Roskilde Katedralskole 2015 – Studieretningsprojekt (SRP)
3q
STX 3.g
Fag:
Vejleder:
Fysik A
Matematik A
Opgaveformulering:
Gnidning i væsker
Du skal omtale gnidningskraft ved laminar og turbulent strømning.
Gør rede for separationsmetoden til løsning af differentialligninger og vis eksempler på
anvendelser.
Du skal eksperimentelt behandle bevægelsen af kugler og andre objekter i vand. Undersøg vha.
Reynolds tal, om bevægelsen kan beskrives som turbulent strømning og undersøg dette
eksperimentelt. Løs differentialligningen
𝑣
′
= 𝐾
1
− 𝐾
2
∙ 𝑣
2
og find herved stedfunktionen for bevægelsen og sammenlign den med eksperimentelle data.
Du skal gøre rede for variationen af potentiel, kinetisk og mekanisk energi under en kugles
bevægelse i vand. Tegn grafer for hver af de tre energier. Beregn ændringen af den mekaniske
energi pr. tid, når terminalhastigheden er opnået.
Vurder Cw faktoren for tyskernes G7a (T1) torpedo, som anvendtes under 2. verdenskrig.
https://en.wikipedia.org/wiki/G7a_torpedo
Krav til opgavens omfang:
15-25 sider. Sidetallet er ekskl. forside, indholdsfortegnelse, noter, litteraturliste, eventuelle
bilag, illustrationer, figurer, tabeller o.lign.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 1 af 31
Indholdsfortegnelse
1. Abstract.......................................................................................................................................................... 2
2. Indledning ...................................................................................................................................................... 2
3. Teori .............................................................................................................................................................. 3
3.1 Gnidning i væsker .................................................................................................................................... 3
Laminar strømning .................................................................................................................................... 4
Turbulent strømning .................................................................................................................................. 5
3.2 Seperationsmetoden til løsning af differentialligninger .......................................................................... 8
3.3 Teoretisk behandling af objekters bevægelse i væske ........................................................................... 10
Kraftanalyse ............................................................................................................................................. 11
Udledning af stedfunktion ....................................................................................................................... 13
4. Eksperimenter .............................................................................................................................................. 16
4.1 Bevægelsen af legemer i væske ............................................................................................................. 16
Udførelse ................................................................................................................................................. 16
Data og databehandling ........................................................................................................................... 17
4.2 Mekanisk energi i bevægelsen ............................................................................................................... 22
5. Diskussion ................................................................................................................................................... 25
6. Konklusion .................................................................................................................................................. 26
7. Perspektivering ............................................................................................................................................ 27
7.1 Tysk G7a torpedo .................................................................................................................................. 27
7.2 Russisk VA-111 Shkval torpedo ........................................................................................................... 29
8. Litteraturliste ............................................................................................................................................... 30
8.1 Bøger ..................................................................................................................................................... 30
8.2 Internetkilder ......................................................................................................................................... 31
8.3 Lærerskrifter .......................................................................................................................................... 31
8.4 Ressourcer ............................................................................................................................................. 31
9. Bilag ............................................................................................................................................................ 31
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 2 af 31
1. Abstract
In global warfare the open water is of great prominence. Battleships needs to have effective
weapons durable in water. It is not possible to have a effective and fast underwater weapon like the
torpedo, without knowing anything about its movement or maneuvering in water. Therefore this
study investigates how objects will operate both theoretically and experimentally in fluids with
focus on friction. It will be examined theoretically by different mathematical models based on
knowledge from the hydrodynamics. Following different flow models of fluid, the theoretical
function of position () of an object in fluid, will be found using the mathematical method
separation of variables and an analysis of the working forces. Subsequently four experiments will
be performed out of which it should be possible to determine different experimentally functions of
position
(
)
. The theoretical and experimental functions of position will then be compared. The
setup's mechanical energy will be analyzed in relation to the comparison. Finally, the investigation
will be put into perspective when discussing underwater torpedoes. In conclusion, it must be said
that the four experiments fits the theory with minimal deviance, with sources of error considered.
From the mechanical energy analysis it is observed that the experimental setup is losing a great
amount of energy. The reason is found in the major amount of friction in water.
2. Indledning
70% af jordens overflade er dækket af vand. Dette har stor betydning for hvordan man transporteres
rundt i verden, gør nye opdagelser og generelt forstår sig på kloden. I hverdagen spiller
skibstransport og militære forsvarsmekanismer på vand en afgørende rolle for samfundet.
Teknologien er vigtig for at kunne begå sig i vandet lettest muligt. For at skibe og ubåde kan spare
på brændstoffet og komme hurtig fremad skal de yde minimal modstand i vandet. Når der bores
efter olie på olieplatforme er det ligeledes vigtigt at kende til vandets opførsel, når stor slanger skal i
vandet. At vide hvordan legemer bevæger sig i vand er derfor relevant for at kunne designe diverse
optimale løsninger til vandet. Denne opgave beskæftiger sig med gnidning i væsker hvor legemers
bevægelse i vand også er relevant. Gnidning i væsker blive undersøgt teoretisk og praktisk ved brug
af matematiske værktøjer og fysiske forståelser. Matematikken anvendes til at løse differential-
ligninger og beskrive fysiske sammenhænge. Fysikken ligger til grund for at forstå de kræfter som
spiller ind ved legemers bevægelse i vand. Jeg vil komme omkring dette emne ved at udføre
eksperimenter som undersøger legemers bevægelse i vand og ved at sammenligne med teorien
herom. Der vil i denne sammenhæng også blive redegjort for karakteristiske strømninger indenfor
hydrodynamikken. Der vil på baggrund af fysiske forståelser og teoretiske beregninger blive
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 3 af 31
foretaget en vurdering af eksperimenterne hvorefter konklusioner kan drages. I henhold til
gnidningskræfter vil der blive fortaget en undersøgelse af systemets mekaniske energi. På
afsluttende vis bliver der perspektiveret til nye og ældre torpedoer hvor viden om emnet har stor
betydning i den virkelige verden.
3. Teori
3.1 Gnidning i væsker
Når et legemes gnidning mod en væske skal bestemmes er det relevant at inddrage
hydrodynamikken
1
. Hydrodynamikken beskriver væskers bevægelse og størrelsen af gnidningen
afhænger af væskens bevægelse omkring legemet. Man arbejder med forskellige karakteristiske
bevægelser kaldet strømninger. Strømningens form skal være bestemt for at matematiske
udregninger af gnidningskræften kan udføres.
For alle naturvidenskabelige fænomener gælder det, at ingen matematisk teori beskriver selve den
fysiske virkelighed, men derimod et idealbillede af denne. Når der arbejdes med hydrodynamik
betyder dette, at der bruges præsentationer med mange grader af tilnærmelse til de virkelige forhold.
Den mest betydningsfulde forudsætning er, at man betragter væsker som kontinuerte medier
2
hvilket vil sige at en væske har præcis samme fysiske egenskaber overalt. Med samme fysiske
egenskaber menes der den dynamiske viskositet og densitet. Denne antagelse gør det senere muligt
at beskrive væskens strømning med differentiable funktioner. I hydrodynamikken vil det første
skridt mod at bestemme gnidningskraften mod legemet i væsken, være en matematisk bestemmelse
af strømningen. Gnidningskræften vil nemlig afhænge af den strømningsmodel man tillægger den.
Når gnidningskraftens størrelse bestemmes, vil det være antaget af der er uendelige mængder væske
omkring legemet. I hydrodynamikken arbejder man teoretisk med to forskellige strømninger. En
væskes strømning vil enten være af typen laminar eller turbulent. For at bestemme strømningens
form må en udregning af Reynolds tal
3
udføres. Reynolds tal udtrykker styrkeforholdet mellem
inertikræfterne og de viskose kræfter. Dette er ikke en ret præcis formulering, men den kan
anvendes til at give en anskuelig forklaring på, hvorfor denne parameter er så væsentlig. Hvis
inertikræfterne dominerer som i tilfældet ved høje hastigheder, store gnidningskræfter og lille
viskositet, vil Reynolds værdi blive høj og strømningen være turbulent. Derimod vil strømningen
1
Hydrodynamik newtonske vædskers mekanik, s. 45
2
Hydrodynamik newtonske vædskers mekanik, s. 45
3
Det skrå kast - med luftmodstand, s. 3
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 4 af 31
være laminar hvis de viskose kræfter dominerer som i tilfældet ved lave hastigheder, små
gnidningskræfter og høj viskositet. Reynolds tal udregnes på følgende måde:
=
∙∙
hvor er densiteten af den væske, objektet bevæger sig igennem, er mediets dynamiske
viskositet
4
, er hastigheden af genstanden i forhold til mediet og er en karakteristisk længde for
objektet, for eksempel diameteren i tilfældet med en kugle.
Erfaringer har vist, at hvis <1, så er det en god model at antage at strømningen er proportional
med hastigheden. Hermed af formen laminar. Hvis derimod 1000<<300000, så er det en
bedre model at antage at strømningen er modsatrettet hastigheden og propotional med kvadratet på
farten. Hermed af formen turbulent. For Reynoldstal imellem 1 og 1000 er situationen en
mellemting.
Laminar strømning
Som nævnt tidligere findes en laminar strømning når <1. At <1 betyder nemlig i
traditionel forstand, at de viskøse kræfter spiller en væsentlig større rolle end inertikræfterne og
dette er grunden til, at væsken kan forblive lagdelt selvom den møder modstand mod et givent
legeme. En laminar strømning kan kun forekomme omkring et legeme som med forsigtighed skiller
strømningslinjerne. Dette kan være tilfældet med en kugle eller en anden blød eller spids form, men
ikke for et legeme som et lod, fordi det skaber en vinkelret modstand mod strømningslinjerne. En
laminar strømning kan grafisk afbilledes som følgende:
4
Databog fysik kemi, s. 159
Illustration 1: Kuglen bevæger sig mod venstre og væsken trykker derfor på kuglen fra venstre side. En kugle vil ved de
rigtige betingelser som ved lav hastighed i en væske med høj densitet kunne forårsage en strømning af laminar form. Det ses
her at strømningslinjerne ikke blandes med hinanden, hvilket er karakteristisk for den laminare strømning.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 5 af 31
Gnidningskraften i en laminar strømning
For at bestemme gnidningskraftens størrelse i en laminar strømning skal Stokes lov
5
inddrages.
Stokes lov gælder for laminare strømninger idet gnidningskraften
er proportional med
hastigheden. Stokes lov lyder:
=6 ∙ ∙ ∙∙
hvor er legemets radius, er dets hastighed og er konstanten væskens dynamiske viskositet. Når
der senere i denne undersøgelse bliver brug for at karakterisere strømninger som følge af
eksperimenter, vil det være relevant at forholde sig til gnidningskraftens størrelse ved laminar og
turbulent strømninger. I følgende ses derfor et beregningseksempel som tager udgangspunkt i en
lille kugle som bevæger sig meget langsomt gennem vand. Kuglen måler en radius på 0,005 og
har en hastighed på 0,00005
. Vandets dynamiske viskositet har værdien 1,006 ∙ 10
∙
ved
20 grader celsius, udregnet på baggrund af databogen
6
og densiteten
7
har værdien 998,23
ved 20
grader celsius. Vi vil sikre os at Reynolds tal karakteriserer strømningen som laminar ved en kort
udregning:
=
∙∙
=
(
0,005
)
∙ 998,23
∙ 0,0005
1,006 ∙ 10
∙
=0,50
Da <1 konstateres det at strømningen forårsaget på baggrund af vores lille kugle er laminar.
Gnidningskraften kan nu udregnes efter Stokes lov:
=6 ∙ ∙ 1,006 ∙ 10
∙
∙ 0,005 ∙ 0,00005
=4,7 ∙ 10
Dette resultat vil senere blive sammenlignet med gnidningskraften i en turbulent strømning ved
samme betingelser.
Turbulent strømning
Som nævnt tidligere findes en turbulent strømning når 1000<<300000. En turbulent
strømning opstår når inertikræfterne er dominerende. Dette kan forklares som en instabilitet af en
laminar strømning, og vil derfor kunne udtrykkes som at være forekomsten af ulineære led i
strømningslinjerne. En turbulent strømning kan afbilledes som følgende:
5
Orbit BA, s. 283
6
Databog fysik kemi, s. 159
7
Databog fysik kemi, s. 149
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 6 af 31
Gnidningskraften i en turbulent strømning
For at bestemme gnidningskraften i en turbulent strømning tages der afsæt i
−
8
og i basal
viden om kraft. I
− antages det at gnidningsmodstanden er proportional med kvadratet på
legemets hastighed; dette kan udtrykkes matematisk:
=∙
Gnidningskraften i en turbulent strømning vil følge overstående matematiske udtryk.
Proportionalitetsfaktoren skal nu oversættes til fysiske størrelser for at gnidningskraften kan
bestemmes. Vi ser på en plade med arealet , her henvises til bilag 1 illustration 1. Pladen bevæger
sig med hastigheden imens den bliver påvirket med en vinkelret kraft forårsaget af de molekyler
den rammer på vejen. Pladen påvirker også molekylerne efter Newtons 3. lov med kraften . I løbet
af tidsintervallet Δ bevæger pladen sig dermed strækningen:
Δ=∙ Δ
Arbejdet som den resulterende kraft udfører på molekylemængden er lig molekylemængdens
tilvækst i kinetisk energi. Vi siger at molekylemængdens hastighed i starten er nul og dermed kan
det siges, at tilvæksten i kinetisk energi er svarende til den kinetiske energi efter tidsintervallet ∆:
8
Orbit BA, s. 285
Illustration 2: Kuglen bevæger sig mod venstre og væsken trykker derfor på kuglens venstre side. En kugle vil ved de rigtige
betingelser som høj fart i et medie med lav densitet forårsage en turbulent strømningsform. Det ses her at den turbulente
strømning betyder at strømningslinjerne blandes og laver tilfældige hvirvler.
Illustration 3: Loddet bevæger sig mod venstre og væsken trykker derfor på loddets venstre side. Et lod vil ikke kunne
undgå at forårsage en turbulent strømning hvis det møder strømningslinjerne på toppen. Strømningslinjerne kan nemlig
ikke skilles forsigtigt når de mødes vinkelret.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 7 af 31
∙ Δ=
1
2
∙ ∙
hvor er massen af den molekylemængde som bevæger sig. Idet vi gerne vil have isoleret kraften
kan vi opskrive et udtryk for massen som kan bruges i formlen:
=∙∙ Δ
hvor betegner molekylemængdens densitet. Udskiftes dette udtryk med massen i foregående
formel fås:
∙ ∆=
1
2
∙ ∙∙ Δ ∙
hvorefter der nu kan divideres med Δ på hver side af lighedstegnet for at få ligningen:
=
1
2
∙ ∙∙
hvor er den kraft som pladen påvirker molekylemængden med. må være af samme størrelse
som molekylemængden påvirker pladen med ifølge Newtons 3. lov. Dette fører os til et udtryk for
gnidningskraften som lyder:
=
1
2
∙
∙ ∙ ∙
Forklaringen på hvorfor faktoren kaldet
bliver tilføjet findes i, at molekylemængden foran
pladen vil løbe forbi pladen. Overordnet set sker dette som følge af trykforskelle og dermed
molekylers diffusion med hinanden. Faktoren
kaldes logisk formfaktoren, idet dens størrelse
afhænger af formen på legemet som udfører bevægelsen. Jo mere strømlinjeformet legemet er, jo
mindre en
. Tidligere i afsnittet om laminare strømninger blev gnidningskraften udregnet, på
baggrund af et eksempel med en lille kugle, som bevægede sig gennem vand med meget lav
hastighed. Nu antages det under de samme betingelser, at strømningsformen er turbulent for at vi
kan sammenligne de udregnede værdier, selvom det i praksis ikke ville kunne lade sig gøre at have
en turbulent strømning under de betingelser:
=
1
2
∙ 1,0 ∙ 998,23
kg
m
∙ π ∙
(
0,005 m
)
∙ 0,00005
m
s
=0,2 ∙ 10
I denne udregning tages den teoretiske værdi
9
for
for en lille kugle som lyder på 1,0 ved
Reynolds talværdier på under 100. Værdien for vandets densitet ved 20 grader celsius er
998,23
.
9
Databog fysik kemi, s. 158
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 8 af 31
Vi kan nu sammenligne gnidningskræfterne ved henholdsvis en laminar og turbulent strømning idet
betingelserne er de samme. Dette giver bevis for hvilken slags strømning som forårsager størst
gnidningskraft.
Laminar:
=4,7 ∙ 10
Turbulent:
=0,2 ∙ 10
Ud fra de overstående værdier kan det hurtigt konkluderes, at der er større gnidningskraft ved den
turbulente strømningsform. I forlængelse heraf må der teoretisk set også afsættes mere energi i
omgivelserne ved en turbulent strømning.
3.2 Seperationsmetoden til løsning af differentialligninger
Når der senere skal findes en teoretisk stedfunktion for legemers bevægelse i væske, er løsning af
differentialligninger nødvendigt. Der opstår nemlig en differentialligning som kan løses via den
matematiske metode kaldet separation af de variable
10
.
En differentialligning kan siges at være defineret som en ligning hvori der indgår en (ubekendt)
funktion og en eller flere af dens afledede. En differentialligning løses ved at finde én (eller flere)
funktioner som gør den sand. I mange tilfælde kan en differentialligning løses ved separation af de
variable. Ved denne metode samles alt som indeholder variablen på den ene side og alt som
indeholder på den anden side. Sætning, bevis og eksempel herfor vises i det følgende.
Sætning
Der betragtes en differentialligning af typen:
=
(
)
∙
(
)
Denne ligning har de samme løsninger =
(
)
som følgende ligning:
1
(
)
=
(
)
+
hvis p er kontinuert i et interval A og q tilsvarende er kontinuert i et interval B og ()≠0. Se
bilag 1, illustration 2 for billede af intervallerne.
Bevis
Funktionen
(
)
har følgende stamfunktion idet funktionen er kontinuert:
(
)
=
() eller
(
)
=()
10
Vejen til Matematik A2, s. 241
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 9 af 31
Idet vi har antaget at ()≠0 kan der divideres med
(
)
og vi kan danne funktionen
()
. Denne
funktion vil også være kontinuert fordi () er det. Vi får hermed dens stamfunktion til:
(
)
=
(
)
eller ′
(
)
=
(
)
Hermed er de første skridt mod at bevise differentialligningen lavet og vi kan gå videre med at
omskrive ligningen:
=
(
)
∙
(
)
Der divideres med
(
)
:
() ∙
=()
sættes på egen brøkstreg:
1
(
)
=
(
)
Der indsættes =
(
)
og
=
():
1
(
)
∙
(
)
=
(
)
Definitionen af og udnyttes:
(
)
∙
(
)
=
(
)
Kædereglen
11
benyttes baglæns:
(
)
=
(
)
Ligningen sættes lig nul:
(
)
−
(
)
=0
Differentiation af differens:
(
)
−
(
)
=0
Der indføres en konstant:
(
)
−
(
)
=
() bliver erstattet med og der lægges
(
)
til på hver side:
(
)
=
(
)
+
Stamfunktionerne bliver omskrevet til integraler:
1
()
=
(
)
+
Hermed er sætningen bevist.
11
Matematisk formelsamling A stx, s. 24
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 10 af 31
Eksempel:
Sætningen for separation af de variable benyttes i praksis i følgende eksempel:
Nedenstående differentialligning skal løses:
=4
∙ 6
Umiddelbart ses det at =0 er en løsning, men der kan også findes en anden løsning hvor det
forudsættes at ≠0:
Der ganges med og divideres med 6 på hver side:
6
=4
∙
Integral tegnet indføres og konstant lægges til:
1
6
∙
1
∙ =4
∙ +
Der integreres på hver side:
1
6
∙ ln
(
)
=
4
3
+
Der antages at >0 og der ganges med 6 på hver side:
ln
(
)
=8
+ 6
Udtrykkene opløftes i :
=
Kan omskrives til følgende efter en logaritmeregneregel
12
:
=∙
Hermed er differentialligningen løst med forudsætningen ≠0 og en løsning =∙
er
fundet via separationsmetoden.
3.3 Teoretisk behandling af objekters bevægelse i væske
I dette afsnit vil der blive gjort rede for hvordan henholdsvis en kugle og et lod teoretisk bevæger
sig i en given væske i én dimension. Dette gøres ved at benytte matematikkens separationsmetode
som forklaret i forrige afsnit. Dette vil senere blive sammenlignet med en eksperimentel bevægelse
og derfor tages der udgangspunkt i en situation som kan opstilles til forsøg. Udledningen af den
teoretiske bevægelse vil være den samme for en kugle og et lod. Vi har følgende situation:
12
https://mste.illinois.edu/malcz/ExpFit/REVIEW.html
[navn fjernet] 3.Q
Roskilde Katedralskole
For at kunne teoretisk beskrive
legemets bevægelse i væske
beskriver hv
ilken strækning kuglen tilbagelægger
findes
ved en kraftanalyse af de virkende kræft
trækloddet. Herefter må
matematisk modellering
Kraftanalyse
Ide
t min situation kun indeholder
samme retning eller være mo
dsatrettede.
samt indlægger mine akser.
Idet kræfter både har en længde og en retning kan de beskrives
matematisk som vektorer, hvoraf det ses at de er tegnet som pile.
på legemerne og k
ræfternes størrelse kan bestemmes matematisk.
Illustration 4
: Viser opstillingen af mine eksperimenter hvorefter der senere kan blive indtegnet kræfter på de to legemer.
Illustration 5
: Fokus er rettet mod de to legemer hvor kraftanalysen er udført. De virkende kræfters
SRP - Gnidning i væsker
legemets bevægelse i væske
,
skal der udledes en stedfunktion som
ilken strækning kuglen tilbagelægger
som funktion af tiden.
Denne stedfunktion kan
ved en kraftanalyse af de virkende kræft
er på henholdsvis
legemet i væske
matematisk modellering
benyttes som en nødvendighed.
t min situation kun indeholder
én dimension,
vil de kræfter som virker på mine
dsatrettede.
Jeg bruger illustration 4
fra før og indtegner kræfterne
Idet kræfter både har en længde og en retning kan de beskrives
matematisk som vektorer, hvoraf det ses at de er tegnet som pile.
Jeg kender
de
ræfternes størrelse kan bestemmes matematisk.
: Viser opstillingen af mine eksperimenter hvorefter der senere kan blive indtegnet kræfter på de to legemer.
: Fokus er rettet mod de to legemer hvor kraftanalysen er udført. De virkende kræfters
17/12 2015
Vejl. Sm og BTC
Side 11 af 31
skal der udledes en stedfunktion som
Denne stedfunktion kan
legemet i væske
søjlen og
benyttes som en nødvendighed.
vil de kræfter som virker på mine
legemer have
fra før og indtegner kræfterne
Idet kræfter både har en længde og en retning kan de beskrives
de
kræfter som virker
: Viser opstillingen af mine eksperimenter hvorefter der senere kan blive indtegnet kræfter på de to legemer.
: Fokus er rettet mod de to legemer hvor kraftanalysen er udført. De virkende kræfters
vektorer er indtegnet.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 12 af 31
Kræfterne virkende på legemet i væske
Tyngdekraften
13
:
=−
∙
hvor er massen og er tyngdeaccelerationen. Tyngdekraften er her negativ fordi den er
nedadgående og derfor har samme retning som tilhørende akse.
Under forudsætning af at væskens strømning kan beskrives som en turbulent strømning, er
gnidningskraften
givet ved:
=−
1
2
∙
∙ ∙∙
Gnidningskraften er også negativ, da den virker i nedadgående retning. Det antages at legemerne i
væsken forårsager en strømning af turbulent form, idet en laminar strømning kun er mulig ved
utroligt lave hastigheder. Den antages at den teoretiske formfaktor for en kugle er 0,4 og for et lod
0,9.
Opdriftskraften
14
:
=
∙ ∙
hvor
er vandets densitet, er legemets volumen og igen er tyngdeaccelerationen. Størrelsen af
opdriftskraften er givet ved Archimedes' lov hvor massen i den oprindelige formel her er
udskiftet med størrelsen
∙ . Opdriftskraften er i mit tilfælde positiv fordi den påvirker legemet i
samme retning som min indlagte akse.
Den fjerde virkende kraft på mit legeme i vand vil være snorkraften
. Denne størrelse kan vi ikke
umiddelbart bestemme, men det betyder ikke noget idet at snorkraften rent matematisk går ud af
ligningen. Snorkraften er positiv idet den har samme retning som aksen lagt for legemet i vand.
Kræfterne virkende på trækloddet
Tyngdekraften
15
:
=
æ
∙
hvor er igen er massen og igen er tyngdeaccelerationen. Tyngdekraften er her positiv fordi den
har samme retning som aksen lagt i forhold til trækloddet.
Den sidste af de to kræfter som virker på trækloddet er snorkraften
. Denne kraft er betydningsløs,
idet den igen udgår af ligningen. Trækloddets snorkraft er negativ fordi den har modsat retning af
aksen lagt for trækloddet.
13
FysikABbogen 2, s. 213
14
FysikABbogen 1, s. 99
15
FysikABbogen 2, s. 213
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 13 af 31
Udledning af stedfunktion
På baggrund af den udførte kraftanalyse og den matematiske separationsmetode kan der nu
bestemmes en stedfunktion for legemers bevægelse i væske. Idet der i min situation ikke er tale om
konstant hastighed for legemet, er den resulterende kraft forskellig fra nul. Vi tager derfor
udgangspunkt i Newtons 2. lov
16
som lyder:
=∙
hvor
er den resulterende kraft, er massen og er accelerationen. Den resulterende kraft er et
udtryk for summen af alle kræfter som virker på legemet.
Vi kan nu definere den resulterende kraft på legemet i vand som følgende:
+
+
+
=
,
I foregående kraftanalyse blev der sat størrelser på alle kræfter i spil, og derfor kan vi nu skrive
disse op som erstatning for overstående vektorer. Den resulterende kraft bliver skrevet på Newtons
form:
+
∙ ∙ −
1
2
∙
∙ ∙ ∙
−
∙ =
∙
Overstående er den resulterende kraft virkende på legemet i vand. Nu vil vi også definere den
resulterende kraft på trækloddet som trækker legemet op gennem vandet:
+
=
,æ
Vi kan igen erstatte vektorerne med størrelser for kræfterne:
æ
∙ −
=
æ
∙
Ligningerne for de resulterende kræfter på legemet og trækloddet kan nu lægges sammen hvorefter
en differentialligning til slut opstår:
+
∙ ∙ −
1
2
∙
∙ ∙ ∙
−
∙ +
æ
∙ −
=(
+
æ
) ∙
Det ses nu at snorkraften går ud af ligningen:
∙ ∙ −
1
2
∙
∙ ∙ ∙
−
∙ +
æ
∙ =(
+
æ
) ∙
For at få en differentialligning som efterfølgende skal bruges til at udlede min søgte stedfunktion,
vil jeg nu omskrive overstående ligning:
∙ ∙
+
æ
−
1
2
∙
∙ ∙∙
+
æ
−
∙
+
æ
+
æ
∙
+
æ
=
16
FysikABbogen 2, s. 208
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 14 af 31
æ
∙
+
æ
+
∙ ∙
+
æ
−
∙
+
æ
−
1
2
∙
∙ ∙ ∙
+
æ
=
æ
∙ +
∙ ∙ −
∙
+
æ
−
1
2
∙
∙ ∙∙
+
æ
=
æ
∙ +
∙ ∙ −
∙
+
æ
−
1
2
∙
∙ ∙
+
æ
∙
=
De overstående to led kan nu omskrives til konstanter hvorefter vi får:
=
æ
∙ +
∙ ∙ −
∙
+
æ
=
1
2
∙
∙ ∙
+
æ
−
∙
=
Dette udtryk kan nu skrives som en differentialligning idet vi ved at
=
=:
−
∙
=
Overstående differentialligning er af typen:
=
(
)
∙
(
)
hvorved vi nu kan løse vores fundne differentialligning ved separation af de variable. Vi finder
herved stedfunktionen:
−
∙
=
sættes udenfor parantes:
−
=
Der ganges med på hver side og divideres med parantesen på hver side af lighedstegnet:
∙ =
−
Begge udtryk sættes bag integraltegn:
∙ =
1
−
∙
Udtrykket på venstre side integreres:
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 15 af 31
∙ + =
1
−
∙
Størrelsen
indføres idet det bliver lettere at integrere efterfølgende:
=
⇕
=
Der fås nu:
∙ + =
−
Udtrykket på højre side kan nu integreres efter regneregel
17
:
∙ + =
arctan
ganges på hver side:
∙
∙ +
∙ =tanh
Det ses nu af overstående udtryk at konstanten bliver nul hvis hastigheden tages til tiden nul.
Leddet hvor konstanten indgår tages derfor ud af ligningen i følgende.
Hyperbolsk tangens tages på hver side:
tanh
(
∙
∙
)
=
Der ganges med
på hver side:
K
∙ tanh
(
∙
∙
)
=()
Nu kan der integreres efter en integrationsregneregel
18
som det sidste skridt mod min stedfunktion.
Der lægges endnu en konstant
til:
∙ tanh
(
∙
∙
)
∙ +
=()
1
∙ ln
(
cosh
(
∙
∙
))
+
=()
Det ses nu af overstående udtryk at integrationskonstanten
bliver nul hvis vi tager stedet til tiden
nul. Dette ses fordi cosh
(
0
)
=1 og ln
(
1
)
=0, hvilket giver os:
1
∙ 0 +
=0
17
Mathematical Handbook of Formulas and Tables, s. 64
18
Mathematical Handbook of Formulas and Tables, s. 90
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 16 af 31
Følgende stedfunktion er hermed fundet hvor begge integrationskonstanter er taget ud idet de begge
gav nul.
(
)
=
1
∙ ln
(
cosh
(
∙
∙
))
Stedfunktionen er senere brugt til at fremstille alle de teoretiske grafer. Konstanterne udskiftes og
den fuldstændige stedfunktion som afhænger af mine kræfter er hermed bestemt til:
(
)
=
1
1
2
∙
∙ ∙
+
æ
∙ ln
cosh
æ
∙ +
∙ ∙ −
∙
+
æ
1
2
∙
∙ ∙
+
æ
∙
1
2
∙
∙ ∙
+
æ
∙
4. Eksperimenter
4.1 Bevægelsen af legemer i væske
I teoriafsnittet udledte jeg den teoretiske stedfunktion for legemer som bevæger sig i væske, på
baggrund af analyse af de virkende kræfter i min opstilling. Ved at opstille et eksperiment lignende
den opstilling der er taget udgangspunkt i, kan jeg nu undersøge den eksperimentelle stedfunktion
og sammenligne med den teoretiske. Væsken som bliver benyttet i eksperimenterne er vand. Jeg vil
udføre fire eksperimenter som hvert består af fem målinger, hvor der kigges på et lod eller en kugle
som legeme i henholdsvis et smalt rør og et bredt rør. Disse variationer giver et godt indblik i
eksperimentelle sammenhænge og giver begrundelse for afvigelser som bunder i fejlkilder.
Udførelse
Min forsøgsopstilling skal på bedst mulig vis ligne mit teoretiske system. Her henvises til
illustration 4. Når eksperimentet udføres er det vigtigt at gøre sig nogle overvejelser omkring
fejlkilder. For at eksperimentet kan bruges er det vigtigt at der er minimale forstyrrelser idet
opstillingen er vanskelig og målingerne skal være præcise. Resultaterne skal nødigt forvrænges
fordi man ikke har udvist forsigtighed. Der kan nemt opstå fejlkilder som har indvirkning på
trissens målinger, eksempelvis vibrationer i opstillingen. Det er her lige så vigtigt at man sørger for
trækloddet selv sættes i bevægelse og ikke udsættes for ydre kræfter. Disse mulige fejlkilder
reduceres i stor grad samtidig med at de muligvis kan identificeres, idet der for hver af de fire
eksperimenter er fem målinger. Der vises kun én graf for hvert eksperiment men de øvrige er
vedlagt i bilag 2. Nedenfor ses en liste over apparaturer brugt til forsøget. For billede af
forsøgsopstillingen henvises der til bilag 1 illustration 3.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 17 af 31
Apparatur
Snor
Vægt
Trisse
Træklodder
Kugle og lod til bevægelsen i vand
Smalt rør
Bredt rør
Programmet Pasco Capstone
Elektronisk boks som kan forbinde trissen til computeren
Data og databehandling
I de fire eksperimenter er de teoretiske stedfunktioners grafer (de blå) plottet på baggrund af den
udledte stedfunktions form og tabellerne med data for de enkelte eksperimenter. Derefter er de røde
grafer plottet på baggrund af datasæt udvundet ved hvert eksperiment i Capstone. Som det tydeligt
ses på alle de nedenstående illustrationer ligger de eksperimentelle grafer under de teoretiske.
Grunden til dette må forklares på baggrund af mit eksperiments opstilling. Det ses at jeg
eksperimentelt har en lavere acceleration og også en lavere terminalhastighed. Legemet i vand
udsættes altså for mere modstand end antaget i teorien. Dette kan umiddelbart forklares på
baggrund af rørene. I teorien antages det at der er uendelige mængder vand på hver side af legemet
og dette er ikke tilfældet i rørene. Den yderligere modstand kan dermed forklares idet det fortrængte
vand ikke ubesværet kan smutte udenom legemet. Snoren som trækker loddet yder også lidt
modstand i vandet samt risikoen for at kuglen er lidt rusten. Der kan der dog korrigeres for denne
ekstra modstand. Jeg kan danne nye teoretiske grafer ved at udregne den aktuelle formfaktor
gældende i mine rør. For hvert et eksperiment beregner jeg dermed den aktuelle formfaktor på
baggrund af et gennemsnit af de fem terminalhastighederne fundet i hver af de fem målinger. Når
formfaktoren er rettet bør de teoretiske grafer ligge oveni de eksperimentelle.
Jeg udregner den aktuelle formfaktor ved brug af følgende udledte formel. Der tages udgangspunkt
i formlen for de virkende kræfter på legemet i vand udledt i afsnit 3.3. Situationen for legemet i
vand når terminalhastigheden er opnået:
∙ ∙ −
1
2
∙
∙ ∙ ∙
−
∙ +
æ
∙ =(
+
æ
) ∙
Overstående udtryk kan omskrives til følgende idet terminalhastigheden er opnået og accelerationen
dermed er nul:
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 18 af 31
∙ ∙ −
1
2
∙
∙ ∙∙
−
∙ +
æ
∙ =0
Formfaktoren kan nu isoleres hvorefter den ønskede formel er udledt:
=
2 ∙ ∙ (
∙ −
+
æ
)
∙ ∙
Volumen og tværsnitsarealet i overstående formel beregnes henholdsvis for kuglen og loddet efter
disse formler:
Tværsnitsareal og volumen for kugle:
=∙
=
4
3
∙ ∙
Tværsnitsareal og volumen for lod:
=∙
=∙
∙ ℎ
Terminalhastighederne findes i Capstone ved at lave lineær regression på det sidste stykke af
stedfunktionen, idet der til dette tidspunkt vil være opnået terminalhastighed. Hældningen af den
rette linje vil dermed være terminalhastigheden, idet vi ved at
(
)
=(). For illustration som
viser dette henvises her til bilag 1 illustration 4.
Kugle i smalt rør
Dataene for dette eksperiment listet i tabel:
Den aktuelle formfaktor for kuglens bevægelse i det smalle rør er som følgende:
=
2 ∙ 9,82
∙ (998,23
∙ 4,0767 ∙ 10
− 0,03319 + 0,0399 )
3,0853 ∙ 10
∙ 998,23
∙ 0,884
=0,8796
Den aktuelle formfaktor er hermed bestemt til 0,8794 på baggrund af den fundne
terminalhastighed. Nedenstående ses den teoretiske og eksperimentelle graf efter der er korrigeret
for formfaktoren. For teoretisk graf med
=0,4 henvises her til bilag 1 illustration 5.
(
)
æ
(
)
(
)
(
)
0
,
03319
0
,
03990
3
,
0853
∙
10
4
,
0767
∙
10
0
,
4
0
,
8796
eller
9
,
82
998
,
23
0
,
884
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 19 af 31
Kugle i bredt rør
Dataene for dette eksperiment listet i tabel:
Den aktuelle formfaktor for kuglens bevægelse i det brede rør er som følgende:
=
2 ∙ 9,82
∙ (998,23
∙ 4,0767 ∙ 10
− 0,03319 + 0,04010 )
3,0853 ∙ 10
∙ 998,23
∙ 1,02
=0,6730
(
)
æ
(
)
(
)
(
)
0
,
03319
0
,
04010
3
,
0853
∙
10
4
,
0767
∙
10
0
,
4
0
,
6730
eller
9
,
82
998
,
23
1
,
02
Illustration 6: Viser graferne for henholdsvis den teoretiske (blå)
s(t) og den eksperimentelle (rød) s(t) når
=
,
.
Illustration 7: Viser kuglen som trækkes gennem vandet i det smalle rør.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 20 af 31
Den aktuelle formfaktor er hermed bestemt til 0,6730 på baggrund af den fundne
terminalhastighed. Nedenstående ses den teoretiske og eksperimentelle graf efter der er korrigeret
for formfaktoren. For teoretisk graf med
=0,4 henvises her til bilag 1 illustration 6.
Lod i smalt rør
Dataene for dette eksperiment listet i tabel:
Den aktuelle formfaktor for kuglens bevægelse i det brede rør er som følgende:
(
)
æ
(
)
(
)
(
)
0
,
20084
0
,
19095
4
,
85
∙
10
2
,
3815
∙
10
0
,
9
1
,
8339
eller
9
,
82
998
,
23
0
,
5452
Illustration 8: Viser graferne for henholdsvis den teoretiske (blå)
s(t) og den eksperimentelle (rød) s(t) når
=
,
.
Illustration 9
: Viser kuglen som trækkes gennem vandet i det brede rør.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 21 af 31
=
2 ∙ 9,82
∙ (998,23
∙ 2,3815 ∙ 10
− 0,20084 + 0,19095 )
4,85 ∙ 10
∙ 998,23
∙ 0,5452
=1,8339
Den aktuelle formfaktor er hermed bestemt til 1,8339 på baggrund af den fundne
terminalhastighed. Nedenstående ses den teoretiske og eksperimentelle graf efter der er korrigeret
for formfaktoren. For teoretisk graf med
=0,9 henvises her til bilag 1 illustration 7.
Lod i bredt rør
Dataene for dette eksperiment listet i tabel:
(
)
æ
(
)
(
)
(
)
0
,
20084
0
,
1890
4
,
85
∙
10
2
,
3815
∙
10
0
,
9
1
,
0013
eller
9
,
82
998
,
23
0
,
6848
Illustration 10: Viser graferne for henholdsvis den teoretiske (blå)
s(t)
og den eksperimentelle (rød) s(t) når
=
,
.
Illustration 11: Viser eksperimentet med loddet som trækkes gennem vandet i det smalle rør.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 22 af 31
Den aktuelle formfaktor for kuglens bevægelse i det brede rør er som følgende:
=
2 ∙ 9,82
∙ (998,23
∙ 2,3815 ∙ 10
− 0,20084 + 0,19095 )
3,0853 ∙ 10
∙ 998,23
∙ 0,6848
=1,1482
Den aktuelle formfaktor er hermed bestemt til 1,1482 på baggrund af den fundne
terminalhastighed. Nedenstående ses den teoretiske og eksperimentelle graf efter der er korrigeret
for formfaktoren. For teoretisk graf med
=0,9 henvises her til bilag 1 illustration 8.
4.2 Mekanisk energi i bevægelsen
I henhold til mine undersøgelser af legemers bevægelse i vand er det relevant at analysere den
mekaniske energi. Der vil derfor følge en analyse af den mekaniske energi i systemet, i det
eksperiment hvor kuglen bliver trukket op gennem det smalle rør. Derefter vil der følge en
beregning af systemets tabte mekaniske effekt. Ifølge den teoretiske fysik vil et legeme ikke udsat
for andet end naturkræfter have konstant mekaniske energi. Den mekaniske energi er en sum af den
potentielle og kinetiske energi. Dvs. hvis et legeme ikke er udsat for andet end naturkræfter vil
summen af den potentielle energi og den kinetiske energi forblive uændret. Dette er ikke hvad der
Illustration 12: Viser graferne for henholdsvis den teoretiske (blå)
s(t) og den eksperimentelle (rød) s(t) når
=
,
.
Illustration 13: Viser det igangværende eksperiment med loddet i vandet. Det var nødvendigt at have to trisser ved det brede rør.
[navn fjernet] 3.Q
Roskilde Katedralskole
sker i praksis eftersom fiktive kræfter her spiller ind. Fiktive kræfter eksempelvis gnidningskra
står i modsætning til naturkræfter. De fiktive kræfter vil resultere i et mekanisk energitab.
Systemets tabte mekaniske energi
Følgende formler udledes på baggrund af nedenstående illustration af mit system med indlagt
nulpunkt og ()-akse.
For at beregne systemets potentielle energi som funktion af tiden skal der bruges følgende formel:
⇕
⇕
(
)
Overstående for
mel er udledt på baggrund af
masse. ()-
værdierne skal findes i Capstone for måling nr.1 i eksperimentet med kuglen i det
smalle rør.
For at beregne systemets kinetiske energi som funktion af tiden
⇕
Illustration 14
: Tegning som ligger til grund for de udførte beregninger af den mekani
SRP - Gnidning i væsker
sker i praksis eftersom fiktive kræfter her spiller ind. Fiktive kræfter eksempelvis gnidningskra
står i modsætning til naturkræfter. De fiktive kræfter vil resultere i et mekanisk energitab.
Systemets tabte mekaniske energi
Følgende formler udledes på baggrund af nedenstående illustration af mit system med indlagt
For at beregne systemets potentielle energi som funktion af tiden skal der bruges følgende formel:
=∙ ∙
(
)
= ∙ ∙ −
(
)
(
)
=(
+
æ
) ∙ ∙ −
(
)
mel er udledt på baggrund af
, at ku
glen og trækloddets masser
værdierne skal findes i Capstone for måling nr.1 i eksperimentet med kuglen i det
For at beregne systemets kinetiske energi som funktion af tiden
skal følgende formel anvendes:
=
1
2
∙ ∙
: Tegning som ligger til grund for de udførte beregninger af den mekani
ske energi.
17/12 2015
Vejl. Sm og BTC
Side 23 af 31
sker i praksis eftersom fiktive kræfter her spiller ind. Fiktive kræfter eksempelvis gnidningskra
ften
står i modsætning til naturkræfter. De fiktive kræfter vil resultere i et mekanisk energitab.
Følgende formler udledes på baggrund af nedenstående illustration af mit system med indlagt
For at beregne systemets potentielle energi som funktion af tiden skal der bruges følgende formel:
glen og trækloddets masser
ses som én samlet
værdierne skal findes i Capstone for måling nr.1 i eksperimentet med kuglen i det
skal følgende formel anvendes:
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 24 af 31
(
)
=
1
2
∙ (
+
æ
) ∙
(
)
I overstående formel skal
(
)
-værdierne findes i Capstone for måling nr.1 i eksperimentet med
kuglen i det smalle rør.
For at beregne systemets mekaniske energi som funktion af tiden skal summen af den potentielle og
kinetiske energi findes:
(
)
+
(
)
=
()
Der kan nu tegnes en graf over systemets mekaniske energi. Der henvises her til bilag 1 illustration
9. På grafen ses det tydeligt at systemet taber meget mekanisk energi. Det ses også at næsten alt den
tabte mekaniske energi udgøres af den potentielle energi. Kuglen opnår nemlig ikke ret stor
hastighed og dermed ikke ret meget kinetisk energi. I bunden af grafen ses det hvordan den
kinetiske energi ikke har ret stor værdi i forhold til den potentielle. Med denne graf kan det
konkluderes, at kuglen bliver bremset meget af gnidningsmodstanden i vandet. Størstedelen af
denne energi som går tabt i mit system må gå til henholdsvis trissen og vandet. En smule må også
siges at gå til luften som trækloddet møder på vej ned mod gulvet.
Tabte mekaniske effekt
Vi har nu fundet ud af at systemet taber meget mekanisk energi, det er derfor relevant at kigge på
effekten systemet taber når terminalhastigheden er nået. Effekten som tabes når terminalhastighed
er nået findes ved udtrykket:
=−
∆
∆
=−
⇕
=−(
+
æ
) ∙ ∙
⇕
=−(
+
æ
) ∙ ∙
Overstående udtryk er fundet idet vi ved at den potentielle tabte effekt er lig den mekaniske tabte
effekt når terminalhastighed er opnået. Dette kan også ses på illustration 15 at hældningen af grafen
for den potentielle energi er den samme som hældningen af den mekaniske energi, når
terminalhastighed er opnået.
Systemets tabte effekt bestemmes:
=−
(
0,03319 + 0,03990
)
∙ 9,82
∙ 0,944
=0,67755
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 25 af 31
Overstående effekt beregnet af min formel passer næsten med værdien som findes, når der laves lineær
regression på de sidste 6 punkter på grafen for den mekaniske energi. Dette ses i nedenstående illustration:
Hældningen af grafen har ikke helt samme værdi som beregningen af effekten, men dette er kan
begrundes med at beregningen kun er lavet med tre betydende cifre. Forskriften lavet i Excel er
beregnet på baggrund af mange decimaler.
5. Diskussion
På baggrund af mine eksperimenter og energiberegningerne for mit system kan det nu diskuteres i
hvilken grad teorien kan siges at være eftervist. Resultaterne fra mine fire forsøg viser at den
eksperimentelle stedfunktion passer fint i alle tilfælde; efter at formfaktoren er ændret. På det første
stykke af graferne ligger de eksperimentelle oveni de teoretiske, lidt senere afviger de
eksperimentelle en smule. De eksperimentelle stedfunktioner har stor afvigelse fra de teoretiske i
alle tilfælde før formfaktoren ændres. Grunden til dette er indlysende idet rørene begrænser
vandmængden. Der henvises her til afsnit 3.1. Efter formfaktoren ændres ses det, at de
eksperimentelle stedfunktioner rykker væsentligt tættere på de teoretiske. De ligger dog stadig ikke
helt oveni. Måleusikkerhed vil altid være grund til afvigelse, men fejlkilder spiller større rolle. Det
er værd at lægge mærke til at de eksperimentelle stedfunktioner ligger under de teoretiske i alle
tilfælde. Dette viser mig, at der må være en fælles fejlkilde i alle eksperimenterne. At de
eksperimentelle stedfunktioner ligger under de teoretiske fortæller mig, at der ikke opnås
Illustration 15
: Lineær regression er udført på de sidste 6 punkter idet terminalhastigheden er
opnået her. Den lineære forskrift er givet i højre hjørne hvoraf det ses at hældningen svarer til
systemets tabte effekt.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 26 af 31
tilstrækkelig acceleration for legemet. Dette må forklares ved at der er kræfter der spiller ind
eksperimentelt og som ikke er medregnet i teorien. Disse kræfter må påvirke legemet i sådan
retning at det bremses. Ser jeg på grafen for systemets mekaniske energi (illustration 15) ses der
også et markant energitab. Som beregnet taber systemet en effekt på 0,63 når terminalhastighed
er opnået. Noget af systemets energi må tabes i dét som skaber disse bremsende kræfter. Disse
bremsende kræfter må stamme hovedsageligt fra trissen. Trissen skal nemlig både bruge noget
energi til at accelerere men også noget for at holdes kørende. Af mindre betydelighed må
luftmodstanden på trækloddet også siges at have bremsende effekt på legemet i vand. Disse faktorer
er gældende i alle mine eksperimenter. Det må derfor hænge godt sammen med at alle de
eksperimentelle stedfunktioner ligger under de teoretiske.
De nævnte fejlkilder udgør afvigelsen fra de eksperimentelle til de teoretiske i alle eksperimeter.
Det er dog værd at overveje en ekstra ting i eksperimenterne med kuglen som legeme. I modsætning
til et lod vil en kugles gnidningsmodstand som nævnt i afsnit 3.1 kunne beskrives som en laminar
ved tilstrækkeligt lave hastigheder. Dette vil sige at kuglen i et meget lille tidsrum, umiddelbart
efter eksperimentet sættes i gang vil have strømningsformen laminar. Denne fejlkilde virker dog
modsat de førnævnte. Derfor ville den laminare strømning kun kunne give anledning til øget
acceleration. Som bevist i afsnit 3.1, forårsager den laminare strømning mindre gnidningsmodstand
end den turbulente under samme betingelser. Den laminare strømning er i øvrigt meget lille og kan
ikke ses på grafen.
6. Konklusion
Det må overordnet konkluderes at mine eksperimenter efterviser teorien for legemers bevægelse i
vand. I alle de udførte eksperimenter passer de eksperimentelle stedfunktioner med de teoretiske når
der ses på det første tidsinterval. I efterfølgende tidsinterval ses det at de eksperimentelle
stedfunktioner afviger en smule fra de teoretiske ved at ligge under dem. Dette kan forklares i de
fejlkilder som trissen og luftmodstanden på trækloddet danner. Trissen og luftmodstanden på
trækloddet er nemlig årsagen til, at mit system påvirkes af yderligere bremsende kræfter end antaget
i min teori. Det kan derfor konkluderes at mit system som eksperimenterne er udført i, taber meget
mekanisk energi på grund af de store gnidningskræfter som spiller ind. Der tabes mere energi end
antaget i teorien fordi trissen og luftmodstanden på trækloddet sjæler noget energi. Ved det første
eksperiment med kuglen i det smalle rør, blev det bestemt at systemet taber en effekt af størrelsen
0,63 når terminalhastighed for kuglen er opnået.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 27 af 31
7. Perspektivering
Jeg har ved mine eksperimenter fundet ud af, at legemer i vand bevæger sig efter den teoretisk
udledte stedfunktion. Eftersom vand er et stof med relativ lav densitet vil selv legemer med meget
små hastigheder, forårsage en turbulent strømning. Dette er relevant når man i den virkelige verden
gerne vil have ting til at bevæge sig hurtigt i vand med minimal gnidningsmodstand, for at kunne
spare på energien. Vi ved derfor at medmindre man kun skal bevæge en meget lille ting med meget
lille hastighed, må man regne med at gnidningskraften er defineret ud fra en turbulent strømning.
Hertil kommer at formfaktoren for legemet i vandet dermed er med til at bestemme
gnidningsmodstanden. Mine eksperimenter viser tydeligt hvordan loddet i forhold til kuglen har en
væsentlig større formfaktor. Dette vil sige at gnidningsmodstanden også er væsentlig større ved
bevægelsen af et lod i vand frem for en kugle. Dette hænger sammen med at kuglen i større grad
skiller strømningslinjerne med forsigtighed end loddet gør. Denne viden kan nyttigt anvendes i den
virkelige verden når ting som skal bevæge sig i vand skal designes.
Under 2. verdenskrig var krigsførelse på vandet af stor betydning. Af denne grund var det vigtigt at
fremstille effektive våben fungerende i vand. Tyskerne havde fremstillet den såkaldte G7a torpedo
19
som fungerede ved at blive affyret under vand og ramme skroget på fjendtlige krigsskibe. I relation
til mine eksperimenter kan der ses på formen af G7a torpedoen og vurdere, om det er et
hensigtsmæssigt design i forhold til at opnå ønsket om relativ lav gnidningsmodstand og dermed
lavt energiforbrug. Der vides jo på baggrund af mine eksperimenter, at gnidningsmodstanden
reduceres ved en lav formfaktor som opstår ved at legemet skiller strømningslinjerne med
forsigtighed.
Illustration 16
20
: Tysk G7a torpedo.
I det følgende vil der ses en beregning af G7a's formfaktor.
7.1 Tysk G7a torpedo
Først vil jeg udlede den nødvendige formel for effekt
21
. Der tages udgangspunkt i definitionen for
effekt som lyder på energi forbrugt pr. tid. Dette kan udtrykkes på følgende formel:
19
https://en.wikipedia.org/wiki/G7a_torpedo
20
http://scalemodels.ru/modules/forum/viewtopic_t_45836.html
21
FysikABbogen 1, s. 140
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 28 af 31
=
∆
∆
hvor ∆ er tilvækst i energi og ∆ er tiden.
Overstående formel kan omskrives så der indgår kraft som erstatning for energien:
=
∆
∆
=
∆
=
∙ ∆
∆
Denne omskrivning kan simpelt laves idet vi kender definitionen af arbejde
22
som at være en
overførsel af energi og det samme som kraft gange strækning. Vi kan yderligere omskrive formlen
idet vi ved, at tilvækst i strækning pr. tid kan udtrykkes som hastighed:
=∙
Denne formel skal senere anvendes til at udregne formfaktoren for torpedoen.
For at opstille en formel som kan anvendes til at bestemme torpedoens formfaktor vil vi tage
udgangspunkt i en kraftanalyse af de virkende kræfter:
Jeg vil bestemme formfaktoren af torpedoen ved at udnytte terminalhastigheden. Ud fra vores
kraftanalyse ses det at de to virkende kræfter på torpedoen er de modsatrettede
og
. Ved at
benytte Newtons 1. lov
23
som siger at den resulterende kraft er nul hvis hastigheden er konstant, kan
følgende udtryk opstilles:
+
=0
hvor
er kraften ydet af motoren og
er gnidningskraften. Størrelserne af kræfterne kan
defineres som følgende:
=−
Med overstående udtryk gældende vil der gælde det samme for effekten ydet af motoren og effekten
ydet af gnidningskraften og samme relation vil opstå:
=−
22
FysikABbogen 1, s. 153
23
FysikABbogen 2, s. 208
Illustration 17: Viser de virkende kræfter på torpedoen.
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 29 af 31
Effekten ydet af gnidningskraften omskrives til positiv idet fortegnet kun er bestemt rent
matematisk i overstående formel og ikke har nogen relevans fysisk. Der kan nu opstilles et udtryk
til beregning af torpedoens formfaktor som lyder:
=
∙
=
1
2
∙ ∙
∙ ∙
∙
hvor formfaktoren kan isoleres:
=
1
2
∙ ∙∙
Vi kan nu bestemme den tyske torpedos formfaktor idet følgende informationer om torpedoen
udnyttes:
æ=∙
2
= ∙
0,5354
2
=0,223458
=
=260995 , idet motoren yder 350 ℎ hvor 1 ℎ≈745,6998 .
=22,6336
, idet torpedoen har hastigheden 44 hvor 1 ≈0,544444
.
=
1
2
∙ ∙ ∙
=
260995
1
2
∙ 0,223458
∙ 998,23
∙ 22,6336
=0,202
Hermed er den tyske torpedos formfaktor bestemt til at være 0,202.
På baggrund af overstående beregning må det konkluderes, at torpedoen ikke yder ret stor
gnidningsmodstand. Formfaktoren på 0,202 er væsentlig lavere end den teoretiske formfaktor for
en kugle og meget lavere end mine resultater fra eksperimenterne. Overordnet set må det siges at
tyskerne har formået at fremstille en torpedo med et design, som minimere gnidningsmodstanden.
Torpedoens dråbelignende form må være af medvirkende grund til dette. Der kan i øvrigt også
tydeligt ses på foregående illustration hvordan hovedet af torpedoen er designet i avanceret form,
hvoraf det så er muligt at skille strømningslinjerne med forsigtighed. Såkaldte whiskers og impeller
som ses på illustration 10
24
i bilag 1, muliggøre dette.
7.2 Russisk VA-111 Shkval torpedo
I 2. verdenskrig i midten af 1900-tallet stod industrialisering og teknologiske landvindinger som
overskrift. De teknologiske fremskridt var meget tydelige og der blev udviklet avanceret mekanik
24
http://www.wehrmacht-awards.com/forums/showthread.php?t=730224
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 30 af 31
som G7a torpedoen er et godt eksempel på. Verden må siges at have fortsat denne hurtige udvikling
i stor grad, idet der er gjort store teknologiske fremskridt siden 1900-tallet. Sammenlignet med den
tyske G7a torpedo har russerne netop nu udviklet en ny type torpedo. Udviklingen startede for
næsten 15 år siden idet ønsket om hurtigere hastighed ville opnås. Dette ville kun være muligt hvis
torpedoens gnidningsmodstand blev mindsket yderligere. Man var godt klar over at det ikke ville
være muligt at gøre formfaktoren mindre, idet torpedoen stadig skulle være effektiv som våben.
Man måtte derfor "skrue" på andre faktorer i følgende formel som kunne mindske
gnidningsmodstanden:
=
1
2
∙
∙ ∙ ∙
Fokus blev hurtigt rettet mod , altså densiteten af mediet som torpedoen skulle befinde sig i.
Densiteten af vand er hele 998,23
ved 20℃ og dette store tal har stor betydning for facit af
ligningen. Russernes ingeniører kom derfor frem til den idé, at hvis man kunne få torpedoen til at
glide i et andet medie end vand, ville problemet være løst. Russerne har derfor på nuværende
tidspunkt, 15 år senere, udviklet den såkaldte VA-111 Shkval torpedo som anvender begrebet
superkavitation i praksis. Superkavitation er et begreb brugt når kavitation sker ved høje
hastigheder, deraf navnet super-kavitation. Kavitation kan forklares kort som det fænomen der
opstår når vand koger på grund af lavt tryk i stedet for høj temperatur. Den russiske torpedo
anvender herved superkavitation ved at have en specialdesignet næse som jeg ikke vil gøre nærmere
rede for. Når kavitationen sker i spidsen af torpedoen vil en masse små bobler opstå (præcis ligesom
når vand koger ved 100℃). Overordnet set betyder dette at torpedoen er i stand til at danne en stor
luftboble, som den kan bevæge sig i. Dette betyder hermed at gnidningsmodstanden er betydeligt
mindsket, idet torpedoen undgår kontakt stor kontakt med vandet. Det kan derfor siges at densiteten
af mediet som torpedoen bevæger sig er ændret, fra vand til en blanding af gasser og vanddamp.
Kun spidsen af torpedoen vil være i berøring med vandet. Billeder af torpedoen ses i bilag 1
illustration 11
25
, 12
26
og 13
27
.
8. Litteraturliste
8.1 Bøger
Andersen, Erik; Jespergaard, Paul; Østergaard, Ove: Databog fysik kemi. F & K forlaget 11.
udgave 2009.
25
http://www.jp-petit.org/Koursk/illustrations/Shkval_head.jpg
26
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/Shkval.jpg
27
http://myidst.com/media/k2/items/cache/339a0e1449b6b4062056bc300d87e893_XL.jpg
[navn fjernet] 3.Q SRP - Gnidning i væsker 17/12 2015
Roskilde Katedralskole [navn fjernet] og BTC
Side 31 af 31
Brydensholt, Morten; Gjøe, Tommy; Jessen, Claus; Keller, Ole; Møller, Jan; Vaaben, Jens:
Orbit BA. Systime 2011.
Engelund, F. A.: Hydrodynamik newtonske vædskers mekanik. Statens Trykningskontor
1968.
Elvekjær, Finn; Benoni, Torben: FysikABbogen 2. Forlaget Systime 2. udgave 2012.
Elvekjær, Finn; Benoni, Torben: FysikABbogen 1. Forlaget Systime 1. udgave 2010.
Fredsøe, Jørgen: Hydrodynamik. Stougaard Jensen/København 1990.
Matematiklærerforeningen: Matematisk formelsamling A stx. Forlaget
Matematiklærerforeningen 2009.
Nielsen, Knud; Fogh, Esper: Vejen til Matematik A2. Forlaget HAX 1. udgave 2006.
Spiegel, Murray: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Forlaget Schaum's
outline series.
8.2 Internetkilder
http://www.engineeringtoolbox.com/reynolds-number-d_237.html (14/11 2015 kl. 17:57)
https://en.wikipedia.org/wiki/G7a_torpedo (kl. 12:48, samme som angivet i
problemformuleringen)
http://fysikleksikon.nbi.ku.dk/t/turbulens/ (kl. 23:58)
http://www.jp-petit.org/Koursk/illustrations/Shkval_head.jpg (kl. 14:27, billede
af russisk torpedo nr.1)
http://myidst.com/media/k2/items/cache/339a0e1449b6b4062056bc300d87e893_XL.jpg
(kl. 14:39, billede af russisk torpedo nr.3)
https://mste.illinois.edu/malcz/ExpFit/REVIEW.html (kl. 17:42)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/Shkval.jpg (kl. 14:32,
billede af russisk torpedo nr.2)
http://scalemodels.ru/modules/forum/viewtopic_t_45836.html (kl. 15:04,
billede af tysk torpedo)
https://www.youtube.com/watch?v=ON_irzFAU9c (Om kavitation)
http://www.wehrmacht-awards.com/forums/showthread.php?t=730224 (kl.
15:10, billede af tysk torpedo)
8.3 Lærerskrifter
Vestergaard, Erik: Det skrå kast - med luftmodstand. www.matematiksider.dk 2009.
8.4 Ressourcer
DesignCAD Pro 2000 Computer Aided Design Software (alle illustrationer i teoriafsnittet er
tegnet heri).
9. Bilag
Bilag 1 (Alle illustrationer)
Bilag 2 (Grafer over alle eksperimenter)