2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt
Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik
Side 1 af 8
Per Nørgaards uendelighedsrække som
kompositorisk princip
STX 2.g
Baggrund
• Lav en kort introduktion til Per Nørgaards forhold til den serielle musik.
Matematik
• Undersøg hvordan Per Nørgaard anvender det gyldne snit og fibonacci-rækken i sine
kompositioner. Kan man finde ”gyldne snit” i partituren til ”Voyage into the golden screen”
(2. Sats).
• Per Nørgaard bruger i sin komposition ofte ”uendelighedsrækken”. Denne kan blandt andet
fremkomme ved rekursion. Princippet kendes fra definitionen af fibonaccitallene.
• Undersøg hvordan man kan frembringe uendelighedsrækken ved rekursion. Gør nøje rede
for dette i opgavebesvarelsen.
• Redegør kort for det binære talsystem og med eksempler på tal skrevet i det binære system,
og forklar hvordan man kan bestemme en tone i uendelighedsrækken ved hjælp af binære
tal. Hvad er fordelen ved denne metode frem for rekursion?
Musik
• Undersøg og beskriv partiturets ide og opbygning.
• Undersøg de fire første takter efter A, og beskriv instrumenternes forhold til hinanden
rytmisk og melodisk.
•
Per Nørgaard
2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt
Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik
Side 2 af 8
Den 13. juli 1932 kom Per Nørgaard til verden. Rent historisk set var det midt i mellemkrigstiden,
og en tid hvor den moderne musik var på vej frem. Per Nørgaard begyndte gå til lærer i klaver som
7-årig, men der gik ikke lang tid før han droppede øvningen og begyndte at improvisere og
komponere. Som 11-årig lavede Per Nørgaard
nogle mini-musicals - i stil med Disney. Han
tegnede i øvrigt selv tegningerne! Men fik
støtte og hjælp til det hele af sin storebror
Bent. Per Nørgaard blev i 1941 optaget på
Københavns Kommunes Sangskole og gik
senere på Frederiksberg Gymnasium. Da Per Nørgaard var 16 år blev storebror Bent indkaldt til
militæret. Efter dette droppede Per Nørgaard tegningerne. Han gad ikke lave dem alene. I stedet
valgte han at fokusere udelukkende på komposition og det var på det tidspunkt han vidste, at han
ville være komponist.
1
Serialismen
Som sagt blev Per Nørgaard født i en tid hvor moderne musik begyndte at dominere. En af disse
grene inden for moderne musik kaldes serialismen. Serialismen bygger på 12-tones-idéen. 12-tones-
idéen handler om at alle toner skal være lige. Man skal ikke kunne opfatte nogen toner med fx en
dominantisk effekt. Dette betyder at når musikken skrives, så skal alle 12 toner spilles før de må
spilles igen. Der må desuden heller ikke forekomme halvtonespring, da dette kan få hjernen til at
opfatte den ene tone som ledetone til den anden, og det vil dermed give denne tone en anden status
end de andre.
2
1
Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 223)
http://www.pernoergaard.dk/da/biografi/biografi.html
2
Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 225-229)
http://en.wikipedia.org/wiki/Twelve-tone_technique
Tegninger af lavet Per Nørgaard til hans mini-musicals
Eksempel på serialistisk komposition
2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt
Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik
Side 3 af 8
Ovenfor ses et eksempel på en serialistisk komposition. Bemærk at alle tolv toner bruges før nogle
af dem dukker op igen og løg også mærke til at der ikke er et eneste halvtonetrin.
Per Nørgaards forhold til serialismen
Serialisme kom som en banebryder inden for musikken. Den blev skabt for at bryde krigstidernes
værditomrum, og den bedste måde at adskille sig fra dette var ved hjælp af skemaer, systemer og
talrækker – altså matematik.
Per Nørgaard var dybt inspireret af denne serialistiske tankegang. Per Nørgaard syntes den
serialistiske musik var interessant på grund af dens forhåndstilrettelæggelse, men dens samtidige
uforudsigelige lyd. Matematikken i serialisme interesserede Per Nørgaard, og han ville ud fra det
element udvikle sin egne kompositionssystemer.
Der var dog nogle ting, han ikke brød sig om ved serialismen. Især var det bruddet med fortiden,
der gik ham på. Han ville hellere bruge de matematiske systemer til at skabe melodier, som hyldede
nordiske traditioner. Således forskede Per Nørgaard i matematik i musik.
3
Uendelighedsrækker
Per Nørgaard videreudviklede serialismen. Først skabte han en slags uendelighedsrække i sin sidste
sats af Nine Studies. Denne uendelighedsrække byggede på fire toner i en initialgruppe, a, f, ges og
es. Derefter blev alle fire toner spillet igen, blot med en ændring. Første tone blev transponeret, i
dette tilfælde en kvint op. I tredje gennemspilning af de fire toner forblev den første tone en kvint
over dens startposition og denne gang blev anden tone så transponeret, mens tredje og fjerde forblev
som i initialgruppen. Næste gennemspilning blev tredje tone transponeret og sidste gennemspilning
var det den fjerde tones tur. Efter disse fire gennemspilninger var alle tonerne nu transponeret. Så
havde man et nyt udgangspunkt og kunne derfor gentage processen. Og det kunne fortsættes i det
uendelige.
Per Nørgaard var dog ikke helt tilfreds med en række ting her. For det første skulle han bestemme
hvilke toner der var i initialgruppen og for det andet skulle han bestemme hvilke intervaller tonerne
skulle transponeres med. Det var altså ikke tilfældigt.
4
3
Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 225-229)
4
Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 224-225)
2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt
Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik
Side 4 af 8
Til sidst ”fandt” Per Nørgaard sin rigtige uendelighedsrække. Denne byggede på rekursion, hvilket
betød at det var minimalt hvad han skulle forudbestemme. Rekursion er når man definerer værdier
ved hjælp af tidligere værdier, altså noget selvdefinerbart. Fx er fibonaccitalrækken rekursiv, den
definerer sig selv ved at bestemmer, at de summen af de to foregående tal danner værdien af det
næste tal i talrækken. Ligeledes brugte Per Nørgaard rekursion til at finde denne
uendelighedsrække. Han skulle kun definere de to første toner og så var resten ellers forudbestemt.
For at forklare denne uendelighedsrække skal man vide, at der er en sammenhæng mellem tonerne.
Alle ulige toner (tone nummer 1,3,5…) hænger sammen og alle lige toner (tone nummer 2,4,6…)
hænger sammen, samtidig hænger tonerne sammen to og to (tone 1&2, 3&4, 5&6…). Ud fra
intervallet mellem tone 1 og 2 defineres tone 3 og 4. De lige toner er retvendige, modsat de ulige
toner, som er omvendige. Tone 3 sættes ud fra tone 1 ved en omvending af intervallet mellem tone
1 og 2. Altså hvis der en lille sekund op mellem tone 1 og 2, vil tone 3 være en lille sekund ned fra
tone 1. Tone 4 vil så være en lille sekund op fra tone 2, da den er retvendig. For tone 5 og 6 bruger
man så intervallet mellem tone 2 og 3. I dette tilfælde vil der være skabt en stor sekund ned fra tone
2 til tone 3. Da ulige toner er omvendige vil tone 5 ligge en stor sekund op fra tone 3, mens tone 6
vil være en stor sekund ned fra tone 4.
5
For at vise dette, ses uendelighedsrækkens første 32 toner med udgangspunkt i tonen g og med
første interval værende
en lille sekund op.
For at vise min forståelse for uendelighedsrækken har jeg nedenfor lavet en uendelighedsrække på
16 toner med udgangspunkt i tonen f og med første interval værende en stor sekund ned:
5
Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 229-235)
2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt
Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik
Side 5 af 8
Uendelighedsrækken ved rekursion
Uendelighedsrækken kan også frembringes ved hjælp af en metode kaldet rekursion. Denne metode
kræver at man kender de første fire toner. Det er en slags udfoldelsesmetode. For at forklare
fremgangsmåden tager jeg udgangspunkt i at jeg kender de første 16 toner af talrækken.
Man deler det hidtil definerede stykke op i otte lige store dele (fire dele hvis der kun er fire toner).
(eksempel med 16 definerede toner: tone nummer 1&2 er 1. del, 3&4 er 2. del osv.)
De næste toner i uendelighedsrækken (altså tone 17&18) vil være de samme som 3. del (tone 5&6).
Derefter kommer de næste (tone 19&20), som vil være de samme som 4. del (tone 7&8).
Så kommer de næste (tone 21&22), som er de samme som 1. del (tone 1&2).
De næste (tone 23&24), er de samme som 2. del (tone 3&4).
Derefter kommer de næste (tone 25&26), som også er de samme som 4. del (tone 7&8).
Så er der de næste toner (tone 27&28), som svarer til 3. del (tone 5&6).
De næste to toner (tone 29&30), får man ved at tage retrograden af 4. del (tone 8&7)
Den næstsidste tone (tone 31) finder man ved at finde den laveste tone, der hidtil har været (tone
15) og tage halvtonen under.
Den sidste tone (tone 32) finder man ved at finde den højeste tone, der hidtil har været (tone 16) og
tage halvtonen over.
Hvis det første interval i rækken var nedadgående, skal der byttes rundt på de to sidste trin, så man
første finder en halvtone over den højeste tone og derefter en halvtone under den laveste. (det vil
stadig være tone 15&16 i eksemplet). Se eventuelt billede nedenfor for bedre forståelse.
6
6
http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/ukonstruktion02.html
2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt
Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik
Side 6 af 8
Det binære talsystem
Det binære talsystem er et 2-talssystem. De eneste to tal der findes er 0 og 1, hvor vores almindelige
10-talssystem indeholder tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.
Cifrenes værdi i et binært talsystem kan sammenlignes med cifrene i et 10-talssystem:
Ciffer
nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
Binær
værdi
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
10-
talsværdi
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
Det skal lige noteres at ciffertallene læses fra højre mod venstre. Man gange cifferværdien med det
tal der står på cifferets plads for at få cifferets talværdi. Summen af cifrenes talværdi er lig tallets
værdi.
Eksempel på binært tal:
(1001011)
2
=1*1+1*2+0*4+1*8+0*16+0*32+1*64=75
Eksempel 2:
(1)
2
=1+2+4+64+256+1024+8192+16384+32768=58695
Ud fra det binære talsystem kan man definere en vilkårlig tones interval i forhold til starttonen i
uendelighedsrækken. Det tonenummer man vil have noden på skriver man med binære tal.
Man skriver det binære tal for tallet en under det tonenummer man vil finde. Fx når man vil finde
tonenummer 397 skriver man det binære tal for 396. Dette er grundet at starttonen (tone nummer 1)
noteres med tallet 0. For så fx at finde tonen på tone nummer 397 skriver man som sagt 396 i binær:
(0)
2
Kilde: http://www.pernoergaard.dk
2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt
Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik
Side 7 af 8
Man læser så tallet fra venstre mod højre. Og adderer 1-tallerne. Når man kommer til et 0 skifter
man fortegn på den allerede adderede sum så den altså bliver negativ og vice-versa ved et nyt 0. Det
efter følgende 0’er bliver adderet som normalt uanset fortegn.
Tone nummer 397 må altså være den samme som tone nummer 1:
Første 1-tal (sum=1), andet 1-tal (sum=2), 0-tal (sum=-2), 0-tal (sum=2), 0-tal (sum=-2), 1-tal
(sum=-1), 1-tal (sum=0), 0-tal (sum=0), 0-tal (sum=0)
Fordelen ved denne metode frem for rekursion er at man kan definere et hvilket som helst tal i
uendelighedsrækken uden at kende dem der ligger før.
Voyage into the golden screen
Voyage into the golden screen er et af Per Nørgaards hovedværker og det er her han for alvor
bruger uendelighedsrækken. Kompositionen er i to sats. Idéen bag kompositionen er en slags
bevægelse (voyage), som samtidig er en tilstand (screen). Og denne beskrivelse kan også nemt føres
hen på uendelighedsrækken. Uendelighedsrækken bevæger sig hele tiden og finder nye toner, men
samtidig springer den også hele tiden tilbage til nogle bestemte toner. Den udvikler sig for at trække
sig tilbage mod startpunktet, for så at udvikle sig mere og trække sig tilbage, og så udvikle sig
endnu mere og så videre.
Første sted uendelighedsrækken dukker op er på
fløjtens del ved ”A”. I første takt starter fløjte 1 med at
spille fra en ende af på uendelighedsrækken i
ottendedele. Og fløjtemelodien fortsætter hele sangen
igennem og danner en helt klart fremtrædende
melodistemme, som blot understøttes af de andre
instrumenter. Både klarinetten og oboen spiller hver
deres egne uendelighedsrækker, blot forskudt i forhold
til fløjten. Klarinetten starter på tone 2 hos fløjten og
spiller halvt så hurtigt. På den måde bliver klarinetten
enstemmig med fløjten. Samme gælder for oboen som
starter på fløjtens fjerde tone og som spiller i kvart
tempo af fløjten. Samtidig kan man sætte oboen i
forhold til klarinetten. Oboen starter på klarinettens
anden tone og spille halvt så hurtig og er derfor
enstemmig med klarinetten. Det er ikke kun klarinetten
og oboen, der spiller uendelighedsrækker. Det gør alle instrumenterne – og alle sammen
enstemmigt. På hver 256. tone spiller alle instrumenterne. Det sker kun 4 gange i løbet af denne
sats.
Matematisk kan man stille det op så
at en fordobling i starttonenummer
skal betyde en halvering i tempoet
hvis det skal være enstemmigt. Eller
ved en funktion der definerer
enstemmighed:
2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt
Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik
Side 8 af 8
Rytmisk er instrumenterne forskudt i forhold til hinanden. Dette er grundet at instrumenterne skal
starte på et tone nummer i to’er-potensrækken (2,4,8…). At starte på tone 4 er skævt. I almindelig
musisk sammenhæng vil det virke mere naturligt at starte på femte tone. Det giver satsen en
dynamisk egenskab.
Det gyldne snit
Per Nørgaard bruger ofte det gyldne snit i sine kompositioner. Det gyldne snit er et virkemiddel
som ofte bruges inden for kunst. Per Nørgaard har valgt at brug det til at forminddele sit stykke.
I almindelig forklaring bruges det gyldne snit om en linje som deles så netop det ene stykke er phi
gange så stort som det andet:
x x*Φ
Phi er defineret ved tallet og det kan tilnærmes med værdien 1,618.
Per Nørgaard bruger det gyldne snit til at dele de forskellige instrumenters nodelængder op. Hvis
man tager udgangspunkt i instrumenterne med laveste nodelængder, så kan man se at forholdet til
nodelængderne ved de instrumenter med lidt længere nodelængder vil være en tilnærmelse af phi.
For at tage udgangspunkt i klarinetten. Den spiller fjerdedele (som i øvrigt bliver spillet på et sted,
der deler hver takt op i det gyldne snit). Oboen spiller ottendedele, der er forlænget over en
fjerdedel. Altså 1½ gang så lange noder, hvilket er en tilnærmelse af phi. Harpen spille en
ottendedel forlænget over en halvnode. Dette giver igen et gyldent forhold. Næste instrument er
fagotten. Den ligger ikke helt i samme forhold, da den har dobbelt så store nodelængder som
harpen. Fagotten sat i forhold til fløjten giver dog igen et gyldent forhold. Den ene fløjte spiller
helnoder som er forlænget i par. Og det samme forhold fortsætter tilnærmelsesvis.
Konklusion
Med Voyage into the golden screen har Per Nørgaard fået sat alt i system. Intet forekommer uden
en matematisk grund. Hans uendelighedsrække bliver ført ud i verden. Om det er med 4 toner i
løbet af satsen, som hos klaver, vibrafon og chimes, eller om det er 1024 toner som hos fløjterne, så
er der blevet skabt et værk hvor alt følger hinanden i system.