Indholdsfortegnelse
Indledning ........................................................................................................................................... 3
Teori .................................................................................................................................................... 4
Differentialregning ............................................................................................................................... 4
Hældning i sekant og den lineære funktion fx=ax+b ........................................................................... 4
Grundliggende regneregler indenfor differentialregning: .................................................................... 5
a.Differentiation af simplere funktioner ............................................................................................... 6
a.Tretrins regel ..................................................................................................................................... 7
a.Optimering/ Maksimering og minimering ........................................................................................ 7
a. Monotoniforhold .............................................................................................................................. 8
a.Definitionsmængde ......................................................................................................................... 10
a.Værdimængde ................................................................................................................................ 10
a.Asymptoter ...................................................................................................................................... 10
i.Vendetangent .................................................................................................................................................. 10
a.Integralregning ............................................................................................................................... 12
a.Følgende regneregler for bestemte integraler: ............................................................................... 12
Integralregning på en enhedscirkel ................................................................................................................... 12
Stamfunktion ...................................................................................................................................... 13
Ubestemt & bestemt Integral ............................................................................................................. 13
Regneregler for integraler ................................................................................................................. 15
Integration ved substitution .............................................................................................................................. 15
Partiel integration ............................................................................................................................................. 15
Arealbestemmelser .......................................................................................................................................... 16
Løsningsmodeller .............................................................................................................................. 18
Dokumentation .................................................................................................................................. 21
Konklusion ........................................................................................................................................ 27
C:\C:\Documents and Settings\mahas18.KTSINFO\Dokumenter\3.g\Matematik A\Projektarbejde nr.4 -
KÆLKEBAKKEN.docx
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
Indledning
Snestrup Kommune har besluttet at for at der skal bygges en ny kælkebakke, og det er også på tid samt at
Snestrup byens borger skal kunne have glæde af det sammen med deres børn. Chefingeniører Hansen er
derfor ud efter at finde den perfekte kælkebakke, som senere hen bliver afvist af borgmesteren efter en lille
prøvetur. Da chefingeniører Hansens bakke er alt for stejl, at enhver kan komme til skade, ville borgmesteren
derfor have en mere sikker kælkebakke ellers vil chefingeniør Hansen blive fyret.
Jeg har ved hjælp af differentielregning og integralregning, som er nogle af de matematiske redskaber, der
har haft den største betydning for videnskaberne, lavet beregninger både på den gamle og nuværende
alternativ bakke, som er en mere sikker bakke til glæde for byens borgere.
Differentielregning og integralregning kaldes under ét for infinitesimalregning, det vil sige regning med
uendelig små størrelse. Integralregning, som jeg beskæftiger med er en slags differentialregning.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
Teori
Differentialregning
1. Differentialekoefficienten angiver en grafs stejlhed i givent punkt. Med andre ord findes
tangents hældning i punktet, hvorved man kan konkludere stigningstallet ved netop denne x-
koordinat.
2. En sekant er en linje som skarer en graf mellem to punkter A og B. En sekants hældning kan
findes ved formlen: aAB=fx-f(x0)x-x0. Resultatet angiver stejlheden a i et givent punkt
A(x0,(fx0)), hvor man så har valgt et andet punkt Bx,fx. En tangent er en ret linje, der berører en
kurve i et punkt, og har samme hældning som kurven i dette punkt. Altså angiver tangenten kurvens
stigning i netop et punkt, og er dermed et specialtilfælde af en sekant, som skarer grafen i to punkter.
Der galder følgende:
- tangenthældningen positiv → f(x) voksende.
- tangenthældningen negativ → f(x) aftagende
- tangenthældningen 0 → kan betyde extrema (maksimum/minimum) - eller vendetangent
Altså kan vi benytte differentialregning til mange ting indenfor matematik, heriblandt bestemmelse af
monotoniforhold og optimering.
For at funktionen kan differentieres skal den vare kontinuer:
Dog er der enkelte tilfælde som x (normerisk x). Grænseværdien kaldes differentialkvotienten ix0 og
betegnes f´(x0). Den angiver tangentens hældning. Grafen har så en tangent i x0,f´x0 .
Kontinuitet og differentiabilitet:
Hvis f er kontinuert i x0, er grafen sammenhængende i dette punkt, dvs. der er ingen spring i punktet. Hvis f
er differentiabel i x0, har grafen en tangent i punktet, dvs. grafen er glat i punktet. Hvis en graf er glat i et
punkt, er den nødvendigvis også sammenhængende, og derfor gælder denne sætning: Hvis funktion f er
differentiabel i x0, er den også kontinuert i x0.
Hældning i sekant og den lineære funktion fx=ax+b
Det er værd at forklare hvad en sekant er:
Som overnævnt er sekanter linjer som nærmer sig til tangenten i punktet på grafen og når x går mod 0 så
nærmer sekantens hældningskoefficient sig tangentens hældning.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
Funktionstilvæksten udregnes:
∆y=fx0+∆x-fx0
=ax0+∆x+b-ax0+b
=ax0+a∆x+b-ax0-b
=a∆x
Differenskvotienten:
a=∆y∆x=fx0+∆x-fx0 x0+∆x-x0
Grænseværdien for lim∆x→0∆y∆x:
For a er en konstant der ikke afhænger af ∆x. Differentialkvotienten er den fundne grænseværdi, så: f er
differentiabel i vilkårlig x0 med f´x0 .
Man kan se på den grafiske fremstilling ovenfor at det er oplagt at sekanten går mod tangenten i punktet på
grafen, samtidigt med at nabopunktet på grafen vil nærme sig tangenten i punktet på grafen. Dvs. at x går
mod 0. Vi ser også at vi har fundet 2 punkter på grafen som er henholdsvis ∆x, f ∆x +∆ xogx,fx.
Hvis vi skal finde differencekoefficienten eller hældningskoefficienten for sekanten det gør vi ved hjælp af
de to punkter, hvor vi tager udgangspunkt i at finde forskriften for en ret linje nemlig delta y divideret med
delta x. Hvilket er udtrykket for forskellen på y-værdierne divideret med forskellen på x- værdierne.
∆y∆x=fx0+∆x-fx0 x0+∆x-x0
Derefter tager vi udgangspunkt i hældningskoefficienten for sekanten som vi lige har fundet til at finde
hældningskoefficienten for tangenten. (f’(x) udtrykker hældningskoefficienten for tangenten) og (Lim er lig
grænseværdien for delta x).
lim∆x→0∆y∆x
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
Dermed har vi bevist hvordan vi finder hældningskoefficienten for tangenten ved at lade x gå mod 0
samtidigt med at sekantens hældningskoefficient nærmer sig tangentens.
Grundliggende regneregler indenfor differentialregning:
Sammensatte funktioner er blandinger er to funktioner, hvor man sætter dem sammen og skaber et ydre og et
indre funktion. Desuden er der ingen grænser for hvor mange funktioner man sætter sammen. For eksempel:
fx=x og gx=x-3 og de kan sættes sammen ien ny funktion på følgende måde:
hx=fgx⇔
hx=gx⇔
hx=x-3
Der gælder en række generelle regler for differentialregning, som er både almene og vigtige. f(x) og g(x) er
differentiable funktioner og k er en konstant talværdi tilhørende de reelle tal. Det gælder nu at følgende at
følgende kombinationer af f(x), g(x) og k også er differentiable med de angivne differentialkvotienter:
1. hx=k*fx med h'x=k*fx'=k*f'x
2. hx=fx±gxmed h'x=fx±gx'=f'x±g'x
3. hx=fx*gxmed h'x=f'x*gx+fx*g'x
4. hx=fxgx med h'x=fxgx'=f'x*gx-fx*g'xgx2
5. hx=f*gx=fgxmed h'x=fgx'=f'gx*g'(x)
a. Differentiation af simplere funktioner
6. I følgende tabel kan man se de meste elementære funktionens differentialkvotient, som kan også
eftervises ved tretrinsregel, som jeg kommer senere ind på:
7. f(x)
8. f’(x)
9. K
10. 0
11. a*x
12. a
13. xn
14. n*xn-1
15. a*x a>0,
a≠1
16. lna*ax
17. cos(x)
18. -sin(x)
19. sin(x)
20. cos(x)
21. ex
22. ex
23. ax
24. ax*lna
25. lnx
26. 1x=x-1
27.
29. 1+tanx2
=cosx-2
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
28. tan(x)
a.
30.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
a. Tretrins regel
31. Vi bruger generelt tre trins regel til at bestemme og
finde ud af om differentielkvotienten f'(x) også kan skrives dydx, der yderligere viser at grænseværdien er
opstået ved hjælp af en brøk, på følgende måde:
32.
33.
34. Trin1. Bestem funktionstilvæksten ∆y for en lille tilvækst ∆x.
35. ∆
y=fx0+
∆
x
-
f(x0)
36.
37.
38.
39.
40.
41. Trin 2. Bestem differenskvotienten som er identisk med hældning αaf
sekanten imellem punkterne (x0, f(x0)) og (x0+∆x, f(x0+∆x))
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
42. α=∆y∆x=f(x0+∆x)-
f(x0)∆x
43. Trin 3. Bestem grænseværdien for når x→0.
44. f'x0=dydx=limx→0∆y∆x=limx→0f(x0+∆x)-f(x0)∆x
45.
46.
47.
48.
49.
a. Optimering/ Maksimering og minimering
50. Differentielregning kan bruges til at finde de største og mindste værdier af forskellige fænomener, og
det kan blandt andet være rumfang, arealer, omkreds af både objekter og figurer og etc. For udsætning er at
man kan udtrykke fænomenerne som differentiabel funktion. Altså at finde maksimum og minimum af
sådanne funktioner kaldes for optimering.
51.
52. Maksimering og minimering er et område, som viser den praktiske anvendelse af differentialregning.
Det er værd at lige forklar hvad er de punkter går ud på: Maksimum- og minimumspunkter kaldes for
ekstremumspunkter. Ved maksimums og minimumspunkter forstås, hvornår grafen "topper" eller ”bunder”,
eller har de højeste eller mindste y-værdier. Skæringen med x-aksen udregnes ved at løse ligningen 0=fx,
hvorimod en funktion kan kun skære y-aksen hvis x er lig nul. Skæringspunktet med y-aksen er derfor: 0,f0.
53. Der er opstillet 7 punkter, som fører en gennem en maksimering – eller minimerings opgave. Og
punktvis skitsering for løsning af simple optimeringsopgaver er:
54.
1. Find en funktion for det eller analyser den givne problemstilling, du vil optimere.
2. Eliminér andre uafhængige variable, så funktionen kan differentieres med hensyn til alene en
variabel.
3. Differentier funktionen, da differentialkvotienten i et punkt viser tangenthældningen i
punktet.
4. Find den aflededes nulpunkt(er), idet ligningen til tangenten i et tilhørende punkt er en
konstant (funktionsværdien) og tangentens hældning derfor er 0.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
5. Opstil monotonilinje for at få overblik over monotoniforhold og for at konkludere, om den
aflededes nulpunkt(er) viser et maksimum, minimum eller en vandret vendetangent hos den
oprindelige funktion. Og hvis det er maksimum eller minimum, kan man ud fra monotonilinjen og
definitionsmængden, se om det er lokalt eller globalt.
6. Giv et tilbageblik i opgaveteksten om man mangler noget.
7. Tjek resultaterne og for sikkerhedsskyld indtast funktionsudtrykket for det, der skal
maksimeres eller minimeres.
a. Monotoniforhold
55. Monotoniforholdet fortæller noget om hvornår
funktionen er voksende eller aftagende. En differentiabel funktion er y=f(x):
o Hvis f'(x) er mindre end nul, er funktionen aftagende
o Hvis f'(x) er større end nul, er funktionen voksende
o Hvis f'(x)er lige med nul, er funktionen enten minimum eller maksimum og saddelpunkt
(vendetangent)
1. Som nævnt er ekstrema grafens lokale og globale max. og min. punkter. Grafens globale max og min
er det højeste og laveste punkt på grafen, hvis der ikke er sat nogen begrænsning værdimængden Vm af
parablen og man ikke har fået opgivet et slutpunkt, er der kun ét max. eller ét min. punkt, hvilket oftest ligger
i parablens toppunkt. Man kan dog komme ud for at toppunktet ikke er med hvis der er sat en begrænset
definitionsmængde Dm, og så er det dét punkt der er tættest på toppunktet der er det globale max. eller min.
Hvis der er opgivet en Vm eller slutpunkter for grafen, er der både et globalt max. og min.
2. Grafens lokale max. og min. er de punkter der er sluttet men ikke er det højeste eller laveste, dette
forekommer hvis parablens ben ikke er lige lange, så er det korteste et lokalt min. eller max.
o Hvis f'(x) går fra - til + er det et minimumpunkt
o Hvis f'(x) går fra + til - er det et maksimumpunkt
o Hvis f'(x) går fra + til + og – til – er det et saddelpunkt
1. For eksempel ved denne tegnet parabel er der et globalt max. i toppunktet (3.5,4.4) og et globalt min
i (2,2.5).
2.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
a. Definitionsmængde
3. Dm(f) vil sige de x hvor der er tilknyttet en funktionsværdi.
Altså de x værdier som grafen kan antage i sin fulde udstrækning. Det kræver ingen speciel
undersøgelsesmetode. Da polynomier kan defineres for alle reelle tal(R) medmindre at polynomiet er
begrænset.
4. Eksempel: fx=x3-8x2+19x-12
5. Da den ikke er begrænset så er definitionsmængden alle reelle tal.
6. Dm (f) = R
a. Værdimængde
7. Værdimængden er de y-værdier, hvor der er tilknyttet en x-værdi. Altså de y-værdier som grafen
8. kan antage i fuld udstrækning i forhold til y-aksen. Med andre ord - en definitionsmængder fortæller
om den mængde af tal, som funktionen forbinder et y til. Det kræver ikke nogen særlig metode at finde
Vm(f) da det som regel altid er muligt at bestemme værdimængden ud fra de ovenstående punkter.
9. Eksempel: fx=x3-8x2+19x-12
10. Da grafen ikke er begrænset så kan vi konkludere at værdimængden er alle reelle tal.
11. Vm (f) = R
a. Asymptoter
12. En asymptote er en ret linje, som grafen for en funktion nærmere sig mere og mere når x-værdien
bevæger sig i en bestemt retning. Vi skelner nemlig imellem vandrette, lodrette og skrå asymptoter, hvor f er
et kontinuert funktion.
13. En vandret asymptote er en ret linje lv:y=k, hvorom der gælder:
14. limx→∞fx=k eller limx→-∞fx=k
15. En lodret asymptote er ret linje ll:x=k, hvorom der gælder:
16. limx→k-fx=∓∞ ellerlimx→k+fx=∓∞
17. En skrå asymptote er ret linje ls:y=ax+b, hvorom der gælder:
18. limx→∞fx-ax+b=0 eller limx→-∞fx-ax+b=0
i. Vendetangent
19. En vandret vendetangent er en tangent som ligger under en graf i den ene side, og i den anden side
går den over tangenten. En vendetangent findes ved at man differentierer en ligning 2 gange.
20.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
21.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
a. Integralregning
22. Integralregning er den modsatte regningsart til differentialregning. Det vil sige at hvis nu man
differentierer funktionen f(x), og man derefter har dens differentialkvotient, og så integrerer denne
differentialkvotient, er man tilbage hvor man startede, nemlig ved f(x). Man integrerer efter samme
principper som man differentierer.
23. Man har altid et sæt regneregler, som man bruger til at "omskrive" en funktion til en stamfunktion.
Dette gøres delvist ved fastlagte regneregler, og delvist ved brug af integration ved substitution, partiel
integration og andre brugevenlige regneregler.
24. Følgende regneregler for ubestemte integraler:
25. ∫f(x) dx = F(x) hvis og kun hvis F'(x) = f(x).
26.
27. - ∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx (Sum funktion)
- ∫(f(x) – g(x))dx = ∫f(x) dx – ∫g(x) dx (Differens funktion)
- ∫k · f(x) dx = k ∫f(x) dx (Multiplikation med konstant)
- ∫f(x) · g(x) dx = F(x) · g(x) – ∫F(x) · g'(x) dx) (Partiel integration)
- ∫f(g(x)) · g'(x) dx = ∫f(t) dt , hvor t = g(x) (integration ved substitution)
a. Følgende regneregler for bestemte integraler:
- abfxdx=Fb-F(a)
- abfx-gxdx=abfx-gxdx
- abfx-gxdx=abfx+kdx-ab(gx+k)dx
-
Integralregning på en enhedscirkel
- Nedenunder kan I se en enhedscirkel. På dette cirkel kan vi integrere cos, sin eller -cos og -sin.
-
- Vi kan bruger reglen som siger at man skal følge pilen, altså vi skal gå mod urets retning. Altså når vi
integrerer sin får vi -cos. Dvs. at vores f(x)= sin x og F(x) = -cos x.
- f(x)
- F(x)
- cosx
- sinx
- sinx
- -cosx
- -cosx
- -sinx
- -sinx
- cosx
o Stamfunktion
- Vi har vores normale funktion f(x), hvor til der hører en differentieret funktion, som vi kalder f'(x)
eller f(x)’s afledte funktion. Denne funktion finder vi ved at differentiere, hvilket man gør ud fra en bestemt
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
formel der hedder; x
a = axa-1
. Men noget af det der skal stå i denne her opgave, er hvordan vi finder f(x)’s
stamfunktion.
- Når man integrerer en potensfunktion, som sker ofte, gælder det nemlig at; x
a = 11+ax
1+a
. Her er det
modsat af, hvordan man finder den afledte, f'(x). Ved differentiation skal man trække 1 fra oppe i
eksponenten, hvor man ved integralregning skal lægge 1 til. Jeg giver et lille regne eksempel på hvordan
dette kunne se ud – vi har nu følgende funktion:
- f(x)=2x
2+3x+4
- Først finder vi den afledte funktion;
- f'(x)=2*2x
2-1+1*3x1-1+0*4x0-1 ⇔ f'(x)=4x+3
,
- Som vi kan se, følger vi differentielreglen, der siger x
a = axa-1
. I det sidste led (+4), står der egentlig x
0
,
som er lig med 0 og derfor forsvinder ledet helt.
- Nu vil vi integrere samme potensfunktion, altså gå den modsatte vej af
at differentiere. Vi har først vores følgende almindelige funktion:
- f(x)= 2x
2+3x+4
- Som vi så skal integrere dette for at finde stamfunktionen, det skriver
således:
- F=2x2+3x+4dx = 2*11+2 x
2+1+3* 11+1 x1+1+4*11+0 x0+1⇔
- 2*11+2x
3+3*11+1x2+4*11+0x1⇔
- Fx=23x
3+ 12x2+ 4x+k
- Hvis man nu vil kontrollere resultatet om det er positivt, gøres ved at
differentiere det udtryk man er kommet frem til, og se om det bliver til f(x), (F'(x)=f(x)).
- Hvis F(x) er stamfunktion af f(x) er G(x) stamfunktion til samtlige funktioner: G(x) = F(x) + k,
dvs. at f(x) har uendelige mange stamfunktioner, der kun afviger med en konstant. Konstanten forskyder
funktionen på y-aksen, som gør at stamfunktionerne aldrig skærer hinanden.
- Når vi skal finde stamfunktionen til f(x), har vi en bestemt måde at
skrive det med, så man ved, at nu skal man integrere og ikke differentiere. Vores integraltegn: ∫, som ganske
enkelt betyder at vi skal til at integrer, men der hører mere til. F=∫f(x)dx, kommer tilbage fra den første
integralformel, som er: dydx=f(x). Man ganger først dx over på højre side af lighedstegnet, derefter skal
integrere begge sider af lighedstegnet, hvor dy bliver y og højre side bliver det samme, da der står en ukendt
funktion som skal integreres, så ∫dx fjernes først når f(x) bliver integreret.
- Dette var blot en visning af en af de mange måder at integrere på, da
dette kun gælder for potens funktioner. Hver slags funktion, logaritme funktion, eksponentiel funktion osv.,
har hver deres regneregler og formler for hvordan man finder f(x)’s stamfunktion.
o Ubestemt & bestemt Integral
- Vi har to former for integraler, bestemt og ubestemt: Når vi snakker
om ubestemte integraler, er det når vi finder stamfunktionen til f(x). Dvs. når vi ikke skal bruge funktionen til
at bestemme et eksakt område, men blot vil have bestemt stamfunktion og dens konstant, for at finde præcis
hvor funktionen er i vores koordinatsystem. Jeg vil ikke skrive beviset for ubestemte integraler, da der er
skrevet lidt om det oppe i afsnittet om stamfunktioner.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- Når det gælder bestemte integraler, er det når vi har f(x) med
begrænsninger. Altså når vi har en funktion eller to funktioner, hvor der skal bestemmes et areal eller
lignende, så er der begrænsninger på, for at fortælle os, at det er mellem de begrænsninger, arealet skal
udregnes. Når der kun er en funktion, er der oplyst vores øvre og nedre grænser, men ved to funktioner er det
skæringspunkt(erne), der er arealets grænse.
- Jeg vil her bevise hovedsætningen for bestemte integraler, hvor af det
gælder;
- abfxdx=Fb-F(a)
- Først forklares det, at f(x) skal være større end nul, fx≥0, hvor at x
hører til mellem begrænsningerne a og b, x ϵ a;b. Derved kan man nu skrive hvor arealet skal findes; x,y|
a<x>b 0≤y≥f(x).
- For eksempel A(x) arealet mellem a og x, som jeg nu vil bevise at
A’(x)=f(x), hvilket betyder at A er stamfunktion til f. Vi indtegner nu et felt under vores kurve og over x-
aksen, for hvilket det gælder, at;
- A(x + ∆x)-A(x)⇔
- f(x)*∆x≤Ax+∆x-Ax≥fx+∆x*∆x⇔
- f(x) ≤A(x+∆x)-A(x)∆x≥fx+∆x
- Her dividerer vi med ∆x, som er positiv, for at det nu ligner vores
differens kvotient.
- Nu hvor ∆x er med i vores funktion, går vi tilbage til vores
grænseværdier, som fortæller os at ∆x→0: fx+∆x=fxda ∆x→0
- A(x+∆x)-A(x)∆x≥fx
- Men da det også gælder, at;
- A(x+∆x)-A(x)∆x≥A'x da ∆x→0
- Er det så her bevist at A’(x)=f(x), altså er A(x) stamfunktion til f(x).
Men det er ikke helt nok, da jeg lovede at bevise hovedsætningen, så er fortsætter vi; hvis F også er
stamfunktion til f, må følgende sætning gælde;
- A(x)=F(x) +k
- Nu vil vi gøre gældende for konstanten k, at vi kan indsætte a på x’s
plads, hvor vi så får;
- 0=A(a) = F(a) + k → 0=F(a) + k → k= -F(a)
- Nu kan vi substituerer k ud med – F(a); Vores begrænsninger siger
stadig; x,y| a<x>b 0≤y≥f(x), så nu skal vi indsætte b på x’s plads i formlen A(x)=F(x)+k, for at finde
arealet der passer til x>b på følgende måde:
- A(b)=F(b)-F(a), (ved sub af k med – F(a))
- Da A(x) er stamfunktion til f(x), har vi bevist at hovedsætningen
passer, da det nu kan skrives som;
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- abfxdx=Fb-F(a)
- Et eksempel på et simpelt bestemt integral af funktionen:
- fx=3*x2
- Mellem punkterne 2; 5. Resultatet af det bestemte integral er lig arealet under kurven beskrevet af
f(x) imellemx-værdierne a og b. Konkret udregnes arealet som:
- A=abfxdx=Fx=b-F(x=a)⇔
- A=253*x2dx=x352 =53-23=125-8⇔
- A=117
- 117 er altså arealet under kurven.
-
o Regneregler for integraler
- Jeg har valgt at tage beviset med både for integration ved substitution og partiel integration med, da
jeg mener de er rimelig relevante, for mår man står overfor en integrationsopgave, kommer man nemt ud for
dem begge dele.
Integration ved substitution
- Integration ved substitution er en metode til integration af sammensatte funktioner – herved man
erstatter eller rettere sagt substituerer den indre funktion. Det betyder at hvis f(g(x)er en sammensat
funktion, F(x) er en stamfunktion til f(x) og g’(x) er differentialkvotienten af g(x)vil følgende gøre sig
gældende:
- fgx∙g'xdx=Fgx+k
- For at bevise ovenstående bruges kontrol af ligninger, hvor højre side af lighedstegnet differentieres,
dette skulle gerne være lig med venstre side af lighedstegnet:
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- Fgx+k'=(Fgx'+ k' venstre side fra ovenstående differentieres
- Fgx'+ k'=F'gx∙g'x Regnereglen om eller fås
ved differentiation af sammensatfunktion benyttet
- F'gx∙g'x=fgx∙g'x F’(x) = f(x) Derved er hovedsætningen for integration ved
substitution bevist. Det er også vigtigt at vi fremhæver det i en ramme.
Partiel integration
- Partiel integration er når der ønskes integreret et produkt af f.eks. f(x) og g(x), eller når det er en
kvotient til andre funktioner.
- Hvis G(x)er en stamfunktion til g(x) er følgende gældende:
- fx∙gxdx=fx∙Gx- f'x∙Gxdx
- For at bevise ovenstående bruges kontrol af ligninger, hvor højre side af lighedstegnet differentieres,
dette skulle gerne være lig med venstre side af lighedstegnet:
- fx∙Gx-
f'x∙Gxdx'=fx∙Gx'-
(f'(x)∙Gxdx)'
- Regnereglen for differentiation af en differens benyttes
fx∙Gx'- (f'(x)∙Gxdx)'=(f'x∙Gx+ fx∙G'(x))-f'(x) ∙G(x)
- Her er brugt formlen for differentiation af et produkt
- f'x∙Gx+ fx∙G'x-f'x∙Gx=fx∙g(x)
- fx∙g(x)=fx∙g(x)
- Det er nu bevist at den højre side af lighedstegnet er stamfunktionen
f(x)*g(x), da det bliver det samme resultat på begge sider.
Arealbestemmelser
- Arealbestemmelser bruges til at finde arealer, enten mellem to grafer eller mellem én graf og
x=aog(x=b), som tegner to lodrette linjer på x-aksen. Jf. vores begrænsningssætning der siger følgende;
- x,y| a<x>b 0≤y≥f(x),
- Et areal mellem to funktioner eller kurver bestemmes ved hjælp af integralregning. Man integrerer
først de to funktioner, grafer eller kurver og derefter subtraherer man dem. Altså at x må ikke gå udover a og
b. Med det følger der en hovedsætning, som lyder;
- abfx-gxdx
- Da vi siger at f(x) er større end g(x), skal f(x) stå først i vores hovedsætning. Havde det været
omvendt, at g(x) var større en f(x), skulle g(x) stå først i sætningen.
-
- Ifølge vores graf, skulle g(x) lægge under x-aksen, det går normalt ikke, da arealet under x-aksen
bliver negativ. Men da vi her skal finde arealet mellem to funktioner der ikke skærer hinanden, er det lige
meget. Jeg vil nu bevise at det ikke er nødvendigt at forskyde dem over x-aksen.
- Vi har vores to funktioner f(x) og g(x) som skærer x-aksen, vi forskyder nu de to funktioner så de
netop ikke rører x-aksen. Dvs. vi har to arealer af samme størrelse, med funktionerne f(x)+k og g(x)+k det
sætter vi lig med vores hovedsætning, som gerne skulle blive det samme i sidste ende.
- abfx-gxdx=abfx+kdx-ab(gx+k)dx
-
-
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- Her bruger vi regnereglen for integration af differens, som siger at man må integrere hvert led for
sig. Her trækker vi dem bare sammen igen på højre side af lighedstegnet:
-
- =abfx+k-(gx+k)dx
- Nu benytter vi reglen om at ophæve negative parenteser, og
ændre fortegn:
- =abfx+k-gx-kdx
- Herefter skal vi bare trække sammen på vores ligning;
- abfx-gxdx=abfx-gxdx
-
- Dette beviser nu, at når man skal finde areal mellem to grafer to lodrette linjer a;bbetyder det ikke
noget at de ligger over eller under x-aksen, da det i sidste ende giver samme resultat.
-
-
- Der er selvfølge flere forskellige måder at bestemme et areal på. Vi har det der hedder og højre og
venstre summer, som er en metode, hvor vi deler arealet op i små delintervaller. Dem regner man arealet ud
på og får ca. det areal man skal have i virkeligheden. Det skrives på denne måde;
- limn→∞i=0n-1f(xi)∆x , Venstre sum
- limn→∞i=1nf(xi)∆x , Højre sum
-
- Dette betyder at, når n går mod uendelig, vil arealet af f(x), blive mere præcist. Højre- og venstre
sum betyder at man enten går fra højre mod venstre, med at tegne intervaller op til funktionen, eller man går
fra venstre mod højre.
-
-
-
-
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- Løsningsmodeller
- Projektet indeholder 5 opgaver med under delspørgsmål:
- Opgave 1
- Vi skal finde ud bakkens stejlhed. Der er flere forskellige metoder til at beregne stejlheden ved
bakkens slutpunkt, hvilket i dette tilfælde er skæringen i x-aksen. Funktionen kan bl.a. skitseres ind i
programmet Graph, derved lave en tangent til bakkens skæringer i y – x – aksen.. Hermed vha.
sinusrelationen komme frem til hældningen af bakken. Man kan også tage bakkens funktion og differentiere
den og derved finder man bakkens hældning på tangenten, så kunne man tage inverse tangens for at finde
antal grader, altså tager tan
-1
til resultatet. Jeg vælger så at differentiere, da det giver et mere præcist resultat.
- Opgave 2
- Vi skal lave en skitse af både den nye samt den gamle bakke. I denne del af opgaven tager jeg
udgangspunkt i at den gamle og nye bakke skal have samme areal/volumen jord. Man kan brug programmet
Graph til at indtegne graferne for at bestemme deres profiler, og finde arealet ved at tage den fundne funktion
og integrere den med dens grænseværdi a og b. Da funktionen får et konstant fald på 13° med vandret og
arealet under de to kurver A1 og A2 skal være lige store, kan vi isolere længden af bakken. Derudover
oplyses en af vinklerne af den retvinklede trekant. I dette tilfælde kender jeg to vinkler, hvilket betyder jeg
kan finde den tredje vinkel, da jeg ved hvor mange grader en trekant har. Herfter finder jeg en formel, hvor
sidernes vinkler, arealet, og en side indgår, således kan jeg også får højden.
- Opgave 3
- Vi skal beregne, hvor meget jord, der skal flyttes. Nu har vi to kurver som sættes lige med hinanden
for at finde skæringspunktet for/mellem disse to kurver ved at tage funktionsforskriften fra forrige opgave,
og sætte den lig med den forskrift fra opgave og sætte lige med 0 for at isolere x-værdien. Nu kan jeg
endelige finde det areal der skal omflyttes og det gør jeg ved at integrere begge funktion med grænseværdier
fra nul til hvor de skærer hinanden, og herefter ganger jeg arealet med bredden på 200 for at finde
volumenet.
- Opgave 4
- I denne del af opgaven er der mange delspørgsmål. Jeg starter med at finde om Yvettes bakkeforslag
kan lade sig gør uden at der tilføjes ekstra jord. Jeg finder areal af Yvettes bakkeforslag og sammenligne
med vores forrige areal, så dette areal subtraheres fra arealet for den nye bakke, og finde hvor meget jord der
er i underskud/overskud.
- Nu skal jeg finde om det er muligt at bakken har en hældning på imellem 45-60
o
på det midterste
stykke. Jeg tager funktionen og differentier den og derved finder man bakkens hældning. Man kunne også
aflæse det på grafen, men min måde at regne på er mere sikret.
- Opgaven lyder om hvor stejlt det stejleste sted på bakken er. Jeg starter med at differentier Yvettes
funktion og derved find hældningen. Jeg ender med en lille tredjegrads ligning. Da det er svært at regne på,
lader jeg mig selv at differentiere den differentierede funktion igen. Efter den er differentieret to gange
isoleres x, og derved finder jeg x-koordinater til det sted på bakken der er stejlest.
- Opgave 5
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- Jeg skal vælge en funktion, der kan være til grundlag for vores smag for idékonkurrencen der tager
udgangspunkt i det vundne forslag.
- Opgave 6
- I denne del af opgaven skal der indtegnes en tværsnitsskitse af kloakledningen samt bakken. Jeg har
blandt andet brugt programmet Graph.
- Opgave 7
- I denne del af opgaven skal der udregnes arealet af det jord, der skal bortgraves. Jeg starter med at
finde arealer for de givende funktioner, som findes til de forskellige kurver/profiler for bakke, område og
kloakledningen, som derefter lægges sammen, og ganges med bredden for at finde hvor stor mængde jord
der skal bortgraves.
- .
-
-
-
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
-
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- Dokumentation
- Opgave 1: Hvor stejl er bakken i bunden (=ved skæring i med x-aksen)? Og bliver chefingeniør
Hansen mon fyret?
- Jeg starter med at finde skæring med x-aksen ved at bruge den givne ligning, hvor bakkens toppunkt
er ved x=0.
- fx=19-2*1,05x=0⇔
- 2*1,05x=19⇔
- 1,05x=9,5⇔
- Herefter tager jeg logaritme af begge led om lighedstegnet og dermed isolerer x:
- x log1,05=log9,5⇔
- x=log9,5log1,05=46,14
- Jeg herefter finder kurvens hældning ved at differentiere den angivne ligning:
- fx=19-2*1,05x=0
- f'x=-2*1,05*1,05x
- Hvis nu vi siger at tan(v)=f'x, da tanv=dydx. Derefter indsættes der den fundne værdi for x.
- f'46,14=-0,92
- Det vil at tanv=dydx=-0,92, som svar til:
- tanv=-0,92⇔
- 3602*π*tan-1-0,92=-42,83°
- Nu har jeg fundet ud af at bunden af bakken er -42,83° stejl, og chefingeniør Hansen bliver ikke
fyret.
-
- Opgave 2. Lav en skitse med mål (længde og højde), som viser hvordan profilen for både den gamle
og den nye bakke ser ud, hvor tværsnitsarealet skal være den samme for den gamle og den nye bakke.
- Jeg starter med at finde arealet af den første bakke, hvor at x hører til mellem begrænsningerne a og
b, (x ϵ a;b) og i dette tilfælde ligger a;b i intervallet mellem0;46,14
- A=abfxdx=Fb-F(a)
- A1=046,1419-2*1,05xdx⇔
- A1=19*x-2log1,05*1,05x46,140⇔
- A1=19*46,24-2log1,05*1,0546,14+2log1,05⇔
- A=876,70-398,42+40,99⇔
- A=528,27m2
- Da tværsnitsarealet for både for den gamle og den nye bakke skal være
det samme (A1=A2), gælder det så at længden for den anden bakke, hvor den får et konstant fald på 13°
med vandret, på følgende måde, hvor:
- A2=12*l*l*tan13°=12*l2*tan13°
- A2=0,23*12*l2=0,1157*l2
- Arealet under de to kurver A1 og A2 skal være lige store:
- A1= A2⇔
- 0,1157*l2=528,27⇔
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- l=67,65m
- Da vi nu ved graderne på den retvinklede trekant, hvor A=13°, B=77°
og C=90°, kan jeg vha. af Areal(T=528,27m2), finder frem til højden h ved at isolere a: (regnet vha.
Matcade 14)
- T=12*a2*sinB*sinCsinA⇔
- 528,27=12*a2*sin77°*sin90°sin13°⇔
- a2=15,62m
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
-
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- Opgave 3. Beregn hvor meget jord skal der omflyttes for at regulere
bakken til det ønskede mål. Bakken kan antages at være 200m bred.
-
-
- Nu har vi to kurver som sættes lige med hinanden for at finde
skæringspunktet for/mellem disse to kurver: (løses vha. Matcad14). Kurve 1: 19-2*1,05xog Kurve 2: 15,62-
0,2309*x:
- 19-2*1,05x=15,62-0,2309*x⇔
- 1,05x-0,1155x-1,69=0⇔
- x=36,33
- Herefter regner jeg tværsnitsareal af jordmængde hvor min x ligger i
intervallet mellem: x=0;36,33
- B=abfxdx=Fb-Fa ⇔
- B=036,3319-2*1,05x-15,62+0.2309*xdx⇔
- B=3,38x-2log1,05*1,05x+0,1155x236,330⇔
- B=122,8-241,3+152,5+41,0 ⇔
- B=75,0 m2
- Nu er altså tværsnitarealet af jordmængde fundet på at være 75,0 m2,
og vi har fået oplyst at bakken kan antages at være 200 m bredde. For at finde volumen af det mængde jord,
der skal omflyttes for at regulere bakken til de ønskede mål ganges tværsnitsareal med bredden af bakken:
- V=200m*B⇔
- V=75m2*200m⇔
- V=15000m3
-
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- Opgave 4. Hvem vinder væddemålet? Kan det – som Yvette påstår –
lade sig gøre at udføre bakken med den foreslåede profil uden at tilføre ekstra jord? Og vil bakken på det
midterste stykke have en hældning på mellem 45° og 60°? Angiv i dit svar de præcis tal for hvor meget jord,
der er i over – eller underskud, samt hvor stejl bakken er på det stejleste sted. Lav endvidere en skitse, der
viser bakkens profil, og anfør hvilket område bakken har en hældning mellem 45° og 60°:
- fx=0,0015x3-0,08x2+0,09x+30, x=0;32
- Jeg starter med at finde arealet A3 af Yvettes forslag af bakken ved at
bruge ovenstående ligning med den angivne begrænsning x=0;32:
- A3=032(0,0015x3-0,08x2+0,09x+30)dx ⇔
- A3=0,000375x4-0,026667x3+0,045x2+30x320⇔
- A3=393,2-873,8+46,08+960⇔
- A3=525,5m2
- Og da arealet af Yvettes forslag af bakken er A1>A3, idet
525,5m2<528,27, det vil sige at skal der bruges mindre jord til Yvettes forslag. Dermed er følgende resultat
er det jord, der er i overskud i forbindelse med denne forslag:
- Jord i overskud:
- 200m*528,27-525,5m=560m3
- Nu finder jeg det område hvor bakken har en hældning mellem 45° og
60°, ved at differentiere den angivne ligning og dermed finde den maksimale hældning, hvor f''x=0 ved at re
- differentiere den differentierede ligning:
- fx=0,0015x3-0,08x2+0,09x+30⇔
- f'x=0,0045x2-0,016x+0,09⇔
- f''x= 0⇔
- f''x= 0,009x-0,16=0⇔
- x=0,160,009=17,78
- Jeg indsætter dermed den fundne x-værdi ind i den differentierede
ligning f'x for at finde hældning:
- f'x=17,78=0,0045*17,782-0,016*17,78+0,09=-1,33
- I en vinkel med vandret tangent svar den fundet hældning til:
- tanv=-1,33⇔
- V=tan-1-1,33=-53,11°
- Da hældning til eller tan45°=1 skal f'(x) være mindre end eller lige
med 1, dvs. 1≧f'(x): Da bakkens hældning er negativ, bemærker vi vores fortegn med minus symbol.
- f'x=-1 ⇔
- Vi sætter vores differentierede ligning lig med -1 og sætter derefter
ligning lig med 0.
- 0,0045x2-0,16x+0,09=-1⇔
- 0,0045x2-0,016x+1,09=0
- Vi hermed ved hjælp af andengradsligning løse ovenstående ligning,
som er sat lige til 0 for at finde min x-værdi, som svar til bakkens hældning:
- x=-b±b2-4ac2a⇔
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- x=--0,16±0,162-4*0,0045*1,092*0,0045⇔
- x=--0,16±0,005980,009 ⇔
- x=15, 1 ∧x=26,4
- Yvette har ret. Det betyder så at bakkens hældning er mere end 45°og i intervallet mellem
x∈15,1;26,4 (Markeret med lysegrønt farve) og mindre end 60°. Jeg har brugt programmet Graph til at lave
en skitse af bakkens hældning:
-
-
- Opgave 5.
- Det er lidt svært til at stilling til at opstille en ny bakke, men jeg foretrækker en børnevenlig og sjov
brat men meget jævn bakke. Efter jeg har i programmet Graph prøvet flere funktioner, efter min smag er
kommet frem til følgende bakke med forskriften fx=-0,0057x2-0,06+9. Forhåbentlig, det vil være til gavn
både for borgmesterens sundhed og kommunens økonomi.
-
- Opgave 6.
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
-
- Ovenstående tværsnitskitse af bakken med kloakledning har følgende funktionsforskrifter:
- fx=1,4 x ϵ [-200;-155[
- fx=0,18x+29,3 x ϵ [-155;0[
- fx=0,0015x3-0,08x2+0,09x+30+(32-xsinx)20 x ϵ [0;40[
- fx=1,0 x ϵ [40;200]
- Kloakledningen Akloakledning=-200;-10 og Bkloakledning=(200;-6), får følgende
funktionsforskrift: gx=-8+0,01x, x ϵ -200:200
- Opgave 7. Beregn hvor meget jord der skal bortgraves i denne rende.
- Med oplysningen at kloakledningen skal nedlægges i en 5 meter bred udgravning tværs gennem
bakken, starter jeg med finde arealet under alle kurver, altså bakken, opmåling af området og
kloakledningen:
- A=¨-200-1551,4dx=63m2
- A=-15500,18x+29,3dx=2379,25m2
- A=0400,0015x3-0,08x2+0,09x+30+(32-x*sinx)20dx=526,629m2
- A=402001dx=160m2
- Og
- A=-2002000,01x-8dx=-3200
- A=63m2+2379,25m2+526,629m2+ 160m2—3200⇔
[navn fjernet] Skole Afleveringsdato: 11.02.10
Mastoora Hassan 3.x Matematik A
- A=6328,88m2
- Det betyder så at lodretgravede volumen er arealet mellem kurvene f(x) og g(x), som så skal ganges
med bredden og derved finder jeg volumen der skal graves væk:
- Vgraves væk=6329m2*5m⇔
- Vgraves væk=31644,4m3
- Konklusion
- Jeg kan hermed konkludere at det har været et meget spændende projekt. Jeg har fået en større
indsigt i integral- og differentiations verdenen, og er ret tilfreds med mine fundne værdier både på den
gamle, nuværende, og på de forskellige forslag, der er blevet opstillet for bakken. Derudover er alle nu glade
både Snestrup kommunens borgemester og borgere, som nu har fået en ny bakke som de forhåbentlig vil få
gavn af.
-
-