STX 3.g
Side 4 af 38
Indholdsfortegnelse
1. Indledning ........................................................................................................................................ 5
2. Energi i mekanik ............................................................................................................................... 6
3. Translatorisk bevægelse ................................................................................................................... 9
3.1 Vektorer ..................................................................................................................................... 9
3.2 Acceleration for en Translativ bevægelse ............................................................................... 11
3.3 Forsøg 1 – Translatorisk bevægelse på skråplan ..................................................................... 14
3.3.1 Resultater ........................................................................................................................ 15
3.3.2 Fejlkilder .......................................................................................................................... 17
3.3.3 Delkonklusion .................................................................................................................. 18
4. Rotationel bevægelse ..................................................................................................................... 20
4.1 Begrebet Inerti ........................................................................................................................ 20
4.2 Specifikke inertimomenter ...................................................................................................... 21
4.2.1 Cylinderens inertimoment ............................................................................................... 21
4.2.2 Kuglens inertimoment ..................................................................................................... 24
4.3 Acceleration for rullende legemer .......................................................................................... 26
4.4 Forsøg 2 – rulning på skråplan: ............................................................................................... 30
4.4.1 Resultater ........................................................................................................................ 32
4.4.2 Fejlkilder .......................................................................................................................... 34
4.4.3 Delkonklusion .................................................................................................................. 35
5. Konklusion ...................................................................................................................................... 36
6. Litteraturliste .................................................................................................................................. 38
Af
Side 5 af 38
1. Indledning
Mekanik er en stor og omfattende disciplin indenfor fysikken, som i højere eller mindre grad evner
at beskrive stort set alle bevægelser i universet, og i særdeleshed her på jorden. Hastighed,
acceleration, sammenstød og faldende legemer er alle eksempler på noget af det man kan
behandle med mekanik. I denne opgave har jeg valgt at beskæftige mig med den del af
mekanikken, der omhandler bevægelser på et skråplan, herunder både den translatoriske
bevægelse og den rotatoriske.
I forbindelse med den translatoriske bevægelse vil jeg inddrage vektorer og vektorregning fra
matematikken og bruge disse redskaber i min undersøgelse af acceleration for den translatoriske
bevægelse på skråplan. I forbindelse med den rotationelle bevægelse vil jeg inddrage begrebet
inerti, og for at kunne undersøge accelerationen for rullende legemer på et skråplan, har jeg ved
hjælp af matematisk integralregning udledt inertimomentet for to af de valgte tre legemer.
I begge tilfælde vil jeg udføre forsøg der undersøger bevægelsen og derefter sammenligne med
den tilhørende teori. Forsøgene optages med kamera og analyseres i det fysikanvendelige
computerprogram Tracker.
Indledningsvis vil der redegøres for forskellige energiformer relevante for mekanikken. Herefter vil
først den translatoriske bevægelse og dernæst den rotatoriske bevægelse blive undersøgt både
teoretisk og eksperimentelt, med inddragelse af relevante matematiske redskaber.
Opgaven har et omfang på omtrent 43.400 anslag inklusiv mellemrum.
Af
Side 6 af 38
2. Energi i mekanik
En af de ældste og mest centrale discipliner i fysikkens verden er mekanikken
1
. Denne kan inddeles
i to forskellige typer, nemlig den klassiske mekanik og den rotationelle mekanik, der dog begge
beskæftiger sig med de fundamentale fænomener bevægelse og kræfter. I den klassiske mekanik
forholder man sig til retlinede bevægelser, de såkaldte translatoriske bevægelser, der er
kendetegnet ved en flytning af legemets position, hvor alle massedele gennemgår samme
forskydning. Dette er forskelligt fra den rotationelle mekanik, hvor man ikke beskæftiger sig med
ændringer i legemets position. Rotation beskriver derimod en cirkulær bevægelse om en akse eller
et punkt som holdes fast, afhængig af om det er to eller tre dimensioner. Alle stive legemers
bevægelse kan dermed beskrives som translation, rotation eller en kombination af begge (rulning).
Både translation og rotation er former for bevægelse og har dermed begge kinetisk energi
2
. Den
translatoriske energi er en funktion af legemets masse og hastighed, beskrevet ved den velkendte
formel: ܧ
௧௦
=
ଵ
ଶ
∗ ݉∗ ݒ
ଶ
. Som det heraf fremgår, vil et legemes translatoriske energi forøges i
takt med både hastigheden og massen, såfremt alt andet er konstant.
Med udgangspunkt i denne generelle formel for translatorisk kinetisk energi kan den rotatoriske
energi udledes, idet hver massedel i legemet iagttages for sig. Ved en rotation om en fikseret akse
udfører hver massedel en cirkulær bevægelse om centrum. Den kinetiske energi en massedel har
ved rotation kan i første omgang udtrykkes med samme generelle formel som er gældende ved en
translativ bevægelse:
ܧ
,
=
1
2
∗ ݉
∗ ݒ
ଶ
Hastigheden for en massedel v
i
ved ren cirkulær rotation er udtrykt ved en funktion af
massedelens afstand fra centrum r
i
og vinkelhastigheden ω, der beskriver hvor mange grader
legemet roterer per tidsenhed, i forholdet v
i
= r
i
* ω. Herfor kan den kinetiske energi omskrives til:
ܧ
,
=
1
2
∗ ݉
∗ (ݎ
∗ ߱)
ଶ
=
1
2
∗ ݉
∗ ݎ
ଶ
∗ ߱
ଶ
1
Kilde: http://da.wikipedia.org/wiki/Mekanik
2
Kilde: http://en.wikipedia.org/wiki/Rotational_energy
Af
Side 7 af 38
Legemets samlede kinetiske rotationsenergi E
rot
, må da regnes som en sum af alle massedelenes
kinetiske energier:
ܧ
௧
=
1
2
∗ ݉
ଵ
∗ ݎ
ଵ
ଶ
∗ ߱
ଶ
+
1
2
∗ ݉
ଶ
∗ ݎ
ଶ
ଶ
∗ ߱
ଶ
+ ⋯+
1
2
∗ ݉
∗ ݎ
ଶ
∗ ߱
ଶ
Da vi har at gøre med uendeligt mange massedele, omskrives udtrykket til en summation, hvor
konstanterne, der er ens for alle massedelene, flyttes udenfor summationen:
ܧ
௧
=
1
2
∗ ݉
∗ ݎ
ଶ
∗ ߱
ଶ
ே
ୀଵ
=
1
2
∗ ߱
ଶ
∗ ݉
∗ ݎ
ଶ
ே
ୀଵ
Det fremgår således af udtrykket at den kinetiske energi, som tilkommer ved rotation, også kaldet
rotationsenergi, både afhænger af legemets vinkelhastighed ω, samlede masse m, samt form,
udtrykt ved betydningen af afstanden til centrum r. Variablen r beskriver altså de enkelte
massedeles position i forhold til omdrejningsaksen og fortæller dermed noget om legemets form.
Massen og radius er konstant for hver massedel og udgør inertimoment I, der i sin generelle form
beskrives:
ܫ=
(
݉
∗ ݎ
ଶ
)
ே
ୀଵ
Ved at indsætte dette udtryk for det generelle inertimoment (specifikke inertimomenter
behandles senere), kan rotationsenergien for et roterende legeme udtrykkes ved:
ܧ
௧
=
1
2
∗ ܫ∗ ߱
ଶ
Man ser her den markante lighed med udtrykket for den translatoriske kinetiske energi, E
trans
, hvor
det eksempelvis ses at det kvadrerede led i begge tilfælde er en hastighed. Ydermere er
inertimomentet for rotationen, hvad massen er for translationen
3
: en træghed der gør at legemet
yder modstand ved påvirkning af kræfter. Ligesom man eksempelvis skal bruge flere kræfter på at
flytte en tung kasse skal man altså også bruge flere kræfter på at rotere en genstand med højt
inertimoment. Dette vil blive forklaret lidt nærmere senere i opgaven.
3
Kilde: http://www1999215.thinkquest.dk/teori/kraft/inerti_impuls_mom.html
Af
Side 8 af 38
I det tilfælde hvor man har et rullende legeme, hvor massedelene roterer om en akse, der samtidig
er i translativ bevægelse, er den samlede kinetiske energi for legemet summen af den
translatoriske og den rotationelle energi:
ܧ
=ܧ
௧
+ ܧ
௧௦
Denne forståelse af sammenhængen mellem de forskellige former for energi vil være centralt i
resten af opgaven.
Af
Side 9 af 38
3. Translatorisk bevægelse
3.1 Vektorer
I fysikkens verden er det både praktisk og nødvendigt at gøre brug af matematiske redskaber for at
beskrive hvad der sker rent fysisk. Et af de objekter der bruges i stor stil er det som i geometrien
kaldes vektorer. Vektorer er karakteriserede ved både at have en størrelse og en retning, og er
med kun en enkelt undtagelse (0-faktoren) faktisk fuldstændig bestemt ud fra sin længde og sin
retning. Reele tal, som kun består af en størrelse, er i mange tilfælde ikke beskrivende nok. Et
eksempel er hastighed, som ganske vist har en størrelse (farten, som er den numeriske værdi af
hastigheden), men som derudover også har en retning. På den måde er vektoren et ideelt redskab
til at beskrive både hastighed, acceleration, strækning og i særdeleshed kræfter.
Når man noterer og regner med vektorer, skrives vektorens navn (eksempelvis a) og markeres
med en pil over: ܽԦ. Vektorens udseende skrives på matrixform, hvor vektoren opfattes som en
retvinklet trekant, og man angiver længden henad x-aksen over længden opad y-aksen: ܽԦ=ቀ
ݔ
ݕ
ቁ,
eller som de ofte skrives når der er flere vektorer at tage hensyn til ܽԦ=ቀ
ܽ
ଵ
ܽ
ଶ
ቁ. Vektorer i rummet
skrives efter samme princip som i planen: ܽԦ=൭
ܽ
ଵ
ܽ
ଶ
ܽ
ଷ
൱, ligesom vektorer af en vilkårlig dimension
skrives ܽԦ=ቌ
ܽ
ଵ
ܽ
ଶ
⋮
ܽ
ቍ.
Der er mange praktiske sider af vektorer og vektorregning, og i mange situationer kan man regne
med dem næsten ligesom med regulære tal. Vektorer kan adderes, subtraheres og med et reelt tal
kan de også både multipliceres og divideres. I denne rapport vil det dog hovedsageligt være
addition af vektorer der har en relevans.
Når to vektorer skal adderes fremkommer en ny vektor, denne nye vektor kaldes sumvektoren,
eller vektorsummen
4
, og kan benævnes efter eget ønske. Vektorer adderes som var de reelle tal:
4
Kilde: Jensen, Thomas m.fl.: Matema10k – Matematik for gymnasiet A niveau
Af [navn fjernet], 3.e, Dronni
x-koordinater
ne lægges sammen og y
x- og y-koordinaterne
til den nye vektor.
Har man eksempelvis to vektorer
ݎԦ
=
Vektorsummen er altså den vektor der fremkommer når en repræsentant for
vektor ܾ
ሬ
Ԧ
, tegnes med start punkt der hvor vektor
tegningen at sumvektoren har sit begyndelsespunkt i vekt
begyndelsespunkt, og slutpunkt i vektor
Fremgangsmåden ved vektoraddition i to dimensioner er nøjagtig den samme
ved vektorer i tre dimensioner og for den sags skyld vektorer i endnu højere dimensioner. De
ekstra koordinater addere
s på samme måde som koordinaterne i planet,
også muligt at addere mere end blot to vektorer, hvilket er praktisk når man regner med kræfter,
da et legeme ofte er påvirket af mere end to kræfter. Der tilføjes blot et ekstra led i addi
Som nævnt flere gange er vektorer en meget central del af mekanik,
specielt
størrelse og en retning er de således også vektorer
partikel eller et legeme af flere kræfter findes
den resulterende kraft på legemet altså ved
vektoraddition, i fysikken er der tale om en
metode man kalder ”kræfternes
parallelogram”. Man kan se et eksempel på hvordan denne metode
5
Kilde: Jensen, Thomas m.fl.:
Matema10k
6
Kilde: Brydenshol, Morten m.fl.:
Orbit 3
Figur 2 – ”Kræfternes
parallelogram”
Figur 1 -
Vektoraddition
Af [navn fjernet], 3.e, Dronni
nglund Gymnasium
Side 10 af 38
ne lægges sammen og y
-koordinaterne lægges sammen –
på den måde f
til den nye vektor.
Har man eksempelvis to vektorer
ܽԦ=ቀ
ܽ
ଵ
ܽ
ଶ
ቁ og ܾ
ሬ
Ԧ
=൬
ܾ
ଵ
ܾ
ଶ
൰
er vektorsummen defineret
=
ܽԦ+ ܾ
ሬ
Ԧ
=ቀ
ܽ
ଵ
ܽ
ଶ
ቁ + ൬
ܾ
ଵ
ܾ
ଶ
൰=൬
ܽ
ଵ
+ ܾ
ଵ
ܽ
ଶ
+ ܾ
ଶ
൰
Vektorsummen er altså den vektor der fremkommer når en repræsentant for
, tegnes med start punkt der hvor vektor
ܽԦ
ender. Det ses derfor på
tegningen at sumvektoren har sit begyndelsespunkt i vekt
begyndelsespunkt, og slutpunkt i vektor
ܾ
ሬ
Ԧ
’s slutpunkt.
Fremgangsmåden ved vektoraddition i to dimensioner er nøjagtig den samme
ved vektorer i tre dimensioner og for den sags skyld vektorer i endnu højere dimensioner. De
s på samme måde som koordinaterne i planet,
nemlig separat. Det er
også muligt at addere mere end blot to vektorer, hvilket er praktisk når man regner med kræfter,
da et legeme ofte er påvirket af mere end to kræfter. Der tilføjes blot et ekstra led i addi
ݎԦ=൮
ܽ
ଵ
+ ܾ
ଵ
+ ܿ
ଵ
ܽ
ଶ
+ ܾ
ଶ
+ ܿ
ଶ
⋮
ܽ
+ ܾ
+ ܿ
൲
Som nævnt flere gange er vektorer en meget central del af mekanik,
specielt
den del der handler om kræfter. Da kræfter både har en
størrelse og en retning er de således også vektorer
partikel eller et legeme af flere kræfter findes
den resulterende kraft på legemet altså ved
vektoraddition, i fysikken er der tale om en
metode man kalder ”kræfternes
parallelogram”. Man kan se et eksempel på hvordan denne metode
Matema10k
– Matematik for gymnasiet A niveau
Orbit 3
. 3. udgave – s. 86
Figur
komposanter
December 2010
på den måde f
remkommer
er vektorsummen defineret
5
til at være:
Vektorsummen er altså den vektor der fremkommer når en repræsentant for
ender. Det ses derfor på
tegningen at sumvektoren har sit begyndelsespunkt i vekt
or ܽԦ’s
Fremgangsmåden ved vektoraddition i to dimensioner er nøjagtig den samme
ved vektorer i tre dimensioner og for den sags skyld vektorer i endnu højere dimensioner. De
nemlig separat. Det er
også muligt at addere mere end blot to vektorer, hvilket er praktisk når man regner med kræfter,
da et legeme ofte er påvirket af mere end to kræfter. Der tilføjes blot et ekstra led i addi
tionen:
Som nævnt flere gange er vektorer en meget central del af mekanik,
den del der handler om kræfter. Da kræfter både har en
størrelse og en retning er de således også vektorer
6
. Påvirkes en
Figur
3 - F opdeles i to
komposanter
Af
Side 11 af 38
fungerer på figur 2, hvor en partikel er påvirket af to kræfter der summeret giver den resulterende
kraft, F
res
. Omvendt er det også muligt at erstatte en enkelt kraft med flere enkeltkræfter. Så
længe vektorsummen er lig med den oprindelige kraft, og der er en mening bag opløsningen, kan
de nye kræfter lægges som man ønsker. Denne omvendte form af vektoraddition kalder man at
opløse en kraft i komposanter, en metode jeg vil gøre brug af senere i rapporten. På figur 3 ses et
eksempel på hvordan kraften på en partikel, F, bliver opløst i to komposanter.
3.2 Acceleration for en Translativ bevægelse
Translation er en bevægelse hvor alle punkter (x, y, z) af et legeme forskydes således
7
at:
ቆ
ݔ
ݕ
ݖ
ቇ=൭
ݔ
+ ∆ݔ
ݕ
+ ∆ݕ
ݖ
+ ∆ݖ
൱
Hvor vektoren ൭
∆ݔ
∆ݕ
∆ݖ
൱ er den samme for hvert punkt af legemet. Denne translationsvektor
beskriver en bestemt slags forskydning af legemet nemlig en lineær forskydning (modsat angulær
forskydning, der finder sted ved rotation). Den translative bevægelse er altså ganske simpelt en
bevægelse hvor alle punkter, eller massedele, af legemet bevæger sig med samme hastighed.
Hastighed inkluderer, modsat fart, også en retning. Massedelene bevæger sig altså både med samme fart
og i samme retning.
Ved en translativ bevægelse på skråplan kan man forklare bevægelsen ved hjælp af kræfter
8
, og
deraf udlede en formel for legemets acceleration. Kræfter har både retning og størrelse og kan
derfor betragtes som vektorer. Påvirkes en partikel derfor af flere kræfter, findes den resulterende
kraft (den samlede kraft på legemet) netop ved at regne med dem som vektorer, mere præcist vil
den brugte metode være vektoraddition. Det gælder så for den translatoriske bevægelse at
summen af disse eksterne kræfter (vektorer) svarer til produktet af accelerationen af
massemidtpunktet og den totale masse, ܨ=ܽ∗ ݉.
7
Kilde: http://en.wikipedia.org/wiki/Translation_(physics)
8
Kilde: Brydenshol, Morten m.fl.: Orbit 3. 3. udgave – s. 90
Af
Side 12 af 38
Trækkes et stift legeme henover et bord, vil der altid være en gnidningskraft
modsatrettet bevægelsen. Gnidningskraftens størrelse afhænger af
gnidningskoefficienten, µ, som udtrykker legemets art og type i forhold til
underlagets. Desuden ved man at gnidningskraften afhænger af normalkraften
F
n
, og ikke af legemets areal, da en forøgelse af legemets areal godt nok vil
resultere i en større gnidningsflade, men da massen der presser på hver enkel
partikelgnidning vil være mindre, bliver resultatet det samme.
Gnidningskraften er dermed:
ܨ
ఓ
=ߤ∗ ܨ
Normalkraften F
n
, er en kraft vinkelret på skråplanet. Legemet vil på grund af
tyngdekraften presse mod skråplanet med en kraft, F
2
, hvor skråplanet ifølge
Newtons 3. lov også vil påvirke legemet med en tilsvarende modsatrettet
kraft.
Der ses på et legeme med retning nedad skråplanet, som danner vinklen α
med vandret. Udover gnidningskraften og normalkraften, som i dette tilfælde
er givet ved ܨ
=ܨ
௧
∗ cosߙ, er legemet også påvirket af tyngdekraften,
ܨ
௧
=݉∗ ݃.
For at bestemme normalkraftens størrelse bruges vektoraddition, eller nærmere den modsatte da
tyngdekraften opdeles i to nye komposanter F
1
, parallel med skråplanet og F
2
, vinkelret derpå;
dette ses på figur 5. Disse to komposanter udregnes med ganske simpel trekantsregning:
ܨ
ଵ
=ܨ
௧
∗ sinߙ
ܨ
ଶ
=ܨ
௧
∗ cosߙ
Det vides som sagt at ܨ
௧
=݉∗ ݃, dette indsættes derfor:
ܨ
ଵ
=݉∗ ݃ ∗ sinߙ ܨ
ଶ
=ܨ
௧
∗ cosߙ
Figur 4 - Klods på
skråplan med de
påvirkende kræfter
Figur 5 - Klods på
skråplan, med de to
komposanter
Af
Side 13 af 38
Da F
n
ifølge Newtons 3. lov er lige stor og modsatrettet F
2
er den resulterende kraft lig 0, og de
eliminerer hinanden. Den resulterende kraft på legemet afhænger dermed af de tilbageværende
kræfter, F
µ
og F
1
:
ܨ
௦
=ܨ
ଵ
+ ܨ
ఓ
Da kræfterne er modsat rettede må gnidningskraften være en konservativ kræft som trækker
imod bevægelsesretningen og som dermed, givet at positivretningen går mod skråplanets
nederste vinkel, er negativ. For at lette forståelsen skrives den resulterende kraft i stedet som en
subtraktion af at numerisk værdi.
ܨ
௦
=ܨ
ଵ
− หܨ
ఓ
ห ↔ ܨ
௦
=ܨ
ଵ
− µ ∗ ܨ
ܨ
=ܨ
ଶ
↔ܨ
௦
=ܨ
ଵ
− µ ∗ ܨ
ଶ
Ved at bruge formlerne for F
1
og F
2
får man:
ܨ
௦
=ܨ
௧
∗ sinߙ− ߤ∗ ܨ
௧
∗ cosߙ
Fra Newtons 2. lov vides det at ܨ=݉∗ ܽ. ved tyngdekraften kender vi accelerationen som
tyngdeacceleration, g, dette udnyttes:
ܨ
௦
=݉∗ ݃ ∗ sinߙ− ߤ∗݉ ∗ ݃∗ cosߙ
Ved at dividere med massen, m, på begge sider af lighedstegnet får man dermed en formel for
accelerationen ved ren translatorisk bevægelse på skråplan med gnidning:
ܽ=݃ ∗ sinߙ− ߤ∗ ݃∗ cosߙ
Gnidningskoefficienten, µ, er et tal mellem 0 og 1, hvor der ved µ=0 ingen gnidning er, og ved µ=1
er maksimal gnidning. For at udlede formlen for translatorisk bevægelse uden gnidning bruger
man derfor ganske enkelt formlen for acceleration på skråplan med gnidning – den netop udledte
formel – og sætter gnidningskoefficienten til at være 0:
ܽ=݃ ∗ sinߙ− 0 ∗ ݃∗ cosߙ
Af
Side 14 af 38
Da 0 ∗ ݃∗ cosߙ=0 frafalder dette sidste led i formlen, og den nye formel for acceleration på
skråplan uden gnidning bliver dermed:
ܽ=݃∗ sinߙ
3.3 Forsøg 1 – Translatorisk bevægelse på skråplan
Til forsøget med translatorisk bevægelse på skråplan, er der brugt en luftpudebane. Opstillingen
ses på figur 6. På luftpudebanen er friktionen så lav at vi kan se bort fra den. Forsøget vil dermed
blive behandlet med accelerationsformlen for translatorisk bevægelse uden gnidning. Der er
udført to variationer af dette forsøg, en kun med vognen (300 gram) og en med vogn og et ekstra
lod (i alt 500 gram). På tegningen kan en del af opstillingen ses. Bevægelsen er optaget med
kamera gentagende gange hvor de bedst anvendelige vælges ud, og senere analyseres ved hjælp
af computerprogrammet Tracker.
Da det optagede filmklip varer længere end bevægelsen, afgrænser jeg i Tracker klippet til kun at
analysere data fra den gruppe frames (enkeltbillederne i videoklippet) hvor bevægelsen foregår.
Der indsættes koordinatsystem og målestok i analysebilledet, hvorefter der for hvert frame
markeres punktmængden for vognen.
Figur
6
–
Forsøgsopstilling 1
Af
Side 15 af 38
Når alle punktmængder er markeret fremkommer en graf i højre side af skærmen, som det kan ses
på figur 7. Da et legemes
accelleration kan bestemmes ved at
finde hældningen af en
tidsafhængig hastighedsgraf,
indstiller jeg grafen til at vise tiden
ud af x-aksen og hastigheden op ad
y-aksen. Derefter kopierer jeg
tabeldataene fra denne graf og
sætter dem ind i et Excel-
dokument. I Excel behandles
tabeldataene. De fremkomne grafer
findes under næste afsnit.
3.3.1 Resultater
Under den eksperimentelle undersøgelse af translatorisk bevægelse, udførte jeg to versioner af
forsøget. Den ene kun med vognens masse, den anden med vogn og et lod for at øge vognens
masse. Jeg vil i følgende afsnit behandle den teoretiske acceleration udfra den tidligere udledte
formel: ܽ=݃∗ sinߙ, og se hvorvidt den stemmer overens med den eksperimentelle værdi, der
som sagt findes som hældningen af den tidsafhængige hastighedsgraf. Desuden vil jeg samtidig
forsøge at bekræfte at accelerationen ikke afhænger af massen.
Skråplanets vinkel med vandret er udregnet til at være 16,73 grader, og tyngdeaccelerationen i
Danmark er 9,82m/s
2
. Når værdierne sættes ind, udregnes den teoretiske acceleration til:
ܽ=݃ ∗ sinߙ↔ܽ=9,82
݉
ݏ
ଶ
∗ sin16,73=2,83
݉
ݏ
ଶ
Efter teoretisk at have udregnet en acceleration på 2,83 m/s
2
, vendes opmærksomheden nu mod
de to forsøgsvarianter. Her benyttes (t,v)-graferne.
Figur 7 - Screenshot fra Tracker.
Af
Side 16 af 38
Ud fra teorien forventes en lineær sammenhæng mellem tid og hastighed for et legeme på
skråplan. Herfor udføres en lineær regression, hvor hældningskoefficienten a angiver
accelerationen med hvilken vognens hastighed øges. Skæringen med y-aksen b angiver
hastigheden i starttidspunktet, og må derfor teoretisk forventes at være 0, idet vognen ved
starttidspunktet burde være i stilstand. Som det fremgår af den lineære regressionslinje og
ligningen derfor er hældningstallet – og dermed accellerationen – for vognen uden ekstra masse
2,55 m/s
2
. Skæringen med y-aksen er ikke lig 0, hvilket skyldes at første frame ikke er taget med
vognen i fuldstændig stilstand.
Ligeledes er der for vognen med lod foretaget lineær regression. Her aflæses hældningstallet til
2,59, hvorfor accelerationen for vognen med ekstra masse altså er 2,59 m/s
2
. Det kan desuden ses
y = 2,5546x + 0,0299
R² = 0,9997
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200
hastighed v (m/sek)
tid t (sek)
Vogn
Lineær (Serie1)
y = 2,5882x + 0,1438
R² = 0,9994
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200
hastighed v (m/sek)
tid t (sek)
Vogn m. lod
Lineær (Serie1)
Af
Side 17 af 38
af formlen at accelerationen ikke teoretisk afhænger af massen. Sammenlignes de to
translatoriske bevægelser kan man finde at accelerationen for vognen med ekstra masse er en lille
smule højere end for vognen uden. Forskellen er dog så lille, cirka 1,5 %, at den kan betragtes som
måleusikkerhed. I forhold til hvor stor forskellen i masse er, 300 gram og 500 gram, er
accelerationsforskellen altså meget lille.
Legeme Teoretisk acceleration Eksperimentel acceleration Afvigelse i %
Vogn u. lod
2
,
83
݉
ݏ
ଶ
2
,
55
݉
ݏ
ଶ
9,6 %
Vogn m. lod
2
,
59
݉
ݏ
ଶ
8,4 %
En afvigelse på 9% er ikke en fatal afvigelse, dog er den højere end de 5 % man plejer at sige er
”lovlige” for at hypotesen med sikkerhed kan godkendes. Det ses på graferne at R
2
er helt oppe på
0,999. De lineære regressioner har altså været meget gode, og kan derfor ikke have haft ret stor
betydning for afvigelserne. Afvigelserne må derfor skyldes andre faktorer.
3.3.2 Fejlkilder
For at få Tracker til at analysere bevægelsen, markeres hver frame’s punktmængde først manuelt.
Dette giver en vis usikkerhed da man sjældent rammer det eksakt samme punkt på legemet ved
hvert frame. Dette forværres også jo højere fart vognen har fået, da kameraet kun tager 30 frames
i sekundet og vognen derfor bliver ”strukket” og en smule utydelig, hvorfor man er nødt til at
vurdere hvor massecentrum mest korrekt skal placeres. Denne måleusikkerhed ville dog have ført
til større afvigelser på grafen i forhold til regressionslinjen end det er tilfældet, idet en sådan
afvigelse generelt er usystematisk. Dette tyder på at måleusikkerheden kun har været en mindre
fejlkilde.
Før forsøget antog jeg også at luftpudebanen var så tæt på friktionsfri at bevægelsen kunne
behandles som en translatorisk bevægelse uden gnidning. Da forsøgsresultatet umiddelbart viser
en lavere acceleration end den teoretisk udregnede, kunne det skyldes at vognen har været
påvirket af en gnidningskraft, som har været større end først antaget. En af de mindste gnidninger
som kan forekomme her på jorden uden menneskelig indblanding, er gnidningen mellem is og is,
Af
Side 18 af 38
hvor den dynamiske gnidningskoefficient afhængig af temperaturen kan være fra 0,02-0,09
9
. Hvis
jeg i stedet beregner bevægelsen som en translatorisk bevægelse med gnidning, og sætter
gnidningen til at være 0,1 (lidt højere end isens) viser det sig at acceleration teoretisk ville være:
ܽ=݃ ∗ sinߙ−ߤ∗ ݃ ∗ cosߙ=9,82
݉
ݏ
ଶ
∗ sin16,73 − 0,1 ∗ 9,82
݉
ݏ
ଶ
∗ sin16,73=2,54
݉
ݏ
ଶ
Dette er tydeligvis en hel del tættere på den eksperimentelle acceleration jeg regnede mig frem til
tidligere, helt præcis henholdsvis -0,4 % og -1,7 %, som endda fortæller os at den valgte
gnidningskoefficient oven i købet har været for stor. Støvsugeren har muligvis ikke evnet at blæse
kraftigt nok, hvilket er endt med at vognen har været påvirket af en gnidningskraft, ganske vist lille
som ved gnidning mellem is og is.
3.3.3 Delkonklusion
Jeg har nu undersøgt stive legemers bevægelse på skråplan. Ud fra graferne og deres hældning har
jeg kunnet finde vognenes acceleration i de to forsøgsvarianter. Under sammenligning af de to
fandt jeg at vognen med ekstra masse havde en acceleration der var en smule højere end vognen
uden. Grundet en afvigelse på kun 1,5 % og en vægt forøgelse på cirka 67 % kan jeg altså
konkludere at afvigelsen skyldes måleusikkerhed. Ydermere kan det konkluderes at vi har at gøre
med en konstant accelereret bevægelse. Da hastighedsgrafen ifølge værdierne af R
2
, passer
utroligt godt til en lineær regression må hastigheden altså stige med den samme konstant ved
hvert interval.
Ud fra den teoretiske formel for det stive legemes acceleration, kan man se, at accelerationen
bliver højere jo større skråplanets vinkel bliver i forhold til vandret, i intervallet 0˚ til 90˚. Dette
kunne også være undersøgt eksperimentelt ved at variere luftpudebanens hældning.
Det viste sig i sammenligningen af den teoretisk udledte acceleration og den eksperimentelt
fundne, at luftpudebænken ikke var så gnidningsfri som først antaget. Derfor lykkedes det ikke
helt at beskrive accelerationen med formlen for den friktionsfrie bevægelse. Ved at antage at den
gnidning der påvirkede legemet har haft en gnidningskoefficient på 0,1 stemte teorien noget mere
9
Kilde: Andersen, Erik S. m.fl: Databog fysik kemi. 10. udgave – tabel s. 160.
Af
Side 19 af 38
overens med den eksperimentelt fundne acceleration. Jeg må derfor konkludere at teorien passer
med det undersøgte, såfremt der har været en gnidning på omtrent 0,1.
Af
Side 20 af 38
4. Rotationel bevægelse
4.1 Begrebet Inerti
Inert stammer fra latin og betyder træg. Inert bruges i kemiens verden som betegnelse for stoffer
som ikke eller kun vanskeligt vil reagere med andre stoffer. I fysikkens verden bruger vi begrebet
inerti, som betyder træghed. Inerti er et komplekst fænomen hvor man endnu ikke rigtig er klar
over, hvad der forårsager det. Man ved dog at det er den egenskab
10
ved ethvert legeme, der får
det til passivt at yde modstand mod ydre påvirkninger, og at legemet dermed må påvirkes af en
ydre kræft for at ændre dets bevægelse. Flere berømte fysikere har opstillet regler om inerti.
Newtons inertilov er et eksempel. Den siger netop at et legeme forbliver i en jævn, retlinet
bevægelse, så længe det ikke bliver påvirket af en ydre kraft. Newtons inertilov beskæftiger sig
dog kun med translatoriske bevægelser, men også rotatoriske bevægelser har inerti, nemlig
rotationel inerti. Forskellen er ikke så stor. Ethvert legeme der roterer om en akse har et
inertimoment, der er en konstant afhængende af legemets masse og form, og som bestemmer
legemets rotationelle inerti, dvs. den modstand et legeme i rotation vil yde ved eventuelle
eksterne påvirkninger. Inertimomentet i rotation svarer til massen ved translation. Et roterende
legeme vil da, jo højere inertimoment det har, kræve flere eller større kræfter for at blive
standset, ligesom et tungt legeme kræver en større modsatrettet kraft for at blive stoppet.
Som vi så tidligere afhang inertimomentet både af legemets masse og radius. Princippet heri ses
tydeligt hvis man kigger på rotationel energi, E
rot
, som meget tydeligt udtrykker at den samme
energi vil give forskellige vinkelhastigheder for forskellige inertimomenter. Således vil
vinkelhastigheden være mindre for et betonhjul, end for et aluminiumhjul, på trods af at de har
samme energi – betonhjulet er altså mere inert og trægt grundet sin masse, udtrykt gennem
inertimomentet. På samme måde udnyttes det blandt andet i piruetter, at en større massetæthed
om rotationsaksen, altså et mindre r, vil øge rotationens fart, idet både massen og energien er
bevaret.
10
Kilde: http://da.wikipedia.org/wiki/Inerti
Af
Side 21 af 38
4.2 Specifikke inertimomenter
Jeg vil nu ved hjælp af integralregning udlede inertimomentet for henholdsvis en cylinder og en
kugle. Inertimomentet for cylinderen skal bruges til udregning af kuglens inertimoment, hvorefter
de til sidst vil blive brugt til udregning af acceleration for et rullende legeme på skråplan.
Udgangspunktet til enhver udledning af inertimoment er at finde hver enkelt partikel eller
massedels bidrag til det samlede inertimoment, hvorefter der integreres over hele legemet.
4.2.1 Cylinderens inertimoment
For at finde inertimomentet for en cylinder, er det
praktisk at dele cylinderen ind i uendeligt mange
ringe
11
, da alle massedele i en ”ring” har samme
afstand til omdrejningsaksen og dermed også må
have samme inertimoment i forhold til denne.
Ringen har tykkelsen dr, da der er tale om en
ændring af radius fra den indre cirkel til den ydre.
For at udregne inertimomentet for en cylinder, tager
man udgangspunkt i formlen for det generelle inertimoment som blev udledt tidligere, hvor m
i
er
massen af den enkelte massedel, og r
i
er afstanden fra massedelen til omdrejningsaksen:
ܫ=݉
∗ ݎ
ଶ
ே
Det er alment kendt at massen af et legeme er produktet af dets massefylde og dets volumen:
݉=ߩ ∗ ܸ. Da vi summerer en række ringe med tykkelsen dr må volumen af hver enkel ring
benævnes dV. Dette udnyttes i den generelle formel for inertimoment.
ܫ=
(
ߩ ∗ ܸ݀
)
∗ ݎ
ଶ
ே
11
Kilde: Christiansen, Gunnar m.fl.: MEKANIK
Figur 8 - Cylinder med radius R og længden L, inddelt i
ringe med indre radius r og tykkelsen dr.
Af
Side 22 af 38
Massefylden er i dette tilfælde konstant, da cylinderen er massiv og i samme materiale. Denne
sættes derfor foran summeringstegnet:
ܫ=ߩ ∗ݎ
ଶ
ே
∗ ܸ݀
Hele skivens inertimoment findes som sagt ved at summere alle ringenes inertimomenter. Ved
uendelig findeling erstattes summeringen med et integral, hvor det altså er grænseværdien af
summen der bruges:
ܫ=ߩ ∗නݎ
ଶ
∗ ܸ݀
Volumen af ringen med tykkelsen dr findes ved at trække volumen af den indre cylinder fra
volumen af det ydre:
ܸ݀=ߨ∗
(
ݎ+ ݀ݎ
)
ଶ
∗ ܮ− ߨ∗ ݎ
ଶ
∗ ܮ
Jeg bruger den matematiske regneregel
(
ܽ+ ܾ
)
ଶ
=ܽ
ଶ
+ ܾ
ଶ
+ 2ܾܽ til at løse den kvadrerede
parentes:
(
ݎ + ݀ݎ
)
ଶ
=ݎ
ଶ
∗ ܮ+ ߨ∗
(
݀ݎ
)
ଶ
∗ ܮ+ 2ߨ ∗ݎ ∗ ݀ݎ
ܸ݀=ߨ∗ ݎ
ଶ
∗ ܮ+ ߨ ∗
(
݀ݎ
)
ଶ
∗ ܮ+ 2ߨ∗ ݎ ∗݀ݎ ∗ ܮ− ߨ∗ ݎ
ଶ
∗ ܮ
Da leddet ߨ∗
(
݀ݎ
)
ଶ
∗ ܮ indeholder størrelsen dr, der er en meget lille størrelse, som kvadreret kun
bliver endnu mindre, vil ߨ∗
(
݀ݎ
)
ଶ
∗ ܮ≈0 og vi kan lade leddet frafalde ved reducering:
ܸ݀=2ߨ∗ ݎ∗ ݀ݎ∗ ܮ
Det nye dV sættes ind i formlen for inertimoment, der integreres i øvrigt fra centrum af cylinderen
til yderste radius, dvs. fra 0 til R:
ܫ
௬ௗ
=ߩ∗ නݎ
ଶ
∗
ோ
2ߨ∗ ݎ∗ ݀ݎ ∗ܮ
ܫ
௬ௗ
=ߩ ∗ ܮ නݎ
ଶ
∗
ோ
2ߨ∗ ݎ∗ ݀ݎ
Af
Side 23 af 38
Cylinderens masse kan udregnes som produktet af cylinderens volumen ܸ=ߨ∗ ܴ
ଶ
∗ ܮ, og
densiteten. Derfor gælder det at:
ܯ=ߩ∗
(
ߨ ∗ ܴ
ଶ
∗ ܮ
)
↔
ܯ
ߨ∗ ܴ
ଶ
=ߩ ∗ܮ
Udtrykket for ߩ ∗ ܮ sættes ind. Alle konstanter er desuden sat foran integraletegnet:
ܫ
௬ௗ
=
ܯ
ߨ∗ ܴ
ଶ
∗ 2ߨ∗ නݎ
ଷ
∗
ோ
݀ݎ
Der integreres:
ܫ
௬ௗ
=
ܯ
ߨ ∗ܴ
ଶ
∗ 2ߨ∗
1
4
∗ ݎ
ସ
൨
ோ
Der udregnes og reduceres:
ܫ
௬ௗ
=
ܯ
ܴ
ଶ
∗ 2 ∗ ൬
1
4
∗ ܴ
ସ
−
1
4
∗ 0
ସ
൰
ܫ
௬ௗ
=
2ܯ
ܴ
ଶ
∗ ൬
1
4
∗ ܴ
ସ
− 0൰
ܫ
௬ௗ
=
2ܯ∗
1
4
ܴ
ସ
ܴ
ଶ
Ved en endelig reducering udledes en massive cylinders inertimoment altså til at være:
1
2
ܯ∗ ܴ
ଶ
Af [navn fjernet], 3.e, Dronni
4.2.2 Kuglens inertimoment
Pythagoras siger at den kvadre
de hypotenuse udtrykkes ved addition af de to kvadrede kateder.
Dermed bliver skivens kvadrerede radius, r, udtrykt ved at subtrahere den kvadrerede x fra den
kvadrerede R:
Dermed bidrager hver skive til inertimomentet med:
ܫ
௦௩
=
Hvor M er skivens masse, R er kuglens radius og x, afstanden fra kuglens centrum ud til skivens
centrum.
Det antages at massen er kontinuer, den skrives derfor som produktet af densiteten og
volumenet: ܯ=ߩ ∗ ܸ
, hvor skivens
Da massen af skiven afhænger af dx, må massen benævnes dM, dette gælder også for formlen for
skivens inertimoment:
12
Kilde: Christiansen, Gunnar m.fl.:
MEKANIK
Figur 9 -
Kugle med radius R, inddelt i skiver med radius
r og tykkelsen dx.
Af [navn fjernet], 3.e, Dronni
nglund Gymnasium
Side 24 af 38
Der gøres opmærksom på at forkortelserne u
denne ud
ledning ikke er tilsvarende til
ved udledningen af cylinderen
s inertimoment
For at udlede inertimomentet for en kugle
kuglen ind i et koordinatsystem med centrum placeret
i origo, hvor inertimomentet findes om x
Kuglen vil f
or integralets skyld blive inddelt
mange små skiver
med tykkelsen dx
bruge
det netop udledte inertimoment for
da en skive er det samme som en cylinder blot med en
uendelig lille længde.
de hypotenuse udtrykkes ved addition af de to kvadrede kateder.
Dermed bliver skivens kvadrerede radius, r, udtrykt ved at subtrahere den kvadrerede x fra den
ݎ
ଶ
=ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
Dermed bidrager hver skive til inertimomentet med:
=
1
2
∗ ܯ∗ ݎ
ଶ
↔ܫ
௦௩
=
1
2
∗ ܯ∗ ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
Hvor M er skivens masse, R er kuglens radius og x, afstanden fra kuglens centrum ud til skivens
Det antages at massen er kontinuer, den skrives derfor som produktet af densiteten og
, hvor skivens
rumfang udregnes ܸ=ߨ∗
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
݀ݔ
݀ܯ=ߩ ∗ ߨ∗
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
݀ݔ
Da massen af skiven afhænger af dx, må massen benævnes dM, dette gælder også for formlen for
MEKANIK
– Kapitel 7 s. 30
Kugle med radius R, inddelt i skiver med radius
December 2010
Der gøres opmærksom på at forkortelserne u
nder
ledning ikke er tilsvarende til
forkortelserne
s inertimoment
.
For at udlede inertimomentet for en kugle
12
, lægges
kuglen ind i et koordinatsystem med centrum placeret
i origo, hvor inertimomentet findes om x
-aksen.
or integralets skyld blive inddelt
i uendeligt
med tykkelsen dx
. Dermed kan jeg
det netop udledte inertimoment for
cylinderen,
da en skive er det samme som en cylinder blot med en
de hypotenuse udtrykkes ved addition af de to kvadrede kateder.
Dermed bliver skivens kvadrerede radius, r, udtrykt ved at subtrahere den kvadrerede x fra den
Hvor M er skivens masse, R er kuglens radius og x, afstanden fra kuglens centrum ud til skivens
Det antages at massen er kontinuer, den skrives derfor som produktet af densiteten og
)
݀ݔ
.
Da massen af skiven afhænger af dx, må massen benævnes dM, dette gælder også for formlen for
Af
Side 25 af 38
ܫ
௦௩
=
1
2
∗ ݀ܯ∗
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
Udtrykket for skivens masse indsættes da i formlen for skivens inertimoment:
ܫ
௦௩
=
1
2
∗
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
∗ ߩ ∗ ߨ∗
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
∗ ݀ݔ
Jeg ved at densitet gange volumen giver masse, derfor må det også gælde at ߩ=
ெ
. For at finde et
udtryk for kuglens densitet bruger jeg formlen til udregning af en kugles volumen: ܸ=
ସ
ଷ
∗ ߨ∗ ܴ
ଷ
,
og sætter den ind i udtrykket for densitet:
ߩ=
ܯ
4
3
∗ ߨ∗ ܴ
ଷ
Dette udtryk sættes nu ind i formlen for skivens inertimoment:
ܫ
௦௩
=
1
2
∗
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
∗ ቌ
ܯ
4
3
∗ ߨ∗ ܴ
ଷ
ቍ ∗ ߨ∗
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
∗ ݀ݔ
For at udlede kuglens inertimoment summeres alle skivernes inertimomenter. Ved sådanne
findelinger af dx bruges i stedet et integral som i dette tilfælde går fra –R til R. Da
ଵ
ଶ
er en konstant
sætte den foran integraltegnet, ligesom andre konstanter også løbende vil, og der reduceres:
ܫ
௨
=
1
2
න
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
∗ ቌ
ܯ
4
3
∗ ߨ∗ ܴ
ଷ
ቍ ∗ ߨ∗
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
∗ ݀ݔ
ோ
ିோ
ܫ
௨
=
1
2
න
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
ଶ
∗ ቌ
ܯ
4
3
∗ ܴ
ଷ
ቍ ∗ ݀ݔ
ோ
ିோ
ܫ
௨
=
1
2
∗
ܯ
4
3
∗ ܴ
ଷ
න
(
ܴ
ଶ
− ݔ
ଶ
)
ଶ
∗ ݀ݔ
ோ
ିோ
Jeg udvider nu for at gange den kvadrerede parentes ud:
Af
Side 26 af 38
ܫ
௨
=
1
2
∗
ܯ
4
3
∗ ܴ
ଷ
න
(
ܴ
ସ
− 2ܴ
ଶ
∗ ݔ
ଶ
+ ݔ
ସ
)
∗ ݀ݔ
ோ
ିோ
Der integreres:
ܫ
௨
=
1
2
∗
ܯ
4
3
∗ ܴ
ଷ
ܴ
ସ
∗ ݔ−
2
3
ܴ
ଶ
∗ ݔ
ଷ
+
1
5
ݔ
ହ
൨
ିோ
ோ
Jeg udregner og reducerer ligningen:
ܫ
௨
=
1
2
∗
ܯ
4
3
∗ ܴ
ଷ
∗ (ܴ
ହ
−
2
3
ܴ
ହ
+
1
5
ܴ
ହ
− (−ܴ
ହ
+
2
3
ܴ
ହ
−
1
5
ܴ
ହ
))
ܫ
௨
=
3
8
∗
ܯ
ܴ
ଷ
∗ (
8
15
ܴ
ହ
− (−
8
15
ܴ
ହ
))
ܫ
௨
=
3
8
∗
ܯ
ܴ
ଷ
∗ ൬
16
15
ܴ
ହ
൰
Ved en sidste reducering er kuglens inertimoment altså udledt til:
ܫ=
2
5
∗ ܯ∗ ܴ
ଶ
4.3 Acceleration for rullende legemer
Som tidligere nævnt er et rullende legemes kinetiske energi sammensat af rotationsenergi og
translatorisk energi.
ܧ
=ܧ
௧
+ ܧ
௧௦
Vi så formlerne for begge energier tidligere i rapporten og de sættes ind i ovenstående udtryk. I er
inertimomentet om rotationsaksen i massemidtpunktet, ligesom v også er hastigheden i
massemidtpunktet og ω er vinkelhastigheden:
ܧ
=
1
2
∗ ܫ∗ ߱
ଶ
+
1
2
∗ ݉∗ ݒ
ଶ
Af [navn fjernet], 3.e, Dronni
Jeg antager at alle legemerne ruller uden at glide, så der ikke skal tages hensyn til friktion med
skråplanet
13
. Derfor kan jeg gå ud fra at den mekaniske energi er bevaret, i matematisk
sammenhæng b
liver den altså til en konstant E
ܧ
௧
+
Det fundne udtryk
for kinetisk energi sættes ind sammen med udtrykket for potentiel energi:
ܧ
௧
=݄݉݃, hvilket giver at:
݉ ∗ ݃∗ ݄
(
ݐ
Ved at differentiere
hastigheden med hensyn til tiden får man et udtryk for accelerationen:
݉ ∗ ݃∗ ݄
′
(
ݐ
)
=−
݉∗ ݃ ∗ (−ݔ∗
sin
Endnu engang differentieres der. Ve
bliver til acceleration.
݉∗ ݃ ∗ ݒ
(
ݐ
)
∗
13
Kilde:
Young, Hugh D. & Freedman, Roger A.:
14
Kilde: Christiansen, Gunnar m.fl.:
MEKANIK
Figur 10 - Rullende legeme på skråplan
Af [navn fjernet], 3.e, Dronni
nglund Gymnasium
Side 27 af 38
Jeg antager at alle legemerne ruller uden at glide, så der ikke skal tages hensyn til friktion med
. Derfor kan jeg gå ud fra at den mekaniske energi er bevaret, i matematisk
liver den altså til en konstant E
total
:
+
ܧ
=ܧ
௧௧
↔ܧ
௧
=ܧ
௧௧
− ܧ
for kinetisk energi sættes ind sammen med udtrykket for potentiel energi:
(
ݐ
)
=ܧ
௧௧
− ൬
1
2
∗ ܫ∗ ߱
(
ݐ
)
ଶ
+
1
2
∗ ݉ ∗ݒ
(
ݐ
)
ଶ
൰
hastigheden med hensyn til tiden får man et udtryk for accelerationen:
ቆ
1
2
∗ ܫ∗ 2 ∗ ߱
′
(ݐ) ∗ ߱
(
ݐ
)
+
1
2
∗ ݉∗ 2 ∗ ݒ
′
(
ݐ
)
Jeg antager ydermere at der er tale om en ren
bevægelse
14
, så der gælder at ݒ=ܴ∗
߱
I henhold til figur 10 indføres det at sin
ߙ
ݏ݅݊ߠ da rulningen foregår nedad –
altså i
De nye udtryk indføjes i formlen:
sin
ߙ)′ =−൭ܫ∗ (
ݒ
(
ݐ
)
ܴ
)′ ∗ (
ݒ
(
ݐ
)
ܴ
) + ݉∗ ݒ
′
(
ݐ
)
∗
Endnu engang differentieres der. Ve
d
differentieringen bliver strækning til hastighed, og hastighed
(
)
∗
sinߙ=൭ܫ∗ ቆ
ܽ
(
ݐ
)
∗ ݒ
(
ݐ
)
ܴ
ଶ
ቇ + ݉∗ ܽ
(
ݐ
)
∗ ݒ
(
Young, Hugh D. & Freedman, Roger A.:
UNIVERSITY PHYSICS with Modern Physics 11
MEKANIK
– Kapitel 7 s. 20
December 2010
Jeg antager at alle legemerne ruller uden at glide, så der ikke skal tages hensyn til friktion med
. Derfor kan jeg gå ud fra at den mekaniske energi er bevaret, i matematisk
for kinetisk energi sættes ind sammen med udtrykket for potentiel energi:
(
)
൰
hastigheden med hensyn til tiden får man et udtryk for accelerationen:
(
)
∗ ݒ
(
ݐ
)
ቇ
Jeg antager ydermere at der er tale om en ren
rullende
߱
↔߱=
௩
ோ
ߙ
=
ି௫
↔݄=−ݔ∗
altså i
positivretningen.
(
)
∗
ݒ
(
ݐ
)
൱
differentieringen bliver strækning til hastighed, og hastighed
(
ݐ
)
൱
UNIVERSITY PHYSICS with Modern Physics 11
th
edition - s. 370.
Af
Side 28 af 38
Udtrykket reduceres:
݉∗ ݃ ∗ ݒ
(
ݐ
)
∗ sinߙ− ܫ∗ ቆ
ܽ
(
ݐ
)
∗ ݒ
(
ݐ
)
ܴ
ଶ
ቇ=݉∗ ܽ
(
ݐ
)
∗ ݒ
(
ݐ
)
݉ ∗ ݃∗ ݒ
(
ݐ
)
∗ sinߙ
ܽ
(
ݐ
)
∗ ݒ
(
ݐ
)
−
ܫ∗ ൬
ܽ
(
ݐ
)
∗ ݒ
(
ݐ
)
ܴ
ଶ
൰
ܽ
(
ݐ
)
∗ ݒ
(
ݐ
)
=݉
݉=
݉∗ ݃ ∗ sinߙ
ܽ
(
ݐ
)
−
ܫ
ܴ
ଶ
Da legemet er påvirket af en konstant kraft, er accelerationen også konstant og afhænger derfor
ikke af tiden. Jeg kan derfor gange med accelerationen på begge sider af lighedstegnet for at få en
mulighed for at isolere denne senere.
݉∗ ܽ=݉ ∗ ݃∗ sinߙ−
ܫ∗ ܽ
ܴ
ଶ
݉∗ ܽ+
ܫ∗ ܽ
ܴ
ଶ
=݉∗ ݃ ∗sinߙ
Accelerationen sættes udenfor en parantes, hvorefter den med lethed kan isoleres:
ܽ∗ ൬݉ +
ܫ
ܴ
ଶ
൰=݉∗ ݃ ∗ sinߙ
ܽ=
݉∗ ݃ ∗ sinߙ
݉+
ܫ
ܴ
ଶ
Ved en sidste reducering bliver den generelle formel for et rullende legemes acceleration altså
udregnet til at være:
ܽ=
݃ ∗sinߙ
1 +
ܫ
݉∗ ܴ
ଶ
Da accelerationen blandt andet afhænger af legemets inertimoment, kan man altså også udlede
mere specifikke formler, som kun gælder for et bestemt udformet legeme. Da jeg har lavet forsøg
Af
Side 29 af 38
med 3 forskellige rullende legemer: en massiv cylinder, en cylinder ring og en massiv kugle, vil jeg
nu specificere formlen for acceleration så den passer til hvert af de tre tilfælde.
Jeg har tidligere udledt inertimomentet for en massiv cylinder, ܫ
௬ௗ
=
ଵ
ଶ
݉∗ ܴ
ଶ
, til netop dette
formål, dermed findes accelerationen for den massive cylinder ved at indsætte det udledte
inertimoment i den generelt gældende formel for accecleration for rullende legemer:
ܽ=
݃ ∗sinߙ
1 +
1
2
݉∗ ܴ
ଶ
݉∗ ܴ
ଶ
↔ܽ=
݃ ∗ sinߙ
1 +
1
2
Udtrykket forkortes og det ses at ݉ ∗ ܴ
ଶ
går ud. Dermed bliver formlen for accelleration ved en
massiv cylinder:
ܽ=
2
3
∗ ݃ ∗sinߙ
Ydermere kan accelerationen for en massiv kugle udregnes ved hjælp af inertimomentet, som jeg
også udledte tidligere, og den generelle formel for acceleration:
ܽ=
݃ ∗sinߙ
1 +
2
5
ܯ∗ ܴ
ଶ
݉∗ ܴ
ଶ
↔ܽ=
݃ ∗ sinߙ
1 +
2
5
Endnu engang går ݉∗ ܴ
ଶ
ud under reduceringen og formlen for acceleration ved en massiv kugle
bliver dermed:
ܽ=
5
7
∗ ݃ ∗sinߙ
Det sidste legeme jeg vil se på er en cylinderring, og jeg vil derfor specificere accelerationsformlen
til kun at omhandle denne. Dette legemes inertimoment har jeg dog valgt ikke at udlede i denne
opgave, hvorfor jeg finder cylinderringens inertimoment i en tabel
15
for inertimomenter. Tabellen
fastslår cylinderringens inertimoment til ܫ
௬ௗ
=
ଵ
ଶ
݉∗ ൫ݎ
ௗ
ଶ
+ ݎ
௬ௗ
ଶ
൯, hvor r
indre
er den
indre radius og r
ydre
er den ydre. Da den ydre radius er lig R, bruges dette i stedet: ܫ
௬ௗ
=
15
Kilde: Brydenshol, Morten m.fl.: Orbit 3. 3. udgave – tabel side 327
Af [navn fjernet], 3.e, Dronni
ଵ
ଶ
݉ ∗
(
ݎ
ௗ
ଶ
+ ܴ
ଶ
)
.
Endnu engang sættes dette ind i den generelle formel for
rullende legemer:
ܽ=
1 +
1
2
݉
D
en endelige formel for en cylinderrings acceleration
Som det fremgår af de tre udtryk for acceleration afhænger accelerationen for en rullende
cylinder, kugle eller cylinderring således
tyngdeaccelerationen, der er konstant.
betydning for accelerationen.
De tre specificerede accelerationsformler vil blive anvendt senere til sammenligning mellem teori
og praksis.
4.4 Forsøg 2 –
rulning på skråplan:
Figur 11 - Forsøgsopstilling 2
Til forsøget med rullende legemer på et skråplan, er der brugt en lang træplanke uden ujævnheder
eller knaster som skråplan
, hvilket sikrer en jævn bevægelse og en ensartet kontaktflade
Af [navn fjernet], 3.e, Dronni
nglund Gymnasium
Side 30 af 38
Endnu engang sættes dette ind i den generelle formel for
݃∗ sinߙ
݉
∗
(
ݎ
ௗ
ଶ
+ ܴ
ଶ
)
݉∗ ܴ
ଶ
↔ܽ=
2
3
∗
݃∗ ܴ
ଶ
∗ sin
ߙ
ܴ
ଶ
+ ݎ
ௗ
ଶ
en endelige formel for en cylinderrings acceleration
er altså:
ܽ=
2
3
∗
݃ ∗ܴ
ଶ
∗ sinߙ
ܴ
ଶ
+ ݎ
ௗ
ଶ
Som det fremgår af de tre udtryk for acceleration afhænger accelerationen for en rullende
cylinder, kugle eller cylinderring således
kun
af skråplanets vinkel med vandret og
tyngdeaccelerationen, der er konstant.
Disse legemers masse og s
tørrelse har derfor ikke
De tre specificerede accelerationsformler vil blive anvendt senere til sammenligning mellem teori
rulning på skråplan:
Til forsøget med rullende legemer på et skråplan, er der brugt en lang træplanke uden ujævnheder
, hvilket sikrer en jævn bevægelse og en ensartet kontaktflade
December 2010
Endnu engang sættes dette ind i den generelle formel for
acceleration for
ߙ
Som det fremgår af de tre udtryk for acceleration afhænger accelerationen for en rullende
af skråplanets vinkel med vandret og
tørrelse har derfor ikke
De tre specificerede accelerationsformler vil blive anvendt senere til sammenligning mellem teori
Til forsøget med rullende legemer på et skråplan, er der brugt en lang træplanke uden ujævnheder
, hvilket sikrer en jævn bevægelse og en ensartet kontaktflade
.
Af
Side 31 af 38
Forsøgsopstillingen ses på figur 11. Planken er cirka 30 cm bred for at mindske risikoen for at et
legeme vil rulle af planken inden det er nået til enden. Da friktion og gnidning ikke har en
betydning for rullende legemers acceleration så længe legemet ruller uden at glide, sørger jeg blot
for at friktionen mellem planken og det rullende legeme er høj nok til at forhindre netop dette.
Forsøget vil dermed blive behandlet med accelerationsformlen for rotatorisk bevægelse uden
gnidning. På tegningen kan den del af opstillingen ses som kameraet har optaget. Bevægelsen er
optaget gentagende gange for hvert legeme, hvor de bedst anvendelige optagelser vælges ud, og
analyseres igen ved hjælp af Tracker.
Fremgangsmåden for analysearbejdet i Tracker er identisk med fremgangsmåden i første forsøg
med den translatoriske bevægelse. Det optagede filmklip afgrænses i Tracker til kun at analysere
data fra de frames der er af betydning for bevægelsen. Akser og målestok indsættes og legemets
punktmængde markeres i hvert frame.
Igen fremkommer en graf i højre side af skærmen som indstilles til at vise tiden ud af x-aksen og
hastigheden op ad y-aksen, da jeg her kan aflæse accelerationen som hældningen af grafen.
Tabeldataene behandles derefter I Excel. Graferne findes under næste afsnit.
Under den eksperimentelle undersøgelse af rullende legemers bevægelse, udførte jeg tre
versioner af forsøget. Det første forsøg blev udført med en massiv cylinder, det andet med en
massiv kugle og det sidste med en cylinderring. I følgende afsnit vil jeg udregne den teoretiske
acceleration for hvert legeme ud fra disses specifikke formler for acceleration og derefter se
hvorvidt de stemmer overens med de eksperimentelle værdier, som jeg finder ved hjælp af den
tidsafhængige hastighedsgraf. Desuden vil jeg sammenligne formlerne for inertimoment og se om
det i forsøgene også er legemet med det mindste inertimoment der har den højeste acceleration.
Skråplanets vinkel med vandret er udregnet til at være 19,65 grader, og som tidligere skrevet er
tyngdeaccelerationen i Danmark lig 9,82m/s
2
. Værdierne sættes ind i legemernes individuelle
accelerationsformler og sammenlignes.
Af
Side 32 af 38
4.4.1 Resultater
Første forsøg blev udført med den massive cylinder. Det blev tidligere udledt at formlen for en
massiv cylinders acceleration var ܽ=
ଶ
ଷ
∗ ݃ ∗ݏ݅݊ߠ, den teoretiske acceleration udregnes dermed
til at være:
ܽ=
2
3
∗ ݃∗ ݏ݅݊ߠ=
2
3
∗ 9,82ቀ
݉
ݏ
ଶ
ቁ ∗ sin19,65=2,20ቀ
m
s
ଶ
ቁ
Den teoretiske acceleration for den massive cylinder er altså 2,20 m/s
2
.
Acceleration aflæses som tidligere skrevet ved hældningen af den tidsafhængige hastighedsgraf.
Den eksperimentelle acceleration for den massive cylinder kan altså aflæses til at være 2,046 m/s
2
.
Andet forsøg blev udført med en massiv kugle. Accelerationsformlen for den massive kugle blev
tidligere udledt til ܽ=
ହ
∗ ݃∗ ݏ݅݊ߠ, dermed bliver den teoretiske acceleration:
ܽ=
5
7
∗ ݃∗ ݏ݅݊ߠ=
5
7
∗ 9,82ቀ
݉
ݏ
ଶ
ቁ ∗ sin19,65=2,36ቀ
݉
ݏ
ଶ
ቁ
Den teoretiske acceleration er altså udregnet til 2,36 m/s
2
.
y = 2,0462x - 0,0176
R² = 0,9978
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,000 0,500 1,000 1,500
hastighed (m/sek)
tid (sek)
Massiv cylinder
Lineær (Serie1)
Af
Side 33 af 38
Regressionen har udregnet hældningen og accelerationen ved forsøget bliver dermed 2,22 m/s
2
.
Sidste version af forsøget er lavet med en cylinderring, der har den indre radius r
i
=2,65 cm, og den
ydre radius r
y
=3 cm. Cylinderringens acceleration er tidligere bestemt til at være formlen
ܽ=
ଶ
ଷ
∗
∗ோ
మ
∗ୱ୧୬ఈ
ோ
మ
ା
మ
, værdierne indsættes og den teoretiske acceleration for cylinderringen bliver:
ܽ=
2
3
∗
݃ ∗ܴ
ଶ
∗ sinߙ
ܴ
ଶ
+ ݎ
ଶ
=
2
3
∗
9,82ቀ
݉
ݏ
ଶ
ቁ ∗ 0,03݉
ଶ
∗ sin19,65
0,03݉
ଶ
+ 0,0265݉
ଶ
=1,75ቀ
݉
ݏ
ଶ
ቁ
Den teoretiske acceleration for cylinder ringen er altså 1,75 m/s
2
.
På grafen fra forsøget kan det aflæses at accelerationen for cylinder ringen er 1,50 m/s
2
.
y = 2,2246x + 0,1037
R² = 0,998
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,000 0,500 1,000 1,500
hastighed (m/Sek)
tid (sek)
Kugle
Lineær (Serie1)
y = 1,504x + 0,0999
R² = 0,9799
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0,000 0,500 1,000 1,500
hastighed (m/sek)
tid (sek)
Cylinderring
Serie1
Lineær (Serie1)
Af
Side 34 af 38
Legeme Teoretisk a Eksperimentel a Afvigelse i %
Massiv cylinder 2,20 m/s
2
2,05 m/s
2
-7,5 %
Kugle 2,36 m/s
2
2,22 m/s
2
-5,7 %
Cylinder ring 1,75 m/s
2
1,50 m/s
2
-13,9 %
Som det kan ses er den eksperimentelle acceleration konsekvent lavere end den teoretisk udledte,
men afvigelsernes størrelse er meget spredte. Afvigelser på 7,5 % og 5,7 % er acceptable
afvigelser, dog er 13,9 % en meget stor afvigelse. Graferne viser også at jo mindre afvigelsen er, jo
bedre har regressionen været, bedømt ud fra størrelsen af R
2
. Desuden ses det at grafen for
cylinderringens hastighed har et udsving som ikke burde være der, og som muligvis har forstyrret
regressionen.
Kigger man på de tre legemers inertimomenter og husker fra tidligere, at lavere inertimoment
resulterer i højere acceleration, kan man se at kuglen har det laveste inertimoment, og derfor
skulle være det af de tre legemer med højest acceleration. Ligeledes har cylinderringen det højeste
inertimoment, og skulle derfor være det legeme med lavest acceleration. Ser man på de
eksperimentelt fundne accelerationer, passer dette med teorien, idet kuglen har den højeste
acceleration, den massive cylinder den næstehøjeste og cylinderringen den mindste.
4.4.2 Fejlkilder
Ligesom ved første forsøg indsættes punktmængderne manuelt i Tracker, hvilket kan være en
større fejlkilde. Specielt ved cylinderringen har det været et problem eftersom ringen var tynd og
derfor blev utydelig på videoen, hvilket jf. at grafens føromtalte ujævnheder, ser ud til at have haft
en betydning. Det er også muligt at legemerne har haft usikkerhedsfaktorer i formen. Den massive
cylinder var i træ, og kunne derfor have en smule ujævn overflade da der er årer i træet, ligesom
cylinderringen muligvis haft en brist idet der var ujævnheder i overflademalingen. Dette har
kunnet forstyrre rulningen.
Desuden kan borde og stole også være en smule skæve, så legemets bane ikke står vinkelret på
kameravinklen, men kan være drejet enten en smule ind mod eller væk fra kameraet. Dette ville
resultere i at den tilbagelagte strækning, fra kameraets vinkel, ville synes mindre end den reelt set
tilbagelagte, og accelerationen ville derfor også være mindre end den reelle. Vi ser netop at dette
Af
Side 35 af 38
er tilfældet da den eksperimentelle acceleration er mindre end den teoretisk udregnede, og da
bare få centimeters fejl i udmålingen af strækningen kan betyde relativt store procentuelle
afvigelser, kan denne fejlkilde betragtes som meget relevant.
Vinklen mellem skråplanet og vandret kan også have været lidt upræcis da den er regnet ud fra
dataene i Tracker, som igen stammer fra de manuelt indsatte punktmængder.
4.4.3 Delkonklusion
Jeg har nu undersøgt rullende legemers bevægelse på et skråplan. Ud fra de teoretisk udledte
formler for acceleration kan jeg konkludere at accelerationerne for de tre valgte rullende legemer,
ligesom ved den translatoriske bevægelse, ikke afhænger af legemets masse. Ydermere kan jeg
også ved den rotationelle bevægelse konkludere at vi har at gøre med en konstant accelereret
bevægelse. Endnu engang har jeg hastighedsgrafer som ifølge værdierne af R
2
passer meget godt
med den lineære regression, og dermed må hastigheden også her stige med samme konstant ved
hvert interval.
Der er tydeligvis flere ting som går igen ved rotationel bevægelse i forhold til den translative. Da
accelerationen for den rullende bevægelse på skråplan for eksempel afhænger af skråplanets
vinkel med vandret, kan man konkludere at også accelerationen for et rullende legeme bliver
større når vinklen bliver større.
Ved at sammenligne teorien og forsøgsresultaterne blev det bekræftet, at accelerationen for et
rullende legeme afhænger af størrelsen af legemets inertimoment. Kuglen havde den højeste
acceleration både teoretisk og eksperimentelt og det laveste inertimoment, ligesom
cylinderringen har det største inertimoment og den laveste acceleration. Jeg kan dermed
konkludere at teorien stemmer helt overens med de eksperimentelt fundne resultater.
Afvigelsesprocenterne for den udregnede hastighed, var ved to ud af tre også forholdsvis
acceptable. Cylinderringen derimod havde en afvigelse på cirka 13 % hvilket er over det normalt
acceptable niveau, hvilket delvis kunne forklares med at denne også var sværest at behandle i
Tracker. Overordnet kan det derfor konkluderes at forsøgene stemte godt overens med teorien
taget de beskrevne fejlkilder i betragtning.
Af
Side 36 af 38
5. Konklusion
På baggrund af de udførte forsøg og den dertilhørende teori, kan jeg konkludere at der er visse
ligheder mellem den retlinede bevægelse, kaldet translatorisk bevægelse, og den rullende
bevægelse, der er en blanding af translation og rotation. Således er der for både en glidende og en
rullende bevægelse på skråplan, en sammenhæng mellem hvor stor vinklen med vandret er og
hvor stor accelerationen for de stive legemer bliver. Når vinklen går mod 90˚ går legemets
acceleration mod tyngdeaccelerationen. Ligeledes kan det konkluderes at massen og størrelsen
har absolut ingen betydning for legemernes acceleration, så længe formen er uændret.
Ydermere kan jeg ud fra usikkerheden ved hvert forsøg og den procentvise afvigelse af
accelerationen konkludere, at mine forsøg generelt har været vellykkede. Dertil kan det
konkluderes at de udregnede accelerationsformler for henholdsvis en translatorisk bevægelse
med og uden gnidning, og accelerationen for en rullende cylinder, kugle eller cylinderring, kan
bruges til at udregne accelerationen for et givet legeme ved blot at kende dets form, og dermed
inertimoment, samt skråplanets vinkel med vandret.
De matematiske redskaber: vektorer og integralregning har haft en markant betydning for
udledningerne af accelerationerne og inertimomenterne. Vektorer og vektoraddition har i denne
opgave hovedsageligt haft en betydning for den translative bevægelse. Den måde hvorpå
matematikkens vektorregning og fysikkens mekanik komplimenterer hinanden er så unik, at
fysikken har deres egen udgave af vektoraddition kaldet ”kræfternes parallelogram”. Vektorer kan
også spille en rolle i forståelsen af rotationelle bevægelser, hvilket dog ikke har været fokus i
denne opgave. I anden del af opgaven, omhandlende rullende bevægelser, har integralregningen
tilgengæld spillet en stor rolle, idet inertimomenterne er udledt ved hjælp deraf. Desuden har jeg
også benyttet integralregning for at udregne den generelle formel for de rullende legemers
acceleration.
Ved hvert af de to forsøg har jeg været opmærksom på eventuelle fejlkilder og søgt at forklare
afvigelserne fra teorien. For den translatoriske bevægelse tydede det på at luftpudebanen ikke var
helt gnidningsfri, som først antaget. Ved at korrigere for en minimal gnidning, blev afvigelserne
stort set elimineret. For den rullende bevægelse kunne problemer i den praktiske og tekniske
udførelse af forsøgene have ført til afvigelserne. Især legemernes præcise position i
Af
Side 37 af 38
computerprogrammet Tracker var svære at observere, ligesom en mindre skævhed i
forsøgsopstillingen kan have forårsaget afvigelserne fra teorien.
Taget disse potentielle fejlkilder i betragtning, må forsøgene dog siges at have været vellykkede.
De har således i høj grad bekræftet den præsenterede teori om translatorisk og rotatoriske
bevægelser.
Af
Side 38 af 38
6. Litteraturliste
Bøger:
- Andersen, Aage: Vektorer. Forlaget SFU, 1986
- Andersen, Erik S. m.fl: Databog fysik kemi. 10. udgave. F & K Forlaget
- Brydenshol, Morten m.fl.: Orbit 3. 3. udgave, 1. oplag. Systime, 2004
- Christiansen, Gunnar m.fl.: MEKANIK. Laboratoriet for Teknisk Fysik, 1989
- Holck, Per m.fl.: Orbit A – htx. Systime, 2007
- Jensen, Thomas m.fl.: Matema10k – Matematik for gymnasiet A niveau. Frydenlund, 2007
- Staffanson, Eve m.fl.: Fysik i grundtræk – 2A mekanik, 2. udgave. Munksgaard, 1979
- Young, Hugh D. & Freedman, Roger A.: UNIVERSITY PHYSICS with Modern Physics 11
th
edition. Pearson education – Addison-Wesley, 2004
Internetsider:
- Laursen, Morten: ”En oversigt over kræfter i fysikken” - http://iis-old.nakskov-
gym.dk/fysik/la/mekanik_webmappe/kraft_typer.htm - 8. december
Forfatter ikke angivet:
- ”Stift legeme” - http://wiki.mitsted.dk/?page=Stift_legeme – 7. december
- ”Mekanik” - http://da.wikipedia.org/wiki/Mekanik - 7. december
- ”Kræfter – Impuls & inertimoment” -
http://www1999215.thinkquest.dk/teori/kraft/inerti_impuls_mom.html - 10. december
- ”Rotational energy” - http://en.wikipedia.org/wiki/Rotational_energy - 8. december
- “Translation (physics)” - http://en.wikipedia.org/wiki/Translation_(physics) – 11. December
- “Inert” -
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Kemi/Kemi_generelt/inert -
11. december
- ”Inerti” - http://da.wikipedia.org/wiki/Inerti - 11. december