1
Indholdsfortegnelse
Abstract ............................................................................................................................................................. 3
Indledning .......................................................................................................................................................... 3
Inertialsystemer ................................................................................................................................................. 3
Klassisk mekanik ................................................................................................................................................ 4
Galileitransformation: ................................................................................................................................... 4
Den klassiske mekaniks fald .............................................................................................................................. 6
Æterteorien
,
: .................................................................................................................................................. 6
Michelson-Morley forsøget
,,
: ......................................................................................................................... 6
Einsteins relativitetsprincip, grundlæggende begreber og postulater:............................................................. 9
Begreber: ....................................................................................................................................................... 9
Lorentz-transformationen ............................................................................................................................... 10
Forekommende fænomener ........................................................................................................................... 11
Længedeforkortelse: ................................................................................................................................... 11
Tidsforlængelse – Feynman uret: ................................................................................................................ 12
Tvillingeparadokset: ................................................................................................................................ 13
Udledning af relativistisk Doppler-effekt ........................................................................................................ 14
Forsøg 1 – Betaspektrum ................................................................................................................................. 18
Formål og teori: ........................................................................................................................................... 18
Opstilling og apparatur: ............................................................................................................................... 19
Fremgangsmåde: ......................................................................................................................................... 19
Fremgangsmåde for målinger: ................................................................................................................ 19
Databehandling: .......................................................................................................................................... 19
Måling: ..................................................................................................................................................... 19
Usikkerhed: .............................................................................................................................................. 21
Relativistisk og ikke-relativistisk samt Q-værdi: ...................................................................................... 22
Måleusikkerhed og fejlkilder: .................................................................................................................. 23
Konklusion ................................................................................................................................................... 23
Forsøg 2 - Fotostatmålinger ............................................................................................................................ 24
Formål og teori: ........................................................................................................................................... 24
Opstilling og apparatur: ............................................................................................................................... 26
Fremgangsmåde: ......................................................................................................................................... 26
2
Databehandling: .......................................................................................................................................... 26
Vurdering af fejlkilder: ................................................................................................................................. 29
Konklusion: .................................................................................................................................................. 30
Samlet Konklusion ........................................................................................................................................... 30
Litteraturliste ................................................................................................................................................... 31
Bilag ................................................................................................................................................................. 32
Bilag 1 - Interferometeret ............................................................................................................................ 32
Bilag 2 - forsøgsopstilling ............................................................................................................................. 33
Bilag 3 - Kalibrering ...................................................................................................................................... 33
Bilag 4 – Måledata: ...................................................................................................................................... 35
Bilag 5 – Måledata klassisk: ......................................................................................................................... 36
Bilag 6 – Situation 1: .................................................................................................................................... 37
Bilag 7 – Situation 5: .................................................................................................................................... 38
Bilag 8 – Situation 6: .................................................................................................................................... 39
Bilag 9 – Beregninger, fotostater: ................................................................................................................ 39
3
Abstract
This assignment investigates Einsteins theory of relativity of 1905. The theory was the direct opposit of the
theories, that had until then, described the world. The famous Michelson-Morley concluded that the speed
of light was not dependant of the direction. Einstein took the outcome further and developed the theory of
relativity. One of the postulates published with the theory stated that the light had to finit. The speed of
light is essential to the theory and to many other theories as well, and has because of that reason been
measured over and over again. This assignment is based on the Galileian transformation, and the Lorentz
transformation. These two are the backbone of classic mechanics, and relativistic mechanics. The purpose
of the experiments carried out was to show that at certain speeds and energies, it’s needed to use
relativistic equations, as classic equation does not take into account that things as mass and time are not
constant.
Indledning
I slutningen af det 16. århundrede udgav Sir Isaac Newton sit hovedværk, ”Principia Naturalis”. Heri beskrev
han blandt andet sine 3 bevægelseslove
1
. Disse love viste sig at være fremragende modeller for bevægelse.
De var samtidig revolutionære idet de ændrede opfattelsen af bevægelse markant. I 1900-tallet mente
datidens fysikere, at fysikken var fuldkommen. Lord Kelvin udtalte sågar; ”Der er ikke noget nyt at opdage i
fysikken mere. Alt der er tilbage er bare mere og mere præcise målinger”
2
. Dette viste sig dog at være en
grum fejl. Albert Einstein publicerede i 1905 sin specielle relativitetsteori, og udfordrede hermed de
normalt kendte mekaniske love. Ifølge Einstein gjaldt Newtons love ikke i alle sammenhænge – kun hvis de
involverede hastigheder kun nåede op på 5-10 % af lysets hastighed. Einsteins teori giver i mange
hverdagsfænomener samme svar som andre teorier, men relativitetsteorien hjalp hvor Newtons og Galileis
mekanik kom til kort.
Den specielle relativitetsteori omfatter kun bevægelse i inertialsystemer, mens den almene relativitetsteori
generaliserer relativitetsprincippet til også at omfatte accelererede systemer. Der tages i den specielle
heller ikke højde for tyngdekraft.
Denne opgave vil fokusere på den specielle relativitetsteori, og de aspekter i den der ændrede fysikken,
som rum, tid og bevægelse.
Inertialsystemer
For at kunne konkretisere og beskrive relativitetsteorien, har vi brug for nogle koordinatsystemer. Ud fra et
tredimensionelt koordinatsystem kan man referere til punkter ud fra midten origo O=(0,0,0).
Inertialsystemer er systemer for rum og tid, hvor inertiens lov(Newtons første lov) gælder. Det betyder at
ethvert legeme der ikke er påvirket af ydre kræfter vil bevæge sig jævnt og retlinet.
Vi kommer senere i opgaven til at se inertialsystemer bevæge sig i forhold til hinanden.
1
http://www.fysikhistorie.dk/merer2/newmer6.html
2
http://en.wikipedia.org/wiki/William_Thomson,_1st_Baron_Kelvin#Pronouncements_later_proven_to_be_false
4
Klassisk mekanik
Klassisk mekanik er beskrivelsen af bevægelser af legemer ved små hastigheder og store energier
3
. Som
eksempel kan her nævnes bevægelsen af planeter i vores solsystem. Isaac Newton skabte fundamentet for
disse teorier, og kaldes derfor også Newtonsk mekanik.
Galileitransformation
4
:
Bevægelse kan kun angives relativt, altså i forhold til et koordinatsystem, som er lagt fast. Vi er i stand til at
beskrive vores egen bevægelse i forhold til de omgivelser hvori vores koordinatsystem er fastlagt. Befinder
man sig eksempelvis i en bil på motorvejen, kan vores bevægelse både beskrives som værende i forhold til
landskabet, bilerne vi kører mod eller kabinen vi befinder os i. Altså skal vores bevægelse sættes i forhold.
Jeg vil i dette afsnit kun se på det scenarie, hvor et koordinatsystem
bevæger sig med konstant hastighed kaldet
i forhold til et andet. I
systemet vil akserne Y og Y
1
samt X og X
1
være parallelle. Havde der
været en tredje dimension, ville Z og Z
1
være sammenfaldne.
Inertialsystemerne bevæger sig altså med den konstante hastighed
,
fordi de opfylder Newtons første lov(bevæger sig jævnt retlinet).
Henholdsvis længder og tider er ens i begge systemer. Til sidst tænker
vi os, at i eksemplet nedenfor vil de to systemer være sammenfaldne
til t=0.
Eksemplet tager udgangspunkt i figur 1. Når begge systemer starter i tiden t=0, kan vi beskrive den
tilbagelagte vejlængde til et vilkårligt tidspunkt for koordinatsystemet X
1
,Y
1
ved en vektor
. Afstanden må
være hastighed gange tid. Jeg får da udtrykket:
Et vilkårligt punkt i XY systemet kan beskrives med en stedvektor
der går fra origo i XY systemet, og til
punktet P. Det samme punkt har i X
1
Y
1
systemet stedvektoren
. Da vi har forskydningen af X
1
Y
1
i forhold til
XY systemet, samt stedvektoren
kan vi finde P, som har samme koordinater som vektorens komposanter.
Lægger vi
og
sammen, får vi da
:
Vi ved fra tidligere at
kunne beskrives som
. Dette sættes nu ind i udtrykket for
:
3
http://da.wikipedia.org/wiki/Klassisk_mekanik
4
Med inspiration og udgangspunkt i Mekanik s. 78
Figur 1 - Galileitransformation
5
Hvis udtrykket differentieres mht. tid, kan vi få et udtryk for hastigheden
, da hastighed også kan
beskrives som
. Da vi kender stedfunktionen, som i dette tilfælde er vores stedvektor, kan vi få
,
da s’(t) = V(t)
5
Differentieres udtrykket, fås altså:
Udtrykket kan nu skrives om, idet
er det samme som
. Udtrykket hedder nu:
Differentieres funktionen igen, fås Galileitransformationens regel for acceleration. Da
er en konstant,
bliver denne differentieret ud:
Da V’(t) = a(t)
6
kan udtrykket nu skrives om til:
Det ses heraf, at accelerationerne er ens, og at de forbliver uændrede overfor Galileitransformationen.
Hvis vi kigger på tilfældet hvor X
1
bevæger sig i X aksen, altså sammenfalden og langs med, med konstant
hastighed
, får vi den transformation som kaldes Galileitransformationen:
Havde bevægelsen været sket i tre dimensioner, i stedet for i planen, ville det desuden gælde at:
Som det ses, har y og y
1
samme koordinater. Det samme ville z og z
1
have hvis begivenheden havde fundet
sted i rummet(3 dimensioner). Ved forholdet mellem koordinaterne på x og x
1
akserne skal der tillægges
den strækning som systemet x
1
y
1
har tilbagelagt i forhold til XY systemet. Dette kan udtrykkes, som set
ovenfor, ved
.
5
Vejen til fysik A2 side176-177
6
Vejen til fysik A2 side 177
6
Til sidst vil jeg gøre opmærksom på, at tiden også er ens i de to systemer. I den klassiske fysik, arbejdes der
nemlig med tiden som en absolut størrelse. Jeg vil senere demonstrere at dette ikke er tilfældet altid.
Den klassiske mekaniks fald
Æterteorien
7
,
8
:
Æter er en teoretisk substans, som igennem århundreder er blevet betragtet som en usynlig men dog
rummelig substans, der fyldte hele universet. I mange år skændtes fysikere om hvorvidt lys er partikler eller
bølger. Da man vidste at lyd, som er et bølgefænomen, er afhængigt at et medie at bevæge sig i, var det
derfor for bølgetilhængere naturligt at mene, at der måtte findes et tilsvarende medie hvori lys havde sit
virke.
Æteren syntes at ligge stille i rummet. Dette var grundlaget
9
for Michelson og Morley da de udførte deres
eksperiment der skulle påvise jordens bevægelse i forhold til æteren. Resultatet endte negativt, og man
konkluderede at lysets hastighed var uafhængigt af jordens bevægelse gennem æteren.
Lorentz gjorde et forsøg på at løse problemet, men fik ikke tilstrækkelig gehør. Matematikken som Lorentz
benyttede(Lorentz transformationen) anvendte Einstein i sin specielle relativitetsteori. Einstein fastholdt
lysets bølgeteori, men hans ændring var at lysets hastighed måtte være konstant i forhold til iagttageren, i
stedet for den formodede æter. Dette betød også at alle iagttagere uanset indbyrdes bevægelse måtte
være i hvile i forhold til æteren. Denne umulighed var med til at mane Æterteorien i jorden.
Michelson-Morley forsøget
10
,
11
,
12
:
I slutningen af det 19. århundrede var æteren stadig højst omdiskuteret.
Fysikere havde en kæmpe interesse i at måle på æterens
tilstedeværelse. Man forsøgte specielt at fastlægge jordens hastighed
gennem æteren. Dette mente man kunne gøres ved at måle ”æter-
vinden” i laboratoriet. Da æteren skulle ligge stille i rummet, og jorden
bevægede sig i denne æter, måtte der altså være en æter-vind.
Princippet i forsøget var at lysets hastighed måtte være forskellig alt
efter om en lysstråle bevægede sig med eller mod jordens bevægelse i
æteren. Jordens hastighed rundt om solen er ca. 30 km/s
13
, og skulle
Æterteorien passe, måtte jordens hastighed på et eller andet tidspunkt
af året nå netop denne hastighed, uafhængigt af æterens bevægelse i forhold til hele Solsystemet. På figur
2 ses æter-vinden samt Jordens bevægelse rundt om Solen. Æteren er markeret ved de stiplede linjer.
7
Med inspiration fra Mekanik s 81-82
8
http://da.wikipedia.org/wiki/%C3%86ter_%28fysikhistorie%29
9
Fra IN til KA s.13 nederst
10
Med inspiration fra ”Introduktion til SR”
11
Med inspiration fra http://en.wikipedia.org/wiki/Michelson%E2%80%93Morley_experiment
12
Med inspiration fra fra IN til KA
13
Introduktion til SR side 8
Figur 2 - æter-vinden
7
Jordens banehastighed er kun 1/10000
14
af lysets. Da dette er en meget lille brøkdel antog man at effekten
ville være så lille at kun et yderst fintmærkende instrument ville kunne bruges. Man valgte at benytte sig af
et interferometer.
På bilag 1 vises hvordan et interferometer virker.
Selve eksperimentet:
I Michelson og Morleys eksperiment udsendes der lys fra den
monokromatiske
15
lyskilde L. Strålen rammer spejlet S, som er
belagt på en sådan måde, at strålen spaltes i to lige stærke
stråler
16
. Den ene stråle fortsætter gennem S, og videre ud til
spejlet S
1
som sender strålen tilbage mod spejlet. Den anden
stråle blev afbøjet af S, og fortsætter således ud til S
2
hvor det
kastes tilbage. De to stråler mødes igen i S inden de sendes mod
kikkerten K, hvor der iagttages interferensstriber. Som vist med
hastighedsvektoren
antages det, at afstanden fra S til S
1
(Denne
afstand kaldes for nemhedens skyld SS
1
) er parallel med den
hastighed som jorden bevæger sig med gennem æteren. Vi kan nu
finde hastigheden i SS
1
ved at lægge lysets konstante hastighed c
sammen med jordens bevægelse gennem æteren v. Skal vi derimod
finde hastigheden når lyset bevæger sig modsat os selv(på tegningen S
1
S), trækkes jordens hastighed v i
stedet fra lysets hastighed c.
Tiden som lysstrålen er om at tilbagelægge stykket L
1
(vist på tegningen) kan vi nu finde. Tiden regnes som
. Lysstrålen skal både frem og tilbage igen. Vi får derfor to led:
Fordi
. L
1
ganges ind i paranteserne, og nævneren skrives ud:
Det sidste led kan divideres c
2
17
14
Introduktion til SR side 8 afsnit 1.6
15
Lys med én bølgelængde
16
Introduktion til SR side 9
17
Inspireret af Mekanik side 86 øverst
Figur 3 - Michelson-Morley interferometeret
8
Fordi
.
Havde apparatet været i hvile i forhold til vores inertialsystem fastlagt i forhold til æteren, ville tiden have
været
, fordi det sidste led ville være gået ud. Men vi ser at strålen er forsinket idet leddet
< 1.
Har vi i stedet det tilfælde at lyset bevæger vinkelret på jordens hastighed V, bliver
vi nødt til at finde et nyt udtryk. Dette kan gøres ved at bruge Pythagoras’ sætning,
da vi taler om en retvinklet trekant. Det samme er tilfældet i S
2
S.
Den samlede lystid for T
2
kan nu udtrykkes ved:
Hvor Pythagoras’ sætning nu altså er sat ind, så vi tager højde for den vinkelrette
bevægelse på æteren.
Forkortes udtrykket nu med
får vi nu:
Hvis vi igen antager at måleudstyret ligger fast i forhold til æterens initialsystem, vil tiden være
, men vi
ser at strålen nu er forsinket med faktoren
.
Da faktoren
er større end faktoren
, ankommer lyset altså ikke lige hurtigt. Da de to stråler ikke
når frem samtidig, vil der dannes et interferensmønster. Prøver vi at dreje hele forsøgsopstillingen 90° så
spejlene SS
1
og SS
2
bytter funktion, burde der dannes et nyt interferensmønster. Da dette ikke var tilfældet,
begyndte man gennem et halvt år at iagttage stribernes positioner i det nu fast opstillede eksperiment. På
det halve år, forventede man at jorden ville skifte bevæægelsesretning i forhold til æteren, hvilket ville give
et nyt mønster. Dette var dog ikke tilfældet. Den første forklaring lød på, at æteren fulgte jorden ligesom
atmosfæren. Dette ville også forklare at der ikke var nogen effekt ved forsøget på jorden. Det var dog bare
problematisk, at hvis æteren hørte jorden til, ville vi ikke være i stand til at se stjerner, idet lyset fra dem
ikke havde noget medie at bevæge sig i.
Figur 4 - Retvinklet trekant
9
Einsteins relativitetsprincip, grundlæggende begreber og postulater
18
:
I 1905 udgav Einstein en afhandling, hans relativitetsprincip, som forklarede lysets udbredelse på en helt en
måde gennem to postulater. Ud fra de to postulater formuleredes senere den komplette teori:
Einsteins første postulat:
Alle inertialsystemer er ligeværdige idet alle fysiske love gælder uforandret i disse.
Einsteins andet postulat:
Dette var en meget kontroversiel udtalelse, og i kæmpe modstrid med Galilei transformationen og den
klassiske fysik som man kendte. Omformuleret betyder det andet postulat, at uanset hvor hurtigt man
forfølger en stråle af lys, vil man altid se den fjerne sig med den konstante hastighed c. Kører man
eksempelvis i sin bil tæt ved lysets hastighed, og tænder lygterne, vil lyskeglen ikke bevæge sig med næsten
2c, men derimod langsomt fjerne sig fra bilen. Da den konstante lyshastighed er i modstrid med Galilei
transformationen, eller nærmere den klassiske hastighedstransformation, måtte Einstein finde en løsning.
Løsningen på problemet var Lorentz-transformationen. Denne transformation vil blive omtalt og nærmere
forklaret længere nede.
Begreber
19
:
I relativitetsteorien er der en række grundlæggende begreber som man bør forstå. Herunder samtidighed
og længde.
Samtidighed
20
:
Fra Galileitransfomationen ved vi at tiden er absolut. Transformeres en tid fra et inertialsystem til et andet
skal tiden derfor være bevaret. Ifølge Einsteins teori er dette dog ikke tilfældet. Har man to
inertialsystemer, A og A’, har de henholdsvis tiden t og t’. Fra Galileitransformationen og den klassiske
mekanik må t=t’. Sker der en ting i A, vil denne begivenhed være samtidig i A’. I relativismen kan vi ikke
regne med tiden som en konstant. Ud fra Einsteins andet postulat kan man definere den fysiske
samtidighed
21
:
18
Begge postulater er taget fra Introduktion til SR Side 12
19
Længde og samtidighed inspireret af FFG S. 147-152
20
Ide om samtidighed taget fra Introduktion til SR Side 18
21
Samtidighedsdefinition taget fra Introduktion til SR side 18 afsnit 2.2.1
”Alle inertialsystemer er ligeværdige for
udførelsen af alle fysiske eksperimenter.”
”I det tomme rum udbreder lyset sig retlinet med
hastigheden c i enhver retning i ethvert
inertialsystem
”To begivenheder, der foregår i punkterne A og B, vil være samtididge, såfremt et
lyssignal udsendes fra A, når begivenheden her finder sted, og et lyssignal udsendt fra
B, når begivenheden finder sted der, vil nå frem til en iagttager i samme afstand fra A
og B til samme tidspunkt.”
10
Dette betyder at hvis en person A, og en person B bevæger sig indbyrdes, vil de ikke være enige om
samtiden af to hændelser. Et meget kendt tankeeksperiment der er udført til dette, er ”Einsteins tog”.
Tanken bag er at demonstrere at samtidighed er meget svært at definere:
Man skal forestille sig et tog komme kørende retlinet afsted, i et uvejr. Inde i toget sidder en iagttager
præcis midt i toget. Udenfor står endnu en iagttager og observerer toget idet et lyn slår ned præcis foran
og bagved. Lynet efterlader mærker på både vogne og spor. Iagttageren på jorden måler op, og finder, at
han stod præcis midt mellem vognene. Herpå konkluderer han at lynnedslagene skete præcis samtidigt. Set
fra iagttageren på jorden bevæger toget sig hen mod lynet der slog ned i forenden, og væk fra det der slog
ned i bagenden. Togpassageren modtager derfor glimtet fra forenden før det fra bagenden. Samtidig kan
passageren verificere at han sidder midt i toget, dvs. samme afstand til forende som bagende. Passageren
må da konkludere at lynet fra forenden slog ned før det i bagenden, da lyset også for passagerens
inertialsystem bevæger sig lige hurtigt i begge retninger, og hvilket strider mod iagttageren på jordens
forklaring.
Der er intet entydigt svar på, hvem af iagttagerne der havde ret. Samtidighed er nemlig kun et relativt
begreb, da netop denne afhænger af iagttagernes indbyrdes inertialsystemer.
Længde
22
:
På samme måde som samtidighed er en relativ størrelse, er også længden relativ. Tager vi Einsteins tog som
eksempel, kan det måles som normalt, hvis det holder stille. Bevæger det sig derimod må vi igen indføre en
ny definition
23
:
Tager vi igen iagttagerne fra toget, og beder dem angive længden mellem lynnedslagene, vil svarene igen
falde ud forskelligt. Iagttageren på jorden, der har set lynene slå ned samtidig, vil sige at længden er
differencen mellem togets endepunkter. Passageren vil derimod sige at længden er mindre end toget, da
det forreste nedslag kunne mærkes først. Der er altså også forskel på længder. Den maksimale længde,
bliver målt af en iagttager i hvile.
Lorentz-transformationen
24
Lorentz-transformationen har det til fælles med Galilei-transformationen, at den har til formål at
sammenknytte en begivenheds koordinater i ét inertialsystem til et andet. Selve transformationen blev
22
Mekanik S. 87-88
23
Definition taget fra Introduktion til SR S. 20 afsnit 2.2.2
24
De færdige ligninger er taget fra Mekanik S. 97
”Ved længden af en stang, der bevæger sig i sin længderetning parallelt med en
målestok, forstår vi afstanden mellem to mærker afsat på målestokken ud for
stangens endepunkter til samme tid”.
11
skabt på baggrund af Michelson-Morley eksperimentets manglende succes. Transformationens ligninger
blev altså udviklet før den specielle relativitetsteori, men Einstein tog dem til sig, for senere sammen med
sine postulater at afkræfte æterteorien. Lyshastigheden er i denne teori den samme i alle inertialsystemer,
som Einstein postulerede.
Galilei-tranformationen kunne midlertidig ikke klare de problemer der kom, idet man på baggrund af
Michelson-Morley kunne konstatere at lyset var ens i alle retninger. Transformationen er et sæt ligninger
som kan erstatte Galilei-transformationen, og som samtidig bygger på Einsteins postulater.
Transformationen kan eksempelvis bruges til at beregne hvordan en partikels bevægelse ser ud fra et
inertialsystem der bevæger sig i forhold til det oprindelige koordinatsystem.
Transformationen er meget essentiel i relativitetsteorien, idet den lægger grund for bl.a. længdeforkortelse
og tidsforlængelse.
Ud fra Lorentz-transformationen, får vi fire sæt ligninger, som kan bruges til videre beregning. Dette
demonstreres i afsnittet herunder ”Forekommende fænomener”:
, desuden gælder y
1
=y og z
1
=z
, desuden gælder y=y
1
og z=z
z
Dette er de fundne transformationsligninger Lorentz kom frem til. Disse ligninger kan bruges til at
transformere målinger for tid og sted fra ét initialsystem til et andet. Som sagt vil der herunder komme en
række konsekvenser af Lorentztransformationen.
Forekommende fænomener
Længedeforkortelse
25
:
Længde samt samtidighed er kort gennemgået tidligere, så jeg tillader mig at gå direkte til udledningen af
længdeforkortelsen vha. Lorentztransformationen. Faktoren
kaldes nu for β-faktoren. Den vil komme til udtryk
nedenfor.
Man en stang der i hvile i systemet K
1
(se figur 6). På et aftalt
tidspunkt t skal man i K systemet sætte et mærke ud for
stangens ender på X-aksen.
Abcisserne(førstekoordinaten(x)) navngives som x’ tættest på origo, og x’’ længst fra origo(se figur).
Længden l, i systemet K, mellem mærkerne må være differencen mellem punkterne, og kan således skrives:
25
Længdeforkortelsen tager udgangspunkt i, og er inspireret af Mekanik S. 97-98.
Figur 5 - Længdeforkortelsen
12
I K
1
systemet er længden l
0
tilsvarende givet ved:
Indekset 0 viser at stangen hviler i K
1
.
Fra Lorentz-transformationen havde vi at
og
Da længden er differencen mellem to punkter kan vi nu bruge disse to ligninger, og indsætte l
0
. Da
kan vi i ligningen for x
1
indsætte x
1
’’ og x
1
’:
Vi har fra tidligere at x’’-x’=l og det indsættes nu:
Som det ses på denne udledning er det ledet
der bestemmer forkortelsen. Faktoren β er det
samme som
, og da c er konstant må det altså derfor være hastigheden V der bestemmer det omfang
hvori stokken forkortes. Denne forkortelse kaldes Lorentz-forkortningen
26
. Altså, en stang der hvis
hvilelængde i K
1
er l
0
vil måles kortere set fra K. På samme måde vil en stok der hviler i K måles kortere i K
1
.
Hvis V er meget mindre end c(V<<c), vil l=l
0
.
Tidsforlængelse – Feynman uret
27
:
Tidsforlængelsen kan udledes lidt på samme måde
som længdeforkortelsen, da vi i Lorentz-
transformationen også har et udtryk for tid. Jeg vil
demonstrere tidsforlængelsen gennem et
tankeeksperiment opkaldt efter sin fader Richard
Feynman
28
.
Feynmans ur består af en lyskilde i bunden, som sender en
stråle mod spejlet B, hvorefter det kastes tilbage og fanges af en fotocelle – markeret som firkanten til
højre i bunden ved A. Samtidig reflekteres lyset i A, og starter en ny tur. Dette fortsætter sådan at
fotocellen med jævne mellemrum modtager et lysglimt. Længden mellem spejlene A og B er angivet som L.
26
FFG S. 155
27
Tager udgangpunkt i og inspireret af Introduktion til SR S. 46
28
Introduktion til SR S. 46 afsnit 3.2.1
Figur 6 - Feynman uret
13
Man anbringer nu et ur parallelt med y-aksen kaldet U. Et identisk ur placeres ved y’ aksen i system S’. Det
antages at urene passerer hinanden i samme øjeblik som A udsender et signal i begge ure. Når fotocellen
registrerer tilbagekomsten, vil situationen som vist på figuren gælde. Imens dette er foregået, har personen
i S haft et signal løbende tilbage. Da lysets udbredelse er uanset retning, vil de to ture tage lige lang tid.
Denne tid kaldes T
0
. Det må så gælde at:
Personen i S’ kan beskrive hændelsen på samme måde i hans ur. Skal person S derimod beskrive hvad der
er sket i U’, skal han tage højde for den bevægelse som uret har foretaget i forhold til sig selv. Han får
derfor en relation som leder videre til udtrykket for tidsforlængelse
29
:
Vi søger nu at få et udtryk for T:
T
2
sættes nu uden for en parentes:
Vi kan nu trække T
0
foran brøken, og så får vi samtidig gammafaktoren
:
Dette er udtrykket for tidsforlængelsen. Gammafaktoren kaldes også Lorentzfaktoren. Som det ses stiger
tiden proportionalt med denne faktor. Da c stadig er konstant er det farten der afgør hvor ”relativ” objektet
er. Bliver V meget stor, sker det samme med T, og når V bliver stor nok – tæt på lysets hastighed, går
processen nærmest i stå. Så jo tættere på lyset man kommer, jo langsommere går tiden.
Tvillingeparadokset:
Tvillingeparadokset er direkte afledt af tidsforlængelsen. Det ligger bag ideen om, at en astronaut der rejser
ved hastigheder nær lysets, kan leve næsten evigt. Man skal dog huske på at dette fænomen er
symmetrisk, ligesom det gælder for henførelsessystemer
30
i indbyrdes jævn bevægelse. Folk der ser på
astronauten vil mene at astronauten er meget tynd(grundet længdeforkortelse), og at hans ur går for
langsomt. Paradokset ligger i, at astronauten vil se det samme når han kigger ned på jorden. Dette er
29
Relation taget fra Introduktion til SR S. 47
30
DNV S. 28
14
paradokset – tvillingeparadokset. Ideen er at astronauten havde en tvilling ved fødslen, som blev på jorden
mens han selv rejste afsted. Ifølge ovenstående teori, vil begge mene at den anden ældes langsommere.
Dette er problematisk da de ikke begge kan være ældre end den anden. Løsningen er at foretage en
konkret sammenligning når astronauten vender tilbage til jorden. Dette kan man gøre da denne
sammenligning foregår på samme sted i rummet, uden bevægelse. Man skal indse at begge ikke har de
samme forudsætninger. Astronauten skal gennemgå en acceleration ved afrejsen og endnu en
modsatrettet ved sin hjemkomst. Den anden tvilling har bevæget sig med jævn hastighed. Dette er grunden
til at tvillingen der blev på jorden, med rette kan kalde sig den ældste.
Udledning af relativistisk Doppler-effekt
31
Doppler-effekten kender mange mennesker uden at
vide hvad det i grunden er. Det mest velkendte
eksempel er når en ambulance kører forbi os. Når den
kommer mod os, lyder sirenen som om det udsender
hylene meget hurtigt. Når den er kørt forbi os, lyder
det pludselig som om der bliver længere og længere
mellem hylene. Vi fornemmer altså at frekvensen
falder. Som vist på figuren er frekvensen meget højere
foran udsenderen, end bagved. Dette fænomen er
klassisk. Men det viser sig imidlertid at dette fænomen
også er relativistisk. Det eneste der kræves er at udsender og modtager bevæger sig med forskellig
hastighed. Deres egentid vil som vist i tidsforlængelsen være forskellig. De vil derfor, selvom de ikke øger
afstanden mellem sig, opleve frekvensen forskelligt. Observerer man eksempelvis en roterende skive, hvor
der i centrum er en afsender, og på kanten af skiven er en modtager. Selvom der ikke er nogen klassisk
Doppler effekt fordi afstanden ikke øges, optræder der en relativistisk Doppler effekt. Senderen ligger stille,
men modtager bevæger sig. Og idet han bevæger sig går tiden langsommere hvorfor frekvensen vokser.
Dette var et tanke-eksempel på den relativistiske Doppler-effekt. Jeg vil herunder udlede formlen for netop
relativistisk Dopplereffekt:
Figur 8 - Relativistisk Doppler-effekt
31
Tager udgangspunkt i Fysikkens Spor S. 120. Inspireret af udleveret notatark(Espens)
Figur 7 - Klassisk Doppler-effekt
15
Jeg vil starte med at regne på effekten klassisk, hvorefter jeg fører den over i relativismen.
Betragt figur 7. Afsenderen A bevæger sig med hastigheden V
a
. Modtageren B bevæger sig med
hastigheden V
b
. Begge befinder sig i x=0m til tiden t=0s. x=0 er markeret på figuren med den bagerste
lodrette streg. Da dette gælder, må samtidig gælde at
Signalet bevæger sig med hastigheden c. Den tilbagelagte strækning x, må være differencen mellem X
b
og
X
a
i tidsrummet:
Vi har nu:
Da strækning er , kan vi sige at:
Fra tidligere havde vi X
a
og X
b
. Vi kan nu stille følgende udtryk op:
V
a
*t
a
flyttes nu over:
Nu sættes tiderne udenfor parentes på begge sider af lighedstegnet. Først venstre:
Og dernæst ordnes højresiden:
Vi får nu udtrykket:
Udtrykket ganges igennem med -1:
Nu skal tiden for B isoleres:
Der deles nu med c i brøken:
16
Som vi kan se er ankomsttiden proportional med udsendelsestiden. Det samme gælder for svingningstiden
T. Tiden t kan byttes ud med svingningstiden T, da det er to på hinanden følgende signaler(1 svingning). Vi
får så udtrykket:
Vi kan nu lave udtrykket om til frekvens i stedet for svingningstid. Frekvensen for b, f
b
som den reciprokke
af svingningstiden:
Udtrykket for T
b
kan nu indsættes i ligningen:
Brøken kan nu flyttes op, da
. Samtidig kan T
a
laves om, som forklaret:
Hvis V
a
bliver meget mindre end c, gælder at
. Deler man med lidt mindre end 1, hvilket V
a
bliver hvis førnævnte gælder, giver resultatet lidt mere end 1 hvorfor
gælder.
f
a
kan skrives som:
Paranteserne ganges nu ud:
Da hastighed a og b er forholdsvis små, og vi deler med lyshastigheden kvadreret, bliver leddet
forsvindende lille og vi tillader os at skille os af med det. Det færdige klassiske udtryk hedder nu:
17
Hvor V
b
– V
a
= V, som er den indbyrdes hastighed. Vi skal nu bevæge os over i udledningen der forholder sig
relativistisk i stedet for klassisk til effekten:
Vi skal nu huske på at laboratorietiderne er forskellige. Vi har at:
Hvor τ markerer egen-svingningstiden. Disse to udtryk indsættes nu i det klassiske udtryk fra før:
Frekvensen var som sagt den reciprokke svingningstid. Dette gælder også for egen-svingningstiden:
γ
b
deles der med på begge sider:
Vi kan nu få frekvensen for b:
Udtrykket skrives nu mere overskueligt. Det nederste led i hastighedsbrøken kan således ganges med det
øverste:
Hvis vi antager at A er i hvile, vil V
a
= 0. γ = 1 ved V=0. Udtrykket hedder så:
Gammafaktoren:
Denne faktor kan nu sættes ind i udtrykket f
b
:
18
kan også skrives som
.
er indforstået i ”første”. Vi må nu gange brøken
med
:
Det endelige udtryk hedder nu:
Forsøg 1 – Betaspektrum
Formål og teori:
Fomålet med øvelsen er at demonstrere hvilken energi β-partikler har når de afbøjes i et homogent
magnetfelt. I et magnetfelt vil elektrisk ladede partikler følge en cirkelbane. Radius i denne bane afhænger
af partiklernes energi E
kin
og styrken af magnetfeltet B. Man vil da for kendt radius r, og B kunne bestemme
E
kin
. Fra β kilden kommer der β partikler med forskellige energier, og opgaven er at finde energifordelingen,
intensiteten, af de forskellige energier.
Når en partikel bevæger sig langs en ret linje, uden påvirkning af et magnetfelt, vil der ikke være nogen
magnetiske kræfter til at udføre et arbejde på partiklen. Hastigheden og E
kin
er så bevaret. Bevæger
partiklen sig langs et homogent
32
magnetfelt vil der derfor ikke være nogen påvirkning af nogen kraft, og
partiklen vil fortsætte sin færd uændret. Bevæger partiklen sig derimod vinkelret på et homogent
magnetfelt, vil partiklen være påvirket af en konstant magnetisk centripetalkraft. Denne centripetalkraft
leverer Lorentz-kraften
33
:
, hvis
er vinkelret på
B er magnetfeltets fluxtæthed(antallet af feltlinjer der skærer gennem en flade,
kaldes den magnetiske flux gennem fladen
34
), v er partiklens hastighed, og q er
partiklens ladning. Afbøjningens retning er givet ved højrehåndsreglen for
krydsproduktet som vist på figur 10.
32
ensartet
33
Fysikkens spor side 106 ligning (4)
34
Fysikkens spor side 105 nederste afsnit
Figur 9 - Højrehåndsreglen
19
Dette betyder altså at partiklen ikke bevæger sig retlinet mere, men bliver afbøjet i en cirkulær bane.
Forsøget forløber i to dele. Den første består i at kalibrere Hall-sonden, som vi skal bruge til at måle
magnetfeltet med. Den anden del har til formål at bestemme en sammenhæng mellem strømstyrken og
antal henfald.
Opstilling og apparatur:
Til forsøget skal følgende apparatur anvendes:
Β-kilde(Sr-90)
Elektromagnet med polsko
Hallsonde
Voltmeter
Amperemeter
GM-rør samt tæller
Strømforsyning
Plexiglasholder
Spole med kendt vindingstal
En elektromagnet bestående af to spoler og en jernkerne danner et magnetfelt, hvori β-partiklerne afbøjes.
Plexiglasholderen hvori kilden sættes er kvartcirkulær med en radius r på 0,029m. Elektroner fra kilden der
har netop den energi der kræves for at afbøjes igennem cirklen, opfanges af et GM-rør. Ved et β
-
henfald
udsender kernen både en elektron og en antineutrino. Den frigivne energi deles mellem partiklerne. Da
elektronen bevæger sig i en cirkelbevægelse må den magnetiske kraft svare til centripetalkraften.
Opstillingen kan ses i bilag 2.
Fremgangsmåde:
Første skridt i målingerne er at få kalibreret Hall-sonden, så den er klar til de egentlige målinger der følger.
Selve kalibreringsresultaterne kan ses i bilag 3.
Fremgangsmåde for målinger:
Β-kilden anbringes i plexiglasholderen med udfræsningen. Holderen placeres nu mellem polskoene på
elektromagneten. Hall-sonden sættes i et passende stativ, så den under hele målingen har samme position.
GM-røret sættes helt hen til hullet i udfræsningen. GM-røret forbindes til en tæller, som sættes til at tælle
(i vores tilfælde) 200 sekunder. Spolerne forsynes nu med strøm, dog ikke mere end hvad de kan tåle, og
med jævne intervaller skrues der op for strømmen. Den tilførte strøm noteres sammen med tælletal.
Databehandling:
Databehandlingen består af to dele. Den første er at tegne et energispektre, den anden er at fastslå en
måleusikkerhed.
Måling:
For målingerne har vi fået de resultater som er angivet i bilag. De kinetiske energier er beregnet på
følgende måde:
Den kinetiske energi er givet ved:
20
m
0
er elektronens hvilemasse. m
2
kan nu indsættes i udtrykket for E
kin
:
m
0
2
kan nu sættes udenfor kvadratroden ved at dividere med den:
Impulsen p kan beskrives ved , og det indsættes nu:
Der forlænges nu med c i brøken, da det er oplyst at m
0
c
2
=0,511 MeV:
Eksempel på udregning:
Hvor e er elementarladningen. Nævneren regnes i eV i stedet for MeV, da elementarladningen da går ud.
På grafen nedenfor ses det målte energispektre. På x-aksen har vi energien i MeV, og på y-aksen har vi
impuls/200 sek.
21
Værdier som grafen er bygget på kan ses i bilag 4.
Som det ses har vi ingen skæring med x-aksen. Dette burde vi have haft. Den opslåede maksimalenergi er
2,2 MeV. Maksimalenergien kan også regnes ud fra Q-værdien af henfaldende. Dette vil jeg demonstrere
senere. De sidste to til tre punkter er stærkt afvigende, og bør slet ikke begynde at flade ud. Ser vi bort fra
disse, og kigger på grafens hældning, skønnes grafen at ville skære i 3,2-3,4 MeV. Kigger man på vores
toppunkt, er også dette næsten forskudt 1 MeV i forhold til der forudtegnede betaspektre i
forsøgsvejledningen
35
.
Usikkerhed:
Der kan være en usikkerhed i målingerne, og man kan derfor indlægge et usikkerhedsinterval svarende til
. Dette er grafisk afbilledet på grafen nedenfor. Serie 1 er det samme betaspektre fra før, og vi har
derfor de samme akser som før, med de samme enheder. Den røde linje serie 2 er
, mens serie 3
er
.
Som det ses på grafen skærer energispektret slet ikke – ikke engang i usikkerhedsintervallet. Dette kan
tilskrives måleusikkerhed, samt fejl på måleudstyr. Dette vil jeg beskrive nærmere i næste afsnit.
35
Kontakt lærer for forsøgevejledning.
0
50
100
150
200
250
300
350
0,00000 1,00000 2,00000 3,00000 4,00000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Series1
Series2
Series3
22
Relativistisk og ikke-relativistisk samt Q-værdi:
I Sr-90 kilden optræder der to henfald. Reaktionsskemaet for det første er som følger:
Vi skal have regnet vægtenheden u om. Den skal ganges med c
2
for at få resultatet i MeV. Den opslåede
værdi af 1u*c
2
= 931,5 MeV. Massen af Y = 89,907152 u. Massen af Sr = 89,907738 u. Alle tre tal er slået op i
databog. Massetilvæksten kan så beregnes som:
Q-værdien kan nu beregnes som:
For den næste reaktion ser skemaet ud som følger:
Massen af Zr = 89,904703u, og massen af Y er stadigvæk Y = 89,907152 u. Massetilvæksten finder vi på
samme måde:
Q-værdien bliver nu:
Dette er den teoretiske maksimalværdi for β-partikler. Dette er Q værdien for det andet henfald, og der bør
ikke forekomme henfald for den kinetiske energi der er større end 2,28 MeV. Som vist på grafen ovenfor er
dette langtfra tilfældet ved mit betaspektrum.
Alle måledata til følgende er lagt i bilag 5. Selvom tallene og graferne ikke har givet et godt udbytte, er det
alligevel interessant at regne på tallene både klassisk, og relativistisk. Det viser sig nemlig at værdierne
regnet klassisk ikke kan lade sig gøre. Der er nemlig ikke taget højde for at partiklens masse ikke er
konstant:
B/T
V i m/s
V/c
E i J
E i MeV
0,007956
0,135243
7,5E-16
0,2
0,023868
1,22E+08
0,40573
6,75E-15
0,9
0,043056
2,2E+08
0,731905
2,2E-14
0,4
0,073827
3,76E+08
1,254978
6,46E-14
0,1
0,100854
5,14E+08
1,714407
1,2E-13
0,1
0,123669
6,31E+08
2,102237
1,81E-13
1,6
0,143793
7,33E+08
2,444323
2,45E-13
1,3
23
Som det ses af dette skema passer værdierne slet ikke. Hastigheden klassisk er regnet ud fra formlen:
Når hastigheden så er fundet, deles resultatet med lyshastigheden for at se hvor hurtigt partiklen bevæger
sig i forhold til. Som det ses ligger de første 3 værdier under lyshastighed. Derefter begynder de at overstige
lysets hastighed, hvilket burde være umuligt. Hele resultat-arket kan ses i bilag 5, da dette kun er et udsnit.
Sammenholder vi E i MeV for klassisk og relativistisk, ser vi også store forskelle:
B/T
Ekin/MeV
0,007956
0,06922
0,023868
0,20765
0,043056
0,37459
0,073827
0,64229
…
0,38025
3,30818
Startværdierne er meget mindre, og kigger man i bilag 5, vil man se at vores maksimale energi ligger på
omkring 3,2 – 3,4 MeV, hvor det klassisk set vil overstige 10 MeV. Så selvom vores tal er skæve, kan vi altså
se effekten af at regne relativistisk.
Måleusikkerhed og fejlkilder:
Der har været en del bøvl med dette forsøg. Den anvendte Hall –sonde har under hele forløbet været
ekstremt ustabil og svingende. Vi fik den kalibreret, og gik derefter umiddelbart ind for at foretage
målinger. Som det fremgår af kalibreringen har vi fået en rigtig fin omregningsfaktor, med en R
2
der lå
meget højt. Men derfra gik det skidt. Under forsøget stoppede sonden med at fungere, og vi var nødsaget
til at skille apparaturet ad. Vi fik den dog til at virke igen, på baggrund af målinger vi havde udført en gang.
På den måde kunne vi sammenholde værdierne og derfor vurderede vi at vi med rette kunne fortsætte.
Men det viser sig på min resultatbehandling at der har været en række meget skæve målinger. Ud over at
de sidste målinger blev helt skæve, er alle de andre også blevet dårlige. Som jeg har antydet i
resultatbehandlingen ligger hele energispektret forskudt 1 MeV for toppunkt og maksimal energi. Som vist
med Q-værdien er maksimal energien for en afbøjet partikel 2,28 MeV, og dette er ca 1 MeV under mit
resultat(såfremt man vælger at se bort fra de 2-3 sidste punkter). Dette er en så stor afvigelse at det ikke
kun kan være statistiske fejl.
Man må tage højde for det parameter at lysningen i udfræsningen har en hvis tykkelse. Det vil sige at
partikler også slipper igennem selvom de måske afbøjes for meget eller for lidt. Derfor vil alle værdierne
naturligt ligge for højt.
Konklusion
Konklusionen på dette forsøg må være at energispektret er så afvigende at det kan forkastes.
Energispektret ligner med god tilnærmelse det, som man kan slå op i en databog, men som før antydet er
24
værdierne forkerte. Denne øvelse, har udover energispektret, været ret åben. Det er også på den baggrund
jeg har valgt at inddrage klassiske beregninger, da det giver en god ide om effekten af relativismen. Det er
muligt man kan opnå bedre resultater end jeg har fået, men man må også påregne de mange usikkerheder
der er i forsøget. Hovedmålet med opgaven blev altså dårligt opfyldt, men til gengæld fandt vi altså hvorfor
man ikke kan regne klassisk på alt.
Forsøg 2 - Fotostatmålinger
Formål og teori:
Fotostaterne, eller boblekammerbillederne stammer fra CERN. De viser sammenstød mellem protoner.
Stødende er så vidt muligt udvalgt, sådan at de foregår i planen. Det er ikke helt sikkert at alle tre fotostater
er 100 % i planen, så allerede her kan der tillægges måleusikkerhed. De indkommende protoner har en
impuls på ca. 2000 MeV. I boblekammeret findes der flydende brint, som protonerne vekselvirker med, og
dermed dannes et spor. De indkommende protoner afbøjes i et magnetfelt, hvorved de vil få en
krumningsradius. Når protonerne kommer ind i boblekammeret er der en chance for at de rammer en
anden proton i planen. Det er netop hvad der er sket i de situationer vi har fået vist. Stødende der
forekommer kan opdeles i to kategorier:
Elastiske stød: p+p→p+p
Uelastiske stød: p+p→p+?
Ved alle sammenstød vil der være 2 sekundære spor efter hændelsen. I det elastiske stød vil der stadig
være to protoner på spil, hvorimod der i det uelastiske stød også udsendes en neutral partikel. Denne
partikel vil ikke efterlade sig noget spor. Der kan opstilles tre hypoteser for hvordan udfaldet af forsøget
kan blive:
p+p→p+p+π
0
p+p→p+π
+
+n
p+p→π
+
+p+n
De to sidste hypoteser synes at være ens, men π
+
partiklen kan både være det ene eller det andet
sekundære spor.
For at vise at vi skal regne relativistik på opgaven, vil der også blive regnet klassisk, hvilket bør give
resultater der er noget ved siden af.
For at regne impulserne på de sekundære spor, skal vi kende impuls og radius for det første spor, samt
radier på de sekundære spor. Forholdet
er konstant, og vi kan nu finde impulser for de andre spor.
Eksempelvis er impulsen for spor 2 givet ved:
25
På samme måde er impulsen for spor 3 regnet på samme måde, bare med spor 3’s oplysninger i stedet for
spor 2’s. Da vi kender masser for partiklerne, krumningsradierne samt impulserne, kan vi nu gå over og
regne på energierne:
I den klassiske mekanik når vi skal regne impulser ud sker det ved formlen:
Den kinetiske energi er givet ved:
Fra ovenstående udtryk har vi udtrykket for impuls p som nu kan sættes ind:
Da energi inden for kernefysik regnes som MeV, impuls i MeV/c og masse i MeV/c
2
, hvor c er lyshastighed,
skrives brøken som:
Har man eksempelvis en impuls på 2072 Mev/c, og en masse m på 938 MeV/c
2
(protons hvilemasse), vil
man få en energi på 2288 MeV:
Går vi derimod over i den relativistiske verden, er massen ikke konstant mere. Den relativistiske kinetiske
energi kan udtrykkes ved:
Da vi regner med enhederne MeV/c for impuls, og MeV/c
2
for hvilemassen, kan vi i ligningen ovenfor se
bort fra at gange med lyshastigheden.
Har vi eksempelvis en impuls på 1751,6 MeV/c får vi udtrykket:
Da m
0
er hvilemassen af en proton = 938 MeV/c
2
.
26
Opstilling og apparatur:
Der er ikke nogen umiddelbar opstilling der skal gøres klar. Fotostaterne er billeder der er blevet taget, og
de skal således bare analyseres. Det eneste apparatur der er brug for, og radius-skabeloner, som er
krumme streger med en angivet radius. Til grafisk afbildning behøves acetatfolie.
Fremgangsmåde:
Krumningsskabelonerne klargøres, og vendes rigtigt. Skabelonerne lægges nu over sporerne, og man finder
den linje som passer bedst muligt. Tallene noteres i (det eventuelt udleverede) et passende ark(se evt.
forsøgsvejledning for nærmere info.). Når der er målt radier på alle tre fotostater, finder man tre ark
acetatfolie frem og lægger over hændelserne, således at sammenstødet er ca. midt på papiret. Man tegner
nu tangenter i stødpunktet til alle spor. Folien kopieres, og man har nu hændelsen på papir til grafisk at vise
sine beregninger.
Når man har beregnet hvor lange impulservektorerne skal være (indfør en passende målestok – ex.
1cm:200MeV), kan man med en passer tegne parallelogrammet færdigt. Da spor 2 + spor 3 kan skal være =
spor 1, kan man forlænge linjen af spor 1. Er der fuldstændig impulsbevarelse vil hjørnet af
parallelogrammet matche længden af det ”forlængede” spor 1. Er der ikke impulsbevarelse, og er
differencen mellem punkterne stor, er stødet som sagt uelastisk. Man kan nu beregne eller måle den
manglende impuls p
0
.
Databehandling:
Når man har indsamlet alle sine data, kan man begynde at behandle dem. Til at starte med, skal impulserne
regnes ud. Dette gøres som i eksemplet før. Samtlige udregninger kan forefindes i bilag 9. I de stød der er
uelastiske er det nødvendigt at beregne p
0
. Den kan enten beregnes, eller måles. Jeg har beregnet den i et
tilfælde, og målt den i de to andre. Forlænger man p
1
linjen, vil man kunne måle vinklerne mellem ”x-aksen”
og impulsvektorerne. Disse kan bruges hvis man vælger at udregne p
0
i stedet for at måle den. Dette
fremgår også af udregningen som følger. Den beregnede p
0
tilhører begivenhed 1:
Impulsen er nu længden af denne vektor:
Når vi nu kender størrelsen af den manglende impuls, kan vi nu påbegynde analysen, og finde ud af hvilket
af de tre scenarier der er sket. Energierne i skemaet herunder er beregnet på samme måde som det
tidligere eksempel. Da man kender de sekundære spors impulser kan man nu starte. I første tilfælde er der
stadig to protoner på spil, og det er forholdsvis simpelt at regne energien af energien af π
0
. Det bliver mere
problematisk når der ikke er to protoner på spil mere. Man skal her undersøge hvilket af sporerne der gør
sig gældende som det hvor protonen stadig er. Man skal altså afgøre, som tidligere nævnt, om det er det
ene eller det andet scenarie. Udregningerne for Begivenhed 1 ser ud som følger:
27
Uelastisk stød: Afprøvning af de forskellige massehypoteser gennem efterprøvning af den relativistiske
energibalance.
Spor nr.
1
c
2
3
O
p i MeV/c
2026
0
600,9
920,7
856,8
E
0
pppp
2232,6
938
1113,9
1314,3
866,8
-124,6
nppp
2232,6
938
1113,9
616,9
1272
167,8
nppp
2232,6
938
931,21
1314,3
1272
-346,91
Som det fremgår, er energiafvigelserne meget store. Situation 3 er dog så stor at den må forkastes.
Situationen hvor der er dannet en π
0
partikel, er mindst afvigende. Den må udvælges som den mest
sandsynlige situation. Jeg mener dog at afvigelsen er ret stor. I næste eksempel kan energibalancen bedre
vises. Jeg vil i næste afsnit prøve på at komme med en kvalificeret forklaring på hvorfor udsvinget er så
stort. I bilag 6,7,8 ses alle tre situationer afbildet grafisk. På situation 1 er der vist komplette eksempler på
beregninger af de forskellige impulser og energier.
I situation 5 ser afvigelsen anderledes ud:
Uelastisk stød: Afprøvning af de forskellige massehypoteser gennem efterprøvning af den relativistiske
energibalance.
Spor nr.
1
c
2
3
O
p i MeV/c
2085
0
763,82
1080,06
600
E
0
pppp
2232,6
938
1209,65
1430,52
615
-84,57
nppp
2232,6
938
776,454
1209,65
1114,8
69,7
nppp
2232,6
938
1089,03
1430,52
1114,8
-463,75
28
Igen er værdierne udregnede som jeg har vist eksempler på. Jeg vil igen henvise til bilag 9 for beregninger
til alle situationer og samtlige beregninger.
Som det ses er afvigelsen meget mindre denne gang, og man kan med god tilnærmelse sige at det var
situation 2 der skete. Situation 3 er indlysende nok afskrevet. Det viser sig at spor 3 i begivenhed 5 er en
proton med energien 1209 MeV, mens spor 2 er en π
+
partikel med energien 776 MeV. Neutronen som
dannes efterlader sig ikke noget spor, og må derfor indeholde den manglende impuls p
0
. Den kommer altså
til udtryk ved en energi på 1114,8 MeV.
Grunden til at der skal regnes relativistisk er, at partiklerne bevæger sig så hurtigt at vi bliver nødt til at
have lysets hast med som parameter. Når partikler bevæger sig hurtigt, vil de samtidig blive tungere, og
massen er da heller ikke konstant mere. I relativismen tager vi højde for en hvilemasse, hvilket vi ikke gør,
når det er relativt. Regnes der f.eks. på begivenhed 1 – den som blev valgt som den sande begivenhed
havde det givet helt andre tal. Som tidligere vist, regnes ikke relativistiske energier i formlen:
Som er udledt af formlen for normal kinetisk energi:
Regnes den kinetiske energi ud på sporerne klassisk, ser det ud som følger:
De andre spor regnes på samme måde og giver:
Differencen viser sig nu at være:
Regnes der klassisk får vi altså et energiunderskud der ligger 10 gange højere end de -124 MeV jeg fik, hvis
vi regnede relativistisk.
I situation 6 er situationen anderledes. Dette stød har en så lille afvigelse at stødet anses som elastisk. Der
er en lille afvigelse, men den ændres grafisk, som vist i bilag 8. Afvigelsen er altså korrigeret grafisk. Spor 3
29
passede, så kun spor 2 skulle forlænges en smule. Forlængelsen er vist på bilaget. For at teste
impulsbevarelsen laves to vektorer. Som vist fastlægger den oprindelige impuls x aksen. Y aksen står
vinkelret på denne. Vektorerne stilles nu op, ved at opmåle henholdsvis X og Y værdien for vektoren. De to
vektorer lyder nu:
Vi skal nu se om der er impulsbevarelse. Det gør vi ved at lægge de to vektorer sammen:
Vi kan altså se at y værdien må være målefejl. Ganger vi de fundne 10,4 med målestoksforholder får vi:
Indgraveret i billedet var at den indkommende impuls var 2075 MeV/c. Vi kan dermed sige at de
korrigerede vektorer gør at vi har impulsbevarelse.
Vi skal nu se om der også er energibevarelse:
Elastisk stød: Efterprøvning af energibevarelse (urelativistisk og relativistisk)
Spor nr.
1
C
2
3
O
p i MeV/c
2075
0
1960
511,43
-
E
E (ikke rel.)
2295,11
0
2047,76
139,425
-
107,93
E (rel.)
2277,16
938
2172,89
1068,37
-
18,9
Som det fremgår har vi også en meget velbevaret energi. Den ikke-relativistiske energi afviger som
forventet også en del i forhold til den relativistiske.
Vurdering af fejlkilder:
Der er en del fejlkilder i dette forsøg. For det første vil jeg nævne, at billederne der er taget antages at
foregår i planen. Men man må tage med i sine overvejelser hvor stor chancen for at to så små partikler
kolliderer præcis i den plan kameraet er parallel med. Chancen synes ikke stor. Rammer partiklerne bare en
smule skævt, får bevægelsen en tredje dimension – som vi ikke er i stand til at regne på. Bliver partikler
således bare forskudt en smule, kan det meget vel gå ud over beregningerne.
En anden fejlkilde er det menneskelige aspekt som er umulig at eliminere. Forsøget er tilrettelagt således at
der er mange praktiske ting at ordne – herunder måle radier, tegne tangenter og måle den manglende
impuls. Det kommer selvfølgelig an på om man vil beregne alle impulser, eller om man som jeg har gjort
30
begge dele. Jeg vil forsvare mit eget valg ved at henvise til bilag i begivenhed 1, hvor den beregnede impuls
stemmer fuldstændig med den jeg derefter målte for at tjekke.
Da der i starten var problemer med beregningerne fik vi lov at sammenholde vores målte radier, med andre
som havde udført forsøget. Her viste sig en forholdsvis bred variation.
Konklusion:
Som vist har jeg nu bestemt hvilke billeder der var elastiske, og hvilke der var uelastiske. For de uelastiske
har jeg beregnet hvilket et de tre scenarier der er sandt. I situation 1 var afvigelsen forholdsvis stor. Den
faldt dog til et absolut acceptabelt niveau for situation 5.
I situation 6 som var elastisk viste jeg hvordan man med korrektioner kan vise at stødet har bevaret sin
impuls. Derudover viste jeg hvordan man igen ved klassiske beregninger ikke kan stole på resultatet. Da jeg
regnede relativistisk fik jeg et meget lille energioverskud, som jeg mener man med rette kan tilskrive
fejlkilderne.
Forsøget har været en lidt rodet affære. Som nævnt i fejlkilderne har der været anledning til en masse
usikkerheder, men i dette forsøg synes jeg at resultaterne har ramt rimelig godt.
Samlet Konklusion
I 1905 udsendte Einstein en artikel til bladet Annalen der Physik. Få uger efter fandt han ud af der
manglede noget. Han havde nemlig valgt at udelade et supplement på 3 sider. Han var usikker på
supplementets rigtighed. Der var ingen der havde troet på at disse tre sider skulle vende op og ned på
moderne fysik.
Som det ses ud fra teorien er der en del ting der strider mod vores sunde fornuft. At tiden ikke er konstant
virker meget underligt, og bevæger vi os opstår længdeforkortelse. Det er meget underligt, men det er
vigtigt at indse, at vi altid skal sammenligne det system vi selv befinder os i, med det hvor eksempelvis en
hændelse foregår. Det er relativt, og essensen af denne teori.
De to udførte forsøg har givet tvivlsomme, såvel som fine resultater. Betaspektret blev aldrig helt godt,
men ved videre beregning demonstrerede jeg hvordan den klassiske fysik kommer til kort. I fotostaterne fik
jeg to meget pæne resultater, og et enkelt som afveg en del. Opgaven gik på at udnævne hvilken af
hypoteserne der var sand, og da de andre energitilvækster i situation 1 var større, kunne denne alligevel
udnævnes som sand. Situation 5 og 6 viste sig vældigt pæne. Også i dette forsøg regnede jeg klassisk og
relativistisk for at demonstrere forskellen.
Jeg har i denne opgave været vidne til hvordan geniets postulater har ændret den måde vi ser verden på. I
denne ros, må man dog ikke glemme den klassiske Newtonske som sagtens kan bruges til dagligdagens
problemer, og som også var grobunden for mange af Einsteins betragtninger.
I skrivende stund er forskere på CERN ved at aflive Einsteins teori
36
. De har observeret partikler der ankom
gennem et medium hurtigere end lys ville have kunnet. Det bliver spændende at se hvor meget vi egentlig
36
http://cerncourier.com/cws/article/cern/47486
31
ved om fysikken, og om ”resten er op til mere og mere præcise målinger”
37
eller om vi nu bliver vidne til
endnu et kvantespring der vil ændrer fysikkens grundlag radikalt.
Litteraturliste
Til opgaven er anvendt følgende bøger:
Forfatter
Titel
Forlag
udgivelsesår
kaldenavn
Dam, Mogens
Introduktion til
den specielle
relativitetsteori
Niels Bohr
instituttet
2007
Introduktion til SR
Felsager, Bjørn
Fysikkens spor
Gyldendal
1990
Hansen, Carlo
Fra Isaac Newton
til kosmologiens
acceleration
Forlaget
Materialist
2006
Fra IS til KA
Nielsn, Knud Erik
og Fogh, Esper
Vejen til fysik
Forlaget HAX
2007
Gamow, George og
Stannard, Russell
Den ny verden
ifølge Mr Tompkins
Nyt Teknisk Forlag
2004
DNV
Til opgaven er anvendt følgende udleverede kompendier:
Forfatter
Titel
Forlag
udgivelsesår
Kaldenavn
Eriksen, J.K. og
Sikjær, Søren
Fysik for gymnasiet
lll, 4. ændrede
udgave
ukendt
København 1965:
s. 143-165
FFG
Jørgensen, M.
Møller og Nielsen,
Fr.
MEKANIK 2 for
gymnasiet
P. Haase og søns
forlag
København 1980:
s.78-110
Mekanik
Til opgaven er følgende internetsider benyttet:
Adresse:
Besøgsdato:
http://www.fysikhistorie.dk/merer2/newmer6.htm
20. november 2011
http://da.wikipedia.org/wiki/%C3%86ter_%28fysikhistorie%29
23. november 2011
http://en.wikipedia.org/wiki/Michelson%E2%80%93Morley_experiment
23. november 2011
http://da.wikipedia.org/wiki/Klassisk_mekanik
24. november 2011
http://cerncourier.com/cws/article/cern/47486
29. November 2011
Til opgaven er brugt følgende figurer:
Figur
nr.:
Beskrivelse:
Kilde:
1
Galileitransormation
MEKANIK 2 for gymnasiet
37
Reference til Lord Kelvins udtalelse i indledningen.
32
2
Ætervinden
http://1.bp.blogspot.com/_I6sqljFZpGw/TO5CYJIpm7I/AAAAAAAAAV
8/2CBacIPSR3M/s1600/640px-AetherWind.svg.png
3
Interferometeret
Introduktion til den specielle relativitetsteori
4
Michelson-Morley
interferometeret
Introduktion til den specielle relativitetsteori
5
Retvinklet trekant
Introduktion til den specielle relativitetsteori
6
Længdeforkortelse
MEKANIK 2 for gymnasiet
7
Feynman uret
Introduktion til den specielle relativitetsteori
8
Klassisk Doppler-effekt
http://www.school-for-
champions.com/science/images/waves_doppler.gif
9
Relativistisk Doppler-effekt
Lavet selv
10
Højrehåndsreglen
Fysikkens spor
Bilag
Bilag 1 - Interferometeret
Interferometeret:
Et interferometer er et instrument der kan måle
lysets interferens. Interferometeret består af en
lyskilde L som udsender monokromatisk
38
lys. Efter
lyset har passeret B, blændeåbningen som har til
formål at styre hvor meget lys der lukkes ind,
rammer det den del af instrumentet som er
markeret med S. Denne del af instrumentet er en
samling af eksempelvis spejle eller linse, der spalter lyset i to adskilte stråler. I F rammer de to lysstråler
igen et arrangement af linser eller spejle, og samles til en enkelt stråle, der rammer kikkerten K. I kikkerten
kan man se et interferens-mønster. Hvis Æterteorien så skal passe, skal interferens mønstret ændres når
man varierer hastigheden på l
1
og l
2
, ved eksempelvis at opvarmer luften i l
1
for at ændre
brydningsforholdet.
38
Lys med monoton bølgelængde
Figur 10 - Interferometeret
33
Bilag 2 - forsøgsopstilling
Bilag 3 - Kalibrering
Hallsonden består af en tynd metalplade, hvorigennem der sendes en strøm. Når man anbringer sonden
vinkelret i et magnetfelt, opstår der en spændingsforskel da ladningsbærerne(elektronerne) ophobes på
den ene side på grund af Lorentzkraften. Ophobningen fortsætter til den frastødende kraft er tilstrækkelig
stor til at ophæve Lorentzkraften.
Retningen af et magnetfelt kan bestemmes ved at dreje sonden. Når den står vinkelret på magnetfeltet vil
spændingsforskellen da være størst. Ved kalibrering af sonden forstår man at når sonden er sammenfalden
med magnetfeltet, skal spændingsforskellen gerne være tæt på 0. Det kan man gøre, da der naturligt på
jorden er et magnetfelt. Man kan bestemme retningen af dette ved at lade et vandret kompas vise 0°, og
derefter tippe det til lodret. Nålen drejer nu om i den vinkel som magnetfeltet har(se billede). Når
Hallsonden er parallel med denne, burde spændingsforskellen være 0.
For at få et mere kalibreret β-felt, kan man beregne feltet i en spole,
som man kender længde og vindingstal på:
34
N er antal vindinger, og l er længden i m. µ
0
(
) er konstant, og strømstyrken varierer vi
selv. Vi kan nu variere strømstyrken, og måle β-feltet ved flere strømstyrker. I bilaget ses det hvordan β-
feltet varierer alt efter strømstyrken i spolen.
Eksempel på udregning:
Man kan nu lave en sammenhæng mellem Hall-udlæsningerne og β-feltet. Konstanten skal vi bruge som
omregningsfaktor når vi senere skal tegne energispektret.
På grafen er afbilledet en sammenhæng mellem Hallsondens udlæsninger og β-feltet. På førsteaksen er
Hallsondens udlæsninger i Volt. På Y aksen har vi β-feltet i Tesla. Konstanten 0,117(afrundet) er
omregningsfaktoren vi skal bruge. Den har enheden 0,117 T/V*U.
Måledata for Hall-sonden. Betafeltet i T er beregnet ovenfor:
I/A
U_Hall/V
B/T
1,42
1,60E-03
0,6
1,78
0,0023
0,3
1,89
0,0025
0,7
2,09
0,003
0,
2,22
0,0033
0,8
2,52
0,0039
0,3
2,69
0,0042
0,9
3
0,0049
0,6
3,35
0,0057
0,2
3,64
0,0063
0,4
3,79
0,0067
0,6
y = 0,116561x + 0,000173
R² = 0,999375
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,001
0,0012
0,00E+002,00E-03 4,00E-03 6,00E-03 8,00E-03
Series1
Linear (Series1)
35
4,09
0,0072
0,1
Bilag 4 – Måledata:
Her er de rå måledata der blev målt:
I/A
B/V
henfald + baggrund
Henfald - baggrund
0
0,068
68
0
0,25
0,204
79
11
0,49
0,368
97
29
0,93
0,631
173
105
1,27
0,862
239
171
1,56
1,057
272
204
1,77
1,229
313
245
2,06
1,418
379
311
2,35
1,627
366
298
2,6
1,743
351
283
2,87
1,969
344
276
3,11
2,074
336
268
3,57
2,368
255
187
3,82
2,524
224
156
4,37
2,846
126
58
4,82
3,09
94
26
5,12
3,25
92
24
De behandlede data. Ud fra disse kan Betaspektret tegnes:
B/T
Ekin/MeV
Henfald - baggrund
0,007956
0,00467
0
0,023868
0,04058
11
0,043056
0,12259
29
0,073827
0,30977
105
0,100854
0,50438
171
0,123669
0,68010
204
0,143793
0,84034
245
0,165906
1,02017
311
0,190359
1,22217
298
0,203931
1,33532
283
0,230373
1,55736
276
0,242658
1,66109
268
0,277056
1,95296
187
36
0,295308
2,10850
156
0,332982
2,43067
58
0,36153
2,67555
26
0,38025
2,83641
24
Bilag 5 – Måledata klassisk:
B/V
B/T
V i m/s
V/c
E i J
E i MeV
0,068
0,007956
0,135243
7,5E-16
0,2
0,204
0,023868
1,22E+08
0,40573
6,75E-15
0,9
0,368
0,043056
2,2E+08
0,731905
2,2E-14
0,4
0,631
0,073827
3,76E+08
1,254978
6,46E-14
0,1
0,862
0,100854
5,14E+08
1,714407
1,2E-13
0,1
1,057
0,123669
6,31E+08
2,102237
1,81E-13
1,6
1,229
0,143793
7,33E+08
2,444323
2,45E-13
1,3
1,418
0,165906
8,46E+08
2,82022
3,26E-13
2,8
1,627
0,190359
9,71E+08
3,235894
4,29E-13
2,
1,743
0,203931
1,04E+09
3,466603
4,93E-13
3,1
1,969
0,230373
1,17E+09
3,916088
6,29E-13
3,2
2,074
0,242658
1,24E+09
4,12492
6,98E-13
4,4
2,368
0,277056
1,41E+09
4,709648
9,09E-13
5,9
2,524
0,295308
1,51E+09
5,019912
1,03E-12
6,3
2,846
0,332982
1,7E+09
5,660328
1,31E-12
8,9
3,09
0,36153
1,84E+09
6,145613
1,55E-12
9,2
3,25
0,38025
1,94E+09
6,463833
1,71E-12
10,
37
Bilag 6 – Situation 1:
38
Bilag 7 – Situation 5:
39
Bilag 8 – Situation 6:
Bilag 9 – Beregninger, fotostater:
Begivenhed nr.: 1
MeV/c2026
1
p
40
Måling af krumningsradier:
Spor nr.
1
c
2
3
O
R =
445
--
130
200
--
Beregning af de ladede sekundære partiklers impulser:
Spor nr.
1
c
2
3
O
p i MeV/c
2026
0
600,9
920,7
--
Efterprøvning af impulsbevarelse:
a) Begivenheden er elastisk
Spor nr.
1
C
2
3
O
p i MeV/c
2026
0
--
b) Begivenheden er uelastisk. Beregn p
0
p i MeV/c
2026
0
600,9
920,7
856,8
Uelastisk stød: Afprøvning af de forskellige massehypoteser gennem efterprøvning af den relativistiske
energibalance.
Spor nr.
1
c
2
3
O
p i MeV/c
2026
0
600,9
920,7
856,8
E
0
pppp
2232,6
MeV
938
1113,9
1314,3
866,8
-124,6
nppp
2232,6
938
1113,9
616,9
1272
167,8
nppp
2232,6
938
931,21
1314,3
1272
-346,91
41
Begivenhed nr.: 5
MeV/c2085
1
p
Måling af krumningsradier:
Spor nr.
1
c
2
3
O
R =
430
--
150
215
--
Beregning af de ladede sekundære partiklers impulser:
Spor nr.
1
c
2
3
O
p i MeV/c
2085
0
763,82
1080,06
--
Efterprøvning af impulsbevarelse:
a) Begivenheden er elastisk
Spor nr.
1
C
2
3
O
p i MeV/c
2085
0
--
b) Begivenheden er uelastisk. Beregn p
0
p i MeV/c
2085
0
763,82
1080,06
600
Uelastisk stød: Afprøvning af de forskellige massehypoteser gennem efterprøvning af den relativistiske
energibalance.
Spor nr.
1
c
2
3
O
p i MeV/c
2085
0
763,82
1080,06
600
E
0
pppp
2232,6
938
1209,65
1430,52
615
-84,57
nppp
2232,6
938
1209,65
776,454
1114,8
69,7
nppp
2232,6
938
1089,03
1430,52
1114,8
-463,75
42
Begivenhed nr.: 6
MeV/c2075
1
p
Måling af krumningsradier:
Spor nr.
1
C
2
3
O
R =
460
--
380
113
--
Beregning af de ladede sekundære partiklers impulser:
Spor nr.
1
c
2
3
O
p i MeV/c
2075
0
1719,91
511,45
--
Korrektion af p
1
, p
2
og p
3
for opbremsning:
Spor nr.
1
c
2
3
O
p i MeV/c
2075
0
1960
511,45
--
Elastisk stød: Efterprøvning af energibevarelse (urelativistisk og relativistisk)
Spor nr.
1
c
2
3
O
p i MeV/c
2075
0
1960
511,43
-
E
E (ikke rel.)
2295,11
0
2047,76
139,425
-
107,93
E (rel.)
2277,16
938
2172,89
1068,37
-
18,9