Studiekompasset.dkKlasse: STX 3.g · Fag: SRP, Matematik A, Spansk A
!
1!
Studieretningsprojekt/!!
Opgaveformulering!!
Lyngby/Gymnasium/København/Nord/
STX/Lyngby!
!
STX 3.g
STX 3.g
!
!
Fag:!! !
Vejleder:!
!
Matematik!A!
!
*****!
!
Email:!!
!
Spansk!A!
!
*****!
!
Email:!!
Område:!
Den!catalanske!modernisme!og!Gaudís!arkitektur.!
!
Opgavetitel:!!
Opgaveformulering:!
Gør!rede!for!den!catalanske!modernisme!med!fokus!på!hvordan!den!kommer!til!udtryk!i!
arkitekturen.!
Giv!en!kort!redegørelse!for!Antoni!Gaudís!byggestil!med!speciel!fokus!på!de!elementer,!som!
Gaudí!brugte!i!sin!arkitektur,!og!forklar!herunder!hvad!han!mente!med!udtrykket:!"La#
originalidad#es#volver#a#los#orígenes".!Citatet!findes!blandt!andet!i!artik len!”Obra,#estilo#y#
técnica#de#Antonio#Gaudí!“!på!hjemmesiden!http://www.modernismo98y14.com/obras-
antoni-gaudi.html!
Undersøg,!I!forlængelse!med!dette,!hvorhenne!Gaudí!finder!sine!inspirationskilder,!og!
hvordan!de!kommer!til!udtryk!i!hans!værker.!!
Indfør!algebraiske!flader!af!anden!orden,!med!fokus!på!keglesnitsflader!og!især!hyperbolske!
paraboloider.!Diskuter!de!hyperbolske!paraboloiders!matematiske!egenskaber!med!henblik!
på!Gaudí’s!brug!af!dem!i!La!Sagrada!Familia!og!Park!Güell.!
Diskutér!Gaudís!originalitet!-!både!konstruktionsteknisk!og!æstetisk.!
!!
"El#arquitecto#del#futuro#se#basará#en#la#imitación#de#la#naturaleza,#porque#es#la#forma#más#
racional,#duradera#y#económica#de#todos#los#métodos".!(Antoni!Gaudí)!
!
Opgavens!omfang!er!15-20!sider,!maks.!48000!anslag!(inkl.!mellemrum).!Dette!er!eksklusiv!
indholdsfortegnelse,!forside,!litteraturliste,!litteraturhenvisninger,!figurer,!abstract!og!b il a g.!
!
!
!
!
!
2!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Elevens/kvittering!ved!aflevering!17.!december!2015.!Jeg!bekræfter!samtidig!med!min!
aflevering,!at!hele!besvarelsen!er!udarbejdet!af!mig!og!evt.!gengivet!tekst!fra!kilder!er!anført!
med!tydelig!markering,!samt!at!opgaven!er!uploadet!i!Lectio.!
!
/
Vejleders/kvittering!for!modtagelse!af!færdigt!studieretningsprojekt!den!17.!december!2015!
kl.!14.00!(elev!printer!kopi!ud!hvis!kvittering!ønskes):!
!
!
Denne!side!placeres!forrest!i!hvert!eksemplar!af!studieretningsprojektet!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
3!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
/
Den$catalanske$modernisme$og$
Gaudís$arkitektur$
$
$
Matematik$A$og$Spansk$A$
!!
Maria!Worsøe!Løvgreen!3.X!
!
Lyngby!Gymnasium!
!
!17/12-2015!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3!
!
4!
Abstract/
The!study!examines!The!Catalan!Modernism!and!Antoni!Gaudí’s!use!of!geometric!forms!in!his!
architecture.!The!first!part!of!the!study!is!based!on!an!account!of!The!Catalan!Modernism,!his!
source!of!inspiration!and!how!we!see!the!geometric!forms!in!his!architecture.!
The!second!part!is!based!on!a!theoretical!in-depth!review!of!quadric!surfaces,!including!the!
hyperbolic!paraboloid.!Finally!the!study!discusses!his!use!of!hyperbolic!paraboloid!in!La!
Sagrada!Familia!and!Park!Güell!and!also!a!discussion!about!his!originality.!
Firstly!The!Catalan!Modernism!was!a!reaction!of!the!industrialization!and!after!that,!the!
Catalan!architects,!including!Gaudí, !wanted!the!nature!back!in!the!architecture.!He!found!the!
geometric!forms!in!his!natural!habitat,!which!is!one!of!his!sources!of!inspirations.!
Secondly!the!mathematical!computations!lead!us!to!how!you!can!use!the!hyperbolic!
paraboloid!in!practice,!just!like!Gaudí!did.!Finally!he!uses!the!hyperbolic!paraboloid!to!build!
the!sacristy!in!La!Sagrada!Familia!and!the!arcade!in!Park!Güell.!Furthermore!his!interplay!of!
geometric!forms,!the!nature,!the!inspiration!from!gothic!architecture!and!his!catholic!
background!define!his!originality.!To!sum!up,!Gaudí!was!a!man,!who!under!The!Catalan!
Modernism!used!all!his!knowledge!and!interests!to!build!some!of!the!most!famous!buildings!
in!the!world.!
!
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
!
5!
Indholds fo rte gn els e/
!
Indledning………………………………………………………………………………………………………6!
Den/catalanske/modernisme/og/Gaudís/arkitektur…………………………………..…..7!
!!!!!!!!!!!!”La!originalidad!es!volver!a!los!orígenes”!……………………………………......………7-9!
!!!!!!!!!!!!!Fra!inspirationskilde!til!mesterværk………………………………………….......………9-11!
Geometrien/bag/Gaudís/arkitektur.........................................................................................11!
!!!!!!!!!!!!!Algebraiske!flader!af!anden!orden…………………………………………………………11-12!
!!!!!!!!!!!!!Keglesnit…………………………..……………………………………………………………….…12-13!
!!!!!!!!!!!!!Parablen!som!keglesnit…………………………………………………………………………13-15!
!!!!!!!!!!!!!Ellipsen!som!keglesnit…………..………………………………………………………………15-18!
!!!!!!!!!!!!!Hyperblen!som!keglesnit………………………………………………………………………18!
!!!!!!!!!!!!!Keglesnitsflader……………………………………………………………………………………19-20!
Den/hyperbolske/paraboloide………………………………………………………………………20-21!
!!!!!!!!!!!!!Skæring!med!planen!parallel!med!xy-planen…………………………………….……21-23!
!!!!!!!!!!!!!Skæring!med!planen!parallel!med!yz-planen……………………………………….…24!
!!!!!!!!!!!!!Skæring!med!planen!parallel!med!zy-planen……………………………………….…25-26!
!!!!!!!!!!!!!Beskrivelse!ved!hjælp!af!rette!linjer………………………………………………………26!
!!!!!!!!!!!!!Første!set!frembringere………………..………………………………………………………26-28!
!!!!!!!!!!!!!Anden!set!frembringere………………..………………………………………………………28-29!
!!!!!!!!!!!!!Den!vindskæve!firkant………..………..………………………………………………………29-33!
Den/hyperbolske/paraboloide/i/La/Sagrada/Familia/og/Park/Güell.....................33-34!
!!!!!!!!!!!!!Brugen!af!hyperbolske!paraboloider!i!La!Sagrada!Familia…..………………….34!
!!!!!!!!!!!!!Brugen!af!hyperbolske!paraboloider!i!Park!Güell………………..………….………35!
!!!!!!!!!!!!!Den!konstruktionsdygtige!og!stærke!figur……………………..…..……….…….……35-36!
Gaudís/originalitet…………………………………………………………………………….………….36-39!
Konklusion…………………………………………………………………………………………….……..39-40!
Litteraturliste………………………………………………………………………………………….……40-42!
!
/
/
!
6!
Indlednin g/
“Nada#es#arte”,#sentenció,#“si#no#viene#de#la#naturaleza”
1
.!Således!udtalte!den!verdensberømte!
catalanske!arkitekt,!Antoni!Gaudí,!sig!om!kunst.!Men!kan!det!virkelig!passe,!at!en!af!verdens!
mest!anerkendte!arkitekter,!fandt!inspiration!i!noget!så!simpelt!som!naturen?!Efter!en!
periode!med!nytænkning!og!industrialisering!opstod!der!en!kulturstrømning!gennem!Europa!
fra!!Den!catalanske!modernisme!var!opstået!og!Antoni!Gaudí,!var!med!sin!
originalitet!og!særlige!brug!af!naturlige!geometriske!former,!et!af!de!helt!store!ikoner!inden!
for!arkitekturen.!!
!
Denne!opgave!er!udarbejdet!i!fagene!matematik!og!spansk.!Først!og!fremmest!vil!jeg!gøre!
rede!for!den!catalanske!modernisme!og!hvordan!denne!ses!i!Gaudís!arkitektur.!Dernæst!vil!jeg!
redegøre!for!Gaudís!byggestil!og!se!nærmere!på,!hvilke!elementer!han!brugte!i!sin!arkitektur.!
Hertil!vil!jeg!forklare!hvad!der!menes!med!citatet!”La!originalidad!es!volver!a!los!orígenes”.!!
!
I!forbindelse!med!overstående!vil!jeg!undersøge,!hvorfra!Gaudí!fandt!sine!inspirationsk il der!
og!hvordan!dette!ses!på!hans!bygningsstil.!!
!
Derudover!vil!jeg!gennemgå!algebraiske!flader!af!anden!orden,!med!fokus!på!keglesnitsflader!
og!hyperbolske!paraboloider.!Sidstnævntes!matematiske!egenskaber!vil!blive!diskuteret!med!
henblik!på!Gaudís!brug!af!disse!i!La!Sagrada!Familia!og!Park!Güell.!
!
Til!sidst!vil!jeg!på!baggrund!af!tidligere!undersøgelser!og!viden!diskutere!Gaudís!originalitet!–!
både!konstruktionsteknisk!og!æstetisk!ud!fra!artiklen!”Arquitectura!y!religión!en!Gaudí”!samt!
Gaudís!eget!citat#"El#arquitecto#del#futuro#se#basará#en#la#imitación#de#la#naturaleza,#porque#es#
la#forma#más#racional,#duradera#y#económica#de#todos#los#métodos".#!
!
/
/
/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1
!La!Sagrada!Familia,!casi!terminada!después!de!133!años,!natgeo.es.!
!
7!
Den/catalanske/modernisme/og/Gaudís/arkitektur/
I!slutningen!af!1800!tallet!opstod!en!kulturstrømning!gennem!det!meste!af!Europa,!herunder!
Catalonien.!En!ny!byggestil!indtog!Catalonien!og!med!deres!helt!egen!stil!udviklede!de!sig!
meget!i!forhold!til!de!andre!lande.
2
!Perioden!blev!kaldt!for!”Art!Nouveau”!i!det!meste!af!
Europa.!I!Mellemeuropa!blev!stilen!kaldt!”Jugendstil”!og!i!Catalonien!blev!den!nye!stil!kaldt!
”modernisme”.
3
!
!
Ser!man!tilbage!på!den!første!halvdel!af!1800!tallet,!var!bygningerne!præget!af!en!kedelig!
industristil,!som!var!blevet!skabt!under!industrialiseringen.!Det!var!en!helt!ny!måde!at!leve!
på.!Det!var!netop!denne!stil,!som!modernismen!var!en!modreaktion!på!i!slutningen!af!det!19.!
århundrede.
4
!!Gennem!modernismen!begyndte!man!nu,!at!sætte!fokus!på!udviklingen!af!en!
arkitektur,!som!var!baseret!på!naturen.!I!selve!arkitekturen!brugte!man!nu!naturlige!former,!
som!kan!ses!i!bygningerne,!på!deres!facader!og!i!vinduer!samt!balkoner.!Derudover!
udsmykkede!man!bygningerne!med!andre!naturlige!objekter!så!som!mennesker,!dyr,!
blomster!og!blade.!!
!
Den!catalanske!modernismen!blev!skabt!af!det!kunstkære,!catalanske!folk,!som!så!deres!
mulighed!for!at!sætte!deres!fodaftryk!og!udtrykke!deres!indre!catalanske!identitet!gennem!
arkitekturen.!Antonio!Gaudí!var!en!af!dem,!som!udtrykte!naturen!i!sine!bygningsværker.!Det!
skulle!vise!sig,!at!netop!han!på!baggrund!af!sin!arkitektur,!blev!en!af!de!mest!velansete!
arkitekter!i!Cataloniens!historie.
5
!!
/
”La/originalidad/es/volver/a/los/orígenes”//
!
Det!specielle!ved!Gaudís!byggestil!er,!at!den!ikke!blot!var!præget!af!naturens!elementer.!Han!
havde!en!helt!særlig!evne!til,!at!få!de!naturlige!former!integreret!i!de!rumlige!elementer!i!sine!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2
!Jensen,!2005,!s.!76!
3
!Jakobsen,!2011,!s.!18!
4
!Una!ciudad!en!expansión,!casalleomorera.com!!
5
!Jensen,!2005,!s.!76!
!
8!
bygninger.!Og!det!var!inspirationen!fra!naturen,!som!stadig!den!dag!i!dag!!kendetegner!hans!
originalitet
6
!
!
Et!af!Gaudís!meget!kendte!citater!lyder!således,!”La#originalidad#es#volver#a#los#orígenes”
7
,#som!
på!dansk!betyder!”Originalitet#er#at#vende#tilbage#til#det#oprindelige”#
!
Citatet!stemmer!godt!over!ens!med!Gaudís!stil.!Det!er!nemlig!brugen!af!naturen!i!hans!
bygningsværker,!som!er!med!til,!at!definere!hans!originalitet.!Gaudí!mener,!at!originaliteten!
er,!at!vende!tilbage!til!det!oprindelige.!Med!begrebet!”originalitet”!refereres!der!til!et!veludført!
mesterværk,!mens!der!med!”oprindelige”!refereres!til!naturen.
8
!Nogle!af!de!mest!geniale!idéer!
stammer!ofte!fra!meget!simple!principper,!som!Gaudí!også!selv!beskriver!yderligere!i!
følgende!citat:!
!
”así#pues,#original#es#aquello#que#vuelve#a#la#simplicidad#de#las#primeras#soluciones.”
9
#–#Gaudí#
!
Her!går!Gaudí!ind!og!beskriver!at!originaliteten!findes!i!det!mest!simple.!Vi!skal!i!højere!grad!
gå!ind!og!finde!inspirationen!i!naturen,!den!natur!som!Gud!har!givet!os.!Derudover!er!Gaudí!
citeret!for!at!udtale:!
!
”Se#på#eucalyptustræet.#Det#vokser.#Læg#mærke#til#hvordan#stammen#udvikler#sig#i#grene#og#
kviste#og#afsluttes#med#bladene.#Læg#godt#mærke#til#det:#i#disse#planer#og#disse#linjer#tegner#der#
sig#en#geometrisk#figur”
10
#–#Gaudí#
!
Gaudí!blev!altså!inspireret!af!de!geometriske!figurer,!som!naturen!danner.!I!naturens!kaos!
findes!der!de!geometriske!kurver,!som!man!har!brug!for!som!arkitekt.!Alligevel!mener!Gaudí,!
at!menneskeheden!på!daværende!tidspunkt!gjorde!det!besværligt!for!sig!selv,!idet!de!fortsat!
konstruerede!lige!det!modsatte!af!naturen.!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
6
!Jakobsen,!2011,!s.!18!
7
!Obra,!estilo!y!técnica!de!Antoni!Gaudí!
8
!!jfzuluaga.com,!”La!originalidad!es!volver!a!los!orígenes”!!
9
!Antoni!Gaudí!Frases!y!Citas,!Akifrases.com!
10
!Jakobsen,!2011,!s.!19!
!
9!
I!citatet!kan!man!også!se,!at!Gaudí!er!interesseret!matematikken.!Siden!antikken!har!
geometrien!spillet!en!stor!rolle!i!arkitekturen!og!også!Gaudí!fandt!brugen!af!matematikken!
fascinerende.!Ifølge!Gaudí!selv,!var!geometrien!enhver!arkitekts!sprog!og!han!gjorde!selv!brug!
af!geometriske!flader!så!som!retlinede!flader,!paraboloider!(herunder!hyperbolske!
paraboloider),!helikoide,!hyperboloide!og!uendelige!frembringere.!Derudover!gjorde!han!også!
brug!af!parabelbuer!eller!kædelinjer.
11
!
!
Antoni!Gaudís!hovedelementer!i!byggestilen!var!altså!naturens!geometriske!flader!og!figurer.!
Dette!gjorde!han!blandt!andet,!da!han!mente!at!man!som!arkitekt!skulle!hente!inspiration!fra!
naturen!for!at!få!skabt!et!mesterværk.!!
!
Fra/inspirationskilde/til/mesterværk//
Først!og!fremmest!blev!Antoni!Gaudí!født!i!en!tid,!hvor!man!længtes!efter!middelalderen!og!
dens!arkitektur.!Den!catalanske!kunst!havde!nået!sit!højdepunkt!i!1870’erne!under!La!
Renaixenca,!der!ville!prøve!på!at!gå!tilbage!til!middelalderens!kunst!og!hente!inspiration!til!en!
ny!storhedstid.!Gotikken!er!en!stilart!som!stammer!fra!Frankrig!i!det!13.!århundrede.!Her!
gjorde!man!i!høj!grad!brug!af!springbuer!og!stræbepiller,!som!resulterede!i!himmellignende!
hvælvinger!og!lofter.!Gotikken!kom!først!sent!til!Catalonien,!hvor!det!catalanske!folk!skabte!
deres!egen!variant!af!denne!tid,!som!kunne!ses!på!de!specielle!vægflader!og!”tungere”!
byggestil,!der!fik!mange!bygninger!til!at!ligne!et!fæstningsværk.!Det!var!i!hans!studium!af!de!
gotiske!mesterværker,!han!lærte!helt!basalt!om!arkitekturen
12
.!Men!det!var!ikke!kun!det!
arkitektoniske,!som!fangede!Gaudís!interesse:!
#
”Ahora#bien,#la#sociedad#gótica#disponía#de#una#mentalidad#religiosa#de#la#que#el#mundo#
moderno#comenzaba#a#carecer#a#finales#del#siglo#XIX#y#que#se#
basaba#en#la#espiritualidad#franciscana,#que#valoró#la#Naturaleza#hasta#el#punto#de#considerarla#
apta#para#representar#lo#sobrenatural.#Es#precisamente#este#espíritu#religioso#naturalista#el#que#
Gaudí#trata#de#recuperar#para#que#el#mundo#moderno#encuentre#una#vía#positiva.”
13
#–#Gaudí#
#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
11
!Jakobsen,!2011,!s.!19-20!
12
!Antoni!Gaudí!&!gotikken,!www.kasperchristiansen.dk!
13
!Armenteros,!1996,!s.!130!linje!37-39!samt!s.!131!linje!1-3.!
!
10!
I!dette!citat!ses!det,!at!Gaudí!gerne!ville!have!den!franske!spiritualitet!tilbage,!hvor!naturen!og!
religionen!er!i!centrum.!Hans!forkærlighed!for!gotikken!ses!i!La!Sagrada!Familia,!hvor!Gaudí!
blandt!andet!hentede!inspiration!fra!middelalderkirkerne.!!
!
Gotikken!var!en!kæmpe!inspiration!for!Gaudí.!Men!det!er!ikke!nogen!overraskelse,!at!han!
havde!et!helt!specielt!forhold!til!matematikken,!især!geometrien.!Det!er!ikke!en!evne,!som!
kom!ud!af!den!blå!luft.!I!8!år!studerede!Gaudí!på!Barcelonas!universitet,!hvor!af!de!første!5!år!
foregik!på!det!naturvidenskabelige!fakultet.!Han!studerede!differential!og!integralregning,!
mekanik,!geometri,!kemi,!geografi,!fysik,!naturhistorie,!algebra!og!trigonometri,!hvilket!blev!
set!som!en!slags!forberedelse!til!arkitektuddannelsen.
14
!I!1887!blev!Gaudí!uddannet!arkitet!
fra!Escuela!Técnica!Superior!de!Arquitectura!de!Barcelona.
15
!
!
Gaudí!havde!altså!en!kæmpe!fordel!ved,!at!kunne!anvende!sin!matematiske!viden!i!
forbindelse!med!sine!værker.!Og!havde!det!ikke!været!for!denne!uddannelsesmæssige!
baggrund,!så!ville!vi!nok!ikke!have!set!en!ligeså!stor!brug!af!geometriske!flader!i!hans!
bygninger.!!
!
Som!nævnt!tidligere!var!en!af!Gaudís!store!inspirationskilder!naturen.!Han!brugte!naturen!på!
den!måde,!at!han!hentede!de!geometriske!former!ud!fra!naturlige!objekter!og!brugte!dem!som!
”byggesten”!i!sit!arbejde.!!
!
Gaudí!var!en!stærkt!troende!katolik.!Dette!resulterede!i,!at!han!aldrig!blev!gift!og!levede!mere!
eller!mindre!et!munkeliv.!Religionen!var!hans!et!og!alt!og!denne!kærlighed!til!Gud!var!stor!og!
Gaudí!mente,!at!naturen!og!geometrien!var!”Guds!værk”
16
!
!
#“el#hombre#sin#religión#era#un#hombre#disminuido#espiritualmente,#un#hombre#mutilado”
17
-#
Gaudí#
#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
14
!Jakobsen,!2011,!s.!30!
15
!Antoni!Gaudí,!Wikipedia.es.!
16
!Jakobsen,!2011,!s.!34!
17
!El!amor!de!Gaudí!por!la!naturaleza!nos!acerca!a!Dios.!
!
11!
Disse!elementer!fra!hans!inspirationskilder!kan!man!se!i!alle!hans!værker.!Man!kan!f.eks.!se!på!
søjlerne!i!La!Sagrada!Familia,!som!er!inspireret!af!træer!og!menneskets!skelet.!Et!andet!
eksempel!kunne!være!facaderne!på!Casa!Milàs!er!inspireret!af!mudder!fra!en!afrikansk!
landsby.!Dette!er!ikke!den!eneste!inspiration,!som!Gaudí!har!hentet!fra!naturen.!Ved!hjælp!af!
et!sneglehus!har!han!brugt!sneglehusets!helikoideform,!som!afslutning!på!trappen!i!Casa!Milà.!
Det!religiøse!aspekt!kommer!for!alvor!også!til!syne!i!La!Sagrada!Familie,!hvor!et!
treenighedssymbol!er!formet!som!en!hyperbolsk!paraboloide.!Og!disse!eksempler!er!blot!få!
ud!af!utallige!værker,!hvor!Gaudí!har!brugt!sine!inspirationskilder.
18
!
!
“Para#hacer#las#cosas#bien#es#necesario:#primero,#el#amor,#segundo,#la#técnica”
19
#
!
Gaudí!mente!altså,!at!kærligheden,!underforstået!kærligheden!til!Gud!og!naturen,!og!hans!
geometriske!teknik,!var!de!afgørende!faktorer!for!et!mesterværk.!Det!var!altså!inspirationen!
fra!gotikken!samt!hans!uddannelsesmæssige!baggrund,!der!sammen!med!ornamentikken!og!
hans!religiøse!baggrund,!som!inspirerede!hans!karriere.!!!
!
Geometrien/bag/Antoni/Gaudís/arkitektur!
På!baggrund!af!Gaudís!matematiske!uddannelse!og!dermed!hans!brug!af!geometrien,!vil!en!
kort!gennemgang!af!de!geometriske!flader,!som!han!brugte,!være!på!sin!plads.!!
!
I!Gaudís!geometriske!univers!kunne!man!finde!geometriske!flader!så!som!retlinede!flader,!
paraboloide!(herunder!hyperbolsk!paraboloide),!helikoide,!hyperboloide!og!uendelige!
frembringere.!Fælles!for!disse!er,!undtagen!helikoden,!at!de!er!algebraiske!flader!af!2.!orden.!!
!
Algebraiske/flader/af/anden/orden//
Først!og!fremmest!ser!vi!på!hvad!en!algebraisk!flader!er.!En!flade!er!et!begreb,!som!tilhører!
geometrien!og!er!de!overflader,!der!ses!på!rumlige!figurer.!En!algebraisk!flade!er!dermed!en!
flade!i!rummet.
20
!Det!er!givet,!at!et!polynomium,!P(x,y,z)!i!n
te
!grad.!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
18
!Jakobsen,!2011,!s.!33.!
19
!Frases!y!Citas,!akifrases.com!
20
!Minilex!Matematik,!s.!14.!
!
12!
𝐹 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 !
!
!
Overstående!punktmængde!beskriver!en!algebraisk!flade!af!n
te
!orden.!En!algebraisk!flade!kan!
være!af!forskellige!ordner,!og!Gaudí!gjorde!især!brug!af!algebraiske!flader!a f! anden!orden!i!
sine!bygningsværker.
21
!Ved!algebraiske!flader!af!anden!orden!indgår!der!x,y,z!flader,!som!er!
opløftet!i!2.!Potens.!Algebraiske!flader!af!2.!orden!er!rumlige!flader,!men!hvis!man!laver!et!snit!
i!dem,!bliver!det!til!keglesnitsflader.!!
!
De!rumlige!figurer,!f.eks.!en!kugle!eller!en!ellipsoide,!er!helt!runde.!Disse!figurer!er!
algebraiske!flader!af!2.!orden.!Men!skærer!man!i!disse!figurer!får!man!en!keglesnitsflade,!
hvilket!også!er!en!algebraisk!flade!af!2.!orden.!Nu!vil!jeg!gå!mere!i!dybden!med!keglesnit!og!
keglesnitsflader!
!
Keglesnit//
En!kegleflade!er!en!flade!i!rummet,!som!fås!når!en!ret!linje!går!gennem!er!bestemt!punkt,!
toppunketet,!og!bevæger!sig!så!der!opstår!en!skæring!mellem!ledekurven,!som!ikke!
indeholder!toppunktet.!Vores!linje!kaldes!i!denne!forbindelse!for!en!frembringer!til!
keglefladen.!!
!
Et!keglesnit!er!en!geometrisk!
kurve,!som!fås!når!man!skærer!i!
en!kegle!med!et!plant!snit.!I!et!
keglesnit!har!man!2!linjer,!som!
krydser!hinanden!gennem!en!
vinkelhalveringslinje.!Hvis!man!
roterer!dem!rundt,!så!får!man!en!
”dobbelt!rotationskegle”.!!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
21
!Fabricius-Bjerre,!1972,!s.!77!
Figur/1/
!
13!
T!=!toppunktet!
𝛼 = 𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙ℎ𝑎𝑙𝑣𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔𝑠𝑙𝑖𝑛𝑗𝑒𝑛 !
!
Man!kan!skære!denne!figur!i!forskellige!planer,!uanset!om!den!går!gennem!T!eller!ej.!!
!
Vinklen!mellem!planen!og!𝛼!bestemmer!hvilken!type!kurve!du!får:!
!
!!!!!!
!!!!!V!>!𝛼!=!Ellipse!
!!!!!V!<!𝛼!=!Hyperbel!
!!!!!V!=!𝛼!=!Parabel
22
!
!
!
!
!
!
!
Parablen/som/keglesnit/
!
I!et!plan!er!der!et!punkt!B!og!en!linje!l.!!
!
Det!gælder,!at!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 𝑃| 𝑃𝐵 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝑙)}!
!
Denne!formel!viser!stedet!for!de!punkter,!som!har!samme!givne!afstand!fra!vores!punkt!B!til!
linjen!l,!men!som!ikke!går!gennem!punktet.!
!
Det!geometriske!sted!ender!med!at!blive!en!parabel.!!
!
Punktet!B!kaldes!”brændpunktet”!og!linjen!l!kaldes!parablens!”ledel inje” .!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
22
!Axelsen,!1991,!s.!91-92.!
Figur/2/
!
14!
Parablens!akse!er!en!normal,!hvor!vores!parabel!går!symetrisk!rundt!op!til!linjen!om!denne!
akse.!Parablens!toppunkt!vil!ligge!mellem!brændpunktet!og!aksens!skæring!med!ledelinjen,!
dette!punkt!kaldes!A.!Idet!vi!har!at!gøre!med!en!parabel!indsættes!A!og!B!i!et!koordinatsystem!
i!planen.!A!og!B!befinder!sig!på!y-aksen,!mens!x-aksen!skal!befinde!sig!mellem!A!og!B.!!
!
Vi!tilføjer!nu!et!
andenkoordinat!til!
brændpunktet,!som!kaldes!P.!
A’s!andenkoordinat!vil!derfor!
være!–p.!
!
Andenkoorditatet!til!
brændpunktet,!B,!er!med!
koordinatsættet!(x,y)!en!del!
af!mængden,!i!det!at:!!
!
!
𝑃𝐵 = 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑃, 𝑙 ⇕!
𝑃𝐵
!
= 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝑙)
!
⇕!
𝑥
!
+ (𝑦 − 𝑝)
!
= (𝑦 + 𝑝)
!
⇕!
𝑥
!
+ 𝑦
!
+ 𝑝
!
− 2𝑝𝑦 = 𝑦
!
+ 𝑝
!
+ 2𝑝𝑦 ⇕!
𝑥
!
= 4𝑝𝑦 ⇕!
𝑦 =
1
4𝑝
𝑥
!
!
!
Parablens!toppunkt!er!(0,0).!Når!afstanden!fra!brændpunktet!til!ledelinjen!er!k ort,!så!er!p!et!
lille!tal!og!parablens!ben!vil!være!tæt!på!hinanden.!Er!afstanden!derimod!lang,!vil!p!være!et!
større!tal!og!parablens!ben!vil!derved!være!mere!spredte.!p!kaldes!også!for!parameter!til!
parablen.!!
!
En!parabel!bruges!i!parabolantenner.!Den!har!en!vigtig!funktion!og!det!skal!vi!se!nærmere!på.!!
Figur/3/
!
15!
!
Vi!tager!et!tilfældigt!punkt!p å!grafen!og!kigger!på!linjestykkerne,!som!går!til!B!og!l.!Det!ses!at!
trekant!PBC!er!ligebenet.!I!denne!trekant!går!der!en!linje!fra!punktet!P!til!punktet!D,!som!
fungerer!som!en!median!og!vinkelhalveringslinje!i!trekanten.!Hældningskoefficienten!findes!
således:!
1
4𝑝
𝑥
!
− 0
𝑥 −
𝑥
2
=
𝑥
2𝑝
!
!
Denne!tangenthældning!er!lig!med!differentialkvotienten.!Dette!ser!vi!ved!at!differentiere!
!
!!
𝑥
!
.!
!
1
4𝑝
𝑥
!
!
=
1
4𝑝
∗ 2𝑥 =
𝑥
2𝑝
!
!
Vi!kan!ud!fra!dette!se,!at!det!er!tangenten!i!P,!som!halverer!vinklen.!!
!
For!at!komme!tilbage!til!parabolantennen,!så!fungerer!parablen!godt!i!antennen,!for!når!en!
stråle!rammer!parallelt!med!aksen,!så!vil!strålen!blive!reflekteret!således!at!den!går!gennem!
brændpunktet.!På!den!måde!får!man!skabt!et!stærkt!signal.!
23
!
!
Ellipsen/som/keglesnit/
To!punkter!i!planen!kaldes!F
2!
og!F
1
.!Vi!lægger!mærke!til!punktet,!P,!hvor!længden!til!F
1
!og!F
2
!
til!sammen!er!et!bestemt!tal!for!k.!!
!
𝑃 𝑃𝐹
!
+ 𝑃𝐹
!
= 𝑘 !
!
Vi!ser!på!de!steder!for!punkterne,!hvor!F
1
!længden!til!F
2!
er!lig!med!k.!Derudover!skal!k!være!
større!end!længden!mellem!F
1
!og!F
2
.!Når!punktet!P!har!egenskaben!kan!man!ved!hjælp!af!
spejlinger!rundt!om!akserne!opnå!3!punkter,!som!har!samme!egenskab.!Vores!punktmængde!
er!defineret!som!en!ellipse!og!denne!fremstår!symmetrisk!gennem!vores!F!punkter!og!om!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
23
!Axelsen,!1991,!s.!81-83.!
!
16!
midtnormalen!til!disse.!F
1
!og!F
2
!kaldes!for!brændpunkterne.!Ellipsens!centrum!er!placeret!
imellem!midtpunktet!og!brændpunkterne.!!
!
For!at!bestemme!ligningen!for!
ellipsen!placerer!vi!et!
koordinatsystem!i!ellipsen,!hvorpå!
vi!placerer!begyndelsespunktet!i!
centrummet!og!F
1
!og!F
2!
på!x-aksen.!!
!
Punkterne!A
1
!og!A
2
,!med!
koordinatsættet!(a,0)!og!(-a,0)!er!
ellipsens!skæringspunkter!med!x-
aksen.!Denne!akse!kaldes!også!for!
”storaksen”,!hvor!længden!er!2a.!
Punkterne!B
1
!og!B
2
,!med!
koordinatsættet!(0,B)!og!(0,-B)!er!
ellipsens!skæringspunkter!med!y-aksen.!Denne!akse!kaldes!også!for!”lilleaksen”!og!har!
længden!2b.!
!
𝐴
!
𝐹
!
+ 𝐴
!
𝐹
!
= 𝐹
!
𝐴
!
+ 𝐴
!
𝐹
!
= 𝐴
!
𝐴
!
= 2𝑎!
!
Da!længden!har!den!samme!konstante!sum,!så!er!ellipsen!fastlagt!således:!
!
𝑃𝐹
!
+ 𝑃𝐹
!
= 2𝑎!
!
Man!finder!førstekoordinaten!til!a!ved!at!gange!a!med!et!tal!mellem!0-1.!Dette!kaldes!også!for!
exentricitet!og!bliver!betegnet!med!et!e.!Koordinaterne!til!F
1
!og!F
2
:!
!
𝐹
!
𝑎𝑒, 0 𝑜𝑔 𝐹
!
(−𝑎𝑒, 0) !
!
Figur/4/
!
17!
B
1
!ligger!på!ellipsen!og!afstanden!mellem!F
1
!og!F
2!
skal!give!2a.!Ved!hjælp!af!afstandsformlen!
får!vi!at:!
𝐵
!
𝐹
!
= 𝑎 ⟺ 𝑎
!
𝑒
!
+ 𝑏
!
= 𝑎
!
⟺ 𝑎
!
1 − 𝑒
!
= 𝑏
!
⟺!
𝑏
!
𝑎
!
= 1 − 𝑒
!
!
!
Vi!går!ud!fra!at!P(x,y)!er!et!tilfældigt!punkt!på!ellipsen,!nu!vil!vi!finde!en!ligning,!som!x!og!y!
opfylder.!Igen!bruger!vi!afstandsformlen:!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 𝑃𝐹
!
!
= (𝑥, 𝑎𝑒)
!
− 𝑦
!
!!!!!!og!!
𝑃𝐹
!
!
= (𝑥, 𝑎𝑒)
!
+ 𝑦
!
!
!
Ved!hjælp!af!beregninger!fra!højresiden!får!vi!næsten!samme!resultat.!Ligningerne!trækkes!
fra!hinanden!og!man!får:!
!
𝑃𝐹
!
!
− 𝑃𝐹
!
!
= 4𝑎𝑒𝑥!
!
Venstresiden!skrives!ved!hjælp!af!en!kvadratsætningen!”to!tals!sum!gange!de!samme!to!tals!
differens”!
!
𝑃𝐹
!
+ 𝑃𝐹
!
∗ 𝑃𝐹
!
− 𝑃𝐹
!
= 4𝑎𝑒𝑥 ⟺!
2𝑎 𝑃𝐹
!
− 𝑃𝐹
!
= 4𝑎𝑒𝑥 ⟺!
𝑃𝐹
!
− 𝑃𝐹
!
= 2𝑒𝑥 !
!
𝑃𝐹
!
+ 𝑃𝐹
!
= 2𝑎!lægges!sammen!med! 𝑃𝐹
!
− 𝑃𝐹
!
= 2𝑒𝑥!!og!får!at:! 𝑃𝐹
!
= 𝑎 + 𝑒𝑥.!
Vi!indsætter!udtrykket!for! 𝑃𝐹
!
!ind!i!udtrykket!for! 𝑃𝐹
!
2
!og!får!at:!
!
𝑃𝐹
!
!
= (𝑥 + 𝑎𝑒)
!
+ 𝑦
!
⇕!
𝑥
!
𝑎
!
+
𝑦
!
𝑏
!
= 1!
!
!
18!
Herfra!kan!vi!se,!at!en!ellipse!med!begyndelsespunkt!i!centrum!og!brændpunkterne!på!x-
aksen!har!ligningen:
!
!
!
!
+
!
!
!
!
= 1!
a!og!b!svarer!til!henholdsvis!den!halve!storakse!og!den!halve!lilleakse.
24
!
!
/
Hyperblen/som/keglesnit//
Vi!skal!nu!kigge!på!de!punkter,!hvor!afstanden!mellem!disse!ikke!er!et!bestemt!tal.!
!
𝑃𝐹
!
− 𝑃𝐹
!
= 2𝑎!
!
2a!skal!være!mindre!end!længden!mellem!F
1
!og!F
2
.!
!
Vi!skal!nu!finde!ligning!for!
hyperblen.!Vores!punktmængde!er!
en!hyperbel!og!brændpunkterne!er!
F
1
!og!F
2
.!2a!er!hyperblens!storakse.!
Vi!placerer!et!koordinatsystem!i!
hyperblen,!hvor!F
1
!og!F
2
!befinder!sig!
på!x-aksen!og!y-aksen!er!
midtnormalen!til!brændpunkterne.!!
!
!
Fremgangsmåden!er!præcis!den!samme!som!ved!ellipsen.!Derfor!vil!beregningerne!ikke!
fremgår!endnu!engang.!
!
En!hyperbel!med!centrum!i!sit!begyndelsespunkt!og!brændpunkter!placeret!ved!x-aksen!har!
ligningen:
!
!
!
!
−
!
!
!
!
= 1!
!
a!og!b!svarer!til!henholdsvis!den!halve!storeakse!og!den!halve!lilleakse.
25
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
24
!Axelsen,!1991,!s.!84-87!
Figur/5/
!
19!
Keglesnitsflader!
En!keglesnitsflade!er!en!flade!i!rummet,!som!er!givet!ved!en!andengradsligning!i!tre!variabler!
x,y,z,!x
2
+y
2
+z
2
!=!9.!Her!gives!det,!at!kuglefaldens!centrum!befinder!sig!i!centrum!i!(0,0,0)!og!
radiusen!er!3!eller!z=xy,!som!er!en!hyperbolsk!paraboloider.!/
!
Som!nævnt!tidligere,!er!alle!snit,!der!går!plant!i!fladen!et!keglesnit,!som!er!forudsagt!af!en!
ellipse-,!hyperbel-!eller!en!parabelkurve.!!
!
Keglesnitsflader!kaldes!også!andengradsflader.!Grunden!til!at!fladerne!kaldes!dette!er,!at!
deres!fremstilling!minder!om!en!parabel,!hvis!ligning!er.!
!
𝑦 = 𝑎𝑥
!
+ 𝑏𝑥 + 𝑐!
!
Man!kan!beskrive!keglesnitsflader!ved!hjælp!af!disse!to!ligninger.!
!
1.!𝑎𝑥
!
+ 𝑏𝑦
!
+ 𝑐𝑧
!
= 𝑘#
2.#𝑎𝑥
!
+ 𝑏𝑦
!
= 2𝑐𝑧#
#
Ved!den!første!formel!vil!vi!få!en!ellipsoide!eller!hyperboloide,!med!ét!eller!to!net.!Ved!den!
anden!formel!vil!vi!få!en!elliptisk,!en!hyperbolsk!paraboloide!eller!en!cylinderflade.
!26
!
!
Idet!vi!senere!hen!skal!beskæftige!os!med!hyperbolske!paraboloider!vil!vi!kigge!nærmere!på!
den!anden!ligning,!#𝑎𝑥
!
+ 𝑏𝑦
!
= 2𝑐𝑧.#Dette!er! keglesnitsflader!uden!et!centrum,!hvilket!
indebærer!paraboloider.!!
#
Her!af!er!det!givet,!at!(A,B) ≠ 0,0 !og!C ≠ 0.
27
!
!
Ligningen!kan!omskrives!til!følgende!to!ligninger,!da!vi!vil!undersøge!når!konstanterne!i!
ligningerne!er!forskellige!fra!0.!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
25
!Axelsen,!1991,!s.!88-90!
26
!Andengradsflade,!Gyldendal.!!
27
!Fabricius-Bjerre,!1972,!s.!91.!
!
20!
𝑥
!
𝑎
!
+
𝑦
!
𝑏
!
=
2𝑧
𝑐
!
𝑥
!
𝑎
!
−
𝑦
!
𝑏
!
=
2𝑧
𝑐
!
!
Den!øverste!ligning!tilhører!fladen,!elliptiske!flader,!hvor!den!nederste!tilhører!hyperbolske!
paraboloider.!Begge!planer!indeholder!XZ-planen!og!YZ-planen,!hvilket!fungere!som!
symmetriplanerne!og!Z-aksen!fungerer!som!symmetriaksen.!Toppunktet!(0,0,0)!er!når!Z-
aksen!skærer!med!fladen.!
28
!
/
/
Den/hyperbolske/paraboloide/
Hyperbolsk!paraboloide!er!en!flade!i!rummet,!som!er!
sadelformet.!Dette!er!en!særlig!type!keglesnitsflade.!
Grunden!til,!at!den!får!den!sadelformet!flade!er,!at!
keglesnitsfladen!er!en!algebraisk!flade!af!2.!orden.!Det!der!
er!specielt!ved!en!hyperbolsk!paraboloide!er,!at!den!kan!
fremstilles!ud!fra!kun!rette!linjer.!!
!
!
!
En!hyperbolsk!paraboloide,!som!er!givet!ved:!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
!
!
!
−
!
!
!
!
=
!
!
!!
!
a!og!b!er!positive!konstanter,!mens!c!er!en!vilkårlig!konstant!fra!0.!!
I!en!hyperbolsk!paraboloide!skæres!ovenstående!ligning!af!XY-planen!i!to!rette!linjer,!hvor!
planerne!z!for!k!≠!0!vil!skærer!hyperblens!flade.!!
!
!
!
±
!
!
= 0, 𝑧 = 0!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
28
!Fabricius-Bjerre,!1972,!s.92.!!
Figur/6/
!
21!
De!fremkommende!hyperbler!projiceres!på!XY-planen,!hvor!linjerne!er!asymptoter.!Bestem!af!
fortegnet!for!k’s!værdier,!ligger!de!enten!i!samme!rum!eller!i!modsatte!vinkelrum.!
!
Vores!to!andre!planer,!XZ!og!YZ!vil!skære!den!pågældende!flade!som!parabler,!som!befinder!
sig!i!modsatte!side!af!XY-planen.!X!=!K!planerne!vil!skærer!fladen!med!kongruente!parabler.!!
Den!pågældende!flade!vil!ligge!både! over! og!under!XY-planen!og!i!et!bestemt!punkt!vil!man!
kunne!finde!en!sadelform.
29
!Nu!vil!vi!gå!dybere!ned!i!denne!flade!og!se!nærmere!på!de!
hyperbolske!paraboloider.!
!
Skæring/med/planen/parallel/med/xy-planen!
!
Planen!er!givet!ved!ligningen!z!=!h.!
!
Først!og!fremmest!går!vi!ud!fra,!at!h!>!0,!så!skæringsplanen!vil!ligge!højere!end!xy-planen.!!
!
Z!=!h!og!derfor!sætter!vi!h!ind!på!z’s!pl a ds!i!ligningen!for!paraboloiden!(1):!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
!
!
!
−
!
!
!
!
=
!
!
!!
!
Ved!at!dividere!med!
!
!
!!på!begge!sider!fås!det!at:!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!∗!
!
!∗!
!
−
!∗!
!
!∗!
!
= 1!!!ó!
!
𝑥
!
ℎ
𝑐
∗ 𝑎
!
−
𝑦
!
ℎ
𝑐
∗ 𝑏
!
= 1!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
29
!Fabricius-Bjerre,!1972,!s.!94.!!
!
22!
Overstående!er!ligningen!for!en!hyperbel,!som!befinder!sig!i!xy-koordinatsystem,!hvor!
centrummet!befinder!sig!i!punktet!(0,0).!!
!
!
∗ 𝑎!er!den!halve!førsteakse!og!er!parallel!med!x-
aksen.!
!
!
∗ 𝑏!er!den!halve!andenakse!og!er!parallel!med!y-aksen.!!
!
Figur/7/
!
Vi!siger!nu,!at!h!<!0,!så!skæringsplanen!vil!ligge!lavere!en!xy-planen.!
Man!indsætter!h!på!z’s!plads!i!ligningen!(1),!hvorefter!man!ganger!igennem!med!-1!og!derefter!
vil!vi!ved!hjælp!af!division!med!
!!
!
!få:!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!∗!
!
(!!)∗!
!
−
!∗!
!
!! ∗!
!
= 1 !ó!
!
𝑥
!
−ℎ
𝑐
∗ 𝑎
!
−
𝑦
!
−ℎ
𝑐
∗ 𝑏
!
= 1!
!
Her!ses!ligningen!for!en!hyperbel,!hvor!
!!
!
∗ 𝑎!er!den!halve!førsteakse!og!er!parallel!med!x-
aksen.!
!!
!
∗ 𝑏!er!den!halve!andenakse!og!er!parallel!med!y-aksen.!!
!
!
23!
Nu!siger!vi,!at!h!=!0,!hvilket!vil!sige!at!skæringsplanen!ligger!sammen!med!xy-planen.!!
Når!h=0!fås!ligningen:!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
!
!
!
−
!
!
!
!
= 0!!ó!
𝑦 =
𝑏
𝑎
∗ 𝑥 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑦 = −
𝑏
𝑎
∗ 𝑥 !
!
Dette!giver!to!rette!linjer!i!xy-planen.!Disse!linjer!er!det!samme!som!asymptoterne!for!alle!
skæringshyperblerne.!Dette!er!de,!fordi!asymptoterne!er!lodrette!parallelforskydninger!til!de!
to!linjer.!
30
!
/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
30
!Jakobsen,!2011,!s.!48-49.!
Figur/8/
!
24!
Skæring/med/plan/parallel/med/yz-planen/
!
En!yz-plan!har!ligningen!x!=!k.!!Vi!placerer!nu!k!på!x’s!plads:!
!
!
!
!
!
−
!
!
!
!
=
!
!
!!ó!
!
z!=!
!
!
!
∗ 𝑦
!
+
!"
!
!
!
!
!
!
Figur/9/
!
!
I!yz-koordinatsystmer!befinder!der!sig!skæringskurver,!som!kaldes!kongruente!parabler.!Det!
er!altså!parabler,!som!er!af!samme!størrelse.!Grenene!vender!ned!ad,!i!det!vores!koefficient!er!
!!
!
!
!samtidig!med!den!fremstår!uafhængig!fra!k.!Den!vil!altid!være!negativ.!!
!
Toppunktet!befinder!sig!på!den!positive!side!af!andenaksen!i!det!
!"
!
!
!
!er!positiv,!dog!er!der!en!
undtagelse,!udsagnet!gælder!nemlig!ikke!hvis!k!=!0,!da!toppunket!ellers!vil!befinde!sig!i!
punktet!(0,0,0).!
31
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
31
!Jakobsen,!2011,!s.!50.!
!
25!
Skæring/med/plan/parallel/med/xz-planen/
/
!
En!xz-plan!har!ligningen!y!=!q.!!Vi!placerer!nu!q!på!y’s!plads:!
!
!
!
!
!
−
!
!
!
!
=
!
!
!!ó!
!
z!=!
!
!
!
∗ 𝑥
!
+
!"
!
!
!
!
!
Figur/10/
!
I!xz-koordinatsystmer!befinder!der!sig!skæringskurver,!som!kaldes!kongruente!parabler.!
Grenene!vender!opad,!idet!vores!koefficient!er!
!
!
!
!samtidig!med!at!den!fremstår!uafhængig!fra!
q.!Den!vil!altid!være!positiv.!!
!
Toppunktet!befinder!sig!på!den!negative!side!af!andenaksen!idet!−
!"
!
!
!
!er!negativ,!dog!er!der!
en!undtagelse,!udsagnet!gælder!nemlig!ikke!hvis!q!=!0,!da!toppunket!ellers!vil!befinde! sig! i!
punktet!(0,0,0).!!
!
Det!der!beskriver!paraboloiden,!er!de!kongruente!parabler,!som!blev!omtalt!i!skæring!med!
plan!parallel!med!yz-planen!samt!xz-planen.!!
!
26!
!
Parablerne!opdeles!i!centralparabel!1!og!2.!Den!første!centralparabel!er!z!=!
!
!
!
∗ 𝑦
!
,!som!vi!så!i!
yz-planen.!Den!anden!centralparabel!er!z!=!
!
!
!
∗ 𝑥
!
,!som!vi!så!i!zx!planen.!!
!
For,!at!man!kan!se!om!der!er!tale!om!hyperbolske!paraboloide,!skal!alle!punkter!gå!gennem!
både!den!1.!og!2.!centralparabel.!Fladen!fås,!i!det!1.!Centralparabel!parallelforskydes,!så!vil!
den!1.!Centralparabels!toppunkt!nemlig!ligge!på!den!2.!Centralparabel.!
32
!
!
Beskrivelse/ved/hjælp/af/rette/linjer/
Vores!førstnævnte!ligning!kan!skrives!sål edes:!!
!
!
!
!
!
!
−
!
!
!
!
=
!
!
!ó!
!
!
−
!
!
∗
!
!
+
!
!
=
!
!
!
/
/
Første/sæt/frembringere/
!
Man!sætter!den!første!parentes!lig!med!k,!så!ligningen!ses!på!en!plan:!
!
!
!
!
−
!
!
= 𝑘!!ó!!bx-ay=abk!
!
Til!k!knyttes!der!planen!α
k
!,!hvorfra!planen!
har!normalvektoren!(b,!-a,!0).!Dette!skal!
forstås!sådan,!at!hver!gang!k!optræder!
vinkelret!på!xy-planen!og!k-værdierne!er!
reelle!tal,!så!vil!alle!α
k!
løbe!gennem!samtlige!
planer,!som!er!parallel!med!α
k.!
!
!
Når!vores!plan,!α
0!
med!ligningen!bx!-!ay=!0,!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
32
!Jakobsen,!2011,!s.!50-52.!
Figur/11/
!
27!
vil!man!kalde!dette!ledeplanen.!Ligningen!𝑦 =
!
!
𝑥!i!planen!xy-planen!skærer!med!ledeplanen.!!
!
Vi!angiver,!at!P!befinder!sig!i!planen!som!et!vilkårligt!punkt!på!fladen.!P!befinder!sig!i!α
k!
planen!for!en!af!vores!k-værdier.!!
!
Man!skal!nu!finde!skæringskurven!mellem!α
k!
!og!fladen:!
!
!
!
−
!
!
= 𝑘!!indsættes!i!
!
!
!
!
−
!
!
!
!
=
!
!
:!
!
𝑘 ∗
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
=
𝑧
𝑐
!
!
Nu!skal!vi!finde!parameterfremstillingen!for!skæringskurven.!Denne!finde!vi!ved,!at!indsætte!
!
!
= 𝑡.!!
!
y!ved!t!udtrykkes!således:!𝑡 −
!
!
= 𝑘 <=> 𝑦 = 𝑏𝑡 − 𝑏𝑘.!
z!ved!t!udtrykkes!ved!at!sætte!
!
!
𝑡!og!!
!
!
= 𝑡 − 𝑘!i!ligningen!𝑘 ∗
!
!
+
!
!
=
!
!
.!
z!bliver!derfor:!𝑧 = 2𝑘𝑐𝑡 − 𝑐𝑘
!
.!
!
Parameterfremstillingen!i!rummet!ser!således!ud:!
!
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑥
!
𝑦
!
𝑧
!
+ 𝑡 ∗
𝑟
!
𝑟
!
𝑟
!
!
!
!
Vi!ved,!at!vores!punkt!P,!ligger!på!kurven!ved!denne!parameterfremstilling:!
!
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑎
𝑏
2𝑘𝑐
+ 𝑡 ∗
0
−𝑏𝑘
𝑐𝑘
!
!
!
!
28!
Nu!har!vi!vores!rette!linje,!som!kaldes!l
k
.!
!
Man!kan!hermed!se,!at!ethvert!vilkårligt!punkt!(P)!på!fladen,!vil!befinde!sig!på!l
k!
for!en!af!
vores!k-værdier.!Dog!gælder!det!også,!at!alle!punkter!på!l
k
!befinder!sig!på!fladen.!!
!
På!baggrund!af!overstående!viden!kan!vi!se,!at!fladen!indeholder!alle!linjer!af!l
k
,!som!også!
kaldes!for!”fladens!frembringere”.!Disse!frembringere!ligger!vindskævt!over!for!hinanden.!
Derudover!er!de!parallelle!med!ledeplanen.!Alt!dette!kaldes!også!en!retlinet!flade.!
33
!
/
Anden/sæt/frembringere/
/
I!ligningen!
!
!
−
!
!
∗
!
!
+
!
!
=
!
!
!sættes!den!anden!parentes!=!q.!!
!
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 𝑞 ⇔ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎𝑏𝑞 !
!
Hver!gang!et!q!fremgår!kaldes!planen!𝛽
!
.!
Planen!har!tilhørende!en!nomalvektor!
(b,a,0),!så!𝛽
!
!for!q!befinder!sig!vinkelret!på!
xy-planen,!i!det!alle!q-værdierne!
gennemløber!samtlige!reele!tal!samtidig!
med!𝛽
!
!gennemløber!alle!parallelle!planer!
med!𝛽
!
.!Ligningen!for!ledeplanen!er!
𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0.!Ved!hjælp!af!ligningen!𝑦 =
!
!
𝑥.!
På!samme!måde!som!ved!første!sæt!
frembringere!kan!vi!beskrive!!
et!hvilket!som!helst!punkt,!P,!ligger!på!en!linje,!m
q
!med!parameterfremstillingen:!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
33
!Jakobsen,!2011,!s.!52-53.!
Figur/12/
!
29!
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑎
−𝑏
2𝑞𝑐
𝑡 +
0
𝑏𝑞
−𝑐𝑞
!
!
!
Ved!at!sætte!parameterfremstillingen!ind!i!fladens!ligning,!kan!man!se!alle!punkterne!på!m
q
.!!!
!
På!baggrund!af!overstående!viden!kan!vi!se,!at!fladen!indeholder!alle!linjer!af!m
q
,!som!også!
kaldes!for!”fladens!frembringere”.!Disse!frembringere!ligger!vindskævt!over!for!hinanden.!
Derudover!er!de!parallelle!med!ledeplanen!𝛽
!
.!
34
!
!
”Den#hyperbolske#paraboloide#indeholder#to#systemer#af#rette#linjer.#To#rette#linier#af#samme#
system#ligger#vindskævt;#to#rette#linier#af#modsat#system#skærer#hinanden”!
35
!
!
En!hyperbolsk!paraboloide!består!af!2!frembringersystemer,!som!danner!en!retlinet!flade.!!
Derudover!er!alle!frembringere!parallelle!med!ledeplanen!og!to!frembringere!inden!for!selv!
samme!system!er!vindskæve.!Frembringere!fra!samme!system!vil!altid!være!vindskæve.!Og!vil!
have!skæringspunkt!i!det!andet!system.!
36
!
/
Den/vindskæve/firkant/!
!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
34
!Jakobsen,!2011,!s.!54!
35
!Fabricius-Bjerre,!1972,!s.!95!
36
!Jakobsen,!2011,!s.!55!
Figur/13/
!
30!
Der!vælges!2!forskellige!frembringerlinjerne!l
1
!og!l
2
!fra!det!ene!system!og!2!frembringerlinjer
,!
m
1
!og!m
2
!fra!det!andet!system.!!
l
1
!og!l
2
!er!vindskæve!i!forhold!til!hinanden!og!er!parallelle!med!de!planer,!som!står!vinkelret!
på!xy-planen.!Ligeledes!er!m
1
!og!m
2!
vindskæve.!Dog!er!de!parallelle!med!nogle!andre!planer,!
der!stadig!er!vinkelrette!på!xy-planen.!!
!
Denne!firkant!fremkommer!når!to!frembringere!fra!hver!deres!system!skærer!hinanden!og!
dermed!danner!en!firkant.!
37
!
!
!
Figur/14/
En!firkant!er!givet!ved!ABCD.!Trækkes!A!og!C!lodret!op,!så!de!er!parallelle!fremkommer!der!en!
ny!firkant,!som!kaldes!EBFD.!Det!hedder!en!vindskæv!firkant,!da!alle!hjørner!ikke!ligger!på!
samme!plan.!!!
!
For!at!bevise,!at!vindskæve!firkanter!og!hyperbolske!paraboloider!hænger!sammen!udledes!
der!nu!en!ligning!for!fladen.!Et!vilkårligt!pu nk t!er!givet!ved:!!
!
P(x,y,z)!
!
P!er!parallel!med!yz-planen.!
Linjen!for!P!forbinder!G!på!DF!sammen!med!H!på!EB.!!
Højden,!h
1
,!befinder!sig!over!xy-planen.!!
Ved!højden,!h
2
,!befinder!G!sig!over!xy-planen.!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
37
!Jakobsen,!2011,!s.!56!
!
31!
Trekanten!CDF!beskrives!således:!
!
ℎ
!
ℎ
=
𝑎 − 𝑥
2𝑎
!
Trekantet!ABE!beskrives!således:!
ℎ
!
ℎ
=
𝑎 + 𝑥
2𝑎
!
Den!grå!trekant!beskrives!således:!
𝑧 − ℎ
!
ℎ
!
− ℎ
!
=
𝑎 + 𝑦
2𝑎
!
!
Idet!man!kombinerer!ligningen!for!trekant!CDF!og!ABE!fremkommer!det!at:!
!
ℎ
!
− ℎ
!
=
ℎ ∗ 𝑎 + 𝑥
2𝑎
−
ℎ ∗ 𝑎 − 𝑥
2𝑎
=
ℎ𝑥
𝑎
!
!
Nu!indsætter!vi!overstående!formel!i!ligningen!for!den!grå!trekant!og!får!at:!
!
𝑧 − ℎ
!
=
ℎ𝑥
𝑎
∗
𝑎 + 𝑦
2𝑎
=
ℎ
2𝑎
!
∗ 𝑥𝑦 +
ℎ𝑥
𝑎
!
Og!når!ℎ
!
=
!
!
−
!!
!!
!!får!man,!at:!
𝑧 =
ℎ
2𝑎
!
𝑥𝑦 +
ℎ
2
!
!
For!at!bevise!at!overstående!ligning,!𝑧 =
!
!!
!
𝑥𝑦 +
!
!
,!er!ligningen!for!en!hyperbolsk!
paraboloide,!skal!vi!ændre!i!koordinatsystemet.!Z-aksen!forskyder!stykket!h/2,!ved!at!dreje!
det!45˚.!Det!nye!koordinatsystem!kaldes!nu:!(x
1
,!y
1
,!z
1
).!
!
Enhedsvektorerne!for!x-aksens!retning!kaldes!i!og!y-aksens!retning!kaldes!j.!
Enhedsvektorerne!for!x
!1
og!y
1
!akserne!vil!beskrives!ved!i
1
!og!j
1
.!I!xy-planen!er!der!et!tilfældigt!
punkt,!P,!som!har!en!stedvektor,!som!kaldes!for!r.!Stedvektorens!koordinater!bliver!betegnet!
med!(x,y)!og!(x
1
,!y
1
).!!
!
!
32!
Det!er!givet,!at:!
𝑖
!
= cos 45˚ i + sin 45˚ j!
𝑗
!
= − sin 45˚ i + cos 45˚ j!
!
Det!ses!at:!
𝑟 = 𝑥
!
𝑖
!
+ 𝑦
!
𝑗
!
!
𝑥
!
∗ cos 45˚ i + sin 45˚ j) + 𝑦
!
∗ (− sin 45˚ i + cos 45˚ j) =!
(𝑥
!
∗ cos 45˚ i + sin 45˚ ) i + 𝑦
!
∗ (𝑥
!
− sin 45˚ + 𝑦
!
∗ cos 45˚ ) j =!
2
2
𝑥
!
−
2
2
𝑦
!
𝑖 +
2
2
𝑥
!
−
2
2
𝑦
!
𝑗!
!
Koordinaterne!til!r!er!derfor:!
𝑥 =
2
2
𝑥
!
∗ (𝑥
!
− 𝑦
!
)!
𝑦 =
2
2
∗ (𝑥
!
+ 𝑦
!
)!
!
Nu!til!parallelforskydningen!med!h/2!opad:!
!
𝑧 = 𝑧
!
+
ℎ
2
!
!
Nu!har!vi!fundet!vores!x,y,z!værdier!og!erstatter!dem!med!ligningerne!i!𝑧 =
!
!!
!
𝑥𝑦 +
!
!
.!
!
𝑧 =
ℎ
2𝑎
!
𝑥𝑦 +
ℎ
2
⇔ 𝑧 −
ℎ
2
=
ℎ
2𝑎
!
𝑥𝑦 ⟺ 𝑧
!
=
ℎ
2𝑎
!
𝑥𝑦!
!
Herfra!ses!det,!at:!
!
𝑧
!
=
ℎ
2𝑎
!
∗
2
2
∗ 𝑥
!
− 𝑦
!
∗
2
2
∗ 𝑥
!
− 𝑦
!
⇔!
𝑧
!
=
ℎ
2𝑎
!
∗
1
2
∗ 𝑥
!
!
− 𝑦
!
!
⇔!
!
33!
𝑧
!
ℎ
=
ℎ
4𝑎
!
∗ 𝑥
!
!
− 𝑦
!
!
⇔!
𝑧
!
ℎ
=
ℎ
4𝑎
!
∗ 𝑥
!
!
−
1
4𝑎
!
∗ 𝑦
!
!
⟺!
𝑧
!
ℎ
=
𝑥
!
!
(2𝑎)
!
−
𝑦
!
!
2𝑎)
!
⇔!
!
Ud!fra!dette!ses!det,!at!punktet!opfylder!kravene.!Ligning,!som!er!fremkommet,!er!ligningen!
for!en!hyperbolsk!paraboloide,!der!har!centrum!i!(0,0,0)!i!x
1
,!y
1
,!z
1
-systemet.
38
!
!
Den!hyperbolske!paraboloide!er!altså!en!andengradsflade,!som!er!saddelformet.!Figuren!er!
fremstillet!af!rette!linjer,!hvor!en!ret!linje,!som!er!parallelt!med!planen,!går!over!2!andre!rette!
linjer,!som!ligger!vindskævt!i!forhold!til!hinanden.!Betegnelsen!”hyperbolsk”!kommer!fra!
hyperblen,!som!dannes!skæringskurven!mellem!fladen!og!det!vandrette!plan.!Betegnelsen!
”paraboloide”!kommer!fra!den!parabel!med!grenene!nedad,!som!går!over!i!en!anden!parablen!
der!har!grenene!opad.!Disse!parabler!danner!fladen!på ! den!hyperbolske!paraboloide.!
39
!
!
Den/hyperbolske/paraboloide/i/La/Sagrada/Familia/og/Park/Güell/
Man!kan!tydeligt!se!Gaudís!brug!af!geometrien,!herunder!brugen!af!hyperbolske!paraboloider,!
i!hans!arkitektur.!På!daværende!tidspunkt!lavede!han!!forskellige!gipsmodeller,!der!fungerede!
som!skabelon!til!hans!bygninger.!Under!den!La!Guerra!Civil!Española!blev!en!del!af!disse!
beskadiget,!men!senere!hen!har!man!gjort!brug!af!billeder!og!rester!af!gipsmodellerne!og!hans!
geometriske!tankegang!til,!at!genskabe!Gaudís!idéer,!især!med!henblik!på!færdiggørelsen!af!
La!Sagrada!Familia.
40
!
!
“El!paraboloide#es#el#padre#de#toda#la#geometría,#pues#en#él#hay#la#proyección#paralela#
(ortogonal#u#obliena)#y#la#radial#(polar).#El#hiperboloide#nace#haciendo#girar#las#dos#
generatrices#extremas#alrededor#del#cie#(...)#y#haciendo#el#ángulo#constante#en#lugar#de#variable#
(...);#si#gira#una#alrededor#de#otra#del#sistema#contrario#y#aquélla#se#mantiene#con#inclinación#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
38
!Jakobsen,!2011,!s.!57-60!
39
!Jakobsen,!2011,!s.!22!
40
!Jakobsen,!2011,!s.!133!
!
34!
constante#se#obtiene#el#helicoide.#“
41
#–#Gaudí#
Det!ses!at!matematikken!og!de!geometriske!figurer!spillede!en!stor!rolle,!men!især!”el!
paraboloide”.!I!dette!citat!menes!det!at!den!hyperbolske!paraboloide,!er!faderen!til!de!andre!
geometriske!former.!!
!
Brugen/af/hyperbolske/paraboloider/i/La/Sagrada/Familia//!
!
Sakristiet!i!La!Sagrada!Familia!er!formet!som!en!
kuppel,!der!består!af!tolv!hyperbolske!paraboloider.!
Først!og!fremmest!består!kuplen!af!!henholdsvis!4!
enshyperbolske!paraboloider!og!8!ens!hyperbolske!
paraboloider.!
!
Men!det!der!er!fælles!for!de!12!hyperbolske!
paraboloider!er,!at!de!alle!skærer!hinanden!langs!
rumkurven!med!projektion!på!grundplanen.!
Rumkurverne!er!kurver!af!4.!grad,!da!det!er!to!
algebraiske!flader!af!2.!orden,!som!skærer!hinanden.!!
Derudover!er!vinduerne!i!kuplen!trekantede.!Disse!
trekanters!skrå!sider!medfører!frembringere!på!den!
flade,!hvor!vinduet!er!placeret.!Til!sidst!kan!man!også!
se,!at!de!lige!sider!følger!paraboloidens!overflade!i!
form!af!en!parabel.!!
!
I!de!kommende!tårne!på!La!Sagrada!Familia!vil!vi!ligeledes!kunne!se!brugen!af!de!skærende!
hyperbolske!paraboloider.!De!er!altså!konstrueret!ligesom!vinduerne,!bare!i!en!smallere!
udgave.!Tårnene!er!som!sagt!ikke!bygget!endnu,!men!kan!ses!i!en!af!gipsmodellerne.!
42
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
41
!Armenteros,!1996,!s.!133.!linje!10-15!
42
!Jakobsen,!2011,!s.!134-136.!
Figur/15/
!
35!
Brugen/af/hyperbolske/paraboloider/i/Park/Güell!
!
I!Park!Güell!finder!vi!brugen!af!de!hyperbolske!
paraboloider!i!buegangen!ved!de!spiralformede!søjler.!
Her!ses!hvælvingen!formet!som!en!hyperbolsk!
paraboloide,!altså!den!konstruktion,!som!danner!loftet!
ved!hjælp!af!støtte!fra!søjlerne!og!den!anden!væg.!
Derudover!ses,!at!den!hyperbolske!paraboloide!i!
buegangen!i!Park!Güell!ornamentalt!set!ligner!en!hudfold.!
Det!er!netop!i!en!af!disse!bygninger,!hvor!man!virkelig!
kan!se!Gaudís!brug!af!naturen!i!hans!arkitektur,!som!han!
selv!sagde#“Nada#es#arte”,#sentenció,#“si#no#viene#de#la#
naturaleza”
43
!
/
Den/konstruktionsdygtige/og/stærke/figur/
Den!hyperbolske!paraboloidehvælv!har!flere!konstrukstionsmæssige!fordele.!Den!er!
forholdsvis!nem,!at!bygge!i!det!stenene!placeres,!så!de!fungerer!som!fladens!frembringere,!
som!så!flyttes!når!den!nye!række!af!sten!skal!lægges.!Fladen!vil!nu!bestå!af!en!masse!rette!
linjer,!som!ender!i!en!krum!flade.!Ydemere!vil!den!krumme!i!to!retninger,!hvilket!medfører!at!
der!fremkommer!en!stabil!og!”stiv”!flade.!
!
Som!nævnt!tidligere!kan!den!hyperbolske!paraboloide!fremstilles!ved!hjælp!af!rette!linjer!
ganske!enkelt.!De!rette!linjer!gør!det!derfor!nemt,!at!arbejde!med!denne!figur!og!er!derfor!
smart!konstruktion.!
44
!
!
Den!hyperbolske!paraboloide!er!en!figur,!som!indeholder!en!masse!styrke.!!
!
“Som#tagkonstruktion#er#denne#form#interessant,#fordi#enhver#kraft,#der#påvirker#fladen#
vinkelret,#kan#optages#af#trækkræfter#i#selve#fladen.#Dermed#er#det#muligt#at#konstruere#et#stift#
tag#med#stor#spændvidde#af#en#relativt#tynd#membran#og#helt#uden#bærende#spær.”
45
##
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
43
!La!Sagrada!Familia,!casi!terminada!después!de!133!años,!natgeo.es.!
44
!Jakobsen,!2011,!s.!101-102.!
Figur/16/
!
36!
#
Ud!fra!dette!citat!kan!vi!se,!at!den!hyperbolske!paraboloide!er!ideel!at!bruge!i!forbindelse!med!
tagkonstruktioner,!hvilket!f.eks.!kan!ses!i!buegangen!i!Park!Güell.!!
!
Gaudí!gjorde!altså!brug!af!den!hyperbolske!paraboloide!i!sakristiet!i!La!Sagrada!familia!og!i!
buegangen!i!Park!Güell.!Grunden!til!han!netop!har!brugt!denne!figur!er,!da!man!kan!bruge!
denne!figur!uden!bærende!spær.!Desuden!var!den!også!nem!at!fremstille,!da!den!hyperbolske!
paraboloide!består!af!rette!linjer,!hvilket!gør!den!nem!at!arbejde!med.!
!
Gaudís/originalitet//
Der!er!ingen!tvivl!om,!at!Gaudí!var!et!geni!inden!for!arkitekturen!og!bliver!den!dag!i!dag!set,!
som!en!af!de!mest!berømte!arkitekter!i!verden.!Der!var!ingen!ligesom!Gaudí.!Hans!unikke!
matematiske!tekniker!og!brugen!af!Guds!”mesterværk”,!naturen,!var!det!som!beskrev!hans!
originalitet.!!
!
I!artiklen!”Arquitectura!y!religión!en!Gaudí”,!som!er!skrevet!af!Josefa!Blanca!Armenteros!fra!
Universidad!complutense!de!Madrid,!kan!man!se!nærmere!på!baggrunden!for!Gaudís!
originalitet.!I!denne!artikel!får!vi!netop!et!indblik!i!hvordan!Gaudí!blev!defineret!som!arkitekt!
og!hvordan!han!brugte!arkitekturen,!religionen!og!dermed!også!naturen!i!sine!
bygningsværker.!Derudover!er!overstående!dokumeteret!ved!brug!af!Gaudís!egne!citater.!!
!
Da!denne!artikel!stammer!fra!Madrid!er!det!værd!at!bemærke,!at!forfatteren!muligvis!har!en!
holdning!til!Catalonien,!på!baggrund!af!problematikken!angående!Cataloniens!ønske!om!
løsrivelse!fra!Spanien.!Forfatterens!brug!af!citater!fra!Gaudí,!medfører!dog!at!han!fremstår!
meget!objektiv.!!
!
Allerede!i!Gaudís!tidlige!år!fik!han!et!interesse!for!det!religiøse!aspekt!og!naturen.!!
!
”La#obra#arquitectónica#de#Gaudí#se#define#en#función#de#su#propia#experiencia#vital#que#quedará#
marcada#por#una#infancia#vivida#intensamente#en#el#seno#de#una#familia#humilde#donde#se#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
45
!Hyperbolsk!paraboloide,!wikipedia.dk!
!
37!
respiró#un#ambiente#cordial#y#alegre,#protagonizado#por#la#figura#de#una#madre#amable#y#
cuidadosa#que#trasmite#al#pequeño#Gaudí#el#amor#por#la#naturaleza#y#sobre#todo#«la#fe#en#el#
Creador#de#tales#maravilla»”
46
#–#Gaudí#
#
Gennem!Gaudís!opvækst!spillede!kærligheden!til!religionen!en!stor!rolle,!da!hele!familien!var!
troende!katolikker.!Det!var!Gud,!som!havde!skabt!naturen!og!Gaudí!sagde!selv,!at!“Todo#sale#
del#gran#libro#de#la#naturaleza.”
47
!Ligesom!hos!andre!arkitekter!på!daværende!tidspunkt,!var!
naturen!et!af!de!helt!store!temaer!i!hans!arkitektur.!Han!udtalte!ligeledes,!at!“Nada#es#arte”,#
sentenció,#“si#no#viene#de#la#naturaleza”
48
,!hvilket!taler!for!sig!selv.!!
Den!catalanske!modernisme!gjorde!op!med!en!årrække!med!industrialiseringen.!Man!ville!
gerne!tilbage!til!det!helt!natulige!og!basale.!I!arkitekturen!skulle!skabelonerne!og!
byggestenene!findes!i!naturen.!!
!
Mange!arkitekter!brugte!naturen!i!deres!værker,!men!Gaudí!tog!steppet!videre.!For!han!
brugte!i!den!grad!geometrien!til,!at!skabe!disse!unikke!bygningsværker.!Han!fandt!de!
geomtriske!former!rundt!omkring!i!naturen!og!brugte!dem!konstruktionen!i!alle!hans!værker.!
Som!nævnt!tidligere!ville!Gaudí!gerne!tilbage!til!gotikken,!hvor!han!omtalte!denne!periode!
således:!
!
“Las#bóvedas#góticas#son#una#falsa#superficie,#pues#son#dos#círculos#unidos#por#una#recta;#si#uno#
de#éstos#se#sustituye#por#una#elipse,#la#superficie#resultante#es#un#hiperboloide#(la#reglada#de#
revolución);#si#hubiesen#sido#realizadas#así#ganarían,#pues#tendrían#una#ley,#ahora#son#
superficies#bastardas.”
49
#–#Gaudí#
Han!mente!i!bund!og!grund,!at!der!manglede!et!geometrisk!indspark!for!at!gøre!arkitekturens!
konstruktioner!fuldente.!Her!refererer!han!selv!til,!at!figurer!så!som!hyperboloiden,!ville!være!
ideelle.!Gaudí!var!især!kendt!for!sin!brug!af!rumgeometriske!former,!hvor!man!førhen!i!højere!
grad!kun!gjorde!brug!af!2!dimensionale!kurver.!Med!henblik!på!den!konstruktionsmæssige!
del,!skabte!Gaudí!sit!helt!eget!system,!hvor!han!gjorde!brug!af!de!former,!som!han!fandt!i!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
46
!Armenteros,!1996,!s.!125!linje!19-24!
47
!Antoni!Gaudí!Frases!y!Citas,!Akifrases.com!
48
!El!amor!de!Gaudí!por!la!naturaleza!nos!acerca!a!Dios,!National!Geografic.!!
49
!Armenteros,!1996,!s.!131!linje!12-15!
!
38!
naturen.!!
“Los#paraboloides,#hiperboloides#y#helicoides,#variando#constantemente#la#incidencia#de#la#luz,#
tienen#una#riqueza#propia#de#matices,#que#hacen#innecesaria#la#ornamentación#y#hasta#el#
modelaje.”#
50
-#Gaudí#
!
Gaudís!brug!af!disse!lidt!mere!utraditionelle!former!åbnede!for!utallige!konstruktionsmæssige!
nuancer!og!muligheder!i!arkitekturen.!Det!var!derfor!ikke!nødvendigt!med!andre!naturlige!
dekorationer,!da!de!naturlige!former!i!konstruktionen!var!nok!i!sig!selv.!Men!især!én!
geometrisk!form,!spiller!en!stor!rolle:!!
!
“El!paraboloide#es#el#padre#de#toda#la#geometría,#pues#en#él#hay#la#proyección#paralela#
(ortogonal#u#obliena)#y#la#radial#(polar).#El#hiperboloide#nace#haciendo#girar#las#dos#
generatrices#extremas#alrededor#del#cie#(...)#y#haciendo#el#ángulo#constante#en#lugar#de#variable#
(...);#si#gira#una#alrededor#de#otra#del#sistema#contrario#y#aquélla#se#mantiene#con#inclinación#
constante#se#obtiene#el#helicoide.#“
51
#–#Gaudí#
Som!vi!kan!se!i!dette!citat!udtaler!Gaudí!selv,!at!den!hyperbolske!paraboloide!er!en!af!de!
vigtigeste!konstruktionsmæssige!faktorer!i!hans!værker,!da!den!er!”byggestenen”!for!f.eks.!
helikoden!og!hyperboloiden.!Altså!uden!den!hyperbolske!paraboloide!ville!man!ikke!kunne!
lave!helikoden!og!hypeboloiden.!!
!
Den!hyperbolske!paraboloide!har!Gaudí!brugt!til,!at!udarbejde!et!treenighedssymbol!i!La!
Sagrada!Familia.!!
#
“El#sistema#basa#sus#reglas#en#tres#líneas#entrelazadas#que#Bassegoda#identifica#con#la#Santísima#
Trinidad,#al#menos#en#la#Sagrada#Familia.#Padre,#Hijo#y#Espíritu#Santo#se#unen#en#una#sola#
persona#cuyo#carácter#es#infinito,#de#la#misma#manera#que#lo#son#las#líneas#de#la#arquitectura”
52
##
#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
50
!Antoni!Gaudí,!Wikipedia.es!
51
!Armenteros,!1996,!s.!133!linje!10-15!
52
!Armenteros,!1996,!s.!133!linje!1619!
!
39!
Her!smelter!Faderen,!Sønnen!og!Helligånden!sammen!i!en!enkelt!person,!ligesom!de!på!
samme!måde!går!fra!at!være!tre!forskellige!linjer!til!en!samlet!linje.!Dette!understrege!i!høj!
grad!koblingen!mellem!de!geometriske!former,!som!Gaudí!har!hentet!fra!naturen!og!sin!
religiøse!baggrund.!!
!
Det!der!altså!definerer!Gaudís!originalitet!er! ha ns!kreative!evne!til,!at!tage!”Guds!skabelse”,!
naturen,!og!finde!dens!geometriske!former.!Gennem!hans!katolske!opvækst!blev!han!
inspireret!af!gotikkens!syn!på!religionen!og!dens!brug!af!matematiske!elementer!i!
arkitekturen.!Han!ville!tilbage!til!denne!storhedstid.!Men!i!forhold!til!alle!andre!arkitekter!fra!
samtiden,!så!tænke!Gaudí!endnu!mere!ud!af!boksen.!Han!brugte!de!geometriske!former!på!en!
helt!ny!måde,!hvor!han!fandt!og!”genbrugte”!de!naturlige!geometriske!figurer!fra!den!
ornamentale!verden.!Her!var!det!især!den!hyperbolske!paraboloide,!som!spillede!en!stor!rolle!
i!hans!arkitektur.!!Gaudí!mente,!at!"El#arquitecto#del#futuro#se#basará#en#la#imitación#de#la#
naturaleza,#porque#es#la#forma#más#racional,#duradera#y#económica#de#todos#los#métodos"
53
#–#
Gaudí.#Man!skulle!hente!de!elementer!,!som!ligger!i!noget!så!simpelt!som!naturen.!Det!var!det!
mest!optimale!for!arkitekturen,!både!i!hans!tid!og!fremover.!Brugen!af!geometrien,!religionen!
og!naturen!var!altså!det,!som!definerede!hans!konstruktionsmæssige!og!æstetiske!originalitet!
i!den!grad.!Og!det!var!især!samspillet!mellem!de!særlige!geometriske!former!og!det!religiøse!
aspekt,!som!adskilte!ham!fra!de!andre!arkitekter.!!
!!
Konklusion/
I!denne!opgave!er!der!blevet!redegjort!for!den!catalanske!modernisme,!med!henblik!på!
hvordan!dette!påvirkede!arkitekturen.!Desuden!er!der!blevet!redegjort!for!Gaudís!byggestil!
med!fokus!på!hvilke!elementer!han!brugte!i!arkitekturen!samt!udtrykket!”La#originalidad#es#
volver#a#los#orígenes”.!I!den!forbindelse!er!jeg!nået!frem!til,!at!Antoni!Gaudís!hovedelementer!i!
byggestilen!var!naturens!geometriske!flader!og!figurer.!Dette!gjorde!han!blandt!andet,!da!han!
mente!at!man!som!arkitekt!skulle!hente!inspiration!fra!naturen!for!at!få!skabt!et!mesterværk.!
Og!det!var!også!skridtet!tilbage!til!naturen,!som!er!opskriften!på!den!catalanske!modernisme.!
Dernæst!skulle!jeg!finde!ud!af,!hvor!Ga u dí!fandt!sin!inspiration!fra.!Her!fandt!jeg!ud!af,!at!
Gaudís!opvækst!var!præget!af!hans!katolske!familie,!men!også!en!kunstneriske!periode,!hvor!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
53
!Antoni!Gaudí!Frases!y!Citas,!Akifrases.com!
!
40!
man!hentede!inspiration!fra!gotikken.!Han!ville!have!det!religiøse!og!naturl ige!tilbage!i!
arkitekturen.!En!anden!vigtig!inspirationskilde!er!hans!uddannelsesmæssige!baggrund.!Han!
var!uddannet!inden!for!det!matematiske!område,!hvor!i!sær!de!geometriske!former!fangede!
hans!interesse.!Gaudí!fandt!de!geometriske!former!i!naturlige!objekter.!Som!nævnt!tidligere!
var!naturen!altså!en!stor!inspirationskilde!på!flere!måder.!!
!
Derefter!skulle!jeg!indføre!algebraiske!flader!af!anden!orden,!med!fokus!på!keglesnitsflader!og!
især!hyperbolske!paraboloider.!Her!gik!jeg!ind!og!beskrev!baggrundsviden!om!algebraiske!
flader!af!2.!orden!og!keglesnitsflader.!Derudover!fortalte!jeg!ligeledes!om!hvad!et!keglesnit!var!
og!hvilke!typer!keglesnit!der!findes.!Al!denne!baggrundsviden!skulle!bruges!til,!at!få!en!bedre!
forståelse!for!hvad!den!hyperbolske!paraboloide!overhovedet!er.!Den!hyperbolske!
paraboloide!er!altså!fremstillet!af!rette!linjer,!hvor!en!ret!linje,!som!er!parallelt!med!planen,!
går!over!2!andre!rette!linjer,!som!ligger!vindskævt!i!forhold!til!hinanden.!Efter!denne!
redegørelse!gik!jeg!ind!og!kiggede!på!Gaudís!brug!af!den!hyperbolske!paraboloide!i!både!La!
Sagrada!Familia!og!Park!Güell.!Her!kunne!man!se,!hvor!vigtig!den!hyperbolske!paraboloide!
var!i!Gaudís!arkitektur,!da!denne!figur!er!genial,!både!konstruktionsmæssigt!og!
styrkemæssigt.!Selve!figuren!var!nem!at!fremstille,!da!den!bestod!af!rette!linjer.!!
!
Til!sidst!diskuterede!jeg!med!udgangspunktet!i!artiklen,!”Arquitectura!y!religión!en!Gaudí,!
hvad!der!definerede!Gaudís!originalitet!konstruktionsmæssigt!og!æstetisk.!Jeg!er!kommet!
frem!til,!at!det!var!samspillet!mellem!de!særlige!geometriske!former!fra!naturlige!elementer,!!
religionen!og!den!gotiske!inspiration,!som!definerede!Gaudís!originalitet.!
!
Litteraturliste//
Jensen,!Anker!Leo:!Den!catalanske!modernisme!.!Jensen,!Anker!Leo:!I:!Spanien!¿Anderledes?.!
1.!udg.!Gyldendal,!2005.!side!76-76.!Internetadresse:!
https://books.google.dk/books?id=9ShDSDjiUTYC&printsec=frontcover&hl=da&source=gbs_
ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false!Besøgt!d.!!(Afsnit!i!bog)!
!
Axelsen,!Ib!og!Hans!Jørgen!Schrøder:!Vektorer!og!rumgeometri.!Side!81-92.!1.!udg.!Gjellerup!
og!Gad,!1991.!(Bog)!
Tafteberg!Jakobsen,!Ivan:!ANTONI!GAUDÍ!Geometrien!bag!arkitekturen.!Side!13-134.!1.!udg.!
Sven!toft!Jensenog!Peter!Jens!Touborg,!2011.!(Bog)!
!
41!
Fabricius-Bjerre,!Fr.:!I:!Lærebog!i!Geometrien!.!3.!udg.!Gjellerup,!1972.!side!77-95.!(Afsnit!i!bog!
)!
Anales!de!Historia!del!Arte:!Arquitectura!y!religión!en!Gaudí..!Udgivet!af!Josefa!Blanca!
Armenteros.!Sidst!opdateret:!1.1.1996.!Internetadresse:!
http://revistas.ucm.es/index.php/ANHA/article/view/ANHA23A/31637!-!Besøgt!
d.!9.12.2015!(Internet)!
!
La!originalidad!consiste!en!volver!al!origen. ! Udgivet!af!Juan!Fernando!Zuluaga.!Sidst!
opdateret:!7.2.2011.!Internetadresse:!http://jfzuluaga.com/la-originalidad-consiste-en-
volver-al-origen/!-!Besøgt!d.!9.12.2015!(Internet)!
!
Andengradsflade.!Udgivet!af!Gyldendal!.!Sidst!opdateret:!4.2.2009.!Internetadresse:!
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analy
tisk_plan-_og_rumgeometri/andengradsflade!-!Besøgt!d.!9.12.2015!(Internet)!
!
Minilex!Matematik!.!Udgivet!af!Gyldendal.!Internetadresse:!
https://books.google.dk/books?id=MOlejifnbI4C&pg=PA16&lpg=PA16&dq=andengradsflade
r&source=bl&ots=jL7Lr5t_yh&sig=mMqM_PeJwC5YXzoCEj2onv80FeU&hl=da&sa=X&ved=0a
hUKEwjoob3vs7rJAhXH-Q4KHZi3An0Q6AEIODAF#v=onepage&q=andengradsflader&f=false!-!
Besøgt!d.!9.12.2015!(Internet)!
Keglesnit.!Udgivet!af!Wikipedia.!Sidst!opdateret:!20.6.2015.!Internetadresse:!
https://da.wikipedia.org/wiki/Keglesnit!-!Besøgt!d.!9.12.2015!(Internet)!
!
Antoni!Gaudí!&!gotikken.!Udgivet!af!Kasper!Christiansen!.!Internetadresse:!
http://www.kasperchristiansen.dk/artikel_gaudi.html!-!Besøgt!d.!9.12.2015!(Internet)!
!
Hyperbolsk!paraboloide.!Udgivet!af!Wikipedia .!Sidst!opdateret:!9.3.2013.!Internetadresse:!
https://da.wikipedia.org/wiki/Hyperbolsk_paraboloide!-!Besøgt!d.!9.12.2015!(Internet)!
!
La!Sagrada!Familia,!casi!terminada!después!de!133!años.!Udgivet!af!National!Geografic!.!Sidst!
opdateret:!9.11.2015.!Internetadresse:!http://www.ngenespanol.com/el-
mundo/hoy/15/11/9/La-catedral-de-Gaudi-sagrada-familia-de-barcelona-casi-terminada/!-!
Besøgt!d.!9.12.2015!(Internet)!
!
!
42!
El!amor!de!Gaudí!por!la!naturaleza!nos!acerca!a!Dios.!Udgivet!af!Catholic.net.!Internetadresse:!
http://es.catholic.net/op/articulos/49424/cat/162/el-amor-de-gaudi-por-la-naturaleza-nos-
acerca-a-dios.html!-!Besøgt!d.!9.12.2015!(Internet)!
Frases!y!Citas!Célebres!de!Antoni!Gaudí!Frases!y!Citas!-!http://akifrases.com.!Udgivet!af!
Akifrases.!Internetadresse:!http://akifrases.com/autor/antoni-gaud%C3%AD!-!Besøgt!d.!
9.12.2015!(Internet)!
!
Antoni!Gaudí!.!Udgivet!af!Wikipedia.!Sidst!opdateret:!3.12.2015.!Internetadresse:!
https://es.wikipedia.org/wiki/Antoni_Gaud%C3%AD!-!Besøgt!d.!9.12.2015!(Internet)!
!
Una!ciudad!en!expansión.!Udgivet!af!Casa!Lleó!Morera.!Internetadresse:!
http://www.casalleomorera.com/es/barcelona-y-el-modernismo/el-modernismo/!-!Besøgt!
d.!9.12.2015!(Internet)!
!
Obra,!estilo!y!técnica!de!Antoni!Gaudí.!Udgivet!af!La!Cultura!del!XIX!al!XX!en!España.!
Internetadresse:!http://www.modernismo98y14.com/obras-antoni-gaudi.html!-!Besøgt!d.!
9.12.2015!(Internet)!
!
Kilder/til/illustrationer/
Figur!1!og!3:!Axelsen,!Ib!og!Hans!Jørgen!Schrøder:!Vektorer!og!rumgeometri.!Side!81-92.!1.!
udg.!Gjellerup!og!Gad,!1991.!(Billeder!fra!bogen)!
Figur!2:!
http://www.studieportalen.dk/kompendier/matematik/formelsamling/geometri/keglesnit!!
Figur!4:!
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analy
tisk_plan-_og_rumgeometri/ellipse!
Figur!5:!http://dan.wikitrans.net/Hyperbel!!
Figur!6,!7,!8!,9!,10,!11,!12,!13!,!14!og!15:!
http://mimimi.dk/BCN/Ivan/Barcelona_kursus_sept_2010/Gaudi_geometri_09.pdf!-!Besøgt!d.!
9.12.2015!(Internet)!
Figur!16:!https://www.forskerfabrikken.no/tips-til-gravaersdager-i-ferien/!
!
!