MATEMATIK A/ FILOSOFI B
SRP
2
ABSTRACT
The concept of infinity
This study investigates the concept of infinity in different perceptions during eras. The concept of infinity has
been a perennial source of mathematical and philosophical wonder. The ancient Greeks were uncomfortable
with the concept in contemplation of Zeno’s paradoxes, especially Achilleus and Tortious paradox. Aristotle
was the first thinker who attempted to define infinity, however, he distinguishes between potential and actual
infinity but also insisted that potential infinity alone is enough for mathematics. Subsequently, the potential
infinity was an integrated section of mathematics until Cantorian set theory. In late 18
th
century a German
mathematician named Georg Cantor accomplishes some revolutionary work with infinite sets. Cantor’s most
remarkable achievement was to show, in a mathematically rigorous way, that the concept of infinity could be
countable and non-countable. Not all infinite sets are the same size, and accordingly, some infinite sets can be
compared with one another. Cantor’s revolutionary work was not at all accepted of all mathematicians in his
time, meanwhile a number of logical and philosophical paradoxes stem from the Cantorian se theory, many of
which were discovered or considered in Bertrand Russell’s work. Nevertheless Cantor’s theories received a lot
of attention, due the visualization of his ideas by David Hilbert.
3
INDHOLDSFORTEGNELSE
ABSTRACT ................................................................................................................................. 2
INDLEDNING .............................................................................................................................. 5
UDVIKLING AF BEGREBET UENDELIGHED ................................................................................. 7
AKTUELT OG POTENTIELT UENDELIGHED ....................................................................................... 7
MÆNGDELÆRENS FADER – GEORG CANTOR ............................................................................ 9
MÆNGDEBEGREBET ........................................................................................................................10
MÆNGDEN N DE NATURLIGE TAL .................................................................................................. 10
MÆNGDEN Z DE HELE TAL ............................................................................................................... 11
MÆNGDEN Q DE RATIONALE TAL .................................................................................................. 11
MÆNGDEN R DE REELLE TAL .......................................................................................................... 11
DE IRRATIONALE TAL ............................................................................................................................ 11
DELMÆNGDER OG ÆGTE DELMÆNGDER .......................................................................................... 12
KARDINALITET ........................................................................................................................................ 12
AFBILDNING ............................................................................................................................................. 13
ARITMETISK KONSTRUKTION AF DE REELLE TAL .................................................................. 14
MATEMATISK AFKLARING AF ZENONS PARADOKS .......................................................................15
PARADOKSET OM ACHILLEUS OG SKILDPADDEN ..........................................................................15
BESTEMMELSE AF SUMMEN AF EN KVOTIENTRÆKKE ..................................................................15
AFKLARING AF ZENONS PARADOKS VED BRUG AF KVOTIENTRÆKKEN .......................................16
OM TÆLLELIGE MÆNGDER OG IKKE TÆLLELIGE MÆNGDER ................................................. 17
DE RATIONALE TALS TÆLLELIGHED ..............................................................................................19
DE REELLE TALS OVERTÆLLELIGHED, ANDEN DIAGONALMETODE .............................................20
ER DE IRRATIONALE TAL NON—DENUMERABLE ? .......................................................................22
POTENSMÆNGDE .............................................................................................................................23
ALFERNE – DE TRANSFINITE TAL ..................................................................................................24
HILBERTS HOTEL .............................................................................................................................26
KONTINUUMS HYPOTESEN ( CH) ..................................................................................................28
BETYDNING AF UENDELIGHEDSBEGREB I MATEMATISK OG FILOSOFISKE FORSTAND .......... 28
MÆNGDELÆRENS PARADOKSER ............................................................................................ 31
SRP
4
CANTORS FILOSOFISKE TANKER OM UENDELIGHEDSBEGREBET ........................................... 32
AKSIOMATISERING ..........................................................................................................................33
KONKLUSION .......................................................................................................................... 34
LITTERATURLISTE: ................................................................................................................ 35
KILDEKRITISK ..................................................................................................................................37
BILAG 01 ................................................................................................................................ 38
BILAG 02 ................................................................................................................................ 38
5
INDLEDNING
Homo sapiens
1
– det tænkende menneske- har altid undret sig over spørgsmålene om universets
dannelse, udvikling, livets opståen og ende. Har universet altid eksisteret? Og vil det fortsætte med at eksistere
i evigt? Er verdensrummet begrænset eller udstrækker det sig i evige tid? Kan man finde en udeleligt
materielt element? Eller kan vi fortsætte med at dele det uendelige? Hvad forstår vi ved uendelighedsbegreb?
Vi bruger det ofte i udtryk som ” der er uendelig mange riskorn på en rismark ”. Denne sætning bliver
accepteret korrekt hos de fleste, selvom mange kan afgøre korrekthed af den, kun ved brug af vores logiske
sans. Vi ved at det er teknisk muligt at bestemme antallet af riskornene på den bestemte rismark. Vi kommer
bare til at få et utroligt stort tal.
Antikkens matematikere og filosofere har prøvet at undgå problemer med uendelige processer. Da
uendelighedsbegreb, apeiron
2
- er ødelæggende for deres verdensopfattelse, og det vigtigste for dem var at
finde kosmos i tingene. Eksempelvis Pythagoræerne
3
, og deres verdensopfattelse var baseret på bittesmå
udelelige enheder med en meget lille udstrækning. Disse enheder kunne naturligvis tælles, hvis man altså
kunne se dem. Denne religiøse broderskab kommer med udsagnet ”Alt er tal”. Efterhånden som grækerne gik
dybere og dybere ind i deres teorier, indså de, at deres talsystem ikke kunne beskrive alt, blandt andet fordi det
kun bestod af hele tal og brøker.
I geometrien prøvet Euklid at undgå uendelighedsbegrebet i hans lærebøger- Euklids elementer-
allerede i definitionen af en ret linje prøver han at undgå uendeligheden
4
, hvor han i postulat 2 formulerer, at
en begrænset ret linje kan forlænges i ret linje uden forbrydelse.
5
Altså at linjestykker kan forlænges vilkårligt,
uden at blive uendeligt lange. Aristoteles er den første grækere, der analyserede begrebet uendelighed. Hans
løsning på problemet var, at forkaste eksistensen af uendeligt rum udenfor himmelkuglen, der er ingenting. Og
dels at opfatte det uendelige som noget potentielt.
6
Flere af matematikere var enige med Aristoteles indtil ca.
1850-60, men efter den tid sker der en drejning, således at Cantors mængdeteori kommer på banen, og et
flertal nu tror på det aktuelt uendelige. Denne opgave vil netop ligge fokus på cantorske mængdelære.
I første del af min opgave vil jeg give en forhistorie af uendelighedsbegrebets udvikling, hvor jeg
kort redegør for Parmenides og Zenons argumenter for bevægelses umulighed. Herunder bliver der forklaret
med eksempler, hvad aktuelt og potentielt uendelighed er for noget. Dels ved at kigge på Aristoteles’
argumenter og dels på dens påvirkning på eftertidens matematikere, heriblandt bliver fokuseret lagt på Galilei
1
Latinske navnord for menneske, betyder ” Det vidende menneske”.
2
Apeiron, det græske begreb for uendelig, det indeholder kaos i sin betydning
3
Pythagoræerne var en broderskab omkring 6. århundrede f.v.t stiftet af filosoffen Pythagoras, de
beskæftigeret sig med matematik, musikteori.
4
(7), Side 93
5
Side 54, Q.E.D
6
(6), side 1.37
SRP
6
Galileo, Carl Fredrich Gauss og Bernhard Bolzano, hvor der bliver kigget på deres tilgang og bevisførelse for
uendelighed.
I anden del af opgaven, bliver fokusset lagt på Cantors mængdelære. Til at begynde med defineres
og forklares begreber som mængdebegrebet, talmængder, afbildning, delmænger og kardinalitet, før vi kan
være i stand til at kaste os ind i Cantors denumerabel og non-numerabel mængder. Efterfølgende vil Achilleus
og skildpadden paradoks blive løst ved hjælp af uendelig kvotientrækker. Dernæst vil vi bevæge os hen til
denumerabel og non-numerabel mængder, hvor jeg vil anvende Cantors første og anden- diagonalmetode til
delvis at bevise dem. Ikke desto mindre, komme ind på det transfinite tal- alef og herindunder komme ind på
uendeligheds illustration af Hilbert med hans såkaldte Hilberts hotel. Bagefter snakke om potensmængder, og
afslutningsvis vil jeg præsentere Cantors kontinuumhypotese.
I tredje del af opgaven, vil der blive diskuteret om Cantors mængdelæres betydning for
uendelighedsbegrebet i matematisk og filosofiske forstand. Herunder bliver der blandt andet gjort rede for en
af mængdelærens paradokser- den såkaldte Russells paradoks. Derudover vil der blive diskuteret om Cantors
filosofiske tanker om det forandrede uendelighedsbegreb. Til sidst vil jeg komme kort ind på Hilberts løsning
til at redde mængdelæren fra de grusomme paradokser, hvor jeg blandt andet kommer ind på den såkaldte
Hilberts program.
Jeg har i øvrigt valgt at placere de fleste af mine figurer ind i opgaven i stedet for bilag, da det er
mere relevant at have dem ind i de passende steder end at henvise dem i bilaget.
7
UDVIKLING AF BEGREBET UENDELIGHED
Det var oldtidens græske matematikere, der bragte uendelighedsbegrebet ind i matematikkens verden, og det
var oldgræske filosoffer, der bragte det ind i filosofien. Det var naturligvis filosofferne, der begyndte med at
rode sig ind i det uhåndgribelige begreb, apeiron. Dette begreb har været truende for de fleste grækere. Elea
var en græske koloni i Syditaliens vestkyst og den var center for en filosofiske skole, der stod i opposition til
pythagoræerne
7
. En af lærerne på skolen var Parmenides ( ca. 525 – 450 f.Kr.), som er kendt for at have
indført det mest almindelig begreb, som væren i det filosofiske diskurs. Han opdelte verden i det værende og
det ikke værende.
8
Det værende var det uforanderlig og evig, og enhver ændring af det værende måtte ske fra
det ikke værende, det er jo simpelthen umuligt, da ikke-værende jo ikke er. Derfor måtte det værende altid
eksistere, og samtidig være uforanderlig. Da dette er i modstrid med de ting vi observere med vores sanser,
slutter Parmenides at sanseverdenen er en ren illusion. Parmenides’ tese blev stærkt forsvaret af hans elev
Zenon.
Zenon havde til formål at vise bevægelsens umulighed og det gjorde han ved en række argumenter,
som sidenhen er blevet til paradokser. Den mest kendte af paradokserne for bevægelsens umulighed kendes
som Achilleus og Skildpadden. Hvor Zenon argumenteret med at Achilleus aldrig vil kunne overhale
skildpadden, for at nå frem til skildpadden måtte Achilleus igennem en uendelig proces.
9
(Se side 15-16 )
Denne klassiske paradoks har haft en stor betydning for udvikling af det matematiske uendelighedsbegreb.
AKTUELT OG POTENTIELT UENDELIGHED
Aristoteles (384-322 f.Kr.) er den første filosof, der for alvor tog fat i uendeligheds problemet
10
, hvor han
skelnede mellem aktuelt og potentielt uendelighed. Aristoteles mente, at der ikke fandtes noget legeme som i
realiteten er uendeligt, altså at uendelighed skulle have sin egen eksistens i den virkelig verden.
11
Det behøves
ikke nødvendigvis være noget vi kan føle; men kunne f.eks. være tid og linjer. Aristoteles forkaster
uendelighed som noget aktuelt, f.eks. det er potentielt muligt at universet altid eksistere, altså at det bliver
uendeligt gammelt, men det er ikke uendelig gammelt på noget tidspunkt, og derfor må det aktuelle afvises.
Derimod er uendelighed en mulighed: F.eks. processen at tælle. Mængden af naturlige tal er potentielt
uendelig da der ikke er noget største tal, men denne mængde er ikke aktuelt uendelig da mængden ikke findes
som en afsluttet ting.
12
Lad mig med et eksempel illustrere forskellen mellem potentielt uendelighed og aktuelt uendelighed:
7
(5): side 1.19
8
(7): Side 86
9
(7): Side 86
10
(5): side 1.36
11
(7): Side 87
12
(7): Side 87
SRP
8
Et linje stykke EF kan halveres og man får et nyt punkt G, og derved fremkommer to nye punkter EG og GF,
som hver for sig kan halveres :
G
E H I F
I figur 1.1 kan man se, at vi har fået fire linjestykker: og man kan blive
ved man at halvere dem hver for sig i uendelig små dele. Man kan sige, at der opstår:
n
,
for hver gang man halvere linjestykket. Linjestykkerne kan stadig halveres og er derfor: 2, 3, 5, 9, 17, 33,…
2
n
+ 1 ..
Der er nu to muligheder, den ene at man fremstiller nye punkter på linjestykket , altså at der opstår flere
punkter men på intet tidspunkt vil der være flere end endeligt mange punkter. Man kan sige med andre ord, at
der opstår et antal punkter som ikke kan tælles, dvs. at antallet af punkter er potentielt uendeligt. Den anden
mulighed er, at man på forhånd ser på linjestykket som en mængde af eksisterende punkter. Linjestykket er
som en punktmængde, og punkterne ville man kunne finde nogle af efterhånden. Denne opfattelse bliver kaldt
for aktuelt uendelighed.
13
Aristoteles’ opfattelse af det uendelige, som potentielt bliver fremherskende opfattelse blandt
matematikkerne, men der var få matematikere som prøvet at give et andet svar for uendelige processer.
Fra omkring år 1638 bliver problemet med linjestykke genopstået af renæssancens store
matematikkere og fysikere Galileo Galilei
14
. Han stiller blot et spørgsmål om to linjestykker af forskellige
længde indeholder flere punkter end det korteste. For at kunne løse dette problem ser han på tallenes verden.
Han påstod, at der lige så mange kvadrattal, som der er naturlige tal. Til ethvert kvadrattal svarer et helt,
positivt tal, nemlig dets kvadratrod, og til ethvert helt, positivt tal svarer et kvadrattal, nemlig dets kvadrat.
Han argumenteret nemlig med sammenparring,
15
dvs. man lader det første element i den ene følge svare til det
første element i den anden følge, og sådan kan man fortsætte :
altså en enentydige afbildning f: N K, hvor f(n) = n
2
16
13
(6): Side 5-6
14
(1): side 145-146
15
(1): side 145-146
16
(6): side: 9
Figur: 1.1
9
Galilei forfulgt denne tankegang videre således: at blandt tallene fra 1 til 100 findes der 10
kvadrattal, altså er
af disse tal kvadrattal, og desuden er kun
af tallene op til 10 000 kvadrattal og kun
af tallene op til 1000 000, og så videre. Galilei udtalt sig omhyggeligt at hvis tallene er uendeligt, så må
der være ligeså mange kvadrattal som der er tal. Heraf besluttet han, at mennesket ikke er i stand til at
sammenligne samlinger af uendelig mange ting ved sammenparring, og man ikke kan anvende begreber
såsom; lige så mange som, flere end eller færre end på uendelige mængder
17
.
Matematikkens fyrste – Carl Fredrich Gauss () hævdet at i matematikken, er det kun
potentielle uendelig tilladt, eftersom han mente at uendelige størrelse, som noget tilendebragt ikke kan give
mening i den matematiske verden, tværtimod er uendelighed blot en talemåde.
18
En af de få fra Gauss’
samtidige matematiker, der havde anerkendt eksistensen af det aktuelt uendelighed, var den tjekkiske teolog,
filosof og matematikker Bernhard Bolzano (). Han var hovedsagligt beskæftigede med
integralregning og differentialregning, men samtidig var han optaget af begrebet kontinuitet. I løbet af hans
levetid havde han ikke udtalt sig om uendelige mængder, men først efter hans død udgiver en af hans venner
hans bog Paradoxien des Uendlichen i 1851, hvori han tager afstand fra Galiles definition om at to uendelige
mængder indeholder samme antal elementer, hvis man kan lave en enetydelig afbildning af den ene på den
anden. Men derimod mente han, at hvis man har to linjestykker med forskellige længder, ville den længste af
linjestykke indeholde flere punkter end den længste
19
. Det lykkedes ham desuden ikke at give et nærmere svar
på uendelighedsbegrebet, men mon ikke han har inspireret Georg Cantor.
20
Galiles definition på, at to uendelige mængder har samme element, kommer til at få et kæmpe
betydning 250 år senere for mængdelærens fader – Georg Cantor, som ændret for alvor Aristoteles traditionen
i matematikken.
MÆNGDELÆRENS FADER – GEORG CANTOR
Georg Cantor er en tyske matematikere, som er født i 1845 i Skt. Petersborg og døde i Halle i 1918. Georg
Cantor er grundlægger af den klassiske mængdelære. Han beskæftiget sig specielt med uendelig mængder, og
han brugte hele sit liv på at finde de usædvanlige mysterier, som var gemt bag begrebet uendelighed. Det
lykkedes ham i høj grad at give en dybere analyse af det, som andre matematikere havde taget alt for givet.
Han præsenterede begreber som kardinalitet af en mængde, og for deres mægtigheder gav han et kardinaltal
17
(1): Side 146
18
(1): Side 146
19
(1): Side 146
20
Der siges at Cantor og hans kollega Richard Dedekind havde kendskab til Balzano’s bog (Jf.
Torkild Heiede)
SRP
10
eller også et såkaldte transfinite tal, ikke desto mindre fandt han flere grader af uendelighed. Hvilke jeg i
følgende afsnit vil undersøge nærmere. Cantor så på uendelighed, som noget aktuelt, altså noget som forgår i
tid og er til i tid. Denne tanke gik imod mange af tidens matematikere, de syntes at det var noget vrøvl.
Cantor havde et stort kendskab til filosofi og teologi, dette kendskab benyttet han både implicit og
eksplicit i sine matematiske værker. I dag finder man ikke dette kendskab hos mange matematikere, og heller
ikke fra Cantors samtidige matematikere, dog ikke så stort omfang. Det betyder ikke at Cantor var en stor
filosof eller teolog, men det betyder at han var i stand til at løse eksistensproblemer ved at henvise til Guds
tankeverden, som vil vendes tilbage til ved passende lejlighed. Til at begynde med, blev Cantors mængdelærer
absolut ikke accepteret af alle, som ofte sker i tilfælde med nyt viden. Men flere af yngre matematikere
begyndte med at benytte sig af mængdelærens begreber og betegnelser i deres arbejde, og fleste af dem
arbejdede endda videre på den. Da mængdelæren fra midten af 1890’erne bliver mere og mere anerkendt, så
deltog Cantor mindre og mindre. Efter år 1900 blev Cantor hyppigere syg, og døde i nerveklinikken i 1918.
Ifølge E. T. Bells
21
er grunden til mange af Cantors psykiske sammenbrud, var angrebene fra hans tidligere
lærer Leopold Kronecker, som betragtede cantorske mængdelære som et farligt eksempel på matematisk
vanvid.
Inden vi berører Cantors mængdeteorier ville jeg give et kort overblik over selve mængdebegrebet, og forklare
nogle barsele begreber og metoder, for at vi kan være i stand til at forstå hans ideer.
MÆNGDEBEGREBET
Ved en mængde forstås en samling af forskellige objekter. Objekterne i en mængde bliver kaldt for elementer.
Man betegner en mængde med stort latinske bogstave og elementerne med små. F.eks.: , dette kan læses
som b er et element i mængden B, eller hvis b ikke tilhører mængden B, skriver man: .
22
Herunder
bliver der gjort kort rede for tal mængderne. Man skal være opmærksom på at symbolerne for talmængder
( ) er af nyere dato.
23
MÆNGDEN N DE NATURLIGE TAL
Man betegner mængden af de naturlige tal med N og kan skrives N
at
opskrive en mængde på denne måde kaldes en listeform. I dette tilfælde taler man om en ufuldstændig
21
Forfatteren til bogen Matematikkens Mænd
22
(2): side 11
23
(1): side 157
11
listeform. Man kan ikke opskrive alle de naturlige tal, da vi har uendelige mange af dem, det vil tage uendelig
lang tid. Man markere det med prikker, for at vise at tallene fortsætter i det uendelige.
24
MÆNGDEN Z DE HELE TAL
Man betegner de hele tal med Z
hele tal er en udvidelse af de
naturlige tal. Dette indebærer blandt andet, at de naturlige tal er en delmængde af hele tal, idet ethvert naturligt
tal også kan betragtes som et helt tal. Da der er hele tal, som ikke er naturlige tal, siges at de naturlige tal er en
ægte delmængde af de hele tal. Dette skriver man som : N Z
25
MÆNGDEN Q DE RATIONALE TAL
Med bogstavet Q betegner man mængden af alle brøker, dvs. tal med en nævner og tæller,
, a og b skal
være hele tal, undtagen 0 - da man ikke kan dividere med tallet 0. De rationale tals mængdenotation er
defineret således: Q
Før den lodrette streg skriver man hvilken form
mængdens elementer kan skrives på eller hvilke grundmængde der er tale om. Man skriver et udsagn efter den
lodrette streg, der bekriver de elementer som er med i mængden. I dette tilfælde består rationale tal af
mængden af alle brøker, hvorom det gælder at tælleren tilhører mængden , og nævneren tilhører
mængden dvs. alle hele tal undtagen tallet 0. De rationale tal er en udvidelse af de hele tal, der gælder altså:
N Z Q
26
MÆNGDEN R DE REELLE TAL
De reelle tal skrives enten som en endelig decimalbrøk eller uendelig decimalbrøk, altså:
I dette tilfælde er q et heltal, og er decimalerne fra 0-9 cifrene.
Mængden af de tal, som er i reelle tal, men ikke i de rationale tal, for de irrationale tal, som jeg vil præsentere
senere i opgaven. Man kan sige at de reelle tal kan deles op i to disjunkte mængder: de rationale tal og de
irrationale tal, dvs. de har ikke noget element til fælles.
27
DE IRRATIONALE TAL
24
Wiki: Naturlig tal
25
Wiki: Hele tal
26
Wiki: de rationale tal
27
Wiki: de reelle tal
SRP
12
Som nævnt overfor kan irrationale tal være reelle tal, men ikke rationale tal. Et eksempel på irrationale tal kan
være tallet
28
og kvadratroden af kvadratrod 2 er lig
. De irrationale tal kan være transcendent eller algebraisk.
29
Et eksempel på
transcendent tal er eller , et transcendent tal kan heller ikke være et rod i noget polynomium. Hvorimod de
algebraisk tal er rod i et polynomium med rationale koefficienter. Kvadratroden af 2 er et eksempel på
algebraisk tal, og der findes uendeligt mange algebraisk tal, men dog er mængden af dem tællelige som
betyder at mængden af algebraiske tal ikke er større end f.eks. naturlige tal eller de rationale tal.
30
DELMÆNGDER OG ÆGTE DELMÆNGDER
Hvis man har to mængder, mængde A og mængde B. Hvis alle elementerne i A også er elementer i B. Altså
hvis , siger man at A er en delmængde af B, skriver vi . Denne relation mellem
mængderne bliver kaldt for inklusion og man benytter sig af den såkaldte inklusionstegn: .
31
Hvis A er en delmængde af B, men A ikke er identisk med B,
siger man at A er en ægte delmængde af B, for at vise det skriver
man: .
KARDINALITET
Begrebet kardinalitet skal forstås som mægtighed i en mængde, dvs. en mængdes kardinalitet er et mål for
antallet af elementer i en given mængde. Man har to tilgangsvinkler til kardinalitet. Den ene er en direkte
sammenligning af mængder ved brug af bijektioner, injektioner og surjektioner ( se under afsnit - afbildning)
og den anden ved at benytte kardinaltal.
32
For eksempel: En mængde
har
kardinaliteten 10. En anden mængde
har ligeledes Kardinaliteten 10 og
man kan konkludere at mængderne A og B er ækvipotente – de har samme kardinalitet.
28
En japanske forsker har i 2009 regnet alle ’s cifre ud ved hjælp af en supercomputer, det tog
computeren 73 timer til at udføre beregning og cifrene er på 2000 milliarder!!
29
Wiki: De irrationale tal
30
Wiki: De algebraisk tal
31
(2) : side 15
32
Wiki : Kardinalitet
A
B
Figur: 2.1
13
AFBILDNING
To mængder A og B gælder, at der til ethvert element på en entydig måde er knyttet et element ,
siger man, at der foreligger en afbildning af A ind i B eller, især hvis b er en talmængde, en funktion fra A til
B; A kaldes afbildningens definitionsmængde og B dens dispositionsmængde
33
. En afbildning betegnes typisk
med en et lille bogstav, og at f er en afbildning af A ind i B skrives således:
, en afbildning kan forekomme på tre måder; injektiv, surjektiv og bijektiv.
a) Injektiv, hvis der for alle elementer
1
2
A gælder:
1
2
) =>
1
2
b) Surjektiv, hvis der til ethvert findes mindst et med
c) Bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv
34
33
(2): side 29
34
(11): Side 1
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
A B
a
1
a
2
a
3
a
4
b
1
b
2
b
3
A B
a
1
a
2
a
3
a
4
b
1
b
2
b
3
b
4
A B
Figur: 2.2
Injektiv afbildning
Figur: 2.3
Surjektiv afbildning
SRP
14
Man siger, at f er en bijektion afbildning, og skrives
som:
Denne afbildning afbilder således ethvert element i A til et
og kun et element i B, og omvendt. Dvs. alle elementerne i
A og B er med i afbildningen. Som er illustreret i figur 2.4.
ARITMETISK KONSTRUKTION AF DE REELLE TAL
I årene omkring 1869 bliver Cantor ansat som privatdocent i Halle. Cantor bliver ansporet af Heine, som er
professor i universitetet til at løse nogle af konvergensforhold af trigonometriske rækker, altså rækker af
formlen:
35
, for at kunne
løse nogle af problemerne med trigonometriske række havde han brug for nye begreber og betegnelsesmåder,
specielt for at kunne illustrere beliggenhed af punkter på tallinjen. I denne forbindelse begynder han at
overveje, hvad et reelt tal er for en størrelse. I denne periode var der bl.a. andre matematikere som Richard
Dedekind (), der prøvet at analysere de rationale tal. Dedekind ville ordne de rationale tal efter
størrelse ved hjælp fra det han kaldte for snit i de rationale tal.. Lad mig her, så kort som det er muligt gentage
tankegangen i det Dedekinske Snit
36
. Snittet frembringer to klasser af tal A.1 og A.2, der er uendelige,
disjunkte (se under afbildning), og tilsammen udgør . Tallene i A.1 er mindre end tallene i A. 2 og tallene i
A. 2 er derfor større end tallene i A. 1
37
. Spørgsmålet er; hvor er det tal t, hvor snittet foretages er et irrationalt
tal? Dette spørgsmål vendes tilbage til under diskussion afsnittet.
Cantor brugte den såkaldte fundamentalfølger også kaldt Cauchy-følger
38
, en følge a
1
, a
2
,a
3
,a
4
,
a
n
…. af rationale tal, hvis elementer i sidste ende ville ligge vilkårligt tæt ved hinanden, hvis denne følge ikke
konvergeret, altså hvis den ikke nærmeret sig mod et rationale tal så fik han ideen om at knytte det med et
irrationale tal, som dens grænseværdi. Og til de funamentalfølger som lå vilkårligt tæt ved hinanden, knyttede
han det samme irrationale tal.
35
(1): Side 148
36
(1): side 149
37
(3): Side 87
38
Har fået navnet fra sin opfinder, den franske matematiker Augustus-Louis- Cauchy (1789-
1857)
Figur: 2.4
Bijektiv afbildning
15
MATEMATISK AFKLARING AF ZENONS PARADOKS
Cantor forholdte sig kritisk til Zenons paradoks ” Achilleus og skildpadden”. Zenons teori om at Achilleus
aldrig vil nå frem til skildpadden, altså at han vil komme uendelig tæt på den men aldrig nå op på siden af
skildpadden, dette argument modbeviser Cantor fuldstændigt. Ifølge Cantor vil en uendelige decimalbrøk der
konvergerer, altså når den nærmere sig, imod et tal, der vil have samme egenskab som grænseværdien af
tallet.
39
PARADOKSET OM ACHILLEUS OG SKILDPADDEN
Den oldgræske helt Achilleus skal løbe om kap med en skildpadde. Achilleus løber med en fart på 10 m/s og
skildpadden med 0,1 m/s. Da Achilleus er antikkens hurtigste løber får skildpadden et forspring på 100 meter
Derefter begynder Achilleus at løbe, og efter 10 sekunder når han de 100 meter, i mellem tiden er skildpadden
kravlet 10 meter længere. Han løber de 10 meter på 0,01 sekunder, men i mellemtiden har skildpadden kravlet
1 meter længere frem. Han løber den ene meter, men i mellemtiden har skildpadden kravlet 0,1 meter frem.
Således vil helten Achilleus aldrig være i stand til at overhale skildpadden, faktisk vil han komme uendelige
tæt på den uden at kunne overhale den.
40
Han skal nemlig bruge:
sekunder og summen af disse uendelige mange tal er uendelig stor.
Zenons paradoks kan afklares, da paradokset egentlig beskriver en kvotientrække. Det specielle ved
kvotientrækker er, at summen af en uendelig række under visse forudsætninger kan tillægges en endelig værdi.
Den generelle kvotientrække ser således ud:
39
Wiki: Georg Cantor
40
(7): side 86
SRP
16
BESTEMMELSE AF SUMMEN AF EN KVOTIENTRÆKKE
Vi bestemmer summen af en generel kvotientrække med kvotienten d, der har formen:
Idet benytter vi sumtegnet
og det matematiske uendelig symbol ovenpå sumtegnet, hvor a og d er givne
reelle tal.
Vi summerer de N første led i rækken under summen S
N
, derved fremkommer det N’te afsnit i rækken:
1)
Vi multiplicere med d, dvs. vi ganger med d og vi får:
2)
Derefter subtraheres (2) fra (1), altså S
N
trækkes fra
:
S
N
=>
=>
=>
Når N vokser uendeligt og
, vil summen af kvotientrækken bestemmes som følgende:
Kvotientrækken er konvergent med summen S, altså den vil nærme sig summen, når
41
,
42
for
AFKLARING AF ZENONS PARADOKS VED BRUG AF KVOTIENTRÆKKEN
Nu kan vi regne på den uendelig række, der opstod ved Zenons paradoks. Vi fik den uendelig række:
Den er en uendelig kvotientrække med a= 10 og
Nu kan vi regne summen ud, ved at bruge formlen for kvotientrækkens:
41
(7): Side 89
42
(9): side 24
17
Vi sætter værdierne for a og d ind på formlen, og regner summen ud:
Vi har nu regnet, at Achilleus vil indhente skildpadden efter
sekunder.
OM TÆLLELIGE MÆNGDER OG IKKE TÆLLELIGE MÆNGDER
Cantor bruger begreberne tællelighed og overtællelighed
43
(el. Ikke-tællelighed) til at bestemme, hvorvidt det
er muligt at opstille elementerne i en uendelig mængde. Han kommer med definitionen, at en mængde er
tællelig eller numerable, hvis elementerne i mængden kan sammenparres enentydigt med naturlige tal
44
, altså
hvis elementerne i mængden kan opstilles i en følge, dvs. hvis tallene kan nummereres i en rækkefølge.
Mængden af naturlige tal, for eksempel, er tællelig, da man teoretisk kan liste alle mængdens elementer i en
uendelighed, så at hvert element få sin egen plads i rækkefølgen. Man kan lave en bijektiv afbildning af de
naturlige tal med naturlige tal:
Galilies tanke fra 1638 kan vi formulere således:
Kvadrattallene er en numerabel mængde. Dette gælder både de
ulige og lige tal samt primatallene, for vi kan opstille hver af dem
i en følge, men de har ikke samme antal elementer, som de
naturlige tal:
Hermed har vi vist
43
Tællelig mængder bliver også kaldt numerable eller denumberable, og overtællelig mængder
bliver kaldt for nondenumerabel
44
(1): side 150
1
2
3
1
2
3
Naturlige tal Kvadrattallene
Figur: 2.6
Bijektiv afbildning af
2
Figur: 2.5
Bijektiv afbildning
af
SRP
18
at enhver delmængde af de naturlige tal er en uendelige numerabel mængde
Men hvad med mængden af hele tal? Dette spørgsmål, kan man nemt svare ud fra definition af en tællelig
mængde: mængden af de negative hele tal kan opstilles i en følge:
Og denne følge kan man flette sammen med følgen af de naturlige tal med tallet 0 forrest:
45
Hermed har vi bevist, at de hele tal er numerable
46
.
Man kan altså lave en bijektive afbildning , som kan defineres ved :
,
47
Hvis vi vælger et hele tal større end 0, dette kan være 2, så bliver værdien 2 indsat i
Hvis vi vælger et negativ hele tal, dette kan være -2, så bliver værdien indsat i
Afbildningen illustreres af figuren:
….
På figur 2.7 kan man se at for hvert de negativ hele tal og positive hele tal er der en tilsvarende
naturlige tal, og hermed har vi opstillet de hele tal efter størrelse.
45
(1): Side 150
46
(1): Side 150
47
(11): Side 3
Figur: 2.7
19
DE RATIONALE TALS TÆLLELIGHED
Argumentet for de rationale tals tællelighed er lidt komplekst. Da de rationale tal ligger så ”tæt” på tallinjen
modsat de hele tal, at uanset hvilke to rationale tal, vi vælger, kan vi finde et ”nyt” rationalt tal. Hvis vi f.eks.
tager
og
, vil tallet midt imellem være
- det er jo også en brøk. Og vi kan så igen finde tallet, der ligger
midt mellem f.eks.
og
, nemlig
. Og sådan kunne vi blive ved.
Cantor fandt et system, hvor man opstiller alle de positive rationale tal i en tabel. Udover den ene akse
placeres tællerens tal , og ud af den anden akse placeres nævnerens tal . Lad os tegne et skema
over alle de positive rationale tal, som findes i dette skema:
Man kan finde hvert af dem - endda flere gange, bare i forlænget udgave f.eks. 3/3 optræder som 6/6 osv. For
at undgå gentagelserne får Cantor en idé om at gennemløbe skemaet langs diagonaler, som illustreres i
skemaet (Se Bilag 02. figur 1.0), og ved hjælp fra den springer man de brøker over, som man allerede har
været igennem.
Denne fremgangsmåde bliver kaldt for Cantors første diagonalmetode
48
, og med hjælp fra denne metode kan
man opstille de rationale tal i en følge:
Nu kan man tilføje de negative rationale tal på samme måde og derefter kan man sammenparre dem med de
naturlige tal , hvor vi har 0 allerforrest:
48
(1): Side 151
Figur: 3.1
Positive rationale tal
SRP
20
49
Hermed har vi bevist de rationale tals tællelighed, og de er ikke opstillet efter størrelse, men det var heller ikke
påkrævet i vores definition af tællelighed.
På figur 3.2 kan man få et overblik over,
hvordan hvert tal fra mængden af de naturlige
tal kan sammenparres med et rational tal.
Hvis man kunne anbringe enhver uendelige mængde i en følge,
havde alt dette været rimelig banalt. Men i 1891 opdager Cantor noget banebrydende: at mængden af de reelle
tal ikke er numerabel, altså de ikke tælles og man heller ikke anbringe dem i en følge.
DE REELLE TALS OVERTÆLLELIGHED, ANDEN DIAGONALMETODE
Sætning : De reelle tal er ikke tællelig.
For at vise at de reelle tal er non-numerable, så skal vi vise at vi ikke kan anbringe de reelle tal som en følge.
Vi vil argumentere for sætningen ved et indirekte bevis . Princippet i dette er, at man antager at det modsatte
er sandt og beviser, at det ikke passer ved at finde en modstrid
50
. I dette tilfælde antager vi, at de reelle tal kan
nummereres i en rækkefølge, som får alle reelle tal med. Derefter vil vi vise, at denne antagelse fører til en
modstrid. Altså at vores antagelse er forkert, og dermed er sætningen sandt.
Vi starter med at antage at de reelle tal er numerabel, derfor må enhver delmængde af de reelle tal være
numerabel. Jeg forstiller mig altså, at der rent faktisk kan fortages en bijektive afbildning af
.
Og at vi derved kan opstille dem i en størrelsesorden, der gør det muligt at tælle alle tal for
. Hvis vi
vælger en delmængde af de reelle tal, der kan skrives som en uendelige decimalbrøker med 0 foran kommaet
og alle cifre enten 5 eller 4, og derfor må tallet som :
Også være numerabel.
49
(1): side 151
50
Wiki : Bevis (matematik)
Figur: 3.2
Bijektiv afbildning af
21
Vi kalder denne delmængde af de reelle tal for A. Vi antager at mængden A er numerabel – tallene i
kan
opstilles i en rækkefølge. De første tal i rækkefølgen kunne være disse:
….
osv.
Hvis
kan stilles i rækkefølge, vil alle dens elementer kunne findes et eller andet sted i rækkefølgen. Nu
kan vi argumentere for at dette ikke er tilfældet ved at konstruerer et tal a fra
, som med garanti ikke kan
findes i rækkefølgen.
Vi starter med at se på det første decimal i a
1
:
…., den første decimal i
denne følge er 4 og vi udskifter den med tallet 5.
I den næste følge udskifter vi anden decimal:
, den anden decimal i
denne følge er 5 og den bliver udskiftet med tallet 4.
I den tredje decimalbrøk bliver den tredje decimal udskiftet:
, så vi får
tallet 4. Således fortsætter vi.. De rødfarvet tal i opskrivningen viser de cifre, hvor vi vælger det modsatte af i
tallet a. Da disse tal følger diagonalerne i talskemaet, har denne bevis fået navnet: Cantor anden
diagonalbevis.
51
….
osv.
De første fire cifre i tallet a vil være:
5
Vi begyndte med at antage at talfølgen kunne indeholde alle tal af mængden A, og vi har nu vist at vi kan
konstruerer et tal, som ikke optræder i følgen, så er antagelsen forkert. Her har vi en modstrid! Og derved har
vi bevist, at de reelle tal ikke kan opstilles i en følge.
52
.
53
51
(1): Side 153
52
(1): Side 152
53
(5): Side 4.33-4.37
SRP
22
ER DE IRRATIONALE TAL NON—DENUMERABLE ?
De irrationale tal er ikke-tællelige: de kan ikke opstilles i en rækkefølge. For hvis det lod sig gøre, kunne
denne følgen flettes sammen i den følge, som de rationale tal blev stillet overfor, men det viste sig at dette
ikke var muligt, og ud fra det kan vi konkludere, at ligeledes er de irrationale tal non-denumerable.
I figur 4.1 kan man se nogle af de reelle tal på tallinjen, men mægtigheden af den er så stor at vi ikke engang er
I stand til at tælle de reelle tal, der ligger mellem intvallet 1 til 0, og dette beviste vi med med Cantors anden
diagonalmetode.
-3 -2 -1 0 1 2 3
Figur: 4.1
Reelle tal på tallinje
𝜋
Figur: 4.2
Injektiv afbildning
23
N Z Q
R Dette læses: de naturlige tal er en ægte delmængde
af de hele tal, som er en ægte delmængde af de rationale tal, som er en ægte delmængde af de reelle
tal.
POTENSMÆNGDE
Efter at Cantor havde vist de naturlige tals mægtighed og reelle tals mægtighed (eller
kontinuitet) , undrede han sig over om der fandtes mængder der havde større mægtighed end
de reelle tals. I en foredrag i 1981, hvori han offentliggjorte sin anden diagonalmetode, viste
han at en ændring af den kunne bruges til at vise at enhver mængde er mængden af dens
delmængde af større mægtighed. Dette er indlysende med de endelige mængder: hvis vi har en
mængde med to elementer n og m, så har denne mængde fire delmængder, altså:
Og hvis vi har S som en mængde med tre elementer bestående af n, m og o, så har denne
mængde otte delmængder:
Naturlige tal
0 1 2 3
Hele tal
-1
-2
-3
Rationale tal
1/2
- 2/3
2,25
Algebraiske tal
Reelle tal
Transcen
dent
Irrationale
De reelle tals Venn diagram
Figur: 4.3
SRP
24
Således kan man fortsætte. Det viser sig, at en mængde med n elementer har 2
n
delmængder,
hvilket betyder at potensmængden af en mængde har større kardinalitet end mængden selv.
54
Altså, for enhver uendelige mængde havde dens potensmængde en endnu højere kardinalitet.
Lad os se på et par eksempler: Vi kan starte med mængde af de naturlige tal:
Nu havde man pludselig fundet mængder, der havde større kardinalitet end de reelle tal. Dette
viste at der er ingen ende på de uendelige mægtigheder, man havde simpelthen uendelige
mange af dem, og således kunne man blive ved. Mængden af delmængder af en vilkårlig
uendelig mængde er selv en mængde, og mængden af denne mængdes delmængder har endnu
højere mægtighed, osv.
ALFERNE – DE TRANSFINITE TAL
Ved at lave en enentydigt sammenparring med de naturlige tal, altså hvis der kan laves en bijektive afbildning,
kunne man bestemme mængdens tællelighed, eller denumerable, men nu ville han sætte størrelser på
mægtigheden af en mængde. Cantor anvendte den hebraiske alfabet alef ( til at beskrive de uendelige
kardinaliteter. Som betegnelse for kardinaltallet for mængden benyttet Cantor sig af
0
. Alef-nul blev brugt
til alle denumerable mængder, herunder de naturlige tal, de hele tal og de rationale tal. For de non-
denumerable, f.eks. de reelle tal brugte han
55
. For disse transfinite tal skabte Cantor en helt ny algebra,
med regneregler som addition, multiplikation, potensopløftning.
For enhver vilkårlig naturlig tal, gælder følgende:
Mængden af de hele tal er denumerabel, dette beskrives som:
Produkt af de tællelige mængder:
54
(1). Side 155
55
Mængden af de reelle tal (kontinuum) har samme størrelse som P(N) – potensmængden.
Mængde:
……….
(størrelse):
0
<
<
2
<
25
Figuren 4.2
56
skal læses nedefra og op, det skal give et billede af mængdernes rækkefølge, mange af de
betegnelser som f.eks. ordinaltal og tallet omega () har jeg ikke været ind på i denne opgave, men hvis vi
kort skal berøre dem, så bruges ordinaltal til at fortælle os om placering af en ordnet liste; første, anden og
tredje osv.
56
Er en gengivelse af figuren i (14) på side 157
, den tomme mængde
Der er ingen mængde nedenunder .
Antallet af mængder herunder er
65.536.
Antallet af herunder har
20.000 cifre
Mængderne herunder er alle
transfinite.
0
Første ordinaltal, og alef-nul
( Mængden af )
Den første kardinal som
k
(tallet er så stor at
man at man har brug for noget stort at sige hvor stort det
egentlig er)
den første kardinal indledes med uendelige
mange kardinaler
1
, den første uendelige kardinal, og den første non-
numerabel ordinaltal ( Mængden R)
0
, det er betegnelse for den sidste ordental
Man kan ikke bruge ZF-
aksiom til at bevise
eksistensen af mængder
herunder
Meget aktuel forskning i mængdelære er i
berørte med at udforske nye aksiomer, der
beskæftiger sig med kardinaler, der ligger
her.
Figur: 4.2
Cantors Mængdelære
SRP
26
HILBERTS HOTEL
Den tyske matematikere David Hilbert () var en stor beundrer af Cantors mængdelære. I en af sine
forelæsninger prøvet han at illustrere mængdelæren til sine studerende. Dette gjorde han ved, at fortælle dem
om en magiske hotel, som sidenhen har fået navnet Hilberts Hotel. Det magiske ved hotellet er at den har
uendelige mange værelser, og alle værelserne kan nummeres med de naturlige tal:
…
Selvom hvis Hilberts Hotel er fyldt, så er der alligevel plads til flere gæster, og alle gæsterne har naturligvis
enkeltværelse. Vi forstiller os at alle hotellets værelser er fyldt, og vi ser på hvordan receptionisterne kan løse
de problemer der kan opstå, når der kommer flere gæster til hotellet.
En dag kommer en mand til det fyldte hotel, og han ønsker at overnatte. På hotellet tager Receptionen det
roligt og beder gæsten i værelse nr. 1 om ar flytte sig til værelse nr. 2, gæsten i værelse nr. 2 til at rykke sig i
værelse nr. 3, gæsten i værelse nr. 3 om at flytte sig til
værelse nr. 4, altså gæsten i værelse nr. n om at flytte sig
til værelse n + 1 osv. Efter at alle er flyttet, kan manden
flytte ind i nr. 1. Receptionens arbejdsmetode kan
matematisk skrives ved bijektiv afbildning: , hvor
Dette beviser, at:
Til det fyldte hotel, kommer der et brudepar med deres 21 gæster. For receptionisten er der ikke et stort
problem. Han benytter sig af bijektiv afbildning: , hvor
Altså han beder gæsten i værelse nr. n om at flytte sig til værelse med nr. n+ 23, derved kan de 23 nye gæster
flytte ind i hotellet.
Dette beviser igen, at:
Efter en måned er der en uendelig kø foran hotellet. Udenfor hotellet står uendelig mange gæster, de vil alle
gerne have et værelse. Intet problem for receptionen, han beder alle gamle gæster om at flytte til det værelse,
der har det dobbelte nummer. Den tilhørende bijektiv afbildning er:
, på denne måde bliver alle
værelse med ulige numre ledig , altså numrene: , hvor n = 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Et år senere rammer finanskrisen hotellet, og derved mister de alle deres uendelig mange kunder. Hotellet er
ved at gå konkurs, men en dag begynder økonomien ar gå fremad. Uden for hotellet står 7 køer med uendelig
mange forretningsmænd i hvert af dem, de ønsker alle et værelse. Nu er det op til de fornuftige receptionister,
Figur: 5.1
Kilde: http://www.mathcs.org/
27
at finde løsning til problemet. Løsning bliver at den første forretningsmand fra kø nr. 1 anbringes på værelse
nr. 1, hvor de næste 7 værelser bliver sprunget over. Den næste forretningsmand fra kø nr. 1 bliver anbragt på
værelse nr. 8, derefter springes 7 værelser igen, så den tredje forretningsmand fra kø nr. 1 får værelse nr. 15
osv.
Forretningsmænd i kø nr. 2 får værelserne:
således fortsættes, og forretningsmænd i den sidste kø kommer til at få værelserne:
Året efter er der inflation og mange bliver arbejdsløse, og hotellet er tomt, men en dag bliver økonomien
stabilt. Pludselig ankommer uendelig mange køer, hver med uendelig mange familier. Kan vi få plads til
dem alle?
Ja, det kan de fornuftige receptionister. De giver personerne i kø nr. 1 værelserne med ulige numre:
(1)
familien i kø nr. 2 får det dobbelte værelse nr. end (1), således:
(2)
familien i kø nr. 3 får de værelser, der fremkommer når man ganger (2) med 2:
(3)
familien i kø nr. 4 får de værelser, der fremkommer, når 2 ganges med (3):
(4)
Og således kan man fortsætte.
57
,
58
Der er derfor altid plads til uendelige mange gæster i Hilberts Hotel, så længe de uendelige mange gæster er
en tællelig uendelig mængde. Hvis der pludselig kommer en mængde af overtællelige gæster så ville der ikke
være plads til dem på dette hotel, da man ikke kan lave en bijektiv afbildning af og det viste vi
under de reelle tals overtælleligheds afsnit, at det er umuligt!
57
(6): Side 9-11
58
(8): Side 108-111
SRP
28
KONTINUUMS HYPOTESEN ( CH)
59
Af de forgående afsnit har vi bevist at
, at de reelle tal har en større mægtighed end de naturlige tal.
Vi kan beskrive dette med de transfinite alef ved at skrive:
Cantors kontinuumshypotese går ud på, at der ikke findes en mængde M, så , altså at de naturlige
tal skal være en ægte delmængde af
og
skal være en ægte delmængde af de reelle tal.
Man kan skrive dette med de transfinite alef, idet kardinaltallet af de naturlige tal er
0
og kardinaltallet af de
reelle tal er
, kan kontinuumhypotesen
60
formuleres:
0
61
Hvis dette kunne afkræftes måtte
være lig
1
. Cantor kunne hverken vise eller modbevise denne
hypotese. Det meste af tiden troede han på den, men af og til troede han på det modsatte, og ind i mellem
troede han at han havde bevist den, nogle gange at han havde modbevist den. Det skulle vise sig at blive et af
de mest problematiske matematiske spørgsmål nogensinde. I 1900 holdt David Hilbert et foredrag i Paris, hvor
han redegjorte treogtyve mest alvorlige problemer for den moderne matematik, som det første af disse
problemer stillet han spørgsmålet vedrørende kontinuums hypotese
62
. En slags afklaring fik man først efter
Cantors død, da Kurt Gödel
63
i 1938 viste, at kontinuumhypotese ikke strider imod aksiomerne
64
i det Zermelo
-Fraenkel opstillede aksiomsystem for mængdelæren ( Se evt. side 33 ). Den næste store gennembrud kom i
1963 da Paul Cohen viste, at kontinuumshypotesens negation ikke strider mod det Zermelo- Fraenkel
aksiomsystem
65
. Gödel nåede bl.a. frem til, at kontinuumhypotesen hverken kan bevises eller modbevises med
Zermelo-Fraenkels aksiomer og udvalgsaksiomet. Kontinuumshypotesen er en såkaldte ufuldstændigheds-
sætning
66
, som hverken kan bevises eller modbevises.
67
BETYDNING AF UENDELIGHEDSBEGREB I MATEMATISK OG
FILOSOFISKE FORSTAND
”Ingen skal uddrive os af det paradis, som Cantor har skabt os”
59
Ofte forkortet CH fra det engelske Continuum hupothesis
60
Da de reelle tal repræsentere et linæret kontinuum, kaldes denne hypotese derfor for
Kontinuumhypotese
61
(1) 158-159
62
(13) side 48
63
Østrigske logikker matematikere (1906 – 1976)
64
Et aksiom, eller et postulat, er kort fortalt et udsagn, som antages at være ”sandt”, og derfor
kan/skal et aksioms gyldighed ikke bevises. Ud fra aksiom beviser man andre sætninger.
65
(5) side 4.130
66
Gödel Kurt’s udfuldstændighedssætninger: Et modsætningsfrit matematisk system er
ufuldstændigt, dvs. det er muligt at finde udsagn, som hverken kan bevises eller modbevises.
67
(13) side 50-51
29
- David Hilbert
68
Georg Cantors teoretiske arbejde inden for uendelige størrelser er i dag en integreret del af matematikken. Han
indførte en ny måde at betragte det uendelige på i matematikken, men det har viste sig at vi er stødt på visse
paradokser, visse tilsyneladende modsigelser, som ville have opmuntrede Zenon fra Elea. Cantors
revolutionerende opdagelse af at der findes flere grader af uendelighed har sat sit eget præg på vores moderne
matematik, se evt. figurerne 4.3 og 4.2 , de vil give en fornemmelse af hvordan Cantors mægtigheder
forholder sig indbyrdes til hinanden. Det laveste størrelse som han kaldte for tællelige (denumerable)
uendelighed, og højere niveauer for overtællelige (non-denumerable) uendeligheder. Det naturlige tal er et
eksempel på en denumerabel uendelig mængde, og de reelle tal er et eksempel på en non-numerabel uendelig
mængde. Med Cantors anden diagonalmetode er det blevet klart at uendelige mængder er af forskellige
størrelser. Ved hjælp af Cantors transfinite tal har vi fået muligheden for at kalkulere med uendeligheder, vi
kan pludselig fortælle hvor uendeligt noget er. Han konstrueret et helt nyt begreb, alef. Alef bliver opfattet
som et slags tal. Det er et tal, som har fået sin helt specielle regneregler – regneregler som går imod
fundamentale regler for de naturlige tal. Tager vi et vilkårlig tal 2: gælder følgende vilkårlige regler:
Subtraherer vi 2 fra 2 så er resultatet nul. Multiplicere vi tallet 2 med sig selv er resultatet 2 i anden potens.
Dividere vi 2 med sig selv er resultatet en. Derimod er regnereglerne for alef helt forskellige. Subtraherer vi
fra , så er resultatet ikke nul, men. Multiplicere vi med sig selv bliver resultatet ikke i anden potens
men blot . Hvis vi dividere med så får vi ikke et, men derimod .
69
Hvordan kan vi være i stand til at
trække uendelighed fra en uendelighed og resultatet bliver uendelighed? Hvis man nu har uendelige tællelige
mange skriftelige afleveringer for, og bruger delvis lang tid på at skrive dem. Det vil vise sig i sidste ende, at
man stadig har uendelige mange skriftelige afleveringer tilbage. Vi har alle svært ved at forholde os til
eksistensen af uendelighed i vores omgivelser. Bare tanken om at mængden af de naturlige tal er en uendelige
tællelige mængde, så tænker vi straks på at der må være en sidste tal i denne mængden i dette vi opfatter
begrebet tællelig, som en proces der kan fortsættes og har en ende. Vores hjerne har ikke altid nemt ved
godtage ideen om uendelige tællelige og ikke tællelige mængder. Det gør ikke teorien mindre håndgribelig.
Et andet eksempel som illustreret problemerne knyttet til aktuelt uendeligheds eksistens er den berømte
Hilberts Hotel. ( Se side 23-24). Til trods for at det absurd, bliver vi tvunget til at slukke for vores indbygget
realitetssans, og acceptere ideen om at der findes dette uendelige hotel med uendelige mange værelser. Dette
hotel må strække sig udover hele universet, så dukker et nyt spørgsmål frem, er vores univers så uendelig? På
den anden side må den ”sidste” værelse på Hilberts hotel være ledige, hvis der skal være plads til de nye
gæster.
Cantor mente selv, at han havde bevist eksistensen af aktuelt uendelighed ved hjælp af de irrationale
68
(4): Side 461
69
(3): side 80
SRP
30
tal, i dette han mente at tallene refereret til punkter. Han var punktualist ligesom Dedekind, der siges at han
begik den punktualistiske fejl
70
. Lad os kigge kort på begrebet punkt. Selve begrebet punkt er en ret
problematisk og har bragt modstridende betydninger i både filosofien og matematikken. Begrebet punkt kan
dels forstås som en ontologiske størrelse og dels non-ontologisk størrelse. Ontologisk størrelse i den forstand
at punkterne repræsentere en del af et linjestykke og derfor må punkterne have en udstrækning, ellers ville
linjestykket ikke eksistere.
71
For at se at begrebet punkt ikke udgør dele af et linjestykke: lad os antage vi har
et linjestykke A- B. Halvdelen af dette er rød og halvdelen af det er grøn og dette linjestykke har et punkt t
som midtpunkt. Ethvert punkt venstre for t er rød mens ethvert punkt til højre for t er grøn. spørgsmål er, hvor
ender det røde og det grønne i linjestykket? Svaret er, og må udelukkende være, at det er i t. Men nu kommer
det afgørende spørgsmål, hvilke farve har punktet t? Da t er et punkt i linjestykket, må den enten være rød
eller grøn. hvis vi antager at den er rød, så er den røde del af linjestykke større end det grønne.- da det er det
halvdelen plus punktet t. Men hvis vi antager at den er grøn så er den grønne del af linjestykke større end det
røde. Konklusionen må være at en punkt på en linjestykke må udelukkende være en del af linjestykket.
72
Enten må punkterne betragtes som en matematisk størrelse, dvs. som udstrakte punkter og derfor kan de ikke
være punkter på en linje. Hvis man begynder at tale om at der eksisterer tre, seks eller uendelig mange
udstrakte non-ontologiske punkter, er dette et kategorifejl, altså de to udtryk tilhører forskellige kategorier, og
derfor kan man ikke sammenblande dem. Eller punkter betragtet som ontologiske punkter i hvilke tilfælde at
de kan deles i det uendelige. Cantors teorier medførte for mange absurditeter. F.eks. hævdede at en uendelig
lang linje indeholdt uendelig mange punkter, der kunne parres med punkterne på et stykke af linjen, lige
meget hvor kort dette stykke end må være. Man må sige at argumentet for eksistensen af aktuelle uendelighed
hviler først og fremmest på opfattelsen af at tallenes funktion referer til punkter, eftersom der er uendelige
mange naturlige tal og endnu flere reelle tal, ergo må punkterne også være uendelig mange.
Cantors argumenter for den aktuelle uendelighed blev ikke anerkendt af mange, men accepteret
af nogle. Matematikere som Gauss og Kronecker kunne kun acceptere potentielle uendelighed, og for Cantors
aktuelle uendelighed var der kun barske ord, ikke mindst fra Kronecker.
Leopold Kronecker var imod hele ideen med at matematikken skulle have sin egen eksistens
uafhængig af os mennesker, og at vi blot støder på matematikkens evige sandheder ved vor rejse gennem livet
på samme måde som en tur gennem en by, hvor vi støder på utallige mange gader, som ikke var en del af
vores plan. Hvorimod, for Kronecker var matematikken en rent menneskelig opfindelse, som han havde
udtrykt i sin berømte sætning: ” Gud skabte heltallene og alt andet er menneskets værk”
73
Det ville have
70
(3): side 90-92
71
(3): Side 92-93
72
(3): side 65
73
Wiki: Kronecker
31
opmuntrede Kronecker, hvis han havde levede indtil mængdelærens paradoksers opståen. Som vil blive
forklaret herunder.
MÆNGDELÆRENS PARADOKSER
Nu skal vi omtale mængdelærens paradokser eller dens antinomier
74
, som de også bliver kaldt. Den berømte
engelske filosof og matematiker Bertrand Russel () opstillet flere paradokser ved mængdelæren
75
.
Jeg vil nævne den ene af dem, som har fået navnet efter dets skaber ”Russels paradoks”. I 1908 havde Russel
sendt sit berømte paradoks: ”Mængden af alle elementer, som ikke er et element af sig selv” til den berømte
logikker Gotltob Frege, som havde samtidig gjorte sig mange tanker om mængdelæren,
76
men på baggrund af
opgavens begrænset omfang, får vi ikke muligheden for at snakke om Frege. Men lad os snakke om den
paradoksale udsagn- mængden af alle mængder, som ikke er et element af sig selv. Vi har defineret en mængde
ud fra en betingelse. F.eks. mængden af alle lakridser har betingelsen at man skal være en lakrids for at være
en element i mængden. En lidt mere matematisk eksempel kunne være mængden af alle retvinklet trekanter
eller mængden af alle lommeregner. Nu betragter vi mængden af alle mængder, betegnelsen for at være et
element i denne mængde er at man er en mængde. Denne mængde må være en element i sig selv, da den selv
er en mængde. Så mængden af vores retvinklet trekanter må være et retvinklet trekant selv. Derimod er f.eks.
mængden af alle lommeregner ikke en lommeregner. Mængderne bliver altså inddelt i dem som er element i
sig og dem som ikke er et element i sig selv. Men hvad med dem mængden af alle mængder der ikke er et
element i sig selv? Lad os kalde mængden af alle elementer for D, betegnelsen for, at man er et element i D, er
altså, at man ikke skal være et element i sig selv, dvs. :
. Men er mængden D et element i sig
selv? Hvis vi antager at:
a) D er et element i sig selv: dvs. D kan ikke være et element i sig selv pga. betegnelse for at være et element
i D.
b) D er et element i sig selv: dvs. den opfylder betingelsen for at være et element i D, og er derfor et element
i sig selv.
Vi har modstrid i begge vores antagelser og heri ligger paradokset. Man er i stand til at forme sådan et
dæmonisk udtryk der på en måde forekommer at være legitimt, men alligevel må vi afvise det. Selv
skaberen af paradokset- Russell- kunne bruge flere timer på at løse problemet uden held.
77
Man har hidtil
ikke fået afklaret denne paradoks.
74
To udsagn, der begge er logisk gyldige, men samtidig modsiger de hinanden.
75
(1): side 159-160
76
(10): Side 105
77
(10): Side 106
SRP
32
CANTORS FILOSOFISKE TANKER OM UENDELIGHEDSBEGREBET
“I entertain no doubts that as the truth of the transfinites, which I have recognized with God’s help
and which, in their diversity, I have studied for more than twenty years; every year and almost every
day brings me further to this sciences”
78
- Georg Cantor
Som skaberen af mængdelæren burde han jo føle sig slået helt ud af alle mængdelærens paradokser, men det
gjorde han ikke. I offentligheden udtalt Cantor sig aldrig om paradokserne, men i sine breve til Hilbert og
Dedekind havde han udtalt sig om paradokserne. Han nævner, at han ikke følte sig enormt ramt af
paradoksernes opdagelse, da han havde taget højde for dem, måske allerede fra 1883
79
. Cantor tilhørte
platonismens
80
retning. Han var platoniker i den forstand at han troede på sine ideers og begrebers reelle
eksistens på en betingelse, hvis de er modsigelsesfrit. Han mente f.eks. at et matematisk begreb, som alef,
eksisterer i vores verden, blot det er modsigelsesfrit.
81
Det gælder specielt hans opfattelse af det uendelig,
som var i strid med den opfattelse, som mange samtidige matematikere havde, også selvom de ikke var
ligeså benhårde som Kronecker. De fleste af modtanderne til Cantors mængdelære sad på en stor del af
magten og gjorde alt hvad de kunne for at krakelere hans naive mængdelære. Derfor var enhver form for
erkendelse og støtte velkommen hos Cantor, blot man viste villighed til at diskutere problemet. De fleste
katolske teologer og filosoffer havde tilsvarende ideer, men alligevel var de ikke altid enige med Cantor. Det
gælder først og fremmest om en professor i religionsfilosofi Constantin Gutbertlet. I 1878 udgiver Gutbertlet
en bog med titlen Das Unendliche metaphysisch und mathematisch betrachtet, hvor han gik ind for
eksistensen af aktuelt uendelige, som mængder og metafysisk, mens han havde afvist eksistensen af de
transfinite tal. Hele hans verdensopfattelse var opbygget af hans teori, han så sig selv som guds profet, der
havde fået til opgave at videreføre uendelighedsteorier til sine medmennesker.
82
Til de matematikere og
filosoffer, der var imod hans brug af uendelige tal gav han svaret, at det er let nok at bevise, at de uendelige
tal er umulige, hvis man på forhånd kræver at de skal give en endelige tals egenskaber!
83
Cantor havde ikke
afvist det potentielle uendelighed, men for ham var det potentielle uendelige i realiteten en ubestemt
foranderlig endelig størrelse, og dets realitet var kun sikret, fordi det altid henviser sig til et aktuelt uendeligt,
men det er det, der gør det muligt. Det aktuelt uendelighed delte han i det transfinite og det absolutte. Det
78
(1) Side 147
79
(5): Side 4.96-4.98
80
Tilhængder af Platon ( ca. 428-348) dualisme - ideernes verden-> det gode idé
81
(5) Side 4.99
82
(20) BBC dokumentar
83
(5): side 4.100
33
transfinite, som går ud over det endelige, men dog stadig kan håndteres af mennesker. I modsætning hertil er
det absolut uendelige ufattelig for den menneskelige tanke, og kun Gud kan overskue det.
84
AKSIOMATISERING
I forbindelse med Cantors opbygning af mængdelæren var dukket nogle paradokser op, som rejste tvivl om
pålideligheden af visse dele af matematikken og dermed dens grundlag. Jeg har i denne opgave kun valgt at
nævne Hilberts hotel og Russells paradoks, men det var blot to af en række paradokser, der havde deres
oprindelse i den naive mængdelære
85
. Der opstod derfor et ønske om at udvikle et deduktiv system
86
for hele
matematikken på et sundt og sikkert grundlag. Så det ikke var muligt at skabe flere paradokser. Flere
matematikere gik i gang med give deres forslag på en løsning til problemet, heriblandt David Hilbert.
87
David Hilbert var en af Cantors mængdelæres varme tilhænger, og han havde et stort respekt for Cantors
definition af uendelige mængder. Han beskrev mængdelære som et ”paradis”, og ingen havde lov til at skabe
kaos i paradiset. Cantors paradis var måske ikke helt fejlfrit, derfor skyndte Hilbert sig at gå i gang med
såkaldte Hilberts program. Kort fortalt, skulle programmet sikre matematikkens grundlag ved hjælp af
aksiomer. Han bliver hovedmanden bag den såkaldte formalisme, som er en retning der havde til formål at
matematikken skal formaliseres og aksiomatiseres, og konsistensen af aksiomerne skulle vises. Det viste sig at
være et nederlag, for der kan eksistere matematiske sætninger, som den tidligere nævnt kontinuumshypotese,
der hverken kan afkræftes eller bekræftes. Men i 1908 formulere Ernst Zermelo () et sæt aksiomer
for mængdelæren, den bliver omformulerede i 1922 af Adolf Abraham H.F ().
88
I dag bygger alt
matematikken indenfor mængdelæren på disse såkaldte Zermelo- Fraenkel aksiomer.
84
(5): Side
85
Cantors mængdelære blev ofte kaldt for ”naiv mængdelære”, men synes overhovedet ikke at
den er naiv!
86
Et aksiomsystem, hvor både aksiomerne og de tilladte slutningsregler er formuleret eksplicit
87
(4) Side 460
88
(12) Side 49
SRP
34
KONKLUSION
Jeg indledte denne opgave med nogle spørgsmål og tanker om uendeligheds eksistens, og på hvilken måde vi
som mennesker har været optaget af uendelighed. Uendelighedsbegreb blev forbundet med noget faretruende
og paradoksalt i det antikke Grækenland. Det var uendelige processer, som var et paradoks for datidens
matematikere og filosoffer, specielt ideen om hvordan et linjestykke kan deles i det uendelige. Ved hjælp af
kvotientrækker ved man dog nu, at en uendelig mængde under visse forudsætninger kan have en endelig sum.
Som det fremgår af opgaven fik Aristoteles indført skelnen mellem aktuelt og potentielt uendelighed.
Aktuelt er det hvis uendelighed eksisterer, eller er givet ved i tid, og potentielt uendelighed er det hvis
eksistens er en mulighed, givet over tid. Aristoteles forkaster brugen af aktuelt uendelighed i matematikken,
og sidenhen blev det potentielle uendelighed til en tradition, som ingen turde at bryde. Mange matematikere
var så påvirket af denne Aristoteles-tradition, at de simpelthen ikke har formået at acceptere, en muligvis
eksistens af aktuelt uendelighed.
Cantor begyndte at se på uendelighed som noget i sig selv. Han konstrueret et nyt tal system, de
såkaldte transfinite tal, han benyttet sig af dem til at sætte størrelser på mægtigheden af en mængde. En
mængde hvis elementer kunne sammenparres med de naturlige tal kaldte han for numerabel og non-
numerabel, hvis de ikke kan. For at vise at to mængder havde samme kardinaltal benyttet han bijektiv
afbildning. For numerable mængder gav han betegnelsen
0
og for de ikke non-numerable, som de reelle tal
benyttet
. Med kontinuumhypotesen, prøvet han at finde frem til om der fandtes en uendelig mængde
mellem de
0
og
. Denne hypotese må siges, at være et af nutidens store matematisk
uendelighedsspørgsmål, der foreligger endnu ikke et endegyldigt svar på dette.
Cantor delte det aktuelt uendelighed i det transfinite og det absolutte. Det transfinite, som går ud
over det endelige, men dog stadig kan håndteres af mennesker. I modsætning hertil er det absolut uendelige
ufattelig for den menneskelige tanke, og kun Gud kan overskue det.
Med Cantors transfinite tal er der pludselig ingen ende på de uendelige mægtigheder, der er
ligefrem mange af dem. Det var for meget for mange tidens matematikere, heriblandt Kronecker, de kastede
sig med glæde over mængdelærens paradokser, der blandt andet blev fundet af Russell- den sålkaldte Russells
paradoks. Mængdelærens paradokser var destruktiv for matematikkens grundlag, derfor opstået der en række
ønske om en aksiomatisering af mængdelæren. Hilbert som den varme tilhænger af Cantors mængdelære gik
straks i gang med den såkaldte Hilberts program, som viste sig at være fiasko. I dag bygger mængdelæren på
Zermelo- Fraenkel aksiomer.
Matematisk set, har uendelighedsbegreb været gennem en utrolig forandring. Fra at man i starten
betragtede uendelig som en størrelse, til man i dag kan regne med den, og betragter og opdeler den i flere
35
grader. Filosofisk har der ikke været behov for at ændre uendelighedsbegrebet- da uendelig har været
tilstrækkelig til beskrivelse af det ufattelig.
LITTERATURLISTE:
1) Heiede, Torkil: Cantor og mængdelæren. I: Nordisk Matematik Tidskrift, 49.4.2001, s. 145-160
(Artikel)
2) Heiede, Torkil og Hans Jørgen Helms: Mængdelære og transfinite kardinaltal. Bind 10, Nordisk
Matematik Tidskrift. 1. udg. Universitetsforlag, 1964. (Bog)
3) Hartnack, Justus : Erkendelsens Grundlag, paradokser indenfor Logikkens og matematikkens
filosofi. Side 57-95. 1. udg. C. A. Reitzel Forlag, 1993. (Bog)
4) Det Tabte Paradis? . Bell, E. T. m.fl.: I: Matematikkens Mænd. 1. udg. C. A. Reitzel Forlag,
1944. side 437-464. (Afsnit i bog)
5) C. Mejlbo, Lars : Om Uendelighedsbegrebet i Matematik, Elementærafdeling. Bind 21. 1. udg.
Matematisk institut, 1988. (Bog)
6) C. Mejlbo, Lars : Om det uendelige, Matematikkens Aspekter. 1. udg. Matematiklærerforeningen,
1991. (Bog)
7) Lundsgaard Hansen, Vagn: Matematikkens uendelige univers. Side 85-120. 1. udg. Den Private
Ingeniørfond Danmarks Tekniske Universitet, 2002. (Bog)
8) Begrebet "Uendelig". Christensen, Jens m.fl.: I: MAT 2A. 1. udg. System , 1998. side 103-113.
(Afsnit i bog)
9) 1.Talfølger 2. Uendelige rækker. Christensen, Jens : I: Talfølger og rækker. 1. udg. System ,
1997. side 7-27. (Afsnit i bog)
SRP
36
10) Christensen, Ole og Ole Ravn: Matematikfilosofi. Side 76-106. 1. udg. System A/S, 2011. (Bog)
11) Dina: Lidt om uendelighed. Udgivet af Henrik Holm. Internetadresse:
http://www.dina.kvl.dk/~hholm/download/Lidt_om_uendelighed.pdf - Besøgt d.
(Internet)
12) Sondheimer, Ernst og Alan Rogerson: Numbers and infinity. 1. udg. Cambridge University Press,
1981. (Bog)
13) Nyere matematik. Baktoft, Allan: I: Matematikkens historie. 1. udg. Natskyggen, 2010. side 48-
51. (Afsnit i bog)
14) A.W, Moore: The Infinite. Side 110-158. 1. udg. Routledge London and New York, 1989. (Bog)
15) Ajac: Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tækning. Udgivet af Asger Jakobsen og
Morten Bakkedel. Sidst opdateret: Internetadresse: www.ajac.dk/projects/godel.pdf -
Besøgt d. (Internet)
16) Standford Encyclopedia of philosophy : Hilberts program. Udgivet af Richard Zack. Sidst
opdateret: 31.7.2003. Internetadresse: http://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/ - Besøgt d.
(Internet)
17) Standford Encyclopedia of philosophy : Set Theory. Udgivet af Thomas Jeck. Sidst opdateret:
Internetadresse: http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ - Besøgt d.
(Internet)
18) (Hilberts program) udarbejdet af studerende på RUC: Akira.ruc: Beviset. Udgivet af Gitte
Andersen, Lise Mariane Jeppesen, Klaus Frovin Jørgensen og Ivar Peter Zeck. Internetadresse:
http://akira.ruc.dk/~frovin/bevist.pdf - Besøgt d. (Internet)
19) Dangerous Knowledge (Philosophy, Physics, Mathematics). Instruktion: BBC - Dokumenter.
Internetadresse: http://www.youtube.com/watch?v=x0hALyh40xg - Besøgt d. 7.12.2011 (Film)
37
20) Wikipedia - Den Fri Online Encyklopædi: [Opslag listet nedenfor]. Udgivet af GNU Free
Documentation License. Opslag:
- ”Naturlig tal” – Sidst opdateret: 9.10.2011 – Besøgt: d.
- ”Rationale tal” – Sidst opdateret: – Besøgt: d.
- ”Reelle tal” – Sidst opdateret: – Besøgt: d. 9.12.2011
- ”Irrationale tal” – Sidst opdateret:11.1.2011 – Besøgt: d.
- ”Georg Cantor” – Sidst opdateret: 26.1.2008 – Besøgt: d. 9.12.2011
- ”Bevis - matematik” – Sidst opdateret: 6.11.2011 – Besøgt: d.
Internetadresse: http://da.wikipedia.org/wiki/[xxx] - (Internet – Flere undersider til
overordnede side)
KILDEKRITISK
De udvalgte kilder er alle af anerkendte matematikere, hvilket betyder troværdigheden er høj. Derudover er
der brugt forskellige PDF-dokumenter af ph.d. studerende som har specialiseret sig indenfor et bestemt
område i matematikken, hvilket giver meget specifik viden indenfor det område man vil undersøge.
Wikipedia er en encyklopædi, og kan derfor heller aldrig tillægges en totalt troværdighed, men har vurderet
om kilden er skrevet i fagligt sprog, og derudfra vurderet om det kan anvendes.
