STX 3.g
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 1 af 28
Abstract
The purpose of this assignment is to give the readers a better understanding of
gravitation and planetary orbits. This is done by explaining the thoughts and theory
behind Newton’s law of universal gravitation, and the gravitational constant. An
experiment has been made to determine an estimated value of G. This experiment is
based on the law of gravitation and the force made by the torsion of a wire. The
procedure is to make the law of attraction between a large ball and a smaller ball which
are put close together. The trick is that the small ball is attached to a wire and when it
gets attracted to the large ball, the torsion of the wire creates a force equal to the
force between the large and the small ball. The calculated value of G based on this
experiment is
The result deviates 11% from the theoretical value of G, which is approximately
6,67 * 10
-11
N m
2
kg
-2
. This deviation can be explained by the sensibility of the
instrument used in the experiment. Furthermore, the description and mathematical
explanation of planetary orbits such as Keplers Laws is clarified and gone through in the
last pages. A complete index can we viewed on the following page.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 2 af 28
Indholdsfortegnelse
ABSTRACT ......................................................................................................................................................................... 1
INDLEDNING ...................................................................................................................................................................... 3
GRAVITATIONSLOVEN ..................................................................................................................................................... 4
NEWTONS BEVIS ................................................................................................................................................................ 6
FORSØG – BESTEMMELSE AF GRAVITATIONSKONSTANTEN .................................................................................. 10
FORSØGSBESKRIVELSE ...................................................................................................................................................... 10
FREMGANGSMÅDE ............................................................................................................................................................ 11
DATA ............................................................................................................................................................................. 12
TEORI OG BESTEMMELSE AF GRAVITATIONSKONSTANTEN ...................................................................................................... 14
Torsionssvingninger, svingningsperiode og inerti .......................................................................................... 16
MÅLEUSIKKERHED OG FEJLKILDER ..................................................................................................................................... 18
VURDERING OG KONKLUSION ............................................................................................................................................ 19
PLANET OG SATELLITBANER ...................................................................................................................................... 20
JOHANNES KEPLERS LOVE ................................................................................................................................................ 22
KEGLESNIT OG ELLIPSER ................................................................................................................................................... 23
KONKLUSION .................................................................................................................................................................. 26
LITTERATURLISTE ......................................................................................................................................................... 27
LITTERATUR .................................................................................................................................................................... 27
WEBSIDER ....................................................................................................................................................................... 27
PDF-FILER ..................................................................................................................................................................... 27
BILAG ............................................................................................................................................................................... 28
BILAG 1.......................................................................................................................................................................... 28
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 3 af 28
Indledning
Gravitation og kræfter i universet fik med Newton, Kepler og den klassiske fysik åbnet
for et gennembrud af nye muligheder inden for beregning af bevægelse og planetbaner i
rummet. Det blev nu muligt at bestemme legemers indbyrdes tiltrækningskraft på
hinanden ved brug af gravitationsloven, som igen gjorde det muligt at beregne både
forrige og fremtidige placeringer af legemerne forholdsvist præcist. Beregninger af mere
komplicerede systemer kræver dog i de fleste tilfælde en enorm regnekapacitet, og
derfor er potentialet i dem først blevet relevant efter computerens opfindelse. I denne
projektrapport vil der blive set nærmere på gravitationsloven og de teoretiske tanker
bag den. Her indgår forklaring af gravitationskonstanten G, og af hvordan man
forsøgsmæssigt kan bestemme denne – hvilket også er gjort ved et forsøg i praksis.
Endeligt vil det blive gennemgået, hvordan planetbaner kan beskrives ud fra forskellige
matematiske modeller og metoder. Hyppigt gennem rapporten vil det såkaldte to-
legeme problem, det vil sige beskrivelsen af to legemers påvirkning af hinanden blive
taget op som eksempel. Til slut vil der kort være en sammenfatning af forsøgsresultater,
teori og praksis i form af en konklusion.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 4 af 28
Gravitationsloven
Gravitationsloven blev inden for den klassiske mekanik fremstillet af Isaac Newton
(Newton universelle gravitationslove). Ifølge Newton er gravitationskraften mellem to
objekter proportional med produktet af de to objekters masse over kvadratet af
afstanden mellem de to objekter.
"Ethvert objekt i universet tiltrækker ethvert andet objekt med en kraft med retning
langs linjen gennem objekternes centre og som er proportional til produktet af deres
masser og omvendt proportional til kvadratet af afstanden mellem objekterne."
1
Det er altså ifølge Newton ikke bare planeter som Jorden og Mars der har en
tiltrækningskraft, men alle objekter i hele universet. Denne sammenhæng kan som
matematisk model opstilles således:
Her er F gravitationskraften mellem de to objekter. m
1
og m
2
er massen af henholdsvis
det ene og det andet objekt. Afstanden mellem objekterne er defineret som r, og denne
afstand er målt fra centrum til centrum af hvert objekt. G er proportionalitetsfaktoren,
som i denne sammenhæng er gravitationskonstanten G.
Gravitationskonstanten er aldrig blevet målt helt præcist, men det mest præcise værdi
indtil nu er:
G = (6,67428 ± 0,00067) * 10
-11
N m
2
kg
-2
Gravitationsloven er meget relevant, hvis man skal beregne planeters baner, da det
netop er gravitationskraften der er på spil her Fx holdes månen i sin bane omkring
Jorden pga. massetiltrækningen mellem dem.
1
Citat af Isaac Newton, fundet på wikipedia: http://da.wikipedia.org/wiki/Gravitation. 6. December.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 5 af 28
Det er efter Newtons tid blevet kendt at gravitationsloven ikke er gyldig i visse
situationer. Ved meget store hastigheder, dvs. nær lysets hastighed og ved bevægelse
omkring objekter med meget stor masse. Her er et eksempel Merkurs bane omkring
Solen, som ikke stemmer overens med Newtons love.
2
I andre tilfælde, hvor man vil beskrive bevægelser på atomplan er Newtons love heller
ikke tilstrækkelige, og man arbejder derfor ikke med Newtons love på dette niveau, men
med kvantefysikken
3
.
I dag bruger man stadig Newtons love, selvom det er vist at Einsteins relativitetsteori er
mere præcis. Dette skyldes at det matematisk set er væsentligt nemmere at udregne
forholdsvis præcise resultater ved hjælp af Newtons love, end det er med Einsteins.
Desuden er Newtons love simplere og nemmere at forstå. Desuden er tidsbegrebet ifølge
Newton uafhængigt af hvor man befinder sig, og om man er i bevægelse, hvilket det
ikke er ifølge Einstein. Har man altså brug for meget præcise målinger er Einsteins
relativitetsteorier bedre end Newtons love, men matematisk set er det meget lettere at
bruge Newtons love, og stadig få et relativt præcist resultat. Da Einsteins
relativitetsteorier er opstået efter Newton og den klassiske mekanik, tages der her ikke
højde for disse.
2
Finn Elvekjær og Børge Degn Nielsen – Fysikkens Verden 2, Mekanik, Bølger, Atom- og kernefysik –
Gjellerup & Gad – 1989 - Afsnit 4 om Newtons love.
3
Kvantefysik er beskrivelse af stof på atomart niveau.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 6 af 28
Newtons bevis
For at forstå hvordan Newton kom frem til gravitationsloven må man først se på de 3
andre meget kendte love som Newton også sagde, nemlig inertiens lov, Kraftloven og
Loven om aktion og reaktion, også kaldet Newtons første, anden og tredje lov:
Newtons 1. lov siger at et legeme der enten er i hvile eller bevæger sig med en konstant
hastighed ikke får tilført eller er påvirket af kræfter udefra. Hastigheden er altså
konstant når kraften der påvirker legemet udefra er lig nul.
Newtons 2. lov siger at den resulterende kraft på et legeme er lig med accelerationen
gange massen af legemet: F = a * m, hvor F er den samlede kraft, a er accelerationen og
m er massen.
Newtons 3. lov siger at kraften fra et legeme til et andet vil forårsage en lige så stor,
men modsat kraft fra det påvirkede legeme mod det andet. Altså en reaktion fra det
andet legeme på aktionen fra det første legeme.
Ud fra dem og Keplers tre love for solsystemet, som der står mere om i afsnittet Keplers
love, kom Newton frem til gravitationsloven. Newton tog her udgangspunkt i Jorden og
månen. Det følgende matematiske bevis for gravitationsloven er en forenklet udgave, da
der her antages at månen/satelitten bevæger sig i en cirkel omkring
Jorden/centrallegemet. Jorden og månen ses som relativt isolerede, dvs. at de ikke er
påvirkede af kræfter udefra, som fra fx solen. Disse kræfter har ikke synderlig betydning
i forhold til tiltrækningskraften mellem Jorden og månen, men spiller alligevel en rolle,
og derfor er dette bevis en tilnærmelse af virkeligheden, men dog stadig forholdsvist
præcist.
Ifølge Keplers anden lov vil satellitten bevæge sig med en konstant hastighed rundt om
centrallegemet, da dens bane er cirkulær. Dette betyder, hvis satellittens
bevægelsesretning var lineær, at acceleration ville være lig 0. Da satellittens bane ikke
er lineær, men cirkulær vil retningen af den resulterende kraft på den hele tiden ændre
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 7 af 28
retning. Dette betyder at satellitten som følge af denne retningsændring hele tiden vil
lave en acceleration.
Accelerationen a, kan ud fra vinkelhastigheden og centripetalkraften udtrykkes ved
radius r, af cirkelbanen og omløbstiden T, for satellitten
4
. En anden sammenhæng
mellem r og T er givet ved Keplers 3. lov, der siger at kvadratet på en satellits omløbstid
er proportionalt med middelafstanden i tredje. Da middelafstanden i dette tilfælde vil
være lig radius på cirkelbanen, vil dette give to ligninger beskrevet ved r og T:
Vinkelaccelerationen. Keplers 3. lov.
Som det ses kan 1/T
2
isoleres i hver ligning og dermed kan acceleration, radius og
konstanten k
c
sammenlignes. k
c
afhænger af centrallegemet, og er dermed varierende
alt efter hvilket centrallegeme der er tale om. Accelerationen kan derefter beskrives ud
fra radius og k
c
.
Accelerationen indgår i en anden sammenhæng, nemlig i Newtons 2. lov, hvor
accelerationen nu kan indsættes:
Her er F
c
den kraft som centrallegemet påvirker satellitten med. m
s
er massen af
satellitten. Denne ligning angiver centrallegemets, eller Jordens påvirkning af satellitten
månen. En tilsvarende ligning kan skrives om satellittens påvirkning af centrallegemet:
4
Kaare Lund Rasmussen og Torsten Meyer – ’Planeter’ – Munksgaards dimensioner – år 1998. Side 38-39,
kasse 2.1.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 8 af 28
Her er forskellen at kraft, masse og konstant er byttet rundt. F
s
er satellittens kraft på
centrallegemet, m
c
er massen af centrallegemet, og k
s
er en konstant afhængig af
satellitten. Nu er der altså to ligninger, en der angiver satellittens kraft, og en der
angiver centrallegemets. Ifølge Newtons 3. lov om aktion og reaktion, må disse to
kræfter være lige store, og kan derfor sættes lig med hinanden:
Herefter kan r
2
og 4π
2
gå ud med hinanden på begge sider af lighedstegnet ved at
forkorte brøkerne. Altså giver ligningen nu:
For at finde forholdet mellem henholdsvis konstant og masse af samme legeme isoleres
m
c
k
c
og m
s
k
s
nu ved:
Dette forhold mellem konstant og masse vil være det samme for alle legemer, ifølge
Newtons 3. lov (havde der fx været en måne mere, ville forholdet mellem den og Jorden
kunne stilles op på samme måde.) For igen at kunne sammenligne dette med F
s
eller F
c
,
omdefineres dette konstante forhold mellem konstant og masse til:
Her er G gravitationskonstanten. Denne omdefinering er måske ikke umiddelbar logisk,
men isoleres k
c
nu i ligningen fås:
Sættes denne definition nu ind i ligningen for F
c
fås den universelle gravitationslov:
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 9 af 28
Og hermed er loven bevist. Begrundelsen for at lade k
c
blive til produktet af m
c
og G
over 4π
2
er, er at 4π
2
går ud med hinanden, og man dermed får en universel konstant,
nemlig G. Som sagt er dette bevis kun et bevis for legemer der bevæger sig cirkulært om
et andet legeme, hvilket er en tilnærmelse af virkeligheden. Newton løste problemet
med ellipsen ved at indføre hvad vi i dag kender som integral- og differentialregning.
Selve beviset er ikke med her, men integral- og differentialregning i forbindelse med
planetbevægelser vil blive uddybet i afsnittet Planetbevægelser.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 10 af 28
Forsøg – Bestemmelse af gravitationskonstanten
Formålet med forsøget er at bestemme gravitationskonstanten G ved brug af en
snovægt. Dette gøres ved, overordnet set, at bruge en række fysiske sammenhænge til
matematisk at udregne gravitationskonstanten, hvilket jeg vil vise i databehandlingen.
Princippet ligger i de såkaldte torsionssvingninger (som vil blive forklaret yderligere).
Ved at udnytte at snoningen af en snor skaber en kraft der modvirker den kraft der har
været årsag til snoningen, kan man finde gravitationskonstante, når den kraft der har
skabt snoningen er massetiltrækningskraften.
Forsøgsbeskrivelse
Selve snovægtsapparatet består af en bronzesnor, der hænger lodret i et rør. I bunden
af røret er der til snoren fastsat en stang med 2 små bolde fastgjort i enderne, som vist
på skitsen nedenfor. Stangen er sat fast til snoren i sit midtpunkt og de 2 bolde har
samme masse, hvilket gør at stangen i stillestående position vil balancere vandret. På
grund af snoren vil stangen kunne dreje vandret om sit midtpunkt. Alt efter hvordan
stangen vil dreje sig, vil snoren blive snoet. Herefter er princippet i forsøget at påvirke
de to små bolde med to større bolde, der placeres tæt ved. På grund af
massetiltrækningen mellem de små og store bolde forventes det at de små bolde vil
nærme sig de store. Drejningsvinklen måles ved at fastspænde et spejl til snoren.
Derefter bruges en laser til at måle drejningen af snoren og stangen. Spejlets refleksion
af laseren vil flytte sig på væggen overfor forsøget, når snoren drejer sig.
(Skitse af snor og stang inden i snovægt.) (Billede af en snovægt.)
5
5
Billedkilde: http://www.physics.mq.edu.au/~dalew/AP8215.jpg
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 11 af 28
Fremgangsmåde
1. Opstilling og justering af forsøget. Forsøget er meget følsomt, da det er meget
vigtigt at snovægten ikke bliver påvirket af ydre kræfter. Selve forsøget er derfor
gennemført et sted, hvor der er mindst mulige forstyrrelser i form af fx gennemtræk
og rystelser. Der er endvidere brugt tid på omhyggeligt at justere og indstille
forsøget, så usikkerheden på det punkt skulle være så lille som mulig. For at undgå
at systemet (snor, stang og små bolde) bliver påvirket af forstyrrelser i luften er det
indkapslet i en plastikbeholder.
Under opstillingen er det vigtig at snovægten er parallel med målevæggen, og at det
er i vatter, dvs. at det ikke står skævt. Plastikindkapslingen omkring systemet er så
tæt på som muligt for at undgå luftforstyrrelser. Dette betyder imidlertid at man
også skal tage højde for at de små bolde ikke rammer plastikken under forsøget.
Dette løses ved at bringe systemet i ligevægtsposition omtrent i midten af disse to
kollisionspunkter. Dette gøres uden de store bolde, da de vil påvirke systemet.
2. Måling på forsøget. De store bolde placeres på snovægten og roteres således, at de
befinder sig så tæt på de små bolde som muligt – hvilken retning skulle teoretisk set
være ligegyldig for forsøget. Derefter vil systemet foretage et par svingninger, indtil
det falder til ro i en ny ligevægtsstilling. Dette punkt afmærkes på målevæggen
overfor. Derefter roteres de store bolde modsat før, så de står så tæt på de små
bolde som muligt, men i den modsatte side. Dette giver en ligeså stor, men
modsatrettet kraft på de små bolde, og de vil begynde at finde en ny
ligevægtsstilling. Lysprikkens position på væggen vil nu igen bevæge sig, og den
afmærkes nu hvert femtende sekund indtil der er gået 2 minutter, og derefter i et
interval på 1 minut de næste 43 minutter. De målte data kan derefter bruges til at
finde svingningsperioden på systemet.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 12 af 28
Data
Først afmåles de følgende afstande på forsøgsopstillingen, som vist her:
Skitsen af forsøget viser selve snovægten med store og små bolde, samt laser og væg til
måling af laser set ovenfra. De viste betegnelser er givet som:
S - Afstand mellem lysprikkerne på væggen i ligevægtspositioner.
s - Afstand mellem centrum af små bolde i deres ligevægtspositioner.
L - Afstand mellem forsøg og målevæg.
d - Afstand fra små bolde til rotationsaksen.
b - Afstand fra centrum af stor bold til den lille bolds nye ligevægtsposition.
Af disse er S, L og d målt, og afstanden fra den store kugles centrum til den lille kugles
oprindelige ligevægtsposition, hvilket er den samlede længde af b og s (b + s). De
resterende er ikke blevet målt, men bliver beregnet under afsnittet databehandling.
S er målt til 0,134 meter, L er målt til 5,389 meter, d er målt til 0,05 meter og b + s er
0,051 meter.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 13 af 28
De målte data af lysprikkens placering på målevæggen er desuden sat ind i et
overskueligt skema, hvor lysprikkens afstand fra det oprindelige - dvs. det første
ligevægtsstillingspunkt er sat sammen med den givne tid det blev målt (se bilag 1).
Skemaet herunder viser de værdier der er nødvendige for at udregne G. Værdierne s, b
og T er beregnede og ikke målt. Værdierne s og b er ikke målt fordi de kræver at man
fjerner plastikindkapslingen for at måle, hvilket ikke kan lade sig gøre.
Betegnelse
Definition
Afmålt værdi
[SI]
S
Afstand mellem lysprikkerne på væggen i
ligevægtspositioner.
0,134
Meter
s
Afstand mellem små bolde i deres ligevægtspositioner.
0,000622
Meter
L
Afstand mellem forsøg og målevæg.
5,389
Meter
d
Afstand fra små bolde til rotationsaksen.
0,05
Meter
b
Afstand fra centrum af stor bold til den lille bolds nye
ligevægtsposition.
0,050378
Meter
T
Svingningsperiode for pendulet
555
Sekunder
m
1
Gennemsnitsvægten af de to store bolde
1,489
kilogram
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 14 af 28
Teori og bestemmelse af gravitationskonstanten
De målte data i bilag 1 sat ind i en graf:
Her angiver x-aksen tid i minutter, og y-aksen afstanden fra det oprindelige punkt i cm.
Som det ses har svingningen af systemet været størst i starten, og derefter er udsvinget
aftagende. Det ses også at svingningen efterhånden som tiden går centrere sig mod et
nyt punkt, og ikke det oprindelige ligevægtspunkt.
Ud fra denne graf kan svingningsperioden T for systemet bestemmes. Da T er tiden det
tager lysprikken at bevæge sig fra sit ene yderpunk til det andet, kan T aflæses fra
grafen. For at få den mest sandsynlige svingningsperiode, tages den gennemsnitlige
svingningsperiode for lysprikken:
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 15 af 28
For at finde gravitationskonstanten ud fra den givne sammenhæng
Må man altså først kende de givne variable. For at finde disse, må man først kende deres
sammenhæng. For at finde den kraft der påvirker snoren i forsøget, må man eksempelvis
først finde ud af, hvor stor en drejning snoren foretager sig. Bestemmelsen af G er altså
en længere matematisk udregning.
Drejningsvinklen af snoren bruges til at finde den afstand de to bolde har flyttet sig fra
den oprindelige ligevægtsstilling til den nye, dvs. ’s’. Drejningsvinklen mellem disse to
punkter kaldes ’a’. Denne vinkel kan bestemmes ud fra laserens refleksion på spejlet, da
vinklen mellem laserens to lysprikker vil være den dobbelte af a netop pga.
refleksionen. Sammenhængen mellem drejningsvinkel og de målte afstande i forsøget
kan altså bruges til at beregne ’s’.
Den eneste ukendte i denne ligning er ’s’ som nu kan isoleres:
Her gøres den matematiske antagelse, at tangens til vinkel a er det samme som vinkel a.
Denne antagelse kan kun gøres ved meget små vinkler, hvilket også er grunden til at den
kan gøres her, da det netop er en meget lille vinkel der er tale om. Denne antagelse er
nødvendig at lave, da afstanden mellem de små bolde egentlig skal betragtes som et
cirkelstykke, da rotationen af stangen er cirkulær. På den måde vil det dog ikke give
ovenstående sammenhæng. Her er det desuden vigtigt at man fra forsøgets start har
justeret forsøget således at dets hvileposition uden påvirkning fra de store bolde er midt
imellem de to givne ligevægtsstillinger med de store bolde.
Da det er målt at afstanden b + s er lig 0,051 meter, kan b findes ved at trække s fra
denne afstand. Altså er b = 0,051 – 0,000622 = 0,050378 meter.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 16 af 28
Torsionssvingninger, svingningsperiode og inerti
Som sagt vil snoren dreje sig når de små bolde påvirkes af de store. Når systemet er i en
stillestående ligevægtsstilling, er de små kugler altså påvirket af de store kugler, men
også af en modsat kraft fra drejningen af snoren, der vil være lige så stor som kraften
fra de store kugler, da systemet står stille (se Newtons 1. lov).
F
kugler
= F
snor
Her er F
kugler
kraften fra de store kugler og F
snor
er kraften fra drejningen af snoren.
F
snor
er proportional med drejningsvinklen, og er givet ved ligningen
Her er a drejningsvinklen og D er en proportionalitetskonstant. D er afhængig af selve
snoren, fx længde og materiale snoren er lavet af - altså snorens fysiske egenskaber.
D findes ved at se på sammenhængen mellem et penduls svingningsperiode, dets
inertimoment og snoningskonstant. Denne sammenhæng er gældende ved små
udsvingninger:
T er svingningsperioden, som er bestemt ud fra de målte data i forsøget, og I er
pendulets inertimoment, dvs. de små bolde og stang imellem dem. I dette tilfælde
antages det at stangen mellem boldene er masseløs, altså at det kun er boldenes masse
der skal tages højde for. Her er inertimomentet for hver bold givet som produktet af
boldens masse og afstanden fra bolden ind til rotationsaksen, som i dette tilfælde er d.
Det samlede inertimoment er summen af de 2 boldes inerti:
Ud fra sammenhængen mellem svingningstiden T, inertimomentet I og D, kan D isoleres
og bestemmes.
Det samlede kraftmoment fra de store kugler på pendulet er givet ved
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 17 af 28
Da F
kugler
og F
snor
er lig hinanden, kan disse sammenlignes, og G kan bestemmes:
Denne værdi for G er nu fundet ud fra målinger af forsøget. Der skal dog tages højde
for, at hver af de små bolde ikke kun bliver tiltrukket af den store bold der er nær dem,
men også af den fjerne bold. Denne kraft er angivet som en procentdel af den nu målte
gravitationskonstant:
Teoretisk set beregnes den rigtige værdi for G ved at lægge denne procentdel til den
allerede beregnede kraft:
Sammenlignes dette resultat med tabelværdien for G, kan afvigelsesprocenten af den
beregnede værdi findes:
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 18 af 28
Måleusikkerhed og fejlkilder
Den primære fejlkilde var forsøgets følsomhed. Forsøget blev udført så isoleret fra
uvedkommende som muligt, for at undgå forstyrrelser. Alligevel kunne der ofte ses
rystelser på pendulet i forbindelse med at nogen gik forbi - og det kunne ses hvis nogen
gik ned af (beton)trappen der befandt sig over forsøgsopstillingen. Al bevægelse omkring
forsøget skulle altså foregå så stille som muligt for at undgå rystelser af pendulet. Selve
målingerne blev taget på et tidspunkt, hvor der var mindst mulig risiko for forstyrrelser
udefra. Det vil sige sidst på dagen, hvor folk var til time eller havde fået fri. Resultatet
af forsøget er dog helt klart påvirket af denne fejlkilde, da det ikke har været muligt at
tage tilstrækkelig højde for ydre påvirkning.
Havde der været mere tid kunne justeringen af forsøget også være blevet mere præcis,
da forsøgets ligevægtsposition uden store bolde på ikke blev præcist midt mellem
pendulets maksimale udsving, men kun tilnærmet. Desuden var aflæsningen af
laserprikken på væggen under målingerne af forsøget meget upræcis, da laserprikken
havde en diameter på omkring 2 cm.
Hernæst kommer de antagelser der er gjort omkring forsøget, det er fx antaget at de
store bolde er fuldstændig runde og at de vejer det samme, hvilket ikke passede.
Kuglerne var tydeligvis ikke helt runde, da de var mærkede og flad trykte flere stedet.
De blev desuden vejet, og det viste sig at de ikke vejede 1,5 kg hver, men vejede
omkring 10 g under. I udregningerne er der derfor taget den gennemsnitlige vægt af de
to store bolde.
Magnetisk og elektrisk spænding, samt temperaturændring vil desuden påvirke pendulet,
og magneter, computerskærme m.m. blev derfor holdt på afstand af forsøget.
Temperaturen anses for at være konstant under hele forsøget.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 19 af 28
Vurdering og konklusion
På baggrund af forsøgsresultaterne er gravitationskonstanten G beregnet til:
Denne værdi stemmer forholdsvis godt overens med tabelværdien for G, da der som sagt
er en afvigelsesprocent på 11%. Afvigelsesprocenten skyldes højest sandsynligt forsøgets
følsomhed og de nævnte allerede nævnte fejlkilder, hvis man overhovedet kan tale om
at der er en afvigelse af så stor størrelse. En fuldstændig sikker tabelværdi er nemlig
ikke bestemt for G, og værdien er derfor defineret som
G = (6,67428 ± 0,00067) * 10
-11
N m
2
kg
-2
Overensstemmelsen mellem teori og praksis er altså relativt god. Man kan desuden sige
at resultatets talværdi ikke er synderligt langt fra tabelværdien, da det er relativt små
værdier der er tale om. Skulle forsøget gentages vil der for at få mere præcise måledata
end i denne rapport altså skulle tages endnu større højde for de angivne fejlkilder.
Rystelser af pendulet fra bevægelser omkring forsøget var øjensynligt den største
fejlfaktor, hvilket der forholdsvist let kunne tages højde for ved at isolere forsøget
fuldstændigt for uvedkommende.
Det kan altså konkluderes at det er meget vigtigt at være meget omhyggelig med dette
forsøg for at få et præcist resultat for G.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 20 af 28
Planet og satellitbaner
En måde at anskue planetbaner på, er ved at se de kræfter der påvirker planeten. Disse
kræfter beskrives ofte som vektorer, hvor vektorpilens retning angiver kraftens retning,
og vektorens længde angiver kraftens størrelse. Tager man to-legeme systemet med
Jord og Måne som eksempel, kan man sige at månen rent faktisk falder mod Jorden.
Månen er altså påvirket af en gravitationskraft fra Jorden, men har samtidig en så stor
sidelæns rettet kraft, at den så at sige vil ’ramme forbi’ Jorden og fortsætte forbi.
Banen omkring Jorden er altså så at sige et uendeligt fald. Planetens bane, eller
uendelige fald, kan beskrives ud fra planetens sted, hastighed og acceleration. Da der
her indgår integral- og differentialregning kunne man først matematisk begynde at
beregne på planetbaner efter Newton, da han – som tidligere nævnt - ’opfandt’ denne
regnemetode.
Ser man på månens bane omkring Jorden kan man ud fra Månens placering bestemme
den hastighed og acceleration på givne tidspunkter. Har man fx observeret Månens
placering på himlen fra dag til dag, vil man ud fra disse punkter kunne bestemme
hastighed og acceleration. Månens placering kan angives i et koordinatsystem. Her vil
man normalt inden for planetbevægelser i solsystemet angive placeringen i forhold til
solen, og ikke i forhold til Jorden. Dette gøres ved at beskrive bevægelsen i to
dimensioner, og hvor der er angivet en afstand ’r’ og en retning ’Θ’ fra solen til den
givne placering af legemet, som i dette tilfælde er Månen. Retningen angives ved en
vinkel fra koordinatsystemets 1.akse og til legemets position, hvis det antages at solen
er i punktet (0,0). I et sådant koordinatsystem indtegner man månens placering fra dag
til dag, og kan derefter bestemme månens hastighed ved at differentiere kurven for de
givne punkter. Hastigheden er altså givet ved:
Hvor s er afstanden mellem to placeringer af månen målt efter hinanden, som igen er
givet ved . Hastigheden er altså den afstand månen bevæger sig per dag (da t
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 21 af 28
måles i dage). Igen er hastigheden ligesom placeringen bestemt fra punkt til punkt –
eller fra dag til dag kunne man også sige. Accelerationen findes ved samme
fremgangsmåde, på nær at det nu er hastighed og ikke stedet der differentieres:
Samlet kan man om differentialregning og bestemmelse af sted, hastighed og
acceleration sige, at intervallet er afgørende for, hvor præcist resultatet bliver. Har
man for eksempel to målinger for månens placering på den bane, vil det ikke give megen
mening at differentiere, da afstanden mellem de to punkter er givet som en lige linje,
og ikke som en kurve, som banen jo er. Har man tilpas lille interval mellem målingerne,
vil linjestykkerne mellem punkerne mere og mere ’forme’ planetens banekurve. Man
deler så at sige kurven op i mindre stykker, der derefter sammenlignes stykke for stykke,
og jo mindre stykker, jo mere præcis er differentieringen.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 22 af 28
Johannes Keplers love
Da Newton fremsatte sin universelle gravitationslov var det baseret på sine egne og
Keplers love. Keplers love er altså en del af det teoretiske grundlag for bestemmelsen
gravitationsloven. Kepler lavede ud fra empirisk data, som danskeren Tycho Brahe havde
observeret, sine 3 love om bevægelse i solsystemet:
Keplers 1. lov siger at en satellit bevæger sig i en elliptisk bane, med solen i sit ene
brændpunkt. Hvad brændpunkt og elliptisk bane er, vil blive forklaret i afsnittet
keglesnit og ellipser.
Keplers 2. lov siger at en linje mellem en satellit og solen vil markere det samme areal
over lige store tidsintervaller. Dette betyder i praksis at satellittens hastighed ikke vil
være konstant, men ændre sig alt efter, hvor satellitten befinder sig i sin bane. Den må
om nødvendigvis bevæge sig hurtigere, når den er tæt på solen for at markere det
samme areal som når den er langt fra den. At afstanden til solen varierer skyldes, at
banen er elliptisk).
Kepler 3. lov siger at kvadratet på satellittens omløbsperiode er proportional med
middelafstanden til et af brændpunkterne opløftet i tredje. Denne konstant gælder for
alle satellitter i solsystemet.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 23 af 28
Keglesnit og ellipser
Matematisk set kan en planetbane og andre genstandes bevægelser beskrives som et
keglesnit. Et keglesnit er et plant snit gennem en kegle, som vist nedenfor:
Her er det givne keglesnit cirkulært, men kan alt efter hvordan man snitter være en
hyperbel, en parabel eller en ellipse. Forudsætningerne for denne opgaves
beskrivelsesmetode er at keglen har en cirkulær grundflade, og at keglen akse er
vinkelret på grundfladen:
Aksevinklen er vinklen fra aksen og ud til keglens overflade, kaldet ’v’. Når man laver et
keglesnit vil man ud fra vinklen mellem dette snit og aksen, kaldet ’u’ kunne bestemme,
hvilken form keglesnittet vil have. Det gælder at:
Er u større eller lig med 0, men mindre end v, vil keglesnittet have form som en
hyperbel: 0° ≤ u < v : Hyperbel.
Er u lig med v er formen er parabel: u = v : Parabel.
Er u større end v, men mindre end 90 grader er formen en elipse: v < u < 90° : Elipse.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 24 af 28
Er u lig med 90 grader er formen en cirkel: u = 90° : Cirkel.
Da det ud fra Keplers 1. lov er givet at planetbaner er ellipseformede, vil man kunne
bruge keglesnittet for en ellipse til at beskrive planetens bane. En ellipse er defineret
som en mængde af punkter, hvis afstand til to givne punkter er konstant. Har man altså
de givne punkter p
1
og p
2
, vil et vilkårligt punkt på ellipsen p være:
|p
1
p| + |p
2
p| = 2a
Hvor |p
1
p| er afstanden fra p
1
til p, og |p
2
p| er afstanden fra p
2
til p. 2a er en konstant.
Disse punkter er de såkaldte brændpunkter, og ifølge Kepler vil det ene brændpunkt to
for en planetbane være i solens centrum. Ellipsens centrum ’C’ ligger midt på linjen
mellem disse to. Afstanden fra centrum ud gennem et af brændpunkterne til ellipsen
kaldes a. 2a kaldes ellipsens storakse, og er afstanden fra 2 punkter på ellipsen der
begge ligger på linjen gennem punkterne p
1
, C og p
2
. 2a er desuden givet i defineringen
af ellipsen. Ellipsens lilleakse er linjen der er ortogonal på storarksen og som går
gennem centrum:
Forholdet mellem længden |p
1
p
2
| og a kaldes ellipsens excentricitet ’e’ og er givet ved:
Ellipsens excentricitet er mellem 0 og 1, da brøken aldrig kan blive over 1. Ellipsens
excentricitet angiver, hvordan ellipsen ser ud. Er e = 0 vil ellipsen være en cirkel, og jo
tættere e kommer 1, jo mere deform vil ellipsen se ud i forhold til en cirkel:
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 25 af 28
Kender man a og b for en planets ellipseformede bane, kan man ved hjælp af ellipsens
ligning bestemme planetens bane. Ellipsens ligning
6
:
Denne ligning angiver, hvordan ellipsen vil se ud i et koordinatsystem, med x og y som 1.
og 2. koordinat. Ellipsens centrum vil have koordinaterne (0,0).
6
Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk – ’Vektorer, Geometri og Differentialregning’ –
Gyldendalske Boghandel – 1998 – Side 64, Sætning om ellipsens ligning.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 26 af 28
Konklusion
Newton definerede gravitationsloven ud fra sine 3 love, og ud fra Keplers 3 love.
Gravitationsloven er givet som denne sammenhæng:
F er tiltrækningskraften mellem 2 legemer, hvis masse er givet ved m
1
og m
2
. r er
afstanden mellem legemerne. Gravitationskonstanten G er en universel konstant og
gælder derfor for alle legemer. Et simplificeret bevis af gravitationsloven kan gøres ud
fra Månens bane om jorden.
Ved forsøg er G bestemt til:
Hvilket stemmer forholdsvis godt overens med tabelværdien for G. Afvigelsesprocenten
er på 11%, hvilket højst sandsynligt skyldes de beskrevne fejlkilder, som fx forsøgets
følsomhed overfor påvirkninger udefra. Forsøget kræver altså stor omhyggelighed,
hvilket tydeligt kan ses på de fundne resultater.
Planeters baner i rummet vil ifølge Keplers 1. lov være ellipseformede. Denne
ellipseformede bane kan beskrives som et keglesnit. Planeters bevægelse kan beskrives
ud fra den resulterende kraft på planeten. Hastighed og acceleration af planeten kan ud
fra planetens placering i givne tidspunkter findes ved differentiering.
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 27 af 28
Litteraturliste
Sorteret efter: Forfatter - Titel - Forlag eller trykkested - Udgivelsesår.
Litteratur
M. Møller Jørgensen, Fr. Nielsen og K. W. Norbøll – MEKANIK 2 for gymnasiet – P. Haase &
Søns Forlag – 1. oplag 1980.
George Gamon – Tyngdekraft – Gyldendals Kvantebøger – 1965.
Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk – Vektorer, Geometri og Differentialregning –
Gyldendals Boghandel – 1998.
Jørgen Nielsen – Mekanisk fysik og varmelære – Erhvervsskolernes Forlag – 1996.
Helge Kastrup – Big Bang – Munksgaards Dimensioner – 1992.
Esper Fogh og Knud Erik Nielsen – Fysik For 3.G – Silkeborg Bogtrykkeri – 1996.
Finn Elvekjær og Børge Degn Nielsen – Fysikkens Verden 2, Mekanik, Bølger, Atom- og
kernefysik – Gjellerup & Gad – 1989.
Kaare Lund Rasmussen og Torsten Meyer – Planeter – Munksgaards Dimensioner – 1998.
Forsøgsbeskrivelse:
Leybold – Diretions for Use: Gravitation torsion Balance 33210 – 1965. (Bilag 2)
Websider
www.fys.ku.dk/~jmv/f12proj/Cavendish.doc
http://en.wikipedia.org/wiki/Orbit
http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant
http://da.wikipedia.org/wiki/Gravitation
http://www.physics.mq.edu.au/~dalew/AP8215.jpg
PDF-filer
http://baltzersen.info/files/cavendish.pdf
http://www.nhn.ou.edu/~johnson/Education/Juniorlab/Cavendish/Cavendish_Leybold_Old.
pdf
3Y – [navn fjernet]
SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation
Side 28 af 28
Bilag
Bilag 1
Tid målt i minutter
Placering målt i cm
0
0
0.25
0.9
0.5
1.4
0.75
2.5
1
3.8
1.25
5.3
1.5
7.1
1.75
9.1
2
11
3
19.1
4
24.1
5
24.5
6
20.6
7
14.8
8
9.6
9
7.2
10
8
11
11.4
12
15.4
13
18.4
14
18.6
15
17.2
16
14.6
17
11.7
18
9.6
19
10
20
11.4
21
13.7
22
15.4
23
16.5
24
16.1
25
14.4
26
13
27
12