Studiekompasset.dkKlasse: STX 2.g · Fag: Fysik A
Neutronmodel for en Pile
Beregnet på TI83
+
ved brug af talfølger
STX 2.g
Fysik – Manhattan projektet
Nov. - Dec. 2003
Formål:
Formålet med opgaven er, at vise hvornår en reaktor påvirkes af en neutronkilde.
Teori:
I 1941 nåede man i USA frem til, at den mest egnede moderator i reaktorer var grafit. Vi husker, at
en moderator er et stof, som neddæmper neutronernes energi. Et af problemerne var hvordan
grafitten skulle blandes med uran. I stedet for en homogen blanding af disse, viste det sig, at det var
meget mere effektiv af lave piles (stakke/bunker med lag af skiftevis grafit og uran) af disse.
Herved undgår man, at de hurtige neutroner (skabt ved fission af U-235) indfanges af U-238, de
undslipper uranblokkene. Herefter bliver de bremset ned i grafitblokkene, og kan derfor laver nye
fissioner i U-235, når de kommer tilbage til uranblokkene. Man byggede neutronpilen cirkulær,
efter en kugle, da denne har et lille overfladeareal. Man var klar over, at disse piles var for små til at
starte en kædereaktion, så derfor placerede man en neutronkilde (Radium-beryllium) i bunden i
pilen. Dette neutronkilde giver et fast/konstant bidrag pr. sek. (neutronkilden betegnes S
k
).
Fysik rapport – neutronmodel for en Pile Morten T. Lundsager
6. januar 2004 Frederiksborg Gymnasium 2.w
2
S
k
: antal af neutroner leveret fra neutronkilden pr. sek.
S
f
: antal af neutroner skabt ved fission pr. sek.
Vi forestiller os nu, at vi starter med at have en given mængde neutroner (N
før
). Hvis vi ønsker at
finde N
efter
, får vi det ud fra formlen:
dtSdtSNN
fkførefter
S
f
kan bestemmes på følgende måde:
Vi deler ligesom med mennesker neutroner op i generationer. En neutrongenerations levetid (L), er
den tid, som gennemsnitlig forløber fra dannelse af neutronen ved fission til neutronen igen skaber
nye neutroner ved fission. Hvis der er N neutroner i en generation, vil der være K ∙ N neutroner i
næste generation. K er multiplikationsfaktoren. Der bruges N neutroner ved fission, så neutrontallet
i tiden L vil vokse med K∙N-N. I løbet af tiden (dt) sker dette derfor dt/L gange.
Tilvæksten af neutroner bliver derfor:
L
dt
NNKdtS
f
)(
L
dt
NKdtS
f
)1(
L
dt
NKdtS
f
)1(
dtL
dt
NKS
f
)1(
Fig. Model for antal neutroner i en atomreaktor
Fysik rapport – neutronmodel for en Pile Morten T. Lundsager
6. januar 2004 Frederiksborg Gymnasium 2.w
3
N ·
L
1-K
S
f
Derved kan det samlede antal neutroner i en pile bestemmes ved:
N
efter
= N
før
+ S
k
∙ dt +
·dtN ·
L
1-K
før
Her gælder:
S
f
< 0, K<1: pilen er underkritisk. Kædeprocessen nedsættes.
S
f
= 0, K=1: pilen er kritisk. Kædeprocessen holdes i gang.
S
f
> 0, K>1: pilen er overkritisk. Kædeprocessen øges.
Databehandling:
Øvelsen er delt op i 2 dele. Først beskæftiger vi os med forløbet i en reaktor uden påvirkelse fra en
neutronkilde. Herefter ser vi på forløbet i reaktoren med påvirkelse af en neutronkilde.
Uden neutronkilde:
Vi skal vise, at ligningen
dtN
L
K
dtSNN
førkførefetr
1
med K=1,0005 og K=0,9995 giver:
førefter
NN 005,1
førefter
NN 995,0
Ved den første har vi K>1, det vil sige, at situationen er overkritisk (kædeprocessen øges). Vi
forventer derfor at en graf for denne vil være voksende. I vores andet tilfælde har vi k<1, det vil
sige, at situationen er underkritisk (kædeprocessen nedsættes). Vi forventer derfor, at vi her i stedet
for vil få en aftagende graf. Vi husker, at vi ved k=1 vil have en kritisk situation (kædeprocessen
holdes i gang). Vi ved fra teorien, at
N ·
L
1-K
S
f
. Vi ved endvidere at tiden (dt) er sat til dt=1,
mens generationstiden/levetiden er L=0,1 Det vigtige her er, at huske vi ingen neutronkilde har til
stede, så S
k
=0. N
før
=100.
Følgende gælder derfor for K=1,0005:
Fig. Atomreaktorens opbygning
Fysik rapport – neutronmodel for en Pile Morten T. Lundsager
6. januar 2004 Frederiksborg Gymnasium 2.w
4
dtN
L
K
dtSNN
førkførefter
1
1
1,0
10005,1
10
førførefter
NNN
førførefter
NNN 005,0
5,100005,1
førefter
NN
På samme måde gælder følgende for K=0,9995:
dtN
L
K
dtSNN
førkførefter
1
1
1,0
19995,0
10
førførefter
NNN
førførefter
NNN 005,0
5,99995,0
førefter
NN
Ved at indstille lommeregneren til det, kan vi få dette afbildet grafisk. Lommeregneren skal ændres
i MODE, således at der Seq i stedet for Func. Talfølgerne (sekvenserne) kalder vi for u og v.
Når dette er gjort, kan graferne afbildes. Det kan være nødvendigt at ændre vinduet (WINDOW),
således at dette passer.
Hvis vi ser på grafen gælder det, at hvis u(n) = 1,005 ∙ u(n-1) dvs. K>1, så er grafen eksponentielt
voksende. Grafen for v(n) = 0,995 ∙ v(n-1) dvs. K<1 er eksponentielt aftagende. Den sidste af vores
funktioner vil gå mod 0, når n bliver uendelig stor. Matematisk kan det skrives således:
WINDOW
nMin=0
nMax=300
PlotStart=1
PlotStep=1
Xmin=0
Xmax=300
Xscl=100
Ymin=0
Ymax=400
Yscl=100
K>1
K<1
Fysik rapport – neutronmodel for en Pile Morten T. Lundsager
6. januar 2004 Frederiksborg Gymnasium 2.w
5
u(n) = 1,005 ∙ u(n-1)∞ for n∞
v(n) = 0,995 ∙ v(n-1) 0 for n∞
Med neutronkilde:
Først tegner vi graferne igen. Denne gang er der en neutronkilde til stede. Indstillingerne for
graferne og graferne ser således ud:
Forskellen på de foregående grafer og graferne ovenover er, at dem ovenover er tegnet ud fra
påvirkelse af en neutronkilde (neutronkilden svarer til de 1E5=100.000, der er lagt til). Det vil sige,
at vores to ligninger kommer til at se således ud, når nævnte gælder:
Følgende gælder derfor for K=1,0005:
dtN
L
K
dtSNN
førkførefter
1
1
1,0
10005,1
1100000
førførefter
NNN
 5,0
førførefter
NNN
5,1 
førefter
NN
På samme måde gælder følgende for K=0,9995:
dtN
L
K
dtSNN
førkførefter
1
1
1,0
19995,0
1100000
førførefter
NNN
 5,0
førførefter
NNN
WINDOW
nMin=0
nMax=300
PlotStart=1
PlotStep=1
Xmin=0
Xmax=300
Xscl=100
Ymin=0
Ymax=50E6
Yscl=50E5
K>1
K<1
Fysik rapport – neutronmodel for en Pile Morten T. Lundsager
6. januar 2004 Frederiksborg Gymnasium 2.w
6
5,0 
førefter
NN
Vi har nu fået vist, hvordan de to ligninger for vores funktioner er givet. Vi vælger nu at se på
samme funktioner igen, men i et lidt længere tidsperspektiv. WINDOW indstilles igen korrekt
Vi ser på graferne, at vores nederste graf bliver stabil hen mod slutningen. Det vil sige, at N=stabil.
Vi går derfor ind og finder værdien for N
stabil
.
Vi har altså fundet, at N
stabil
= 20∙10
6
(sådan cirka) på grafen. Endvidere kan vi igen udtrykke os lidt
om graferne matematisk.
u(n) = 1,005 ∙ u(n-1)+100.000∞ for n∞
v(n) = 0,995 ∙ v(n-1)+100.000 20∙10
6
for n∞
Vi skal nu finde ud af om resultatet stemmer overens med resultatet, som opnås ved at bruge den
nævnte formel i kassen på side 60. Når N er stabil er det fordi bidraget er ligeså stort som forbruget,
dvs. neutrontallet N er konstant i tiden. Vi starter med at se på hvordan vi bestemmer N
efter
. Dette
gøres vha. følgende formel:
dtSdtSNN
fkførefter
S
k
: antal af neutroner leveret fra neutronkilden pr. sek.
K>1
K<1
K>1
K<1
WINDOW
nMin=0
nMax=2000
PlotStart=1
PlotStep=1
Xmin=0
Xmax=2000
Xscl=200
Ymin=0
Ymax=25E6
Yscl=25E5
Fysik rapport – neutronmodel for en Pile Morten T. Lundsager
6. januar 2004 Frederiksborg Gymnasium 2.w
7
S
f
: antal af neutroner skabt ved fission pr. sek.
Følgende gælder når
førefter
NN
:
0 dtSdtS
fk
S
f
kan bestemme ved:
N
L
K
L
NK
L
NNK
S
f
1)1(
L: generationstiden el. levetiden
K: multiplikationsfaktor
Det gælder derfor at
førefter
NN
når:
kkkkk
S
K
L
S
K
L
NSN
L
K
N
L
K
SdtN
L
K
dtS
11
1
0
1
0
1
Vi kan nu finde N
stabil
ud fra formlen.
L=0,1
K=0,9995
S
k
=100000
6
00
9995,01
1,0
1
kstabil
S
K
L
N
Vi har altså set at formlen fra kasse 7.1 på s. 60 stemmer overens med resultat, som vi fik på
lommeregneren. I begge tilfælde fik vi N
stabil
= 20∙10
6
.
Konklusion:
Vi kan hermed konkludere, at K stabiliserer sig på et højere niveau, jo tættere vi kommer på K=1.
Morten T. Lundsager
2.w