[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
1/26
Indholdsfortegnelse
Abstract s. 2
Indledning s. 3
Vektorfunktioner s. 4
Definition og parameter kurver s. 4
Differentiation, integration og tangenter s. 5
Kurvelængder s. 7
Teori om det skrå kast s. 8
Model for skråt kast med y
0
≠0 s. 8
Optimal elevationsvinkel og skudvidde s. 9
Nedfaldsvinkel s.11
α+β=90˚ ved maksimal kastelængde s.12
Symmetri omkring 45 grader ved y
0
=0 s.13
Forsøg: Det skrå kast s.15
Materialer og udførelse s.15
Databehandling s.15
- Eftervisning af model for skråt kast med y
0
≠0 s.17
- Eftervisning af symmetri omkring 45 grader ved y
0
=0 s.19
- Eftervisning af udtryk for nedfaldsvinkel s.21
- Eftervisning af udtryk for kastevidde ved optimal vinkel s.21
- Eftervisning af α+β=90˚ ved maksimal kastelængde s.22
Vurdering s.22
Samlet konklusion s.25
Litteraturliste s.26
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
2/26
Abstract
This paper describes vector functions and explores the slanting throw by using vector functions. At first, it
defines vector functions, explains how to differentiate and integrate them and it describes how to decide
the curve length of a vector function.
After this it is turning against the theory of a slanting throw. A theoretical model to describe the movement
of a slanting throw is decided and set up like a vector function. The model is used as a starting point to find
several expressions for central quantities of the slanting throw. Among these expressions are: the angle of
the fall and the throw length that occurs when the optimal elevation angle is present. After this it is proved
that the sum of the elevation angle and the fall angle is 90 degrees if the elevation angle is optimal. It is also
proven that the symmetry of the throw length is around 45 degrees, when the starting and ending height is
even.
The last part of the paper describes an experiment consisting of an amount of concrete slanting throws. In
this part a lot of the theory and evidences from earlier are tested and vector functions are found, which
match every throw. Furthermore the experiment is evaluated and the sources of error of the experiment
are found. The experiment shows that the theory fits properly on the slanting throw.
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
3/26
Indledning
Vektorfunktioner kan bruges til at beskrive rigtig mange bevægelser. Både for store og små objekter og
også på mange typer af bevægelser. Vektorfunktioner er også glimrende til at beskrive bevægelsen for et
skråt kast. Dette kan være et skud med en kanon eller når man kaster med en tennisbold. Men hvad
betyder det for det skrå kast når startshøjden er anderledes end sluthøjden? Og hvordan finder man ud af
hvilken vinkel man skal bruge for at opnå den største kaste- eller skudvidde? Dette er kun noget af det, som
vil blive beskrevet i følgende opgave, hvor en grundlæggende redegørelse af vektorfunktioner danner
grundlaget for analysen af det skrå kast.
I det følgende vil der redegøres for begrebet vektorfunktioner samt anvendelse af disse. Herefter vil
opgaven fokusere på det skrå kast. Der opstilles en model for det skrå kasts bevægelse, som vil danne
grundlag for at udlede nogle udtryk for størrelser, der kan være interessante at finde frem til, når man
arbejder med et skråt kast. Modellen vil også være grundlaget for to beviser, der viser nogle nyttige
egenskaber for det skrå kast. Til slut analyseres en række skrå kast og udtrykkene og beviserne, som er
blevet gennemgået tidligere anvendes, for derefter at være grundlaget for en vurdering af om teorien
holder stik med virkeligheden. Alt dette sluttes sammen i en konklusion i slutningen af opgaven, hvor der
især fokuseres på hvor godt teorien i passer på det eksperimentelle når man har med et skråt kast at gøre.
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
4/26
Vektorfunktioner
Definition og parameterkurver
1
For at beskrive bevægelser i et plan, er det nødvendigt at beskrive bevægelsen i begge retninger.
Matematisk gøres dette ved at angive en stedvektor , som ofte (ikke altid) er funktion af tiden t, som da
kaldes parameteren. Denne funktion skrives som en vektor, hvor de to koordinater begge er funktion af
tiden t. En vektorfunktion
kan derfor skrives:
Hvor t tilhører definitionsmængden for
. x(t)og y(t) kaldes koordinatfunktionerne for vektorfunktionen
og begge to skal være reele funktioner i intervallet. Altså:
Eksempel: Vektorfunktionen
har definitionsmængde , da
dens koordinatfunktion , kun er defineret for t > -2, da ln kun kan bruges på tal
større end nul.
Til en vektorfunktion kan man lave en tilhørende graf, som også kaldes en parameterkurve. Hvis
parameteren er tiden (t), kaldes den også for banekurven, da den beskriver den bane som et objekt
foretager som funktion tiden t. Den kan laves i et grafprogram ved at fravælge ’funktion’ og istedet vælge
’parameterfunktion’. Her indtastes så x-funktionen og y-funktionen. Parameterkurven til vektorfunktionen
i eksemplet ovenfor ser sådan ud:
-6.5 7
-15
-10
-5
5
10
15
20
25
x
y
q(t)
t = 1
t = 3
1
”Matematik for 1-årigt A-niveau”, s. 108 og ”Vektorer, geometri og differentialregning”, s. 288.
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
5/26
Grafen tegnes ud fra de mulige t-værdier. Da t som vist i eksemplet ikke kommer under -2, har grafen en
vandret assymptote for ved y=3. At det lige er ved y=3 skyldes at:
.
Man kan bestemme en ligning for parameterkurven ved at isolere parameteren t i x’s koordinatfunktion og
derefter indsætte udtrykket for x i y’s koordinatfunktion. Denne metode kaldes elimination af parameteren.
Eksempel: Jeg kigger igen på vektorfunktionen
. Parameteren kan
elimineres sådan, så man i stedet for en vektorfunktion har en normal funktion.
Differentiabilitet, integration og tangenter
2
En vektorfunktion
er differentiabel i t hvis begge koordinatfunktioner er differentiable i t, Da er
vektorfunktionen
’s differentialkoefficient:
Denne kan også kaldes hastighedsvektoren for stedfunktionen
og betegnes . Så:
,
Størrelsen af hastigheden. Længden af hastighedsvektoren,
, kaldes farten.
Hastighedsvektoren kan ligeledes differentieres, så man får accelerationsvektoren , hvis såfremt
hastighedsvektoren er differentiabel. Denne angiver nemlig hvor hurtigt
ændres, mens
angiver
hvor hurtigt
ændres. Altså:
Eksempel: Min vektorfunktion
er nu en stedfunktion og har følgende
hastigheds- og accelerationsvektorer til tidspunktet t=1:
2
”Matematik for 1-årigt A-niveau”, s. 111-115 og ”Vektorer, geometri og differentialregning”, s. 289-292.
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
6/26
Desuden bliver farten:
Integration af vektorfunktioner følger umiddelbart af differentiation. Hvis begge koordinatfunktioner kan
integreres, kan hele vektorfunktionen også.
Tangenter til banekurver knytter sig til differentiabilitet nogenlunde ligesom tangenter for grafer til
almindelige funktioner. En differentiabel vektorfunktion
med punktet P
t
på banekurven har en tangent
gennem dette punkt med retningsvektoren
, såfremt denne ikke er nulvektoren . Tangentens ligning
kan derefter bestemmes på samme måde som ligningen for enhver anden linje bestemmes.
Eksempel: Vektorfunktionen
har en tangent i punktet P
t
med
retningsvektor
. X-koordinatfunktionen kan ikke blive nul da det er en brøk med
en kostant i tælleren, så vektoren vil aldrig blive nulvektoren. Punktet P
0
(altså ved t=0) har
koordinatsættet
Tangenten til , som går igennem punktet P
0
har retningsvektoren
Da jeg nu kender både retningsvektor og et punkt kan jeg finde linjens ligning. En
normalvektor er:
. tangentens ligning bliver derfor:
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
7/26
Kurvelængder
3
Det kan være meget praktisk at kunne bestemme længden af banekurven for en vektorfunktion. Dette kan
dog kun gøres hvis vektorfunktionen er tilstrækkelig pæn. Hvis en differentiabel vektorfunktion har en
kontinuer differentialkvotient, kan kurvelængden mellem to punkterne med parameterværdierne t
1
og t
2
(t
2
> t
1
) bestemmes sådan:
Eksempel: For at bestemme kurvelængden for vektorfunktionen
mellem de to punkter tilhørende parameterværdierne t
1
=1 og t
2
=3 skal jeg først finde
koordinatfunktionernes differentialkvotienter og derefter bruge formlen. Jeg finder herved
længden af det grønne stykke på grafen. Jeg kender differentialkvotienten i forvejen (fra da
jeg fandt hastighedsvektorerne for samme vektorfunktionen). Jeg skal blot sætte dem ind i
formlen. Jeg er kun vant til at integrere enklere funktioner i hånden, så jeg bruger min
lommeregner:
-2 2.5 3 3.5 4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
x
y
q(t)
t = 1
t = 3
3
”Matematik for 1-årigt A-niveau”, s. 123-125
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
8/26
Teori om det skrå kast
Model for skråt kast med y
0
≠0
4
For at kunne opstille en model for det skrå
kast, skal jeg kigge på hvilke kræfter der
påvirker objektet. Jeg vil dele det op i to
komposanter: x-retningen og y-retningen
(som vist på tegningen til højre).
I x-retningen påvirkes objektet kun af en evt. luftmodstand, som jeg her vil se bort fra. Dvs. at
accelerationen er lig nul:
. Denne kan integreres for at få en funktion for hastigheden:
. Integrationskonstanten k
1
kan omskrives ved at sætte t lig nul:
. k
1
er altså starthastigheden v
0
. Altså:
.
Denne kan igen integreres for at finde stedfunktionen:
.
Konstanten k
2
kan omskrives ved at sætte t lig nul:
. Dvs. at
k
2
er startsstedet x
0
. Det er en fordel at placere dette ved nul:
. Stedfunktionen i x-retningen er
derfor:
I y-retningen påvirkes objektet af tyngdeaccelerationen g (jeg ser igen bort fra luftmodstand). Da
tyngdekraften er nedadrettet vil jeg skifte fortegnet.
. Hastighedsfunktionen er stamfunktionen:
. Konstanten er (ligesom ved x-retningen) starthastigheden,
så:
.
Stedfunktionen findes igen ved integration:
. Her er k
3
igen startstedet, eller sagt med andre ord, begyndelseshøjden y
0
. Denne kender jeg ikke, så jeg
bevare den som konstant i modellen. Stedfunktionen i y-retningen er derfor:
Nu kender jeg begge koordinatfunktioner til vektorfunktionen der beskriver et skråt kast med vilkårlig
begyndelseshøjde. Jeg opstiller ud fra disse to en vektorfunktion:
4
”Orbit BA” s. 306-312
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
9/26
Størrelserne v
0,x
og v
0,y
er en smule uhåndgribelige, men kan omskrives vha. trekantsgeometri, så der kun
arbejdes med den samlede hastighed (som vist på tegningen):
Dette kan jeg sætte ind i min model:
Optimal elevationsvinkel og skudvidde
5
Nedslagsstedet x
max
bestemmes af modellen for det skrå kast hvor t fastlægges af at y(t)=0. I stedet for at
bruge x(t) vil jeg derfor finde frem til et udtryk for x(α). Jeg er derfor nødt til at ændre denne del af
modellen så α bliver variabel i stedet for t. Hvis både v
0
og y
0
er konstant, må det være muligt at komme
frem til et udtryk for t(α). Jeg vil ikke finde den her, men regne med den som en funktion. Ved at indsætte
det i min x-koordinatfunktion får jeg et udtryk for x(α):
For at finde den maksimale skudvidde, vil jeg differentiere funktionen og finde et maximum. Jeg kan ikke
vise matematisk, at det rent faktisk er et maksimum, hvilket er en svaghed. Jeg må derfor nøjes med at
overveje, at der må være et maximum. Da hverken en lille vinkel (gående mod 0 grader) eller en stor vinkel
(gående mod 90 grader) vil give en stor skudvidde, må der være et maksimum mellem disse. Her bruger jeg
reglen for differentiation af et produkt, hvor de to funktioner er
og
:
Jeg ved at
, fordi den maksimale x-værdi må være når bolden har ramt jorden og derfor når
y=0. Dette kan jeg bruge til at komme frem til et andet udtryk for t’(α). Jeg differentierer på begge sider af
lighedstegnet.
5
”Det skrå kast med begyndelseshøjde > 0” (Gamma 125 s. 40-42)
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
10/26
Første led differentieres som en sammensat funktion og andet led differentieres som produktet af to
funktioner:
Nu indsætter jeg det andet udtryk for t’(α) og forkorter det en smule:
For at komme videre benytter jeg mig af at
og at
Dette har altså givet mig et udtryk for flyvetiden for den optimale elevationsvinkel. Ved at indsætte den i
y’s koordinatfunktion i min model og sætte den lig nul, kan jeg finde den optimale vinkel:
Maximal skudvidde fås nu ved at indsætte udtrykket for vinklen og tiden i x’s koordinatfunktion,
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
11/26
Jeg bruger cotangens
, fordi jeg da kan bruge følgende formel:
h
Dette udtryk forkortes for sig:
Så sætter jeg det ind i udtrykket for x
max
:
Nedfaldsvinkel
Jeg vil bestemme et udtryk for nedfaldsvinklen β. Denne vinkel er den samme vinkel som vinklen mellem
hastighedsvektoren i nedslagspunktet og x-aksen, som det ses på figuren. Figuren viser desuden en
retvinklet trekant hvor hypotenusen er hastighedsvektoren i
nedslagspunktet og kateterne er hastighederne på hver af akserne i
nedslagspunktet. Nedslagvinklen kan altså bestemmes vha.
trekantsgeometri:
v
y
er negativ, da objektet i nedfaldspunktet nødvendigvis falder nedad. For at skifte fortegn sættes der
derfor et minus foran v
y
. Trekanter kan jo ikke have negative sider.
De to hastighedsvektorer kan findes ved at differentiere de to koordinatfunktioner i min model for det skrå
kast (1):
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
12/26
Da det skal være hastighedsvektorerne i nedfaldspunktet, skal tiden t være når y(t)=0. Derfor skal jeg finde
et udtryk for tiden når y=0. Det gør jeg ved at sætte y’s koordinatfunktion lig nul og isolere t. y(t) er en
andengradsligning, så fremgangsmåden er den samme som ved almindelige andengradsligninger.
Jeg vælger løsningen hvor kvadratroden bliver lagt til, da det vil give den største t-værdi. Den anden t-værdi
vil nemlig finde sted mens bolden er på vej opad, under affyringen eller inden affyringen. Da den t-værdi
nødvendigvis må være lavere, skal jeg altså bruge den største.
Nu indsætter jeg t-værdien i hastighedsvektoren v
y
i formlen for β:
Jeg har nu et udtryk for β:
Når y
0
=0 bliver nedfaldsvinklen derfor lig elevationsvinklen, hvilket er som forventet:
α+β = 90˚ ved maksimal kastelængde
Jeg vil bevise at summen af elevationsvinklen α
og nedfaldsvinklen β er 90° ved optimal
elevationsvinkel. Sætn:
Bevis: Jeg kunne gøre det ved at finde udtryk for
de to vinkler og lægge dem sammen, men hvis
man kigger nærmere på situationen, ser man, at
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
13/26
der skal være 90° mellem hastighedsvektoren i de to punkter, som det vises på tegningen. Jeg kan derfor i
stedet vise at hastighedsvektorernes prikprodukt er lig nul:
Først finder jeg et udtryk for hver af vektorerne. Jeg har tidligere (s, ???) fundet
hastighedsvektorfunktionen, som jeg går ud fra ved begge vektorer. Hos
er t=0 og hos
indsættes det
udtryk, som jeg fandt for t(α
opt
) på s. ???.
Dette er sandt, så jeg har vist at prikproduktet af de to hastighedsvektorer er 0, så vinklen mellem dem er
90°. Derfor er summen af de to vinkler også 90°, og det var det jeg skulle bevise.
Symmetri omkring 45 grader ved y
0
=0
Jeg vil vise at kastelængden er symmetrisk omkring 45 grader ved et skråt kast hvor y
0
=0 (dvs. at
affyringshøjden er lig nedslagshøjden). Jeg går ud fra min model for det skrå kast (1). Der er dog en lille
ændring, da y
0
=0:
Jeg vil finde et udtryk for kastelængden. Jeg ved at y(t)=0 i nedslagspunktet. Jeg sætter derfor y-
koordinatfunktionen lig nul og isolere t:
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
14/26
Jeg er ikke interesseret i t=0, da det er begyndelsespunktet, så jeg kigger på den anden løsning:
Dette indsætter jeg i x-koordinatfunktionen, hvilket giver mig et udtryk for kastelængden:
For at komme videre benytter jeg regnereglen
Her er
en konstant, så kastelængden afhænger altså
vinklen. Der er tydeligt at den største kastelængde fås ved 45
grader, da sin(90) = 1. Ved at kigge på enhedscirklen (til højre)
kan man se, at hvis man forøger vinklen, som er 45 grader,
med et vinkelstykke v, giver sinus til det dobbelte af den nye
vinkel det samme, som hvis man i stedet trak vinklen fra. Det vil sige:
Det viser altså at er symmetrisk omkring . Dette medfører at også kastelængden er
symmetrisk omkring , da kastelængden, som tidligere nævnt kun afhænger af vinklen, da g og v
0
er
konstante. Kastelængdens symmetri omkring 45 grader vises på figuren:
(På figuren viser jeg udelukkende sidste del af hvert af de tre kast.)
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
15/26
Forsøg: Det skrå kast
Jeg udførte dette forsøg for at indsamle data til undersøgelse af det skrå kast. Herunder eftervisning af
tidligere udledte formler i opgaven.
Jeg lavede to forskellige dataserier. Den første var lang og bestod af 15 forskellige kast. Denne skal bruges
til generel undersøgelse af det skrå kast. Den anden måleserie bestod af to forskellige kast. Ved disse kast
havde jeg i forvejen beregnet den optimale elevationsvinkel ved en given starthøjde y
0
. Dette skal altså
bruges til undersøgelse af skrå kast hvor vinklen er optimal.
Materialer og udførelse
Fjederkanon m, kugler
Vandret plade, regulerbar i højden,
Rullebord
Målebånd
Tavlelineal, 1m
Kamera
Dataserie 1: Kast 0-45
Fjederkanonen opstilles foran en ensartet flade (jeg brugte en tavle) og vinklen og skudstyrke indstilles. Jeg
brugte skudstyrke ”2” hver gang. Jeg skiftede mellem vinklerne 25, 35, 45, 55 og 65 grader.
Herefter flyttes mål-pladen (op/ned, frem/tilbage), således at man opnår den ønskede højdeforskel og
samtidig sørger for at kuglen rammer pladen, evt. vha. prøveskud. I mit første forsøg brugte jeg
højdeforskellene -10 cm, 0 cm og 10 cm og i andet forsøg -27 cm og 33 cm,
Kameraet indstilles så man kan se kuglen hele tiden fra det affyres til den rammer målpladen. Desuden
lægges tavle-linealen lige foran tavlen så den kommer med på filmen. Dette er nødvendigt for at man i sit
videoanalyseprogram kan angive en kendt længde. Så bruger programmet denne længde til at udregne bl,a,
x- og y-koordinater i en størrelsesorden, som passer nogenlunde på virkeligheden. Jeg tog tre
videooptagelser ved hver opstilling for at være sikker på at en af dem var skarp, ikke rystet og viste hele
kastet. Jeg analyserede derfor kun et af hvert kast i analyseprogrammet.
Desuden vejes kuglen. Jeg brugte to (næsten) ens kugler og pga., den lille masseforskel vejede jeg dem
begge og fandt gennemsnittet, som bliver den værdi jeg kommer til at arbejde med.
Dataserie 2: Kast 48 og 51
Forløbet var det samme som ved dataserie 1. Forskellen er, at jeg bestemte jeg først højdeforskellen (-27
cm og +33 cm) og udregnede den optimale vinkel. Derefter udførte jeg kastet.
Databehandling
Jeg anvendte programmet ”Tracker” til at analysere mine skrå kast. I programmet markerede jeg kuglens
position hvert ”step”. Da kameraet optog med 25 frames pr. sekund og programmet brugte 50 ”step”s pr.
sekund, flyttede kuglens sig kun hvert andet step. Jeg markerede dog alligevel kuglens position hvert step
og slettede hver andet efter jeg havde fået alle data, da disse kun forvirrede kurven,
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
16/26
Akserne indsatte jeg, så y-aksen gik lige igennem affyringspunktet og x-aksen gik lige igennem målpladen.
Jeg markerede hver gang tavlelinealen eller ternene på tavlen som målestok. Ligeledes indtastede jeg
kuglens masse.
Det lykkedes mig ikke at klippe i videoerne, hvilket medførte at t ikke var lig nul på affyringstidpunktet. For
at dette ikke skulle skal forstyrre mine grafer, slettede jeg derfor t-værdierne manuelt efter
videobehandlingen og indsatte nye, hvor det første frame hvor kuglen er i luften har t-værdien t=0 ved
hvert kast.
Til sidst valgte jeg hvilke data jeg ville have og kopierede dem over i et andet program. Hver gang valgte jeg
følgende værdier: t, x, y, v
x
, v
y
, v og E
kin
. Desuden fandt jeg parameterfremstillingerne (vektorfunktionerne)
for hvert kast og udregnede nedfaldsvinklen samt afviget fra den teoretiske. Det gav mig for hvert kast et
skema som dette: (tilsvarende skemaer for resten af kastene er vedlagt som bilag)
Kast 15
Vinkel α:
65
y0:
10 cm
m = 9,71 g
t
x
y
vx
vy
v
/s
/m
/m
/ m/s
/ m/s
/ m/s
0
0,036
0,182
0,04
0,126
0,338
2,312
3,941
4,57
0,08
0,198
0,468
1,997
3,363
3,912
0,12
0,284
0,596
2,05
2,996
3,63
0,16
0,366
0,697
1,892
2,575
3,195
0,20
0,446
0,781
2,102
2,102
2,973
0,24
0,523
0,855
1,944
1,787
2,641
0,28
0,608
0,909
2,155
1,419
2,58
0,32
0,685
0,949
1,944
0,946
2,162
0,36
0,763
0,972
1,997
0,631
2,094
0,40
0,841
0,981
1,892
0,158
1,898
0,44
0,921
0,979
1,944
-0,105
1,947
0,48
0,996
0,958
1,944
-0,578
2,029
0,52
1,083
0,916
1,944
-1,051
2,21
0,56
1,156
0,861
1,944
-1,261
2,318
0,60
1,24
0,792
2,05
-1,682
2,651
0,64
1,314
0,71
1,839
-2,102
2,793
0,68
1,389
0,611
1,944
-2,47
3,144
0,72
1,469
0,487
1,892
-3,153
3,677
0,76
1,535
0,365
1,734
-3,206
3,645
0,80
1,617
0,216
2,05
-3,521
4,074
0,84
1,692
0,058
1,787
-3,889
4,28
x(t)=
1,9694241*t+0,
y(t)=
-4,8846873*t
2
+3,9433547*t+0,1873419
β=
65,3
˚
β
teo
=
66,07
˚
Afvig:
1,17
%
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
17/26
Jeg har forsøgt at undersøge hvordan programmet har udregnet v
x
og v
y
, dog uden at komme frem til en
metode, som giver præcist det samme resultat. Jeg kan derfor ikke redegøre for hvordan programmet kom
frem til de værdier, men jeg tror på de er rigtige, da de ligger tæt op af de værdier jeg selv kom frem til.
Eksempelvis forsøgte jeg at finde gennemsnitshastigheden på y-aksen mellem t(0) og t(0,04). Her får jeg et
resultat som ligger tæt op af programmets v(0,04), som er 3,941.
Det er dog sikkert hvordan v beregnes:
Jeg kommer senere ind på hvordan jeg fandt parameterfremstillingen og nedfaldsvinklen.
Værdien v
0
indgår i mange af mine modeller og er derfor nyttig at kende. Den fremgår dog hverken af
forsøgsopstillingen eller måleresultaterne, men bør dog være ens for alle kastene, da kuglerne,
fjederkanonen og affyringskraften er ens overalt. Den tidligste v-værdi kunne evt. anvendes som v
0
, men
det ville give en forskellig værdi ved hvert kast, fordi den bliver mindre og mindre, jo længere kuglen er væk
fra affyringspunktet ved første frame, hvilket er helt tilfældigt og forskelligt fra kast til kast. Jeg har derfor
fundet et kast hvor kuglen ved første frame er meget tæt på affyringspunktet. Nemlig ved kast nr. 9. Her
har kuglen ved første frame knapt forladt kanonen. Derfor må den tidligste hastighedsværdi for dette kast
være en bedre tilnærmelse til v
0
end tilsvarende værdi er ved de andre kast. Til videre beregninger hvor v
0
indgår, vil jeg derfor bruge denne værdi. v
0
= 4,78 m/s.
- Eftervisning af teoretisk model for skråt kast med y
0
≠0
Min tidligere udledning af den teoretiske model for et skråt kast (1) (s. 9) så sådan ud:
Ved at indsætte g, α, v
0
og y
0
og sammenligne dette med den vektorfunktion jeg får vha. regression
af mine måleresultater kan jeg se hvor godt min teoretiske model passer på virkeligheden. For at få
regressionen som en vektorfunktion er jeg nødt til at tage koordinatfunktionerne en ad gangen, så
jeg laver en regression af både x(t) og y(t) og derefter sætter dem sammen.
g er som altid 9,82 m/s
2
, α og y
0
kender jeg fra forsøgsopstillingen. v
0
tages som tidligere nævnt fra
kast 9. Jeg vil efterprøve modellen på tre kast med forskellige y
0
-værdier og forskellige vinkler. Jeg
vælger kast 0, kast 21 og kast 35.
Kast 0:
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
18/26
α = 65, v
0
= 4,78 m/s, y
0
= 0.
Teoretisk model:
Vha, regression af måleresultater fås:
Den teoretiske banekurve (grå) og banekurven tegnet vha. måleresultaterne (sort) ser sådan ud:
Kast 0 y(x)
-6 1.7 1.8 1.9
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
x
y
Grafen sammenligner den teoretiske model for kast 0 med en regression af målingerne fra samme
kast. Graferne starter tæt sammen, men den teoretiske model når lidt højere og lidt længere end
grafen lavet ud fra målingerne.
Kast 21:
α = 45, v
0
= 4,78 m/s, y
0
= 0,1 m.
Teoretisk model:
Vha. regression af måleresultater fås:
Kast 35:
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
19/26
α = 35, v
0
= 4,78 m/s, y
0
= -0,1 m.
Teoretisk model:
Vha. regression af måleresultater fås:
- Eftervisning af symmetrien omkring 45˚ ved y
0
=0
Jeg vil forsøge at eftervise symmetrien omkring 45 grader ved et kast hvor y
0
=0 ved at se på, hvor
godt dette passer på mine måleresultater. Jeg vil derfor finde en regression til de af mine datasæt
hvor y
0
=0 (ligesom jeg gjorde, da jeg efterviste min model for det skrå kast). Hvis der er symmetri
omkring de 45 grader, som jeg teoretisk viste det tidligere (s.13-14) skal kastelængden være den
samme ved et kast med α=65, som den er ved α=25. Ligeledes skal kastelængden være det samme
ved α=55 som den er ved α=35. Jeg vil finde ud af om det gælder for mine kast. Kast 0 skal derfor
have samme kastlængde som kast 12, og kast 3 skal have den samme som kast 9.
Jeg bruger den formel for kastelængden, som jeg fandt frem til på side 14 for at finde den
teoretiske x
slut
værdi. Derefter finder jeg stedvektorfunktionenerne for de to kast og bestemmer t
for y = 0 vha. min lommeregners program solve. Ved at indsætte t i x-koordinatfunktionen kan jeg
nu finde x
slut
. Jeg vil bestemme både afviget mellem teoretisk og praktisk værdi samt afviget mellem
kastelængderne for hvert vinkelpar.
Til sidst vil jeg vise, at kastet ved 45 grader er det længste ved på samme måde at bestemme x
slut
.
Også her vil jeg finde afviget fra den teoretiske værdi.
Kast 0 og 12:
α
k0
= 65, α
k12
= 25, v
0
= 4,78 m/s
Teoretisk værdi:
(jeg kunne lige så godt sætte α
k12
= 25 ind, det giver det samme)
Jeg kender allerede kast 0’s vektorfunktion fra da jeg efterprøvede min teoretiske model for det
skrå kast på s. 18.
Nu sætter jeg y(t) lig nul og finder t vha. solve:
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
20/26
Jeg forkaster den mindste t-værdi fordi den optræder lige omkring affyringstidspunktet, hvor y jo er
nul og det er ikke den jeg er interesseret i. Den største t-værdi er 0,828 s. Denne indsætter jeg i x-
koordinatfunktionen og finder x. Jeg finder også afviget fra den teoretiske værdi:
Jeg gør det samme med kast 12. Her skal jeg dog først finde vektorfunktionen. Det gør jeg ligesom
tidligere ved at finde x(t) og y(t) vha. regression hver for sig og sætte dem sammen. Det giver mig
vektorfunktionen:
Jeg sætter igen y=0 og finder t vha. solve:
Den mindste værdi er stadig affyringstiden, som jeg ikke er interesseret i. t=0,371 s. x
slut
bliver:
Jeg fik ikke helt samme resultat som ved kast 0. afviget bliver:
Kast 3 og 9:
α
k3
= 55, α
k9
= 35, v
0
= 4,78 m/s
Det beregnes ligesom kast 0 og 12.
Kast 3:
Kast 9:
Disse to kast er heller ikke helt ens, afviget er:
Kast 6:
α
k6
= 45, v
0
= 4,78 m/s
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
21/26
- Eftervisning af udtryk for nedfaldsvinklen
I resultatskemaerne har jeg udregnet to forskellige nedfaldsvinkler. En teoretisk og en baseret på
mine data. Den teoretiske værdi fandt jeg vha. formlen for nedfaldsvinklen (5) og den databaserede
fandt jeg ud fra hastighedsvektoren i det sidste punkt i mit skema. Da jeg kender både v
x
og v
y
i
dette punkt brugte jeg trekantsgeometri til at finde nedslagsvinklen. Jeg vil bruge kast 15 som
eksempel:
Jeg har beregnet nedfaldsvinklen for alle mine kast og fundet afvig mellem 0,2 og 20 %.
- Eftervisning af udtryk for kastevidde ved optimal vinkel
Jeg vil starte med at vise hvordan jeg fandt den optimale vinkel, som jeg brugte i kast 48. Jeg bruger
formel (3):
Jeg kan desværre ikke eftervise mit udtryk for den optimale vinkel (3), fordi mine data i dataserie 2
bygger på dette udtryk og fordi dataserie 1 ikke har nok forskellige vinkler. Jeg kan i stedet ud fra
dataserie 2 eftervise mit udtryk for optimal kastevidde (4). Jeg har to forskellige kast med to
forskellige starthøjder. I begge kast skydes med den optimale vinkel (udregnet vha. (3)).
Jeg skal altså finde både den teoretiske værdi og den eksperimentelle værdi for begge kast. Den
teoretiske findes udtrykket for optimal kastevidde (4) og den eksperimentelle findes ved at bruge
lommeregnerfunktionen solve til at sætte y(t)=0 og finde t og derefter sætte t ind i x’s
koordinatfunktion. Koordinatfunktionerne findes i skemaerne for kastene i bilaget.
Kast 48:
Jeg forkaster igen den mindste t-værdi. Dvs. t = 0,746s.
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
22/26
Dette er noget kortere end den teoretiske værdi:
Kast 51:
Jeg forkaster igen den mindste t-værdi. Dvs. at t = 0,612.
Dette er noget kortere end den teoretiske værdi:
- Eftervisning af α+β= 90˚ ved maksimal kastelængde
Jeg vil igen her benytte dataserie 2, da begge kast tilnærmelsesvis har maksimal kastelængde. Jeg
vil beregne nedfaldsvinklen β og lægge elevationsvinklen α til og se om det nærmer sig de 90
grader. β findes på samme måde som da jeg efterviste udtrykket for nedslagsvinklen (s. 21).
Kast 48:
Kast 51:
Vurdering af forsøget
Eftervisning af teoretisk model for skråt kast
Hvis man sammenligner de teoretisk udledte vektorfunktioner med vektorfunktionerne fundet vha.
regression af dataet, ses det at der generelt kun er små afvig.
Forskriften for x(t) afviger meget lidt. I kast 21 og 35 er stigningstallet en smule større ved den
teoretiske model. Dette kan nemt skyldes at der i denne model ikke tages højde for
luftmodstanden, da den bremser bevægelsen en lille smule.
Forskriften for y(t) afviger lidt mere. Dette er et andengradspolynomium på formen y=ax
2
+bx+c. a’s
afvig er meget lille ved alle tre kast og kan sagtens forklares af luftmodstand og upræcis indtegnelse
af punkterne i videoanalyseprogrammet (Jeg vil under fejlkilder uddybe hvad dette helt specifikt
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
23/26
indebærer). b afviger lidt mere, men det er af samme årsager. På grafen for kast 0 ses at trods et
betydeligt afvig hos konstanten b, ligner graferne hinanden meget. Størrelsen c afviger relativt
meget ved alle tre kast og skyldes hovedsageligt at det første punkt (t=0) ikke ligger på
affyringspunktet. Dette forskyder altså grafen en smule, og det ligner at kastet starter et andet sted
end det i virkeligheden gjorde. Hvis det første punkt altid lå på affyringspunktet, ville grafen ikke
være forskudt og c ville sikkert passe meget bedre.
Eftervisning af symmetrien omkring 45˚ ved y
0
=0
Ved at sammenligne de teoretisk udregnede værdier for x
slut
med værdierne beregnet vha.
måleresultaterne ses det, at de teoretiske værdier i alle fem tilfælde er større end de
eksperimentelle. Det er dog ikke ret meget – afvigene ligger mellem 4 og 9 procent. Dette lille afvig
skyldes luftmodstanden, da den bremser bevægelsen og formindsker x
slut
.
Hvis man sammenligner de kastelængder, som ifølge teorien skulle være ens, er afvigene helt nede
på 2,6 og 3,8 %. Dette er dog ikke meget, og det bekræfter derfor klart, at der er symmetri omkring
de 45 grader. Dog er det i begge tilfælde det kast med den største α-vinkel, som har den største
skudvidde. Jeg vil ikke bygge nogen teorier på to målinger, men det peger i retning af, at
luftmodstanden bremser et legeme relativt mere når dens hastighed stiger. Ud over dette måske
spiller en lille rolle, er de eneste usikkerheder ved denne del af forsøget eventuelle upræcise
afmærkninger i analyseprogrammet.
Eftervisning af udtryk for nedslagsvinkel
Afvigene blev meget forskellige ved denne del af databehandlingen. Nogle var under 1 % og andre
næsten 20 %. Dette skyldes at den vinkel som findes ud fra dataet ikke er den præcise
nedslagsvinkel, men vinklen lidt inden kuglen rammer jorden. Denne vinkel er mindre og forklarer
hvorfor den teoretiske vinkel bliver størst hver gang (med undtagelse af kast 25, hvor afviget er
0,26 %). Ved nogle af de små vinkler (25 og 35) betyder få grader meget for det relative afvig.
Derfor bliver afviget nogle steder ret stort og jeg mener at udtrykket alligevel bekræftes. Her indgår
de generelle fejlkilder med undtagelse af vindmodstanden, da den påvirker lige meget i x- og y-
retningen og derfor ikke ændrer nedfaldsvinklen.
Eftervisning af udtryk for kastevidde ved optimal vinkel
Måleresultaterne var her bygget på udregninger af den optimale vinkel. Afviget, som ligger på 10 %
ved begge kast, kan derfor skyldes en blanding af at vinklen ikke har været præcis det den skulle
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
24/26
samt luftmodstanden. Man skal huske at den maksimale kastelængde ved en given vinkel kun
opstår meget gunstige forhold og derfor er svær at opnå.
Eftervisning af α+β= 90˚ ved maksimal kastelængde
Summen af vinklerne ligger her begge to tæt op af 90 grader. Det undrer mig dog at de begge to
ligger over, da vinklen β udregnet på den måde jeg gjorde forventes at være mindre end den
teoretiske (hvilket jeg har været inde på). Det ligner dog at begge datasæt er heldige på den måde,
at det sidste punkt ligger meget tæt på nedslagspunktet. Det vil nemlig give en vinkel tæt på den
teoretiske. De generelle usikkerheder og fejlkilder kan da være syld i at vinklen er blevet lidt for
stor.
Generelt var målingerne ved dette forsøg præcise. De små usikkerheder og fejlkilder som optrådte er her:
Fejlkilder:
- Den største og mest væsentlige fejlkilde er luftmodstanden, da den ikke blev højde for i teorien,
men ikke kan undgås i praksis. Det er kun fordi den ikke er ret stor, at man kan se bort fra den, for
ellers kunne teorien slet ikke anvendes på måleresultaterne.
- Tiden t=0 findes i hvert forsøg efter affyringstidspunktet, fordi det ikke er muligt at optage første
frame i affyringsøjeblikket hver gang. Dette kunne ikke undgås, da det skal optages på
videokamera, men denne fejlkilde havde været mindre hvis videokameraet havde været bedre.
- Masserne af de to kugler jeg brugte var ikke helt ens. Forskellen var ca. 0,15 g, dvs. 1,5 %.
- Hvis kameraet ikke blev holdt helt stille, kan boldens kurve have nogle uregelmæssigheder.
Usikkerheder:
- Fjederkanonens vinkel blev indstillet nogenlunde præcist, men en usikkerhed på ca. 0,5˚ kunne ikke
undgås.
- At indstille y
0
kunne gøres meget præcist, så her er usikkerheden max 5 mm.
- Det var svært at markere kuglens præcise position i analyseprogrammet, da kameraets lukketid
gjorde at man på hvert frame så en lang gul streg i stedet for en gul kugle.
- Markeringen af 1m-linealen samt akserne var ikke 100% præcis hver gang. Den kunne sagtens
variere med et par centimeter. Dette har dog ikke så stor betydning for resultaterne.
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
25/26
Samlet konklusion
Jeg har redegjort for vektorfunktioner og benyttet disse til at opstille en model for vektorfunktioner, som er
en parabel og meget tilfredstillende, idet den passer godt beskrivelsen af bevægelsen hos mine skrå kast.
Modellen er
Jeg har også fundet et udtryk for nedslagsvinklen, som ligeledes passer godt på mine skrå kast. Udtrykket
ser sådan ud:
Desuden har jeg vist både teoretisk og eksperimentielt at summen af denne og elevationsvinklen er 90
grader ved maksimal kastelængde, samt at kastelængden er symmetrisk omkring 45 grader ved et skråt
kast med samme begyndelses- og nedslagshøjde.
Måden jeg testede mine teorier eksperimentielt var ved at udføre et forsøg med en fjederkanon, hvilket var
yderst tilfredsstillende.
[navn fjernet] 3x MA/FY
Vejlefjordskolen Vektorfunktioner og det skrå kast Afl. 22/12 2009
26/26
Litteraturliste
Hebsgaard, Thomas m.fl. Matematik for 1-årigt A-niveau. Trips forlag, 1999, 1. Udgave, 1. oplag.
Jessen, Claus m.fl. Vektorer, geometri og differentialregning. Gyldendal undervisning, 1998. 1. Udgave, 1.
Oplag.
Clausen, Gorm. Det skrå kast med begyndelseshøjde > 0. Gamma 125.
Eller hjemmesiden: http://www.gamma.nbi.dk/Galleri/gamma125/skraakast.pdf
Sloth, Hans. Trip’s matematiske bog 3. Trips forlag, 2006, 1. Udgave, 1. Oplag.
Brydensholt, Morten, m.fl. Orbit BA. Systime, 2006, 1. Udgave, 1. Oplag.