1
2x
VHG Matematik/Fysik
Differentialligninger, Newtons afkøling og
opvarmningslov
2
Abstract
In this assignment I have focused on two differential equations
= k*y and
=ay+b. it turns out
that
Then I used the differential equations and put them together with equations from physic and the
result was that there was theoretical connection between the physic and the math. Then I wanted to
see if this theoretical solution could be bound up this a practical solution. Then I made an
experiment with four other guys and it turned out that there was a connection between the theory
and the practical data. I could actually determine what value I should give the constants a,b and c in
the heating law.
3
Indholdsfortegnelse
. 4
.-6
Beviser .6
Bevis .
-9
Newtons 9-10
Modellering
Forsøg Newtons opvarmninglov ..-11
Konklusion11
Litteraturliste
.........12
4
Indledning
Differentialligninger giver matematiske beskrivelser af mange sammenhænge, fx konstruktion af en
bro eller isolering af et hus. Men hvad er en differentialligning? hvordan kan differentialligning
bruges i virkeligheden? Disse ting vil jeg jeg prøve at besvare. Dertil kommer newtons afkølings og
opvarmnings lov, som jeg teoretisk vil redegøre for sammen med matematikken. Til slut vil jeg så
bruge den teoretiske viden om newtons opvarmningslov og se om den passer til en praktisk løsning.
Differentialligninger
1
Differentialligning er som i navnet en ligning, den ubekendte er dog ikke en talværdi, men en
funktion y=f(x), hvor en eller flere af dens afledede indgår. dette kan være forskellige ordener som
vist
Vi vil dog tage starte med lidt simplere differentialligningen.
Løsningen til differentialligning findes ved at finde stamfunktion, og findes ved hjælp af
integration, da differentiering og integration er hinandens omvendte. Man kan derfor også lave en
an har fundet frem til efter at
have løst en differentialligning. Det gøres ganske simpelt ved at differentiere den løsning, man er
kommet frem til. Er resultatet lig med den differentialligning, som man skulle finde løsningen til, er
løsningen man har fundet frem til korrekt.
Dermed hvis vi starter med at integrere: y ∫2dx c ↔y 2x c
Nu kan vi så undersøge om denne løsning er korrekt ved hjælp af integrationsprøven.
(2x+c)=2
=2 da vi nu er tilbage ved den oprindelige
differentialligning må løsningen være korrekt.
1
Carstensen og Fransen 68-69
5
I ovennævnte eksempel var løsningen ikke svær at finde, men i andre tilfælde kan det være nyttigt,
at isolerer de variable på hver sin side af lighedstegnet.
2
Denne metode kaldes for
gyhx
Hvis h er kontinuert i et interval I, g er kontinuert i et interval J og gy0 , har ligningen ovenfor
de samme løsninger y f xsom ligningen:
dy =
*dx +c
I virkeligheden viser det sig at differentialligninger bliver brugt som et redskab til at beregne
forskellige vækstmodeller. I denne vækst er der en variabel som ofte er tiden.
Hvis vi fx tager udgangspunkt i differentialligning
som har løsningen y c e
kx
, cR
for xR denne løsning beskriver en eksponentiel vækst som dermed må have en relativ
væksthastighed. Da Løsningen passer på y b a, som er den funktionsmodel der beskriver en
eksponentiel vækst. Modellen bruges for eksempel til at beskrive en bakteriekultur.
3
I et sådant
tilfælde vil det være kulturens væksthastighed set i forhold til det allerede eksisterende antal
bakterier,som beskrives. Differentialligningsmodellen bruges til at beskrive situationer, hvor det
antages at Væksthastigheden er proportional med den allerede eksisterende størrelse.
En relativ væksthastighed, som er konstant, beskriver en eksponentiel vækst, idet den
fuldstændige løsning ser sådan ud, hvor k er en reel konstant:
y c e
kx
, cR for xR
Løsningen passer altså på y b ax , som er den funktionsmodel der beskriver en
Eksponentiel vækst. Modellen bruges for eksempel til at beskrive en bakteriekultur. I et sådant
tilfælde vil det være kulturens væksthastighed set i forhold til det allerede eksisterende antal
bakterier, som beskrives. Differentialligningsmodellen bruges til at beskrive situationer, hvor det
antages at Væksthastigheden er proportional med den allerede eksisterende størrelse.
4
Vi kan også ved hjælp af differentialligninger med logistisk vækst beskrive antallet af kaniner på
en ødet ø. Vi må forstille os at antallet af kaniner vil falde på længere sigt. Dette må betyde at vi må
2
Carstensen og Fransen s.74
3
Fogh og Nielsen s 250
4
Fogh og Nielsen s.249,253,254
6
lave en differentialligning hvor den relative væksthastighed er aftagende. Derfor bruger vi en
aftagende lineær funktion.
*
=b-
= y*a*(
=ya*(M-y)
Vi starter med at gange med y på begge sider og sætte a uden for parentes herefter kalder vi brøken
for M. herefter er vi nået frem til en logistisk ligning.
Løsningen til denne differentialligninger kan vi finde fordi vi kender løsningen til den logiske
ligning som formen
=ay(M-y) som dermed her løsningen y =
Beviser – løsning af differentialliningen ay+b
5
vi vil finde løsningen til differentialligningen:
-
+ c* e
ax
Nu laver så et trick således at man kan finde en løsning tricket er:
g(x)=a*f(x)+b
nu differentieres g(x) således at konstanten b går væk konstanten a sker der ikke noget med da den
er ganget på f(x):
isoleret.
nu
da vi
derfor bliver
begge sider.
Dette udtryk a*g(x) har vi allerede fundet en løsning i det tidligere bevis, ved 1 tallet. Vi ved derfor
at den fuldstændige løsning til dette er g(x)=
kx
5
Carstensen og Fransen s. 82-83
7
Bevis – løsning for differentialligningen k*y
6
1. Jeg vil bevise at
=k*y har løsningen
kx
Da vi antager at løsningen er y=
kx
kx
da
Nu laver vi så et trick så vi tager funktionen h som er defineret ved
h(x)=f(x)*e
-kx
-kx
+ f(x)*(-k)e
-kx
. når man differentierer e
-kx
siger reglen at:
e
-kx
=k*e
kx
kx
dette udtryk kan vi så sætte ind i vores ligning således at det bliver:
-kx
+ f(x)*(-k)e
-kx
-kx
+ f(x)*(-k)e
-kx
=0
-kx
kx
ved differentiering af n*e
kx
fås:
kx
=k*ne
kx
=k*f(x)
6
Carstensen og Fransen s. 80-81
8
Newtons afkølingslov
Newtons afkølingslov beskriver hvordan et stof afkøles over tid ved denne formel:
-T
omg
) hvor T>T
omg
Først og fremmest er p effekten der forsvinder ud af kassen. Man kan illustrere det med denne tegning.
T
inde
ude
Her løber energien ud af kassen pga. af at energien inde i kasse er større end uden pga. naturen vil
løber ud af kassen pr tidsenhed dvs. hvis vi finder et andet udtryk for p:
Vi kender også hvilke variable som afhænger af energien det kommer til udtryk i varmeloven:
=dT/dt det fortæller om ændring af temperatur pr tids enhed. Med disse omskrivninger må vi kunne lave
dette udtryk for P
P = dE/dt = m*c*dT/dt
a= overflader(a)* isolations evne(k)
T= temperatur
Vi har i matematik afsnittet fundet en løsning til differentialligningen y=c*e
kt
regnet på
differentialligningen
Newtons afkølingslov beskriver hvordan et stof afkøles ved denne differentialligning
=
-k*(T-T
omg
) u
Vi vil i det følgende prøve at nå frem til dette udsagn
Vi kan dermed omskrive vores formel for afkølingsloven
9
-T
omg
) hvor T>T
omg
Vi ved at p er effekt som jo er J/s. derfor må det være =
. Vi ved også at u*a er =a
=u*a(T-T
u
) da p er effekt som jo er J/s. a= u*a
(T-T
u
) her indsætter vi
=u*a * p her får vi differentialkvoifietenten fra
=-
T-T
omg
=
=
-k*(T-T
omg
) da
= k da de fire variabler er konstanter.
Newtons opvarmningslov
Ved newtons afkølingslov var formlen M*c
=-u*A(T-T
u
)
Vi bliver dog nød til at få et ekstra led på således at formlen bliver M*c
=-u*A(T-T
u
)+P
pære
Fordi ved opvarmning bruger vi effekten fra en pære til at varme kassen op.
vi har fra matematikkens verden lavet en model for opvarmningsloven med differentialligningen
=ay+b vi vil nu bruge løsningen til denne differentialligningen -
+c*e
at
og sætte det sammen med
fysikkens formel for at se om der er sammenhæng mellem modellen og loven.
Vi kan hermed se at løsningen fra matematikkens verden passer med fysikkens grunden til at a for
fortegnet er fordi vi har med opvarmning at gøre.
Vi kan altså bekræfte at løsningen er -
+c*e
at
hvis vi dermed sætter t= 0 så må vi få T-T
omg
=0 fordi temperaturen er i starten den samme inde og
uden for kassen.
Vi sætter dermed udtrykket til at være 0:
0=-
+c*1
=c
/-
= -
<0
10
Vi har altså fundet af nu at c er af negativ værdi. så må
max
og
dvs. den energi som kommer ind i kassen bliver nok den samme som forlader den. Dermed må vi
få: P
pære
=-U*A*(T
max
-T
omg
-
=(T
max
-T
omg
) = c
Denne model for opvarmning har jeg også afprøvet praktisk. Fordi indtil videre har vi kun entydige
løsninger til disse konstanter som ikke kan fastlægges. Dem kan vi finde ved et forsøg.
Modellering - metode
7
I matematik modellering går det ud på at beskrive problemer fra virkeligheden som fx beskrevet i
. Man kan inddele denne modellering i 3 afsnit
Matematisering.
Her analyseres problemet fra virkeligheden. Man finder de variable der beskriver problemet som
man kan bruge i en ligning.
hvilke variable som indgår ved afkøling og opvarmning.
Matematisk analyse.
ved matematisk analyse løser man ligningerne ligesom jeg har gjort under afsnittet løsning af
differentialligning
Fortolkning og vurdering.
Ved dette sidste trin sammenligner man den matematiske model til virkeligheden. Hvis det viser sig
der er en god overensstemmelse så er det en god model. Hvis dette ikke tilfældet så må man
forbedre sin model ved at se om man har taget højde for alle variable ellers må man forkaste
modellen. Dette trin har jeg skrevet under
Forsøg newtons opvarmningslov
Her brugte vi en flamingokasse hvor vi puttede en elektriskpære ned i den. Herefter tog vi
termometre som skulle måle temperaturen både inde og ude for kassen. Her skete der en
opvarmning i kassen fra pæren, her blev en computer tilsluttet til at måle temperaturen hvert 2.
sekund. Her fik vi disse data. (se bilag 1.)
Hvis vi ser på bilag 1. så har jeg lavet de praktiske målinger og beregnet de teoretiske målinger(jeg
har ikke alle sammen med pga plads mangel). Her har jeg så lavet to grafer med sekunder på x-
aksen og temp. På y-aksen. Den røde graf angiver den teoretiske værdi t/s og den blå angiver de
7
Fogh og Nielsen s.249-250
11
praktiske data som vi har målt med samme enhed t/s. umiddelbart kan man se at graferne må have
samme funktion med samme konstanter, da graferne ligger tæt på hinanden. Det bliver også
bekræftet af vores S
2
som er 124,966911 som afhænger af 3 konstante.
Denne s
2
værdi fortæller noget om afvigelse
2
med vores teoretiske måling og praktiske, fordi det er
i anden er sådan det ikke bliver negativt tal. Men skal også huske på at maskinen har målt 1094
målinger, dermed kan man sige at afvigelsen er ikke særlig stor i forhold til så mange målinger.
I vores beregninger fandt vi også ud værdien af de konstante for differentialligningen y=-
+c*e
at
hermed går jeg ud fra at de 3 konstante l ligningen a, b cmed værdierne: a=29 b= -
86 c= 51må have næsten samme værdi hvis jeg beregnede de praktiske
værdier for konstanterne. Pga. grafernes placering.
Dermed må differentialligningen for opvarmning være: y=-
+51*e
29*t
Konklusion
I denne opgave har nu fundet ud af at en differentialligning er en ligning, hvor den ubekendte er en
funktion y=f(x). Vi har også fundet ud af at man kan udtrykke sit problem med en
differentialligning fx antallet af får som falder ved tiden.
Desuden har vi vist at de to differentialligninger dy / dx = k * y og dy / dx = ay+ b.
at dy / dx = k * y kan beskrive Newtons køling lov og dy / dx = ay + b kan beskrive Newtons
opvarmningslov.
Så jeg brugte differentialligninger og satte dem sammen med ligninger fra fysik, og resultatet var,
at der var teoretisk forbindelse mellem fysik og matematik. Herefter fandt vi ud af denne
teoretiske løsning stemte overens med de praktiske data. Da jeg lavede et
eksperiment med fire andre fyre. Jeg kunne faktisk bestemme, hvilken
værdi jeg skulle give konstanterne a, b og c i opvarmningslov.
Litteraturliste
Vejen til Matematik A2 Knud Erik Nielsen Esper Fogh Forlaget HAX
MAT 3H Z Jens Carstensen Jesper Frandsen Forlaget Systime
Forsøget med opvarmning har jeg lavet sammen med Andreas T Martin HT og Johan Krogshave.
12
Bilag 1