1
Differentialligninger
og kemiske reaktioners hastighed.
SRO opgave i kemi og matematik
2
Problemformulering
Redegør for begrebet reaktionshastighed for kemiske reaktioner, reaktionsorden, samt for hvilke
faktorer der påvirker reaktionshastigheden, og hvorfor.
Udled den matematiske teori, der ligger til grunde for løsning af de differentialligninger, der
fremkommer ved opskrivning af 0., 1., og 2. ordens reaktioners hastighedsudtryk.
Udfør eksperimentet ”Reaktion mellem persulfationer og iodidioner” og lav relevante analyser af
resultaterne, der kan vise hvilken orden reaktionerne har. Vurder eksperimentets resultater.
Giv et eller flere eksempler fra hverdagen, vores krop, eller fra industrien, hvor kemiske reaktioners
hastighed er vigtig.
Metodeovervejelse:
Jeg bruger den kvantitative metode til at udregne forskellige oplysninger omkring forsøgene. Den
kvantitative metode, er en naturvidenskabelig metode, som bruges når oplysninger om forsøgene
kan gøres målbare. Altså ting som kan regnes ud.
Derudover bruger jeg den deduktive metode i og med at jeg først gennemgår noget generelt og
derefter kobler det til noget virkeligt. Deduktion er en som metode, hvor man tager noget generelt
og anvender det på et særtilfælde
3
Indhold
Problemformulering .......................................................................................................................................... 2
Metodeovervejelse: ............................................................................................................................................ 2
Indledning .......................................................................................................................................................... 4
Teori .................................................................................................................................................................. 5
Efterbehandling ................................................................................................................................................. 9
Fejlkilder.......................................................................................................................................................... 12
Perspektivering ................................................................................................................................................ 12
Konklusion ...................................................................................................................................................... 13
Resumé ............................................................................................................................................................ 13
Litteraturliste ................................................................................................................................................... 14
Bilag: ............................................................................................................................................................... 15
Øvelsen: Reaktion mellem persulfationer og iodidioner” ........................................................................... 15
4
Indledning
Denne SRO opgave omhandler differentialligninger og kemiske reaktionernes hastighed. Vi skal
udføre et forsøg som omhandler reaktionshastigheden mellem persulfationer og iodidioner, mens
koncentrationerne bliver ændret.
Denne opgave er tværfaglig mellem kemi og matematik. Den matematiske del består i at gennemgå
separation af de variable, som derefter kan bruges til at udlede 1, og 2. orden i den kemiske del.
Derover vil begreber som reaktionsorden og reaktionshastighed blive beskrevet.
Til sidst vil der blive opskrevet nogle eksempler fra hverdagen.
5
Teori
Jeg vil starte teoriafsnittet med at vise beviset for separation af de variable. Teorien bag separation
bruges til udregning af 1. og 2. ordens reaktion, som vil blive forklaret senere i teoriafsnittet.
Man benytter separation af de variable til at løse differentialligninger af typen:
. Her er g og kendte, mens y = f(x) skal findes.
Sætning: Lad h(x) være kontinuert i intervallet I, og lad g(y) være kontinuert og forskellig fra
nul i intervallet J. Der gælder så at:
Hvis f(x) er løsning til
Så er f(x) også løsning til:
Bevis: Jeg antager at betingelserne er opfyldt. Dermed har h en stamfunktion H:
På samme måde som med h, så har g også en stamfunktion, nemlig G.
Jeg tager fat i den oprindelige ligning:
Herfra divideres der med G(y) på begge sider af lighedstegnet:
Herefter benyttes trin 1:
Benytter herfra at h(x) = H’(x):
Trækker H’(x) fra på begge sider:
Integrerer
og får dermed en konstant ovre på modsatte side:
Lægger H(x) til på begge sider:
6
Reaktionshastighed er ændringen af en reaktants eller et produkts koncentration pr. tid. Man kan
kun angive én reaktant eller ét produkts hastighed ad gangen. Derfor er det vigtigt at opgive hvilken
af reaktionsdeltagerne reaktionshastigheden er baseret på.
Hvis man vil finde den gennemsnitlige reaktionshastighed, skal der anvendes et lille tidsinterval Δt
omkring det tidspunkt som skal beregnes.
Herfra lader man Δt gå mod nul, dermed går brøken mod differentialkvotienten af [A] med hensyn
til t:
Hvis man fx har målt koncentrationen af A forskellige tidspunkter kan man finde
reaktionshastigheden i et bestemt punkt ved at finde værdien af tangentens hældningskoefficient i
det bestemte punkt.
Reaktionshastigheden afhænger af reaktanternes koncentrationer. Jeg antager at jeg finder følgende
hastighedsudtryk:
M er ordenen for koncentration af A og ligeledes er n ordenen for koncentration for B. Den totale
reaktionsorden er . Eksponenterne i hastighedsudtrykket vedrøres af begrebet
reaktionsorden. Normalt er m og n hele tal, som fx 0,1 og 2.
Hastighedskonstanten i hastighedsudtrykket er betegnet k. Denne konstant er afhængig af
temperaturen.
Når man snakker om reaktionsorden, så findes der rigtig mange. Man kan dog kun udlede en formel
for 0, orden, første orden og 2. orden. Men under 2. orden kan man kun udlede en formel hvis det er
den simpleste.
0. orden er den simpleste orden. Den afhænger kun er en konstant.
1. orden er den næste reaktions type, og har hastighedsudtrykket:
Sætning omskrives således:
7
Herfra benytter jeg den matematiske formel for separation af de variable, for at kunne udlede
formlen. Teorien bag er beskrevet højere oppe i teoriafsnittet.
Herefter kan man integrere på begge sider af lighedstegnet:
Hvis man integrerer disse funktioner fås:
er hældningen. Hvis du sætter k ind i en graf, så kan den aflæses som den numeriske værdi af
linjens hældningskoefficient. Hvis du indsætter ln[A] som funktion af t i en graf og det giver en ret
linje, så er reaktionen af 1. orden.
Et 2. ordens hastighedsudtryk kan se således ud:
Det er dog kun den første reaktion som vi kan udlede en formel fra. Den anden reaktion kan dog
komme til at ligne den første reaktion hvis koncentrationer af A og B er det samme. Så vil
koncentrationen jo bare stå i anden, som vist i første reaktion.
Jeg sætter:
og får:
Igen omskrives ligningen og derefter integreres det:
Dette betyder hermed af hvis man sætter
som funktion af t og linjen bliver ret, så er reaktionen af
2. orden.
Hvis man derimod har hastighedsudtrykket
, kan man holde den ene variable
konstant, så den kan indgå under k. Dermed har vi kun en variabel igen, og dermed har vi en formel som kan
regne tallene ud.
Hastigheden for en kemisk reaktion afhænger af 5 faktorer:
Reaktanternes koncentrationer
Jo mere koncentreret en reaktant er, jo flere molekyler vil der findes i en beholder, og
dermed vil der komme flere sammenstød mellem molekylerne.
En reaktions overfladeareal
8
Et fast stof som er blevet findelt til pulver reagerer hurtigere med andre stoffer, end en fast
klump. Dette skyldes, at jo større overfladearealet er, jo flere sammenstød kan der ske.
Temperatur
Reaktionshastigheden stiger hvis man øger temperaturen. Dette skyldes at molekylerne får
en højere kinetisk energi, og dermed bevæger sig hurtigere. Dette fører til flere sammenstød.
Katalysator
En katalysator er et stof som får en reaktion til at foregå hurtigere. Dette er fordi
aktiveringsenergien formindskes, hvilket medfører at reaktionshastigheden forøges.
Inhibitor
En inhibitor har den modsatte virkning af en katalysator, den sænker nemlig
reaktionshastigheden. Disse bruges blandt andet til at bremse uønskedes reaktioner.
9
Efterbehandling
Reaktionshastigheden kan udrenges således:
Et eksempel på en reaktionshastighed:
Nr
Startkonc
[
]
Startkonc
[
]
v
1
0,080 M
0,080 M
2,1
E
-5
3,281
E
-3
2
0,080 M
0,060 M
1,6
E
-5
3,333
E
-3
3
0,080 M
0,040 M
9,5
E
-5
2,969
E
-3
4
0,080 M
0,020 M
4,6
E
-6
2,875
E
-3
5
0,040 M
0,080 M
8,6
E
-6
2,686
E
-3
6
0,040 M
0,060 M
6,2
E
-6
2,583
E
-3
7
0,040 M
0,040 M
4,0
E
-6
2,500
E
-3
8
0,040 M
0,020 M
2,0
E
-6
2,500
E
-3
Her er grafen for de to målserier som der blev lavet under forsøget. Jeg har koncentrationerne af [I
-
]
ud af x-aksen og ud af y-asken har jeg reaktionshastigheden.
y = 0,0001x - 3E-07
R² = 0,9989
y = 0,0003x - 1E-06
R² = 0,9975
0
0,000005
0,00001
0,000015
0,00002
0,000025
0,0000,0200,0400,0600,0800,100
Forsøg 5-8
Forsøg 1-4
Linear (Forsøg 5-8)
Linear (Forsøg 1-4)
10
Vi kan se via grafen at hældningerne fra forsøgene går nedad mod højre. Dette betyder at jo lavere
koncentrationen af [I
-
] er, jo hurtigere forløber reaktionen. Vi kan se at forsøgene 1-4’s hældning er
stejlere end 5-8’s. Dette skyldes at koncentration af [
] i forsøgene 5-8 var halv så stor som i
forsøgene fra 1-4. Der skyldes formindskelsen af S
2
O
3
2-
. Dette afspejles også i grafen, da man kan
se at hældningen og dermed reaktionshastigheden ligger under hældningen fra forsøg 1-4.
Dermed ved jeg at denne reaktionshastighed er bestemt er to variable. Både koncentrationen af
og
. Dermed kan vi regne ud af at vores hastighedsudtryk vi skal bruge er følgende:
For at finde n skal vi bruge følgende formel:
Som det ses af formlen sættes tallet 2 foran
under hældning A, da det fremgår af
forsøgsvejledningen at koncentrationen er dobbelt så stor i forsøg 5-8 end i forsøg 1-4. Da
ikke ændres under forsøget, går de ud med hinanden så formlen kommer til at se således ud:
De to hældninger vi bruger er fra de to grafer vi finder via resultatet:
Den øverste ligning ganges med 2, da koncentrationen er dobbelt så stor, som sagt før. Men dette
betyder at ligningerne vil komme til at se således ud:
. Dermed burde resultat give 2, hvis det er en
1. orden.
Dette betyder af n er bestemt ved
Den relative afvigelse for m er dermed:
For at kunne finde m bliver vi nødt til at holde [I
-
] konstant, og dette gør vi ved at indsætte et
selvvalgt tal for [I
-
]. Dette tal bliver valgt til at være: 0,7. Dermed går k ∙ [I
-
] ud:
Jeg indsatte resultaterne ind i statlets og udregnede grafernes tendenslinje. I Excel fandt vi ud af at
den bedste linje for begge grafer, var den rette linje. Dermed skulle de to tendenslinjer have
formlen: ax+b. Tendenslinjerne ser således ud:
11
Y=2,9046095∙10^-4∙X+(-1,481625∙10^-6)
Forsøg 1-4
Y=1,0990845∙10^-4∙X+(-2,58605∙10^-7)
Forsøg 5-8
Dette sættes ind og dermed findes m:
Endnu engang skal tallet divideres med to, af samme grund som med tallet n.
Tallet m kan dermed bestemmes ved:
Den relative afvigelse for m er dermed:
Da n og m kun kan være reelle, så må jeg runde begge tal ned til 1. Dermed kan jeg afgøre at
reaktionen er en 2. ordensreaktion.
Som det ses af resultatskemaet skulle man udregne:
.
Da formlen normal ser således ud:
, kan vi regne ud, at formlen foroven
giver konstanten k. Da det skal give k, burde alle tallene i teorien være ens. Som man kan se af
resultatskemaet er tallene ikke ens, men får at få det bedste mulige tal, vil jeg tage gennemsnittet af
alle konstanterne.
Dermed ser vores reaktions hastighedsudtryk:
Begyndelseskoncentrationen er af S
3
O
8
2-
er 8 * 10
-4
. Dette fremgår af forsøgsvejledningen.
Stofmængden af koncentrationen findes:
Finder herefter den totale volumen af opløsningen:
Ved at dividere stofmængden med volumen finder man koncentrationen:
C =
= [S
2
O
3
2-
] =
=
= 8 * 10
-4
M
12
S
2
O
8
2-
+ 2I
-
2SO
4
2-
+I
2
2S
2
O
3
2-
+ I
2
S
4
O
6
2-
+ 2I
-
Som det fremgår af reaktionerne, som var dem vi lavede i forsøget, kan det ses at der bruges 2 mol
af S
2
O
8
2-
for hver af S
2
O
3
2-
. Koncentrationen af S
2
O
8
2-
formindskes med de udregnede 8 ∙ 10
-4
M, og
da der går 2 mol, formindskes S
2
O
3
2-
med 4 ∙ 10
-4
M.
Fejlkilder
Vi skulle starte stopuret, det sekund vi hældte de to blandinger sammen, og stoppe det sekund vi så
at reaktions farve ændrede sig. Dette giver upræcise målinger af tiden, da reaktionstiden mellem
opdagelsen af farveskiftet samt at trykke stop på stopuret er nogle få sekunder. Nogle gange var det
også svært for øjet at registrere et farveskift. Dermed kunne der gå nogle sekunder inden vi var sikre
på et farveskift, selvom det måske var kommet noget før. Dette er ulempen ved øjemål. Dette giver
også en afvigelse af tiden. Vi kan kun lave relative afvigelser ud fra n og m. Da n og m kun kan
være ”små” tal, bliver afvigelsen dermed automatisk også større. Vi lavede kun 8 del forsøg, og
dette er heller ikke nok i forhold til at danne to gode og præcise rette linjer. Man bliver nødt til at
lave mange flere delforsøg med for at få et mere præcist resultat.
Perspektivering
Reaktionshastigheder har stor indflydelse på menneskeheden eksistens og den måde vores
industrielle samfund er bygget op på. Alle mennesker har enzymer i kroppen, da de er
livsnødvendige for cellestofskiftet i alt levende på jorden. Hvis ikke celleomsætningen sker hurtig
nok, så dør vi. Derfor er det vigtigt at have de enzymer. Disse enzymer arbejder bedst under 37˚
grader, hvilket er vores normale kropstemperatur. I menneskets krop dør der hele tiden celler og det
er derfor at enzymet skal have en hvis reaktionshastighed for at kunne opretholde den samme værdi
af celler som vi har i kroppen for at vi kan fungere optimalt.
Et andet eksempel er fra bygninger lavet af jern. Man ved i dag at jern på et tidspunkt vil ruste, men
alligevel laver man en del bygninger og rør lavet af jern, da det er et langt billigere materiale end fx
guld og det er meget holdbart. Derudover er reaktionen meget langsom (lang holdbarhed).
13
Konklusion
Jeg har lavet forsøget ”Reaktion mellem persulfationer og iodidioner”, hvilket lykkedes. Man siger
normalt er forsøg med en relativ afvigelse under 10 % er udmærket, men jeg har to afvigelse på
henholdsvis: 31,615% og 32,135%. Dette vil sige at mit forsøg ikke var vellykket, men på grund af
at afvigelserne omhandlende så små tal, vil jeg stadig konkludere at forsøget er vellykket. Jeg fandt
ud af reaktionen mellem persulfationer og iodidioner er af 2. ordens reaktion. Reaktionen afhænger
af to variable og dens hastighedsudtryk ser således ud:
Resumé
This is an interdisciplinary assignment between math and chemistry. The assignment is about
differential equations and the reaction velocity of chemical reactions. In the chemistry part I
explained the concept of the reaction order, the reaction velocity of chemical reactions and
explained the factors which have an impact on the reaction velocity. In the mathematics part of the
assignment I went through the proof of the separation of the variables, which afterwards was used
to make a formula for the first and the second reaction order.
We made an experiment about the reaction velocity between persulphateions and iodideions. We
wanted to know which reaction order it belongs to. We find out that the reaction belongs to the
second order, that it has two variables, and that its rate term is:
.
14
Litteraturliste
Bøger
Jens Carstensen og Jesper Frandsen: ”Mat 3H” 1. udgive, 1. oplag
Udgivet i 1999 af forslaget Systime
Helge Mygind, Ole Vesterlund Nielsen, Vibeke Alexsen: ”Basiskemi B” 1. udgave, 1. oplag
Udgivet i 2010 af forlaget Haase & Søns Forlag
Udleveret kopier
Forsøgvejledning
Ark om reaktionskinetik.
15
Bilag:
Øvelsen: Reaktion mellem persulfationer og iodidioner”
Apparatur:
Bagerglas 100 ml
To pipetter, 10 ml og 20 ml med sugebolde.
Reagensglas
Magnetomrører + magnet
Stopur
Kemikalier:
0,200 M Na
2
S
2
O
8
0,100 M Na
2
S
2
O
8
(med 0,100 mol Na
2
SO
4
pr. Liter)
4,0010
-3
M Na
2
S
2
O
3
med stivelse
To fælles autoburetter med henholdsvis 0,200 M KI og 0,200 M NaCl
Alle væsker skal have sammen temperatur
Udførelse:
Der skulle arbejdes meget renligt og omhyggeligt. Før hver forsøg blev glasvarerne skyllet grundigt
med demineraliseret vand, hvorefter vandet blev rystet af så godt som muligt.
Forsøgene blev startet med at overføre 20,0 ml Na
2
S
2
O
8
-opløsning (0,200 M eller 0,100 M) med
pipette til bægerglasset. Derefter blev der tilstat 10,0 ml 4,0010
-3
M Na
2
S
2
O
3
med stivelse med
pipette.
Det angivet volume 0,200 M KI og 0,200 M NaCl blev aftappet fra buretter ned i reagensglasset.
Reaktionerne startede ved at hælde reagensgalssets indhold ned i bægerglasset som blev placeret på
magnetomrøreren. Samtidig blev stopuret startet. Ligeså snart en farve (blå/lilla) kunne ses skulle
stopuret stoppes.
16
Resultater:
Forsøg nummer
Volumen 0,200
M Na
2
S
2
O
8
0,200 M KI
0,200 M NaCl
Δt
1
20,0 ml
20,0 ml
0 ml
17,8 sek
2
20,0 ml
15,0 ml
5,0 ml
24,6 sek
3
20,0 ml
10,0 ml
10,0 ml
41,7 sek
4
20,0 ml
5,0 ml
15,0 ml
86 sek
Desuden tilsættes 10,0 ml 4,00∙10
-3
M Na
2
S
2
O
8
med stivelse
Forsøg nummer
Volumen 0,100
M Na
2
S
2
O
8
0,200 M KI
0,200 M NaCl
Δt
1
20,0 ml
20,0 ml
0 ml
46,4 sek
2
20,0 ml
15,0 ml
5,0 ml
64,1 sek
3
20,0 ml
10,0 ml
10,0 ml
98,3 sek
4
20,0 ml
5,0 ml
15,0 ml
198,3 sek
Desuden tilsættes 10,0 ml 4,00∙10
-3
M Na
2
S
2
O
8
med stivelse