Matematikprojekt E45
Matematik A
HTX 3. år
Lærer:
Indledning
Ved motorvej E45 vest om Kolding anlægges lange og høje støjvolde. De skal beskytte beboere
umiddelbart øst imod støjen fra lastbiler og andre køretøjer. Når voldene er færdigbyggede skønnes det
at der er blevet flyttet på 345.000 m3 jord.
Formål
Formålet med opgaven E45 er at bruge integralregningen til at regne på en virkelighedstro opgave, som
handler om støjvolde ved E45 motorvejen.Samtidig er formålet med opgaven at øve sig i indivduelt at
løse problemopgaver og selvfølgelig er formålet også at lave et godt projekt som kan bruges til den
eventuelle eksamen.
Præsentation af problemet
I anlægsfasen er der tegnet tværprofiler af voldene af den lokale landmåler. I figur 3.25 kan du et udsnit
af et af disse tværsnit, hvor det orange område angiver det færdige profil efter anlæggelsen.
Det blå felt angiver hvor meget jord der først skal fjernes. Koterne er angivet i de punkter, hvor voldens
tværprofil ændrer retning.
På en given strækning kan tværprofilerne betragtes som ens over hele strækningen.
Opgaverne som stilles er som følger:
1. Bestem det blå og det orange tværsnitsareal ved brug af integralregning.
Hvad er resultatet et udtryk for i forhold til de jordmængder, der skal flyttes?
2. Hvor mange kilometer jordvold skal der etableres såfremt profilet var ens overalt?
3. Bestem forskriften for to parabler, der går fra henholdsvis punkterne A til B og fra C til D, når det er
givet at arealet af det færdige tværprofil skal være det samme.
4. Bestem det stejleste sted på volden for begge profiltyper.
Teori
Integralregning
Integral er det modsatte af differentiation.
En stamfunktion til y=f(x) kalder vi for F(x).
F(x) er en stamfunktion til y=f(x) og da vi ved at det er det modsatte af differentialregning, kan vi sige:
Stamfunktionen udregnes med dette udtryk:
F(x) er en stamfunktion for f(x) hvis samtlige stamfunktioner for g(x) er og på
denne måde vil en optegning af stamfunktionen ramme alle punkter i koordinatsystemet (grundet +k)
Skrivemåden er som følger:
Integrationsprøven:
med stamfunktion
er en stamfunktion til
Det bestemte integrale:
Det bestemte integrale kan bruges til at udregne arealet mellem x-aksen og en given funktion. Det
bestemte integrale skrives således: , hvor a og b, er afgrænsinger på x-aksen. se skitse:
Hvis man skal finde arealet mellem to funktioner, regner man det bestemte integrale ud for hver
funktion, og trækker disse fra hinanden, eks:
Den rette linjes ligning
Den rette linjes ligning beskrives som
Hvor:
Skitsen viser hvordan man finder hældningskoefficienten (a) og skæringen med y-akse (b).
Den rette linje er uendelig lang, og alle x,y koordinater som ligger på ligningen passer i formlen. Alle
punkter som ligger ved siden af linjen vil ikke få linjens ligning til at gå op.
Den rette linje fundet vha. 2 koordinater
En ret linjes ligning kan bestemmes ud fra 2 punkter, ved først at udregne hældningskoefficienten og
derefter skæring med y-aksen. til sidst sættes de to værdier ind i linjens grundligning :
Linjens grundligning:
Hvis de to punkter gives som:
Kan linjens ligning findes således:
Hældningskoefficienten:
Formlen til at finde hældningskoefficienten udledes ved at danne en vinkelret trekant som denne med
udgangspunkt i de to givne punkter. Ved at dividere de 6y med 6x finder man ud af hvor meget y stiger
med, hver gang x stiger med 1. Altså finder man hældningskoefficienten.
Formel for linjens hældningskoefficient:
Skæring med y-aksen:
Skæring med y-aksen udledes af 2 led. det interresante led er det 2. led Dette giver dig nemlig
tallet for hvad y værdien for det første punkt ville være hvis linjen skærer i origo. Dette subtraheres fra
for at finde den aktuelle skæring med y-aksen.
Formel for linjens skæring med y-aksen:
Herefter indsættes værdierne blot i linjens grundligning.
Polynomier:
Andengradspolynomiet:
Andengradspolynomiets funktionsforskrift ser således ud:
Hvor:
Grafen som kan tegnes ud fra denne funktionsforskrift hedder en parabel.
eks:
Det kan nemt udledes at:
Hvilket kan ses her:
Det kan også udledes at:
a vokser0parabel bliver smallere og mere stejl.
a mindskes0parabel bliver bredere og mindre stejl.
Andre polynomier:
Der findes også 3.-4.-5.-6.-gradspolynomier osv..
Disse kan benævnes ved en fælles gældende funktionsforskrift:
Hvis man skal finde et polynomiums funktionsforskrift, og kender et antal punkter som polynomiet går
igennem, indsættes disse koordinatsæt i hver sit polynomium og der opstilles flere ligninger med flere
ubekendte.
Hvis man fx har 5 punkter konstrueres der 5 ligninger med 5 ubekendte vha. et 4.gradspolynomium, da
dette indeholder 5 ubekendte.
Andengradspolynomiet(parablen)
Andengradspolynomiet er beskrevet i tidligere opgaver, og nævnes derfor kun kort:
Andengradspolynomiet skrives således: ,
Bestemmelse af parabel ud fra kriterier:
For at bestemme et andengradspolynomie skal der opstilles 3 kriterier, som bliver til 3 ligninger med 3
ubekendte. Dette udregnes med maple.
Beregninger
Opgave 1
Bestem det blå og det orange tværsnitsareal ved brug af integralregning.
Jeg regner alle linjernes hældningkoefficienter og skæring med y-akse ud i Excel (metoden er vist i
teori-afsnittet):
Udfra Tabellen kan jeg nu skrive linjernes ligninger (
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Arealet af det orange område område beregnes Ved at finde de forskellige integraler, som udgør
overfladen i skitsen, og trække integralet af linjen i skellet fra.
= 105
Arealet af det blå område område beregnes Ved at finde de forskellige integraler, som udgør bunden i
skitsen, og trække integralet af linjen i skellet fra.
49.
Arealet af det orange område er altså
Arealet af det blå område er altså 49
Hvad er resultatet et udtryk for i forhold til de jordmængder, der skal flyttes?
Arealerne er udtryk for hvor meget jord der skal fjernes, og hvor meget jord der skal ligges på.
Arealet skal ganges med længden af volden, for at få volumet af den jordmængde, som arealerne
er et udtryk for.
Opgave 2
Hvor mange kilometer jordvold skal der etableres såfremt profilet var ens overalt?
Det skønnes at når jordvolden er færdig, er der flyttet jord.
For at udregne længden af jordvoldene, isolerer jeg længden i formlen for rumfang:
Arealet der skal flyttes består af det blå lagt sammen med det orange område, da begge dele skal flyttes.
altså:
Da tværprofilerne over en given strækning kan betragtes som ens, skal der etableres 2233,8 m jordvolde.
Da spørgsmålet lyder på hvor mange km. jordvolde, skal dette multipliceres med 2, da der er to volde i
tværsnittet. Der skal altså etableres jordvold.
Opgave 3:
Bestem forskriften for to parabler, der går fra henholdsvis punkterne A til B og fra C til D, når det er
givet at arealet af det færdige tværprofil skal være det samme.
For at finde parablen, som er den ene af de to, som tilsammen har samme tværsnitsareal som det
oprindelige, opstiller jeg nogle kriterier. Da der er tre ubekendte i et andengradspolynomium (
)
Men det lille areal som ligger under linjen mellem B og C, tælles ikke med, så for at dette også har en
indflydelse, deler jeg dette areal i to, og ligger det til det areal, som hver parabel skal være lig med.
Arealet mellem B og C:
=
177
106
Arealet som skal ligges til hvert areal af tværsnittet mellem henholdsvis A og B, samt C og D.
=
177
212
Nu finder jeg arealet under volden mellem A og B:
=
3095
53
Til dette areal ligges så
=
12557
212
59.231
Jeg opstiller nu mine tre kriterier.:
Det første kriterie, er at arealerne er ens:
Andet kriterie er at parablen skal gå igennem A:
Tredje kriterie er at parablen skal gå igennem B:
De tre ligninger med tre ubekendte løses vha. maple:
Ligningen for den ene parabel som til sammen med den
anden, har samme trværsnitsareal, mellem A og B og C og D, som hele det oprindelige tværsnitsareal, er
altså :
For at finde parablen, som er den ene af de to, som tilsammen har samme tværsnitsareal som det
oprindelige, opstiller jeg nogle kriterier. Da der er tre ubekendte i et andengradspolynomium (
)
Nu finder jeg arealet under volden mellem C og D:
=
4763
106
Til dette areal ligges så
=
9703
212
45.769
Jeg opstiller nu mine tre kriterier.:
Det første kriterie, er at arealerne er ens:
Andet kriterie er at parablen skal gå igennem C:
Tredje kriterie er at parablen skal gå igennem D:
De tre ligninger med tre ubekendte løses vha. maple:
Ligningen for den anden parabel som til sammen med den anden, har samme trværsnitsareal, mellem A
og B og C og D, som hele det oprindelige tværsnitsareal, er altså :
Parablerne er tegnet om på skitsen i geometer, og det ses, at de skærer i A, B, C og D.
(1)(1)
Opgave 4
Bestem det stejleste sted på volden for begge profiltyper.
Det stejleste sted på volden på den første profiltype, må være den linje, hvor den nummeriske
hældningsværdi er højest. jeg kigger i skemaet og ser at dette er på linjen mellem G og H, samt linjen
mellem I og J.
Hældningen for disse linjer er:
Det stejleste sted på volden med anden profiltype (parabler) er i punkterne A og B, dette skyldes at den
nummeriske værdi af hældningkoefficienten til tangenterne på parablen stiger jo længere væk, man
kommer fra toppunktet. De punkter som ligger længst væk fra toppunktet på begge parabler er A, B, C
og D. Herunder regner jeg differentialkvotienten (tangenthældningen) ud for disse punkter, og vi
ser at A og B er stejlest (nummerisk, da "stejl" er udtryk for dette)
A: = 0.39670
B: = 0.39670
=
C: =
D: =
Vurdering
Alle resultater er enten tjekket ift. Skitse i geometer, eller ved at lave overslag på øjemål udfra skitsen.
Konklusion
Jeg har regnet på opgaven og løst alle de stillede opgaver, jeg har også forklaret teorien bag ved
beregningerne. Jeg har fået større indsigt i hvordan integralregningen kan bruges i virkeligheden, og jeg
mener at dette er en rigtig god opgave, at præsentere til en evt. Eksamen.
______________________________________________