Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere handelseksamen fra
1997. Står der er A foran formelnummeret er formlen dog fra appendikset fra april 2002.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken
formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 6
a)
Værdien isoleres med solve-funktionen i TI-nspire CAS.
Værdien er altså
b)
Ligningen er skrevet op.
Der er divideret med 100 på begge sider af lighedstegnet.
Den 25. rod uddraget på begge sider.
Venstres side reduceres.
Der træffes 1 fra på begge sider.
Højre side udregnes.
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
Opgave 7
a)
For at bestemme de tre statistiske deskriptorer åbnes datafilen reparationstid.xls i Microsoft Excel.
Gennemsnittet bestemmes ved hjælp af =MIDDEL(A2:A251), medianen ved hjælp af =MEDIAN(A2:A251) og
endelig bestemmes standardafvigelse ved hjælp af =STDAFVS(A2:A251). Der fås
Gennemsnit:
Median:
Standardafvigelse:
b)
For at bestemme konfidensintervallet bestemmes først konfidenskoefficienten. Da
gøres dette i MS Excel 2010 ved
=KONFIDENSINTERVAL(0,05;D6;TÆL(A2:A251)).
Konfidenskoefficienten er ca. 0,96. Med et gennemsnit på 18,94 givet dette et 95%-konfidensinterval på
c)
Sandsynligheden for at reparationstiden for en mobil telefon er længere end 25 dage kan også bestemmes
ved hjælp af Excel. Ved hjælp af
=1-NORMALFORDELING(25;19;8;SAND)
fås at sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt mobiltelefon har en reparationstid på mere end 25 dage
er .
d)
Det tager gennemsnitligt 18-20 dage at reparere en indleveret telefon. Knap en fjerdedel (22,6 % hvis
standardafvigelsen er 8 og gennemsnittet er 19) af de indleverede telefoner tager dog mere end 25 dage at
reparere.
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
Herover set et skærmbillede fra Excel 2010 med formlerne som de er brugt til løsningen af opgaven.
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
Opgave 8
a)
Funktionerne for omsætningen og omkostningerne defineres i TI-nspire CAS og overskudsfunktionen
bestemmes.
Det ses således at overskudsfunktionen er givet ved
For at bestemmes i hvilket interval overskuddet er positivt løses uligheden
for med
kommandoen solve.
Overskuddet er altså positivt i intervallet (grænserne er her afrundet, uden at klammerne er tilpasset)
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
b)
For at bestemme den afsætning der giver det maksimale overskud bestemmes den værdi af for der
gør størst. For at bestemme det maksimale overskud evalueres for denne værdi af .
Den afsætning der giver det største overskud er altså ca. 174,5 kubikmeter, og det maksimale overskud
bliver ca. 84.690 kroner.
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
Opgave 9
a)
For at lave det ønskede skema åbnes filen taxa.xlsx i Microsoft Excel. Feltet total fra banegården beregnes
ved hjælp af formlen
=TÆL.HVIS(B2:B145;"=Banegård")
De tre andre manglende totaler bestemmes på tilsvarende vis.
Feltet aften/nat fra banegården bestemmes ved
=SUMPRODUKT((A2:A145="Aften/nat")*(B2:B145="Banegård"))
De resterende fire felter bestemmes tilsvarende, blot skal ”Aften/nat” og ”Banegård” skifter ud så det
passer.
Skemaet bliver
Banegård
Strøg
Total
Aften/nat
24
28
52
Dagtimer
52
40
92
Total
76
68
144
Bemærk: Det er muligt at tælle manuelt, men ved at bruge Excels funktioner mindskes risikoen for fejl,
og sammentællingen sker langt hurtigere.
b)
Lad
betegne sandsynligheden for at en tilfældig passager medtoges fra banegården givet det er nat, og
lad
betegne sandsynligheden for at en tilfældig passager medtoges fra banegården givet det er dag.
Nulhypotesen
og den alternative hypotese
bliver da
Da der er tale om en test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier, bestemmes de forventede
værdier ved hjælp af funktionen chi22way. På TI-spire CAS defineres dataet i en matrix og beregningerne
foretages. Endelig udskrives de forventede værdier.
En matrix laves i TI-spire CAS ved under menuen at vælge 7: Matricer og vektorer
1: Opret
1:
Matrix…
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
De forventede værdier er altså
Banegård
Strøg
Aften/nat
Dagtimer
c)
Da samtlige forventede værdier er større end 5, kan
-testen benyttes. Beregningerne er allerede
foretaget. Resultatet udskrives.
Således fås at
. Med en frihedsgrad på , giver dette en p-værdi på .
Da p-værdien er større end 5 % kan
ikke forkastes. Der er altså ikke fundet en sammenhæng mellem
benyttelsen af de to taxaholdepladser og tidspunktet, der er statistisk signifikant på 5 % niveau.
Det kan altså antages at benyttelsen af de to taxaholdepladser er uafhængigt af tidspunktet.
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
Opgave 10A
a)
Dataet i kolonner B og C markeres og det indsættes et data xy-plot.
Bemærk: For at lave et xy-plot i Microsoft Excel 2010 vælges fanen Indsæt. Under Diagrammer vælges
nu X Y-punktdiagram. Endelig vælges typen alt efter om man ønsker punkterne forbundet.
b)
I Excel tilføjes en eksponentiel tendenslinie og den tilførende ligning medtaget.
Dette giver ligningen
En tendenslinie lavet i Excel ved at højreklippe på et af datapunkterne og vælge Tilføj tendenslinje. Det
vælges nu hvilken regressionstype der ønskes. Husk at markere Vis ligning i diagram.
Ligningen omskrives.
De to konstanter bliver således
og
For at bestemme i hvilket år den gennemsnitlige månedsløn overstiger US$ 500 løses uligheden
0
50
100
150
200
250
300
350
400
25 30 35
Månedsløn i US$
År efter 1978
Gennemsnitslige månedsløn
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
Uligheden løses.
Den gennemsnitlige månedsløn overstiger altså ifølge modellen US$ 500 i løbet af det 33. år efter 1978,
dvs. en gang i 2010.
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
Opgave 10B
a)
Først bestemmes niveaulinien
.
Bemærk: Udtryk bliver ofte kønnere ved hjælp af kommandoen expand eller kommandoen factor.
På følgende graf er polygonområdet indtegnet om det grå område. Niveaulinien
er sort, og
betingelseslinierne er farvet efter om polygonområdet ligger over (blå) eller under (rød) linien.
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
b)
Niveaulinien vokser når den forskydes op mod højre. Mindsteværdien fås således det i skæringspunktet
mellem linierne og . Ligeledes fås størsteværdien i skæringspunktet mellem
linierne og .
De to skæringspunkter bestemmes og de tilsvarende værdier for bestemmes.
Største- hhv. mindsteværdien for indenfor polygonområdet er altså
hhv.
Skriftlig matematik HHX B hhx122-MAT/B-
Opgave 10C
a)
Funktionen defineres på TI-spire CAS og funktionen differentieres. Endelig bestemmes
.
Det ses at
Da
har ikke noget ekstremum i .
b)
Tangentlinien til i bestemmes med TI-nspire CAS.
En ligning for tangenten til i punktet er altså givet ved