Matematik projekt 20.9.2015
1
OPTIMERI N G VED H J Æ LP AF
ANDENGR A D S P OLYNOMIE R
Formål:
I dette projekt skal vi se nærmere på optimering ved hjælp af andengradspolynomier, hvor jeg har udarbejdet en
projektrapporten, der består af 3 dele.
DEL 1: LANDMÆND
I denne opgave skal vi lave en indhegning til vores køer, der skal på græs, fordi vi forestiller os at vi er landmænd. Til
dette formål har vi kun 150 meter hegn til indhegningen.
1. Først vil vi prøve at lave en rektangulær indhegning. Her vil vi finde ud af, hvor lange siderne skal være, for at
køerne har det største areal. Derfor har vi lavet en matematisk model for problemet. Hvor vi kalder den ene
sidelængde for x og den anden for y, og derudfra opstiller vi to ligninger, hvor x er den ene sidelængde og y er
den anden:
2. Husk en tegning
3. INGEN REGNING UDEN TEGNING
Da det er et rektangel kan omkredsen findes ved at addere de fire sidelængder:
Her indsætter vi så udtrykket for y i ligningen med arealet:
√
Da vi så har fundet en andengradsligning, kan vi finde toppunktet på følgende koordinat, for at finde det størst
mulige areal i denne situation:
Da vi kun er interesseret i sidelængden udregnes x-koordinatet for at finde x’s sidelængden:
X
T
=
√
Sidelængden y kan så findes:
Y
T
=
√
Matematik projekt 20.9.2015
2
Derved vil arealet bliver:
1.4. Alternativt kan vil vi lave en rund indhegning, og derudfra undersøge hvor stort et areal en rund indhegning
kunne få, hvis vi bruger hele hegnet. Her sætter vi de 150 meter ligmed formlen for omkredsen i en cirklen, og
isolere d:
√
Derefter finder vi radiussen ved at dividere diameteren med 2:
√
Herefter indsætter vi radiussen i formlen for udregning af et cirkels areal:
Tallene indsættes:
Derved giver det m^2√
2.5. Tilfældigvis ligger vores gård lige ved vandet på en helt lige kyststrækning. Vi overvejer derfor, at bruge
kysten som den ene side i vores rektangulære indhegning. Vi vil derfor undersøge hvad siderne skal være for at
maksimere arealet i denne situation.
Her kan forholdet mellem siderne opskrives på følgende måde, hvor y, er længden af kyststrækningen og dens
parallelle side:√
INGEN REGNING UDEN TEGNING
Her kan y så opskrives på følgende formel:
√
Hvorefter vi kan opskrive arealet:
her indsættes vores nye definition af y, og udtrykkes forkortes:
Matematik projekt 20.9.2015
3
Da vi så har fundet en andengradsligning, kan vi finde toppunktet på følgende koordinat, for at finde det størst
mulige areal i denne situation:
Da vi kun er interesseret i sidelængden udregnes x-koordinatet for at finde x’s sidelængden:
X
T
=
√
Sidelængden y kan så findes:
Og vi udregner arealet:
Så Derved vil arealet blive .
DEL 2: MIN MADKASSE FABRIK
Efter en god sæson på gården, hvor vi tjener mange penge, fordi køerne fik så meget græs, sælger vi gården og starter i
stedet virksomheden MMF (Min Madkasse Fabrik). Vores første nye produkt er madkasser, som er lidt specielle, idet
både låg og ender er lavet af træ. På en rejse i sommerferien har vi været i Kina, hvor vi har købt mange metalplader,
der har målene , som vi vil bruge til at lave madkasserne med. Da der skal kunne ligge bananer i
kassen, har vi besluttet, at kasserne skal være 30 cm lange. Vi vil gøre madkassens rumfang så stort som mulig. Derfor
vil vi undersøge, hvor meget af den 40 cm brede plade, der skal bukkes op i hver side af pladen. -
Vi kender volumen af madkassen på følgende formel, hvor h er højden, b er bredden og L er længden:
√
hvor vi kan indsætte tal, da vi ved at længden er 30, højden er h og bredden er 40-2h, hvorefter vi reducerer:
INGEN REGNING UDEN TEGNING
Matematik projekt 20.9.2015
4
Da vi så har fundet en andengradspolynomie, kan vi finde toppunktet på følgende koordinat, for at finde det størst
mulige areal i denne situation:
Da vi kun er interesseret i højden udregnes x-koordinatet for at finde h’s længde:
√
Derved vil pladen skulle bukkes 10 cm op i hver side for at madkassens rumfang vil blive så stort som mulig med dette
design.√
MEN - Dette kan vi også løse på følgende måde:
Vi kender forholdet mellem længden og højden på den måde at, hvor L er længden og h er højden:
Vi kan finde det størst mulige areal, ved at finde det størst mulige tværsnitsareal, hvor tværsnitsarealet på kassen kan
skrives på følgende måde:
Hvor længden er opskrevet på følgende måde:
Denne definition af længden kan indskrives i den første formel:
hvor det kan omformes til:
Her kan der bruges nulreglen:
√
Her kigger vi på nulpunktet i parablen, og ud fra x-koordinatet til toppen af parablen finder vi hvor meget den skal
bukkes op. Toppunktet på parablen er midtpunktet mellem de to nulpunkter, da parablen er symmetrisk omkring
Matematik projekt 20.9.2015
5
toppunktet. Hvor nulpunkterne er henholdsvis 0 og 20, så derfor vil toppunktet ligge lige imellem nulpunkterne, nemlig
ved x=10, og derfor vil siderne skulle bukkes 10 cm op.√ fin alternativ metode
2. Da vores testpanel på MMF ikke kan lide træpladerne i enderne, ændrer vi designet af madkasserne. Vi vil nu bukke
pladerne, så både siderne og enderne er af metal. Dette kan dog kun lade sig gøre, hvis vi skærer lidt af hver af de 4
hjørner. Derfor vil vi undersøge, hvor meget skal vi bukke op, hvis kassen skal have størst muligt rumfang?
Vi kender volumen af madkassen på følgende formel, hvor h er højden, b er bredden og L er længden, og h*h*4 må
være det stykke som vi skærer af i hvert hjørne:
√
Her kan vi opskrive en formel for længden, højden og bredden:
INGEN REGNING UDEN TEGNING
Dette kan vi så indsætte i vores ligning og reducerer udtrykket:
Her indsætter vi betingelser for ligningen da h ikke kan være mindre end 0 eller større end 15, da bredden ikke kan må
være mindre end 0:
Her finder vi så toppunktet på grafen i Nspire i graftegneren under
”undersøg grafen” funktionen du skal have flere detaljer på din
beskrivelse af, hvordan du gør i Nspire, som også ses til højre:
Her kan vi så aflæse, at vi skal bukke 5,66 cm, for at få det størst
mulige volumen, hvor vi kan udregne rumfanget:
Rumfanget for kassen vil blive 3032,3 cm^2. √
3. Hvor stort et areal vi skal skære væk er givet ved formlen herunder, da dette vil være 4 kvadrater i hver hjørne af
pladen, som har sidelængden h:
Matematik projekt 20.9.2015
6
√
Derved er afskæringsarealet i alt cm^2
DEL 3: DISKOTEKSEJERE
Vi sælger jeres madkasser med stor succes og vælger efter et års tid at sælge MMF for i stedet at åbne diskoteket
BetaBeat. Da åbningsdagen nærmer sig, skal vi beslutte, hvor meget øllene skal koste. For at have et godt
beslutningsgrundlag, får vi hjælp af en af vores venner, der har gået på handelsskolen. Han fortæller os, at
afsætningsfunktionen ser ud på følgende måde:
Hvor A(x) er antallet af øl I sælger, når prisen er x kroner pr. styk. Vores handelsskolekammerat er decideret dum, så vi
vil selv diskutere og forklare, hvad A(x) viser. A(x) viser antallet af øl vi sælger, som en funktion af prisen, hvor prisen
er x, heraf kan man se at for hver gang prisen stiger med 1 krone, så vil ølsalget falde med en faktor 60. √
Hvad fortæller tallet 4500? Skæring på y-akse, som må være hvor meget man sælger, hvis prisen er 0.
2. Vi vil nu lave en ny funktion O(x) ud fra A(x), som skal angive omsætningen som funktion af x ("omsætning"
er det beløb, man sælger for i alt). Dette må være antallet af øl der bliver solgt, altså A(x) ganget med x:
Hvor x er prisen pr. øl og O(x) er omsætningen
3. Omsætningsfunktionen viser ved hjælp af skitsen (se
til højre). Den er meget smal, hvilket betyder at den
omsætningen er størst indenfor et relativt lille
interval. Den ølpris der giver det største omsætning,
må være x-koordinatet til toppunktet, som beregnes
på følgende måde:
XtT=
Og vi indsætter værdierne:
x
T
=
Og finder ud af at vi vil få den størst mulige omsætning, hvis vi sætter prisen til 37,5 kroner.
Matematik projekt 20.9.2015
7
4. Bryggeriet vil have 14 kr. pr. øl. Derfor opskriv vi en regneforskrift for en funktion U(x), der angiver
udgifterne som funktion af x. Denne regneforskrift må være antallet af øl vi sælger ganget med 14, da de
koster 14 kroner pr. stk:
√
√
hvor U(x) er udgifterne og x er antallet af øl der bliver solgt.
5. Derefter vil vi finde fortjenesten som funktion af x, og vi opskriver en regneforskrift F(x), hvor vi benytter
O(x) og U(x), som hænger sammen på følgende måde:
√
6. F(x) den viser Fortjenesten, som en funktion x, som er prisen. Hvor
meget skal vi tage for en øl, for at tjene mest muligt er fundet ved
hjælp af at finde toppunktet på Nspire, som ses til højre, hvor den
nederste punkt er toppunktet, for funktionen F(x) og den øverste er
toppunktet på funktionen O(x). Derfor vil det optimale være at tage
44,5 kr. pr. øl. Derved er det ikke altid en fordel at gå efter den
største omsætning for at tjene flest penge, da det ikke altid vil
kunne måle sig med udgifterne pr. øl. √
God besvarelse, Husk dog tegninger og forklaringer til de opstillede
ligninger. Husk også at forklare præcist, hvordan du finder
maksimum i Nspire
Karakter 10