[SRO I MAT-FYSIK]
[Vælg datoen]
SRO I MATEMATIK-FYSIK
Anvendelse af eksponentielfunktioner i fysik
[navn fjernet]
2T, JU og KC
Måling som funktion af tiden
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
2
INDHOLDSFORTEGNELSE
Engelsk resume ........................................................................................................................................... 3
Problemformulering ................................................................................................................................. 3
Indledning ................................................................................................................................................. 3-4
Eksponentielle funktioner .................................................................................................................. 4-5
Differentialligninger .................................................................................................................................. 5
Newtons afkølingslov ............................................................................................................................ 6-7
Forsøg: afkøling af vand ................................................................................................................................... 7-9
Svækkelsesloven .................................................................................................................................. 9-10
Forsøg: Absorption af
-stråling i bly ...................................................................................................... 10-11
Henfaldsloven ..................................................................................................................................... 11-13
Forsøg: Måling af ølskum ............................................................................................................................ 13-15
Konklusion ................................................................................................................................................. 15
Litteraturliste ............................................................................................................................................ 15
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
3
ENGELSK RESUME
This assignment is about exponential functions and differential equations, and the use of
those in the course of physics. A differential equation doesn’t have a number as solution, but it
is a equation for one or several variables that relates the values of the function itself and its
derivatives of various orders. In the assignment there would be examples of the use of
differential equations.
A series of experiments that will support some laws of physics, which all depicture how a
differential equation can be arranged for a physical problem and will show an exponential
development, will illustrate the use of mathematics in physics. The three laws chosen are:
1. Newton’s law of cooling
2. The law of weakening
3. The law of decay
From these laws it should be possible to underline the mathematical theory behind the
experiments, and therefore possible to show how the exponential functions and differential
equations are used in physics.
PROBLEMFORMULERING
Gør rede for eksempler på anvendelse af eksponentialfunktioner i fysik.
Inddrag som illustration af teorien, efter eget valg, mindst tre af de anførte eksempler. Vis ud
fra de valgte eksempler, at eksponentialfunktionen findes som løsning til matematisk set den
samme differentialligning.
Inddrag et eller flere forsøg, som illustrerer teorien.
INDLEDNING
I denne opgave vil jeg fokusere på anvendelsen af det matematiske i fysikken. Denne opgave
kigger nærmere på anvendelsen af eksponentielle funktioner i fysik, men også på hvordan
man opstiller en differentialligning for en fysisk problemstilling. En differantialligning er ikke
en ligning som man normalt kender den. Den har i modsætning til andre ligninger ikke et eller
flere tal som løsning, men en eller flere funktioner som løsning.
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
4
For at illustrere anvendelsen af matematikken i fysik har jeg udført en række forsøg for at
understøtte de valgte, fysiske love – der alle bygger på eksponentiel udvikling og afbilleder
hvordan man kan opskrive en differentialligning for disse. De fysiske love der vil blive
forklaret og udført eksperimentelt omhandler Newtons afkølingslov, svækkelsesloven og
henfaldsloven. Disse kan alle opstilles ved eksponentielle funktioner, og derved kan der også
opstilles en differentialligning for disse.
Det matematiske fag optræder i opgaven som et redskab til at understøtte de forventninger, vi
har til vores udførte forsøg i fysik. Den matematiske metode ligger vægt på anvendelsen af
eksponentielle funktioner, samt differentiering og differentialligninger. Den
naturvidenskabelige metode kommer til udtryk igennem forsøg og dataindsamling. Ud fra
dataindsamlinger opsættes en teori om, at vores data vil danne en eksponentiel udvikling, og
at der kan opsættes en differentialligning, og en løsning til denne ligning.
Opgaven vil altså indeholde konkrete eksempler, men også eksperimentelt udført arbejde, der
vil underbygge teorien om, at de udgør en eksponentiel udvikling.
EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Når man snakker om differentiable funktioner, er differentialkvotienten f´(x) et udtryk for
væksthastigheden. En eksponentiel udvikling kan udtrykkes ved en funktion af formen:
f x
b a
x
, a 0, b 0, a 1
som vi kender det fra en ret linje, har en eksponentiel funktion ingen hældningskoefficient.
Den eksponentielle vækst fremgår af differentialkvotienten, der er tangenthældningen til
tidspunktet x, og angiver netop den hastighed, som væksten forgår med, i det øjeblik. For den
eksponentielle vækst gælder det:
f x
b a
x
sådan at f x
b ln a a
x
heraf ses det, at væksthastigheden er proportional med funktionsværdien
f x
ln a f x
.
I andre tilfælde, hvor eksponentielle funktioner optræder i beskrivelse af vækstprocesser,
vælger man at udtrykke forskriften:
f x
b a
x
her benytter man, at
a e
ln a
og indfører
k ln a
. Dette medfører, at
a e
k
, og forskriften for f,
kan udtrykkes:
f x
b a
x
b e
k
x
b e
kx
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
5
differentierer vi dette udtryk, kommer vi frem til resultatet:
f x
b k e
kx
k f x
ved at benytte denne forskrift er det let at se om funktionen er aftagende eller stigende, da et
negativt
k
, vil bestemme at funktionen er aftagende.
En eksponentielt aftagende funktion af typen
f x
b e
k x
, k 0
har en såkaldt
halveringskonstant der betegnes:
T
1
2
ln
1
2
k
ln 2
k
1
Der vil i løbet af opgaven være eksempler på brugen af eksponentielle funktioner, men ønskes
et andet eksempel på brugen, kan et eksempel ses i MAT A1. s. 348-349
DIFFERENTIALLIGNINGER
En differentialligning er ligning hvori en funktion og dens afledede indgår som ubekendte.
Ligningen er af typen
f x
k f x
som vist ovenover.
2
Det kan vises, at der ikke er andre
funktioner end eksponentiel vækst der opfylder denne ligning. Den er altså en
differentialligning, altså beskriver den hvad den afledede funktion skal opfylde, og løses ved,
at finde de funktioner der opfylder ligningen. Den fuldstændige løsning til
differentialligningen:
dy
dx
k y f x
k f x
hvor k er en given konstant er givet ved:
f x
c e
k x
3
1
Claus Jessen, Peter Møller og Flemming mørk. ”Geometri, differentialregning og
sandsynligheder” 1998, nordisk forlag, 1. udgave, 1. Oplag . s. 179
2
Jens Carstensen, Jesper Frandsen og Jens Studsgaard: ”MAT A3”. 2008, 1. udgave, 2. Oplag s.
77
3
Claus Jessen, Peter Møller og Flemming mørk. ”Geometri, differentialregning og
sandsynligheder” 1998, nordisk forlag, 1. udgave, 1. Oplag . 179
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
6
NEWTONS AFKØLINGSLOV
Newtons afkølingslov siger, at den effekt
P
, hvorved en beholder afgiver energi til
omgivelserne, er proportional med temperaturforskellen,
T T
omgivelser
.
Her forstås
T
som beholderens temperatur, og
T
omgivelser
som stuetemperaturen. Det vil altså
sige, at:
P k T T
omgivelser
,
hvor
k
er en konstant.
Effekten af den afgivne energi pr tid. kan skrives:
P
Q
t
, hvor
Q
er den varme der er blevet
tilført beholderen. Beholderen afgiver varme, og
Q
er derfor negativt, da det skal afspejle den
afgivne varme til beholderen. Herudover gælder det, at
Q C T
, hvor C forstås som
beholderens samlede varmekapacitet.
For at bestemme en forskrift for en eksponentiel funktion, for temperaturen som funktion af
tiden, opstilles en differentialligning af formen:
dT
dt
k
C
T T
omg
Differentialligningen har løsningen:
(1)
T ( t) T
b
T
omg
e
k
C
t
T
omg
Differentialligningen kan opstilles ud fra de ovenstående formler:
P k T T
omgivelser
P
Q
t
Q C T
Ved at indsætte
Q C T
i
P
Q
t
fås:
P
C T
t
Indsættes denne i
P k T T
omgivelser
fås:
T
t
k
C
T T
omg
ved at lade
t
gå mod nul, tilnærmes brøken
T
t
at være lig differentielkoefficienten
dT
dt
.
Vi får så følgende differentialligning:
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
7
(2)
dT
dt
k
C
T T
omg
For tjekke at funktion for T er løsning til (2) differentieres først (1):
(3)
T (t )
k
c
T
b
T
omg
e
k
c
t
Herefter indsættes (1) og (3) i (2):
k
C
T
b
T
omg
e
k
C
t
k
C
T
b
T
omg
e
k
C
t
T
omg
T
omg
k
C
T
b
T
omg
e
k
C
t
k
C
T
b
T
omg
e
k
C
t
Dermed er det bevist at funktionen
T
, er løsning til differentialligningen
T
t
k
C
T T
omg
.
Funktionen
T (t) T
b
T
omg
e
k
c
t
T
omg
, stemmer godt overens med virkeligheden i den
forstand at den er lig begyndelsestemperaturen
T
b
for
t 0
og lig omgivelsestemperaturen
når
t
.
Når
t 0
i funktionen
T ( t) T
b
T
omg
e
k
c
0
T
omg
, bliver
e
k
c
0
=1, da alt opløftet i 0 giver 1. Vi
har udtrykket
T t
T
b
T
omg
T
omg
T
b
. Når
t
i funktionen
T ( t) T
b
T
omg
e
k
c
0
T
omg
,
går i funktionen
e
k
c
mod 0. Vi har her udtrykket
T t
T
b
T
omg
0 T
omg
T
omg
. Vi har her
bevist, at den temperatur beholderen har i starten og, at den temperatur beholderen har efter
meget lang tid, begge kan beskrives ud fra løsningen til differentialligningen.
Forsøg: varmt vand
Dette forsøg er udført med henblik på newtons afkølingslov og for at vise, at
forsøgsresultaterne ligger op af den fundne funktion, ud fra differentialligningen.
Opstillingen, som ses på billedet herunder opstilles:
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
8
i stedet for hele tiden og stå manuelt og notere temperaturen af vandet, sættes Logger Pro til
dette, og der dannes en graf under forsøgets udførelse. Inden forsøgets start måltes
stuetemperaturen til
22, 4C
. Starttemperaturen i vandet var 68,3 grader. Under forsøget
betragtede vi grafen, og vi kunne se, at under forsøget begyndte grafen at aftage
eksponentielt. Da vi kan se, at der er tale om en eksponentiel udvikling, kan vi snakke om en
halveringskonstant, som forklaret under afsnittet: eksponentielle funktioner.
De viste data er fratrukket 22,4 grader som var stuetemperaturen, dette er gjort da
funktionen ikke kan bestemmes i Excel med en konstant. Excel opstiller funktionen:
y 45,556 e
0 ,0005 x
. Det vil sige, at den rigtige funktion er:
T t
67,956 22, 4
e
0, 0005 x
22, 4
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
9
Beholderes temperatur er bestemt til
68
, hvilket stemmer godt overens med vores målte
begyndelsestemperatur, der var på
68, 3
. Det ses at
k
C
er lig 0,0005, desværre kan vi ikke
bestemme konstanterne i forsøget da vi ikke har nogle værdier for den samlede
varmekapacitet i beholderen eller rumfanget af vandet.
Dog kan vi beregne halveringstiden, der er:
T
1
2
ln 2
k
C
ln 2
0,0005 s
1
1386 ,29 sek
altså har vandet, efter 1386,29sek (cirka 23min) tabt cirka halvdelen af sin varme til
omgivelserne.
Newtons afkølingslov kan bevises ved dette forsøg, da det viser en eksponentiel udvikling, og
opfylder kravene for differentialligningen.
SVÆKKELSESLOVEN
Når -stråling passerer igennem et stoflag med en bestemt energi, bliver dens stråling
svækket. Jo tykkere stoflaget er, jo lavere er intensiteten af strålingen. Den relative ændring i
strålingsintensiteten ved ændring af tykkelsen kan beskrives:
I
I
x
Hvor I er intensiteten, x er materialets tykkelse og er svækkelseskonstanten, denne faktor
afhænger af det benyttede absorberingsmateriale og energien fra -kilden .
Ved omskrivning af ovenstående ligning, og ved at lade
x
gå mod 0, fås følgende
differentialligning:
(1)
dI
dx
I
Denne differentialligning beskriver tilvæksten i intensiteten som funktion af lagets tykkelse
Tællehastigheden I, aftager eksponentielt med lagets tykkelse, x, den specifikke funktion er
givet ved:
I( x ) I
0
e
x
hvor
I
0
er tællehastigheden foretaget uden stoflag.
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
10
For at bevise at
I x
er løsningen til (1), indsættes funktionen sammen med
differentialkoefficienten
I x
I
0
e
x
:
I
0
e
x
I
0
e
x
her ses det, at de er lig hinanden, og der er dermed vist, at
I( x ) I
0
e
x
er løsningen til
differentialligningen.
Tykkelsen af det lag der skal til for at stoppe halvdelen af -strålingen, kan udtrykkes ved
sammenhængen mellem svækkelseskonstanten og halveringstykkelsen
x
1
2
:
x
1
2
ln 2
4
Forsøg: gammastråling
I dette forsøg måles, hvor meget strålingen fra en -kilde mindskes, ved forskellige tykkelser
af bly . Dette forsøg er et eksempel på benyttelse af svækkelsesloven, og det ønskes derfor at
vise, at forsøgsresultaterne ligger op af den fundne funktion, ud fra differentialligningen.
På billedet nedenunder ses opstillingen til forsøget.
Før målingen med blypladerne begyndes, måles baggrundsaktiviteten i 60 sekunder til at
være 48. Herefter vejes en blyplade ad gangen, hvorefter den lægges imellem GM-tælleren og
4
Claussen, Both, Hartling: ”SPEKTRUM, FYSIK II”. 2004, Gyldendal, 1 udgave, 1 oplag, s. 271
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
11
-kilden. Der måles i 60 sekunder for hver blyplade der lægges på, indtil strålingen er
nogenlunde stoppet. I vores resultater har vi korrigeret for baggrundsstrålingen, det vil sige,
at vi har trukket den fra vores målinger:
På grafen er de fundne intensiteter ved forskellige tykkelser af bly indsat. Det ses af de danner
en pæn eksponentiel funktion, med små afvigelser fra den tegnede kurve.
Ved hjælp af Excel er funktionen
I x
bestemt:
I x
21,8 e
1,047 x
I
0
er her bestemt til at være 21,8 som svarer godt overen med vores første måling, uden nogle
blyplader imellem kilden og GM-tælleren (se bilag 1). Svækkelseskoefficienten er bestemt til
at være 1,047, hvilket giver en halveringstid på:
T
1
2
ln 2
ln 2
1,047 cm
1
0,66 cm
Det vil sige, at halvdelen af den absorberede stråling er absorberet når blylaget er 0,66cm
tykt.
Altså kan svækkelsesloven bevises ved dette forsøg, der viser en eksponentiel udvikling af -
kildens intensitet.
HENFALDSLOVEN
Endnu et eksempel på en funktion i fysik der er eksponentielt aftagende er henfaldsloven. Når
et radioaktivt henfald måles, er aktivitet A af det radioaktive stof lig med antallet af
radioaktive kerner, der henfalder pr. tid:
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
12
t
N
A
da antallet af radioaktive kerner N er aftagende, vil tilvæksten af radioaktive kerner
N
være
negativ. Fortegnet i ligningen vil derfor være negativt, da -
N
vil give et positivt tal.
Sandsynligheden pr. tid for at en kerne henfalder er hele tiden den samme, og betegnes derfor
med konstanten k, der betegnes som henfaldskonstanten.
(Antallet der forsvinder pr. tid) =(Sandsynligheden pr. tid for henfald af én kerne)·(antal af
radioaktive kerner) = k·N.
Vi har, på anden vis ligningen:
N
t
k N
arbejder man med et lille
t
, vil N være meget stort, og det vil gælde, at:
t
N
t
N
d
d
. Det vil
altså sige, at ved at lade
t
gå mod nul, tilnærmes brøken
t
N
d
d
, som er lig
differentialkoefficienten. Funktionen
N t
viser antallet af henfaldne kerner som funktion af
tiden. Denne funktion vil med god tilnærmelse opfylde ligningen
dN
dt
k N
, som er en
differentialligning.
Løsningen til denne ligning, vil matematisk set være
N (t ) c e
k t
, da der ved differentiation
fås:
N t
c e
k t
N t
c k e
k t
k c e
k t
k N t
N t
k N t
dT
dt
kT
det er altså funktioner af denne type der er løsningen til differentialligningen.
Vi indsætter t=0, for at bestemme konstanten c:
ccN
k
0
e)0(
Vi ser ud fra ovenstående, at konstanten c er lig start mængden af massen.
Som forklaret under afsnittet ”Eksponentielle funktioner” har en aftagende, eksponentiel
funktion en halveringskonstant betegnet ved k. Halveringstiden af et radioaktivt stof, er
derfor forbundet med henfaldskonstanten, ved formlen:
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
13
T
1
2
ln 2
k
5
Vi ved, at aktiviteten
A N t
, så vi differentierer
N t
igen, for at bestemme tilvæksten i
aktiviteten:
N t
k c e
k t
k N
0
e
k t
N t
k
2
N
0
e
k t
Vi ser at aktiviteten også aftager eksponentielt.
Forsøg: måling af ølskum
Dette forsøg omhandler henfaldsloven, og viser hvordan en øls skum aftager efter tid. Der
ønskes, som i de andre forsøg, at opstille en differentialligning og at kunne lave en
eksponentiel funktion over det samlede ata.
Dette forsøg er en illustration af kerner der henfalder, her ses skummets omdannelse til
væske, ligesom kerner der henfalder
Billedet herover viser udviklingen af øl og ølskum i ét glas. Ved forsøgets start hældes en øl op
i et glas, højden på ølskummet og højden af væske noteres. Dette gøres hvert halve minut,
indtil væske og skum er ens.
Hvis vi antager at starthøjden er
h
0
, og sluthøjden
h
1
, og vi forventer en eksponentiel
udvikling, kan følgende ligning opstilles:
h t
h
0
e
x t
h
1
5
Claussen, Both, Hartling: ”SPEKTRUM, FYSIK II”. 2004, Gyldendal, 1 udgave, 1 oplag, s. 226
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
14
h t
forstås som den samlede højde af øl og skum til tidspunktet t.
h
0
er starthøjden, og
h
1
er
sluthøjden af væsken, når skummet har højden 0. Når ligningen
h t
h
0
e
x t
h
1
differentieres, fås tilvæksten i den samlede højde af væske:
h t
h
0
e
x t
h
1
h t
x h
0
e
x t
dh
dt
x h x h
1
det sidste er en differentialligning, og vi indsætter
h t
og
h t
for at bevise at den passer:
x h
0
e
x t
x h
0
e
x t
h
1
x h
1
x h
0
e
x t
x h
0
e
x t
det ønskede er dermed bevist.
Grafen viser udviklingen i ølskummets højde, det ses på grafen, at der er tale om eksponentiel
udvikling. På grafen har vi korrigeret for højden af væsken, som også optræder i glasset, ved
at trække den endelige væskehøjde
h
1
, fra den observerede skumhøjde (se bilag 2).
Den funktion vi ønsker at bestemme er
h t
h
0
e
x t
. Excel opstiler ligningen:
h t
8, 39 e
0, 008 t
Ligningen viser os, at
h
0
8, 4
, og at
x 0,008
. Vi ønsker at bestemme halveringstiden af
væsken, som beskrevet i afsnittet: ”eksponentielle funktioner”:
T
1
2
ln 2
x
ln 2
0,008 s
1
86,64 s
[SRO I MAT-FYSIK, [navn fjernet]]
31 januar 2011
Birkerød gymnasium | 2T | JU og KC
15
Altså kan henfaldsloven bevises ved dette forsøg, der viser en eksponentiel udvikling af
ølskummets højde. Dette kunne også vises ved radioaktivitet, hvor et radioaktivt stofs
aktivitet aftager eksponentielt efter tiden.
KONKLUSION
I opgaven ønskedes nogle eksempler og redegørelser for anvendelsen af eksponentielle
funktioner i fysik. Dette er igennem opgaven blevet bevist ved hjælp af de tre forsøg, og
teorien bag dem. Det er også blevet vist, at en differentialligning kan beskrive tilvæksten i en
eksponentiel funktion, og det er dermed bevist at det er muligt at benytte sig af eksponentielle
funktioner i fysik, såvel som i matematik. Matematikken er igennem opgaven blevet brugt
som redskab til og finde formlerne for de fysiske problemstillinger, og ønsket om
opfyldningen af dette er blevet opfyldt da forsøgene understøtter teorien om den
eksponentielle udvikling, og løsningen til den udledte differentialligning.
LITTERATURLISTE
Claussen, Both, Hartling: ”SPEKTRUM, FYSIK II”. 2004, Gyldendal, 1 udgave, 1 oplag,
Jens Carstensen, Jesper Frandsen og Jens Studsgaard: ”MAT A3”. 2008, 1. udgave, 2. Oplag
Claus Jessen, Peter Møller og Flemming mørk. ”Geometri, differentialregning og
sandsynligheder” 1998, nordisk forlag, 1. udgave, 1. Oplag
Jens Carstensen, Jesper Frandsen og Jens Studsgaard: ”MAT A1”. 2006, 1. udgave, 2. Oplag