Radioaktivt henfald og koblede
differentielligninger
- SRO i fagene fysik og matematik
STX 2.g
Abstract:
This study examines the phenomenon radioactivity and involves the data that
were collected during an experiment that examined Protactinium’s radioactivity
and half-life period. First there is an explanation concerning ionized radiation
and different kinds of decay: Later noise and background radiation is discussed
and whether it is best to calculate for noise or background radiation. At last
differential equations and combined differential equations is put into
perspective, and especially how these combined differential equations can
explain different decay chains. Here the example it how tellurium decay to iod
that later decay to xenon.
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
2
Indholdsfortegnelse
PROBLEMFORMULERING 3
TEORI 3
RADIOAKTIVITET 3
DE FORSKELLIGE RADIOAKTIVE HENFALD 3
HALVERINGSTID OG HENFALDSKONSTANT 4
FORSØG MED FOKUS PÅ HALVERINGSTIDEN AF PROTACTINIUM-234 4
FORSØGSOPSTILLING 5
DATABEHANDLING 5
DISKUSSIONEN 8
KONKLUSION 9
PERSPEKTIVERING 9
KILDER: 15
BILAG 16
BILAG 1: HALVERINGSTIDEN FOR PROTACTINIUM-234 16
BILAG 2: DE UBEARBEJDEDE DATA 21
BILAG 3: BAGGRUNDSSTRÅLING 21
BILAG 4: UDREGNING AF DEN GENNEMSNITLIGE BAGGRUNDSSTRÅLING 22
BILAG 5: UDREGNING AF GENNEMSNITLIG BAGGRUNDSSTØJ 22
BILAG 6: UDLEDNING AF HALVERINGSTIDEN VED BRUG AF HENFALDSKONSTANT 22
BILAG 7: GRAFISK FREMSTILLING AF DE KOBLEDE DIFFERENTIELLIGNINGER 24
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
3
Problemformulering
Først vil jeg gennemgå teorien for radioaktivhenfald. Dette anvendes i et forsøg der
omhandler halveringstiden af Protactinium-234.
Derefter vil jeg perspektivere til det sammensatte henfald af Tellur-131 via Iod-131 til
Xenon-131, der kan beskrives ved hjælp af koblede differentialligninger.
Teori
Radioaktivitet
Radioaktivitet er et begreb indenfor kernefysik, der beskriver processen, hvor en
atomkerne bliver omdannet, og udsender en ioniseret stråling. Fænomenet
radioaktivitet blev opdaget af franskmanden Henri Becquerels i 1896, men det blev
Rutherford der senere eksperimenterede med og definerede tre forskellige radioaktive
henfald.
1
15 af de 90 grundstoffer, der forekommer naturligt på jorden, har radioaktive isotoper,
hvor størstedelen består af Kalium-40, thorium-232 samt Uran-235 og -238.
2
De forskellige radioaktive henfald
Der eksisterer fire former for radioaktivt henfald. Forskellen defineres, ud fra hvilken
form for ioniseret stråling der bliver udsendt og hvordan kernen bliver påvirket.
1. Alfa-henfald er processen, hvor to protoner og to neutroner udsendes fra
kernen. Disse protoner og neutroner betegnes Helium-4. Eftersom Helium-4
har meget større masse end både henfaldet fra beta-minus, beta-plus og
gammahenfald, skal der meget mindre modstand til før strålingen bremses.
2. Beta-minus- og beta-plus henfald har nogle lighedstræk, da begge processer
involverer omdannelsen af en kernepartikel. Beta-minus er processen, hvor en
neutron forvandles til henholdsvis en proton, en elektron og en antineutrino.
Derefter udsendes antineutrinoen og elektronen. Neutrinoen registreres kun, da
den bære noget energi med sig. Atomnummeret, Z, stiger på grund af
omdannelsen af en neutron til en proton, mens nukleonnummeret er kontant.
Under beta-plus henfald omdannes en proton til en neutron, en positron og en
neutrino. Neutrinoen og positronen sendes ud af kernen sammen, og ligesom i
beta-minus henfaldet opdages neutrinoen ved, at den transporterer en
energiudladning med sig. I beta-plus falder grundstofnummeret, mens
nukleonnummeret er det samme.
3. Gamma-henfald er meget anderledes end
de tre andre henfaldsformer, da den
1
Fysik i øjenhøjde - Jakobsen, Kurt, 2011
2
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Stråling_og_radi
oaktivitet/radioaktivitet
Ovenstående figur viser hvordan
de forskellige radioaktive henfald
påvirker antallet af neutroner og
protoner. N er antallet af
neutroner og z antallet af protoner
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
4
stråling der udsendes ikke har masse. Gammahenfald opstår når et exciteret
atom, under emission, udsender en foton. I denne proces går atomet fra
exciteret tilstand til grundtilstand, men bliver ikke til et andet grundstof i
processen.
3
Halveringstid og henfaldskonstant
Halveringstiden er det tidsinterval, det tager for antallet af radioaktive kerner at blive
halveret. Halveringstiden kan varierer fra få sekunder til milliarder af år. Man bruger
især denne viden indenfor datering.
Henfaldet af et radioaktivt materiale kan beskrives ved tre ækvivalente matematiske
funktioner. Den eksponentielfunktion der i størst udstrækning bliver brugt indenfor
fysikken gør brug af halveringstiden, T
1/2
.
Af ovenstående formel kan man tydeligt se, at når tiden, t, er lig T
1/2
er halvdelen af
de radioaktive kerne
henfaldet.
Den naturlige eksponentialfunktion er ofte brugt i matematikken, og denne funktion
inddrager en henfaldskonstant kaldet k. Henfaldskonstanten, k, vil altid have negativt
fortegn, da radioaktiviteten er ekspotentielt faldende. Henfaldskonstanten refererer til
sandsynligheden for en enkelt kernes henfald pr. sekund. Sandsynligheden for
henfaldet øges proportionelt med tiden.
Derudover kan henfaldet af et radioaktivt materiale også beskrives med den
almindelige eksponentielfunktion.
Hvor fremskrivningsfaktoren, a, vil være mindre end 1. Denne vil jeg ikke beskæftige
mig med nu.
Forsøg med fokus på halveringstiden af Protactinium-234
Forsøgsvejledningen se bilag 1.
I forsøget skal der indgå en beholder med organisk opløsningsmiddel og
uranylnitrat (UO
2
(NO
3
)
2
) opløst i HCl. Derudover er der tilsat Uran-238, der er
henfaldet til Thorium-234, der herefter er henfaldet til Protactinium-234. Hvis
beholderen omrystes, vil stoffet Protactinium-234 binde sig til det organiske
opløsningsmiddel. Protactinium-234 er tungtopløseligt i polære væsker som HCl
(aq)
,
mens det er letopløseligt i upolærer opløsninger, som f.eks. et organisk
opløsningsmiddel. Stoffet Protactinium-234 binder sig til det organiske
opløsningsmiddel, der, på grund af sin lave densitet, diffunderer og koncentrerer sig i
toppen af beholderen.
Herefter er det muligt, ved hjælp af en geiger-müller tæller, at udregne stoffets
aktivitet.
3
Fysik i øjenhøjde - Jakobsen, Kurt, 2011
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
5
238 234 4
92 90 2
U Th+ He
-henfald,
½
= 4,5 10
9
a
234 234 0
90 91 -1
Th Pa+ e
-henfald,
½
= 24 d
E
max
() = 0,2 MeV
234 234 0
91 92 -1
Pa U+ e
-henfald,
½
= 70,8 s
E
max
() = 2,3 MeV
234 234 0
91 92 -1
Pa U+ e
-henfald,
½
= 6,8 h
E
max
() = 0,5 MeV
234 230 4
92 90 2
U Th+ He
-henfald,
½
= 2,5 10
5
a
Ovenstående henfaldskæde viser henfaldet fra Uran-238 til Thorium-234.
Henfaldskæden viser også, at energien fra beta-minus henfald er meget højere, når
halveringstiden er lav.
Thorium-234, Thorium-230, Uran-238 og Uran-234 koncentrerer sig nederste i
beholderen, så deres stråling trænger ikke op til GM-røret. Derudover vil plastik-
hætten på GM-røret absorberer meget af alfa-strålingen. Derfor er det kun strålingen
fra det Protactinium-234 med en halveringstid på 70.8 sekunder, der har reel
indflydelse på forsøget. Enheden for aktiviteten er
Becquerel, der er lig s
-1
.
Forsøgsopstilling
Tegningen til højre viser GM-røret, der tæller den
ioniserede stråling, der udsendes af beholderen med
det radioaktive materiale. Datamaterialet sendes
derefter ned til en computer, der ved hjælp af logger-
pro kan indsamle data.
Databehandling
Ubearbejdet datamateriale se bilag 2.
På baggrund af de data vi fik fra vores forsøg, har jeg lavet to eksponentielfunktioner.
Den ene eksponentielfunktion er den naturlige eksponentielfunktion, som har
fremskrivningsfaktoren e og eksponenten –k gange med tiden, t. I den anden
eksponentielfunktion indgår halveringstiden af et givent stof under tiden, t, og har
fremskrivningsfaktoren ½. Begge eksponentielfunktioner har identiske RMSE-
værdier og beskriver datamaterialet med samme nøjagtighed.
Først målte vi aktiviteten af baggrundsstrålingen, hvorefter jeg udregnede
gennemsnittet af resultaterne. Dette gennemsnit, på 6,567, brugte jeg til at korrigere
aktiviteten af de forsøgsresultaterne, vi havde fået fra forsøget med Protactinium-234.
Udregning af den gennemsnitlige baggrundsstråling se i bilag 3.
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
6
En anden måde, hvorpå forsøgsresultaterne kan korrigeres, er ved at udregne den
gennemsnitlige baggrundsstøj og trække dette gennemsnit fra forsøgsresultaterne.
Baggrundsstøjen findes ved at tage logaritmen til forsøgsresultaterne, hvorefter man
forkaster de data, der ikke kan beskrives ved en lineær regression
4
. Disse data vil
ligge som sporadiske punkter langs x-aksen og må anses som støj. Bliver det
radioaktive materiales aktivitet så lavt, at det overdøves af støjen, kan det radioaktive
materiale ikke registreres.
Af de forkastede data, udregnes et gennemsnit, i dette tilfælde 10,677, som herefter
defineres som baggrundsstøjen.
Udregningen af den gennemsnitlige baggrundsstøj se bilag 4.
Ud fra disse to metode har jeg udarbejdet to grafer korrigeret henholdsvis for den
gennemsnitlige baggrundsstråling og den gennemsnitlige baggrundsstøj.
Nedenstående grafer viser Protactinium-234s henfald. Tiden er korregeret, så
henfaldet begynder til tiden 0. Målingen indtil da anses før støj og forkastes derfor.
Derudover er både henfaldskonstanten og halveringstiden markeret på graferne.
Enheden for x-aksen er sekunder, og der er blevet målt i 10-sekundsintervaller.
Derudover er ”ny tid” en korregeret tid, hvor den første måling er til tiden -50.
Enheden for y-aksen er 10 Becquerel, svarende til en tælling pr. 10 sekund.
Derudover er den gennemsnitlige baggrundsstråling trukket fra resultaterne i graf 1,
mens baggrundsstøjen er trukket fra i graf 2.
Graf 1
4
http://www.youtube.com/watch?v=T5ivNzK27tQ
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
7
Graf 2
Som det fremgår af nedenstående graf, bliver resultaterne efter 400 sekunder for
spredte til at kunne beskrives ved en lineær regression, og dette er en indikator på, at
støjen overdøver aktiviteten fra det radioaktive materiale.
Derfor beskriver graf 1 og -2 også kun de første 400 sekunder, fordi det derefter ikke
giver nogen mening. Hvis punkterne efter de 400 sekunder blev inddraget vil grafen
beskrive henfaldsloven upræcist.
Sammenhængen mellem en logaritmisk funktion og eksponentielfunktion kan
forklares matematisk se bilag 6:
Graf 3
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
8
Diskussionen
Et forsøg som ovenstående vil altid kunne indeholde forskellige fejlkilder og
usikkerhedsfaktorer.
En af de usikkerhedsfaktorer der kan have haft indflydelse på dette forsøg er, at det
organiske opløsningsmiddel, som Protactinium-234 binder sig til, diffunderer op til
overfladen gradvist, og dermed kan der blive tilført nyt radioaktivt materiale
undervejs, som geiger-müller røret kan registrerer.
En anden usikkerhedsfaktor ved dette forsøg er, at vi ikke målte afstanden mellem
geiger-müller og den radioaktive kilde, og derfor heller ikke ved om vi placerede
røret, de anbefalede 10 cm over den radioaktive kilde. Dette må betragtes som en
usikkerhed, men det er vanskeligt at afgøre, hvor stor indflydelse denne unøjagtighed
har haft på datamaterialet.
Afvigelsen mellem vores data og tabelværdien udregnes for at afgøre validiteten af
vores data. Er afvigelsen meget stor, er dette et tegn på mulige fejlkilder, som i nogen
tilfælde kan afstedkomme en forkastelse af datamaterialet.
Jeg har i nedenstående tabel udregnet afvigelsen for de to halveringstider, jeg har fået
ved henholdsvis at trække den gennemsnitlige baggrundsstøj - og den gennemsnitlige
baggrundsstråling fra.
Afvigelsen er en numerisk værdi og har derfor ikke fortegn.
Tabellen viser, at afvigelsen vedrørende halveringstiden baseret på det datamateriale
som er korrigeret for den gennemsnitlige baggrundsstøj, er meget mindre end
afvigelsen der vedrører den halveringstid, der er baseret på det datamateriale, der er
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
9
korrigeret for den gennemsnitlige baggrundsstrålingen. Ved at anvende den
logaritmiske funktion, graf 3, blev det muligt at isolere støjen, og derved blev
korregeringen foretaget med afsæt i baggrundsstøjen også mere præcis, end
koregeringen som alene tog udgangspunkt i den gennemsnitlige baggrundsstråling.
Både graf 1 og graf 2 har usikkerheden ± 3.974. Dette kan ses på de to grafer, der
hvor halveringstiden også aflæses.
Graf 1 har en usikkerhed, der er noget lavere end afvigelsen, og derfor ligger
halveringstiden så langt væk fra tabelværdien, at den ikke bekræfter denne. Dette er et
argument for, at det konstantled der trækkes fra forsøgsresultaterne, i dette tilfælde
den gennemsnitlige baggrundsstråling, ikke er præcist nok.
Da afvigelsen mellem graf 2 og tabelværdien er mindre end usikkerheden, afkræfter
disse data ikke tabelværdien.
Konklusion
Forsøget er gået som forventet, og forsøgsresultaterne afviger ikke meget fra
tabelværdien. Teorien og forsøgsresultatet understøtter således hinanden, og teorien
viste sig brugbar i forhold til at beskrive henfaldet af Protactinium-234.
Det at den naturlige eksponentielfunktion, og den eksponentielfunktion der gør brug
er halveringstid, er ækvivalente kommer ligeledes til udtryk på graf 1 og graf 2, da
begge funktioner har sammen RMSE-værdi og derfor ligger oven i hinanden.
Derudover har jeg korregeret både for baggrundsstøj og baggrundsstråling og
inddraget den logaritmiske funktion i forhold til isoleringen af støjen. Dette har gjort
resultatet af den gennemsnitlige baggrundsstøj mere præcis, end hvis den logaritmiske
funktion ikke var blevet inddraget. Dette er en af begrundelserne for, at afvigelsen er
så lille.
Endelig tager en korregering vedrørende baggrundsstøjen højde for flere faktorer end
baggrundsstrålingen, og derfor bliver en korregering på baggrund af baggrundsstøjen
tættere på tabelværdien.
Perspektivering
Differentialligninger kan bruges indenfor mange forskellige områder inden for
fysikken. I dette tilfælde vil jeg bruge differentialligninger til at beskrive
sammenhængen mellem aktiviteten og den differentierede naturlige ekspotentiel
funktion, hvorefter det bliver muligt at redegøre for sammenhængen mellem
henfaldskonstanten og halveringstiden.
Til slut vil henfaldet af tre forskellige radioaktive materialer blive beskrevet ved hjælp
af koblede differentialligninger.
Aktiviteten, A, beskriver antal henfaldende kerner efter et givent tidsinterval:
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
10
Eftersom antallet af radioaktive kerner er faldende, kan delta N siges at have negativt
fortegn.
Derudover kan aktiviteten også beskrives som antallet af kerner efter et givent
tidsinterval gange en konstant, k.
Hvis vi nu betragter meget korte tidsintervaller, kan aktiviteten beskrives således:
dvs.
Nu kan den naturlige eksponentialfunktionen indsættes i stedet for N som en mulig
løsning, og derved får N, som funktion af tiden, betegnelsen N(t).
Da c er lig N(t) til tiden 0, kan c kaldes N(0)
Hvis vi differentierer N(t) får vi
Dette kan også omskrives til
Nu kan A sættes ind på N’(t)’s plads.
Dette bevis beskriver sammenhængen mellem aktiviteten, A, og antallet af kerner, N,
og hvordan A kan anses som en afledt funktion af N. Her fremgår det også at
aktiviteten og antallet af kerner falder proportionelt.
5
Ud fra henfaldskonstanten kan halveringstiden udledes. Dette er relevant, hvis man er
interesseret i, hvor lang tid der går før et stofs radioaktivitet er halveret. Derudover
bliver halveringstiden oftest brugt indenfor fysik, da den giver et bedre overblik over
5
Radioaktivt henfald - http://steen-toft.dk/mat//3g1/model/henfald.pdf
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
11
det radioaktive materiales henfald, end henfaldskonstanten gør i den naturlige
eksponentialfunktion. Udledning af halveringstiden se bilag 7.
Som tidligere nævnt kan henfaldet fra et stof til et andet, der til sidst henfalder til
tredje, beskrives med koblede differentialligninger. Som konkret eksempel vil jeg
bruge Tellur-131, der henfalder ved beta-minus henfald til Iod-131, der igen henfalder
ved beta-minus henfald til Xenon-131.
På figuren ovenfor ses hvordan stof 1 kun henfalder, mens stof 2 forøges proportionelt
med stof 1’s henfald, men henfalder dog også til stof 3 hvis forøgelse er proportionelt
med stof 2’s henfald. Summen af de tre stoffer er naturligvis konstant.
Stof 1 er Tellur-131 og har en halveringstid på 30.2 timer
6
Stof 2 er Iod-131 og har en halveringstid på 8.0233 dage.
7
Nu kan henfaldskonstanterne udregnes på baggrund af halveringstiderne:
I dette konkrete eksempel er startværdierne og k-værdierne:
k1=Tellurs henfaldskonstant
k2=Iods henfaldskonstant
Normalt er enheden for henfaldskonstanten, k, s
-1
. I dette tilfælde er enheden for
henfaldskonstanten time
-1
for derved at undgå meget små k-værdier.
Ved hjælp af koblede differentialligninger kan henfaldet af de tre stoffer beskrives.
Stof 1’s henfald beskrives ved differentielligningen:
Ud fra denne differentielligning kan N1 bestemmes:
6
Isotopes of Tellur -http://en.wikipedia.org/wiki/Isotopes_of_tellurium
7
Isotop kort - http://www.fysikkemifaget.dk/isotopkort
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
12
Nu kan stof 2’s henfald beskrives. For stof 2 gælder, at antallet af kerner er
proportionelt med antallet af kerner henfaldet fra stof 1. Her ses det, at der samtidig
med at antallet af kerner stiger også sker et henfald af kerner til stof 3:
Denne differentialligning kan løses ved hjælp af panserformlen da den opfylder:
Nu kan værdier puttes ind i panserformlen, der i dette tilfælde er omskrevet en smule
for derved at gøre det mere overskueligt.
A(t) er integralet af a(t).
Nu skal integralet af b*e^A(t) findes. Dette har jeg gjort ved brug af maple:
Dette sættes nu i stedet for b*e^A(t), og så kan c udregnes ved at sætte t lig 0. Dette
kan lade sig gøre, da vi ved at y er lig 0 til tiden 0.
Forøgelsen af stof 3 kan udregnes til sidst. Eftersom Xenon-131 er stabilt og ikke
henfalder til et andet stof, opstår der akkumulation, af de kerner som er henfaldet fra
Iod-131.
Denne differentielligning løses ved integration:
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
13
Igen kan konstanten, i dette tilfælde c
2
, udregnes ved at sætte t lig 0, da y er lig 0 til
tiden 0. Dette gøres ved hjælp af solve-kommandoen i maple.
8
De tre formler står nedenfor, mens en grafisk fremstilling kan findes i bilag 7.
Med formlen N3(t) kan mængden af xenon til et givent tidspunkt udregnes.
8
Radioaktivt henfald - http://steen-toft.dk/mat//3g1/model/henfald.pdf
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
14
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
15
Kilder:
Jakobsen, Kurt: Fysik i øjenhøjde. Side 128-131. 1. udg. Nyt teknisk forlag, 2011.
(Bog)
http://www.denstoredanske.dk: Radioaktivitet. Udgivet af Gyldendal. Sidst opdateret:
Internetadresse:
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Stråling_og_radio
aktivitet/radioaktivitet - Besøgt d. (Internet)
Radioaktivt henfald. Udgivet af Steen Toft Jørgensen. Internetadresse: http://steen-
toft.dk/mat//3g1/model/henfald.pdf - Besøgt d. (Internet)
www.youtube.com: Bevis for at en eksponentiel funktion er en ret linie i
enkeltlogaritmisk papir. Udgivet af FriViden. Internetadresse:
http://www.youtube.com/watch?v=T5ivNzK27tQ - Besøgt d. (Internet)
http://www.fysikkemifaget.dk/: Isotopkort. Udgivet af Clio online. Internetadresse:
http://www.fysikkemifaget.dk/isotopkort - Besøgt d. (Internet)
http://en.wikipedia.org/: Isotopes of Tellur. Udgivet af wikipedia. Sidst opdateret:
Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Isotopes_of_tellurium -
Besøgt d. (Internet)
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
16
Bilag
Bilag 1: Halveringstiden for Protactinium-234
Formål:
Formålet med denne øvelse er at bestemme halveringstiden af Protactinium-234,
som er omkring 70 s. Derudover arbejdes der med eksperimentelle metoder,
herunder dataopsamling og fejlkilder. Teorien bag henfaldsloven behandles
matematisk.
Teori:
Isotopen Protactinium-234 er medlem af Uran-238 henfaldsserien, hvis første
led vi ser herunder:
Antallet af radioaktive kerner, N(t), af en bestemt type aftager eksponentielt
ifølge Henfaldsloven:
hvor T
½
er halveringstiden. Henfaldsloven er løsning til en differentialligning for N(t),
idet en vis fast procentdel henfalder indenfor et givent tidsinterval. I SRO-opgaven
skal dette uddybes.
Den målte aktivitet A(t), aftager ligeledes eksponentielt med tiden, t, fra en startværdi
A
0
:
Enheden for aktivitet er ”impulser pr. sek.” eller becquerel, hvor 1 Bq = s
-1
.
Aktiviteten der måles afhænger af antal kerner: A(t)=k∙N(t), hvor k er
henfaldskonstanten som er relateret til halveringstiden gennem formlen:
.
Se side 136 i ”Fysik i øjenhøjde”.
Hvad sker der indeni Protactinium generatoren?
238 234 4
92 90 2
U Th+ He
-henfald,
½
= 4,5 10
9
a
234 234 0
90 91 -1
Th Pa+ e
-henfald,
½
= 24 d
E
max
() = 0,2 MeV
234 234 0
91 92 -1
Pa U+ e
-henfald,
½
= 70,8 s
E
max
() = 2,3 MeV
234 234 0
91 92 -1
Pa U+ e
-henfald,
½
= 6,8 h
E
max
() = 0,5 MeV
234 230 4
92 90 2
U Th+ He
-henfald,
½
= 2,5 10
5
a
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
17
Idéen med generatoren er, at separere noget protactinium fra en uran-opløsning
for at eliminere tællinger fra andre isotoper i opløsningen. Dette foregår i flere
trin:
I flasken er der en opløsning med uransaltet uranylnitrat (UO
2
(NO
3
)
2
)
samt et organisk opløsningsmiddel (4-methyl-2-pentanon), der kan binde
protactinium.
Protactinium Pa-234 dannes ved henfald af thorium-234, der dannes ved
henfald af uran-238.
Vi opnår separationen af Pa-234 fordi det organiske opløsningsmiddel er
lettere end vand og ikke er blandbart med opløsningen af uran-salt i
koncentreret saltsyre.
Når vi ryster de to væsker sammen, udtrækker det organiske opløsnings-
middel netop Pa-234. Når de to væsker ikke længere forstyrres, vil de
lagdeles efter deres forskellige densiteter, og alt forekommende Pa-234
vil findes i det øverste lag. Opdelingen sker gradvist ved diffusion.
Vi kan umiddelbart herefter måle henfaldet af Pa-234 med et GM-rør i et
forsøgsstativ anbragt tæt over beholderen.
Flere forhold er medvirkende til at sikre, at det netop er halveringstiden for Pa-
234, vi måler:
1) Th-234 forbliver i det nederste (lyse) vandholdige lag. -strålingen fra Th-
234 og -stråling fra Th-230 trænger næppe op gennem beholderen. Ved
at beholde plastik-hætten på GM-røret absorberes en del af eventuel -
stråling.
2) U-234 og U-238 befinder sig i det nederste vandholdige lag, de udsender
begge -stråling.
3) Pa-234 udsender -stråling med en maksimal energi på 2,3 MeV, hvilket
er nok til at gennemtrænge både beholdervæggen og noget af den væske,
som Pa-234 findes i.
4) Stråling fra nydannede Pa-234 kerner har ikke energi nok til at trænge fra
det vandholdige lag op til GM-røret. Pa-234 dannes i to isomere former,
der begge -henfalder. Formen med halveringstiden ca 70 s har den
største E
max
(), og det er denne forms halveringstid, som vi bestemmer
ved eksperimentet.
Sikkerhed:
Man skal være særlig opmærksom på sikkerhed under forsøget, da der indgår
stoffer som er både sundhedsskadelige og radioaktive. Læs sidste side.
Eksperimentelt:
Forsøget er relativt simpelt at udføre, men det der foregår er lidt
kompliceret og dette har betydning for fortolkningen af målingerne
samt den teori der forklarer målingerne.
Opstilling:
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
18
GM-røret spændes op og tilsluttes
GM-røret spændes på et stativ så det peger nedad ca. 10-15 cm over bordet, hvor den
radioaktive kilde skal placeres. Der er to muligheder for tilslutning af GM-røret til
tællere.
1. LoggerPro: GM-røret forbindes først til en ”GM-forstærker” og så en
”LabQuest” fra Vernier, der via et USB-kabel tilsluttes en computer med
LoggerPro installeret.
LoggerPro findes under ”Alle programmer” ”Vernier Software”.
2. Alternativt kan man bruge en traditionel tælleboks med elektronisk display og
overføre målingerne til LoggerPro.
Udstyret tændes
Når alt udstyret er koblet sammen tændes LabQuest’en. LoggerPro finder automatisk
ud af, at virke som Geiger-tæller og viser nederst til venstre, at den måler ”Radiation
Counts”, dvs. tællinger af radioaktive partikler.
Målinger:
Klik på ikonet med ur og lineal (findes også under menuen ”Experiment” ”Data
Collection”) og indstil ”Length” til et passende interval (hellere lidt for langt, da man
kan afbryde når man vil) og vælg en tælletid på 10 ”seconds/sample”.
Måling af baggrundsstrålingen
Start en måleserie uden kilden ved at trykke ”Collect”.
Mål først på baggrundsstrålingen i f.eks. 100 sek. tre gange og find gennemsnittet for
10 sek. Den fundne værdi for gennemsnittet (i 10 sek.), kaldes A
baggrund
og den
trækkes fra de efterfølgende målinger (der også typisk foretages i intervaller à 10
sek.).
Måling af halveringstid
Geiger-Müller- røret anbringes så Protactinium generatoren lige akkurat
kan flyttes ind under tælleren. Der skal bruges et meget følsomt GM-rør
(stor diameter).
Indstil LoggerPro til kontinuert tælling i 10 sekunders intervaller. Vent
med at trykke på Start (”Collect”) til kilden er placeret.
Flasken med uran opløst i saltsyre rystes i ca. 5 sekunder og anbringes
med bunden (den gennemsigtige ende) i vejret under GM-røret. Iagttag, at
de to væsker lagdeler sig.
Anbring GM-røret umiddelbart over beholderen og tryk på Start. Data
opsamles med LoggerPro. Bemærk, at tælletallene først begynder at falde
efter en indledende fase med stigende eller konstant tælletal.
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
19
Fortsæt målingerne indtil signalet (tælletallet) er sammenligneligt med
baggrundsstrålingen.
Der korrigeres for baggrundsstrålingen. Det korrigerede tælletal afsættes
på y-aksen og tiden på x-aksen på en graf i LoggerPro.
Halveringstiden bestemmes vha. eksponentiel regression på intervallet af
målinger med faldende tælletal. Overvej hvordan man vurderer at
tællingerne er faldende.
Man kan opnå et højere tælletal (signal) og dermed mindre usikkerhed
ved at lægge flere måleserier sammen. Overvej hvorfor dette er tilfældet.
Resultatet sammenlignes med den forventede T
½
(tabelværdien).
Diskussion:
Hvor godt beskriver henfaldsloven målingerne?
Hvor meget afviger T
½
fra tabelværdien?
Hvordan kan teorien eventuelt udvides til at tage højde for den indledende fase
med diffusion?
Hvilke fejlkilder er væsentlige og hvilken indflydelse har de på bestemmelsen
af halveringstiden?
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
20
Pa-234 generator – sikkerhedsforanstaltninger
Generatoren består af en forseglet gennemsigtig beholder, som er kemisk inaktiv,
og som under normale omstændigheder er tæt. Under transport er generatoren
omsluttet af en ydre beholder. Ved lang tids opbevaring skal den anbringes i et
100 mL bægerglas i den ydre beholder for at opsamle evt. udsivende
opløsningsmiddel.
Ved brug skal generatoren vendes med hætten nederst. Efter brugen skal
generatoren anbringes i sin glasbeholder og gemmes med hætten øverst.
Eksperimentel praksis
Man bør følge særlige sikkerhedsforanstaltninger ved håndtering af radioaktive
materialer: Brug kittel, engangshandsker og evt. øjenbeskyttelse (briller). Vask
hænder efter forsøget og undlad som altid at spise eller drikke i laboratoriet.
1) Målingen foretages ved at observere tælleraten over beholderen. Den lukkede
beholder må ikke åbnes, ridses eller deformeres på nogen måde, ligeledes må
beholderen ikke udsættes for kemikalier.
2) Rystningen af beholderen kan eventuelt foregå over en plastbakke med klud
(5 sekunder er passende).
3) Dataopsamlingen skal først påbegyndes, når lagdelingen er fuldendt.
Strålingsrisici
1) Den forseglede -kilde flyttes altid indesluttet i sin transportbeholder.
2) Begræns bestrålingstiden (En måling bør max vare ca. 30 minutter).
3) Undgå unødig håndtering af præparatet.
4) Hold altid den maksimale afstand fra præparatet.
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
21
Bilag 2: De ubearbejdede data
Bilag 3: Baggrundsstråling
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
22
Bilag 4: Udregning af den gennemsnitlige baggrundsstråling
Bilag 5: Udregning af gennemsnitlig baggrundsstøj
Bilag 6: Sammenhæng mellem en eksponentielfunktion og en logaritmisk
funktion
Bevis for at logaritmen til en eksponentialfunktion giver en lineær regression.
Først tages man logaritmen til begge sider af lighedstegnet, som det ses på billedet
nedenfor:
Derefter bruges den logaritme regnerelg, der siger at logaritmen til to faktorer ganget
med hinanden er lig, logaritmen til den ene faktorer ganget logaritmen til den anden
faktorer.
Derefter er der en regnerelg, der siger at logaritmen til en faktor opløftet i en
eksponent er lig eksponenten ganget logaritmen til faktoren.
Til sidst puttes omskrivningerne ind, og man får udtrykket:
Nu kan log(b) anses som et konstant led, log(1/2) som a-værdien i en lineær
regression mens x er den variable.
9
9
http://www.youtube.com/watch?v=T5ivNzK27tQ
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
23
Bilag 7: Udledning af halveringstiden ved brug af henfaldskonstant
b, der enten kan være aktiviteten eller antal kerner til tiden 0, kan forkortes væk på
begge sider, så udtrykket kommer til at sådan her ud:
Den naturlige logaritme tages nu på begge sider. Da den naturlige logaritme til Eulers
konstant er lig 1, kan dette senere forkortes væk. Igen bruges regnereglen:
t’erne på begge sider og ln(e) forkortes nu væk.
Ved at sige ln(2) i stedet for ln(0.5) skifter m fortegn. Derudover kan ln(2) puttes i
nævneren på begge sider af lighedstegnet for derved at isolere T
1/2
SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet
4. marts 2014
24
Bilag 8: Grafisk fremstilling af de koblede differentielligninger