Resistiviteten for konstantan
Formål
Formålet med forsøget var at bestemme konstantans resistivitet.
Teori
Et stof, der kan lede den elektriske strøm, kaldes en leder. Metaller er gode ledere, hvilket hænger
sammen med deres opbygning. I princippet kan man bruge et hvilket som helst metal til at
fremstille ledninger af. Men ikke alle metaller er lige velegnede.
Konstantan er det metal, der anvendes i forsøget.
1
Konstantan er en legering mellem kobber, nikkel
og mangan (55-60% kobber, 40-45% nikkel, 1% mangan). Det har en lav ledningsevne og næsten
ingen varmeudvidelse; anvendes til elektriske varmelegemer og termoelementer.
Resistansen i en ledning afhænger både af ledningens længde og af dens tværsnitsareal.
Tværsnitsarealet er arealet af den snitflade, der fremkommer, hvis man skærer ledningen over med
et vinkelret snit. Målinger viser, at resistansen R er proportional med ledningen længde l, således at
fx en fordobling af længden også giver en fordobling af dens resistans.
Målinger viser også, at resistansen er omvendt proportional med ledningens tværsnitsareal A. Det
betyder, at en fordobling af ledningens tværsnitsareal giver en halvering af resistansen, som vist på
nedenstående illustration.
Disse målinger er efterprøvet og fremgår i afsnittet om forsøgsresultaterne.
Følgende formel viser, hvordan resistansen R afhænger af ledningens længde l og tværsnitsareal A:
1
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Kemi/%C3%98vrige_metaller/konstantan
2
Proportionalitetskonstanten ρ (rho) er resistiviteten af det betydende materiale. Dens værdi
afhænger af hvilket materiale, der er tale om. Hvis man ser på to lige lange ledninger med samme
tykkelse, men af forskelligt materiale. Så vil den ene af de to ledninger, som har den mindste værdi
af ρ, have den mindste resistans.
Ovenstående formel kan omformes til:
Ledningens længde måles i meter og dens tværsnitsareal i mm
2
. Derfor bliver enheden for ρ lig
med:
Hvis man i stedet måler ledningens tværsnitsareal i m
2
, bliver enheden .
2
Tabelværdien for konstantans resistivitet ved 20°C er
.
Materialer og apparatur
- Konstantantråd
- Strømkilde
- Amperemeter
- Voltmeter
- Lineal
- Stativer
Fremgangsmåde
Vi startede med at tage noget konstantantråd, hvorefter vi målte trådens længde samt dets diameter.
Dernæst opbyggede vi et kredsløb, ligesom det der er vist på figur 1. Vi målte resistansen i tråden
ved at sende en svag strøm gennem kredsløbet, hvorefter strømstyrken og spændingsforskellen blev
noteret. Vi havde to forskellige målinger. Ved den ene række målinger varierede vi på
konstantantrådens tværsnitsareal, mens trådens længde forblev konstant. Ved den anden række
2
http://de.wikipedia.org/wiki/Spezifischer_elektrischer_Widerstand
3
målinger var det derimod trådens længde der blev ændret på, mens tværsnitsarealet forekom
uændret.
3
3
http://www.fit-for-ph.de/kl101/ph1011/kapitel/el11-b09.gif
Figur 1
Forsøgsopstilling
4
Forsøgsresultater
Nedenstående graf viser spændingen som funktion af strømstyrken for en konstantantråd med en
længde på 23 cm og et tværsnitsareal på ca. 0,8 mm
2
.
Punkterne på grafen er tilpasset en lineær model, som kan beskrives for værende tilnærmelsesvis
ligefrem proportional. Skæringen med y-aksen ikke helt i 0, hvilket kan skyldes nogle fejlkilder,
som er beskrevet nærmere i afsnittet om forsøgets usikkerheder og fejlkilder. R-kvadratet viser 1,
hvilket betyder, at der ikke er tale om en usikkerhed, men nærmere om en systematisk fejl, som
præger forsøget. Ud fra grafen kan jeg tillade mig at konkludere, at konstantan opfører sig som en
Ohmisk modstand, dvs. at den opfylder Ohms lov .
y = 0,1455x + 0,0038
R² = 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 1 2 3 4 5 6
Spænding/V
Strømstyrke/A
Konstantantråd
Lineær (V)
5
Fast tværsnitsareal, varieret trådlængde
Nedenstående skema viser resultaterne fra forsøget, hvor vi varierede på trådlængden, mens
konstantantrådens tværsnitsareal blev bibeholdt.
På baggrund af målinger kan man se, at resistansen i ledningen stiger, desto længere trådlængden
bliver, præcis ligesom det er beskrevet i teorien.
Grafen viser resistansens som funktion af, længden delt med tværsnitsarealet. Ud fra grafen kan
man se at punkterne følger en lineær tendens. Grafens hældning er konstantans resistivitet. Desuden
skærer grafen tilnærmelsesvis punktet 0,0, hvilket gør at jeg kan konkludere at grafen er ligefrem
proportional.
Grafens hældning er 0,514, hvilket betyder at konstantans resistivitet er
.
y = 0,514x - 0,0052
R² = 0,9998
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Resistans/Ω
Længde/Tværsnitsareal (m/mm
2
)
Konstant tværsnitsareal, varieret trådlængde
Serie1
Lineær (Serie1)
Længde/m
Tværsnit/mm
2
Resistans/Ω
Længde/Tværsnitsareal (m/mm
2
)
0.1
0.785
0.061
0.127
0.14
0.785
0.087
0.178
0.23
0.785
0.147
0.294
0.32
0.785
0.202
0.407
0.51
0.785
0.327
0.649
0.66
0.785
0.429
0.840
6
Fast trådlængde, varieret tværsnitsareal
Længde/m
Tværsnitsareal/mm
2
Resistans/Ω
Længde/Tværsnitsareal(m/mm
2
)
0.446
0.049
4.484
9.086
0.446
0.196
1.142
2.271
0.446
0.442
0.903
1.010
0.446
0.785
0.277
0.568
0.446
1.227
0.261
0.363
0.446
1.767
0.226
0.252
0.446
3.142
0.142
0.142
Ovenstående skema viser resultaterne fra forsøget, hvor vi varierede på konstantantrådens
tværsnitsareal, mens trådlængden blev bibeholdt.
Hvis man ser på tværsnitsarealet og resistansen, så er der en klar indikation på, at modstanden i
ledningen bliver mindre jo større tværsnitsarealet bliver. Dette har noget at gøre med, at
metalionerne i et metal er omgivet af mange elektroner. Hvis der etableres en spændingsforskel
over en metalledning, bliver elektronerne i stand til at bevæge sig. Elektronerne møder modstand
ved at ramme ind i metalionerne. Jo større et givet metals tværsnitsareal er, desto mindre chance er
der for de vandrende elektroner for at støde ind i metalionerne. Dette er forklaringen på, at et større
tværsnitsareal medfører en formindskelse i resistansen.
Nedenstående graf viser resistansens som funktion af, længden delt med tværsnitsarealet.
Som man kan på grafen, så er der et punkt som ikke følger den lineære tendens på samme måde
som de andre punkter. Dette punkt ligger i ca. x=1, mens dens y-koordinat ligger lidt under 1.
y = 0,4806x + 0,122
R² = 0,9924
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10
Resistans/Ω
Længde/Tværsnitsareal (m/mm
2
)
Fast trådlængde, varieret tværsnitsareal
Serie1
Lineær (Serie1)
7
Grafen nedenunder viser den tilsvarende graf, blot uden det netop beskrevne punkt, som formentlig
skyldtes en noteringsfejl. Den lineære tendens er bedre tilpasset uden det tilsvarende punkt,
eftersom R-kvadratet, er nærmere 0. Desuden er skæringen med y-aksen tættere på 0, hvilket endnu
en gang betyder at grafen ligefrem proportionel, dvs. at forholdet mellem størrelserne x og y er
konstant.
Den seneste grafs hældning, resistivitet, er valgt på baggrund af R-kvadratet, som indikerer hvor
godt den lineære tendens passer til punkterne på grafen. Resistiviteten for konstantan i dette forsøg
er
, hvilket er en lille forskel i forhold til den forhenværende beregnede resistivitet.
Beregning af afvigelsesprocent
Jeg starter med at bestemme gennemsnittet af de beregnede resistiviteter:
Eftersom den gennemsnitlige resistivitet for konstantan overhovedet ikke afviger fra den givne
tabelværdi, er det ikke nødvendigt at beregne afvigelsesprocenten. Dermed kan jeg konkludere, at
den bestemte resistivitet for konstantan afviger med 0 % fra resistiviteten fra tabelværdien.
y = 0,4859x + 0,0614
R² = 0,9995
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10
Resistans/Ω
Længde/Tværsnitsareal (m/mm
2
)
Fast trådlængde, varieret tværsnitsareal
Serie1
Lineær (Serie1)
8
Usikkerheder og fejlkilder
Graferne, som var tegnet på baggrund af målingerne, havde alle en tendens, der var til at få øje på.
R-kvadratet var ved samtlige grafer enten 1 eller i hvert fald meget tæt på. Dette indikerer, at
forsøget er lavet uden den helt store usikkerhed.
Alle de tegnede grafer burde være ligefrem proportionale, eftersom der var tale om en
proportionalitetskonstant ρ (rho). Dette var dog ikke tilfældet i nogen af graferne, men ved samtlige
grafer, var tendenslinjen meget tæt på at skære punktet 0,0. Det, at linjen tilnærmelsesvis går
gennem origo, gør, at man kan konkludere, at der er tale om ligefrem proportionalitet. Dette
skyldtes formentlig en tilfældig fejl, da både volt – og amperemeteret har en usikkerhed på 1 % - 2
%.
En decideret fejlkilde under forsøget kunne være, at den målte trådlængde for konstantan var
kortere en den burde have været. Da tråden var fastspændt til stativerne, var tråden ikke helt
udstrakt, og eftersom vi målte afstanden fra stativ til stativ, tog vi ikke højde for dette. Det kunne
have betydet, at den beregnede resistivitet var en anelse større, end den burde have været.
I grafen for forsøget hvor trådlængden var konstant, var der et punkt, som ikke helt fulgte den
lineære tendens. Dette skyldtes højst sandsynligt en noteringsfejl, og en fjernelse af punktet var
medførerne til, at R-kvadratet kom tættere på 0, samtidigt med at resistiviteten nærmede sig den
opgivne resistivitet for konstantan.
Der er desuden en indre modstand i konstantantråden, men denne modstand har ikke den helt store
indvirkning, eftersom konstantan består af ca. 55% kobber, som er en god leder.
Konklusion
Jeg kan konkludere, at teorien stemte overens med, hvad der i forsøget blev målt og iagttaget.
Resistiviteten for konstantan, som vi nåede frem til, svarede til
. Den beregnede
resistivitet for konstantan afviger overhovedet ikke fra tabelværdien, hvilket indikerer, at forsøget
foregik særdeles succesfuldt. Derudover kan jeg konkludere at en fordobling af længden også giver
en fordobling af dens resistans, og at en fordobling af ledningens tværsnitsareal giver en halvering
af resistansen.