. Den er:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
' 0, 201 0,5 0, 038
f x x x= − ⋅ − ⋅ +
, jeg ved som sagt at
tangenten går igennem (2,0983 ; 0) og jeg sætter derfor x-værdien til 2,0983 og finder tangentens hældning:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2,0983 ' 0,201 2,0983 0,5 2,0983 0,038 2,0983 ' 1
,892
f f= − ⋅ − ⋅ + ⇔ ≈ −
Tangenten har hældningen -1,892 og denne går igennem (2,0983 ; 0). Forskriften for en ret linje er y=ax+b.
Jeg finder nu b, ved at indsætte mine kendte værdier, i forskriften for den rette linje.
0 1,892 2, 0983 0 3,971 3,971
b b b= − ⋅ + ⇔ ≈ − + ⇔ ≈
Funktionen til tangenten må derfor være: y=-1,892x+3,971
Jeg kan nu finde vinklen med vandret som er x-aksen. Vinklen med vandret må være den vinkel som bolden
rammer gulvet med. Jeg benytter følgende formel til at finde tangentens vinkel med vandret:
(
)
1
tan
v a
−
=
(
)
1
tan 1,892 62,146
vandret
v v
−
= − ⇔ ≈ −
, det negative fortegn angiver bare i hvilken retning funktionen går,
og vinklen som bolden rammer gulvet med er derfor:
62,146
v
≈ °
1.60−
2.0983
x1 0.201− x
2
⋅ 0.5 x⋅− 0.038+
( )
2
+
⌠
⌡
d 4.485=
Figur 16
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 15 af 20
j) Analytisk beskrivelse af basketballbane
Denne opgave går ud på at ligge
en basketballbane ind i et
koordinatsystem og analytisk
beskrive alle røde linjestykker,
cirkler og cirkelbuer.
Som det ses på figur 17 har jeg
valgt at lægge banen ind i et
koordinatsystem hvor nederste
venstre hjørne ligger i orego (0,0).
Målene er i meter. Jeg starter
med at beskrive den vandrette og
de lodrette linjer:
Forskriften for en ret linje er:
y=ax+b, hvor a er hældningen og b er linjens skæring med y-aksen.
Jeg starter med den 28m lange vandrette linje i toppen. Linjen skærer y-aksen i 15, så b må være lig 15. Da
linjen er vandret har den ingen hældning, så a er lig 0. Forskriften for denne linje er: y=15. Linjen er 28m og
starter i x=0 og må derfor slutte i x=28. Så forskriften med interval for linjen er
[
]
15, 0; 28
y x= ∈
.
De 2 lodrette linjer er også rette linjer. Den letteste måde at bestemme disse linjer, er at sige, at i den ene
linje er x-værdien hele tiden 14, så forskriften må være x=14. I den anden linje er x-værdien hele tiden 28, så
forskriften må her være x=28. Begge linjer starter i y=0 og slutter i y=15. Så forskriften med interval for de 2
linjer må være
[
]
14, 0;15
x y= ∈
for den i midten og
[
]
28, 0;15
x y= ∈
for den i højre side.
Jeg vil nu tage cirklen i midten af banen. Centrum af denne cirkel ligger lige midt i banen, dvs. at centrum må
ligge i (14 ; 7,5). Jeg ved at cirklen har en diameter på 3,6m, hvilket svarer til en radius på 1,8m. Jeg kan
derfor finde forskriften for cirklen. Ligningen for cirkelperiferien er
( ) ( )
2 2
2
x a y b r
− + − =
( , ) er centrum og er radius
C a b r
.
Ligningen for denne cirkel må derfor være:
( ) ( )
2 2
2
14 7,5 1,8
x y− + − =
.
Jeg finder nu ligningen for denne store cirkelbue med en radius på 6,25m:
Den har centrum i x=28-1,575=26,425 og y=7,5. Ligningen for cirklen må derfor være:
( ) ( )
2 2
2
26, 425 7,5 6, 25
x y− + − = . Jeg mangler nu kun at bestemme intervallet. Intervallet går til 26,425
og da radiussen af cirklen er 6,25m, må starten af intervallet være 26,425-6,25=20,175. Forskriften med
interval er derfor:
( ) ( )
[
]
2 2
2
26,425 7,5 6, 25 , 20,175;26,425
x y x− + − = ∈
Figur 17, Basketballbane indlagt i koordinatsystem.
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 16 af 20
Jeg finder nu den lille cirkelbue i toppen af målfeltet, med en radius på 1,8m. Centrum ligger i y=7,5, og i
x=28-5,8=22,2. Ligningen for cirklen må derfor være:
( ) ( )
2 2
2
22, 2 7,5 1,8
x y− + − = . Jeg mangler nu kun at
bestemme intervallet. Intervallet går til 22,2 og da radiussen af cirklen er
1,8m, må starten af intervallet være 22,2-1,8=20,4. Forskriften med
interval er derfor:
( ) ( )
[
]
2 2
2
22,2 7,5 1,8 , 20,4;22,2
x y x− + − = ∈
.
Jeg mangler nu kun at finde den sidste skrå linje ved målfeltet. Jeg finder
de punkter hvor linjen går fra og til. Vha. den sorte streg der ses på figur
18 har jeg lavet en retvinklet trekant, hvor jeg kender 1 vinkel samt den hosliggende katete. Punktet ved den
spidse vinkel, kan jeg finde vha. den lille cirkelbue. Punktet har samme x-værdi som centrum til buen, og y-
værdien ligger 1,8m højere end centrum. Koordinaterne til punktet må da være x=22,2 og y=7,5+1,8=9,3.
Jeg finder nu den korte side i den frembragte retvinklede trekant:
( ) ( )
korteside
tan 11, 7 tan 11, 7 5,8 korteside korteside 1, 201
5,8
m
= ⇔ ⋅ = ⇔ ≈
Jeg kan nu finde det øverste punkt på den skrå linje, y-værdien må være 1,201 større end det forrige punkt.
Og x-værdien må være det samme som den linje, hvorpå punktet sidder. Koordinaterne til punktet er da:
x=28 og y=9,3+1,201=10,501.
Da jeg kender begge punkter, kan jeg nu finde linjens ligning. Jeg starter med at finde hældningen. Jeg
benytter
2 1
2 1
y y
a
x x
−
=
−
, hvilket i vores tilfælde bliver:
10,501 9,3
0, 207
28 22, 2
a
−
= ≈
−
. Forskriften for en ret linje,
med hældning a og som går igennem
(
)
0 0 0
,
P x y
kan bestemmes af:
0 0
b
y a x y a x
= ⋅ + − ⋅
. Jeg har lige
fundet hældningen a og jeg ved og at linjen går igennem (22,2 ; 9,3).
0, 207 9,3 0, 207 22, 2 0, 207 4,705
y x y x
= ⋅ + − ⋅ ⇔ = ⋅ +
, intervallet går fra x-værdien for det nederste
punkt og til x-værdien ved det øverste punkt, dvs. intervallet går fra 22,2 til 28. Forskriften med intervallet
ser derfor sådan ud:
[
]
0, 207 4,705, 22, 2; 28
y x x= ⋅ + ∈
Så er alle de røde linjer,
cirkler og cirkelbuer
beskrevet analytisk, og hvis
jeg skriver mine ligninger
for cirkler og linjer ind i et
graftegnerprogram, i dette
tilfælde Graphmatica,
kommer det til at se ud
som figur 19.
Figur 18
Figur 19
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 17 af 20
Opgave 2
a) Beskrivelse af gavlen samt dekoration.
Denne opgave går ud på at en gavl i en vilkårlig sportshal hvor taget er hvælvet, skal males.
Jeg bestemmer at gavlen er en halv cirkel, og at hallen er 22m bred, dvs. at halvcirklen har en diameter på
22m. Da gavlen er en halvcirkel må højden af hallen være radius. Højden må derfor være 11 meter. Gavlen
lægges ind i et koordinatsystem med venstre hjørne i orego. Centrum af cirklen må derfor ligge i (11,0).
Halvcirklens ligning er derfor
( ) ( )
[
]
2 2
2
11 0 11 , 0;11
x y y− + − = ∈ . Der er nu styr på selve gavlen. Den skal
nu dekoreres.
Jeg har valgt at dekorere gavlen, således at der er vand i bunden, og i vandet er der et sejlskib. Øverst er der
en stor sol.
Som det står i opgaven skal gavlen minimum
være to-farvet, og være delt med en IKKE-
vandret linje. Dette krav vil jeg opfylde ved
at lave bølger i bunden af gavlen. Den
færdige gavl skulle gerne se ud som figur 20:
Jeg opstiller nu en slags opgave, og derefter
løser jeg den:
Gavlen er en halvcirkel med en radius på 11 meter. Halvcirklens ligning ser således ud:
( ) ( )
[
]
2 2
2
11 0 11 , 0;11
x y y− + − = ∈
Gavlen er blevet dekoreret som det ses på figur 21.
Figur 20, Dekoration af gavl
Figur 21, Dekoration, samt oplysninger om dekorationen
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 18 af 20
Opgaver:
a) Find arealet af gavlen
b) Find intervallet til funktionen for bølgerne
c) Find en tilnærmet værdi for arealet af vandet
d) Find arealet og cirklens ligning for solen
e) Find ved hjælp af punkter A og B, længden mellem disse
f) Find arealet af sejlet
g) Find forskriften for siden HG
h) Find forskriften for siden EF, som har modsat hældning af HG
a) Find arealet af gavlen
Jeg har fået oplyst at gavlen er en halvcirkel med en radius på 11m. Arealet af en cirkel kan man finde på
følgende måde :
2
A r
π
= ⋅
. For at få arealet af gavlen som kun er en halvcirkel dividere man med 2:
2
2
11
190,066
2
galv gavl
A A m
π
⋅
= ⇔ ≈
b) Find intervallet til funktionen for bølgerne
For at finde intervallet, til
(
)
2
sin( ) 1, 5
f x x= +
, vil jeg benytte
Graphmatica. Her vil indtaste funktionen til
gavlen (halvcirklen), samt funktionen for
bølgerne. Herefter benytter jeg værktøjet
”Intersections” der bruges til at finde
skæringspunkter. Jeg finder de to
skæringspunkter og intervallet er da x-
værdierne fra disse punkter. Punkterne ses
på figur 22.
Intervallet går fra x=0,1042 til x=21,896.
Intervallet er altså:
[
]
0,1042; 21,896
x ∈
Forskriften for bølgerne med interval ser da således ud:
(
)
[
]
2
sin( ) 1,5, 0,1042; 21,896
f x x x= + ∈
c) Find en tilnærmet værdi for arealet af vandet
Funktionen for bølgerne lyder:
(
)
[
]
2
sin( ) 1,5, 0,1042; 21,896
f x x x= + ∈
. Ved hjælp af denne forskrift for
vandets overflade vil jeg finde en tilnærmet værdi for arealet af vandet. Til dette vil jeg bruge
Figur 22
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 19 af 20
integralregning. Jeg kan finde arealet under funktionen
(
)
f x
med et bestemt integrale:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
A f x dx F x F b F a
= = = −
∫
, hvor b og a er intervallet, [a;b].
Da jeg bare vil finde en tilnærmet værdi, vil jeg ved at bruge intervallet på gavlen, mangle 2 små stykker, da
man ved bestemt integral kun finder hvad der ligger lodret under kurven. Det er dog nogle små stykker, og
man vil alligevel være meget tæt på arealet. Jeg vælger dog at udføre bestemt integral på intervallet
[
]
0; 22
.
Her vil der dog være 2 små stykker for meget, jeg tror dog disse stykker er mindre, og jeg vil altså være
tættere på det eksakte areal. Samtidig letter det mine beregninger, og jeg kan derfor konkludere at dette
interval er mest fornuftigt.
I dette tilfælde vil det se sådant ud:
( ) ( ) ( )
22
22
2
0
0
1 1 1 1
sin( ) 1,5 sin 2 1,5 22 sin 2 22 1,5 22 0
2 4 2 4
A x dx A x x x A
= + ⇔ = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⇔ = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⇔
∫
2
43,826
A m
≈
d) Find arealet og cirklens ligning for solen
Der er oplyst at solens radius er 1,5m og at centrum ligger i (13;9).
2 2
1,5 7, 069
sol sol
A A m
π
= ⋅ ⇔ ≈
Ligningen for cirkelperiferien er
( ) ( )
2 2
2
x a y b r
− + − =
( , ) er centrum og er radius
C a b r
. I dette tilfælde
bliver det til:
( ) ( )
2 2
2
13 9 1,5
x y− + − =
e) Find ved hjælp af punkterne A og B, længden mellem disse.
For at løse denne opgave vil jeg benytte afstandsformlen som lyder:
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y= − + −
( ) ( )
2 2
8 6 4 7 4 9 3,606
AB AB AB m
= − + − ⇔ = + ⇔ ≈
f) Find arealet af sejlet
For at finde arealet, skal jeg have fundet de 2 kateter i sejlet
og
AC BC
. Jeg kan finde disse kateter vha. x-
og y-værdierne til A og B. Jeg kan finde
BC
ved at sige:
8 6 2
x x
BC B A BC BC m
= − ⇔ = − ⇔ =
. Jeg
kan finde
AC
ved at sige:
7 4 3
y y
AC A B AC AC m
= − ⇔ = − ⇔ =
. Jeg kan nu regne arealet af sejlet
som er en trekant ved at sige:
2
1
3 2 3
2
sejl sejl
A m m A m
= ⋅ ⋅ ⇔ =
Højere Teknisk Eksamen
08xcb, HTX Christiansbjerg Matematik B: “Motion og sport”
S
ide 20 af 20
g) Find forskriften for siden HG
Jeg starter med at finde hældningen. Jeg benytter
2 1
2 1
y y
a
x x
−
=
−
, hvilket i dette tilfælde bliver:
3 2,3078
1
9 8,3078
a
−
= =
−
.
Forskriften for en ret linje, med hældning a og som går igennem
(
)
0 0 0
,
P x y
kan bestemmes af:
0 0
b
y a x y a x
= ⋅ + − ⋅
. Jeg har lige fundet hældningen a og jeg ved og at linjen går igennem (9;3).
(
)
(
)
3 1 9 6
h x x h x x
= + − ⋅ ⇔ = −
, intervallet går fra H
x
til G
x
, dvs. intervallet går fra x=8,3078 til x=9.
Forskriften med intervallet ser derfor sådan ud:
(
)
[
]
6, 8,3078;9
h x x x= − ∈
h) Find forskriften for siden EF, som har modsat hældning af HG
Hældningen til denne linje EF er modsat hældningen til linjen HG som var 1. Hældningen til EF må derfor
være -1. Jeg kender hældningen a og jeg ved og at linjen går igennem (3;3). Jeg gør som i opgave g, for at
finde linjens ligning:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 3 1 3 6
e x x e x x
= − ⋅ + − − ⋅ ⇔ = − +
, intervallet går fra E
x
til F
x
, dvs. intervallet går fra x=3 til
x=3,9635. Forskriften med intervallet ser derfor sådan ud:
(
)
[
]
6, 3;3,9635
e x x x= − + ∈
Kilder
http://da.wikipedia.org/wiki/Tangens
http://www.formel-samling.dk/
Matematik 112 af Lars Pedersen (anden udgave)
MAT B1 af Marthinus Jensen (Systime)(anden udgave)
MAT B2 af Marthinus Jensen (Systime)(første udgave)