Matematikprojekt 1
Avedøre værket
3TD
fig 2
Opgivet information:
Pyramidestubbens 4 sider danner samme vinkel med grundplanen.
Pyramidestubben er placeret i et 3-dimentionelt koordinatsytstem med grundfladen i xy-planen, hvor
hjørnepunkterne A=(40,0,0) og C=(0,40,0).
Forlængelsen af pyramidestubbens skrå kanter ender i en spids, P=(20,20,80).
Pyramidestubbens øverste flade er skrå. På den kant der er paralel med stykket AB, er punk
. På den modsatte kant er punkt .
På pyramidestubben ses en kasseformet udbygning. En af skæringslinjernerne mellem denne og
pyramidestubben udgøres af stykket FG.
Punkterne , ,
To udluftningsrør, som går gennem en udskæring i taget har samme diameter,
Opgaver:
(1.1)(1.1)
a)
Bestem koordinaterne til punkt B i grundfladen.
Da grundplanen ABC er en kvadrat der ligger på xy-planen, er koordinaterne til B en
sammenlægning af A og C.
Koordinaterne til B er derfor (40,40,0).
b)
Opstil en parameterfremstilling for den linie, der går gennem B og P.
En parameterfremstilling få en linje, med to punkterne udregnes således:
(3.4)(3.4)
(3.6)(3.6)
(2.2)(2.2)
(3.1)(3.1)
(3.2)(3.2)
(3.5)(3.5)
(3.3)(3.3)
(2.1)(2.1)
for linjen BP ser det således ud:
c)
Bestem koordinaterne til punktet
Nu kan vi isolere t ved hjælp af ligningen op for z-koordinaten.
solve for t
Nu kan vi indsætte t på de andre koordinater og herved finde koordinaterne til t.
at 5 digits
at 5 digits
Herved får vi at
d)
(4.4)(4.4)
(4.2)(4.2)
(4.3)(4.3)
(4.1)(4.1)
(4.5)(4.5)
(2.1)(2.1)
Planens lingning på normalform er givet ved
a, b og c er en retningsvektor i planen, og x, y og z er koordinaterne til et punkt i planen.
normalvektoren n findes ved kydsproduktet af to vektore i plane:
Her vil jeg bruge punkterne A, B og D, da de alle ligger i planen.
Først udregner vi vektoren
Nu udregnes vektoren
Da store D, er beskyttet i maple benytter jeg til udregningerne lille d.
Fordi at vi nu har to vektore i planen, kan vi bruge kydsproduktet af dem, til at finde normalvektoren.
(4.7)(4.7)
(4.8)(4.8)
(2.1)(2.1)
(4.6)(4.6)
Da vi nu har normalvektoren og et tilfældigt punkt i planen, her brugers punktet B.
Nu udregner vi d.
e)
Beregn vinklen mellem en af pyramidestubbens skrå sider og grundplanen, xy.
vinklen imellem de to, da vi ved at vinklen mellem normalvektorene er den samme som vinklen
imellem planenerne.
Først udregner vi vektorene
(5.6)(5.6)
(5.2)(5.2)
(5.5)(5.5)
(5.4)(5.4)
(5.3)(5.3)
(2.1)(2.1)
(4.6)(4.6)
Nu finder vi krydsproduktet af de to vektore. Det vil give os normalvektoren for grundplanen.
Vinklen imellem de to vektore udregnes ved følgende formel:
Skalarproduktet udregnes ved denne formel
Længden af vektorene udregnes således
(5.8)(5.8)
(6.4)(6.4)
(4.6)(4.6)
(5.7)(5.7)
(6.1)(6.1)
(6.5)(6.5)
(6.2)(6.2)
(6.3)(6.3)
(2.1)(2.1)
Nu kan vi sætte det hele ind i ligningen, og regne vinklen ud.
at 5 digits
f)
33.750
Nu har vi alle G's koordinater.
(6.12)(6.12)
(6.11)(6.11)
(6.7)(6.7)
(6.8)(6.8)
(6.9)(6.9)
(4.6)(4.6)
(6.6)(6.6)
(6.10)(6.10)
(2.1)(2.1)
Nu har vi derfor de tre punkter der skal til for at finde planen.
Nu skal vektorene og udregnes.
Nu skal vi finde krydsproduktet af de to vektore.
Nu kan vi udregne d.
Nu indsætter vi H i ligningen for d.
g)
(7.1)(7.1)
(7.8)(7.8)
(7.4)(7.4)
(4.6)(4.6)
(7.7)(7.7)
(7.5)(7.5)
(7.6)(7.6)
(7.2)(7.2)
(7.3)(7.3)
(2.1)(2.1)
Længden af normalvektorene udregnes med denne formel:
Længden burde gives ved men for at undgå problemer med navngivning i maple kalder jeg dem l.
at 5 digits
1566.800
137.720
Nu skal vi udregne prikproduktet af de to vektore.
Skalarproduktet udregnes ved denne formel
0.000
Vinklen mellem planenerne er givet ved følgende formel.
(8.5)(8.5)
(4.6)(4.6)
(8.1)(8.1)
(8.3)(8.3)
(8.2)(8.2)
(2.1)(2.1)
(8.4)(8.4)
h)
Først sætter vi x = t
solve for z
solve for y
Nu kan vi sætte det ind i parameterfremstillingen.
i)
Beregn arealet af den del af planen, der afgrænses af punkterne F, G og H.
Formlen for arealet af en trekant ser således ud:
Den er fundet i formelsamlingen: Matematik 112 førstehjælp til formler, af Lars Pedersen.
Vi genbruger vektorene da vi allerede har udregnet dem i opgave f.
(9.3)(9.3)
(9.1)(9.1)
(9.4)(9.4)
(9.5)(9.5)
(9.2)(9.2)
(2.1)(2.1)
(4.6)(4.6)
Så finder vi krydsproduktet af de to vektore.
Nu finder vi længden af vektoren.
Nu kan vi så bestemme arealet af trekanten.