Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
1
STX Fysik A - Plasmafysik og fusionsenergi
Fysik i det 21. århundrede
Vejledende opgaver
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive en kommentar om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af
WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
Forkortelsen PF refererer til bogen ”Plasmafysik og fusionsenergi - fremtidens energikilde” af Fysikforlaget.
Formler og konstanter findes i bogens 2 sidste sider.
Opgave 1: TFTR
a)
Størrelsen af magnetfeltet i en torus er:
Midt i torus er afstanden fra centrum lig med storradius. Det vil sige
Antallet af vindinger er
Vakuumpermeabiliteten findes ved opslag i PF:
Vi beregner størrelsen af magnetfeltet midt i torus, når strømstyrken i vindingerne er maksimal (den er
kraftigt voksende i en tokamak), dvs.:
Vi får så:
Det vil sige, at størrelsen af magnetfeltet midt i torus ved maksimal strømstyrke er 5,19 T.
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
2
b)
Den gennemsnitlige kinetiske energi for partiklerne i en gas med den absolutte temperatur er:
Vi har, at:
Vi finder
i PF:
Da får vi:
Den gennemsnitlige kinetiske energi for deuteriumkerner ved denne temperatur er således
Kinetisk energi er givet ved:
Massen af en deuteriumkerne kan estimeres som antal nukleoner gange enheden unit, som svarer til
Vi får så:
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
3
Deuteriumkerner med den beregnede gennemsnitlige kinetiske energi har således farten
.
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
4
Opgave 2: Fusion
a)
Trykket i en ideal gas (vi antager, at det nævnte plasma er i ligevægt og derfor kan opfattes som en ideal
gas) kan beregnes som:
Tætheden er den samme for tritium og deuterium. Det vil sige:
Til hver ion hører desuden en fri elektron, så den samlede tæthed er:
Vi har, at:
Vi finder
i PF:
Da får vi:
Trykket i plasmaet er således
.
b)
Den gennemsnitlige kinetiske energi for partiklerne i en gas med den absolutte temperatur er:
Vi har, at:
Vi finder
i PF:
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
5
Da får vi:
Den gennemsnitlige kinetiske energi for tritiumioner ved denne temperatur er således
Kinetisk energi er givet ved:
Massen af en tritiumion kan estimeres som antal nukleoner gange enheden unit, som svarer til
Vi får så:
Tritiumioner med den beregnede gennemsnitlige kinetiske energi har således farten
c)
Reaktionsraten er givet ved:
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
6
Hvor:
Vi aflæser reaktiviteten ved
, og finder, at:
Reaktionsraten bliver da:
Reaktionsraten for fusion mellem deuterium og tritium er således på
.
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
7
Opgave 3: Fusionsreaktor
a)
Reaktionsraten bestemmes vha. tæthederne og reaktiviteten som:
Hvor tæthederne er:
Og reaktionsraten er:
Vi sætter
(da WordMat ellers ikke opfatter det som én variabel) og bestemmer reaktiviteten
ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Reaktiviteten for fusionen mellem deuterium og tritium i reaktoren er således:
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
8
Opgave 4: Plasma
a)
Densiteten af blandingen er givet ved:
Vi kan se bort fra elektronernes masse, da massen af en elektron er af ubetydelig størrelse i denne
sammenhæng.
Der er lige mange tritiumkerner som deuteriumkerner. Det vil sige, at:
Vi får da:
Vi anvender nu, at den samlede tæthed er givet ved
. Vi får så:
Massen af hver tritium- og deuteriumkerne kan estimeres som nukleontallet gange enheden unit, som
svarer til
Vi har, at:
Vi får så:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Tætheden af atomkerner er således
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
9
b)
Størrelsen bestemt af udtrykket
er konstant under sammenpresningen. Index 1 tildeles størrelser
inden sammenpresning, mens index 2 tildeles størrelser efter sammenpresningen, hvor energien er 10 keV:
Energien på 10 keV efter sammenpresningen er den gennemsnitlige kinetiske energi for partiklerne i
plasmaet. Denne energi er givet ved:
Efter sammenpresningen har vi, at:
finder vi ved opslag i FP:
Vi kan nu bestemme
:
Ligningen løses for T_2 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Inden sammenpresningen har vi, at:
Vi har nu alle størrelser på nær
, som vi derfor bestemmer ved at løse ligningen:
Ligningen løses for n_2 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Tætheden af atomkerner, når deuterium og tritium fusionerer er således
.
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
10
c)
Fusion opnås ved ligevægtssituationen break-even, hvor Lawson-kriteriet akkurat er opfyldt:
Ved den mindst mulige indeslutningstid (dvs. den strengt nødvendige), vil der gælde, at:
Fusionsprocessens -værdi findes i PF, side 30)
Vi omregner til joule, idet
Vi fandt i spørgsmål b), at fusionen foregik ved:
Vi fandt også tætheden:
Desuden kender vi
:
Vi aflæser reaktiviteten ved
af grafen :
Vi indsætter alle kendte størrelser i Lawson-kriteriet og løser ligningen for den mindst mulige
indeslutningstid:
Ligningen løses for τ vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den nødvendige indeslutningstid for at opnå fusion vurderes således at være omkring:
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
11
:
Bemærk den dobbeltlogaritmiske skala, når du skal aflæse reaktiviteten.
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
12
Opgave 5: Fusion i JET
a)
Størrelsen af magnetfeltet i en torus bestemmes som:
I centrum af plasmaet er afstanden til centrum lig med storradius. Det vil sige:
Antallet af vindinger er
Strømstyrken er:
Vi finder vakuumpermeabiliteten i PF:
Vi får så:
Størrelsen af magnetfeltet fra strømstyrken i vindingerne i centrum af plasmaet er således .
b)
Elektrisk effekt kan beregnes som:
Resistansen beregnes som:
Resistiviteten af et plasma bestemmes som:
Det vil sige, at:
Vi har, at:
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
13
Temperaturen er:
Strømstyrken i plasmaet er:
Længden sættes lig med omkredsen af torus fra midten af plasmaet. Det vil sige omkredsen af en
cirkel med radius (storradius):
Tværsnitsarealet er lig med arealet
af en cirkel med radius (lilleradius):
Konstanten er givet ved:
Vi får så:
Den afsatte effekt i plasmaet, når temperaturen er
vurderes således at være omkring 44 kW.
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
14
Opgave 6: Fusionsreaktor
a)
Trykket i en ideal gas (vi antager, at plasmaet er i ligevægt og dermed opfører sig som en ideal gas) kan
beregnes som:
Tætheden af tritium såvel som deuterium er:
Til hver af kernerne hører desuden en fri elektron, så den samlede tæthed er:
Og:
VI finder
ved opslag i PF:
Vi får så:
Trykket i reaktoren er således .
b)
Energien pr. reaktion er givet ved -værdien, og antallet af reaktioner er givet ved . Vi får så:
Antallet af reaktioner pr. volumen pr. tid er givet ved reaktionsraten
Der gælder, at:
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
15
Det vil sige:
Fusionsenergien bliver så:
Effekt er givet ved:
Fusionseffekten bliver så:
Vi har, at:
Reaktiviteten aflæses af grafen ud for temperaturen :
Rumfanget er:
Fusionsprocessens -værdi findes i PF, side 30.
Vi omregner til joule, idet
Vi får så:
Fysik A STX - Plasmafysik og fusionsenergi -
16
Den effekt, hvormed der frigøres energi ved fusion i reaktoren, er således på .
:
Bemærk den dobbeltlogaritmiske skala, når du skal aflæse reaktiviteten.