1
2k Studieretningsopgave 2009
Stemninger og tempereringer
En tværfaglig opgave mellem MA og MU
STX 2.g
2k
Aurehøj
December 2009
______________________________________
[navn fjernet] .
2
Indholdsfortegnelse
Side Indhold
3 Indledning
4 Matematiske definitioner og redegørelser
5-7 Opgaver i Tal og Tangenter
8-10 Analyse af Bach’s Fuga XXI
11-12 Udregning af intervaller i Fuga XXI
13 Kildehenvisning
3
Indledning
Studieretningsopgaven for 2k i 2009, er en tværfaglig opgave mellem fagene matematik A og
musik A.
Jeg vil i denne opgave redegøre for definitionen af de harmoniske funktioner og deres grafiske
forløb. Jeg vil endvidere forklare hvorledes de matematiske begreber kan anvendes til beskrivelse
af lyde og toner.
Jeg vil foretage en grundig analyse af J. S. Bach’s Fuga nr 21, fra hans klaveralbum ”Das
Wohltemperierte Klavier”, og ud fra den analyse argumentere for det stemningsprincip, som
stykket sandsynligvis er beregnet ud fra.
4
Matematiske definitioner og redegørelser
Når en streng sættes i bevægelser på et instrument, svinger den frem og tilbage. Denne svingning kan
afbildes med en matematisk formel:
+
En sådan funktion kaldes for en sinussvingning, men har også betegnelsen ”harmonisk svingning”.
Vi kan redegøre, for hvilken betydning konstanterne A, ω, φ og k har for grafens udseende og beliggenhed i
koordinatsystemet.
A:
A er Amplituden. Da
antager værdier mellem -1 og 1 er A dermed også funktionens maksimale
udsving i forhold til . I det tilfælde hvor k er 0 er A funktionens maksimale udsving i forhold til tidsaksen. Jo
større amplitude jo ”højere” graf. Musikalsk betyder dette at jo højere amplitude, des højere lydniveau.
t:
t er tiden målt i sekunder.
Φ
Phi er faseforskydningnen. Den har betydning for funktionens forskydning i tid. Hvis , vil funktionen
ikke have udsving for t = 0. Omvendt vil funktionen have maksimalt udsving for t = 0, hvis
.
Vi ved fra enhedscirklen at perioden for
er 2 π. Tilsvarende vil
foretage en hel
svingning, når varierer mellem 0 og 2π. Ud fra denne viden kan det let vises at afstanden mellem to
værdier at t for hvilke
har toppunkter er 2 π /t. Dette tidsinterval kalder vi også funktionens
periode eller svingningstiden:
Perioden er således afstanden fra bølgetop til bølgetop, eller med andre ord en gennemsvingning (fra et
nulpunkt til det næste). Musikalsk angiver perioden hvor lang tid f.eks. en guitarstreng er om én svingning.
f
Frekvensen f er defineret som
og måles i Hz. Den bestemmer hvor mange svingninger funktionen har
i sekundet.
5
Opgaver i Tal og Tangenter
1)
a) Tonenumrene i en C# dur skala er:
3-14.
Cis, Dis, F, Fis, Gis, Ais, C, Cis.
C#, D#, F, F#, G#, A#, C, C#
b) Tonenumrene i en G dur skala er:
5-17-19-20
# for f hedder Fis (F#)
c) I forhold til Kvintcirklen ligger G dur tættest på C dur, da den ligger til højre for, og samtidig er
dominant. Ser man på klaveret ligger C# tættest på, da der kun er en halv tone imellem C og C#
Når der kommer # for en tone, tilføjes –is bag på tonen. Kommer der b for, tilføjes –es.
2)
a) I en G dur treklang er tonerne G-H-D. Tilføjes en septim til G dur treklangen, så den bliver til en
fireklang, kaldes den lille septim f, og den store for fis (D#)
b) I en E dur treklang er tonerne E-G#-H. Tilføjes en septim til E dur treklangen, så den bliver til en
fireklang, kaldes den lille septim d, og den store for dis (D#)
c) I en H dur treklang er tonerne H-D#-F#. Tilføjes en septim til H dur treklangen, så den bliver til en
fireklang, kaldes den lille septim a, og den store for ais (A#)
d) I en Eb dur treklang er tonerne Eb-G-Bb. Tilføjes en septim til Eb dur treklangen, så den bliver til en
fireklang, kaldes den lille septim des (Db), og den store for d.
3) I den første graf er amplituden 4, i den anden er amplituden 2,5 og i den tredje er amplituden 1,2.
4) Ud fra opgave 2 kan vi se at en C-dur treklang består af tonerne C, E og G. Vi får givet, at vores C
0
svinger med 261,6 Hz, og derudfra skal frekvensen til den store terts E og kvinten G findes med
følgende formel:
Frekvensforholdet=
Hvor n
1
og n
2
er tonenumrene for henholdsvis øverste og nederste tone.
Derfor kan vi finde vores ligesvævende store terts, E:
Derfor bliver tonens frekvens: 1,260 * 261,6 Hz= 329,6 Hz
Og for vores ligesvævende kvint, G, findes:
Derfor bliver tonens frekvens: 1,498*261,6 Hz= 391,877 Hz
Nu kan vi regne de andre toner ud i en C dur
D:
Derfor bliver tonens frekvens: 1,122 * 261,6 Hz = 293,515 Hz
F:
6
1,335
Derfor bliver tonens frekvens: 1,335 * 261,6 Hz = 349, 236 Hz
A:
1,682
Derfor bliver tonens frekvens: 1,682 * 261,6 Hz = 440,011 Hz
H:
1,888
Derfor bliver tonens frekvens: 1,888 * 261,6 Hz = 493,835 Hz
5) Ligesom vi så i ovenstående opgave, kan vi udregne de forskellige toner med formlen:
Frekvensforholdet=
Hvor n
1
og n
2
er tonenumrene for henholdsvis øverste og nederste tone.
Vi kan regne ud, at forskriften vil være:
Vi kan nu se, at stigningsprocenten mellem hver tone vil være:
(1,0595 – 1) •100% = 5,95 %
6) Vi får givet at vores brøk vi skal udregne vha håndkraft er:
Vi kan gange den første brøk ud:
Vi ved at:
Derfor vil
blive til
Vi kan derfor sætte vores ”nye” tal ind i regnestykket:
Hvilket skulle vises.
7)
a)
Frekvens
Amplituden: 2+1 = 3
7
Frekvens:
Amplituden: 3+2,5 = 5,5
b)
Får at finde middelfrekvensen gør vi:
= 524
Som det fremgår i graftegningen,
kan vi se at den har udsving 4 gange pr/sek,
hvilket også er frekvensforskellen på de to toner
c) Bevis for at
Sættes
s x y=+
og
t x y=−
får vi
og y
, og adderer vi de to sinus-formler sammen får
vi, ved at bruge vores additionsformler:
_ _
8
Analyse af Bach’s Fuga XXI
Fuga! Det betyder en flugt, og denne fuga står i Bb dur. Fugaen indeholder tre stemmer, en sopran-, alt- og
basstemme.
Vi får præsenteret et tema i Bb dur der løber over takt 1-4
1)
. Derefter har vi i takt 5-8 en forlængelse af
temaet, et fortspinnung, hvilket betyder en fortsættelse af hovedet (temaet).
I takt 5, kan vi se at vores tema starter i alten, samtidig med sopranens fortspinnung, men temaet er i en
anden intervalform. Eftersom at sopranen har bevæget sig over i F-dur vil det skabe tomrum, hvis altens
tema starter i Bb dur. Der er en kvint mellem Bb og F, og det vil mange steder skabe tomme kvinter, så
derfor har Bach sat altens tema i dominantens toneart, F- dur. Han har tilpasset temaet til tonearten.
I takt 9, når altens fortspinnung starter i forlængelsen af dens tema, starter temaet i bassen. Vi kan se et
løst fortegn
2)
i starten altens fortspinnung, b for e, og når de første tre toner i bassen er F dur relateret,
skaber det en septimakkord, altså en F7, og derfor leder den til bage til det første ”intervalmæssige” tema,
lige som i sopranen, altså i Bb dur. Der skabes altså en forstærkende dominantisk effekt.
Vi kan se at der er en udvikling i antallet af stemmer i sopran, alt og bas, og nu hvor bassens tema starter,
slutter sopranens fortspinnung, samtidig med at altens fortspinnung starter. Det gør at der opstår en form
for tomrum i dette område af fugaen, men dette har Bach fyldt så ganske fint ud, ved at lave en række
indsatser, en form for tonalbesvarelser i sopranstemmen. Disse ligger mellem takt 9-10, 10-11, 11-12 og 12-
13. Der sker kort sagt en augmentation i fugaen.
I takt 13 starter bassens fortspinnung i forlængelsen af dens tema samtidig med at sopranen får temaet.
Her ser vi igen en række tonal besvarelser i alten.
Dette fænomen gentager sig i en vis grad i takt 17, hvor alten, efter dens tonalbesvarelser, starter
slutningen af sit tidligere fortspinnung, i D dur, der er dominant til G mol, Bb dur’s paralleltoneart. Der er
altså en skinindsats. I samme grad som før ser vi tonalbesvarelser i bassen, mens sopranen kører en
episode.
I takt 19 og 20 har vi en skinindsats i sopranen, hvor slutningen af dens tema kommer. I bassen har Bach
brugt sit tema i inversion, og bruger det som kontrapunkt til skindindsatsen, altså slutningen på hans tema.
Vi ser at bassen er faldende en tone hver takt fra 19-21, og i starten af takt 21 har vi i sopranen et anlæg til
en modulation, der selvfølgelig underbygges af bassen. Vi ser en c-mol der får en subdominantisk effekt,
1)
Eftersom vores tema starter på ”et-og”, vil alle
temaer, forspinnunger o.l. slutte på 1 slaget i takten
efter det noterede. Derfor slutter temaet på 1 slaget i
takt 5.
2)
Egentlig er det ikke et løst fortegn, eftersom at det
andet b i Bb dur er eb, men vi var i F dur lige før, og vi
ved at septimen i en dur toneart skal være stor hvis
den ikke skal have nogen ledende effekt, og derfor
blev Eb opløst til e.
9
inden at denne modulation fuldendes i slutningen af takten, hvor Bach kører den over i D dur, der er
dominanten til G mol, der er vores grundtoneart Bb dur’s paralleltoneart. Hermed får vi vores kendte IV-V-I
rundgang i forhold til G mol, der er vores”nye” toneart.
Frem til her kan vi se et system i måden Bach har skrevet denne fuga på. Vi kan se at Bach har to stemmer
kørende ad gangen, lappende ind over hinanden: når den ene stemme starter fortspinnung, starter den
anden stemme et tema. Den sidste stemme der hverken har fortspinnung eller tema spiller en række
tonalbesvarelser, der fungere som ”fyld”, som augmentation.
Vi ser temaet repræsenteret i paralleltonearten G mol i alten i takt 22-25. Mellem takt 22-23, 23-24, 24-25
og 25-26, ser vi en række tonalbesvarelser i bassen. Samtidig med det ser vi i sopranen et
”fortspinnungmotiv” uden at et forudgående tema har været fuldendt. Vi har kun set slutningen på temaet
i 19-21.
Går vi videre til 25 kan vi se tema i bassen, fortspinnung i alten, og tonalbesvarelser i sopranen.
I takt 26 ser vi en C mol der er paralleltonearten G mols subdominant. Dette forstærkes ved at der i takt 27
er en G dur7, der er efterfulgt af en C mol. G dur7 er dominant til C mol.
I takt 30 sker der en interessant ting. Ser vi på det kontrapunktlignende skinindsats inspirerede afsnit i
sopranen, og det melodilignende motiv i bassen, med skindindsatser i alten, kan vi se at det er en
efterligning af takt 19. Der er ikke nogen retrograd eller inversion i afsnittet, men bas og sopran har byttet
plads. Den største forskel er tonearten. Takt 30 bevæger sig fra C mol til F dur7 der leder op til Bb dur i 31, i
slutningen af takten finder vi en C dur7 der leder til F dur7 i starten i 32 der er efterfulgt af en D7 der leder
op til det G mol afsnit vi får i takt 33. I takt 33 ser vi også at sopran og bas har byttet plads tilbage. I det
afsnit bevæger vi os fra G mol til D mol til D mol og videre til F mol i takt 36 (hvor der desuden starter et
temamotiv i sopranen), hvor vi i slutningen af takten har en Bb dur der leder til Eb dur i takt 37, hvor vi i
takt 38, ved hjælp af en Ab dur og Bb dur (subdominant – dominant) havner i Eb dur, Subdominanten til Bb
dur. Fra og med takt 37 starter der et tema i sopranen og et fortspinnung i alten. Med det, følger der også
tonale besvarelser i bassen. I takt 41 starter fortspinnung i sopranen, men hvad bemærkelsesværdigt er, er
at der i alten er efterfulgt et tema efter dens fortspinnung, mens bassen fortsætter sine tonale besvarelser.
Fra takt 45 får vi en coda i F dur. Vi har nogle tonale besvarelser i sopranen og i bassen ser vi igen en
skindindsats af fortspinnung. I alten ser vi en løbende melodi der er medløber på bassen’s og sopranen’s
16’endedele, for når sopranen har 16’endedele har bassen 8’endedele og når bassen har 16’endedele har
sopranen pause. Der sker en tæt føring af stemmerne og alten fungerer som en form for
dobbeltkontrapunkt til sopran og bas. Alten ligger en sekst over/under bassen’s/sopranen’s 16’endedele
Hele fugaen ender i et dominant kvart-sekst forudhold på 3. sidste akkord inden dominanten på næstsidste
akkord, der leder til en stolt Bb dur akkord i sidste takt.
10
Vi kan ud fra fugaen lave en formanalyse:
Vi har tre stykker. Et a-, b- og c-stykke.
a-stykke: takterne 1-17, b-stykke: takterne 17-30, c-stykke: takterne 30-45
= tema
= fortspinnung
= tonebesvarelser
A-stykke:
Takt: 1 5 9 13 17
Bb-dur
F-dur
Bb-dur
F-dur
Sopran
Alt
Bas
B-stykke:
Takt: 26 30
D-dur
Bb
C-mol til D-dur
G-mol
C-mol
Sopran
Skinindsats
Skinindsats
Alt
Fortspinnung motiv
Bas
tonalbesvarelser
Inversion af tema
C-stykke:
Takt: 41 45
C-mol
G-mol
C-mol
Eb-dur
Bb-dur
Sopran
Skinindsats/kontrapunkt
Skinindsats
inversion
Fortspinnung
motiv
Alt
Skinindsats
inversion
skinindsats
Bas
Skinindsats inversion
Skinindsats
inversion
Coda:
Takt: 45 47
Bb-dur
Afslutning Bb-dur
Sopran
Alt
Medløbende melodi
Bas
11
Udregning af intervaller i Fuga XXI
I vores fuga, støder vi hele tiden på intervaller. Den mest bemærkelsesværdige takt er takt 22,
hvor vi støder på Eb og F# i samme takt. Forholdet mellem disse to toner er en forstørret sekund,
der er det samme som en lille terts. Vi vil gerne have denne terts så ren som muligt, og ifølge
beregninger om rene intervaller i naturtonerækken, ved vi at forholdet i en lille terts skal være
6/5, altså 1,2. Vi har C
0
med frekvens på 261,6 Hz som udgangspunkt.
Vi skal altså se i hvilken af de to stemningsprincipper, ligesvævende stemning og
middeltonestemning, vores interval rammer naturtoneforholdet 1,2 bedst.
Ser vi på det i en ligesvævende stemning kan vi beregne vores to toner Eb og F#:
Eb=
2
12
( )
3−0
= 1,189
261,6
= 311,1
F# =
2
12
( )
6
= 1,414
261, 6 = 369 ,96
Hz-forholdet mellem de to toner er altså:
369,69
311,1
=1,188
Dette er beregnet ud fra en ligesvævende stemning.
Ser vi på det med en middeltonestemning, finder vi et andet resultat:
Vi ved at frekvensforholdet ved middeltonestemning kan beregnes med følgende formel:
præ toria nsk
f
=
pythagoræ isk
f
s
x
Med denne formel kan vi udregne vores frekvenser:
Frekvens for Eb:
2
5
3
3
1.0125
3 / 4
*261,6 = 1,1963
261,6
= 312,952
Frekvens for F#:
3
6
2
9
1.0125
−3/ 2
*261,6 =1,3975
261,6 = 365 ,59
Hz forholdet mellem de to toner er altså:
365,59
312,952
=
1,168
Her kan vi se, at den ligesvævende stemning ligger tættest på naturtoneforholdet i en lille terts. Vi
kan derfor regne med at klaveret som denne fuga er skrevet for er stemt i en ligesvævende
stemning. Denne påstand vil vi gerne underbygge, så vi regner nu på en tritonus vi finder i takten
efter, takt 23.
Ud fra vores beregninger om rene intervaller i naturtonerækken, ved vi at frekvensforholdet i en
tritonus er 7/5, altså 1.4.
Ser vi på det i en ligesvævende stemning kan vi beregne vores to toner F# og C
(2)
:
F# =
2
12
( )
6
= 1,414
261, 6 = 369 ,96
C
2
= 261,6
2
=523,2
12
Hz forholdet mellem de to toner er altså
:
523,2
369,96
= 1,414
Vi ved at frekvensforholdet ved middeltonestemning kan beregnes med følgende formel:
præ toria nsk
f
=
pythagoræ isk
f
s
x
Med denne formel kan vi udregne vores frekvenser:
F#=
3
6
2
9
1.0125
−3/ 2
=1,3975
261,6 = 365 ,59
C
2
= 261,6
2
=523,2
Hz forholdet mellem de to toner er altså:
523,2
365,59
=1,431
Her ser vi igen at at vores ligesvævende stemning ligger tættest på vores ønskede resultat.
Herudfra kan vi konkludere at Bach’s Fuga nr 21 er skrevet for et klaver i ligesvævende stemning.
Hvis man kigger på forskellige stemningsprincipper ser vi op gennem tiden, at den første stemning
er middelalderens Pythagoræisk temperament, hvilket betyder at kvinter skal være rene, og
tilsvarende bliver tertserne falske. For at oktaven skulle være ren, blev man nød til at lave en af
kvinterne meget falske, og denne blev kaldt for ”ulven. Senere blev der brugt Middeltone
stemning, som blev anvendt fra starten af det 16. årh. Denne stemning var bygget op omkring at
skulle indeholde flest mulige rene tertser, på bekostning af kvinterne. Op gennem det 17. årh blev
denne stemning rettet til Modificeret middeltone, der gør at flere tonearter bliver mulige. Endelig
når vi op til det Veltempereret stemning, som er et af de første temperamenter, der er beregnet
på at kunne anvendes i alle tonearter. Dette er konstrueret, således at tonearter med færrest
fortegn er mest rene. Det er muligvis dette steningsprincip som Bach har bygget sit værk Das
wohltemperierte Klavier op omkring, og dermed også fuga XXI. Den ligesvævende stemning har
først fra 1900 tallet været almindelig anvendt til klaver o.l.. Dette stemningsprincip er bygget op
omkring at alle intervaller, relativt set, er lige falske, hvilket bevirker at tonearterne taber deres
forskellighed.
Men eftersom at der gennem hele opgaven er talt om ”rene” intervaller, menes der her, at de
rene intervaller er opstående ved naturtoner. Disse naturtoner findes i gamle ”ikke-ventil”
messing instrumenter, og disse, og deres toner, vil derfor ikke kunne stemme overens med vores
veltempererede stemninger. I dag har vi dog ventiler på messinginstrumenter, der bevirker at
disse kan ”tilpasse” sig efter stemningen. Det veltempererede stemningsprincip modvirker også
chancen for at kunne spille renæssance musik.
Den store fordel er, at vi nu har et meget større tonespektrum at kunne bevæge os rundt i.
Desuden har det menneskelige øre med tiden vendt sig til dette stemningsprincip, og det har
derfor ikke store ulemper i forhold til ”det menneskelige øre”.
13
Kildehenvisning
Urtext- Könemann Music Budapest: Das wohltemperierte Klavier I, Für Klavier
Gert Uttenhal Jensen: Tal og Tangenter
Christensen og Frandsen: MATI: Trigonometriske funktioner
Stemningsprincipper udleveret af Niels Bundgård
Jeg har desuden arbejdet sammen med Pernille, Nina og Nicolai, hvilket min opgave derfor kan
bære præg af, bl.a. i formanalysen af Bach fugaen. Der har dog været entydig enighed i gruppen,
om at vores individuelle opgaver skulle forblive individuelle.
______________________________________
[navn fjernet] .