Rybners Gymnasium stx - 3.U
SRP i Dansk (A) og Matematik (A)
Side | 1 af 27
Abstract
This paper is regarding the measurement of the world. It is a fusion of my two main subjects Danish
and Mathematics. I have taken my starting point in the book “Measuring the World” by Daniel
Kehlmann. The book is portraying the two German scientists Carl Freidrich Gauss and Alexander
von Humboldt. I have interpreted and analyzed the story, with special focus on the two main
characters, and in which ways they are affecting the book. By doing that I have concluded that the
two main characters have used their own individual way of ‘measuring the world’, but only by
combining them it created the founding of modern science.
Also, I have described how the longitude and latitude system can be compared to the regular
Cartesian coordinate system. With this knowledge, I have tried to clarify the different methods for
measuring ones geographic coordinates.
Finally I have concluded that throughout time, human has by measuring angles of different objects
in space, used celestial navigation to knowing where they were.
Side | 2 af 27
Indholdsfortegnelse
Abstract……………………………………………………………………………………………s. 1
Indledning…………………………………………………………………………………………s. 3
Problematikkerne ved at afbilde jordkloden på et plant landkort. ………………………..…s. 3
Jordens gradnet……………………………………………………………………………...……s. 4
Bestemmelse af bredde- og længdegrader ……………………………………………...………s. 5
Breddegradsmåling, før moderne navigation………………………………………...…………s. 7
ud fra Nordstjernen……………………………………………………………….……………s. 8
Himmelkuglen med jorden som centrum………………………………………………………s. 9
ud fra et himmellegeme………………………...…………………………………………….s. 10
Opfindelsen af kronometret………………………………………………………………….…s. 12
Triangulering………………………………………………………………………………….…s. 12
Opmålingen af Verden………………………………………………………………………..…s.14
Konklusion ………………………………………………………………………………………s. 21
Bilag………………………………………………………………………………………………s. 23
Litteraturliste ……………………………………………………………………………….…..s. 26
Side | 3 af 27
Indledning
Lige så længe mennesket har eksisteret, har der været interesse i den jord vi lever på. Udforskning
og opmåling af verden har altid fundet sted, og der er hele tiden blevet opdaget nye metoder til
navigation og kortoptegnelser.
Jeg vil i min opgave forsøge at beskrive nogle af de metoder, der har været brugt til at opmåle
verden gennem tiden. Samtidig vil jeg belyse de problematikker, der har været knyttet til
metoderne, samt til at afbilde kloden på et plant kort.
Jeg vil samtidig fortolke og analysere Daniel Kehlmanns roman ”Opmålingen af verden”, med
speciel fokus på de to hovedkarakterer. Hertil vil jeg undersøge, hvordan deres verdenssyn påvirker
handlingsforløbet, samt deres tilgangsmåder til at opmåle verden. I den forbindelse vil jeg også
undersøge, hvordan deres baggrund har påvirket dem til at anskue verden som de gør, og hvordan
disse idealer videregives til Gauss’ søn Eugen.
Problematikkerne ved at afbilde jordkloden på et plant landkort.
Vi ved i dag, at kloden er (næsten) rund. Dog bliver den for det meste afbildet på et plant landkort
frem for på en globus. Der er unægtelig nogle problematikker ved dette.
Disse problemer bygger blandt andet på, at der findes mere end den traditionelle plane geometri,
som vi normalt arbejder med. Reglerne for denne geometri blev fastlagt af Euklid, i form af hans
postulater fra omkring 300 f.v.t. Disse postulater beskriver i korte træk, hvordan vinkler og linjer
opfører sig i planen.
1
Siden da er der dog blevet udarbejdet andre lige så konsistente geometrier. Disse består netop i at
betragte det krumme rum som en brugbar geometri, på fod med det plane. Disse alternativer kan
betegnes som sfærisk geometri eller ikke-euklidisk geometri. Carl Freidrich Gauss, som er en af
hovedkaraktererne i ”Opmålingen af verden”, var en af de matematikere, der kom frem til et sådan
alternativ til den traditionelle geometri.
2
Læren om ikke-euklidisk geometri handler blandt andet om, hvordan linjer og vinkler opfører sig
anderledes i det krumme rum end på den plane flade. Blandt andet er det et faktum i den euklidiske
matematik, at en vilkårlig trekants vinkelsum er 180˚.
3
Dette kan modbevises med den ikke-
euklidiske matematik, hvor der let kan konstrueres en trekant med en større vinkelsum.
1
Gymportalen.dk, Euklids matematik
2
Viden.jp.dk, (Jyllandsposten),pdf-fil, Matematikkens og rummets natur, 2003
3
”TRIP’s matematiske GRUNDBOG”, Hans Sloth, Forlaget TRIP 2005 (s. 52 - sætning 14,2)
Side | 4 af 27
Man behøver dog ikke at vide meget om ikke-euklidisk matematik for at forstå problematikken, når
jorden skal projekteres ned på et kort.
I og med at kloden er rund, bliver breddegradernes længde kortere og kortere, jo længere væk fra
ækvator man bevæger sig. Ved et rektangulært kort, vil alle breddegrader til gengæld være lige
lange. Dette medfører selvfølgelig en voldsom fortegnelse ved de nordlige og sydlige dele af verden
ved projektering.
Hvis man prøver at folde et kort ud på en globus, vil det derfor blive en cylinder i stedet for en
kugle. Dette ses illustreret i Bilag 1, hvor der også er vist andre projektioner.
Trods upræcisheden vil et kort dog godt kunne bruges til navigation, så længe længde- og
breddegrader er placeret korrekt på kortet.
Hvis man skulle lave et kort, der arealmæssigt var tilsvarende en kugle, skulle det projekteres som i
Bilag 2. Denne forvrængning giver dog ikke nogle problemer i forhold til navigation, da man i den
sammenhæng benytter sig af koordinater til præcis stedsbestemmelse, i stedet for at kigge på et
kort.
Forvrængningen giver til gengæld folk en hel forkert opfattelse af verden.
På de fleste kort ser Grønland ud til at være mindst lige så stor som fx Australien (se Bilag 3),
selvom Australiens areal er mere end tre gange større end Grønlands.
4
Dette skyldes netop, at der
indgås nogle kompromisser, når kloden projekteres ned på et kort, så fx Grønland, Alaska og
Sydpolen kommer til at virke langt større end de er, grundet deres nordlige/sydlige beliggenhed.
Jordens gradnet
I dag er en GPS en integreret del af de flestes hverdag, hvilket er muligt, da man har defineret et
helt præcist gradnet med længe- og breddegrader. Idéen om dette gradnet har eksisteret i flere 1000
år, og menes først at være bestemt af Ptolemæus i antikken.
5
Siden da har det været kendt af mange,
hvordan man kunne beregne breddegrader, mens længdegradernes bestemmelse var et mysterium
indtil opfindelsen af kronometeret i 1735.
6
Denne overgang er også beskrevet i ”Opmålingen af Verden”, hvor Alexander von Humboldt på et
tidspunkt er døden nær, da skibet er kommet ud af kurs på grund af storm, og man ikke har nogen
måde at navigere på.
7
Senere får Gauss’ søn Eugen at vide af en kaptajn, at man nu er i stand til at
4
Viden.jp.dk, (Jyllandsposten), Landefakta
5
Emu.dk, Jordens gradnet, Erathostenes og navigation
6
”Manden der målte længdegraden”, Dava Sobel, Borgens forlag A/S, 1997, (bagsiden)
7
”Opmålingen af verden”, Daniel Kehlmann, Forlaget Per Kofod ApS 2006, (s. 276 l. 21)
Side | 5 af 27
sejle uden astronomisk navigation, da kronometret er blevet opfundet.
8
Denne opfindelse og dens
betydning for navigation vil jeg komme ind på igen senere.
Det er i dag kendt at jorden er en ellipsoide, hvilket fremkommer, hvis man drejer en ellipse 360
grader om sin egen lodrette akse. På trods af dette tager gradnettet, som vi kender det i dag,
udgangspunkt i jorden som en kugle. Man bruger altså nogle tilnærmelser der giver et tilstrækkeligt
præcist resultat til navigation.
9
Når man kigger på jorden, som en kugle, betragter man klodens to poler som endepunkter, der kan
forbindes med en midterakse (jordaksen). Samtidig kan kuglen deles af et plan på midten, som
kaldes ækvatorplanet. På denne måde kan man danne to halvkugler, der betegnes som den sydlige
og den nordlige halvkugle.
Forudsætningen for at bruge dette gradnet er altså, at man betragter jorden som en kugle,
hvor jordaksen og ækvatorplanet står vinkelret på hinanden og krydser i kuglens centrum.
Parallelt med ækvatorplanet, mellem de to poler, kan der lægges et uendeligt antal planer. Planernes
skæringslinje med jordoverfladen kaldes breddeparalleller og nogle af disse symboliserer de
vandrette linjer i klodens koordinatsystem.
Ligesom der er et uendeligt antal planer, kan der også lægges et uendeligt antal halvcirkler, langs
jordoverfladen, der forbindes af polerne. Disse halvcirkler kaldes meridianer. Nogle af disse
meridianer udgør de lodrette linjer i jordens koordinatsystem.
Da alle breddeparalleller står vinkelret på jordaksen, og alle meridianerne forbindes af
jordaksens to endepunkter, vil alle meridianer skære alle breddeparalleller i 90˚
Udvalgte meridianer og breddeparalleller udgør i dag hvad vi kender som det globale gradnet,
hvilket definerer et slags koordinatsystem på jordens overflade.
10
Bestemmelse af bredde- og længdegrader
For at kunne bruge gradnettet i praksis, er der selvfølgelig også blevet fastlagt en metode til at måle
de geografiske vinkelgrader. Hvordan længde- og breddegrader bestemmes kan beskrives ud fra
figur 1.
Jeg har her bestemt et punkt, A, til at være den lokation hvortil koordinaterne skal bestemmes.
8
”Opmålingen af verden”, Daniel Kehlmann, Forlaget Per Kofod ApS 2006, (s. 285 l. 9
9
geomat.dk, dokument, bestemmelse af jordens form, april 2004
10
”Navigation - sømandskab og sikkerhed”, Albrechtsen, Svend, Dansk Sejlunion 2003, (s. 7-9)
Side | 6 af 27
For at bestemme punktets breddegrad tager man udgangspunkt i jordens centrum, C. Derfra
forestiller man sig en lige linje ud til punktet A, og ligeledes en lige linje der følger ækvatorplanet
til der hvor planet skærer den lokale meridian for punktet A. Dette skæringspunkt har jeg kaldt B.
Man kan her konstruere en trekant ABC, hvor
Hvis lokationen var på den sydlige halvkugle, ville fremgangsmåden være den samme, men resultat
skulle skrives med negativt fortegn. Man kan i stedet for at bruge positive og negative fortegn i
stedet bruge nordlige og sydlige grader.
Ved navigation skriver man i øvrigt ikke graderne med decimaltal, men i stedet med minutter (’) og
sekunder (’’), hvor 1 minut=1/60 grad, og 1 sekund=1/60 minut.
11
For at have et system til at bestemme længdegraderne, har man fastlagt en førstemeridian at gå ud
fra. Denne blev placeret i Greenwich, London, da det bedste observatorium var placeret her, da det
globale gradsystem blev fastlagt i 1884.
12
For at bestemme længdegraden skal man igen tage udgangspunkt i jordens centrum, C.
Herfra betragter, man linjen, hvor førstemeridianen og ækvatorplanet følges til jordoverfladen.
Dette punkt på jordoverfladen kaldes her D. Samtidig bruger men punktet B, som også blev brugt til
at finde breddegraden. Her kan ligeledes konstrueres en trekant, BCD, hvor
.
Man kan principielt lægge trekanten BCD hvor som helst, så længe det er opfyldt, at punktet C
ligger på jordaksen, og at punkterne D og B ligger på henholdsvis førstemeridianen og
lokalmeridianen for punktet A. Selvfølgelig stadig under forudsætning af, at punkterne alle ligger
på samme breddeparalleller, og altså står vinkelret på jordaksen.
13
Ved længdegraderne gælder samme gradsystem som ved breddegraderne. Der kan være op til 180˚
positivt/østligt og negativt/vestligt. Stedet, hvor det skiller, er naturligvis på den komplet diametrale
side af jorden end London, det vil sige den mest østlige del af Rusland (tæt på Alaska), hvilket
kaldes datolinjen.
14
Med denne metode kan man fastsætte enhver lokations geografisk koordinatsæt, (længdegrad,
breddegrad), tilsvarende (x,y) i et normalt koordinatsystem.
15
11
fagteori.dk, Vinkelmåling,
12
vucnordjylland.dk,pdf-fil, Jorden er rund
13
”Navigation - sømandskab og sikkerhed”, Svend Albrechtsen, Dansk Sejlunion 2003, (s. 7-10)
14
Denstoredanske.dk, Datolinjen, 29/10/2011
15
education.usgs.gov , pdf-fil, Teaching about and using coordinate systems, august 2013
Side | 7 af 27
Breddegradsmåling, før moderne navigation
Denne måde at måle længde- og breddegrader er selvfølgelig ikke mulig at benytte i praksis. Der
har man været nødsaget til at finde andre metoder. Op til slutningen af 1700-tallet kunne man, som
tidligere nævnt, kun måle breddegraderne, hvilket var problematisk for rejsende, især på havet, hvor
der ikke var nogen pejlemærker. Her kunne man i stedet bruge sin viden om planeter og stjerner, til
at bestemme breddegraden.
16
”Man sejlede så nogenlunde langs en breddegrad, og på et eller andet tidspunkt var man der”
17
Dette siger en kaptajn til Humboldt, og beskriver præcist hvordan oceannavigationen fungerede
inden bestemmelsen af længdegraderne.
For at forstå metoderne hvor man måler et himmellegeme, er det nødvendigt at vide hvad en
himmelkugle er. En himmelkugle er en kugle på jordens overflade med en observatør som centrum.
Kuglen er blot en abstraktion, hvilket vil sige at placering og størrelse kan variere. For at beskrive
begreberne til himmelkuglen, vil jeg sammenligne den med jordkloden, og bruge figur 2, hvor den
brune kugle er kloden, mens den blå kugle er himmelkuglen for personen i punktet P.
I himmelkuglen kan horisonten, for den person der er anbragt i punktet P, sammenlignes med
ækvator. Radius på himmelkuglen kan dog variere i modsætning til ækvator.
Denne horisont kaldes horisontplanen og udgør altså et tangentplan til jorden.
Linjen, vinkelret på horisontplanen væk fra jordens centrum, kaldes zenit. Samme linje, men mod
jordens centrum, kaldes nadir. Zenit og nadir kan således sammenlignes med klodens nord og
sydpol.
Figur 2: http://www.geomat.dk/opdagelser_og_navigation/opdagelser/w2004/Navigation_rev04-
filer/image016.gif
Man brugte normalt vis, til disse målinger, en kvadrant eller et astrolabi. Disse er begge
instrumenter der er opfundet omkring 150 fvt. Selvom de var gode nok til datidens brug var de dog
ikke altid præcise. Dette skyldtes i særdeleshed at målingerne foregik håndholdt, og dette er et
åbenlyst problem, når man befinder sig på havet.
18
16
geomat.dk Måling af længdegrad ved observation af solhøjden
17
”Opmålingen af verden”, Daniel Kehlmann, Forlaget Per Kofod ApS 2006 (s. 42. l. 21)
18
”Navigationens Udvikling -og lidt om hans liv og håndbøger”, Jens Kusk Jensen, Specialtrykkeriet Viborg, 2003 (S. 30-34)
Side | 8 af 27
Senere blev sekstanten det mest brugte vinkelmålingsredskab. Dette var nyttigt i et større omfang,
da det, i modsætning til kvadrant og astrolabi, både kunne måle lodrette og vandrette vinkler
19
Breddegradsbestemmelse ud fra Nordstjernen
Lettest er det at navigere ud fra Nordstjernen, denne har en konstant position, ca 1˚ fra stik nord, og
har derfor en vinkel på ca. 90˚ i forhold til ækvator. Denne afvigelse er så lille, at det ikke har nogen
betydning for målingen.
20
Til navigation ud fra Nordstjernen brugte man denne viden:
Den geografiske bredde=P’s vinkel mellem nordpolen og P’s horisont
For at kunne bevise dette, vil jeg forsat bruge Figur 2, hvor P angiver en person.
Vi ved allerede, at personens breddeposition er vinklen mellem ækvatorplanet og den lige linje
mellem punktet P og jordens centrum. Denne vinkel kaldes b. Den resterende vinkelsum mellem
ækvator og jordaksen kaldes her y. Da vi ved at ækvatorplanet står vinkelret på jordaksen, kan det
siges, at der er 90˚ imellem dem. Dermed gælder det, at . Samtidig ved vi, at zenit, til
personen P, er i forlængelse med linjen, der går direkte ind til jordens kerne. Vi ved også at P’s
zenit står vinkelret på P’s horisont, og dermed er vinklen 90˚.
Da Nordstjernen er tilstrækkeligt langt væk, er retningen mod den ens, uanset hvor på kloden man
befinder sig. Derfor vil vinklen for P mellem Nordstjernen og P’s zenit være samme størrelse som
y. Dermed har vi fundet ud af, at der på illustrationen kan vises to ens vinkler, der begge er
markeret med y. Samtidig kan vi vise, at de begge befinder sig i et opmåleligt felt på 90˚. Da jeg
tidligere konstaterede, at , kan jeg altså nu sige, at den resterende del af de 90˚ mellem
P’s horisont og P’s zenit har samme vinkel som b.
Det er dermed vist, at den geografiske bredde for punktet P har samme vinkel som vinklen mellem
P’s horisont og Nordstjernen.
Dog er der en masse begrænsninger ved at bruge denne metode. Først og fremmest er man afhængig
af, at det er nat, idet Nordstjernen kun kan ses her. Derudover skal himlen også være tilpas klar, før
stjernen kan ses. Tidsrummet, hvori man kan kende sin breddegrad, bliver altså voldsomt
indskrænket.
i takt med, at Europæerne begyndte at udforske mere sydlige områder af verden. Dette skyldes, at
Nordstjernen nærmer sig P’s horisont, når P nærmer sig ækvator, hvor breddegraden=0˚. Idet man
krydser ækvator er Nordstjernen altså ikke længere synlig, og man ville være afhængig af, at der var
19
”Oceannavigation for sejlere”, Bent J. Friis, Forlaget Kurs, 1998 (s. 48)
20
Denstoredanske.dk, Nordstjernen, 25/06/2013
Side | 9 af 27
en tilsvarende ”Sydstjerne”.
21
Endeligt var vinkelmålingsinstrumenterne fra den tid ikke fuldstændigt præcise.
Himmelkuglen med centrum i jorden
(beskrevet ud fra figur 3: http://www.geomat.dk/opdagelser_og_navigation/opdagelser/w2004/Navigation_rev04-
filer/image020.gif )
Idet man ved, hvornår solen eller et andet himmellegeme kulminerer, det vil sige står højest på
himlen, kan man bruge en af disse til bestemmelse af breddegrader.
Denne metode er i sin forståelse en del mere avanceret, men er i praksis næsten lige så let at måle.
For at forstå himmellegemers bevægelse på himlen, vil jeg først redegøre for himmelkuglen med
jorden som centrum. Denne himmelkugle er også en abstraktion. Den har altså ikke nogen bestemt
radius, da meningen med den er, at forstå vinkler mellem forskellige himmellegemer og ikke deres
afstand fra jorden.
22
Man lader himmelkuglen følge ekliptika, som er en storcirkel der ligges rundt
om jorden, med en 23,5˚ vinkel til himlens ækvator. Himlens ækvator er blot forlængelse af jordens
ækvator ud i himmelrummet. Ekliptika er den bane, som det fra jorden ligner, at solen bevæger sig
langs i løbet af et år, men da det er jorden der er i kredsløb om solen, kan det selvfølgelig ikke siges,
at ekliptika er solens bane om jorden.
23
Stjernerne følger også nogenlunde ekliptika, og den er
derfor relevant for denne metode, uanset om det er solen eller andre stjerner der bruges til
bestemmelse af breddegrader.
Ekliptikas to skæringspunkter med himlens ækvator kaldes henholdsvis forårs- og efterårspunktet,
og disse skæringer finder sted ca. 20. marts og 22. september.
24
Forårspunktet bliver brugt som
nulpunktet i et sfærisk koordinatsystem til at bestemme himmellegemers deklination. Deklination er
en betegnelse for vinklen mellem et himmellegeme og himlens ækvator målt fra jorden. Det er
irrelevant hvor fra jorden det måles, da distancerne er så store, at det ikke vil have nogen reel
indflydelse på resultatet.
25
For at vide hvordan deklinationerne beregnes skal man sætte sig ind i det
sfæriske koordinatsystem, som har tre akser i stedet for kun to som der typisk arbejdes med.
26
Grundet denne opgaves begrænsede omfang, vil jeg her benytte mig af at astronomer siden oldtiden
har nedskrevet himmellegemers deklination i almanakker, der kunne bruges til navigation.
Derfor ved man også at solens deklination kan beskrives med denne ligning:
21
Geomat.dk, Astronomisk navigation
22
Klid.dk, Himmelkuglen
23
Klid.dk, Ekliptika
24
Klid.dk, Jævndøgnspunkterne
25
Matematiksider.dk, Nogle principper i navigationen
26
math.aau.dk, dokument, Sfærisk geometri
Figur 3
Side | 10 af 27
, hvor n er dagens nummer.
27
Man ved at solens deklination højst kan være omkring 23,5˚ (nordligt), og mindst ca. -23,5˚
(sydligt). Idet den rammer forårs- eller efterårspunktet vil dens deklination således være 0˚.
Breddegradsbestemmelse ud fra et Himmellegeme
(beskrevet ud fra Bilag 4)
Det er givet, at man kan måle sin breddegrad, , ved at bruge ligningen ,
28
hvor er
himmellegemets deklination, mens er himmellegemets zenitdistance, som skal måles mens
himmellegemet kulminerer. Zenitdistancen er vinklen der fra punktet P måles mellem zenit til P og
himmellegemets højde fra P. Det er vigtigt, at dette måles imens himmellegemet står højest på
himlen, da resultatet ellers vil blive forkert. Man måtte altså være opmærksom på, hvornår solen
stod højest på himlen. Man kunne eventuelt lave flere målinger omkring middagstid, og derefter
udvælge den, hvor himmellegemets vinkel var størst.
Da det ikke er let at måle en vinkel fra zenit, der jo går lodret op, er det lettere at måle
himmellegemets højde fra horisonten. Derefter kan z bestemmes ved , hvor h er
himmellegemets højde. Dette kan man gøre, da det vides, at vinklen mellem horisonten og zenit er
90˚, da de står vinkelret på hinanden.
Derfor kan ligningen, til at finde breddegraden for et givent punkt ved måling af et himmellegeme,
altså også skrives som .
At denne sætning er gældende, ses også i Bilag 4.
Her er breddegraden for personen anbragt i punktet P betegnet β. Det ses, at denne vinkel kan
inddeles i to; solens deklination (δ) og vinklen z. Det påstås at vinklen z har samme vinkel som
zenitdistancen for personen anbragt i punktet P, hvilket jeg vil vise i det følgende.
Det ses at zenitlinjen, for punktet P, er en forlængelse af den rette linje mellem P og jordens
centrum. Da himmellegemets vinkel til punktet P, kan betragtes som værende den samme som
himmellegemets vinkel til jordens centrum, kan det siges at de to gule vinkler i bilaget er lige store.
Det ses altså, at zenitdistancen for P adderet med himmellegemets deklination er det samme som
breddegraden, hvorpå personen i punktet P befinder sig.
27
formel.dk, Solens deklination
28
Geomat.dk, Astronomisk navigation
Side | 11 af 27
Jeg vil i det følgende vise et eksempel på, hvordan man udregner sin breddegrad ud fra et
himmellegeme. Her vil jeg tage udgangspunkt i solen, så jeg kan bruge den tidligere nævnte ligning,
som er lavet til netop at bestemme solens deklination:
, hvor n er dagens nummer.
Jeg bruger datoen i dag, den 14/12-2013, og regner mig frem til hvilken nummer dag på året det er:
31+28+31+30+31+30+31+31+30+31+30+14=348
Jeg indsætter min værdi i ligningen og udregner ved hjælp af Wordmat:
Dette resultat passer meget godt, da vi næsten er lige midt imellem solens krydsninger med efterårs-
og forårspunktet. Derfor var det også forventeligt, at resultatet ville være meget tæt på minimum
som ca. er -23,5˚. (Dette tal burde omregnes til minutter og sekunder i stedet for decimaler, men da
mine andre følgende værdier er meget upræcise, har jeg valgt ikke at gøre dette.)
Idet jeg hverken har en kvadrant, sekstant eller noget andet vinkelmålingsinstrument, er det
selvfølgelig umuligt for mig at bestemme en præcis vinkel til solen. Derfor er min udregning meget
upræcis, men den giver alligevel et godt eksempel på, hvordan metoden fungerer.
Jeg kiggede på solen da klokken var 12.00 og brugte en gammel skønsmetode til at beregne solens
højde. Her står man med strakt arme og knyttet næve, pegende ud mod horisonten. Man måler hvor
mange knytnæver man kan have mellem horisonten og solen, hvor en knytnæve ca. svarer til 10˚.
29
Da jeg målte afstanden til at være lidt mere end 1 knytnæve, og har en lille hånd, antog jeg at solens
højde ca. var 10˚. Jeg indsætter mine værdier i ligningen for bestemmelse af breddegraden, og
udregner:
Dette resultat passer meget godt, da jeg ved jeg ca. befinder mig på 55˚ nordlig bredde.
30
Opfindelsen af kronometret
Som sagt skete der en markant ændring i navigationshistorien i slutningen af 1700-tallet. Dette
skete i forbindelse med, at en britiske længdegradskommission udlovede et enormt beløb, til den der
kunne fremstille et ur, der både kunne tilpasse sig ændring af kurs, luftfugtighed og temperatur.
29
Nafa.dk, pdf-fil, De mørke tider kommer, 27/06/2010
30
findkoordinater.dk
Side | 12 af 27
Med et ur der kunne vise den præcise tid i Greenwich, ville man kunne bestemme længdegraden
for, hvor man var.
31
Det var faktisk allerede i 1736, at John Harrison lavede det første præcise sø-ur, men da han ikke
var af nogen høj profession, måtte han gå meget igennem, før uret sidst i 1700-tallet blev officielt
godkendt og brugt til oceannavigation.
32
Nu havde man altså et ur med den nøjagtige tid ved førstemeridianen. Samtidig vidste man, hvornår
himmellegemet man målte stod i zenit. Hvis man fx målte solen idet klokken var 12 og uret viste, at
klokken var 10 i Greenwich, vidste man, at man var 2/24 vest for førstemeridianen. Dermed kunne
man bestemme den længdegrad, hvorpå man befandt sig, til at være
vest.
Triangulering
Så længe mennesket har været på jorden er der blevet lavet kort. Det er praktisk at have et overblik
over forskellige destinationers beliggenhed i forhold til hinanden, så man har nemt ved at finde et
sted igen. Det første egentlige kort, der er fundet, er omkring 8000 år gammelt, og vidner om, at
mennesket altid har haft et behov for at projektere jorden ned til en overskuelig størrelse.
33
En af de banebrydende teknikker, til at få et forholdsvist velopmålt kort, var triangulering.
I ”Opmålingen af Verden” bliver Gauss sat til at opmåle landjord ved hjælp af denne metode: ”Når
man kendte en side og to vinkler i en trekant, kunne man bestemme de andre sider og den ukendte
vinkel.”
34
Her beskriver Gauss selv for sine to kommende koner, hvordan han bærer sig ad, når han
opmåler landsskabet. Til denne metode benytter man sig af trigonometri, som behandler relationen
mellem en trekants sider og vinkler, med udgangspunkt i enhedscirklen.
35
Metoden blev blandt
andet brugt i Danmark i 1760'erne og frem, hvor Thomas Bugge var i front, for at lave det første
præcise danmarkskort.
36
I praksis brugte man et målebord til at måle forskellige længder mellem udvalgte punkter. På denne
måde kunne man udregne mindre arealer, som efterfølgende kunne sammensættes til ét kort.
Der var dog nogle kritikpunkter ved denne metode, blandt andet gav det unøjagtigheder i
”samlingspunkterne”, når man satte de små kort sammen. Derudover kunne papirerne, hvor kortene
31
”Manden der målte længdegraden”, Dava Sobel, Borgens forlag A/S, 1997, (s.92 - l. 2)
32
”Navigationens Udvikling -og lidt om hans liv og håndbøger”, Jens Kusk Jensen, Specialtrykkeriet Viborg, 2003 (S. 148)
33
”Kort og Geografi - kortets udvikling, anvendelse og didaktik”, N. Kjeldsen og O. Pedersen, Gyldendal 2009, (s. 24)
34
”Opmålingen af verden”, Daniel Kehlmann, Forlaget Per Kofod ApS 2006, (S. 83 - l. 30)
35
Ug.dk, Teodolit og totalstation, pdf-fil, februar 2009
36
Gymportalen.dk, Danmarks kortlægning
Side | 13 af 27
var nedtegnede på, krympe, hvilket førte til størrelsesforskelle i målestokken.
Her var det, man begyndte at benytter sig af triangulation. Dette bestod i, at man lagde et net af
trekanter over landet, hvilket kunne hjælpe til at sammensætte de mindre kort korrekt. Ved
triangulering måler man et linjestykke præcist. Derefter vælges der et element, for eksempel et tårn,
en bakke eller lignende, der kan ses tydeligt fra begge ender af den rette linje.
37
Herefter benyttes sinusrelationerne, der lyder som følger:
I en vilkårlig trekant ABC gælder følgende:
Det vil sige, at man ud fra to vinkler og en linje kan regne de resterende værdier ud.
38
For at prøve metodens anvendelse, har jeg udvalgt tre punkter: hjemme hos mig selv i Tjæreborg,
Rybners og et punkt i Varde. Da jeg ikke har apparaterne til målingerne, benytter jeg mig af Google
Maps, til at måle afstanden mellem mit hjem og skolen (se Bilag 5). Derefter forestiller jeg mig, at
der er et punkt i Varde, som jeg kan se fra mit hjem, A, samt fra skolen, B. Jeg ved at |AB| er 9 km i
luftlinje. Jeg benytter herefter mit kort (se Bilag 5) til at placere et punkt, C, i Varde og forbinder
det med punkt A og B med rette linje. Derefter måler jeg vinklerne A og B og udregner de
resterende værdier.
Jeg måler at .
Selvom jordens overflade er krum, approksimerer jeg her, at jeg kan bruge reglerne for plan-
geometri, idet afstandene ikke er længere. Derfor ved jeg, at vinkelsummen i en vilkårlig trekant er
180˚. Altså gælder det at:
Da jeg nu kender |AB| og , og , kan jeg også udregne |AC| og |BC|.
37
”Kort og Geografi - kortets udvikling, anvendelse og didaktik”, N. Kjeldsen og O. Pedersen, Gyldendal 2009, (s. 48)
38
”TRIP’s matematiske GRUNDBOG”, Hans Sloth, Forlaget TRIP 2005 (s. 86 - sætning 28,6)
Side | 14 af 27
Dermed har jeg udregnet at afstanden imellem Tjæreborg og Varde er ca. 18 km. i luftlinje, mens
afstanden mellem Rybners og Varde ca. er 16,5 km. Bemærk at dette kunne gøres uden at have
været i Varde.
Mine målinger er naturligvis ikke præcise nok, hvis man skal lave et rigtigt kort, da jeg, som
tidligere nævnt, ikke har de rette måleinstrumenter.
Selvom det var banebrydende at bruge triangulering, er det dog ikke noget der kan bruges på særligt
store arealer. Dette skyldes igen jordens krumning, der gør det umuligt at se objekter, der er meget
langt væk. Hvis der alligevel er et objekt, der er tilstrækkeligt højt til at kunne ses, vil resultaterne
ikke blive præcise med ovenstående plan-geometri, da man så skulle benytte sig af sfærisk
trigonometri i stedet.
Opmålingen af verden
Opmålingen af Verden er en roman af den tyske forfatter Daniel Kehlmann. Bogen er fra 2005 og
har, udover at have ligget øverst på den tyske bestsellerliste, også fundet vej til 36 andre lande.
Bogen beskriver de to excentriske videnskabsmænd Alexander von Humboldt () og Carl
Freidrich Gauss (). De to er på næsten alle måder forskellige, men har dog den samme
passion for og trang til at undersøge og udforske verden.
Romanen tager altså udgangspunkt i to ikke-fiktive personer. Derudover er de fleste begivenheder i
store træk virkelighedstro, og flere elementer af romanen kan dokumenteres historisk.
Med dette sagt er det dog vigtigt at understrege, at størstedelen af bogen er fiktion. Da Kehlmann
naturligvis ikke kan skrive en komplet virkelighedstro fortælling om de to mænd, som var han dem,
har han i stedet fundet en gylden middelvej. Denne genre kaldes faktion. Dermed har han haft
Side | 15 af 27
mulighed for at forme de to unikke personligheder, lige som han vil, hvilket er med til at fastholde
læseren og gøre historien interessant. Stadig er det let som læser at relatere til personerne, da man
ved at romanen er bygget på historiske personligheder.
Bogens disposition er en smule uortodoks. Den er inddelt i 16 kapitler, der alle er navngivet med et
navneord i bestemt form. I kapitel 2-10 er de to hovedpersoners liv beskrevet, hvor man først hører
om deres baggrund og senere om deres bedrifter som videnskabsmænd. Dette foregår skiftevis,
således at der i lige kapitler bliver skrevet om Humboldt, mens der i ulige kapitler bliver skrevet om
Gauss. I kapitel 11-16 er vi længere fremme i tiden. Her fortælles der, i kronologisk rækkefølge, om
Gauss og hans søn Eugens besøg hos Humboldt i Berlin. Kapitel 1 er et flashforward, til netop
denne tur til Berlin. Idet dette er begyndelsen på romanen, kan det også betragtes som om, at dette
kapitel samt kapitel 11-16 er selve handlingsforløbet, mens kapitel 2-10 er ét langt flashback, der
giver os et indblik i de to videnskabsmænds baggrund og personlige udvikling.
At Kehlmann har valgt denne lidt atypiske struktur, kan måske også forklare, at han har valgt at
bruge 3. persons fortæller, idet han så ikke binder sig til én bestemt fortæller, men i stedet kan
springe rundt imellem scenerne.
”Hvis de kom tilbage til kysten, ville han sende det hele til sin bror [...] Først da ville han rejse
videre til Cordillererne”
39
Dette citat viser, ud over at det er en 3. persons fortælling, at det også er
en eksplicit fortæller, idet der fortælles om Humboldts tanker, hvilke en implicit fortæller ikke ville
have haft adgang til. Det er dog ikke altid der skelnes mellem tanker og tale, og det kan nogen
gange være svært at gennemskue, hvad der er hvad.
Noget af det helt essentielle i romanen er, hvordan de to hovedpersoner har hver deres tilgang til
videnskaben såvel som til livet. Humboldt har en hungren efter at afprøve alting i praksis. Han vil
ud og rejse, og vil opmåle verden med sine egne hænder og sin egen forstand. Gauss er derimod
langt mere reserveret. Han bryder sig ikke om at forlade sit hjem, og er generelt meget
tryghedssøgende. Til gengæld har han hjernekapacitet til at se verden i et helt nyt perspektiv. Han
kan, udelukkende ved hjælp af logikken, komme frem til indviklede matematiske beviser, og
behøver derfor ikke at tage længere væk end sit skrivebord.
At disse to personer er så karakteristiske, tror jeg også har påvirket Kehlmanns opbygning af
handlingsforløbet. For mig at se er det en god metode at få læseren til at forstå de to personer bedre.
At de kort bliver præsenteret i starten gør, at man i de efterfølgende kapitler bliver mere
39
Side 133, linje 16
Side | 16 af 27
opmærksom på, hvorfor de mon er endt med de personligheder, som de er, på deres ældre dage.
Samtidig er denne ikke-kronologiske opbygning med til at symbolisere de to individers indre kaos.
Dette kaos kommer til udtryk igennem hele bogen, da det ikke altid beskrives tilstrækkeligt, hvem
der siger hvad, og man må genlæse nogle passager for at forstå hele konteksten. I indledningen af
de fleste kapitler introduceres miljøet og karakterene heller ikke. Efterhånden som man
gennemskuer systemet i opbygningen, er det ikke noget problem, men i de første kapitler kan man
nogen steder læse et par sider, inden det står helt klart, hvem og hvad der beskrives.
De to videnskabsmænd levede i oplysningstiden, hvilket også har inspireret forfatteren. I bogen
bliver Immanuel Kant flere gange inddraget, og hans filosofi kan være med til at forklare de to
videnskabsmænds virkelighedsopfattelse. Et af de store diskussionsemner i oplysningstidens
filosofi var, hvorvidt empirismen eller rationalismen var den sande vej til oplysning. Empirismen
bygger på tanken om, at mennesket kun kan opnå forståelse ved sanseerfaring. Denne filosofi lever
Humboldt meget stringent efter, mens Gauss er et glimrende eksempel på en person, som lever
under rationalismens forudsætninger. Rationalismen mener, at viden kommer fra menneskets
fornuft, og at man kun kan opnå erkendelse ved hjælp af logik og rationalitet. Kant selv var kendt
for erkendelsesteorien, der har elementer fra begge ismer.
40
Gauss og Humboldt begynder i de sidste kapitler af bogen bedre at forstå hinandens måder at
anskue verden på. De kommer tættere på en anerkendelse af den andens tilgang til
naturvidenskaben, og lægger mærke til fejlene ved de fremgangsmåder, de selv har brugt i løbet af
deres liv. Denne erkendelse kan også forstås som et symbol på, hvordan oplysningstidens teorier til
sidst smeltede sammen og skabte vejen for nye tider.
Humboldt kommer fra en velhavende familie. Hans far døde tidlig, så Humboldt og hans storebror
Wilhelm blev opdraget af moren samt tjenestefolk. Idet de kom fra en rig familie, var det
forudbestemt, at de begge skulle være veluddannede. Humboldt beskrives allerede fra starten som
meget eventyrlysten. ”Når man overlod ham til sig selv, strejfede han rundt i skoven, samlede biller
og ordnede dem efter selvopfundne systemer”
41
Hans empiristiske tilgang til videnskab er altså
noget, der har fulgt ham hele livet, og det er netop denne tilgang, der driver hans rejser.
I hjemmet oplæser hushovmesteren historier af overnaturlig karakter. ”Det var nødvendigt,
erklærede Kunth, at møde mørket var en del af at blive voksen, den, som ikke kendte den
40
Wikispaces.com, Rationalisme kontra empirisme, samt Kants erkendelsesteori
41
Side 18, linje 19
Side | 17 af 27
metafysiske angst, ville aldrig blive en tysk mand”
42
. Denne overtro tager Humboldt med sig på sin
rejse, trods han er en videnskabens mand.
Blandt andet hallucinerer han om en hund, han tidligere havde med på sin rejse, idet han står på
toppen af et bjerg.
43
Humboldt kan her både mærke optiske og fysiske problemer. Der er
selvfølgelig en naturvidenskabelig forklaring på dette, men i stedet får man en fornemmelse af at
der er noget overnaturligt på spil.
Gauss bliver i bogen beskrevet som et geni. Allerede som barn retter han noget af sin fars
matematik, og gør sig flere overvejelser der ikke afspejler hans alder: ”Længe havde han troet, at
folk spillede komedie eller overholdt et ritual, som forpligtede dem til altid først at tale eller handle
efter en kort pause.”
44
Dette afbilder, hvordan han føler sig mentalt skarpere end både jævnaldrende
og voksne. Han lærer at læse på en dag og færdiggør bogen samme aften. Han betragter bogstaverne
som geometriske figurer, hvilket igen beskriver hans matematiske tilgang til tilværelsen. Dette
opdager man også, da Gauss, hver gang han er nervøs, tæller primtal.
Gauss mor er analfabet og beskrives kun med negativt ladede ord. Hans far er tenderende
nationalist. Han nævner ved flere lejligheder, at en sand tysker altid står rank, og minder altid Gauss
på at rette ryggen.
Det ses generelt, at Gauss som barn ikke føler sig særligt godt tilpas i sine omgivelser. Han virker
kejtet, og er selv klar over, at han ikke er som alle andre. Igen og igen fortælles det, at hans næse
løber: ”Gauss hentede et meget snavset lommetørklæde frem og pudsede næse”
45
Hver gang dette
sker, er han i dialog med et andet menneske, og hver gang tørrer han hurtigt næsen med
håndryggen, eller som her med et beskidt lommetørklæde. Dette viser, at der for ham er noget
problematisk ved at være i kontakt med andre mennesker, og måden han håndterer det på, er ikke
særlig naturlig.
Men senere, da han i starten af tyverne skriver sit livsværk ”Disquisitiones Arthmeticae”, sker der
noget. ”Og en regnvåd dag var han færdig. Han lagde pennen væk, pudsede omstændigt næse og
gned sig over panden”.
46
Idet hans værk er færdigt, tørrer han for første gang sin næse grundigt, og
hans næse løber herefter ikke i resten af bogen. Dette vidner tydeligt om en ny epoke i hans liv,
hvilket også bekræftes få linjer efter: ”Alt det var blevet oplevet af en, der for nogle øjeblikke siden
42
Side 19 linje 28
43
Side 167, linje 22
44
Side 50, linje 20
45
Side 53, linje 29, side 57 linje 5, side 60 linje 19.
46
Side 86, linje 31
Side | 18 af 27
var holdt op med at være ham”.
47
Han ser altså dette værk som en overgang til et nyt liv, hvor
matematikken og fysikken står i centrum.
At disse to videnskabsmænd kommer fra så forskellige hjem, har selvfølgelig påvirket, at deres
måder at tænke på er så forskellige. Og selvom de ’opmåler verden’ på hver deres måde, er det
alligevel det faktum, at de gør der, der fører dem sammen til sidst. Det er deres passionerede
arbejdslyst der har givet et fundament til en roman, der ikke blot behandler faglige emner, men også
giver en spændende historie.
Det bærende for selve handlingsforløbet er disse to mænds usædvanlige sult efter oplysning, men i
høj grad også deres forskellige karaktertræk. Disse forskelligeheder fører de to mænd, der har
samme mål, i hver sin retning. Dette gør at de hele tiden kommer i interessante situationer, og man
hører, hvordan de hver især håndtere disse situationer. Idet de møder hinanden, har Kehlmann ikke
blot lavet en lykkelig slutning, men fortsætter spændingen med nye historier og dialoger:
”Projekter, fnøs Gauss. Snak, planer, intriger […] Det var ikke videnskab. Nå udbrød Humboldt,
hvad var videnskab så? [...] En mand, alene ved skrivebordet”.
48
Dette uddrag er fra en diskussion,
de to mænd har da de begge er i Berlin. Det viser præcist, hvordan de to er uenige i, hvordan man
bør gribe videnskaben an, og hvordan man bør anskue verden. Dette viser, at der ikke findes en fast
definition af videnskab, og er dermed et budskab om, at denne definition skal findes individuelt.
En anden meget væsentlig forskel imellem de to videnskabsmænd, er deres forhold til det modsatte
køn og deres generelle syn på andre mennesker.
Humboldt viser en sympati og respekt for både kvinder og slaver, som ikke mange havde på den tid.
Han køber på et tidspunkt en slave fri, og beder gentagende gange sin rejsemakker Bonpland om at
holde sig fra enhver seksuel kontakt, da han mener at dette forstyrrer det videnskabelige arbejde, de
har forpligtet sig til.
49
Han selv undertrykker sin seksualitet, hvilket er i fin overensstemmelse med hans tankegang, hvor
intet skal forstyrre hans opdagelser, end ikke søvn.
Denne fornægtelse af kvinder, får ham dog også til at fremstå naiv: ”I det høje græs fandt de en
bevidstløs pige, vel tretten år gammel, i sønderrevet tøj […] Formodentlig varmen, sagde
Humboldt. Børn for vild og besvimede”
50
47
Side 87, linje 4
48
Side 236, linje 14
49
Side 45, linje 21
50
Side 98, linje 23 og side 99, linje 7
Side | 19 af 27
Dette vidner sandsynligvis om en mand, der har været så opslugt af sit arbejde, at han ikke har haft
tid til at ænse verden omkring sig, hvilket er ironisk, da det jo netop er den han udforsker.
Gauss derimod er afhængig af kvinder. Udover at have været gift to gange, er han i lang tid fast
kunde hos en lokal prostitueret, som han benytter som en flugt fra den virkelige verden. I den tid
ansås det som normal etikette, ikke at være i nogen form for seksuel kontakt inden man blev gift,
men Gauss undertrykker altså ikke sine sexuelle lyster, som Humboldt gør det. Derfor ser Gauss
også frem til bryllupsnatten med sin første kone. Trods denne lyst rejser han sig op midt under
bryllupsnatten for at skrive en formel ned, som han var kommet i tanke om og ikke måtte glemme.
Dette viser tydeligt hans dedikation til videnskaben.
Det er ikke kun i hans tilgang til kvinder, at han virker følelsesmæssigt amputeret. Han hader sine
børn og minder dem altid om, hvor ubrugelige de er. Generelt bebrejder han dem for ikke at være i
besiddelse af den samme intellektualitet som ham selv.
De to videnskabsmænd har, på hver deres måde, fordybet sig i at opmåle verden, og romanens
omdrejningspunkt er altså dette emne.Opmåling er, hvad de to personligheder brænder for, og hvad
der virkeligt beskriver, hvordan de to ser helt forskelligt på verden. Samtidig har det givet
Kehlmann muligheden for at involvere læseren i oplysningstidens tanker og idéer. Gennem bogen
åbner han op for en tid, hvor ingenting var fastlagt, og hvor det for alvor var op til det enkelte
individ at konstruere sin egen verden. Idet Humboldt trodser uendeligt mange udfordringer, baner
han vejen for en tanke om, at mennesket kan gøre alt. Dette kan opmuntre andre til at prøve nye
udfordringer og sætte nye grænser. På side 73 skriver han et brev til Kant, hvori han beskriver sine
observationer af klima og planter, der lægger op til tankegangen om, at jorden kan deles op som et
koordinatsystem. Han har altså nogle af de helt basale ideer om jordens gradnet. Jeg har tidligere
beskrevet , hvordan dette er en helt essentiel del af navigationen, og det er altså mænd som
Humboldt, der har været med til at forme og forstå den verden vi lever i i dag.
Samtidig gør Gauss’ ’opmåling af verden’ os opmærksom på, hvordan videnskaben hele tiden
udvides. I hans tid var det fastlagt, at den euklidiske geometri var den ’sande’, men dette
modbeviste han. Han symboliserer de store tænkere, hvilket også er en vigtig del af videnskaben, da
ikke alting kan måles i praksis. Gauss arbejder i særdeleshed med planeters baner, og tvinger sig
selv, trods sin frygt, til at tage ud og flyve i en luftballon da han er ganske ung. Det var her nogle af
hans idéer til ikke-euklidisk geometri opstod, idet han ser, hvordan rummet krummer sig. ”Gauss
Side | 20 af 27
sagde, at nu vidste han det. Hvad vidste han? At alle parallelle linjer berørte hinanden.”
51
De er altså begge med til at lægge grundstenene til den matematik, fysik og naturgeografi, som vi
kender til i dag.
I og med at Kehlmann har skrevet en bog der balancerer mellem fakta og fiktion, har han som sagt
haft en hvis fortællerfrihed. Denne benytter han sig mange gange af til at plante små associationer
og referencer. Nogle er åbenlyse, mens andre er helt subtile.
Blandt andet er der flere gange trukket linjer imellem de to historier, der ellers forløber parallelt
uden nogen interferens før til sidst. Dette ses blandt andet da Gauss flere gange i bogen, misfornøjet
da dette i hans optik er spild af tid, læser artikler om en opdagelsesrejsende i Sydamerika. Senere
stifter han endda også bekendtskab med Wilhelm von Humboldt, mens Alexander von Humboldt
fortsat er i Sydamerika.
I andre af disse paralleller er der langt op til mere individuel tolkning. ”For år tilbage havde han set
den første ballon over Tyskland, Sagde Humboldt. Lykkelig den, som fløj dengang”.
52
Det er her
meget nærliggende at antage, at dette er den luftballon Gauss sad i.
I den del af historien hvor Gauss og Humboldt er i Berlin, er Gauss søn Eugen der også.
Eugen bliver i kapitel 12 anholdt, fordi han deltager i et politisk møde i Berlin. Kehlmann vælger
hele tiden at være lidt hemmelighedsfuld om Eugens politiske involvering. Han betegner de andre
deltagende som studenter, og de er alle betaget af ”Die Deutsche Turnkunst”. Det der dog gør det
gennemskueligt er den måde, hvorpå en taler opfordrer de unge til at dyrke gymnastik: ”Tænkning
uden muskler var svag og mat, det udvandet franskslabberas”.
53
Talerens overbevisning kan tolkes
som, at der bag enhver stat skal stå et stærkt militær. Han associerer samtidig den svage stat med det
negativt ladede ord ”franskslabberas”, og er altså heller ikke venligt stillet overfor Frankrig, hvor
Napoleon har haft magten kort forinden. ”Han bankede med knyttet næve på sin læg. Rent og
stærkt, svingfast, løftningshårdt […] Som dette ben var, skulle Tyskland blive!”.
54
Samtidig er han
betaget af, hvordan de unge tyske mænd skal trænes op og sikre Tysklands fremtidige status. Der er
altså nogle meget tydelige paralleller til den nazistiske tankegang. Selvom dette er langt ude i
fremtiden, er det en måde, forfatteren har prøvet at iscenesætte den politiske udvikling Tyskland har
51
Side 63, linje 15
52
Side 190, linje 15
53
Side 220, linje 2
54
Side 220, linje 7
Side | 21 af 27
gennemgået. Dette viser altså hvordan Kehlmann gerne har villet illustrere forskellige fasetter af
Tyskland i starten af det 19. århundrede.
Eugen er generelt en interessant person i de sidste kapitler. Man har tidligere set ham møde, hvad
han troede var, en prostitueret på gaden og følt foragt. Til gengæld skriver han digte og er meget
mere kulturelt og politisk engageret end Gauss. Dette er alle beviser på, at de er hinandens
diametrale modsætninger.
Eugen bliver, grundet anholdelsen ved mødet, landsforvist, og da han efterlader Gauss i Berlin, ser
man for alvor en udvikling. Eugen går til en prostitueret, drikker øl og ryger for første gang.
Samtidig har han pludseligt let ved det matematik, han tidligere har fundet svært og undrer sig her
for første gang over, at folk tænker længe inden de taler. Det ses altså, at han begynder at adoptere
en masse af de træk, han tidligere har hadet sin far for. Dette symboliserer, at han endelig har
friheden til at konstruere sin egen verden, og at han i den forbindelse forener de undertrykte sider
han har levet med som barn, med sin egen personlighed.
Der ses altså endnu engang en fusion af to forskelligheder, hvilket jeg tror, er et af de vigtige
budskaber for forfatteren. Han ønsker at belyse, hvordan forskellige fremgangsmåder mod det
samme mål, kan give gode resultater, men hvordan en fusion af de forskellige metoder til sammen
kan give en helhedsforståelse. Dette er hvad der sker for Eugen, men vigtigst af alt også hvad der
sker med de to hovedpersoners ideer samt med videnskaben, i den tidsperiode de levede i.
Side | 22 af 27
Konklusion
I denne opgave har jeg konkluderet, at der ved projekteringen, af kloden ned på et kort, sker en
fortegnelse. Dette har dog ikke nogen betydning for navigation, da man her har defineret et gradnet,
med længde- og breddegrader, der kan sammenlignes med et koordinatsystem. Dette gør det muligt
at definere et sted på jorden vha. præcise koordinater.
Derudover har jeg vist, at man, ud fra måling af himmellegemer, kan bestemme sin breddegrad. I
den forbindelse har jeg også redegjort for forskellige himmelkugler. Jeg har dernæst givet en
forklaring på, hvordan man med et præcist ur kan definere sin længdegrad. Udover dette har jeg
vist, hvordan man med sinusrelationen har kunnet bestemme længden til et punkt, hvor man ikke
nødvendigvis har været, og dermed bruge dette til kortoptegnelse.
Med denne viden har jeg undersøgt de to videnskabsmænd Carl Freidrich Gauss og Alexander von
Humboldt, som har været centrale for udviklingen af denne viden om jorden og navigation. Dette er
gjort ved at analysere og fortolke faktionsromanen ”Opmålingen af verden”. Her igennem har jeg
konkluderet, at de to videnskabsmænd henholdsvis benytter sig af rationalistiske og empiristiske
metoder. Dette påvirker også handlingsforløbet, idet de to mænd udforsker vidt forskellige ting.
Samtidig gør deres unikke karaktertræk og forskellige fremgangsmåder mod det samme mål, det
spændende for forfatteren at lade dem mødes i slutningen af bogen, hvilket giver romanen en god
sammenhæng.
Denne forenelse er samtidig et budskab fra forfatteren om, hvordan de forskellige
naturvidenskabelige metoder i denne tid begyndte at blive fusioneret til én fælles viden, der i
sandhed er grundlaget for moderne naturvidenskab.
Side | 25 af 27
Litteraturliste
Bøger:
-TRIP’s matematiske GRUNDBOG, Hans Sloth, Forlaget TRIP 2005
-Manden der målte længdegraden, Dava Sobel, Borgens forlag A/S, 1997
-Opmålingen af verden, Daniel Kehlmann, Forlaget Per Kofod ApS 2006- Navigation - sømandskab og sikkerhed,
Albrechtsen, Svend, Dansk Sejlunion 2003
-”Navigationens Udvikling -og lidt om hans liv og håndbøger”, Jens Kusk Jensen, Specialtrykkeriet Viborg, 2003
-Oceannavigation for sejlere, Bent J. Friis, Forlaget Kurs, 1998
-Kort og Geografi - kortets udvikling, anvendelse og didaktik, N. Kjeldsen og O. Pedersen, Gyldendal 2009
Internetsider:
Astronomisk navigation. Udgivet af Geomat
http://www.geomat.dk/opdagelser_og_navigation/opdagelser/projektoplaeg/astronomisk_navigation.htm
Danmarks kortlægning. Udgivet af Gymportalen
http://gymportalen.dk/hvadermatematikc/397
Datolinjen. Udgivet af Den store danske. Sidst redigeret oktober 2011
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Astronomi/Kalender_og_tid/datolinje
Ekliptika. Udgivet af The desktop environment.
http://klid.dk/kde/da/docs/kdeedu/kstars/ai-ecliptic.html
Euklids matematik. Udgivet af Gymportalen
http://gymportalen.dk/hvadermatematikc/3345
Find koordinater.
http://findkoordinater.dk/
Himmelkuglen. Udgivet af The desktop environment.
http://klid.dk/kde/da/docs/kdeedu/kstars/ai-csphere.html
Jordens gradnet, Erathostenes og navigation. Udgivet af EMU- Danmarks læringsportal
http://www.emu.dk/modul/jordens-gradnet-erathostenes-og-navigation
Jævndøgnspunkterne. The desktop environment.
http://klid.dk/kde/da/docs/kdeedu/kstars/ai-equinox.html
Landefakta. Udgivet af Jyllandsposten
http://viden.jp.dk/galathea/undervisning/landefakta/
Måling af længdegrad ved observation af solhøjden. Udgivet af Geomat.
http://www.geomat.dk/opdagelser_og_navigation/navigation/undervisningsforloeb/maaling_laengdegrad/bredde.htm
Nogle principper i navigationen. Udgivet af Vestergaards matematiksider
http://www.matematiksider.dk/navi_principper.html
Nordstjernen. Udgivet af Den store danske. Sidst redigeret juni 2013
Side | 26 af 27
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Astronomi/Stjernebilleder_og_stjernenavne/Nordstjernen
Rationalisme kontra empirisme, samt Kants erkendelsesteori. Udgivet af Wikispaces Classroom
http://filosofi-frederiksborg-2011.wikispaces.com/Rationalisme+kontra+empirisme,+samt+Kants+erkendelsesteori
Solens deklination. Udgivet af formel.dk
http://www.formel.dk/solen/deklinationen.htm
Vinkelmåling. Udgivet af Frylunds fagteori
http://www.fagteori.dk/maaling/vinkelmaaling.aspx
Artikler:
Per Rieffestahl: De mørke tider kommer. I: Nordjyske stiftstidende, juni 2009
http://www.nafa.dk/artikler/Nordjyske/Juni_artikel_2010.pdf
Lisbeth Fajstrup og Dorthe Nielsen: Sfærisk geometri. Udgivet af Aalborgs universitets matematiske afdeling
https://www.google.dk/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&cad=rja&ved=0CEMQFjAD&url=http%3A%2F%2Fpeople.math.aau.dk%2
F~fajstrup%2FUNDERVISNING%2FGYMNASIE%2FKORTPROJEKTIONER%2FSfaerisk_Geometri_1009.doc&ei=QLmtUsT_JuPt4gSj8oGwB
A&usg=AFQjCNFWLwsxPoy9ruFcqrcXxTZniTg7rA&sig2=qVoVKSS1CRKDRC1lEeTjlg&bvm=bv.,d.bGE
Teodolit og totalstation. Udgivet februar 2009, Efteruddannelsesudvalget for Bygge/anlæg og industri
www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=11&ved=0CGAQFjAK&url=http%3A%2F%2Fmaterialeplatform.emu.dk%2Fmater
ialer%2Fpublic_downloadfile.do%3Fmat%3D7144662%26id%3D&ei=zZqkUtTkJOWe4wT-
4YHQCg&usg=AFQjCNHVN5q8Czg65QgxF8MISkmPpFKEJg&sig2=blyGnXnp5Z-
PWKfter790w&bvm=bv.,d.bGE000948AF/Kortlaere_opt.pdf
Jesper Lützen: Matematikkens og rummets natur. Af Jyllandsposten i 2003
http://viden.jp.dk/binaries/an/8131.pdf
Viden.jp.dk, (Jyllandsposten),pdf-fil, Matematikkens og rummets natur, 2003
U.S. Geological survey: Teaching about and using coordinate systems. August 2003
http://education.usgs.gov/lessons/coordinatesystems.pdf
VUC Nordjylland, Geotoper: Jorden er rund
http://fc.vucnordjylland.dk/Flexundervisning/FOV1-000D35E9/FOV1-000948AA/FOV1-000948AF/Kortlaere_opt.pdf
Århus Statsgymnasium: bestemmelse af jordens form. Geomat, april 2004
https://www.google.dk/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&ved=0CE4QFjAE&url=http%3A%2F%2Fwww.g
eomat.dk%2Flandmaaling%2FUndervisningsforloeb%2Fjordens_form_mat.doc&ei=h2msUtCfDqTf4QTP3IEY&usg=AFQjCNFCH
EjGYDUuRlt_CoyVStaNpRpU9A&sig2=1zatA5paqneMZzPadQ7z1w