Studieretningsopgave Ma/Ke
[navn fjernet] christensen
2.D Maribo-Gymnasium, vejleder:
STX- M A R I B O G Y M N A S I U M
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
2
Abstract:
This paper examines how ours reactions are depending on the concentration and temperature, and
how reaction's velocity are expresses in mathematich, differential equations and the chemistry reac-
tion kinetics. Here was the problems find the way to a connection between mathematics differential
equations and the chemistry reaction kinetics. And find a way how these are connected to each oth-
er, about if it is respectively is a zero, first or second order. I have describe in a theoretically exper-
iment with natriumthiosulfat and acid, in the addition I has prove least squares method, and I use
the methods in the graphs. Out of the result can I conclude with the theory that concentration and
temperature rise, have a influence in the reactions velocity.
Problemformulering/opgaveformulering:
At ud fra reaktionen imellem thiosulfat og syre, vil jeg undersøge reaktionens afhængighed af kon-
centrationen og temperaturen. Herunder vil jeg med et udgangspunkt i et forsøg, diskuterer og op-
stille mulige matematiske moddeller, for de pågældende reaktioner. Hermed vil der være en inddra-
gelse af regrassionsanalyse, da jeg herunder vil med en matematisk forklaring beskrive mindste
kvadraters metode, og bestemme koefficienter a og b til den bedste rette linje. I min besvarelse vil
jeg desuden beskrive den teori der ligger til grundlag for kemiske reaktionshastigheder. Da vi vores
opgaver til vores forsøg vil jeg sammenfatte teorien for de kemiske reaktioners hastighed og de ma-
tematiske modeller, og gøre rede for hvilke variable jeg har i hvert forsøg og her vil undersøge
sammenhægen imellem dem. Herunder vil jeg ved hjælp af regressions analyse opstille de matema-
tiske moddeller for vores sammenhænge (lineær, eksponentiel og potensiel), derved kan vi nemlig
vurderer vores moddeller på grundlag af forklaringsgrad og af et residualplot.
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
3
Indholdsfortegnelse
Forside ................................................................................................................................................. 1
Abstract ............................................................................................................................................... 2
Problemformulering .......................................................................................................................... 2
Indholdsfortegnelse ............................................................................................................................ 3
1.0 Indledning ..................................................................................................................................... 4
1.1 Reaktionshastigheder i hverdagene ................................................................................................................
2.0 Teorien om reaktionskinetik ....................................................................................................... 4
2.1 Reaktionshastigheder ....................................................................................................................................5
2.2 kollisionsteorien og temperaturens afhængighed .........................................................................................6
2.3 Arrhenius ligningen ......................................................................................................................................6
2.4 Reaktionsordenen .........................................................................................................................................6
2.5 Beskrivelse af reaktionsordenen ...................................................................................................................6
2.6 Nulte ordens reaktion ...................................................................................................................................6
2.7 Første ordens reaktion .................................................................................................................................6
2.8 Andens ordens reaktion ..................................................................................................................... 6
2.9 Mindste kvadraters metode ................................................................................................................ 6
2.91 Forklaring af mindste kvadraters metode ........................................................................................... 6
2.92 Matematisk udledning af mindste kvadraters metode ......................................................................... 6
2.94 Eksempel på udregning med mindste kvadraters metode .................................................................... 6
3.0 Reaktionskinetik i praksis ........................................................................................................... 4
3.1 Opgave 3A: kokain i blodet ..........................................................................................................................5
3.2 Opgave 3B ....................................................................................................................................................5
4.0 Teorien i praksis, forsøg med thiosulfat og syre ....................................................................... 4
4.1 Reaktion med thiosulfat og syre ...................................................................................................................5
4.2 Behandling af resultater til forsøgsskema 1..................................................................................................5
4.3 Behandling af resultater til forsøgsskema 2..................................................................................................5
5.0 Perspektivering............................................................................................................................. 4
5.1 Reaktionskinetik i industrien ........................................................................................................................5
6.0 Konklusion .................................................................................................................................... 4
7.0 Litteraturliste ............................................................................................................................... 4
7.1 Primær litteratur ............................................................................................................................................5
7.2 Sekundær litteratur .......................................................................................................................................5
8.0 Bilag ............................................................................................................................................... 4
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
4
1.0 Indledning:
1.1 Reaktionshastigheder i hverdagene:
Kemiske reaktioner sker hver eneste dag, det sker i vores krop, i vores natur, ja faktisk næsten alle
steder, det er dog de færreste der ved at der er forskellige hastigheder på reaktion. Dog kan man
hurtigt konkludere, at rust på cykler er meget langsommere reaktion end den sker i fyrværkeri. Det
er her man kigger på reaktionskinetikken som er undersøgelser af kemiske reaktioners hastighed.
Dette kigger man meget på i industrien da det er meget interessant at vide hvor hurtigt et produkt
kan blive dannet ud fra de reaktanter du har, og hvilke betingelser der giver dig det bedste udbytte,
dette kan man nemlig beregne/se ud fra matematiske modeller og de matematiske aksiomer, set ud
fra en kemisk empirisk induktiv metode, hvor vi sætter vores udgangspunkt i en række observatio-
ner vi har lavet i vores forsøg, og her er vores empiri, at vi skal se en sammenhæng imellem reakti-
onshastigheder og dens afhængighed af temperatur og koncentration, ud fra matematiske modeller
2.0 Teorien omkring reaktionskinetik:
2.1 Reaktionshastigheder:
Reaktionskinetik er en læren om hvordan kemiske reaktioner kan forløbe, og beskriver nærmere de
hastigheder og parametre der har indflydelse på reaktionshastigheden. Vores hastighed af reaktio-
nen er et mål for, hvor hurtigt vores reaktanter kan omdannes til produkter i en given reaktion, der
ved kan vi også følge den kemiske reaktion ved, at vi måler omdannelsen af koncentrationen af en
eller flere reaktionsdeltager/delreaktioner, som funktionen af tiden, det har dog ikke nogle betyd-
ning om du måler i praksis på koncentrationsændringen af reaktanter eller produktet. Det er dog
meget forskelligt hvor hurtigt en reaktion sker, altså en meget langsom reaktion kan fx være rust på
et tag, som er reaktion imellem jern og dioxygen, samt lidt vand(fugt), imens en syre/base reaktion
sker meget hurtigt
1
. ”Reaktionshastigheden defineres som nedgangen i stofmængdekoncentrationen
af en reaktant pr. tid”
2
eller retter sagt er det tilvæksten af reaktionsproduktet som funktion af tiden
eller som formindskelse af reaktantens koncentration som funktion af tiden.
1
Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi A. Haase og Søns forlag, Århus 2011; side 51-52
2
Henrik Parbo, Annette Nyvad og Kim Kusk M.: Kend kemien 2. Gyldendal, København 2007; side 207
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
5
Der for kan vores reaktionshastighed skrives på følgende måde
3
:
Men dog er denne formel ikke præcis nok, da den kun fortæller noget om den gennemsnitlige reak-
tionshastighed pr. tidsinterval der er i Δt. Derfor kan vi bare bruge differentialregning til at finde
vores reaktionshastighed ved et stokastisk tidspunkt, t. Dette gør vi ved at man lader vores Δt værdi
gå mod nul, og derfor får man diffenrentielkvotienten af vores aktuelle koncentration [A] med hen-
syn til tiden t. Derfor hvis man nu vil finde en bestemt hastighed til et given punkt t, indsætter man
det tidspunkt t, i diffenrentielkvoficienten, hvor man vil finde hastigheden til et vilkårligt tidspunkt,
formlen hedder nu:
4
I dette udtryk er reaktionshastigheden nemlig lig med den numeriskeværdi af tangentens hæld-
ningskoefficient
Dog er der rigtige mange ting faktorer/parametre der har en stor indflydelse, og kan ændre ha-
stigheden på ingen tid. Der er mange parametre der spiller ind, jeg vil nævne dem kort, og derefter
se udgangspunkt i temperaturen og koncentrationens indflydelse:
- Overflade areal
5
Dog er overfladeareal af reaktanterne også af betydning; hvis der er tale om faste stoffer, vil de rea-
gere væsentligt hurtigere hvis de kunne optræde som pulver da det har langt større overfladeareal.
Dette bevirker som sagt, at der er større kontaktflade som de andre stoffer kan støde ind i, og reak-
tionerne vil derfor fremkomme langt hurtigere. For heterogene reaktioner gælder yderligere, at re-
aktionshastigheden er afhængig af overfladen.
Dette er dog kun ved betydning ved heterogene reaktioner sker den kemiske reaktion på grænsefla-
den mellem 2 faser. Som sagt ved at øge overfladearealet mellem de to faser øges også reaktionsha-
stigheden, f.eks. reagerer magnesiumpulver hurtigere end den samme mængde magnesiumbånd, da
det samlede overfladeareal af magnesiumpulveret er størst.
3
Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi A. Haase og Søns forlag, Århus 2011 side 51
4
Ibid; 52
5
Helge Mygind, Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi B. Haase og Søns forlag, Århus 2011 side 13
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
6
Reaktionshastigheden for heterogene reaktioner afhænger altså af arealet af grænsefladen mellem
2 faser
6
.
- Katalysator og inhibitor
7
Ved at tilsætte en katalysator til reaktionen kan man herved også forøgereaktionshastigheden for en
kemisk reaktion. Ved en homogen katalyse indgår katalysatoren og reaktanterne i en homogen
blanding, mens katalysatoren er heterogent blandet med reaktanterne ved en heterogen katalyse.
Altså en katalysator er et, som optræder i en reaktion og forøger reaktionshastigheden uden selv at
blive forbrugt under en reaktion. En katalysator kan enten virke ved at nedsætte aktiveringsenergi-
en, så den kinetiske energi ved sammenstødende ikke behøver at være ligeså høj, og dermed bevir-
ker at flere af sammenstødende vil medføre en reaktion, eller ved at forøge sandsynligheden for at
sammenstødene sker i de rigtige vinkler, som f.eks. enzymer gør det i vores kroppe. Ved en homo-
gen katalyse afhænger reaktionshastigheden af katalysatorkoncentrationen og ved heterogen kataly-
se afhænger reaktionshastigheden af katalysatorens overfladeareal. Reaktionshastigheden af-
hængighed af temperatur og koncentration ville jeg kommer nærmere ind på i de næste par afsnit.
2.2 Kollisionsteorien og temperaturens afhængighed:
Heraf beskriver reaktions hastigheden nemlig den proces hvori en eller flere kemiske forbindelser
omdannes til andre kemiske forbindelser, det er her kollisionsteorien spiller ind. Kollisionsteorien
går i sin enkelthed ud på at de pågældende reaktioner mellem stoffer kun forekommer ved kollisio-
ner og hvor at vinklerne mellem de indgående reaktanter skal være perfekt, og om aktiveringsener-
gien
også være stor nok. Aktiveringsenergi, er den energi, som udgangsstofferne (reaktanterne) i
en kemisk reaktion mindst skal have, for at reaktionen kan forløbe. I praksis kan dette opfyldes ved
at hæve temperaturen; det øger reaktanternes gennemsnitlige kinetiske energi, og dermed øges an-
delen af molekylære kollisioner med en energi over aktiveringsenergien: Processen forløber hurti-
gere, her har temperaturen igen en indflydelse. Aktiveringsenergi er en vigtig størrelse i beskrivel-
6
Helge Mygind, Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi B. Haase og Søns forlag, Århus 2011; side 13
7
Ibid; 22-26
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
7
sen af kemiske reaktioner, og den kan defineres eksakt som forskellen i potentiel energi mellem det
aktiverede kompleks og reaktanterne
8
. Dette ses i de følgende energi profiler:
Dog er der også forskel på om reaktionen er endoterm eller exoterm, i forhold til hvis vi kigger på
energi profilen:
På det billede længst mod venstre ses at reaktion er endoterm da der optages energi for dens omgi-
velser til at nå over energi bjerget, på billede længst mod højre kan man dog se at reaktionen er exo-
term da der frigives energi.
Koncentrationen af en reaktions reaktanter er også et af parametrene. Dette kan ses i dette ha-
stighedsudtrykket nedenunder, dette gælder dog kun hvis reaktionen ser sådan ud: A+2BC+D, da
den aktuelle koncentration har en stor betydning, da to partikler skal støde sammen på den helt rig-
tige måde, for at kunne reagere med hinanden. Da det også forekommer at A og B bliver mindre og
mindre og C og D som er produkterne bliver større. Ved at øge partiklernes koncentrationer, øges
samtidig chancen for at to partikler støder sammen i den rigtige vinkel, da antallet af sammenstød
generelt øges. Dermed øges også reaktionshastigheden. Reaktionshastighedens afhængighed af den
aktuelle koncentration kan udtrykkes vha. hastighedsudtrykket:
Dette udtryk viser som sagt hvordan en reaktion forløber i forhold til dens hastighed, dette vil dog
sige at du først skal finde frem til reaktionsmekanismen før den pågældende reaktion kan opstilles. I
8
Helge Mygind, Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi B. Haase og Søns forlag, Århus 2011; side 17-
18
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
8
reaktionsmekanismen er der elementarreaktionerne der er de enkelte trin i reaktionsmekanismen,
disse elemtarreaktioner fortæller noget om/bestemmer den langsomste reaktion i hastighedsudtryk-
ket, da der er nogle af delreaktioner der kan virke som en flaskehals. Det kan dog også ses hvis vi
kigger på udtrykket igen viser det at hastigheden som funktion af reaktanternes koncentrationer
opløftet i orden m og n. m og n (m+n) er tilsammen den totale reaktionsorden, og k er hastigheds-
konstanten, som er temperaturafhængig. Derfor kan man sige at reaktions orden vedrører eksponen-
terne i et eksperimentelt fundne hastigheds udtryk, da det udelukkende findes eksperimentelt.
Ifølge en grov tommelfingr regel kan man sige hvis der er en temperaturforøgelse på 10 grader,
medfører en fordobling af reaktionshastigheden.
2.3 Arrhenius ligningen
Som sagt er langt de fleste kemiske reaktioners hastighed vil vores hastighedskonstant afhænger
eksponentielt af temperaturen, hvor vi betragter en reaktion aA+bB+cC, hvor hastighedsudtryk-
ket er givet ved som er udtryk ved
9
:
Her err hastighedskonstanten k afhængig af temperaturen, og her kan denne temperaturafhængighe-
den beskrives ved følgende ligning: her
konstanter, hvor
er hastighedkonstanten ved en uendelig høj tempratur, som ikke kan lades sig gøre i virkelighe-
den, for en pågældende reaktion
10
:
Vi kan herved omskrive Arrhenius ligningen ved at tage den naturlige logaritme til ligningen på
begge sider af lighedstegnet: heraf betegner vi R som gaskonstanten og T som den absolutte tempe-
ratur, herved fremkommer der en lineær regression:
Så heraf kan hvis vi skal bestemme og en reaktion følger Arrhenius ligningen, bestemmer man den
pågældende hastighedskonstant ved forskelige temperaturer. Heraf skal man lave et Arrhenius plot
som vi har lavet i en af vores opgaver, dette vil sige at man afbilder ln(k) mod 1/T, hvis forskriften
9
Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi A. Haase og Søns forlag, Århus 2011 side 70
10
Ibid side 70
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
9
viser en ret linje, følger reaktionen Arrhenius-ligningen, derved kan vi også bestemme reaktionens
aktiverings energi da vi at den lineær grafs hældningskoefficienten a er lig med
Derfor hvis du har et datasæt ved to forskellige temperaturer, er den følgende ligning bekvem at
bruge
11
:
2.4 Reaktionsordenen:
2.5 Beskrivelse af reaktionsordenen:
Reaktionsorden er den orden der beskriver reaktionsforløbet i forhold til den tid det har taget. Reak-
tionsorden er sjældent over 2, og derfor kan man nøjes med kun at koncentrerer os om de 3 første
ordener altså 0, 1. og 2. orden, og det er herved at vi bestemmer reaktions ordenen ud fra det lang-
somste trin af delreaktionerne, da dette reaktionstrin virker som en ”flaskehals”, for de andre elem-
tar reaktioner.
2.6 Nulte ordens reaktion:
Hvis vi betragter en kemisk reaktion hvor der indgår en reaktant A, udskrives det som:
Dog kan A eventuelt også være den eneste reaktant, som vi kan betragte i følgende udtryk:
Heraf hvis vi har en dataserie hvordan stofmængde koncentration af vores reaktant A afhænger af
den givne tid. Her af når vi har koncentrationen af [A], er det meget naturligt at bruge denne reak-
tant, når vi skal bevise reaktionshastigheden, nemlig:
Heraf kigger vi på sammenhængen imellem vores tid og koncentrationen [A], for reaktionen af nul-
te orden:
12
11
Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi A. Haase og Søns forlag, Århus 2011 side 71
12
Ibid side 54
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
10
Dette vil svarer til at det var en vandret linje, med reaktionshastigheden lig med hastighedskonstan-
ten, dette vil derfor sige at vi kan skrive udtrykket på følgende måde, da v=k:
Og denne løsning til dette vil være at løse differentielkoefficienten i forhold til koncentrationen A:
I dette udtryk vil b være en konstant som er lig med aktuelle stofmængde koncentrationen som
funktionen af A til tiden t=0s, dette ses i det nedenstående udtryk, hvor koncentrationen A er en
funktion af tiden t og kan derfor skrives som [A](t), da det er en aftagende lineær regression, med
hældningskoefficienten –k: her ses det at b er lig med begyndelse koncentrationen:
Derved er nulteordens reaktion bevist med følgende resultat:
I dette udtryk er er k hastighedskonstanten konstant under hele koncentrationen, og derved kan vi se
at koncentrationen vil aftage lineært med tiden t under den nulteordens reaktion, hvis vi ser du med
en matematisk synsvinkel kan vi sige at funktionen skærer y-aksen i punktet (0;[A_0] og den nume-
riske værdi for hældning koefficienten er k, derved kan vi også regne halveringtideb, som er den tid
det tager før en givende stofmængdekoncentration er halveret, hvor halveringstiden beregnes ud fra
vi ved at [A]=1/2*[A_0], da A0 er det halve af funktionsværdien af koncentrationen [A]. Det udtryk
hedder nu: se eventuelt bilaget for bevisset for halveringskonstanten
13
:
Husk dog på at halveringstiden ikke er konstant men aftager lineært, Det er karakteristisk for en
nulte ordens reaktion, at koncentrationen aftager lineært med tiden, og at halveringstiden er propor-
tional med begyndelseskoncentrationen
2.7 Første ordens reaktion:
Det karakteristiske for en første ordens reaktionen er at denne reaktion følger dette hastighedsud-
tryk:
13
Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi A. Haase og Søns forlag, Århus 2011 side 55.
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
11
Dette vil sige at løsningen til denne ligning, er at når man differentiere følgende ligning får man:
Dette vil sige at b er konstant, og A er afbildede som funktionen af tiden t: derved fås ligningen til
tiden t=0 s:
Hermed kan det nu omskrives til, og her har vi ligningen for en første ordens reaktion, som er ek-
sponentiel aftagende funktion, hvor koncentrationen aftager eksponentiel i forhold til tiden:
Hermed kan vi lave det om til en lineær regrssion ved at tage den naturlige logaritme, dette viser sig
ofte i enkel logaritmiske afbildninger, som er en lineær aftagende funktion
Dog skal man huske at deviderer med m, da man ikke kan tage den naturlige logaritme til et tal med
enhed. Der kan ses at grafen for en første ordens reaktion er ret linje hvis man afbilder ln[A] som
funktionen af tiden t. Som det kan ses at hældningen a er lig med den numeriske værdi af –k, og
linjen skærer koordinatsystemet anden akse ved ln[A]0, og hvis vi laver det samme som i nulte
ordens reaktion kan vi beregne halveringstiden som i følgende udtryk
14
:
Herved er der tale om en halvering af den aktuelle stofmængde koncentration.
2.8 Anden ordens reaktion:
En anden ordens hastighedsudtryk er givet ved følgerne:
Da vi kun kan nøjes med at se på v=k*[A]^2, skal vi løse differentiel ligningen der til:
I denne ligning er b konstant, og [A] til tiden = 0s, derfor kan vi bregne at
15
:
14
Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi A. Haase og Søns forlag, Århus 2011, side 58
15
Ibid side 59
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
12
Derved kan vi se at konstanten b er lig med 1/[A], det ses at en anden ordens reaktion er en ret linje
med hældningen k, som afbilder 1/[A] som funktion af tiden, hvor k er hældningen, og 1/[A]0 er
skæringen med y-aksen. Man kan udtrykke halveringen ved dette udtryk
16
:
Her skal du bemærke at halveringstiden for en anden ordens reaktion ikke er konstant, jo større ak-
tuel stofmængde koncentration ved reaktions begyndelse, desto kortere er halveringstiden. Det der
er karakteristisk for en type af denne reaktion, er at halveringstiden er omvendt proportional med
begyndelseskoncentrationen. En afbildning af 1/[A] mod t giver en ret linje med hældningen k.
2.91 Mindste kvadraters metode:
2.92 Forklaring af mindste kvadraters metode:
Da jeg har beskrevet med beregninger at nulte, første og anden ordens reaktioner, at de alle kan
beskrives med lineær regression, ud fra at vi laver den eksponentielle funktion omskrives til en li-
neær funktion, som er blevet beskrevet i bilaget. Derfor har vi en data serie ud fra de følgende
punkter, vi har fået ud fra eksperimenter, og derved kan der laves en lineær regression, med den
bedste rette linje, med den mindste kvadratsum. Dette gøre ved at afstanden for punkterne til den
bedste rette linje skal være mindst mulig, og heraf bliver afstanden kvaderes, dette tal beskriver vi
med forklaringsgraden, som beskrives med bogstavet r eller
, og jo tættere denne værdi er på 1,
desto bedre ret linje har vi at arbejde med
17
. Dog er der også en sammenhæng imellem en vækst,
regression og mindste kvadraters metode set ud fra residualerne. Vækst betyde nærmere bare, at
noget udvikler sig, ud fra nogle givne dataer, eller her i forhold til koncentrationen. Væksten kan
være positiv eller negativ. Det kan være lineær, exponentiel eller potensvækst fx.Regression bety-
der, at vi finder den forskrift, der bedst beskriver den vækst vi har i gang med.; og hvilken type for-
skriften afhænger af er sammenhængen. Fx ved vi, at mængden af en radioaktiv isotop aftager ex-
ponentielt. Så hvis vi har målinger af radioaktivitet, er det naturligt at tilpasse en exponentiel for-
skrift til målingerne. Vores metode Mindste kvadraters metode er til bestemmelse af bedste rette
linje, og kan kort beskrives som følger. Vi har en række datapunkter [(x
1
,y
1
), (x
2
,y
2
),..., (x
n
,y
n
)], og
16
Mindste kvadraters metode: Carstensen og Frandsen: Mat 1 kompendium16 Regression. 2012
17
Mindste kvadraters metode: Carstensen og Frandsen: Mat 1 kompendium16 Regression. 2012
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
13
vi vil finde den bedste rette linje gennem disse punkter. Denne linje bestemmes vha. mindste kva-
draters metode. Metoden går ud på at minimere summen af kvadraterne af residualerne. Residualer-
ne er forskellen mellem den målte y-værdi og den y-værdi, der beregnes ud fra forskriften for den
rette linje, dvs. y
i
= (a·x
i
+ b). Se også den på figur, hvor de lodrette stiplet linjer repræsenterer resi-
dualerne
18
. Hvor det handler om at få den mindste kvadrat sum
19
, Kvadratsummen er summen af
kvadraterne af residualerne. Den benyttes til at sige, hvor godt dataene passer til modellen.
2.93 Matematisk udledning af mindste kvadraters metode:
Derfor kan vi udlede formelen for mindste kvadraters metode, dette kan vi gøre ud for hvis vi har
tre givne punkter, men metoden kan selvfølgelig også bruges hvis du har flere punkter
20
:
18
http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html
19
http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html
20
http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
14
2.94 Eksempel på udregning af mindste kvadraters metode:
På bilaget ses at dette passer med det grafiske afbillede, af de tre punkter og her må mindste kvadra-
ters metode være udledt korrekt.
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
15
3.0 Reaktionskinetik i praksis:
3.2 Opgave 3A: kokain i blodet:
Cocain omdannes forholdsvis hurtigt i blodet ved hydrolyse. En person får injiceret cocain i blodet.
Nedenstående tabel viser cocain koncentrationen i blodet målt til forskellige tidspunkter efter injek-
tionen.
Skemaet for forsøget findes i bilaget:
Viser, at reaktionen er af 1. orden, og beregn halveringstiden for omdannelsen af cocain i blo-
det.
En første ordens reaktions formel ser således ud som er blevet behandlet i teorien:
Der kan vi med lethed beskrive vores data serie med en lineærregression, da vi netop at det er en
reaktion af første orden. Denne graf indtegnes som tiden som funktionen af ln[A], hvis det tilnær-
melsesvis giver en ret linje er reaktion af første orden, hvis vi havde afbildet den uden at tage den
naturlige logaritme, ville det være beskrevet som en eksponentiel funktion, med sammenhæng imel-
lem koncentration og tiden t
Her X defineret som den naturlige logaritme til koncentrationen (ln[A]) og y betegner tiden t/time:
> x := [5.135798, 4.804021, 4.304065, 3.806662, 3.332205, 2.833213, 2.302585];
y := [.16, .5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0]
Som det fremgår ude for det grafiske afbillede af tiden som funktionen af ln[A] og den næsten præ-
cise forklaringsgrad på 0.9998 må vi konkluderer at reaktionen er af første orden, med en ha-
stighedskonstant op k=1.01 da vi tager den numeriske værdi.
Dernæst fik vi også til opgave at forklarer hvad halveringstiden var for kokainet i blodet, halve-
ringstiden er den tid det tager får et stof har fået halveret den konventration af det givne stof i blo-
det. Ud fra formlen for reaktionsordnen kan vi se at hastighedskonstanten k er lig med -1.01, her er
konstanten -k det samme som den aftagende hældning på grafen. Hermed kan ligningen for første
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
16
ordens reaktion omskrives: her af kan vi omskrive
og t = T1/2, se evt. bilag for rede-
gørelse af halveringskonstanten:
Derved kan vi nu regne halvering konstanten for den ovenstående ligning:
Den numeriske værdi for halveringstiden er således cirka 0,7 time = 0.7*60= 42 minutter, før stof-
fets koncentration er halveret i reaktionen med blodet. Som det også ses ud fra grafen er det karak-
teristisk for en første ordens reaktion, at vores koncentrationen aftager eksponentielt med tiden,
svarende til at tage den naturlige logaritmen til koncentrationen aftager lineært med tiden, og at
halveringstiden er uafhængig af begyndelseskoncentrationen
3.2 Opgave 3B:
Vi betragter en reaktion hvor reaktionshastigheden kun afhænger af stoffet B’s koncentration. Der
gennemføres seks forsøg og i hvert forsøg måles begyndelseshastigheden:
Skemaet for forsøget findes i bilaget: Anfør reaktionens hastighedsudtryk og find hastighedskon-
stanten. Da man skal bestemme reaktionens hastighedsudtryk skal man først finde hvilken reaktions
orden rektionen ligger inden for, som det ses ud fra bilaget kan vi se at reaktionen er en anden or-
dens reaktion da koncentrationen er sat i anden [B]^2, efter vi har lavet funktionen af reaktions ha-
stigheden af hænger koncentrationen i en exponentiel funktion, derfor sætter vi det i anden for at se
hvad den givne funktion er. Da denne funktion [B]^2 som funktion af tiden danner den bedste rette
linje. Grunden til at jeg ikke har tjekket om reaktionen ikke ligger i en anden orden er fordi vores
forklaringsgrad ligger så tæt på 1.
Ud fra vi kender anden ordens reaktionens formel, som ser således ud:
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
17
Kan man se at reaktionskonstanten k som er tallet a i hastigheds-
udtrykket, derfor må konstanten være lig med 260. Der kan vi finde enheden ved hastighedsudtryk-
ket, da vi ved at for nulte ordens reaktioner haves enheden mol·L-^1·s^-1, for første orden haves s-
1 og for anden ordens haves mol^-1·L·s^-1, Derfor må enheden være 260
4.0 Teorien i praksis, forsøg med thiosulfat og syre:
4.1 Reaktion med thiosulfat og syre:
I dette forsøg tilsætter man en syre til vandig op løsning af natriumthiosulfat, Na
2
S
2
O
3
, vil der være
et udfæld af frit svovl, dette vil udfældes da svovl er uopløseligt i vand pga. vand er polært og svovl
er upolært, da dens elektronegativitet er lavere end cirka 1,6. Derudover er Svovl er et fast citron-
gult ikke-metal, som er fuldstændigt uopløseligt i vand. Bl.a. derfor kan man finde rent svovl i natu-
ren, især ved varme kilder og vulkaner. Vand er polært. Hvis noget skal opløses i vand må det altså
være polært. Da svovl er upolært er det hydrofobt, ikke vandopløseligt. Polære stoffer som kan
blandes med vand, siges at være hudrofile. Det fremgår også af reaktions skemaet at der dannes frit
svovl:
S
2
O
3
2-
+ 2 H
+
S (s) + SO
2
+ H
2
O
Det kan dog også ses at denne reaktion er en redoxreaktion, og en redoxreaktion er en reaktion hvor
der sker en elektron overførsel, som det også ligger i de to ord oxidation, som er en hel eller delvis
elektronafgivelse og reduktion, som er hel eller delvis elektronoptagelse, og da der ikke kan fore-
komme frie elektroner vil de ske cirka samtidigt, og heraf har vi navnet redoxreaktion. Da der dan-
nes frit svovl, er der nemlig en ændring i vores oxidations tal, dette beskrives med at oxidations tal
er en opgang eller nedgang i atomets ladning, og det er her vores koefficienter tilføjes. Denne reak-
tion er derfor en redoxreaktion da stoffet svovl kan optræde med forskellig ladning, som fx 2,-2,4
Forsøgsbeskrivelsen samt regning af koncentration forekommer på bilaget:
Forsøgsskema 1:
Forsøg nr.
Na
2
S
2
O
3
V [mL]
HCl
V [mL]
Temperatur
[C]
Reaktionstid
t [sek.]
1/t
[sek
-1
]
1
20
20
5
172
0,3
2
20
20
20
72
3
20
20
30
36
09
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
18
4
20
20
50
14,3
7
Forsøgsskema 2:
Forsøg nr.
Na
2
S
2
O
3
V [mL]
HCl
V [mL]
Vand
V[mL]
Reaktionstid
t [sek.]
1/t
[sek
-1
]
1
20
1
19
872
0,9
2
20
5
15
655
0,8
3
20
10
10
648
0,
4
20
15
5
492
0,
5
15
15
15
854
0,
6
20
15
10
736
0,6
7
25
15
5
378
0,3
8
30
15
0
331
0,8
4.2 Behandling af resultater til forsøgsskema 1:
Skema 1 viser som vi kan se en sammenhæng imellem reaktionshastigheden og temperaturen. Heraf
vil jeg afbilde 1/Δt med temperaturen grafisk i maple. (de andre grafer er i maple)
x := [5, 20, 30, 50] og y := [e-2, 0.138889e-1, 9e-1, e-1]
Man kan på grafen se, at reaktionshastigheden stiger eksponentielt i forhold til
temperaturstigningen, dog kan man se at hvis en reaktion forløber relativt langsomt ved
stuetemperatur kan man som regel med en tommelfingerregelmantage at, at hastighedeskonstaten
cirka fordobles, hvis temperaturen øges med 10 grader. Det ses at den tilnærmelsesvis følger 10
gradersregelen:
Vi kan se ud fra de tre forskrifter at det er en eksponentielt voksende funktion der har den bedste
forklaringsgrad, altså tallet r^2, den har en forklaringsgrad på 0.993, som er ritigt godt da den
bedste rette linje, har en forklaringsgrad tæt på en. Her kan vi se at a er lig med 1.06 der er
fremskrivningsfaktoren der fortæller at når y er eksponentiel er a fremskrivningsfaktoren: Når x
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
19
vokser med 1, bliver y ganget med a, Tallet b er den højde hvor grafen for funktionen skærer y-
aksen. Skæringspunktet med y-aksen er altså i koordinatsættet (0,b), altså hastigheden I forhold til
temperaturen nul grader.
Heraf kan vi nu beregne aktiveringsenergien der skal til før raktionen sker, derfor optegner man
herefter dataene fra skema 1 på følgende måde: Den naturlige logaritmen til hastigheden (1/Δt )
som funktion af 1/T og kommenter grafens udseende (Jvf. fodnote), og der ved ud fra arrheninus
ligningen kan vi finde aktiveringsenergien.
Heraf skal vi huske at beregne det til den absolutte temperatur altså kelvin, det gør vi ved at pluse
graderne med 273 kelvin:
x := [1/278, 1/293, 1/303, 1/323]
Heraf tager vi den naturlige logaritme til reaktionshastigheden (1/Δt )
y := [-61, -19, -33, -36]
Viser en sammenhæng mellem temperaturen og hastigheden på lineærtform, vi kan derved ses at
vore graf følger arrhenius ligningen, da vores bedste rette linje er blevet til et arrhenius plot, da det
forekom da vi tog ln(1/t) som funktionen af 1/T.
21
Grafen er lineærtrt aftagende, med en
flrklaringsgrad på 0.99, det er meget tæt på r^2 værdi på 1, derfor kan vi nu konkluderer at vi har
eftervist arrheniusligningen, dette kan vi også se da vi har en forskrift der passer på lignningen af
første orden.
Der ved kan vi nu omskrive arrhenius ligningen så vi kan beregne aktiveringsenergien
22
:
21
Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi A. Haase og Søns forlag, Århus 2011: side 70
22
Ibid: side 70
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
20
Da vi kender lignen for en lineær funktion
, kan vi se at a som er hældnings-
koefficienten er lig med aktiveringsenergien over gaskonstanten: der for kan vi nu udlede
aktiverings energien: gaskonstanten er lig med 8,31:
Således er vores aktiveringenergi 41,7162 kilo joule pr. mol, det vil sige det er den energi der skal
til før et stof kommer over “energibjerget”, dette gør den ved at aktiverings energien er højere end
den kenistiske energi.
4.3 Behandling af resultater til forsøgsskema 2:
For at finde ud hvor stor en indflydelse koncentrationen har på følgende reaktioner, kan vi tegne et
grafisk billede af hastigheden 1/Δt som funktionen af koncentrationen [S
2
O
3
-
]. Der for skal vi netop
beregne koncentrationen for det følgende stof. Det sker med hjælp af formlen:
Beregninger af koncentrationer er i bilaget, men jeg vil derfor lige gennem gå et numerisk regneek-
sempel fra forsøg 5, da koncentration er ens for de 4 første, opløsningen af [S
2
O
3
-
] er 0,1 Mol/l og
da vi har 15 ml = 0,015l, skal det ganges så vi stofmængdekonventrationen n, og det er lig med
0,0015 mol, og da vi har 45 ml med vi at v er lig med volumen som er lig med 45 ml = 0,045 l, der-
for kan vi nu få koncentrationen som er 0,0015/0,045 = 0,0333 mol/l. Derfor kan vi nu afbillede
grafen: Hvor x er koncentrationen og y er hastigheden.
x := [0.44e-1, 0.556e-1, 0.667e-1] og y := [96, 03, 48]
Ud fra vores grafer kan vi se at det er en voksende potens funktion har den bedste forklaringsgrad
r^2 = 0,88 som er tilnærmelsesvis gode i forhold til de andre grafer. Hermed kan man også se at
koncentrationen har en betydning, at hvis man øger koncentration vil hastigheden også blive øget,
dog vil den blive mere stagnerende hen af vejen, da hastighed når et form for maksimum i forhold
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
21
til kocentrationen. Det samme vil ske hvis vi også tog det andet forsøg med som 1/Δt som funktio-
nen af koncentrationen [H
+
].
Igen ser vi at en reaktion forløber hurtigere jo kraftigere koncentrationen er. Dette kan vi også se i
vores tilfælde, hvor blandingen med meget kraftig koncentration af thiosulfat reagerer meget hurti-
gere med saltsyren, hvorimod den blanding hvor der var lille mængde thiosulfat var nået længere tid
om at reagere med saltsyren. Herunder må vi konkluderer at reaktionen er potensiel, da den havde
den bedste forklaringsgrad på cirka 0,9.
5.0 Perspektivering:
5.1 Reaktionskinetik i industrien:
I industrien interesserer forsker sig mig for hvor hurtigt et produkt kan dannes og hvilke reaktions-
betingelser, der giver det mest effektive og økonomiske udbytte. Fx i medicin industrien hvor der
forskes i medicinens optagelse i kroppe, og hvor hurtigt læge midlet kan optages i patients krop.
Derudover er der også en kamp i vaskepulver industrien om hvem der kan lave det vaske pulver
der kan reagere under de lavest temperaturer pga. enzymerne, dette kaldes enzymkinetik og er nært
beslægtet til reaktionskinetik. Når pesticider og andre miljøgifte slippes ud i naturen, kan stoffernes
nedbrydningshastighed være af afgørende betydning for miljøet, herunder kan man tilegnes sig me-
re vide om hvornår en given reaaktion er reageret færdig, ozonlagets nedbrydning i den øvre atmo-
sfære, og viden vi har i dag har vi fået fra reaktionskinetik. Viden om den rækkefølge og hastighed,
hvormed de forskellige kemiske bindinger brydes og dannes
23
.
23
Henrik Parbo, Annette Nyvad og Kim Kusk M.: Kend kemien3. Gyldendal, København 2007: side 11
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
22
6.0 Konklusion:
Vi har derved eftervidst at reaktionshastigheden er omvendt proportional med blandingens koncen-
tration, som vi i forvejen vidste ifølge vores teoretiske definition på reaktionshastighed. Samt kan vi
konkludere at den kemiske reaktionshastighed defineres som tilvæksten af reaktionsproduktet som
funktion af tiden eller som formindskelse af reaktantens koncentration som funktion af tiden
24
. Her-
under har vi set på de parametre der giver os stor indflydelse på reaktionshastigheden, og det er:
- Den Aktuelle koncentration
- Temperatur
- Katalyse og inhibitorere
- Overflade (kun heterogene reaktioner)
- Reaktionsmekanisme
Derved må vi konkluderer at temperaturen og koncentrationen har en væsentlig betydning, for reak-
tionshastigheden, da hvis man øger temperaturen og koncentrationen vil reaktionshastigheden også
stige, dog med hensyn til hvilken orden den ligger i. Der grafiske afbilder, har vi kørt regressions-
analyse på grafer, med baggrundsviden om mindste kvadraters metode, har vi fået en forståelse af at
grafer skal have en tilnærmelsesvis god forklaringsgrad.
24
Helge Mygind, Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi B. Haase og Søns forlag, Århus 2011: side 51
Reaktionshastigheder
Studieretningsprojekt
[navn fjernet] christensen 2d
SRO – REAKTIONSHASTIGHEDER
23
7.0 Litteraturliste:
7.1 Primær litteratur:
Helge Mygind, Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi B. Haase og Søns
forlag, Århus 2011
Henrik Parbo, Annette Nyvad og Kim Kusk M.: Kend kemien 2. Gyldendal, København
2007
Mindste kvadraters metode: Carstensen og Frandsen: Mat 1 kompendium16 Regression.
2012 samt http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html - fredag den. 20/04 kl:
12:14
Ole Vesterlund Nielsen og Vibeke Axelsen: Basiskemi A. Haase og Søns forlag, Århus 2011
7.2 Sekundær litteratur:
Flemming Clausen, Gert Schomacker og Jesper Tolnø: I Grundbogen B2 kapitel 3 og 8, ma-
tematiske modeller.: Gyldendals Gymnasie matematik, Gyldendal, københavn 2006
Flemming Clausen, Gert Schomacker og Jesper Tolnø: I Grundbogen B1 findes på side 112-
115 materiale om regression og transformation af data: Gyldendals Gymnasie matematik,
Gyldendal, københavn 2006
Forside der viser en meget hurtig reaktionshastighed med mentos og Cola – torsdag den.
19/04-kl:13:11:
http://www.google.com/imgres?q=mentos+and+coke&um=1&hl=da&client=safari&sa=N&
rls=en&biw=1276&bih=611&tbm=isch&tbnid=RN5qf5IwLySStM:&imgrefurl=http://aisgz.
org.cn/ramlog/03lino/page/3/&docid=oipuDS1P9s8WpM&imgurl=http://aisgz.org.cn/ramlo
g/03lino/files/2010/11/diet-coke-and-mentos-
1.jpg&w=482&h=424&ei=ouWTT4HrMMTGtAaLkP2yBA&zoom=1&iact=hc&vpx=897
&vpy=269&dur=462&hovh=137&hovw=155&tx=84&ty=93&sig=588
30&page=1&tbnh=133&tbnw=151&start=0&ndsp=21&ved=1t:429,r:19,s:0,i:105
Henrik Parbo, Annette Nyvad og Kim Kusk M.: Kend kemien3. Gyldendal, København
2007
Hans Birger Jensen: Isis Kemi A. Systime 2007 1 udgave, 1 oplag
Kemi til tiden: katalyse og katalytiske processer: kopi udleveret af vejleder