1
SRO 2015
Fag: Matematik og fysik
Lærere:
STX 2.g
Skole:
STX 2.g
OPGAVEFORMULERING
Titel: Nuklearmedicinsk fysik
I opgaven skal du kort redegøre for arbejdsgangen vedrørende fabrikering og anvendelse af Tc-
mærket DPD på Nuclearmedicinsk Afdeling, Århus Sygehus, herunder skal du redegøre for den
eksperimentelle opstilling ved knoglescintigrafi samt ”fortolkning” af knoglescintigrafi optagelser-
ne. Nedenstående spørgsmål hjælper dig på vej.
Beskriv kort princippet i Technetium ”Malkekoen”
99
Tc*
1
dannes ved et
-henfald af
99
Mo. Den dannede
99
Tc*- har en exitationsenergi på
140,5keV og henfalder til grundtilstanden
Opskriv henfaldsskemaet og henfaldsdiagrammet for henfaldet af
99
Mo. Beregn Q-værdien
for henfaldet.
Forklar hvordan man matematisk kan modellere antallet (og dermed aktiviteten) af
99
Mo,
99
Tc* og
99
Tc i henfaldskæden der foregår i malkekoen.
o Forklar hvordan differentialligningerne (6) fremkommer
2
.
o Løs ligning 1. i (6) vha. ”separation af de variable” og eftervis at (7) og (8) er løsnin-
ger til differentialligningerne nr. 2 og 3 i (6). Omskriv de tre udtryk for antal kerner
til udtryk for aktivitet, A(t).
1
Undertiden skrives
99
Tc* som
99
Tc m, da exciterede kerner også kaldes metastabile kerner
2
Ligningsnumrene i de følgende punkter henviser til det udleverede dokument ”Matematiske_modeller…..doc”
2
o Anvend det udledte udtryk for A
2
(t) til at plotte en graf over aktiviteten af
99
Tc*
som funktion af tiden, hvis man ikke udvasker technetium til undersøgelser. Plot
også grafen for aktiviteten af
99
Mo (dvs. A
1
(t)) i samme koordinatsystem. For at
kunne plotte funktionen skal du kende
2
. Denne værdi skal du finde ud fra de ud-
levere måledata for aktiviteten af
99
Tc*. Brug i dine plots at start-aktiviteten af
99
Mo
er på 43 GBq, at startaktiviteten for
99
Tc* er 0.
Diskuter kort aktivitetskurvernes forløb for
99
Tc* og
99
Mo. Hvornår er det bedst at mal-
ke/eluere generatoren?
På Nuklearmedicinsk afdeling elueres Technetium-generatoren (Malkekoen) hver morgen
inden dagens patienter ankommer. Producer nu selv grafer (i samme koordinatsystem) for
aktiviteten af
99
Tc* og
99
Mo for de første 48 timer (dvs. 2 malkninger).
Demonstrer evt. hvorledes dine producerede udtryk for aktiviteterne A
1
(t) og A
2
(t) kan anvendes
til at løse problemstillingen beskrevet på det vedlagte bilag omhandlende en akut patient.
Ved en undersøgelse indsprøjtes Tc-mærket DPD i en patient. I det følgende skal du regne på det-
te. En person der vejer 70 kg får indsprøjtet en mængde
99
Tc*med aktiviteten 700MBq.
Beregn massen af den mængde
99
Tc* som blev indsprøjtet?
I det følgende antages at kroppen består af vand. I DATABOGEN er anført halveringstykkelsen for
absorption af gammastråling i vand.
Find halveringstykkelsen af -stråling i vand. Hvorfor er det rimeligt at antage at kun en vis
brøkdel af strålingen absorberes i kroppen.
Det antages at 60 % af fotonerne afsætter deres energi samt at
99
Tc* øjeblikkeligt fordeles jævnt i
kroppen. Endvidere antages at
99
Tc*ikke udskilles fra kroppen.
Hvor stor er den absorberede dosis og den ækvivalente dosis, som patienten modtager i
løbet af behandlingen.
Du skal gennemføre et eksperiment hvor halveringstykkelsen af -stråling i bly bestemmes. Øvel-
sen udføres på Risskov Gymnasium. Ved vurderingen vil der blive lagt vægt på formidlingen af ud-
førelsen af forsøget, præsentation af data samt behandlingen af data.
3
ABSTRACT
This paper examines how the technetiumgenerator at the Department of Nu-
clear Medicine, Aarhus University Hospital, works, as it produces the radioac-
tive substance
99
Tc*. The isotope
99
Tc* is frequently used in the creation of
scintigraphy, which in other words is an internal picture of the body and its or-
gans. In order to obtain as big an activity of
99
Tc* as possible, you have to leach
the generator at an exact time, which can be calculated by using a number of
differential equations expressed in a multi-compartment model that explains
the radioactive decays. To understand how an amount of
99
Tc* leads to the
creation scintigraphy, it is necessary to explain the physics behind the gamma
cameras. These cameras works in connection with the injection of
99
Tc*in the
patient’s body, which is the reason why, an example on an examination of pa-
tient is calculated and analysed in this study. During this paper it is described
why Compton scattering of photons appears, which is developed further in the
experiment dealing with the half-value layer of gamma radiation in lead. The
investigations in this paper showed that
99
Mo decays to
99
Tc* inside the genera-
tor by a beta minus decay. The use of differential as mathematical method de-
scribes that
99
Tc* reaches its maximum activity after 23.1 hours, which there-
fore is the proper time to leach the generator. To do a scintigraphy you have to
inject a patient with a compound of
99
Tc*, which the gamma camera subse-
quently registers because of the flashes that the photons in
99
Tc* emit. If pho-
tons that contain energy between 30 keV and 10 MeV affect a material such as
human tissue Compton scattering occurs, which means that a photon liberate a
part of its energy to an electron. It results in the shaping of a new photon that
has another direction and is smaller than the regular one. Compton scattering
also appears in the experiment, which is concluded in light of the difference be-
tween the first and second measurement.
4
INDHOLDSFORTEGNELSE
OPGAVEFORMULERING ............................................................................................................................................ 1
ABSTRACT ..................................................................................................................................................................... 3
INDLEDNING ................................................................................................................................................................. 5
TECHNETIUMGENERATOREN ................................................................................................................................. 5
HENFALDET I TECHNETIUMGENERATOREN ..................................................................................................... 6
KOMPARTMENTMODELLEN.................................................................................................................................... 7
ISOTOPERNES AKTIVITET ....................................................................................................................................... 8
AKTIVITETEN UDEN ELUERING ............................................................................................................................. 9
AKTIVITETEN MED ELUERING ............................................................................................................................. 10
MEDICINSK ANVENDELSE ...................................................................................................................................... 11
STRÅLINGSCASE ........................................................................................................................................................ 12
DYBDEDOSISKURVER .............................................................................................................................................. 13
COMPTONSPREDNING ............................................................................................................................................. 14
HALVERINGSTYKKELSEN AF GAMMASTRÅLING I BLY ................................................................................ 15
KONKLUSION .............................................................................................................................................................. 17
LITTERATURLISTE ................................................................................................................................................... 19
BILAG ............................................................................................................................................................................. 20
5
NUKLEARMEDICINSK FYSIK
INDLEDNING
Isotopen
99
Tc* er det mest anvendte radioaktive sporstof indenfor medicinalverdenen til billed-
dannelse af kroppens indre funktioner – herunder scintigrafi, hvis formål er at danne såkaldte
funktionsbilleder, der herigennem oplyser om organernes fysiologiske funktioner. I denne opgave
redegøres der for produceringen af
99
Tc* i technetiumgeneratoren på Nuklearmedicinsk Afdeling
på Aarhus Universitetshospital. Henfaldene i denne generator illustreres ved brug af kompart-
mentmodellen, som også benyttes til at opskrive udtrykkene henfaldsmedlemmernes antal af ker-
ner og aktivitet. Dernæst analyseres aktiviteten af
99
Tc*, hvor der tages højde for den daglige elue-
ring af technetiumgeneratoren, således at
99
Tc* er klar til dagens undersøgelser. I tråd med dette
forklares forståelsen bag gammakameraet og muliggørelsen af billeddannelse ved brug af radioak-
tive sporstoffer. Herved analyseres isotopernes adfærd, hvilket underbygges yderligere af en fiktiv
strålingscase samt det eksperimentelle forsøg: Halveringstykkelsen af gammastråling i bly.
TECHNETIUMGENERATOREN
Technetiumgeneratoren, som ses på billedet til højre
3
, har den
funktion, at den kan producere
99
Tc*. Da halveringstiden for
99
Tc*
er på kun 6 timer
4
, medfører det, at hospitalerne selv må produ-
cere stoffet, hvilket altså er generatorens funktion. Det foregår
således, at technetiumgeneratoren består af en ionbyttersøjle,
hvor
99
Mo sidder bundet, der henfalder til
99
Tc* med en halve-
ringstid på 67 timer. ”Da
99
Mo har en længere halveringstid end
99
Tc*, vil mængden af radioaktivt
99
Tc* efterhånden vokse op,
indtil der nås en aktivitet, der er bestemt af
99
Mo’s aktivitet.”
5
Denne graf over de to isotopers aktivitet vises under afsnittet ”aktiviteten uden eluering”. Isoto-
pen
99
Tc* har andre kemiske egenskaber end
99
Mo, hvilket muliggør den adskillelse, som hænder
3
Billedhenvisning: Det udleverede dokument:”Matematiskemodeller_del3_elever_v2…docx”: S. 7.
4
Udregnet vha. det udleverede excel-ark: Tc_henfald_elever.xls
5
”Matematiskemodeller_del3_elever_v2…docx”: S. 6.
6
ved at gennemskylle ionbyttersøjlen med en saltvandsopløsning. Denne proces kaldes for en elue-
ring og udskiller således en
99
Tc*-forbindelse. Denne forbindelse hældes dernæst i forskellige præ-
fabrikerede opløsninger, der ved omrystning kan danne den eksakte
99
Tc*-forbindelse, som ønskes
til den givne undersøgelse.
HENFALDET I TECHNETIUMGENERATOREN
I technetiumgeneratoren henfalder
99
Mo til
99
Tc* ved et betaminushenfald, hvilket hænder, når
der er for mange neutroner inde i en isotops kerne. ”Ved denne proces omdannes en neutron til en
proton. Desuden udsendes en lille partikel uden ladning og næsten uden masse. Den kaldes en an-
tineutrino og betegnes
.”
6
Derfor ser henfaldet i technetiumgeneratoren således ud:
.
Henfaldsdiagrammet for denne henfaldskæ-
de er vist på figuren til højre
7
. Herpå ses det,
at
99
Tc* henfalder til grundtilstanden
99
Tc,
som faktisk også er radioaktivt, da den hen-
falder til
99
Ru ved et betaminushenfald. ”(…),
men halveringstiden for denne proces er så
stor (
år), at
99
Tc i praksis kan betrag-
tes som stabil.”
8
Jeg vil nu beregne henfaldets Q-værdi, hvilket defineres som henfaldets tilvækst i kinetisk energi –
altså
. En proces’ Q-værdi kan beregnes ud fra Einsteins formel, der her skrives som:
, hvor er massetabet og c er lysets hastighed. Da det er et betaminushenfald,
findes massetilvæksten således:
. Da fortegnet er
negativt er der altså tale om et massetab, hvilket medfører, at henfaldets Q-værdi bliver følgende:
.
6
Gjøe, Tommy, m.fl. Orbit 2. Aarhus: Systime 1998: S. 28.
7
Billedhenvisning:”Matematiskemodeller_del3_elever_v2…docx”: S. 6.
8
Claussen, Carsten, m.fl. Spektrum – Fysik II. København: Gyldendal 2004: S. 240
7
KOMPARTMENTMODELLEN
Den ovenfor beskrevne henfaldskæde, hvor
99
Mo henfalder til
99
Tc*, som dernæst henfalder til
grundtilstanden
99
Tc, kan man matematisk modelleres ved brug af følgende kompartmentmodel
9
:
For modellen gælder, at N er antallet af kerner og k er lig henfaldskonstanten, som beskrives ved
, hvorom
er det radioaktive isotops halveringstid. På baggrund af denne model kan der
opstilles tre differentialligninger, som hver især beskriver antallet af kerner for hver tilstand.
Jeg kigger først på antallet af kerner i
99
Mo, som svarer til N
1
på figuren, hvilket beskrives ved føl-
gende differentialligning:
.
Da
99
Mo henfalder til
99
Tc*, betyder det, at antallet af kerner i
99
Mo mindskes som funktion af ti-
den, hvilket også begrunder det negative fortegn for k
1
. Løsningen til denne ligning finder jeg ved
isolere variablen N. Når det er gjort benyttes det bestemte integral, hvilket får udtrykket til at se
således ud:
. Integralets startgrænser, N
0
og 0, udgør her startværdien for
henholdsvis antallet af kerner og tiden. Dette integral løses, hvorefter jeg benytter den omvendte
funktion til , hvilket medfører, at løsningen differentialligningen er:
Ovenstående løsning er også bedre kendt som henfaldsloven.
Herefter kigger jeg på antallet af kerner i
99
Tc*, som altså svarer til N
2
på ovenstående figur, hvor-
ved dette beskrives ved følgende differentialligning:
Da
99
Tc* udgør det andet medlem i henfaldskæden, modtager den de henfaldne kerner fra
99
Mo,
samtidig med at den selv mister kerner i og med, at den henfalder til
99
Tc. Løsningen til denne lig-
ning er angivet som:
9
Billedhenvisning:”Matematiskemodeller_del3_elever_v2…docx”: S. 4.
8
For at eftervise denne løsning differentieres den, da det gælder, at
:
Dernæst indsætter jeg løsningen for henholdsvis N
1
og N
2
i differentialligningen således:
Jeg udfører ovenstående trin for at kunne identificere leddene i henholdsvis
og
, da de
lig hinanden. Dette formår jeg ved at reducere udtrykkene ved bl.a. at lave falske brøker, gange
ind m.m., hvilket medfører at leddene altså identificeres, og løsningen hermed eftervises.
Antallet af kerner i
99
Tc, som er det sidste led, N
3
, på figuren, består af de henfaldne kerner fra
99
Tc* i og med, at
99
Tc er grundtilstanden. Dette kan beskrives således:
.
Løsningen til denne ligning ses nedenstående:
For at eftervise denne løsning benyttes følgende udtryk:
.
I dette udtryk isoleres N
3
, hvorefter løsningerne for N
1
og N
2
indsættes således:
Der er altså nu opstillet to udtryk for N
3
, hvorved disse reduceres, hvilket, ligesom i eftervisningen
for N
2
, medfører, at leddene i de to udtryk kan identificeres, som hermed efterviser løsningen.
ISOTOPERNES AKTIVITET
I forrige afsnit blev de tre udtryk for antallet af kerner som funktion af tiden beskrevet, som alle
kan omskrives til aktivteten som funktion af tiden. Dette gøres ved brug af følgende formel for
aktiviteten:
. Denne formel siger at for at finde aktiviteten af en isotop, så skal
antallet af isotopens kerner ganges med dens tilhørende henfaldskonstant, hvilket giver følgende:
1.
2.
3.
9
AKTIVITETEN UDEN ELUERING
Jeg ønsker at opstille en graf over aktiviteten for
99
Mo samt
99
Tc* som funktion af tiden, hvilket
gøres ud fra ovenstående udtryk for henholdsvis A
1
og A
2.
For at kunne gøre dette for først
99
Mo
benytter jeg oplysningerne om, at dets startaktivitet er 43 GBq og halveringstid 67 timer, hvilket
giver følgende forskrift:
. Dernæst findes forskriften for aktivi-
teten af
99
Tc* ved at benytte, at
99
Tc* har startaktiviteten 0 GBq samt en halveringstid på 6 timer.
Som det ses i udtrykket for A
2
, indgår A
01
, der her ændrer sig, da det kun er 90% af
99
Mo, som hen-
falder til
99
Tc*. Derfor bliver
. Da startaktiviteten for
99
Tc*er
lig 0 kan sidste led i udtrykket slettes, og hermed er forskriften følgende:
Grafen for aktiviteten af
99
Mo samt
99
Tc* som funktion af tiden vises nedenstående:
På ovenstående graf ses, at aktiviteten i starten af
99
Tc* stiger i takt med, at
99
Mo henfalder, indtil
den når til en given aktivitet, hvorefter den selv henfalder til
99
Tc. Da technetiumgeneratoren på
Nuklearmedicinsk Afdeling på Aarhus Sygehus elueres hver morgen kl. 07, antager jeg, at aktivite-
ten af
99
Tc* er størst efter 24 timer i og med, at den malkes én gang i døgnet. Denne antagelse vil
jeg kontroltjekke ved brug af differentialregning, som herved gør det muligt at beregne ved hvilket
10
timetal, at den største aktivitet for
99
Tc* forekommer. Denne udregning er lavet ved brug af
Maples solve-funktion:
. På baggrund af denne beregning samt kon-
troltjek med grafen og monotonilinjen (bilag 1) kan jeg konkludere, at her er tale om et lokalt
maksimum, og derfor er aktiviteten af
99
Tc* er størst efter 23 timer og 8 minutter. Det medfører,
at min antagelse er acceptabel i og med, at Nuklearmedicinsk Afdeling eluerer generatoren for
99
Tc* kun 52 minutter senere, end hvor dets aktivitet er størst.
AKTIVITETEN MED ELUERING
Som benævnt ovenfor eluerer Nuklearmedicinsk Afdeling technetiumgeneratoren én gang i døg-
net. Jeg antager, at der her elueres helt i bund, således at der intet
99
Tc* er tilbage. Det betyder
altså, at for hver eluering er startaktiviteten for
99
Tc* lig 0, hvorimod startaktiviteten for
99
Mo (A
01
)
i udtrykket for A
2
er lig 0.9 gange aktiviteten for
99
Mo (A
1
)
til det givne tidspunkt. For at eksempli-
ficere hvordan forskriften for aktiviteten af
99
Tc* ændrer sig for hver eluering, vises nu den for-
skrift, som forekommer, efter technetiumgeneratoren er elueret første gang:
Grafen for aktiviteten af
99
Mo samt
99
Tc* som funktion af tiden, hvor der tages højde for at der
dagligt elueres, ser således ud:
11
Det ses på ovenstående graf, at aktiviteten af den mængde
99
Tc*, som der elueres, mindskes i takt
med, at
99
Mo henfalder. Det er årsagen til, at Nuklearmedicinsk Afdeling ugentligt får leveret en ny
generator mod tilbagelevering af den gamle – fordi aktiviteten af
99
Tc* bliver for lille til, at det
længere kan benyttes.
MEDICINSK ANVENDELSE
Isotopen
99
Tc* benyttes, som benævnt førhen, til
scintigrafi. En sådan undersøgelse blev mulig at
udføre i 1958, hvor den amerikanske ingeniør Hal
O. Angers opfandt gammakameraet. Gammakame-
raet danner nemlig et billede af de indsprøjtede
radioaktive sporstoffers fordeling i kroppen, hvor
dets detektorhoved ses på figuren til højre
10
:
Billeddannelse af de radioaktive sporstoffer foregår ved, at en gammafoton absorberes i krystal-
len, hvilket medfører, at der udsendes et lysglimt. Lyslederen placeret bag krystallen fordeler det-
te lysglimt til en række fotomultiplikatorer, hvorved disse dernæst ”afgiver en elektrisk impuls, der
er proportional med den modtagne lysmængde, som igen er afhængig af, hvor lysglimtet kom.”
11
Fotonernes energi og placering kan herved bestemmes, når signalerne fra alle fotomultiplikatorer
analyseres samtidig – og det er netop hvad, der skaber billeddannelsen.
Det stof, hvori
99
Tc* er iblandet, som skal indsprøjtes i patienten ved bl.a. scinti-
grafi, varierer afhængig af, hvilken del af kroppen, man ønsker at undersøge. For
eksempelvis ved udføring knoglescintigrafi, indsprøjtes et stof bestående af
99
Tc*
og fosfat. Det medfører nemlig, at
99
Tc* vil optages i knoglevævet, og specielt de
steder, hvor omsætningen af knoglevæv er størst, hvilket bl.a. optræder ved knog-
lebrud, vækstzonerne, betændelse, kræft m.m. Et eksempel på en sådan
knoglescintigrafi ses på billedet til højre
12
, hvilket er undersøgelsen af en 8-årig
10
Billedhenvisning: Claussen, Carsten, m.fl. Spektrum – Fysik II. København: Gyldendal 2004: S. 240
11
Claussen, Carsten, m.fl. 2004: S. 240
12
Billedhenvisning: Samme: S. 241
12
pige, som uden tvivl er i voksealderen, hvilket kan ses i og med, at lysglimtet fra de radioaktive
sporstoffer optræder i vækstzonerne såsom knæleddene. Scintigrafi kan dog også benyttes i man-
ge andre sammenhænge – som f.eks. ved hjerte- og lungeundersøgelser.
STRÅLINGSCASE
På Nuklearmedicinsk Afdeling ville en typisk case være, at en patient på eksempelvis 70 kg ved en
undersøgelse vil få indsprøjtet en mængde
99
Tc* med aktiviteten 700 MBq ind i sig. Massen af
denne mængde
99
Tc* beregnes ved først at benytte formlen for aktiviteten, hvori N er isoleret og
værdien af k er indsat således:
. Da jeg ved, at
99
Tc* har en halveringstid på 6 timer, bli-
ver N følgende:
. Dette tælletal omregner jeg til mol (
13
for således at kunne beregne massen af
99
Tc* ved , hvor molarmassen er
givet ved 98.0 g/mol og stofmængden ved 36.3 pmol. Det medfører, at massen af den mængde
99
Tc*, som sprøjtes ind i patienten, er:
.
For at finde ud af hvorledes halveringstykkelsen af
99
Tc* forholder sig i kroppen, antager jeg, at
kroppen består af vand, hvorved halveringstykkelsen i vand for
99
Tc* er 5 cm
14
. Jeg antager altså,
at det kun er en vis brøkdel af det indsprøjtede
99
Tc*, som absorberes i patientens krop. Denne
antagelse vil jeg bekræfte ved at eksemplificere en situation, hvori en patients krop bestråles.
Herved forudsætter jeg, at en gennemsnitlig menneskekrop maksimalt er 20 cm dybt, hvilket be-
tyder, at jeg her tager udgangspunkt i bestrålingen af det tykkeste område. I og med at halverings-
tykkelsen for
99
Tc* er 5 cm, når det altså at halveres 4 gange i løbet af dets passering af de 20 cm,
hvilket medfører, at følgende brøkdel ikke absorberer strålingen:
. Denne beregning er
dog baseret på det område, hvor kroppen er dybest, og kan derfor ikke generaliseres til hele krop-
pen. Derfor benytter jeg nu en dybde på 10 cm i stedet, hvilket medfører at stoffet kun halveres 2
gange, og derfor undslipper følgende brøkdel strålingen:
. Her ses altså, at dybden på det
bestrålede område har sammenhæng med størrelsen på brøkdel, som ikke absorberer strålingen.
13
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Enhedssystemer,_konstanter_og_normaler/Av
ogadros_konstant
14
Strandgaard Andersen, Erik, m.fl. Databog – Fysik & Kemi. København N: F&K Forlaget: S. 216.
13
På baggrund af disse eksempler kan jeg altså konkludere, at mine antagelser er korrekte.
Patienten, som får sprøjtet
99
Tc* i sig, vejer 70 kg. Denne information vil jeg benytte til at beregne
den absorberede dosis samt ækvivalente dosis, som patienten modtager i løbet af behandlingen.
Jeg antager derfor, at 60% af fotonerne afsætter deres energi, og at
99
Tc* øjeblikkeligt fordeles
jævnt i patientens krop uden at udskilles derfra. Dernæst beregner jeg den absorberede dosis ud
fra formlen:
. Den absorberede energi, E
abs
, beregner jeg ved at gange tælletallet for
99
Tc*
med dets tilhørende exitationsenergi på 140.5 keV samt til sidst 0.6 (fra antagelsen om de 60%)
således:
. Herved kan jeg nu beregne den absor-
berede dosis til følgende:
.
Enheden Gy er givet ved
, hvilket også er gældende for enheden Sv, som beskriver den ækviva-
lente dosis, hvilken jeg beregner ud fra formlen: . ”Q er en særlig kvalitetsfaktor. Dens
værdi afhænger af strålingens energi, men især af strålingens art.”
15
For gammastråling, hvilket
99
Tc* defineres som, er Q-værdienlig 1, hvilket medfører, at
.
DYBDEDOSISKURVER
På ovenstående case beregnede jeg
størrelsen af den absorberede dosis
samt den ækvivalente dosis, som den
patienten på 70 kg modtog i løbet af
sin behandling. Det viser sig, at der er
en sammenhæng mellem dosispro-
centen og dybden af det område, der
bestråles, hvilket er illustreret på figu-
ren til højre
16
. Jeg vælger at tage
gangspunkt i den røde kurve, som fremkommer, når behandlingsgeneratoren er indstillet til 4 MV.
Denne kurves maksimale dosis optræder i dybden 1.1 cm, hvilket betyder, at dosisprocenten i
denne dybde altså er 100 %. Den røde kurve aflæses således, at ”i dybden 10.0 cm er dosisprocen-
15
Gjøe, Tommy, m.fl. Orbit 2. Aarhus: Systime 1998: S. 49.
16
Billedhenvisning: K. Christensen, Brian. Uddrag fra Medicinsk Fysik. Fysikforlaget 2005: S. 45.
14
ten 63%. Det betyder, at hvis der i dybden 1.1 cm afsættes en dosis på 2.00 Gy, vil der i dybden
10.0 cm afsættes en dosis på 63% af 2.00 Gy, hvilket er 1.26 Gy (…).”
17
Det er dog bemærkelses-
værdigt, at den kurvernes maksimale dosis først optræder efter en dybde på 0 cm, hvilket kan for-
klares ud fra teorien om fotoners comptonspredning, som uddybes nedenfor.
COMPTONSPREDNING
Comptonspredning hænder, hvis fotonerne har en energi mellem 30 keV og 10 MeV, hvilket er
gældende for de to kurver på figuren ovenfor. Som illustreret på figuren nedenfor
18
foregår comp-
tonspredning således, at en foton afgiver noget af sin energi til en elektron, der oftest er placeret i
en af de yderste skaller, hvorved denne elektron løsriver sig fra sit atom. I og med at fotonen har
afgivet noget af sin
energi til elektronen,
medfører det, at der
dannes en ny og lidt
mindre foton, som lø-
ber i en lidt anden ret-
ning – den bliver altså
comptonspredt så at sige. En foton comptonspredes indtil den når en energi på 30 keV, hvor
comptonspredningen her erstattes af fotoelektrisk effekt. Der altså er tale om comptonspredning,
så snart en foton i det definerede energiinterval rammer et stof som eksempelvis menneskevæv,
hvilket forklarer, hvorfor den maksimale dosis på ovenstående kurve først optræder i en vis dybde
menneskevæv efter 0 cm. Princippet med comptonspredning illustreres også i mit eksperimentelle
forsøg, hvilket beskrives nedenfor.
17
K. Christensen, Brian. Uddrag fra Medicinsk Fysik. Fysikforlaget 2005: S. 45.
18
Billedhenvisning: K. Christensen, Brian. 2005: S. 40
15
HALVERINGSTYKKELSEN AF GAMMASTRÅLING I BLY
I forbindelse med vores SRO-undervisningsforløb udførte vi et forsøg på Risskov Gymnasium, hvis
formål var at bestemme halveringstykkelsen af en gammakilde i bly. For at udføre dette eksperi-
ment benyttede vi et GM-rør, en gammakilde (
137
Cs), blyplader, en stang, stativer, LoggerPro samt
LabQuest, hvilket vi opstillede som vist nedenstående:
Efter at have opstillet materialerne som vist ovenstående, målt tykkelsen af blypladerne, tilsluttet
GM-røret til LabQuest-udstyret og dernæst til LoggerPro, påbegyndte vi forsøget, som bestod af i
alt 8 målinger varende 180 sekunder stykket. Disse måleresultater er angivet nedenstående:
På ovenstående måleresultater det tælletal, som GM-røret registrerede, for hver måling angivet.
Derudover er spredningen,
, samt den relative usikkerhed,
, beregnet, da de beretter om,
hvor stor en usikkerhed, der forekommer. I LoggerPro har jeg afbildet en graf for tælletallene som
funktion af blypladernes tykkelse, hvorpå jeg har fittet en funktion med udgangspunkt i svækkel-
sesloven:
. I denne formel gælder, at I er intensiteten, x er tykkelsen og er ab-
sorptionskoefficienten, som er givet ved
, hvorom
er halveringstykkelsen, som netop
er forsøgets formål at bestemme.
16
Denne graf ses nedenstående:
Forskriften for ovenstående funktion er:
. Årsagen til, at tælle-
tallet her kan benyttes i stedet for intensiteten, er, at tælletallet og intensiteten er proportionale –
altså . Det vil sige, at hvis k ganges ind på begge sider af lighedstegnet i svækkelsesloven,
så fremkommer følgende udtryk:
. Det ses her, at
sidste led i de to udtryk er ens, hvilket netop også er det led, hvori absorptionskoefficienten og
herved halveringstykkelsen, som vi ønsker at finde, indgår i.
I forskriften aflæses absorptionskoefficienten til at være . Denne benytter jeg til at
beregne halveringstykkelsen, som isoleres i formlen og herved bliver:
mm.
Det vil altså sige, at forsøget giver en halveringstykkelse for
137
Cs i bly på 6.47 mm., hvilket jeg nu
gerne vil sammenligne med dets tabelværdi. Isotopen
137
Cs henfalder inde i kernen til
137
Ba* ved
både gamma- og betaminusstråling, men da betaminusstrålerne bliver fanget inde i kernen, er det
derfor kun gammastrålerne, som undslipper. På baggrund af dette er det herved
137
Ba*, som jeg
sammenligner med, hvis tabelværdi for halveringstykkelsen i bly er 6.5 mm. Vores forsøgsværdi
afviger derfor følgende antal procent fra tabelværdien:
. Det vil
altså sige, at vores forsøgsværdi kun afviger 0.5% fra tabelværdien.
17
I forhold til comptonspredning, som kan eksemplificeres yderligere igennem dette forsøg, ses det
på både grafen og målingerne, at det største tælletal forekommer ved anden måling, hvor der alt-
så var påsat én blyplade. Herved er tælletallet ved målingen uden nogle blyplader altså lavere,
hvilket ses i og med, at det er lig 9274, hvorimod det maksimale tælletal med én blyplade er
10224. Det skyldes altså, som førhen forklaret, at fotonerne ved målingen med én blyplade comp-
tonspredes, når de rammer blypladen, hvilket målingen uden en blyplade ikke har mulighed for.
I og med at vores forsøgsværdi for halveringstykkelsen af
137
Cs i bly kun afviger 0.5% fra tabelvær-
dien, medfører det, at det er begrænset, hvor meget forsøget kan optimeres. Fejlkilder, som dog
muligvis kunne spille en rolle, ville bl.a. være baggrundsstrålingen, som der i forskriften er taget
højde for med konstantleddet C. Dog er baggrundsstrålingen ikke konstant, hvilket er et faktum,
som kan påvirke forsøget. Derudover er forholder afstanden fra gammakilden til den første
blyplade sig heller ikke konstant, hvilket skaber usikkerheder, da afstanden helst skulle forblive
den samme. En anden væsentlig usikkerhed er gammakildens afstand til GM-røret, da en stor af-
stand forårsager lave tælletal i og med, at atmosfærisk luft bremser en vis procentdel af strålingen
– dog er det ved denne opstilling en afstand på kun 2 cm.
KONKLUSION
I denne opgave omhandlende nuklearmedicinsk fysik beskrev jeg først technetiumgeneratoren,
hvori
99
Mo henfalder til
99
Tc* ved følgende betaminushenfald:
. Dette
henfalds Q-værdi beregnede jeg til at være lig 15.14 pJ. Når
99
Tc* er dannet henfalder det ligeledes
videre til grundtilstanden
99
Tc, hvorved denne henfaldskæde kan beskrives ved brug af kompart-
mentmodellen. Heri opskrives tre differentialligninger, hvis løsninger beskriver antallet af kerner
for hver enkelt af henfaldsmedlemmerne. Disse tre løsninger omregnede jeg til aktivitet ved brug
af formlen
. Udtrykkene for A
1
og A
2
arbejdede jeg videre på ved i A
1
at benytte
halveringstiden for
99
Mo på 67 timer og dets startaktivitet på 43 GBq. I A
2
indsatte jeg halverings-
tiden for
99
Tc* på 6 timer og dets startaktivitet på 0 GBq. I dette udtryk tog jeg også højde for at
til det givne tidspunkt. Ved således at analysere aktiviteten for henholdsvis
99
Mo og
99
Tc*, med henblik på den daglige eluering af technetiumgeneratoren, fandt jeg ved brug
af differentialregning frem til, at aktiviteten af
99
Tc* optræder størst efter ca. 23 timer.
18
Dernæst redegjorde jeg for gammakameraets billeddannelse, hvilket udgjorde den fysiske forstå-
else bag den efterfølgende strålingscase. I denne case beregnede jeg, at den vilkårlige patient fik
indsprøjtet 3.6 ng.
99
Tc* i sig i forbindelse med behandlingen. Herved fastlog jeg også ved enkelte
beregninger, at det kun er en brøkdel af ovenstående mængde stråling, som absorberes i kroppen.
I og med at patienten vejede 70 kg, kunne jeg beregne, at vedkommende modtog en absorberet
dosis på 4.23 mGy og en ækvivalent dosis på 4.23 mSv i løbet af behandlingen. I tråd med disse
dosisudregninger analyserede jeg dybdedosiskurverne, hvilke afspejler fænomenet comp-
tonspredning, som forekommer, når en foton afgiver noget af sin energi til en elektron, og der
herved dannes en ny foton med en mindre energi og anden retning. Herved begrunder dette fæ-
nomen, hvorfor energien af en foton forekommer højere i kontakt med et materiale som f.eks.
menneskevæv, end hvis den ikke var. I forsøget Halveringstykkelsen af gammastråling i bly blev
fotonernes comptonpredning også illustreret, hvor dette forsøges formål var at bestemme halve-
ringstykkelsen for
137
Cs i bly, som vi fik til 6.47 mm., hvilket kun afviger 0.5% fra tabelværdien.
19
LITTERATURLISTE
- Avogrados konstant:
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Enhedssystemer,_k
onstanter_og_normaler/Avogadros_konstant
- Claussen, Carsten, m.fl. Spektrum – Fysik II. København: Gyldendal 2004
- Det udleverede dokument: ”Matematiskemodeller_del_3…doc”: S. 6.
- Det udleverede excel-ark: ”Tc_henfald_elever.xls”
- Gjøe, Tommy, m.fl. Orbit 2. Aarhus: Systime 1998
- K. Christensen, Brian. Uddrag fra Medicinsk Fysik. Fysikforlaget 2005.
- Strandgaard Andersen, Erik, m.fl. Databog – Fysik & Kemi. København N: F&K Forlaget
20
BILAG
Bilag 1: