[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
1
Indholdsfortegnelse
Indledning .................................................................................................................................................. 2
Matematisk analyse af et spil: ................................................................................................................... 2
Den generelle spilteori .............................................................................................................................. 3
Klassifikationer .................................................................................................................................. 4
M x N spil ........................................................................................................................................... 4
”Minimax”-princippet........................................................................................................................ 5
Saddelpunkt ....................................................................................................................................... 6
Blandede strategier ........................................................................................................................... 6
Cubakrisens forløb..................................................................................................................................... 7
Cubakrisen som et matematisk spil .......................................................................................................... 9
Spørgsmålet om raketterne ...................................................................................................................... 9
Analyse af USA’s løsningsforslag ............................................................................................................. 11
1. Gør intet ...................................................................................................................................... 11
2. Diplomatisk pres .......................................................................................................................... 12
3. Henvendelse til Castro................................................................................................................. 13
4. Invasion ....................................................................................................................................... 13
5. Et kirurgisk luftangreb ................................................................................................................. 14
6. Blokade ........................................................................................................................................ 15
Spillets løsning ................................................................................................................................. 15
Den endelige beslutning .......................................................................................................................... 17
De to breve .............................................................................................................................................. 18
Spilteori til belysning af et historisk emne .............................................................................................. 19
Konklusion ............................................................................................................................................... 21
Litteraturliste ........................................................................................................................................... 22
Bøger ............................................................................................................................................... 22
Hjemmesider ................................................................................................................................... 22
Bilag 1 ...................................................................................................................................................... 23
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
2
Indledning
Cubakrisen i 1962 er nok det tidspunkt i verdenshistorien, hvor en altødelæggende atomkrig har været
nærmest. Denne periode vil danne de historiske rammer omkring den følgende opgave, og vil spille en stor
rolle i opgavens opbygning. Det matematiske apparat spilteori, vil danne grundlaget for fremstillingen af
Cubakrisen.
Først vil spillet fangernes dilemma blive analyseret spilteoretisk, for at give et eksemplificeret indblik i
nogle af spilteoriens begreber, herunder fx Nash’ princip og udbyttematrix. Desuden vil nogle af spilteoriens
forudsætninger blive forklaret.
Herefter vil følge en matematisk redegørelse for den generelle spilteori. Begreber som M x N-spil, mi-
nimax-princippet og strategier vil blive forklaret, og nogle eksempler på, hvordan spil kan klassificeres, vil
blive omtalt.
Et redegørende, historisk afsnit vil herefter fastlægge Cubas forhold til USA og USSR i 1962, samt ho-
vedtrækkene af perioden fra den 14. til den 28. oktober, som siden er blevet betegnet Cubakrisen.
Efterfølgende vil det historiske emne blive koblet sammen med den matematiske teori, idet en
spilteoretisk analyse vil blive foretaget over Cubakrisen. Der vil blive fokuseret på de amerikanske beslut-
ningsprocesser, og forklaret hvorfor. Spilteorien skal i denne forbindelse forsøge at give et indblik i, hvorfor
de amerikanske beslutningstager handlede, som de gjorde.
Endelig vil spilteoris egnethed til belysning af et historisk emne blive vurderet, og nogle fordele og
ulemper herved vil blive forklaret.
Matematisk analyse af et spil:
Spilteori kan beskrives som en matematisk teori til analyse af konfliktsituationer. Konfliktsituationer er situ-
ationer fra virkeligheden, hvori 2 eller flere modstridende parter stræber efter optimalt udbytte, og hvor
hvert træk fra den ene part afhænger af modpartens træk. Konfliktsituationer hentet fra virkeligheden kan
sjældent analyseres umiddelbart, da mange sekundære faktorer spiller ind, og spilteorien formår ikke at
tage højde for alle disse. Man er derfor nødt til at lave en forsimplet, formaliseret model af situationen,
hvori man ser bort fra de sekundære faktorer og fokuserer på de primære. Desuden kan en del af forsim-
plingen være at tildele de forskellige måder, hvorpå situationen kan ende, udfaldet, en matematisk værdi.
En sådan model kaldes et spil. Nedenfor ses et eksempel på et matematisk spil, hvor der er anvendt spil-
teori. Spillet kaldes fangernes dilemma og beskriver 2 personer, A og B, der er taget til fange – disse er spil-
lets spillere. De har begge valgmuligheden for enten at tie eller at sladre – Dette er spillernes strategier. Når
en spiller har foretaget et af sine mulige valg, siges det, at han har foretaget et træk.
Til analyse af matematiske spil vil man ofte anvende såkaldte udbyttematrixer, som nedenstående:
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
3
B’s valg
A’s valg
Fangernes dilemma er et 2 x 2 spil, hvilket betyder at A og B hver har 2 mulige strategier til rådighed.
Tallene i matrixen angiver, hvor mange år i fængsel, hver spiller får (fx vil udfaldet (sladre; sladre) give 5 års
fængsel til begge spillere) – Dette antal kaldes spillerens udbytte. Udbytterne danner grundlag for spillernes
valg og er dermed med til at danne spillets regler.
Når man analyserer et spil, vil man forsøge at finde ud af, hvilke træk hver spiller bør tage, hvis han vil
være sikker på at få det optimale udbytte, og når disse optimale strategier er fundet, siges det, at man har
fundet spillets løsning. Analysen af et spil er forskellig, alt afhængig af hvilken type spil, der er tale om.
Fangernes dilemma er spil med rene strategier af typen ikke-nulsumsspil (mere om dette senere) og
spilteorien siger, at der ved en sådan type spil skal bruges Nash’ princip til at finde spillernes optimale stra-
tegier. Nash’ princip siger, at den spilteoretiske løsning skal findes der, hvor der findes en Nash-ligevægt. En
Nash-ligevægt er et par af strategier, (x
I
, Y
J
) i matrixen, hvor x
i
er større end alle andre x’er i sin søjle, j, og
hvor y
j
er større end alle andre y’er i sin række, i. Ved en sådan ligevægt gælder det, at ingen af spillerne vil
klare sig bedre ved at afvige fra Nash-ligevægten. Vendes der tilbage til matrixen, ses det, at kombinationen
sladre/sladre er en Nash-ligevægt. Dette er altså den spilteoretiske løsning for spillet. Dette kan virke over-
raskende, da kombinationen tie/tie umiddelbart virker langt mere fordelagtig. Problemet er, at ingen af
fangerne kan vide, om de kan stole på den anden – vælger de at tie, tager de en chance, idet de så kan en-
de med at få 20 år i fængsel!
Spilteorien begrænses i det, at de forslag, som teorien udarbejder til, hvordan spillerne bør handle, al-
tid er under forudsætning af, at begge spillerne handler med henblik på at få maksimalt udbytte (eller mi-
nimalt tab) ud af situationen, og at der handles rationelt, fornuftigt og uden at tage nogle risici.
Den generelle spilteori
Nedenfor følger en kort gennemgang af den generelle spilteori
1
. Nogle af begreberne, som ovenfor er ek-
semplificeret, vil blive genereliseret, og nye begreber vil blive indført.
Som i eksemplet ovenfor, har ethvert spil et sæt regler. Reglerne kan betragtes som spillets rammer,
og forstås som de betingelser, der bestemmer, hvilke mulige handlingsalternativer hver spiller har, hvilken
1
Afsnittet er baseret på kilde 6, side 7-29
Sladre
Tie
Sladre
(-5,-5)
(0,-20)
Tie
(-20,0)
(-1,-1)
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
4
mængde information hver spiller har om modpartens træk, rækkefølgen for at skiftes til at foretage træk,
samt udfaldet som en given række af foretagne træk fører frem til.
Klassifikationer
De ovenstående regler er generelle for alle spil. De forskellige typer af spil, der findes, kan klassificeres ved
forskellige kriterier. Spil af typen nulsumsspil klassificeres fx ved, at det den ene part vinder ved hvert givent
udfald, er lig med hvad den anden part taber. Dermed er summen af udbyttet 0. Dette ses fx i skak, hvor
man oftest tildeler udfaldet ”sejr” tallet ”1”, og udfaldet ”nederlag” tallet ”-1”. Spil, hvor det, den ene part
vinder, ikke er lig med det, den anden taber, kaldes ikke-nulsumsspil. Som eksempel kan nævnes fangernes
dilemma, hvor udfaldet (sladre ; tie) fx vil give 0 års fængsel til A og 20 til B.
Spil kan også klassificeres ud fra typen af træk, der indgår i spillet. Man skelner mellem to typer træk;
de personlige træk og de tilfældige træk. Personlige træk er, som navnet angiver, et bevidst valg, der fore-
tages af en spiller. Tilfældige træk er derimod et valg blandt en række muligheder, som spilleren ikke fore-
tager – fx resultatet af at slå med en terning. Ved et tilfældigt træk angiver spillets regler sandsynligheden
for udfaldet i hvert tilfældigt træk (fx 1/6 ved terningekast).
Mængden af information som hver spiller har, er endnu en måde at klassificere spil på. Her skelnes
igen mellem to typer: Spil med fuldstændig information, hvor spillerne kender hvert forudgående træk og
resultatet heraf (fx skak), og spil med ufuldstændig information, hvor det modsatte gør sig gældende (fx
fangernes dilemma)
I ethvert spil har spillerne nogle strategier, imellem hvilke de kan vælge, og netop strategier er vigtigt,
da spilteoriens formål jo er at bestemme optimale strategier for spillerne.
Strategi defineres som ”et sæt af regler, som entydigt fastsætter valget ved hvert personligt træk, den
givne spiller skal foretage, afhængigt af den situation, som er opstået under spillet”
2
. Sagt på en anden må-
de er strategien et system af beslutninger om, hvad der skal gøres i enhver mulig situation i et spil. Strate-
gierne er endnu et kriterium, der kan bruges til at klassificere et spil: Man kan skelne mellem endelige og
uendelige spil. I et endeligt spil har hver af spillerne kun et endeligt antal strategier.
M x N spil
Et givent endeligt spil, hvor A har m strategier og B har n strategier kaldes det et M x N spil. A’s strategier
betegnes A
1
, A
2
, … ,A
m
, og B’s strategier betegnes B
1
, B
2
, … ,B
n
. Bogstavet i betegner nummeret på A’s stra-
tegi, mens bogstavet j betegner nummeret på B’s strategi.
Det antages, at spillerne A og B har valgt hver deres strategi, A
i
og B
j
. Hvis spillet udelukkende består af
personlige træk er det kun strategierne A
i
og B
j,,
der bestemmer spillets udbytte, som kaldes a
ij
. Hvis spillet
udover strategierne A
i
og B
j
også indeholder tilfældige træk, vil udfaldet af spillet være afhængig af udfaldet
2
Kilde 6 side 9, l 23-25
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
5
af disse tilfældige træk, og i et sådant spil betegner a
ij
udbyttets middelværdi. Matrixen for et M x N spil
betegnes {a
ij
} og ser sådan ud:
B
1
B
2
. . .
B
2
A
1
a
11
a
12
. . .
a
1n
A
2
a
21
a
22
. . .
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
m
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
”Minimax”-princippet
Hvis man vil prøve at finde sin optimale strategi i et M x N spil, må man analysere strategierne én for én.
Når man vælger sin strategi A
i
, må man altid gå ud fra, at modstanderen vælger den strategi B
j
, som resul-
terer i, at man selv får et minimalt udbytte, da spilteorien jo altid går ud fra, at spillerne handler rationelt
med henblik på selv at få det bedste udbytte. Ens udbyttet må da være det mindste af de mulige a
ij
. Dette
betegnes
i
og skrives:
ij
min
i
j
a
min
j
betegner minimumsværdien af den givne parameter (her: a
ij
) for alle mulige j.
Hvis man handler efter spilteoriens rammer og regner med, at ens modstander handler ligeså fornuftigt,
(uden at tage nogle risici) vil det optimale altid være at vælge den strategi for hvilken
i
er maksimalt.
Denne maksimale værdi af
i
betegnes
:
max max min
i ij
j
ii
a
Størrelsen
kaldes maximin-tallet eller spillets nedre værdi. Det hedder den, for hvis man holder sig til
spillets nedre værdi, vil man aldrig få et udbytte mindre end
. Den strategi A
i
, der svarer til den række,
hvor
findes kaldes maximin-strategien. Denne strategi er altså den forsigtigste strategi, eller safety-first-
strategien.
Foretages lignende ræsonnementer for modstanderen B fås:
max
j ij
i
a
Fordi denne skal gå efter sin maksimale strategi (som giver os det minimale udbytte). Derefter skal der gås
efter det minimale af tallene
j
. Dette minimale af alle
j
kaldes
:
min min max
j ij
jj
i
a
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
6
kaldes spillets øvre værdi eller minimax-tallet. Den strategi, der svarer til den søjle, hvor
findes, kaldes
minimax-strategien. Hvis spilleren B bruger minimax-strategien, sikrer han sig, at hans tab ikke er større
end værdien af
. Dette princip, hvor spillerne benytter sig af minimax- og maximin-strategierne, kaldes i
spilteorien minimax-princippet
Det tidligere beskrevne Nash’ princip er en modificeret version af minimax-princippet, som anvendes ved
ikke-nulsumsspil.
Saddelpunkt
Et spil hvor minimax-princippet benyttes kan være ustabilt, da en af spillerne muligvis vil kunne drage for-
del af at skifte sin strategi, hvis han fx får oplysninger om modpartens strategi.
Der findes dog spil, i hvilke minimax-strategierne er stabile. Det er i de spil, hvor spillets øvre værdi er
lig spillets nedre værdi;
Findes en sådan situation, siges denne fælles øvre og nedre værdi at være spillets værdi. Det element i
matrixen, der indeholder værdien for spillets værdi, er samtidig minimalt i sin række og maksimalt i sin
søjle. Dette element i matrixen kaldes matrixens saddelpunkt. De strategier, der svarer til saddelpunktet ,
kaldes optimale og tilsammen er de spillets løsning. I et spil, hvor der findes et saddelpunkt, og hvor den
ene spiller følger sin optimale strategi, vil det aldrig være en fordel for den anden spiller at afvige fra sin
optimale strategi. Dermed ses en stabilitet i spillet.
Blandede strategier
Indtil videre har alle strategierne i de omtalte spil været såkaldte rene strategier. I et spil med rene strate-
gier vælger spillerne én strategi og holder sig til denne – der blev konkluderet, at det optimale var at spille
efter minimax-princippet. Det er dog ofte muligt at få et større gennemsnitligt udbytte ved at benytte sig af
blandede strategier. Blandede strategier er kombinerede strategier, hvor der skiftes mellem flere rene stra-
tegier på en tilfældig måde med et fast forhold mellem frekvenserne. Nu da de blandede strategier er præ-
senteret, kan den såkaldte spilteoriens fundamentalsætning præsenteres. Den lyder således: Ethvert spil
har mindst én løsning (muligvis i blandede strategier).
Det vil altså sige, at der findes et par strategier (blandede eller rene) i ethvert spil, som, når disse bliver
anvendt, vil resultere i at udbyttet er lig med spillets værdi. Værdien, v, ligger naturligvis et sted mellem
spillets nedre og øvre værdi:
v
Det antages, at en blandet strategi, S
A
består af strategierne A
1
, A
2
og A
3
med frekvenserne p
1
, p
2
og p
3
, hvor
summen af frekvenserne er 1. Dette skrives således:
1 2 3
1 2 3
A
A A A
S
p p p
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
7
Optimale blandede strategier,
*
A
S
, indeholder ikke nødvendigvis alle de rene strategier, der er til rådighed,
men ofte kun nogle af dem. De klart ufordelagtige strategier og dem ,som dublerer andre, kan elimineres.
De resterende strategier betegnes nyttestrategier.
Der er den specielle egenskab ved en spillers optimale strategi, at så længe han holder sig til denne, vil
udbyttet være uforandret og lig med spillets værdi, v, uanset hvad den anden spiller foretager, så længe
han også holder sig inden for rammerne af sine nyttestrategier.
Herunder følger en generel metode til at løse et spil med blandede strategier, dvs. finde sine optimale stra-
tegier:
Ved den optimale strategi vil ens udbytte være lig med spillets værdi, v, så længe modstanderen hol-
der sig inde for sine nyttestrategier. Dermed kan følgende ligninger opstilles:
1 22 2
oga p a p v a p a p v
Da summen af sandsynlighederne p
1
og p
2
er 1, fås:
1 22 1
11a p a p a p a p
Isoleres p
1
i ovenstående fås:
22 21
1
aa
p
a a a a
P
2
findes da ved:
21
1pp
Hvis v kendes (vha. indsættelse af p
1
og p
2
i en af de to første ligninger) kan spiller B’s optimale strategi,
12
*
12
B
BB
S
qq
, hvor B
1
og B
2
er nyttestrategier og q
1
og q
2
er disses frekvenser, findes ved:
11 1 12 2
a q a q v
Og da vi kender v og ved at q
1
+ q
2
= 1, fås:
12
1
11 12
va
q
aa
Og som før findes q
2
ved:
21
1qq
Dermed er begge spilleres optimale blandede strategier bestemt, og spillet er løst.
Cubakrisens forløb
3
I 1959 gennemførtes på Cuba en revolution med Fidel Castro i spidsen mod det korrupte styre. Castro og
hans tilhængere havde fået støtte fra USA, idet Cuba var en del af stormagtens interesseområde. Rent fak-
tisk var den lille ø af forholdsvis stor interesse for USA, blandt andet fordi USA havde en flådebase der, og
3
Følgende afsnit er baseret på kilde 4, side111-121 og kilde 5, side 133-136
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
8
som følge heraf forsøgte USA at holde sig på god fod med Cuba, blandt andet ved at købe flere millioner
tons sukker om året herfra, og endda til en pris, der var 50% højere end verdensmarkedets.
Der gik ikke længe, efter at Castro var kommet til magten, før han fratog andre politiske partier al
magt, gjorde den dømmende magt statsdirigeret og dermed faktisk udråbte sig selv som diktator. Samtidig
viste det sig, at den politik, han havde vist overfor USA, ikke var den politik, han havde tænkt sig at styre
Cuba efter – Castros tankegang var meget mere socialistisk end først antaget, og dette var blandt andet
med til, at USA snart valgte at stoppe al køb af cubansk sukker og valgte at stille sig fjendtligt mod Cuba.
Dermed stod Cuba og Castro i en rigtig skidt situation, og blev nødt til at få støtte andetsteds fra. De
vendte sig mod USSR og blev her modtaget med åbne arme. Mange sovjetiske rådgivere og teknikere kom
til Cuba for at hjælpe med økonomisk planlægning, industriel udvikling og militær træning. Hermed havde
Cuba taget det endelige skridt over i østblokken, og endda som det eneste land i Latinamerika.
Den 14. oktober 1962 opdagede et amerikansk spionfly, at man var ved at opstille affyringsramper til
mellem- og langdistanceraketter på Cuba, som ville kunne ramme stort set hele USA (se Bilag 1). Disse
brandvarme informationer blev i et stykke tid hemmeligholdt for offentligheden, og imens blev der opstillet
et råd, som holdt møder i Det Hvide Hus om, hvad der skulle gøres.
Medlemmerne af rådet var uenige om, hvor stor en trussel raketterne på Cuba egentlig var. Nogle
mente, at de var en enorm trussel, da raketter så tæt på USA ville kunne ramme deres mål meget præcist,
og varslingstiden ville være betydeligt kortere, end hvis raketter blev affyret fra fx USSR. Andre mente, at
raketterne på Cuba kun i meget ringe grad forstærkede den rakettrussel, som USA allerede havde hængen-
de over hovedet. Desuden havde sovjetterne ved flere lejligheder forsikret USA om at al den militære
hjælp, der blev ydet til Cuba, udelukkende var for at styrke Cubas eget forsvar, og altså af ren defensiv ka-
rakter. Ikke desto mindre betragtede præsident John. F. Kennedy de sovjetiske raketter på Cuba som ver-
densfredstruende, og det stod hurtigt klart for rådet i Det Hvide Hus, at de ikke bare kunne lade stå til –
desuden ville det være et kæmpe prestigetab for USA at tillade USSR at opstille raketterne på den vestlige
halvkugle.
Rådet diskuterede flere alternativer til ,hvad de kunne gøre ved raketsituationen. Det endte med, at
man valgte at lave en blokade af amerikanske skibe rundt om Cuba, således at ingen materialer til færdig-
gørelsen af affyringsramperne ville kunne komme til Cuba – det var sådan, man mente at kunne udøve den
største effekt uden at løbe for stor en risiko for efterfølgende krig.
Den 22. oktober holder præsident Kennedy en tale, hvori han offentliggjorde opdagelserne af sovjeti-
ske raketter på Cuba. Han fortalte også om blokaden, som først ville blive fjernet, når raketterne var fjer-
net, og han understregede, at det amerikanske militær var parat, og skulle der blive affyret så meget som ét
missil fra Cuba, ville dette medføre krig mod Sovjetunionen. Han sluttede af med at bede USSR’s leder
Khrusjtjov om at standse de sovjetiske skibe og anerkende blokaden, således at de ikke skulle tvinges ud i
en genstridig atomkrig.
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
9
Den 24. oktober var den skæbnesvangre dag, hvor de første russiske skibe nærmede sig den ameri-
kanske blokade. Intet var sikkert endnu, for USSR havde truet med at ”tage de skridt de anså for nødvendi-
ge og hensigtsmæssige for at beskytte deres rettigheder” – her henvises til at USA egentlig ”tager besiddel-
se” over internationalt farvand.
Det hele endte dog fredeligt, for de sovjetiske skibe vendte om, før de kom i kontakt med de ameri-
kanske. Stemningen var dog ikke lettet af den grund, og på Cuba kørte alt på højtryk for at klargøre raket-
terne. De amerikanske ledere følte sig nødsaget til at komme med endnu et krav til USSR: arbejdet på ra-
ketterne skulle ophøre, og det, der allerede var færdigt, skulle destrueres. Hvis dette krav ikke blev opfyldt,
ville resultatet være et amerikansk bombardement af Cuba.
Verdensstemningen var utrolig presset, og man følte, at man stod på randen af en tredje verdenskrig.
Den 26. oktober modtog den amerikanske regering dog to breve indenfor ganske få timer.
I det første brev, som havde et meget personligt præg, tilbød Krusjtjov en handel: Der ville ikke blive
leveret flere våben til Cuba, og de, der allerede var der, ville blive destrueret. Dette var på betingelse af, at
USA ophævede blokaden og ikke ville fortage en invasion mod Cuba.
Det andet brev, som ankom nogle timer senere, havde et noget mere formelt tonefald, og i dette var
kravene pludselig skærpet: Udover de krav, som stod i det første brev, forlangtes nu også, at USA fjernede
de raketter, de havde placeret i Tyrkiet. Dette krav var uacceptabelt for Kennedy, for selvom raketterne i
Tyrkiet var ubrugelige, måtte en nedrivning af disse ikke ske under sovjetisk pres, da dette simpelthen ville
underminere den amerikanske ideologi og være for massivt et prestigetab. Derfor tog man i USA en chance
og valgte kun at svare på det første brev, hvori kravene var acceptable. Dette gav pote, for et par dage ef-
ter, d. 28. oktober, fik man svar fra Krusjtjov om, at ”de våben, som amerikanerne havde betragtet som
offensive,” på Cuba ville blive fjernet, og hermed betragtedes Cubakrisen som værende overstået.
Cubakrisen som et matematisk spil
Det følgende afsnit tager udgangspunkt i beslutningerne under Cubakrisen set fra et amerikansk synspunkt.
Grunden til dette er, at det ikke har været mig muligt at finde nogle kilder, der beretter om de sovjetiske
beslutningsprocesser.
Spørgsmålet om raketterne
Den 4. september 1962, altså over en måned inden krisen, holdt Robert Kennedy, som var USA’s Justitsmi-
nister og præsidentens broder, et møde med USSR’s ambassadør Anatoly Dobrynin i Washington. I hans
bog ”13 dage”, som er skrevet 7 år efter krisen, tænker han på et tidspunkt tilbage på dette møde: ”Jeg
fortalte ambassadør Dobrynin om præsident Kennedys dybe bekymring i anledning af det, der var i færd
med at ske. Han svarede, at jeg ikke burde være bekymret, da ministerpræsident Krushchev havde pålagt
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
10
ham at give præsident Kennedy forsikring om, at der ikke ville blive placeret strategiske raketter eller offen-
sive våben i øvrigt i Cuba.”
4
. Sovjetunionens officielle telegrambureau, TASS, skriver ligeledes den 11. sep-
tember 1962, at ”den udrustning og det militære udstyr, som er sendt til Cuba er udelukkende beregnet som
forsvarsmidler”
5
. På dette tidspunkt ser det altså umiddelbart ikke ud til, at der er noget at frygte for USA’s
vedkommende.
Af flere kilder fremgår det dog, at de amerikanske ledere havde svært ved bare at tage USSR’s ord for
givet, og under et uformelt udenrigsministermøde i Washington d. 2.-3. oktober nævnes der om den sovje-
tiske aktivitet på Cuba, at ”det er et forsøg på at omdanne øen til en væbnet base for kommunistisk ind-
trængen på amerikanske områder og på en undergravning af halvkuglens demokratiske institutioner”.
6
Da et amerikansk spionfly opdager og fotograferer sovjetiske strategiske missilbaser på Cuba, står det
derfor klart for regeringen, at der må handles. Nu stod de jo med håndgribelige beviser på, at en gensidig
atomkrig inden længe kunne blive en realitet, hvis ikke de skred ind!
Set fra sovjetisk synspunkt er sagen dog en helt anden. I 1972 skrev den sovjetiske udenrigsministers søn,
Anatol Gromyko, om hans faders møde med præsident Kennedy d. 18. oktober 1962.
7
Han beskriver hvor-
dan det konstante pres fra USA mod Cuba betragtes som en stor trussel, såvel for Cuba som for verdensfre-
den. Våben var blevet sendt til Cuba af nødvendighed for at hjælpe Cuba med at styrke deres forsvar og
økonomi, men der var kun tale om defensive våben, som ikke truede nogen. Gromyko mener, at præsiden-
tens udtalelse om, at USA ikke planlagde en militær aktion, var en løgn, der skulle vildlede den sovjetiske
udenrigsminister fra det faktum, at den amerikanske regering var i fuld gang med at diskutere forskellige
mulige angrebsalternativer mod Cuba. USSR ønskede verdensfred, og havde derfor hjulpet Cuba med at
opruste det defensive forsvar, mens USA ønskede krig, og havde tidligere anbragt offensive raketter nær
Sovjetunionen, og planlagde nu et angreb på Cuba, således at en krig ville være uundgåelig.
Der er en slående stor forskel mellem fremstillingen af Cubakrisen fra de to verdensmagters side. Man kan
næsten ikke konkludere andet, end at nogle af kildernes ophavsmænd direkte lyver, eller i hvert fald for-
drejer sandheden forholdsvis meget – hvordan kan USSR ellers insistere på, at deres våben kun er defensi-
ve, når USA ikke er et øjeblik i tvivl om, at de er offensive?
Grunden til denne enorme forskel skal selvfølgelig lægges i, at teksterne er skrevet forholdsvis kort ef-
ter, at krisen var overstået, og altså stadig midt under den kolde krig. Jordkloden var stadig delt op i en øst-
og en vestblok, med hver sine ideologier, og det har naturligvis været vigtigt for begge parter ikke at kom-
me til at fremstå forkert for resten af omverdenen. Tegn på svaghed, eller for aggressiv en adfærd ville al-
4
Kilde 3, side 17, l. 5-10
5
Kilde 2, side 22. l. 8-9
6
Kilde 2, side 25, l. 14-17
7
Kilde 2, side 93-96
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
11
drig kunne blive betragtet som noget positivt, men ville sætte landet og dettes ideologi i et utroligt dårligt
lys. Derfor ser begge blokke en fordel i at blive fremstillet som en fredselskende eksistens, der er blevet
presset og truet og gør, hvad der er nødvendigt for at beskytte verden mod en altødelæggende atomkrig.
Det er ikke til at sige, hvilken af de to fremstillinger, der har mest hold i virkeligheden, men i det føl-
gende vil der blive gået ud fra, at situationen er som amerikanerne beskriver den, idet der her findes det
bedste kildemateriale som baggrund for en matematisk analyse af krisen.
Analyse af USA’s løsningsforslag
Den 16. oktober 1962 mødtes et råd bestående af en gruppe mennesker, som præsidenten havde udvalgt i
Det Hvide Hus, for at drøfte, hvad der skulle gøres i forhold til de nyligt opdagede, sovjetiske raketbaser på
Cuba. Man vidste, at man snarest muligt blev nødt til at handle, men man måtte heller ikke gøre noget for-
hastet, som kunne have fatale konsekvenser. Robert Kennedy, som var medlem af rådet, tænkte senere
tilbage på møderne: ”Da fotografierne tydede på, at man var i færd med at rette missilerne ind mod visse
amerikanske storbyer, skønnedes det, at de i løbet af få minutter efter affyringen ville dræbe firs millioner
amerikanere.”
8
Det var altså utrolig essentielt, at de rigtige beslutninger blev truffet, eftersom der stod rigtig meget
på spil. Under møderne blev diskuteret hovedsageligt 6 muligheder til, hvordan USA skulle reagere.
Disse seks muligheder vil nedenfor blive forklaret og vurderet i forhold til, hvordan USSR ville reagere på
dem, med det mål at forstå, hvorfor USA valgte at gøre, hvad de gjorde.
9
Herefter opstilles en udbyttema-
trix, som forsøger at reducere disse historiske forklaringer til enkelte tal, som efterfølgende kan analyseres
spilteoretisk. I denne matrix vil spilleren A repræsentere USA ,mens B vil repræsentere USSR. Som modsvar
til USA’s handlinger vil USSR’s mulige strategier være ”accepter” og ”accepter ikke”, og der vil blive forkla-
ret, hvad disse to strategier vil betyde i de enkelte situationer.
1. Gør intet
Det første løsningsforslag, der blev diskuteret, var simpelthen: intet at foretag sig. Denne mulighed virkede
i starten tiltalende for nogle, idet den ikke indbød til nogen militære aktioner. Der argumenteredes også
for, at denne mulighed var at foretrække, idet tilstedeværelsen af sovjetiske missiler på Cuba reelt ikke
udgjorde nogen forøget trussel i forhold til den, de havde levet med i flere år, vidende at der på sovjetisk
jord befandt sig missiler, som var i stand til at ramme USA. Nogle mente således, at den reelle fare lå i, at
USA ville overreagere og fremprovokere en reaktion fra Sovjetunionen, der ville kunne få stor, negativ ind-
flydelse på verdensfreden. Man blev dog hurtigt enige om, at denne løsning ikke kunne være fordelagtig, i
og med at det ville få store politiske konsekvenser, når det kom frem, at USSR havde placeret strategiske
8
Kilde 3, side 25, l. 8-11
9
De følgende afsnit, som omhandler de forskellige løsningsforslag, er baseret på Kilde 1, side 44-53; kilde 3, side 23-
41; kilde 6, side 28-49, samt kilde 11
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
12
raketter på den vestlige halvkugle, uden USA på nogen måde havde kommet med en modreaktion. Yderme-
re havde Kennedy i september udtalt, at offensive militærbaser på Cuba ikke tolereredes, og at en sådan
situation ville tvinge USA til at gøre det nødvendige for at beskytte sin og sine allieredes sikkerhed. Hvis USA
altså ikke reagerede på de sovjetiske missilbaser på Cuba, ville landet foruden at miste enorme mængder
prestige, også miste sine allieredes tiltro.
Hvis det antages, at USA valgte dette løsningsforslag, og altså intet foretog sig, kunne man forestille
sig, at Sovjetunionen måtte gå ud fra, at USA endnu ikke havde opdaget missilbaserne. I hvert fald ville de
ikke kunne reagere på andre måder, end bare at fortsætte med klargøringen af baserne. I matrixen vil der
derfor ikke være forskel på udbyttet, ligegyldigt hvilken af de to strategier USSR vælger.
USA’s store prestigetab og den mistede troværdighed fra de allierede, sammenholdt med det faktum at
USA ville komme til at fremstå som den underlegne af de to supermagter, giver USA et udbytte på -3 i ma-
trixen. Sovjetunionens udbytte bliver 3, i det de fremstår som den stærkere magt, med det strategiske og
militære overtag.
2. Diplomatisk pres
Den anden mulighed gik ud på at lægge diplomatisk pres på USSR. Konkret bestod det i, at man enten kun-
ne appellere til FN eller OAS (Organization of American States) om at få sendt et inspektionshold til Cuba,
eller også kunne man henvende sig direkte til Krusjtjov, eventuelt til et topmøde. Fordelene og ulemperne
er her nogle af de samme som ved første punkt: Man ville ikke skulle ty til militæraktion, og det medførte
ikke så mange umiddelbare risici.
Hvis Sovjetunionen valgte at acceptere løsning to, ville dette svare til, at de indvilligede i at fjerne mis-
silerne på Cuba, efter fx et møde i FN. Dette ville dog højst sandsynligt være på bekostning af, at USA også
skulle fjerne deres missiler i Tyrkiet, idet dette ville virke som en fair ”noget-for-noget”-løsning. Præsident
Kennedy frygtede endvidere, at hvis man efterfølgende accepterede kravene fra USSR, ville det ingen ende
få, og de ville blive ved med at stille mere og mere urimelige krav, som USA ikke ville kunne acceptere.
En fjernelse af raketterne i Europa, ville samtidig stille USA i et rigtigt dårligt lys, idet det ville virke som
om, at stormagten USA var villig til at ofre sine allierede i Europas sikkerhed, for at redde sig selv. Disse
mange ulemper må i udbyttematrixen give USA et udbytte på -4. USA lider på mange punkter ved denne
løsning, hvorimod USSR får et positivt udbytte, idet deres modstander vil miste støtte fra sine allierede,
mens USSR har mulighed for at presse citronen yderligere, når først USA har givet efter for deres krav.
USSR’s udbytte vurderes til 2.
Hvis USSR ikke ville acceptere USA’s krav om fjernelse af raketterne efter et FN topmøde, ville USA have
mistet dyrebar tid på at debattere raketspørgsmålet i FN, og de sovjetiske raketbaser kunne således allere-
de være blevet kampklar, uden at USA havde et modangreb parat. Nu ville USA stå i samme position som
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
13
ved løsningsforslag 1, idet man havde ladet USSR bygge missilbaser så tæt på USA uden at yde nogen
egentlig modstand. Ligesom ved løsningsforslag 1, ville USA miste prestige og tiltro hos sine allierede, og
ville desuden fremstå som den underlegne supermagt. USA’s udbytte vurderes til -3. USSR ville fremstå som
den overlegne supermagt, men der ville blive sat spørgsmålstegn ved deres villighed at forhandle, om deres
respekt overfor internationale organisationer som FN. USSR’s udbytte sættes til 0.
3. Henvendelse til Castro
Et andet løsningsforslag gik ud på hemmeligt at henvende sig til Castro og give ham et ultimatum: Enten
skulle han sørge for at missilerne blev fjernet, eller også måtte han se Cubas kapitulation. Stående overfor
disse muligheder må man gå ud fra, at Castro forsøgte at få missilerne fjernet. Men dilemmaet lå jo netop i,
at det var sovjetiske missilbaser, som blev klargjort af sovjetisk militær, så de fleste i rådet mente, at dette
var et udestående mellem stormagterne, i hvilket Cuba og Castro blot var små brikker i det store spil. Valgte
man alligevel denne løsning, og Sovjetunionen accepterede Castros anmodning, om at fjerne missilerne,
ville Sovjetunionen fremstå som en svag magt, der bukker under for små, ubetydelige magter. Samtidig ville
de intet have fået ud af deres arbejde med at opbygge. USSR’s udbytte i denne situation vurderes til -3.
USA ville have opnået, at missilerne var blevet fjernet, men de ville ikke få meget anerkendelse for de-
res arbejde, idet det jo egentlig var Castros henvendelser, der havde været den afgørende faktor for fjer-
nelsen af raketterne. Idet USSR kom til at fremstå som en svagere magt, måtte balancen udlignes, og USA
ville derfor fremstå stærkere i forhold til den anden supermagt. USA’s udbytte i denne situation er 1.
Sovjetunionen kunne også vælge ikke at acceptere Castros anmodning om at fjerne raketterne. Dermed
ville sovjetunionen få skabt et fjendtligt forhold til Castro, og måske endda være i fare for cubanske angreb
mod missilbaserne – man kunne jo forestille sig, at Castro ville gøre alt for at opfylde USA’s krav, og dermed
sikre sit land. Dog ville de stadig have deres missiler tæt på USA og ville altså fremstå overlegne. USSR’s
udbytte i denne situation er 1.
USA ville, som ved de tidligere mulighed, stå overfor det faktum,at deres største fjende, Sovjetunio-
nen, havde placeret missiler på den vestlige halvkugle, kun 140 km fra USA, og de havde ikke formået at
forhindre det. Prestige og tiltro fra deres allierede ville være tabt, og USA ville stå som den svage af de to
supermagter. USA’s udbytte sættes til -3
4. Invasion
Et af løsningsforslagene med militær karakter var en invasion af Cuba. Man ville benytte situationen til at
invadere Cuba og afskaffe både missilerne og Castro.
En succesfuld invasion, hvor USA fik destrueret missilbaserne og væltet Castro, vil i matrixen svare til,
at Sovjetunionen accepterer. Hermed ville USA vinde prestige, idet de fremstår som militært overlegne.
Samtidig får de skaffet missilerne af vejen, og fremstår som magtfulde og handlekraftige. Risikoen var dog,
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
14
at resten af verden ville betragte invasionen som en overdrevet og irrationel handling, og at USA ville miste
tiltroen hos sine allierede. Vigtigst var dog, at en sådan drastisk handling med meget stor sandsynlighed
ville fremkalde et lignende modangreb fra USSR et andet sted i verden, fx i Berlin. Dette ville igen kunne
resultere i et modangreb fra USA, og pludselig var en gensidig atomkrig skræmmende tæt på. USA’s udbyt-
te er i denne situation -6, pga. den store fare for krig.
USSR er i denne situation ikke stærke nok til at forsvare sig selv på Cuba og mister dermed prestige.
Desuden mister de militærstyrke i form af raketterne, og bliver egentlig tvunget ind i en krig, som også for
Sovjetunionen er altødelæggende. USSR’s udbytte i denne situation er -8.
En mislykket invasion, hvor USA ikke formår at destruere missilbaserne og vælte Castro, vil i matrixen
svare til ”accepterer ikke”. Her vil ulemperne for USA være de samme, som hvis deres invasion lykkedes,
men ydermere vil de fremstå som militært underlegne og vil miste prestige. USSR vil også stadig stå overfor
en gensidig krig, men vil have vundet noget prestige, i form af deres militære overlegenhed på Cuba, samti-
dig med, at de vil have et forspring i krigen, med missiler så tæt på USA. Udbyttet i denne situation vurde-
res til (-8 ; -6)
Der var nu to muligheder tilbage; ”vor opmærksomhed samlede sig følgelig snart om to muligheder – et
luftangreb og en blokade – og til at begynde med mest om den første”
10
:
5. Et kirurgisk luftangreb
Ideen med det kirurgiske luftangreb var, at det skulle være en hurtig og effektiv aktion, hvor amerikanske
fly indenfor meget kort tid ville angribe og eliminere missilbaserne. Amerikanernes fordele ville her være
tydelige: Missilbaserne blev effektivt fjernet, og dermed blev det slået fast, at USA ikke tolererede fjendtlig
aktivitet på den vestlige halvkugle. Det ville også fungere som en advarsel for Sovjetunionen og afholde
dem fra at foretage lignende aktioner igen.
Som med de andre løsningsforslag, var der naturligvis også forbundet en række ulemper med luftan-
grebet. Uanset hvordan USSR ville reagere, var der ingen tvivl om, at et amerikansk luftangreb, der kom
som en overraskelse en tidlig morgen, af mange ville blive betragtet som; ”et Pearl Harbor med modsat
fortegn, og det ville sværte de forenede Staters navn på Historiens blade.”
11
Man kunne naturligvis også vælge at advare om luftangrebet på forhånd, men så ville det sovjetiske
militær have tid til at gemme missilerne af vejen, og man ville måske få endnu mindre ud af angrebet.
Den sovjetiske reaktion, som de fleste anså for værende den mest sandsynlige, var desuden en reakti-
on, som man ville undgå: Et luftangreb på de amerikanske missilbaser i Tyrkiet, som ville tvinge USA til at
foretage et nyt angreb indenfor Sovjetunionen, og det ville med stor sandsynlighed udvikle sig til atomkrig.
USA ville stå en smule dårligere end USSR i denne situation, idet skylden for atomkrigen ville kunne tillæg-
10
Kilde 2, side 36, l.19-21
11
Kilde 2, side 37, l. 37-38
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
15
ges amerikanerne, som først foretog direkte militær angreb på modstanderen. Dette udfald tildeles værdi-
en (-8 ; -6)
Man kunne også forestille sig, at USSR ville forsøge at undgå en atomkrig, og dermed ikke ville svare
igen på luftangrebet, dvs. ”accepter”. Hermed ville USA have vundet prestige ved at fremstå som en stærk,
militær magt med handlekraft ,men ville til gengæld have mistet noget anseelse, idet deres angreb måske
ikke ville være helt ”efter bogen”. De ville dog stadig have elimineret missilbaserne, og givet USSR en lære-
streg. Deres udbytte vurderes til 3.
USSR ville derimod have mistet deres raketter samt en betydeligt mængde prestige, idet de fremstår
som en svag magt, der ikke kan forsvare sig. Udbyttet vurderes til -4
6. Blokade
Tilbage var nu muligheden for en blokade. Blokaden bestod i, at man med amerikanske skibe ville forhindre
alle skibe, som medbragte offensive våben, i at nå Cuba.
Uanset hvordan USSR reagerede på blokaden, ville den ikke løse problemet med våben, der allerede
fandtes på øen. Desuden måtte man passe på med at tage dele af det internationale farvand i sin besiddel-
se, hvilket jo faktisk ifølge FN’s pagt var ulovligt. Valgte man dog alligevel blokadeløsningen, og USSR valgte
at overholde blokaden, hvilket vil svare til ”accepter” i matrixen, kunne det dog se meget lyst ud for USA: I
så fald ville de nemlig have sikret, at der ikke ankom nye våben til Cuba, og samtidig ville de kunne stramme
blokadens greb, og forlange de allerede eksisterende missiler på Cuba fjernet. Dermed havde den begræn-
sede militære aktion sikret, at ingen egentlig militær konfrontation fandt sted, og USA ville derfor fremstå
strategisk og militært stærk. Samtidig ville missilerne være fjernet, og USA ville slå fast, at sovjetiske våben
på den vestlige halvkugle ikke kunne tolereres. USA’s udbytte tildeles værdien 3. USSR ville ved dette udfald
ikke have fået noget ud af deres missilbaser på Cuba, og ville desuden fremstå som underlegne overfor
USA, i det de pga. strategisk og taktisk underlegenhed var blevet tvunget til at fjerne missilerne. USSR’s
ubytte vurderes til -3
Hvis USSR derimod valgte ikke at acceptere blokaden, og altså forsøgte at trænge igennem denne, ville
USA være tvunget til at foretage endnu et modangreb, og i sidste ende ville resultatet være en atomkrig.
USA ville stå en smule dårligere end USSR, idet de affyrede det første skud, og dermed kunne tildeles skyl-
den for den altødelæggende krig. Dette udfald tildeles værdien (-8 ; -7)
Spillets løsning
Alle værdierne indsættes nu i en udbyttematrix:
USSR’s valg
Accepter
Accepter ikke
Løsningsforslag 1
(-3 ; 3)
(-3 ; 3)
Løsningsforslag 2
(-4 ; 2)
(-3 ; 0)
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
16
USA’s valg
Hermed er en konfliktsituation fra virkeligheden blevet forsimplet og reduceret til et spil, der kan analyse-
res spilteoretisk. Som det fremgår ud fra matrixen er spillet et ikke-nulsumsspil, og udfaldene er skrevet
(USA’s udbytte ; USSR’s udbytte).
Først skal 6 x 2 spillet reduceres så meget som muligt. Dette gøres ved at finde de strategier for USA,
som er klart ufordelagtige og eliminere disse: Det ses, at løsningsforslagene 1,2 og 4 i alle tilfælde giver USA
et ringere (eller det samme) udbytte som løsningsforslag 3, og disse tre elimineres altså, så matrixen nu ser
således ud:
USSR’s valg
USA’s valg
Ovenstående viser altså nu USA’s nyttestrategier, samt USSR’s mulige modsvar til disse.
Set ud fra et spilteoretisk synspunkt er løsningsforslag 3 umiddelbart den løsning, der indebærer de
mindste risici, og der ses da også en Nash-ligevægt ved kombinationen (Løsningsforslag 3 ; Accepter ikke).
Denne løsning blev dog forkastet, fordi ”præsidenten følte i stigende grad, at vi ikke burde gå uden om det
faktum, at det drejede sig om en styrkeprøve mellem stormagterne – at raketterne var blevet anbragt i Cu-
ba af russerne, var bemandet og bevogtet af russerne og måtte fjernes af disse som konsekvens af direkte
amerikansk handlen”
12
. Det var præsident Kennedy, der havde det sidste ord, når beslutningen skulle tages,
og han kunne dermed også uden videre forkaste løsningsforslag, han ikke betragtede som værende fordel-
agtige. Det var, hvad han gjorde med løsningsforslag 3.
Udfaldene (løsningsforslag 5 ; accepter) og (løsningsforslag 6 ; accepter) er begge Nash-ligevægte, idet
ingen af spillerne vil klare sig bedre ved at afvige fra disse. Det ses, at USA frit kan vælge mellem deres to
strategier, uden at deres udbytte i noget tilfælde vil være ændret, og begge er altså løsninger til spillet.
Ved hjælp af spilteorien er den komplekse konfliktsituation blevet reduceret til et 2 x 2-spil, man herfra kan
spilteorien ikke hjælpe videre – den kan ikke give os svaret på, hvilken af de to strategier USA bør vælge. I
stedet bør man her vende sig mod historiebøgerne, der beskriver de politiske overvejelser i forbindelse
med de amerikanske beslutningsprocesser.
12
Kilde 2, side 35, l. 38 – side 36 l. 2
Løsningsforslag 3
(1 ; -3)
(-3 ; 1)
Løsningsforslag 4
(-6 ; -8)
(-8 ; -6)
Løsningsforslag 5
(3 ; -4)
(-8 ; -6)
Løsningsforslag 6
(3 ; -3)
(-8 ; -7)
Accepter
Accepter ikke
Løsningsforslag 3
(1 ; -2)
(-3 ; 1)
Løsningsforslag 5
(3 ; -4)
(-8 ; -6)
Løsningsforslag 6
(3 ; -3)
(-8 ; -7)
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
17
Den endelige beslutning
Lørdag den 20. oktober mødtes rådet med præsidenten for at fremlægge for ham, hvad de var kommet
frem til. De havde fået reduceret de oprindelige 6 løsningsforslag til 2: En blokade af Cuba og et kirurgisk
luftangreb. Begge forslag havde sine tilhængere, og efter en præsentation af strategierne var det op til
præsidenten at træffe den endelige beslutning: ”efter disse orienteringer opstod der en kort, let pinlig pau-
se. Det var den vanskeligste og farligste beslutninger, nogen præsident kunne tage, og kun han kunne tage
den.”
13
Ligesom mange af rådets medlemmer, var også præsident Kennedy i tvivl om, hvilken af de to løs-
ningsforslag han burde vælge. På den ene side virkede luftangrebet som en slagkraftig plan, der effektivt
ville eliminere den umiddelbare trussel, men man var nervøs for USSR’s reaktion. Samtidig virkede bloka-
den som en fornuftig handling, idet den lagde et tilstrækkeligt pres til at fastslå USA’s handlekraft og be-
slutsomhed, men ikke så meget, at USSR blev tvunget ud i desperate handlinger – de havde stadig valgmu-
ligheder. Dog var præsidenten nervøs for at anvende blokadeløsningen, idet den ikke tog vare om de mis-
silbaser, der allerede var ved at blive bygget på Cuba – måske disse ville blive færdigbyggede og klar til affy-
ring, mens man koncentrerede sig om sovjetiske skibe.
Præsident Kennedy forsøgte at få noget afklaring og henvendte sig til Walter C. Sweeney Jr., der var
chef for de amerikanske taktiske flyvestyrker. Han erklærede, at selv et stort, overraskende luftangreb ikke
med sikkerhed ville kunne destruere alle raketter og affyringsramper på Cuba, og dermed var præsidenten
ikke længere i tvivl: ”Det havde bekymret ham, at en blokade ikke ville fjerne missilerne – nu stod det klar,
at heller ikke et luftangreb ville kunne løse denne opgave”
14
– præsidenten valgte at indføre en blokade.
Samtidig gjorde han det klart overfor tilhængerne af luftangrebet, at denne mulighed bestemt ikke var ude-
lukket endnu – det kunne blive nødvendigt, hvis blokaden mislykkedes. Denne beslutning fik bred opbak-
ning, idet det var den løsning, der havde haft flest tilhængere.
Den 22. oktober offentliggjordes opdagelsen af de sovjetiske missilbaser på Cuba, samt den måde,
hvorpå man ville reagere.
2 dage senere, onsdag den 24. oktober, trådte blokaden, som nu havde skifte navn til en ”karantæne”,
da dette ikke på samme måde som ordet ”blokade” forbandtes med en krigshandling, i kraft. Hen ad for-
middagen nærmede de første sovjetiske skibe sig den amerikanske blokade, og intet tydede på, at de ville
stoppe. Robert Kennedy befandt sig på dette kritiske tidspunkt sammen med sin broder, præsidenten, og
skriver om de nervepirrende minutter: ”Jeg tror, at disse få minutter var det tidspunkt, på hvilket præsiden-
ten følte den dybeste bekymring. Var verden på randen af en katastrofe? Var det vores fejl? En vildfarelse?
Var det tænkeligt at vi skulle kunne have gjort andet og mere? Eller var der noget, vi burde have undladt?”
15
13
Kilde 2, s. 46, l. 37-39
14
Kilde 3, side 35, l. 21-24
15
Kilde 3, side 51, l. 23-27
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
18
Som tidligere nævnt viste det sig dog, at USSR havde valgt ikke at tage nogle chancer, og man modtog
følgende melding: ”Mr. President, vi har modtaget en foreløbig melding, der tyder på, at nogle af de russi-
ske skibe er standset… Meldingen er rigtig, Mr. President. Seks skibe, der var på vej til Cuba og var nået
omtrent karantænelinjen, er standset eller vendt om”
16
Sovjetunionen havde altså ageret, som man i USA havde håbet – og også som spilteorien forudsagde.
Efterfølgende lagde USA yderligere pres på USSR, idet man krævede, at arbejdet på raketterne skulle ophø-
re, og at det, der allerede var færdigt, skulle destrueres. Som tidligere nævnt fortsatte USSR dog med klar-
gøringen af missiler, mens USA klargjorde militæret, alt i mens man ventede på respons fra Krusjtjov.
De to breve
Den 26. oktober modtog den amerikanske regering to breve fra USSR, med hver deres krav til videre aktion
(som beskrevet i afsnittet ”Cubakrisens forløb”). De stod nu med spørgsmålet om, hvorfor 2 breve var ble-
vet skrevet, men vigtigst af alt om, hvordan de skulle reagere:
Regeringen kunne for det første vælge at ignorere det andet brev; lade som om de kun havde fået det
første brev, hvori betingelserne var acceptable, og så svare på dette. Hvis dette var tilfældet kunne Sovjet-
unionen da enten vælge at acceptere USA’s træk, eller ikke at acceptere det. Valgte USSR at acceptere sva-
ret på brev 1, ville den overhængende fare for en gensidig atomkrig være drevet over. Samtidig ville USA
vinde prestige, idet deres valg om at oprette en blokade ville vise sig at være effektivt og uden nogle bivirk-
ninger. Samtidig ville USSR kunne vinde prestige, idet de kunne hævde, at de gennem en række nøje gen-
nemtænkte strategiske træk, havde tvunget USA til at love ikke at angribe Cuba.
Valgte USSR ikke at acceptere det faktum, at USA kun svarede på det første brev, ville det højst sand-
synligt ende i en gensidig altødelæggende atomkrig. USA ville have den dårligste position i denne, idet det
ville fremstå, som om de havde været svage og handlet uhensigtsmæssigt.
USA kunne også vælge at svare på det andet brev, hvori kravene var noget større. Accepterede Sov-
jetunionen amerikanernes svar, ville faren for atomkrig være drevet over, og USSR ville vinde prestige, idet
de ville fremstå som strategisk overlegne, og samtidig ville de eliminere en amerikansk trussel i form af de
offensive raketter i Tyrkiet. USA ville derimod miste prestige og fremstå som en svag magt, der var blevet
overlistet af fjenden.
Selvom det ville virke meget usandsynligt, kunne USSR også vælge ikke at acceptere USA’s svar på brev
2. Dette ville resultere i en gensidig atomkrig, men samtidig ville USA fremstå som landet, der med alle mid-
ler havde forsøgt at stoppe en altødelæggende krig, mens USSR ville fremstå som et land, der for alt i ver-
den ville have startet en atomkrig.
16
Kilde 3, side 53, l. 1-6
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
19
Nedenfor er disse 4 muligheder forsøgt reduceret til tal, og sat ind i en matrix. Spillet er et ikke-
nulsumsspil og udfaldene er skrevet: (USA’s udbytte ; USSR’s udbytte)
USSR’s valg
USA’s valg
Det ses, at udfaldet (Svar på brev 1/accepter) er en Nash-ligevægt, idet 2 er den største x-værdi i sin søjle,
og 1 er den største y-værdi i sin række. Denne Nash-ligevægt er det optimale for begge parter, idet de beg-
ge vil klare sig dårligere ved at vælge noget andet, og dermed et dette spillets løsning.
Ud fra et spilteoretisk synspunkt vil det derfor være forkert at påstå, at USA tog en chance ved kun at
svare på det første brev, som det gøres i kilde 5
17
: Ifølge spilteorien er dette nemlig det mest sikre valg!
Spilteori til belysning af et historisk emne
Brug af spilteori som et redskab til at analysere en situation indenfor et historisk emne (fx USA’s beslut-
ningsprocessor under Cubakrisen) kan være problematisk, idet en sådan situation jo er taget direkte fra
virkeligheden, mens spilteori er en matematisk model. Når en sådan model skal beskrive en meget kom-
pleks situation fra virkeligheden, er der en mængde begrænsninger for modellen. Den vigtigste begræns-
ning er, at udbyttet i en situation reduceres til et enkelt tal.
Et enkelt tal kan ikke til fulde beskrive alle de forskellige kriterier, der skal tages højde for, hvis man
ønsker en fuld beskrivelse af en praktisk situation, og en strategi er sjældent optimal for alle kriterier – øn-
sker man, at spilteorien skal give en mere realistisk og virkelighedsnær fremstilling af situationen, bliver
man nødt til at opstille en lang række matrixer, som hver repræsenterer et enkelt kriterium i den givne
situation. I forbindelse med Cubakrisen kunne nogle af kriterierne eventuelt være: økonomisk fortjeneste,
prestige, militært udfald osv.
En anden vigtig begrænsning er værditildelingen af de forskellige udfald i spillet. Hvordan vurderer
man fx hvilken værdi en international atomkrig skal have? En lille ændring i den værdi, et udfald tildeles,
kan i sidste ende have betydning for spillets løsning, og der kan derfor hurtigt opstå fejltolkninger på bag-
grund af de tildelte værdier. Det opstillede spil af Cubakrisen, kan fungere som eksempel på netop denne
”følsomhed” af de tal, der tildeles de forskellige udfald: Værdierne tildeles ud fra de kriterier, man betrag-
ter som værende de mest essentielle, men havde prioriteringen af kriterier været blot en smule anderledes,
kunne man sagtens have forestillet sig et udfald, hvor løsningsforslag 5 ville have været det optimale for
USA, og dermed ville spilteorien ikke kunne forklare USA’s handlinger.
17
Kilde 5, side 136, spalte 2, l. 10-11
Accepter
Accepter ikke
Svar på brev 1
(2 ; 1)
(-10 ; -8)
Svar på brev 2
(-4 ; 4)
(-6 ; -10)
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
20
Som tidligere nævnt går spilteorien altid ud fra, at alle parter handler fuldstændig rationelt, uden at
tage nogle chancer, og for i sidste ende at få det optimale ud af situationen. Disse kriterier er hele grundla-
get for spilteorien, og skal altså være overholdt for, at teorien kan anvendes i praksis. I de fleste situationer
kan man gå ud fra, at spillerne handler rationelt, og at de naturligvis prøver at opnå det bedste resultat.
Men hvis spillet fx er komplekst, vil det ikke altid være praktisk muligt for spilleren at overskue konsekven-
serne af alle de mulige strategier, og han vil ikke nødvendigvis kunne handle med henblik på at få optimalt
udbytte i sidste ende – det vil i mange situationer forholde sig sådan, at han vil træffe de valg, der på kort
sigt ser mest hensigtsmæssige ud. Derfor er mange forskere forsigtige med at udråbe spilteori som et red-
skab til at forudse, hvordan folk opfører sig. I stedet kan spilteorien opfattes som et redskab til at forudse,
hvordan folk bør opføre sig.
I eksemplet med det opstillede spil af Cubakrisen, ses hvordan USSR’s strategi ”accepter ikke” er klart
ufordelagtig, idet den i begge tilfælde giver dem et udbytte, der er lavere, end havde de valgt strategien
”accepter”. Hvis man, som spilteorien foreskriver, går ud fra at, ens modstander altid vil handle rationelt og
vil stræbe efter selv at få bedst udbytte, kunne USA dermed forvente, at USSR under ingen omstændighe-
der ville vælge ”ikke accepter”, hvilket muligvis ville føre til at atomkrig. Alligevel nævner Ted Sorensen,
som var med ved de afgørende beslutningsprocesser, at en af de største ulemper ved luftangrebet, var den
overhængende fare for, at Sovjetunionens modreaktion ville føre til gensidig atomkrig: ”Luftangrebet ville, i
modsætning til blokaden, direkte og definitivt angribe russisk militær magt, dræbe både russere og cubane-
re og således med større sandsynlighed fremkalde en russisk militær reaktion. Ikke at reagere ville være for
stor en ydmygelse for Khrushchev at tåle, da den ikke blot ville påvirke hans forhold i hjemlandet og til kine-
serne, men til alle kommunistiske partier i verden.”
18
Det fremgår altså tydeligt, at man i en situation som
denne heller ikke kan gå ud fra, at spillerne handler rationelt, idet de ikke selv går ud fra det!
På trods af spilteoriens ufuldkommenheder kan den være et nyttigt redskab til at belyse bestemte si-
tuationer indenfor historiske emner. Den kan ikke, på samme måder som diverse kilder, give et indblik i,
hvornår noget skete, eller hvad der skete. Men den kan nogen gange besvare spørgsmål om, hvorfor det
skete: Hvorfor valgte hærførerne fx at angribe netop dér, med netop så mange våben af netop den type?
Eller hvorfor handlede regeringen på netop den måde, da de stod overfor et svært valg i en kritisk situati-
on?
Man kan naturligvis ikke gå ud fra, at beslutningstagerne har opstillet matrixer og truffet deres beslut-
ninger på baggrund af, hvad spilteorien fortalte dem. Men man kan forestille sig, at de mange forskellige
muligheder, der var for at handle, er blevet diskuteret, og at fjendens modtræk til hver handling ligeledes
er blevet diskuteret. På denne rationelle måde har man så ræsonneret sig frem til, hvilken mulighed der
ville give det bedste udbytte, når man regnede med, at dette også var, hvad modstanderen stræbte efter.
18
Kilde 2, side 38, l. 21-27
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
21
Hermed har man altså indirekte gjort brug at spilteoriens metoder for at finde sine optimale strategier i en
given situation. I eksemplet med spillet over Cubakrisen kan den opstillede udbyttematrix således give et
forsimplet overblik over beslutningstagernes overvejelser.
Som tidligere nævnt, er spilteorien en matematisk model til analyse af konfliktsituationer, og dens
formål er at bestemme optimale strategier for spillerne i en konfliktsituation. Ses dette i forhold til belys-
ningen af et historisk emne, må det generelt siges at, findes der indenfor det historiske emne en situation,
der kan betragtes som en konfliktsituation, vil spilteorien kunne anvendes herpå. På baggrund heraf vil man
kunne få et indblik i, hvilke overvejelser og betragtninger, der været baggrunden for de senere beslutninger
i den givne historiske situation. I sine konklusioner omhandlende den historiske situation ud fra spilteorien,
bør man dog altid medtage sin viden om spilteoriens mangelfuldheder, når man anvender den på en situa-
tion fra virkeligheden.
Konklusion
I opgaven blev spillet fangernes dilemma analyseret, og der blev fundet ud af, at den spilteoretiske løsning
til spillet er kombinationen (sladre ; sladre), idet hver spiller ved at vælge strategien tie løber en risiko, som
er uden for spilteoriens rammer – man skal nemlig altid handle rationelt, uden at løbe nogle risici, og med
henblik på at få bedst udbytte, og desuden gå ud fra at modstanderen gør det samme.
Ved redegørelsen for den generelle spilteori blev nogle generelle begreber som M x N-spil forklaret og
vist i en udbyttematrix, og nogle metoder til at finde spilleres optimale strategier, dvs. spillet løsning, blev
præsenteret. I spil med rene strategier var der tale om minimax-strategierne, mens der ved de blandede
strategier blev vist en formel, der kunne anvendes.
Under afsnittet om Cubakrisens forløb, blev det forklaret, hvordan Cuba endte med at stå i østblokken
og få støtte fra Sovjetunionen. Der blev redegjort for, hvordan amerikanske U2-spionfly den 14. oktober
fotograferede missilbaser, der var under opførelse på Cuba, og hvordan præsidenten et par dage senere
samlede et råd, der skulle beslutte, hvad USA’s reaktion på missilerne skulle være. En blokade om Cuba var
at foretrække, og viste sig dog også at fungere, idet de sovjetiske skibe, der nærmede sig Cuba, vendte om
eller standsede før blokaden. USA krævede missilerne på Cuba fjernet, og modtog efter et par dage to bre-
ve fra Krusjtjov. De valgte kun at svare på det første brev, hvori kravene var acceptable, og USSR accepte-
rede dette.
Herefter blev forskellige historiske kilder anvendt til at illustrere den enorme forskel, der var på USA’s
og USSR’s fremstilling af Cubakrisen, hvilket hænger sammen med den tid og de forhold, kilderne er skrevet
i. En analyse af Cubakrisen set fra amerikanernes synspunkt blev hermed foretaget, idet de 6 løsningsfor-
slag til modreaktion blev forklaret og vurderet i forhold til USSR’s reaktion i hver enkelt situation. Hvert
løsningsforslag blev reduceret til et sæt tal i en udbyttematrix, og spillet blev matematisk reduceret, så kun
løsningsforslag 3, 5 og 6 var tilbage. Løsningsforslag 3 blev herefter elimineret på baggrund af historiske
[navn fjernet] SRP Munkensdam Gymnasium
Matematik/historie Spilteori og Cubakrisen 22-12-09
22
kilder, og herefter blev ulemperne og fordelene ved de to resterende løsningsforslag diskuteret ud fra di-
verse historiske kilder. Resultatet blev, at løsningsforslag 6 var det mest acceptable, idet det var en be-
grænset militær aktion, som alligevel slog fast, at USA var en handlekraftig magt. Planen om blokaden blev
ført ud i livet og fungerede til fulde.
Da USA’s regering modtog to breve, blev det i en kilde nævnt, at amerikanerne tog en chance ved kun
at svare på brev 1. Denne påstand blev dog tilbagebevist med spilteoretiske metoder.
En vurdering af spilteoris egnethed til belysning af et historisk emne blev nu foretaget. Konklusionen var, at
spilteorien kan være et nyttigt redskab til belysning af et historisk emne, hvori der indgår en situation, der
kan betragtes som en konfliktsituation. Her kan spilteorien anvendes til at få et indblik i, hvad der har ligget
til grund for de senere beslutninger. Man skal dog altid huske, at spilteorien har en betydelig mængde
ufuldkommenheder, når man anvender den på en virkelig situation.
Litteraturliste
Bøger
Kilde 1: Abel, Elie: Raketterne i oktober, oversat fra engelsk af Lis Thorbjørnsen, 1. udgave, Aalborg
stiftsbogtrykkeri, 1967
Kilde 2: Bertelsen og Jacobsen, Inger og Karl: Kilde til belysning af Cubakrisen 1962, 6. oplag, Gyldendal,
1976
Kilde 3: Kennedy, Robert F.: 13 dage: Da verden stod på afgrundens rand, en erindring om den cuban-
ske missilkrise, oversat af Mogens Boisen, 1. udgave, Samlerens Forlag, 1969
Kilde 4: Nissen, Arne J.: Hvorfor og Hvordan? Historien om den kolde krig, 1. udgave, Forfatterforlaget
Attika, 1989
Kilde 5: Syskind og Söderberg, Casper og Bo: Det 20. århundredes verdenshistorie, 3. udgave, forlaget
systime, 1993
Kilde 6: Ventsel, E. S: Elementer af spilteorien, oversat fra russisk af Erik Leimand, 1. udgave, Forlaget
MIR, Moskva, 1988
Hjemmesider
Kilde 7: http://da.wikipedia.org/wiki/Cubakrisen
Kilde 8: http://da.wikipedia.org/wiki/Spilteori
Kilde 9: http://mindmate.dk/uv/Spilteori.pdf
Kilde 10: http://www.koldkrig.dk/link_arki.htm
Kilde 11: http://www.lauaaen.dk/cubakrisen/reaktion.html
Alle hjemmesider er senest besøgt 20/12
