STX 2.g
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 1 af 10
Abstract
The study investigates aims to demonstrate the deduce of least squares method and
linear regression through the use of emissions, to count regression on different
experiments in chemistry. Through two chemical experiments, we have results which
we use for regression. In this way, we have shown that our mathematical approach of
least squares method. The results say that there are a significant relationship between
linear regression and the chemical graphs. These chemical graphs have proved to fit
similar to calculations drawn from the least squares method.
Finally, I evaluate and concluded on the use of our methods, was correct.
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 2 af 10
Indholdsfortegnelse
Side 1 Indledning
Side 1 Regression & mindste kvadraters metode
Side 2 Udledning af mindste kvadraters metode
Side 3 Kobberindhold i en 50-øre
Side 4 Databehandling af kobberindhold i en 50-øre
Side 5 Opløselighedsdiagram for kaliumchlorat
Side 6 Samlet konklusion og underskrift
Side 7 Henvisninger
Side 8 Litteraturliste
Side 9 Bilag
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 3 af 10
d
1
(x,y)
d
2
(x,y)
d
3 (x,y)
y = ax
Indledning
De fleste kender regression fra deres TI-89 lommeregner, men regression er faktisk også noget end
bare at være en knap på en lommeregner. Der ligger en del teori bag regressionsanalysen, blandt
andet ”mindste kvadraters metode”. Jeg vil på de følgende side redegøre for mindste kvadraters
metode, og ved hjælp af mindste kvadraters metode, vil jeg foretage regressionsanalyse af mine data
som jeg har fået ud fra mine kemiske forsøg. Derved vil jeg vise at regression ikke bare er en knap på
lommeregneren, men faktisk er noget man kan bruge i praksis.
Regression & Mindste Kvadraters Metode
Regression kan bruges til at finde en sammenhæng mellem en afhængig variabel i vores tilfælde a, og
én eller flere uafhængige variable. Når man bruger regression prøver man at finde en sammenhæng
mellem de forskellige data og den model som er bedst tilnærmet. Dette gøres vha. r, som er kvadratet
af korrelationskoefficienten. Prøver man forskellige typer regressioner (fx eksponentiel, lineær) på
dataene, kan der udregnes r
1
som er mindste kvadraters metode. Er r tæt ved 1, har man måske den
mest præcise graf og resultat. Man kan desværre komme ud for, at r
er tæt på 1, uden at punkterne
nødvendigvis ligger pænt på en ret linje, så man skal altid have en graf at kigge efter på.
Regression er en matematisk model, der bruges til at beskrive talmateriale. Under regression hører
lineær- eksponentiel- og potensregression. Regression bruges til at bestemme den bedste rette linje
for nogle punkter. Regression betyder at gå tilbage, eller bare tilbagegang, dvs. tilbageskrivning,
men bruges også til at fremskrive bl.a. når man finder en forskrift.
Lineær regression er en slags model til ”den bedste rette linje”, og metoden hertil kaldes mindste
kvadraters metode. Mindste kvadraters metode siger at summen af kvadraterne på de lodrette
afstande skal være så lille som muligt. Ud fra dette kan man finde den lodrette afstand mellem punkt,
og tendenslinjen. Se figur. D er lig med summen af den lodrette afstands kvadrat fra de målte punkter
til den bedste rette linje.
Kort sagt kan man sige at mindste kvadraters
metode går ud på at minimere summen af
kvadraterne.
Der tages udgangspunkt for nogle punkter i et
koordinatsystem
2211
,,, yxyx
,…
nn
yx ,
, som
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 4 af 10
man vil bestemme den bedste rette linje til givet ved y = ax
D = d
1
2
+ d
2
2
+ d
3
2
… + d
n
2
d
i
2
= (y
i
– ax
i
)
2
d
1
2
kan også skrives som (y1 –ax1)
2
2
1
n
i
i
Dd
D sættes som summen af d
i
2
2
1
()
n
ii
i
D y ax
vi sætter (y
i
-ax
i
)
2
ind i stedet for d
i
2
2
1
'( ) (( ) )'
n
ii
i
D a y ax
vi differentier og sætter lig med 0 da dette må give det mindste
areal mellem kvadratet på d og den bedste rette linje.
()
ii
g a y ax
man laver en sammensat funktion og sætter g(a) til at være den indre f(a) er den ydre.
2
()f a a
2
1
'( ) ((( ) )' ( )')
n
i i i i
i
D a y ax y ax
Man differentiere i henhold til a hvilket betyder at man
forholder sig til a som man normalt forholder sig til x
1
'( ) (2( ) ( ))
n
ii
i
D a y ax x
1
0 (2( ) ( ))
n
ii
i
y ax x
Ligningen sættes lig med 0, derefter reducerer og isolerer vi a.
1
0 ((2 2 ) ( ))
n
ii
i
y ax x
2
1
0 ( 2 2 )
n
i i i
i
y x ax
2
11
22
nn
i i i
ii
y x ax
Her vælger jeg at sætte 2 uden for sum tegnet, så man nemmere kan se at der går lige op.
1
2
1
2
2
n
ii
i
n
i
i
yx
a
ax
2
xy
x
S
a
S
Dette sker fordi S
xy
=
og sådan er det også under brøkstregen.
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 5 af 10
Skulle man udregne dette for en almindelig lineær funktion ax +b ville det være sværere da man har
to ubekendte a og b. Man ville derfor skulle udregne dem hvor for sig.
Kobberindhold af 50-øre
Teori:
Hvis man opløser en kobberholdig metallegering i salpetersyre vil kobberet omdannes til kobberioner.
Kobberioner er blå. Opløsningens farvestyrke afhænger af hvor meget kobber der er opløst. Ud fra dette
kan man bestemme kobberindholdet ved at sammenligne farvestyrken af en møntopløsning med
forskellige opløsninger med kendt kobberindhold. Kobber er et ædelt metal, og der derfor meget svær at
opløse i almindelig syre. Derfor er forsøget lavet med salpetersyre, der er den stærkeste syre
Hvis man skal forstå brugen af vores målemetode, spektofotomerti, skal man også vide lidt om farver.
Hvorfor er væsken blå? Det er den fordi den absorberer alle de andre farver end lige præcis blå. Farven
absorberer dog kun synligt lys med en bølgelængde der svarer nogenlunde til blå som er ca. 420-
550nm
2
. Der er dog andre farver som absorberer farver ved andre bølgelængder. Fx er 550-650nm den
røde nuance som ses ved andre stoffer fx MnO
4
-
3Cu
(s)
+ 8HNO
3 (aq)
3Cu(NO
3
)
2(aq)
+ 2NO
(g)
+ 4H
2
O
(l)
Man ser hurtigt at der er tale om en redoxreaktion, hvor salpetersyre er den oxiderende syre. På
produktsiden har kobber et oxidationstal
3
på 2, men på regentsiden har den et oxidationstal på 0. Derfor
er salpetersyre et glimrende valg, for som jeg har omtalt tidligere, ligger kobber langt til højre på
spændingsrækken
4
og der skal derfor en stærk syre til at opløse det – som salpetersyre.
Forsøgsbeskrivelsen er at finde i bilag!
Databehandling:
Mønt:
g. kobber: 0,165g
Absorbans: 0,845 A
Antal mL kobberopløsning
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Antal g kobber (x)
0,015
0,030
0,045
0,06
0,075
0,09
0,105
0,120
0,135
Absorbans (y)
0,4
0,106
0,188
0,218
0,322
0,362
0,370
0,478
0,626
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 6 af 10
Kobberindholdet i en 50 øre
y = 4,223x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16
Kobber (g)
Absorbans (abs)
Serie1
Lineær (Serie1)
Mønten er opløst i en 250mL opløsning. Man kan sige at der er 25 gange mere mønt i den, end i de
små reagensglas, da
mønten er fortyndet med
250mL vand. Møntens
absorbans bestemmes til at
være 0,845 A
Vi udvælger et punkt på
grafen, i vores tilfælde
(0,478;0,120)
Absorbansen er kendt ud
fra en formel der hedder:
A=ε ∙ l ∙ c
opl
ε = bølgelændgen
Man kan isolere ε ε
650nm
=
=
= 3,983 l/mol
Ligeledes kan koncentrationen isoleres:
C
opl
=
= 0,21 mol/L
Derefter kan kobberindholdet af mønten beregnes således:
m
cu
= n
cu
∙M
cu
=c
cu
∙ V
opl
∙ M
cu
= 0,2121 mol/L ∙ 0,250 L ∙ 63,54 ∙10
3
mg/mol = 3369,78mg
m
(mønt)
= 4,3 g
Cu =
= 78,36 %
En 50-øre består altså af 78,36 % kobber.
Ved at bruge denne formel
N
i
NNiixy
yxyxyxyxS
1
2211
...
kan jeg finde mit x i min
ligning: fx 0,015∙0,4 + 0,03∙0,106 + 0,045∙0,188 +… n.. = 0,26817
Jeg bruger altså mine observationer hvor g kobber er x, og absorbans er y.
Derefter har vi en regressions formel der hedder:
2
x
xy
S
S
a
xy har vi lige regnet ud til at være 0,26817.
S
x
2
udregnes ved at lægge alle x’erne i anden sammen. Fx 0,015
2
+ 0,030
2
+ 0,045
2
…. n
2
= 0,064125
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 7 af 10
Opløselighed for kaliumchlorat
y = 2,2484x
0
20
40
60
80
100
120
0 50 60
Opløselighed i g/100 mL
Temperatur (C)
Serie1
Lineær (Serie1)
Derefter kan vi sætte det ind i formelen: a=
= 4,18
Vores graf siger at formelen skal hedde 4,223x, mens vores udledning får resultatet 4,18x. Det kan
der være mange grunde til, deriblandt er den største nok afrundingsfejl osv.
Fejlkilder er at finde i bilag!
Konklusion:
Vi har ud fra målinger af absorbans og g kobber indhold bestemt kobberindholdet i en 50-øre til at
være 78,36 %. De sidste 21 % af mønten består af andre forskellige stoffer, der i blandt tin.
Opløselighedsdiagram for kaliumchlorat
Formål:
Undersøgelsen formål er at bestemme opløseligheden af kaliumchlorat, KCIO
3
, i vand ved
forskellige temperaturer.
Forsøgsbeskrivelse findes i bilag!
Teori:
Kaliumchlorat er et hvidt pulver
som kan være ret sprængfarlig
hvis det kommer i forbindelse
med visse andre stoffer, men i
forbindelse med vand, er det
ganske uskadeligt.
Vores teori går ud på at hvis vi
ved hjælp af varme får opløst alt
kaliumchloraten i vand. Et fast
stof kan ikke opløses ubegrænset
i en væske
5
. Der vil altid være en
grænse, som svarer til, at
opløsningen bliver mættet, i vores tilfælde når vi får opløst alt kaliumchloraten i vandet.
Når vores opløsning afkøler, vil der på et tidspunkt igen ske en dannelse af kaliumchlorat. På det
tidspunkt hvor vi igen kan se kaliumchloraten igen, kaldes for ligevægtstemperatur.
Vi kan bestemme opløseligheden for kaliumchlorat i 100mL/g ved denne formel:
∙ 100mL
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 8 af 10
Man kan også
se en
sammenhæng
mellem
heterogene og
homogene
opløsninger
6
. Dette forsøg er et heterogent forsøg, da de to reaktanter ikke er på samme fase.
2KClO
3
+ H
2
O K
2
O + 2HClO
3
∙ 100mL eks.
∙ 100mL = 33,33g
Ligesom i forsøget med 50-øren kan vi bestemme en forskrift ud fra regression. Grafen har en formel
der hedder y=2,2484x. Vi kan nu prøve at regne den ud ved hjælp af den matematiske udledning til at
finde x:
N
i
NNiixy
yxyxyxyxS
1
2211
...
5g∙50g + 5g∙33,33g + 5g∙25g +…. n= 847,45
Derefter har vi en regressions formel der hedder:
2
x
xy
S
S
a
xy har vi lige regnet ud til at være 847,45. S
x
2
udregnes ved at lægge alle x’erne i anden sammen. Fx 5g
2
+ 5g
2
+ 5g
2
…. n
2
= 200
Derefter kan vi sætte det ind i formelen: a=
x
Da vores forskrift næsten er dobbelt så stor som den forskrift vores graf udregner, kan noget tyde på
at der ikke er en lineær sammenhæng i dette forsøg. Eftersom at r er en lille smule højere i en ligning
svarende til en potens funktion, må vi gå ud fra at grunden til at regressionen med en lineær model
ikke virker, er fordi grafen er en potens funktion.
Tilsat vand
10mL
15mL
20mL
30mL
35mL
45mL
50mL
55mL
Tilsat KClO
3
(x)
5g
5g
5g
5g
5g
5g
5g
5g
Opløselighed i
g/100mL (y)
50g
33,33g
25g
16,67g
14,29g
11,11g
10g
9,09g
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 9 af 10
Samlet konklusion:
Ud fra min matematiske udledning af mindste kvadraters metode, har jeg lavet en forskrift der
beviser hvordan lineær regression også kan udregnes. Udledningen har jeg brugt på de to forsøg jeg
har lavet i kemi, og ud fra det har jeg konkluderet at der i det ene forsøg er en lineær sammenhæng.
Jeg har gennem denne opgave vist at min udledning af mindste kvadraters metode, kan bruges i kemi
verdenen.
SRO, Matematik & Kemi
[navn fjernet] & [navn fjernet]
Side 10 af 10
9/3-2009
Elevens underskrift: