SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 1 af 12
Indholdsfortegnelse
ABSTRACT .................................................................................................................................................................... 2
INDLEDNING ................................................................................................................................................................ 3
PROBLEMFORMULERING ....................................................................................................................................................... 3
INDLEDNING ....................................................................................................................................................................... 3
HOVEDAFSNIT ............................................................................................................................................................. 4
DIFFERENTIALLIGNINGER ....................................................................................................................................................... 4
LINEELEMENTER .................................................................................................................................................................. 4
EULERS METODE .................................................................................................................................................................. 5
STEPVÆRDI ................................................................................................................................................................... 6
DET FRIE FALD UDEN LUFTMODSTAND ...................................................................................................................................... 8
DET FRIE FALD MED LUFTMODSTAND........................................................................................................................................ 9
DET FRIE FALD MED OG UDEN LUFTMODSTAND UNDERSØGT EKSPERIMENTELT .................................................................................. 9
KONKLUSION ............................................................................................................................................................. 11
LITTERATURLISTE ....................................................................................................................................................... 12
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 2 af 12
Abstract
I have accounted for Euler’s method, how the step value influences the precision of Euler’s method and
how Euler’s method can be used to solve the differential equations implied in the free fall respectively with
and without air resistance. I have also studied the free fall with and without air resistance experimentally
and compared these results with the belonging data determined through the use of Euler’s method on the
free falls differential equations.
Euler’s method is a numerical method for solving differential equations. When given the differential
quotient and a starting value we can estimate a solution curve by calculating new points on the curve that
will follow the algorithm
x
n
=x
n-1
+
x
y
n
=y
n-1
+s(x
n-1
,y
n-1
)
x
It is proved that the accuracy of the method improves when the step value
x is reduced. Expressed
mathematically
This method can be used to solve the differential equations implied in the free fall. Looking at the free fall
without air resistance we have a constant acceleration g. As the initial velocity v
0
is known to be zero
Euler’s method can be used to calculate an estimation of the velocity at any time.
v
n
=v
n-1
+a
t
And knowing the velocity the position can be calculated using Euler’s method.
s
n
=s
n-1
+v
n-1
t
The same procedure can be used when solving the differential equations in the free fall with air resistance.
In this case the acceleration is a variable. It is expressed as
a=g-
v
Knowing this the velocity can be estimated at any time.
v
n
=v
n-1
+a
n-1
t
The acceleration a
n
at this point of time can be calculated by
a
n
= g-
v
n
Knowing the velocity at any time the position can be calculated.
s
n
=s
n-1
+v
n-1
t
Experimental data of the free fall with and without air resistance has been gathered. These data have been
compared to data calculated through the use of Euler’s method on the above algorithms. It was found that
the data calculated through Euler’s method match the experimental data with good approximation.
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 3 af 12
PROBLEMFORMULERING SRO Fysik og Matematik 2b dec. 2010
Frit fald uden og med luftmodstand
Studieretningsopgave i fysik og matematik til 2b
1. Gør kort rede for, hvad der forstås ved en differentialligning af 1. hhv. 2. orden. I redegørelsen skal
begrebet linjeelement forklares, og der skal gives et eksempel på beregning af ligningen for en tangent til
løsningskurven ud fra punktets koordinater og differentialligningen.
2. Gør rede for Eulers metode til numerisk løsning af en differentialligning af 1. orden. Redegørelsen skal
omfatte et eksempel efter eget valg i det uddelte materiale. Ligningen skal løses i et regneark. Den
anvendte algoritme skal forklares ved at beregningen af de 3 første datapunkter indskrives i detaljer og
samles i en tabel. Grafen samt de første 10 datapunkter indsættes i teksten.
3. Forklar betydningen af stepværdien ved at foretage flere gennemløb af modellen med forskellige værdier
af stepværdien og for hver stepværdi udarbejde en graf.
4. Benyt Newtons 2. lov til at opstille en model for bevægelsen i det frie fald uden luftmodstand og udled
bevægelsesligningerne for det frie fald uden luftmodstand.
5. Benyt Newtons 2. lov til at opstille en model for bevægelsen i det frie fald med luftmodstand.
6. Undersøg eksperimentelt det frie fald uden og med luftmodstand.
7. Gør rede for, hvorledes Eulers metode kan benyttes til løsning af de 2 differentialligninger, der indgår i
det lodrette fald med og uden luftmodstand.
Indledning
Jeg vil i min besvarelse af opgaven redegøre for begreberne ’differentialligning’, ’linieelement’ og ’Eulers
metode’ og vise hvordan disse kan benyttes i bestemmelsen af en differentiallignings løsningskurve. Jeg vil
også undersøge hvilken betydning værdien af stepværdien har for Eulers metode ved at afprøve tre
forskellige stepværdier på samme differentialligning og sammenligne dem grafisk. Desuden vil jeg redegøre
for det frie fald med og uden luftmodstand, opstille en model for disse, herunder bevægelsesligningerne,
med udgangspunkt i Newtons 2. lov, og redegøre for hvordan Eulers metode kan bruges til at løse de
differentialligninger der indgår i det frie fald. Jeg vil også undersøge det frie fald med og uden luftmodstand
eksperimentelt og grafisk sammenligne resultaterne fra disse forsøg med de tilhørende værdier som kan
bestemmes numerisk ved hjælp af Eulers metode.
Henvisninger til anvendt litteratur vil undervejs findes som fodnoter.
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 4 af 12
Differentialligninger
Ved en differentialligning forstås en ligning, hvori der indgår en eller flere afledte funktioner f’(x), f’’(x), … af
en funktion f(x) og evt. også funktionen f(x). Den ukendte i denne ligning vil da være funktionen f(x). Enhver
funktion der opfylder differentialligningen kaldes en partiel løsning og dens graf kaldes en løsningskurve
eller en integralkurve og samtlige løsninger kaldes under ét den fuldstændige løsning.
Løsningskurver skal være defineret i intervaller og desuden være kontinuerte.
1
Et eksempel på en differentialligning kan da være f’(x)=f(x) hvor funktionen e
x
vil være en partiel løsning.
Da der kan indgå forskellige afledte funktioner skelner man mellem differentialligninger af forskellige
ordener. Af en differentialligning af 1. orden forstås en differentialligning hvori den først afledte f’(x) af en
funktion f(x) indgår som en funktion af x og f(x).
f’(x) = s(x,f(x))
Af en differentialligning af anden orden forstås da at den anden afledte f’’(x) af funktionen f(x) indgår. Her
kan f’(x)også indgå i den funktion f’’(x) afhænger af.
f’’(x) = s(x,f(x),f’(x))
I en tredje ordens differentialligning indgår den tredje afledte osv. En differentialligning defineres da som
værende af orden efter den højest afledte.
Linieelementer
2
I løsningen af differentialligninger kan det være nyttigt at bruge linieelementer.
En funktion f(x) vil gå igennem linieelementet (x
0
,f(x
0
); f’(x
0
)), hvor x
0
er 1.
koordinatet, f(x
0
) er 2. koordinatet og f’(x
0
) tangenthældningen i punktet (x
0
,f(x
0
)).
Et linieelement tegnes da i et koordinatsystem som et udsnit af tangenten i et vist
punkt. Se figur 1. Vi kan da få en fornemmelse af hvordan en partiel løsning vil
kunne se ud, når vi har indtegnet en stor mængde linieelementer.
Differentialligningen f’(x)=y+x
2
hvor løsningskurven går gennem (2,3) betragtes. Vi
kan da finde f’(2) ved at indsætte i forskriften for f’(x).
f’(2)=3+2
2
f’(2)=7
Punktet (2,3) på løsningskurven vil altså have tangenthældningen 7.
Vi har da et linieelement til f(x) i dette punkt:
(2,3;7)
Ud fra dette kan vi bestemme tangentligningen for tangenten der har sit røringspunkt til løsningskurven i
(2,3). Vi indsætter i forskriften for tangentligningen:
y = f’(x
0
)(x-x
0
)+f(x
0
)
y=7(x-2)+3
1
Fra MAT A3, Systime 2007, Carstensen m. fl.
2
Principper fra MAT A3, Systime 2007, Carstensen m. fl. er anvendt
Figur 1: Linieelementer
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 5 af 12
y=7x-11
Løsningskurven til differentialligningen f’(x)=y+x
2
har altså tangenten y=7x-11 i røringspunktet (2,3).
Eulers Metode
3
Eulers metode er en numerisk løsning af differentialligninger. Ved
brug af Eulers metode kan man bestemme en kurve der med god
tilnærmelse er ens med løsningskurven for differentialligningen
f’(x)=s(x,f(x)) hvis man kender et punkt (x
0
,f(x
0
)) på løsningskurven, da
man kender tangenthældningen i et hvert punkt.
Hvis man tegner tangenten til det kendte punkt (x
0
,f(x
0
)) vil den med
god tilnærmelse lægge sig i den løsningskurve man ønsker at
bestemme. Man bruger da:
Man kan da tage et nyt punkt som ligger på tangenten og derfor også med
god tilnærmelse på løsningskurven. Dette punkt kalder vi (x
1
,y
1
), hvor
x
1
=x
0
+
x
y
1
=f(x
0
)+ s(x
0
,f(x
0
))
x
Når steplængden
x mindskes vil punktet y
1
komme tættere på det rigtige punkt på løsningskurven f(x
1
). Da
vi også kender hældningen i (x
1
,y
1
) kan vi bestemme et tredje punkt (x
2
,y
2
), der også med tilnærmelse vil
ligge på grafen, hvor
x
2
=x
1
+
x
y
2
=y
1
+s(x
1
,y
1
)
x
I dette punkt kan vi tegne en ny tangent og lave et nyt punkt der vil følge algoritmen:
x
n
=x
n-1
+
x
y
n
=y
n-1
+s(x
n-1
,y
n-1
)
x
Vi kan da ved hjælp af denne metode med god tilnærmelse bestemme løsningskurven for
differentialligningen og numerisk løse differentialligninger af 1. orden.
Eksempel af numerisk løsning af en differentialligning:
Differentialligningen f’(x)=y+x
2
der går gennem punktet (7,4) betragtes. Steplængden
x sættes til at være
0.25. Næste punkt bestemmes da ved:
x
1
=x
0
+
x
x
1
=7.25
y
1
=y
0
+ (y
0
+x
0
2
)
x
y
1
=4+(4+7
2
)0.25
y
1
=17.25
Vi har da et nyt punkt som med god tilnærmelse ligger på løsningskurven i (7.25,17.25).
Det tredje punkt bestemmes:
x
2
=x
1
+
x
3
Principper fra ”Numerisk løsning af differentialligninger”, udleveret af lærer, er anvendt
Figur 2
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 6 af 12
0
200
400
600
800
2
Grafen bestemt vha. Eulers
metode
x
2
=7.5
y
2
= y
1
+ (y
1
+x
1
2
)
x
y
2
=17.25+(17.25+7.25
2
)0.25
y
2
=34.7
Vi har da også et punkt (7.5,34.7) der med god tilnærmelse ligger på løsningskurven. Endnu et punkt
bestemmes:
x
3
=x
2
+
x
x
3
=7.75
y
3
= y
2
+ (y
2
+x
2
2
)
x
y
3
=34.7+(34.7+7.5
2
)0.25
y
3
=54.4
Punktet er da (7.75,54.4).
De første ti punkter fundet vha. Eulers metode når stepværdien er 0.25:
Eulers metode vil give forskellige løsninger alt efter hvor stor en stepværdi man bruger. For at se hvad der
sker når stepværdien ændres, betragtes differentialligningen f’(x)=y+x
2
igen. For at sammenligne graferne
fundet ved Eulers metode med den rigtige graf løses differentialligningen i maple:
>
Dennes graf er herunder indtegnet sammen med punkter bestemt ved Eulers metode med forskellig
stepværdi, hvor y er løsningskurven og f’erne er punkterne bestemt ved Eulers metode. De tilhørende
dataserier kan ses på bilag 1.
n
x
y
y'
0
7
4
53
1
7,25
17,25
69,8125
2
7,5
34,70313
90,95313
3
7,75
57,44141
117,5039
4
8
86,81738
150,8174
5
8,25
124,5217
192,5842
6
8,5
172,6678
244,9178
7
8,75
233,8972
310,4597
8
9
311,5122
392,5122
9
9,25
409,6402
495,2027
10
9,5
533,4409
623,6909
11
9,75
689,3636
784,4261
x
y
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 7 af 12
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
0 5 10 15
y
f1
Stepværdi på 0.01:
Stepværdi på 0.1:
Stepværdi på 0.25:
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
0 5 10 15
y
f2
x
y
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
0 5 10 15
y
f3
x
y
x
y
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 8 af 12
Vi kan se at der for alle stepværdierne er en vis fejl. Det ses af graferne at når h er mindst ligger punkterne
fundet ved Eulers metode tættest på løsningskurven og fejlen er minimal. Da kan bestemmes at
stepværdien har inflydelse på Eulers metodes præcision. Når stepværdien mindskes går punkterne fundet
ved Eulers metode tættere på løsningskurven. Dette kan udtrykkes ved:
Det frie fald uden luftmodstand
4
Newtons 2. lov(kraftloven):
”En resulterende kraft er lig ændringen i et legemes impuls.”
Et legeme påvirkes altså med en kraft som er lig summen af alle de kræfter den påvirkes af. Denne kraft kan
udtrykkes ved:
F
res
=ma
,hvor m er legemets masse og a legemets acceleration.
Hvis der ses på det frie fald ved vi desuden at tyngdekraften kan udtrykkes ved(der regnes positivt nedad):
F
tyngde
=mg
, hvor g er tyngdeaccelerationen og lig 9.82m/s
2
.
Da vi ikke regner med luftmodstand vil tyngdekraften være den eneste kraft der påvirker legemet og derfor
være lig den resulterende kraft.
F
tyngde
=F
res
mg=ma
g=a
Der vil altså gælde for det frie fald uden luftmodstand at legemets acceleration vil være lig
tyngdeaccelerationen. Vi kan altså stille den første bevægelsesligning for det frie fald uden luftmodstand
op.
a(t)=g
Der må da også gælde
v(t)=gt+v
0
,da v’(t)=(gt+v
0
)‘=g
Da der regnes på det frie fald vil starthastigheden v
0
være 0. Da kan opstilles den anden bevægelsesligning
for det frie fald uden luftmodstand.
v(t)=gt
Denne integreres for at finde den sidste bevægelsesligning.
s(t)=
gt
2
+s
0
,da s’(t)=(
gt
2
+s
0
)‘=gt
Vi har da de tre bevægelsesligninger for det frie fald uden luftmodstand.
a(t)=g
v(t)=gt
s(t)=
gt
2
+s
0
4
Principper fra OrbitBA, 2. udgave, Brydensholt m.fl., Systime 2011 er anvendt
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 9 af 12
Det frie fald med luftmodstand
5
Den resulterende kraft betragtes igen.
F
res
=ma
Den må i dette tilfælde afhænge af to faktorer; tyngdekraften og luftmodstanden. De kan udtrykkes ved:
F
tyngde
=mg
F
luft
=-kv
2
(ikke en naturlov men en estimering)
, hvor k er en konstant der afhænger af legemets geometriske opbygning. Luftmodstanden regnes som
værende negativ da dens vektor er modsatrettet tyngdekraftens vektor.
Den resulterende kraft vil da være:
F
res
=F
tyngde
+F
luft
ma=mg-kv
2
a=g-
v
2
Accelerationen er altså ikke konstant når der er luftmodstand. Den afhænger af øjeblikshastigheden. Den
maksimale hastighed
legemet kan falde ved kan også bestemmes. Hvis hastigheden er konstant vil
accelerationen være 0. Dette indsættes i udtrykket for a.
0= g-
=
Det frie fald med/uden luftmodstand undersøgt eksperimentelt
Først blev det frie fald uden luftmodstand undersøgt. En basketbolds fald blev filmet og senere tracket så vi
vidste hvor bolden var på et hvert tidspunkt. Der regnes uden den minimale luftmodstand der er. Da kunne
hastigheden bestemmes i et hvert punkt. Dataserien fra forsøget er vedlagt på bilag 2.
Vi kan udregne den teoretiske hastighed i et hvert punkt da vi kender accelerationen. Der regnes positivt
nedad.
a=g=9.82m/s
2
Da vi snakker det frie fald må v
0
være 0. Vi kan da ved Eulers metode finde en ny teoretisk hastighed v
1
ved
v
1
=v
0
+a
t
Og ligeledes
v
2
=v
1
+a
t
v
n
=v
n-1
+a
t
Da vi har fundet den teoretiske hastighed i et hvert punkt kan vi også bestemme hvor bolden teoretisk vil
være i forhold til nulpunktet. Der regnes med s
0
=0.
s
1
=s
0
+v
0
t
Og ligeledes
s
2
=s
1
+v
1
t
s
n
=s
n-1
+v
n-1
t
5
Principper fra Orbit 3 s.66-68 er anvendt
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 10 af 12
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
0,000 0,500 1,000
x/m
Euler
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
0,000 0,500 1,000
vx/m/s
Euler
De numerisk udledte hastigheder og steder er vedlagt bilag 2. De målte data fra forsøget er plottet ind
herunder sammen med de numerisk bestemte data.
De numerisk udledte løsningskurver er med god tilnærmelse lig de eksperimentelt udledte løsningskurver.
Det er da bevist at basketbolden falder med accelerationen g og derfor med god tilnærmelse følger
tyngdeloven for det frie fald uden luftmodstand.
Det frie fald med luftmodstand undersøgtes da ved at se på en kageforms(muffinforms) fald. Det blev
filmet og tracket så kageformens bevægelse var kortlagt og dens hastighed i et hvert punkt var kendt.
Kageformens masse var bestemt til at være 0.939 g ved at veje ti forme og dele med ti. Dennes dataserier
findes på bilag 3.
Man kan ved hjælp af Eulers metode numerisk udlede hastigheden for kageformen samt hvor den da vil
være. Accelerationen vil afhænge af
a=g-
v
Da genstanden er meget lille regnes luftmodstanden som værende
F
luft
= - v
I det sekund kageformen slippes må dens hastighed være nul og da må dens acceleration være 9,82 m/s
2
.
Man kan da med god tilnærmelse bestemme hastigheden i det næste punkt
v
1
=v
0
+a
0
t
Da kan accelerationen i dette punkt også bestemmes ved at indsætte v
1
i forskriften for a.
a
1
=g-
v
1
Da kan hastigheden og accelerationen i de næste punkter også bestemmes ifølge:
v
n
=v
n-1
+a
n-1
t
a
n
= g-
v
n
Hvis s
0
sættes til at være nul og i det punkt hvor kageformen blev sluppet kan det bestemmes hvor den er
på et hvilket som helst tidspunkt da hastigheden er kendt til et hvert tidspunkt. s
1
kan bestemmes ved
s
1
=s
0
+v
0
t
Et vilkårligt punkt vil da kunne bestemmes ved
s
n
=s
n-1
+v
n-1
t
Værdier for a, v og s er bestemt i excel. Dataserien er vedlagt på bilag 3. Vi undersøgte da for hvilken k-
værdi de teoretisk udledte (s,t) og (v,t) grafer passede bedst med de (s,t) og (v,t) grafer der var bestemt
eksperimentelt. Ved k=0.00255 kg/s lå den numerisk udledte graf med bedst tilnærmelse i den
s(t)
v(t)
t/s
s/m
t/s
v/m/s
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 11 af 12
-0,500
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
0,000 0,500 1,000 1,500
x/m
Euler
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,000 0,500 1,000 1,500
vx/m/s
Euler
eksperimentelt udledte. De eksperimentelt og numerisk udledte grafer for k=0.00255 kg/s er plottet ind
herunder.
De to grafer er med god tilnærmelse ens. Det er da bevist at kageformen med god tilnærmelse følger det
teoretiske frie fald med luftmodstand når dets k-værdi er 0.00255kg/s.
Konklusion
I opgaven har jeg gennemgået hvordan en differentialligning kan løses numerisk ved Eulers metode og
hvordan man da kan bestemme løsningskurven til en differentialligning.
Jeg har bevist at Eulers metodes præcision afhænger af stepværdien. Jo mindre en stepværdi der anvendes
jo større tilnærmelse vil grafen bestemt ved Eulers metode ligne løsningskurven.
Jeg har med udgangspunkt i Newtons 2. lov opstillet modeller for det frie fald hhv. med og uden
luftmodstand. Jeg har desuden opstillet bevægelsesligningerne for det frie fald uden luftmodstand.
Jeg har undersøgt hvorvidt disse modeller er gyldige ved eksperimentelt at undersøge det frie fald med og
uden luftmodstand. For at undersøge hvorvidt modellerne passer har jeg redegjort for hvordan Eulers
metode kan benyttes til at løse de to differentialligninger der indgår i det lodrette fald med og uden
luftmodstand og bestemt nogle numeriske data som er tilhørende de eksperimentelle data. Jeg har
sammenlignet de eksperimentelle data med de numerisk udledte data grafisk.
Jeg har kunnet konkludere at mine eksperimentelle data med god tilnærmelse har passet med de data som
er udledt numerisk ved hjælp af Eulers metode.
s/m
t/s
s(t)
v/m/s
t/s
v(t)
SRO - fysik og matematik 20.12.10
Det frie fald - differentialligninger
Side 12 af 12
Litteraturliste
MAT A3, Systime 2007, Carstensen m. fl.
”Numerisk løsning af differentialligninger”, udleveret af lærer
OrbitBA, 2. udgave, Brydensholt m.fl., Systime 2011
Orbit 3 s.66-68