1
Navigation i 1700-tallets England
STX 3.g
Historie – A- DK
2
Indhold
.......................................................................................................................................................... 1
.......................................................................................................................................................... 1
.......................................................................................................................................................... 1
Indledning: ........................................................................................................................................... 3
Længdegradsproblemet: ...................................................................................................................... 3
Den store længdegradspris: ............................................................................................................. 5
Grundbegreber i den sfæriske geometri: ............................................................................................. 6
Astronomisk Navigation: ................................................................................................................. 6
Timevinkel- og horisontsystemet: .................................................................................................... 7
Positionsbestemmelse ved stedlinjer: .............................................................................................. 9
Tangentmetoden ............................................................................................................................ 10
Højdemetoden ............................................................................................................................. 11
John Harrison – Tømrer, urmager og videnskabsmand ................................................................... 13
Harrisons maritime chronometere. ...................................................................................................... 14
Harrisons gennembrud....................................................................................................................... 16
Harrisons opfindelses indflydelse på Englands rolle i koloniseringen.............................................. 17
Konklusion: ........................................................................................................................................ 21
Perspektivering: ................................................................................................................................. 21
Litteraturliste ..................................................................................................................................... 23
Bilag: .................................................................................................................................................. 24
Figurer fra Vestergaard, Erik: Astronomisk Navigation- sfærisk geometri i anvendelse. 1. udg. Jelling
Bogtrykkeri A/S, 1997. (Bog) ............................................................................................................ 24
: ....................................................................................................................................................... 24
Bilag – Matematikken –De sfæriske cosinus og sinusrelationer ................................................... 26
Sfæriske cosinus og sinusrelationer ............................................................................................... 26
3
Indledning:
Navigationskunsten fortaber sig som så meget andet i urtidens mørke. Mennesket må dog tidligt
have opdaget at himmellegemerne kunne bruges til at styre efter. Ægyptiske, fønikiske og græske
søfarere sejlede i et vist omfang efter stjernerne, og vikingerne og kineserne ligeså. Langsejlads på
åbent hav, i modsætning til kystsejlads støttet af landkending, var og blev et meget risikabelt
foretagende før det 14.-16. årh., hvor de antikke landvindinger indenfor sfærisk geometri og
astronomi omsider blev systematisk nyttiggjort i søfartens tjeneste. Dette skete ikke mindst ved
portugisisk og italiensk mellemkomst, hvor instrumenter (astrolabiet –sekstantens oldefar,
jakobstaven og kompasset) vandt indpas og udbredelse i de bedre maritime kredse. Som denne
udvikling tog fart, blev de første navigatører, med et begreb om astronomisk matematik, velbetalt
og fik en særlig status, nogenlunde ligesom de store IT-specialister i dag. Historien om nautisk
navigation er en fascinerende blanding af praktiske erfaringer, eventyr og opdagelsesrejser,
teoretisk og praktisk videnskab, og penge og magt. Da emnet er så omfattende har jeg i denne
opgave valgt at sætte fokus på navigationens betydning og udvikling i 1700-tallets England. Det var
nemlig netop i denne periode, i dette land, at et af den nautiske navigations største problemer blev
løst.
Længdegradsproblemet:
Kollegiet vil Planeten måle;
En sag de fleste håbløs tror.
Uvidenhed skal ingen tåle,
Men måle Længden som en snor.
Hver Sømand vil så uden vaklen kende
Den sikre våde vej til Verdens ende.
1
Fra det femtende århundrede hvor købmænd, opdagelsesrejsende og eventyrere fra alle de
europæiske nationer vovede sig ud på det åbne hav i håb om at finde nyt land og rigdom, var et
grundlæggende problem indenfor søfarten; man kunne ikke præcist bestemme sin position på
Jorden. Ens position på jorden bestemmes ved to koordinater: Længdegraden, der er ens afstand øst
1 Anonym ca.1660 fra Visen om Gresham College. Manden der målte længdegraden s.50
4
eller vest fra et bestemt startpunkt, og breddegraden, der er ens afstand nord eller syd for ækvator.
Breddegraden kunne let bestemmes ved matematiske beregninger ud fra observationer af solen ved
middag, og (på den nordlige halvkugle) ud fra observationer af Nordstjernen om natten.
Bestemmelse af længdegraden havde dog altid været et problem for sømændene.
Pga. jordens rotation omkring sin egen akse, ser det ud som om solen bevæger sig fra øst til vest
over himlen. Det tager som bekendt jorden 24 timer at rotere en hel gang rundt om sin egen akse, og
som bekendt har vi inddelt jorden i 24 tidszoner. Da det tager jorden 24 timer for jorden at dreje
360° om sin egen akse, må kloden dreje sig 15° på en time. Der er altså 15° mellem meridianerne
der opdeler jorden i de 24 tidszoner. Længdegraderne er altså en tidsforskel. For at kunne bestemme
sin længdegrad til søs, skal man altså bare kunne beregne ens aktuelle tidsforskel fra sit
udgangspunkt. Den fast universelle længdegrad 0 kaldes også ”The Prime Meridian” og er placeret i
Greenwich London. Man kan fx. bestemme længdegraden mellem Greenwich og New York. Hvis
klokken er 12:00 i Greenwich vi klokken i New York på samme tidspunkt være 19:00. Der er altså
5 timers tidsforskel mellem de to steder, og længdegraden mellem dem må derfor være:
15°*5=75°.
2
Det var for de søfarende ikke noget større problem at bestemme den lokale tid, da dette
kunne gøres ud fra observation af solhøjden. Det reelle problem var for de søfarende at kende tiden
i deres hjemhavn.
3
Den oplagte løsning på dette problem ville naturligvis være at medbringe et ur, der viste
hjemhavnenes lokale tid. Et sådant ur skulle gå præcis for at være brugbart og det skulle kunne tåle
de bevægelser og temperaturskift der forekommer til søs.
Der var i starten af 1700tallet næsten ingen der troede på at et sådant ur kunne laves. Selvom det
succesfulde pendulur var blevet opfundet af den hollandske videnskabsmand Christian Huygens var
dette ur ikke brugbart til søs. For et ur, hvis præcision afhænger af tyngdekraften, er dømt til at fejle
på et skib, pga. dets voldsomme rulninger. Selv den verdensberømte videnskabsmand Sir Isaac
Newton troede ikke på at et sådant ur kunne skabes. Han troede på at svaret på
længdegradsproblemet kunne findes ved astronomiske observationer.
2
Fra bogen - Harrison af Johnathan Betts s. 20
3
Fra bogen- Manden der målte længdegraden af Dava Sobel s.13
5
Den store længdegradspris:
”That for determining the Longitude at Sea, there have been Prodjects, true in theory, but difficult
to execute. One is a Watch to keep time exactly, but, by reason of motion of the Ship at Sea, the
Variation og Heat and Cold, Wet and Dry, and Difference in Gravity in different latitudes, such a
Watch has not yet been made.”
4
- Sir Isaac Newton d. 11 Juni 1714 i ”The House of Commons”:
Op gennem 15 og 1600tallet voksede langfarten både på Amerika og Asien og dermed blev tabet af
varer og liv til søs forøget tilsvarende. At navigation var en del af problemet blev tidligt erkendt, og
allerede i 1567 udlovede den spanske regering en dusør til den der kunne finde en metode til
bestemmelse af længdegraden. Andre lande, Portugal, Holland og Frankrig fulgte efter, og mange
matematikere og navigatører kom med forslag til løsninger. I Frankrig fik en månedistancemetode
fremført af Jean-Baptist Morin ()
5
, initiativtageren til det parisiske observatorium, stor
tilslutning.
Bestemmelsen af længdegraden var også et emne der løbende blev diskuteret i det engelske Royal
Society, grundlagt af Charles d. 2. i 1660. Også i England var debatten om månedistancemetoden
som løsning på længdegradsproblemet medvirkende til grundlæggelsen af et observatorium- nemlig
The Royal Observatory of Greenwich i 1675 t.
6
Der var her, ligesom i Paris, astronomer der
udelukkende beskæftigede sig med at løse længdegradsproblemet.
I 1707 indtraf en begivenhed, der fik den store offentlighed i England til for alvor at interessere sig
for navigationen og dens problemer, herunder længdegradsproblemet. Den 9. september dette år løb
H.M.S. Association og tre andre engelske krigsskibe på Glistone Ledges ved Scillyøerne sydvest for
Cornwall. Admiralen Sir Clowdisley Shovel druknede sammen med ca. 2000 andre og katastrofen
chokerede den engelske befolkning på samme måde som Titanics forlis i 1912.
I juli 1713 blev der i londoner bladet The Guardian publiseret et brev, skrevet af den kendte
engelske matematiker William Whiston () og mr. Humphrey Ditton (). I
4
Fra journalen - Journal of the House of Commons, 11 June 1714, 667
5
Fra bogen - Time in History, af G.J. Whithrow S.140
6
Fra bogen - Time in History, af G.J. Whithrow S.140
6
brevet stod der at de havde fundet en løsning på længdegradsproblemet, og at de ville offentliggøre
den mod en dusør. Sir Isaac Newton, der var formandsfor ”The Royal Society” var enig med
mændene om at en dusør skulle udloves, dog ikke i deres metode. Udgivelsen af brevet gav
anledning til stor offentlig debat, og der blev nedsat et parlamentsudvalg, der skulle undersøge
problemet. Resultatet af udvalgets undersøgelse ledte til, at dronning Anne, d. 8 Juli 1714 gav
skriftlig tilladelse til at offentlig dusør skulle uddeles til den person, eller de personer der skulle
finde en løsning til bestemmelse af længdegraden til søs.
Der blev i realiteten udlovet tre dusører; Den første lød på £10.000 og skulle gives til den der kunne
bestemme længdegraden til søs indenfor én grads nøjagtighed. Den anden lød på £15.000 og skulle
gives til den der kunne bestemme længdegraden til søs indenfor 2/3 grads nøjagtighed. Og den
sidste og største dusør blev sat til £20.000. Denne dusør (svarende til ca. £2.000.000 i dag), skulle
gives til den der kunne bestemme længdegraden til under ½ grads nøjagtighed. Der blev dog stillet
yderlige krav til denne dusør, den skulle være praktisk, let at anvende, og den skulle bestå en prøve.
Metoden skulle prøves på en rejse fra England til en hvilken som helst havn i Vestindien som ”The
Board Of Longitude” måtte vælge. Hvis metoden bestod denne prøve og opfyldte reglerne for
nøjagtighed, skulle dusøren tildeles opfinderen. En sådan opfinder skulle i sin metode tage højde for
navigationens grundprincipper. Disse tager deres udgangspunkt i den sfæriske geometri.
Grundbegreber i den sfæriske geometri:
Sfærisk geometri er geometri på en kugleflade. Begreberne fra plangeometrien kan pga. dette ikke
umiddelbart overføres til rumgeometrien. Den sfæriske geometri differerer fra plangeometrien idet
man ikke regner ud fra punkter og rette linjer, men koncentrer sig om beregninger ud fra stor- og
lillecirkler. En storcirkel er en cirkel der tager udgangspunkt i kuglens centrum, hvorimod
lillecirklen ikke tager udgangspunkt i kuglens centrum. Hvis man tager jorden som eksempel på en
sådan kugle, vil en storcirkel være analog med en længdegrad, og en lillecirkel være analog med en
breddegrad. Sfærisk geometri er grundlaget for den astronomiske navigation.
Astronomisk Navigation:
Formålet med astronomisk navigation er, at kunne bestemme sin position ud fra observationer af
himmellegemernes positioner. Det vil i dette afsnit blive gennemgået hvordan man kan bestemme
7
sin position ved hjælp af to astronomiske observationer. Når man indenfor astronomien skal
beskrive positionen af et givent objekt O på himlen, er det nødvendigt at nedlægge denne på en
fælles himmelkugle. Denne himmelkugle har jordens centrum som centrum og har en vilkårlig
radius. Betragt fig. 1
7
hvor O er objektet der observeres og P er himmelkuglens nordpol.
Idet jorden roterer omkring sin egen akse 1 gang på 24 timer, vil det fra jorden se ud som om, at
objektets nedlagte punkt på himmelkuglen flytter sig 360° i løbet af et døgn. Man vil observere at
denne ”flytning”, ved en omdrejning, danner en lillecirkel på himmelkuglen der tilnærmelsesvis
ligger parallelt med ækvator (se fig.1)
8
. Radius fra jordens centrum og ud til lillecirklen kaldes en
deklination. Et hvert punkt på denne dannede lillecirkel vil have samme deklination, i dette tilfælde
på 60° (se fig.1)
9
. Begrebet deklination er her analogt med breddegraden på jorden. For
positionsbestemmelse har man brug for endnu en vinkel, timevinklen.
Timevinkel- og horisontsystemet:
Timevinkelen er analog med en længdegrad på jorden. Vi kommer nu ind på timevinkelsystemet og
horisontsystemet, der er to sfæriske koordinatsystemer der bruges til at inddele himmelkuglen.
Timevinkelsystemet er et sfærisk koordinatsystem der følger jordens bevægelse. Dets koordinater er
deklinationen og timevinklen (se fig.1)
10
.
Ved astronomisk navigation vælger man som bekendt et bestemt himmellegeme at fiksere på, oftest
fiksstjerner. Alle stjernerne, undtagen solen, har en deklination der varierer med mindre end 1´ på et
år. Hvilket vil sige at lillecirklen der dannes på himmelkuglen på 1 døgn vil være tilnærmelsesvis
cirkulær. Vi kan altså herfra slutte, at tilnærmelsen med lillecirkler, der er parallelle med ækvator,
er så præcis for stjerner at de kan bruges til positionsbestemmelse.
Vi kan nu danne en cirkel på jordoverfladen der ligesom deklinationen er analog med breddegraden.
Det gælder derfor også, at denne breddeparallel er parallel med ækvator, og at alle punkter på en
breddeparallel har samme bredde. Ved betragtning af en globus, ses det, at breddegraderne og
længdegraderne der står vinkelret på hinanden. En længdegrad, også kaldet en meridian, er altså en
storcirkelbue, der passerer igennem nord- og sydpolen, på jordens overflade. Hvis man danner en
7
Bilag. S- 25
8
Bilag. S- 25
9
Bilag. S- 25
10
Bilag. S- 25
8
storcirkelbue på himmelkuglen, der er analog med længdegraden, vil denne kaldes en rektascension.
Man kan altså drage den slutning, at en længdegrad vil være analog med en rektascension på den
før skabte himmelkugle. Man danner altså en himmelkugle hvorpå man kan danne en deklination og
en rektascension, der svarer til breddegraden og længdegraden på jorden. Rektascensionen fortæller
på hvilket siderisk tidspunkt et himmelobjekt vil passere en givet lokal meridian. En timevinkel for
et givet objekt er defineret ved:
TV
obj
= LST - RA
obj
Timevinklen viser hvor meget siderisk tid der er gået siden objektet passerede den lokale meridian.
Vi kommer nu ind på horisontsystemet, det andet sfæriske koordinatsystem for vores himmelkugle.
På figur 2.
11
er det skitseret hvad der ligger til grund for horisontsystemet. Figuren er ikke
tredimensional da man kan nøjes med to dimensioner, planerne optræder derfor her som rette linjer.
Vi antager i vores eksempel at et givent skib befinder sig på en breddeparallel b og lodret under Z
(zenit). Det vandrette tangentplan (havoverfladen) tegnes nu, hvorefter en parallel linje hertil tegnes
igennem jordens centrum. Denne rette linje kaldes horisontplanet, og det er det der danner grundlag
for horisontsystemet. Horisontplanet deler således himmelkuglen i to halvkugler; den øvre
halvkugle der er synlig for sømanden, og den nedre halvkugle som jorden skjuler. Vinklen til et
objekt over horisontplanet (målt fra nord til øst) kaldes azimut (<Az). Højden og azimut ændrer,
pga. jordens rotation, deres position over tid. Horisontsystemets koordinater er altså azimutvinklen
og højden.
Vi har nu vores to sfæriske koordinatsystemer, der begge tager udgangspunkt i jordens centrum. I
begge disse systemer er der et fikspunkt på himmelkuglen, der er beskrevet ved 2 vinkler. I
timevinkelsystemet er det som før nævnt vinkelparret (t, d), og i horisontsystemet er det
vinkelparret (Az, h). På figur 3 og 4
12
er vinklerne indtegnet og repræsenteret ved to storcirkelbuer.
Ved kombination af timevinkel- og horisontsystemet opstår der en sfærisk trekant på vores
kugleoverflade; den astronomiske trekant. En sfærisk trekant, er ikke ligesom de trekanter man
11
Bilag. S- 26
12
Bilag. S- 26
9
kender til fra plangeometrien. Denne sfæriske trekant består ikke af rette linjer, men af
overlappende storcirkelbuer. Denne sfæriske trekant kaldes OPZ, og dens hjørner består af det
betragtede himmelobjekt O, himmelkuglens nordpol P, og zenit Z (se fig.10)
13
. Længderne af en
sfærisk trekant angives ikke i længdemål, men i vinkelmål, svarende til de vinkler buerne spænder
over. Hvert af de tre hjørner tillægges et vinkel mål, der svarer til vinklen mellem de to planer, der
indeholder hver sin hosliggende side i trekanten og går gennem jordens centrum (se. Fig.10). For
nærmere information se bilag.
14
Positionsbestemmelse ved stedlinjer:
Det er på fastlandet ikke et større problem at måle horisontsystemets koordinater, azimutvinklen og
højden. Det er dog ikke helt så let at bestemme disse til søs, da man står på gyngende grund. Det var
derfor indenfor navigationen vigtigt at finde et vinkelmålingsinstrument der kunne akkurat kunne
måle højden til himmelegemet til søs.
15
Dette blev sekstanten der blev udviklet i det 18. åhr. Man
kunne bruge denne til at bestemme højden, men da der er flere steder på jorden hvor højden til et
himmellegeme er den samme, er det vigtigt at tage flere målinger på en dag. På figur 1-internet
16
ses en skitse over en sådan målingssituation. Man kan som på figuren se at der er to punkter på
kuglen hvor højden til himmellegemet vil være den samme. Man kan pga. dette danne en
ligehøjdecirkel, hvor højden til himmellegemet er lige stor alle steder på den. Det er derfor ikke
tilstrækkeligt kun at kende højden på et himmellegeme, man bliver nødt til at måle på mindst to. Så
får man dannet to ligehøjdecirkler, hvorpå navigatøren kan befinde sig. Disse vil som oftest ligge
tilstrækkeligt langt fra hinanden til at kaptajnen kan beslutte hvilken én der er den mest sandsynlige.
Hvis der opstår en tvivl, kan der fortages en tredje måling, der så vil underbygge et af de foregående
resultater. Ved brug af stedlinjer kan ens position bestemmes. Dette kan lade sig gøre ved hjælp at
foretage bestik.
17
Ligehøjdekurven kaldes en bestemt afstand af Ligehøjdecirklen. En stedlinje
defineres derudfra som en lineær tilnærmelse til ligehøjdekurven. Når man har et skæringspunkt for
to stedslinjer, er det meget mere eksakt til at bestemme en navigatørs position end bare at gætte. Der
13
Bilag. S- 27
14
Bilag – matematikken, de sfæriske cosinus- og sinusrelationer s. 30-34
15
Astronomiske Navigation- af Erik Vestergaard - s.21
16
Hjemmeside af Erik Vestergaard - http://www.matematiksider.dk/navi_principper.html
17
Astronomiske Navigation- af Erik Vestergaard – s. 24
10
findes tre måder til bestemmelse af en stedlinje; tangentmetoden, sekantmetoden eller
højdemetoden.
18
Tangentmetoden
Ved denne gennemgang tages der udgangspunkt i figur 14
19
. Dette en metode hvormed man kan
beregne stedlinjen til et givet ukendt sted på. Dette sker ved at tage tangenten til punkterne i ens
ligehøjdekurve. Rørignspunktet for denne tangering kaldes på figuren A = (b
1
,
1
). Dette kan
udregnes ved at beregne den tilhørende længdegrad til en selvvalgt bredde.
Til beregning af himmellegemets højde h bruges formlen: sin(h) = sin(b)sin(d) + cos(b) cos(d)
cos(t)
Beviset for denne formel lyder således:
Formlen omformuleres til at ligne de sfærsike cosinusrealtioner (Se figur)
cos(a) = cos(b) cos(d) + sin(b) sin(c) cos(A) ↔ cos(A) =
Siderne og viklerne i ovenstående, tager deres udgangspunkt i den før nævnte astronomiske trekant
(Se bilag S. **). Man skal dog huske at indsætte de rette variable; A betragtes her som t, h som a, c
som d og b forbliver b. Formelen kommer således til at se sådan ud:
cos(t) =
°
°
°
°
°
Ved brug af nedenstående overgangsformel kan denne nu omskrives:
Overgangsformel: sin(90° - v) = cos(v) og cos(90° - v) = sin(v)
cos(t) =
↔ sin(h) = cos(t) cos(b) cos(d) + sin(b) sin(d)
Man har således udledt og bevist højdeformlen for tangentmetoden og kan derved også ved
omformulering bestemme formlen for tangenten til azimutvinklen. Denne opskrives således:
Tan(Az) =
20
18
Astronomiske Navigation s.22-23
19
Bilag. S- 29
20
Astronomisk Navigation s.26
11
Da tangenten til azimutvinklen nu kann bestemmes kan der indtegnes en stedlinje på et søkort- altså
det er nu muligt at bestemme sin position.
Højdemetoden
Vi tager her udgangspunkt i figur 15
21
, det skal dog bemærkes at der i beskrivelsen er valgt at kalde
ligehøjdecirkel A for Y, da der kunne opstå forvirring mellem denne og azimutvinklen. Denne
metode hænger sammen med tangentmetoden. I denne metode bestemmes først stedlinjen mellem et
kendt punkt Y (Y=(b
y
,λ
y
)) som ligger tæt på vores ukendte sted Z. Stedlinjen i Z bliver altså
parralelforskudt af Y’s stedlinje. Vi kan nu således lave bestik; kan vi således vælge (b
bestik
,
bestik
)
som er bare er et andet sted tæt på. Y’s stedlinje bestemmes ved brug af tangentmetoden, men inden
dette kan gøres skal man først have fundet d og t fra timevinkelsystemet. Disse findes i en nautisk
almanak, denne indeholder informationer om hvor himmellegemer befinder sig på et givet
tidspunkt. Timevinklen i forhold til Y og bestemmes ved omskrivning af formlen
22
:
= t
G
- t ↔ t = t
G
–
Højden h
Y
er højden fra Y til himmellegemet og bestemmes ved formlen:
t
G
= t
s
+ t
G
(Aries)
Vi husker at Y og Z er punkter på vores ligehøjdecirkler. Disse vil på søkortet tilnærmelsesvist
ligne parallelle linjer. Ved at parallelforskyde stedlinjen i Y fås stedlinjen i Z. Hvor meget den skal
forskydes kan beskrives således:
Vi skal først bestemme buelængden der spænder på jorden, for en storcirkelbue over 1 bueminut. Vi
skal derfor føst bestemme en grads roterring af jorden. Vi beregner med et utryk fra navigationen til
søs kaldet en nautisk sømil. Denne defineres som 1852 meter og da jordens omkreds ved ækvatore
cirka er 40.000 km er en grad givet ved:
≈ 111,11 km
Dette resultat indsættes i formlen for et bueminut på tællerens plads:
21
Bilag. S- 29
22
Astronomiske Navigation s.27
12
→
≈ 1,852 km.
På figur 15. ses det at afstanden i sømil mellem ligehøjdecirklerne til Y og Z er svarer til vinklen
∆h. Denne beregnes i bueminutter ved følgende formel: ∆h = h
målt
–h
Y
Definitioner; h
målt
,er observatøres målte højde og h
Y
er beregnet ved tangentmetoden. Der er således
bestemt værdien for hvor langt stedlinje Y skal forskydes. Bestemmelsen af forskydningsretning
determineres ud fra om højden for himmellegemet er positivt eller negativt. På figur 18 ses et søkort
hvorpå der sker en forskydning. Linjen der går igennem Y og har retning mod polpunktet kaldes a.
Højden til himmellegemet bliver højere jo tættere en observatør befinder sig på polpunktet. Der
drages herudfra at hvis ∆h er positiv, må stedlinjen til Y forskydes parallelt langs linjen a i retning
mod polpunktet. Derfor må der også gælde, at hvis ∆h er negativ, skal Y forskydes parallelt langs
linjen væk fra polpunktet.
Eksempel på brug af højdemetoden:
Et givet punkt vælges og koordinaterne angives: Y = (60° 50
/
; 6° 05
/
)
Timevinklen t er givet ved:
t = t
G
–
Vi indsætter vores koordinater:
t=317° 10,1
/
- 6° 05
/
= 311° 5,1
/
.
Vi benytter formlen for beregning af højden af et himmellegeme:
sin(h) = sin(60° 50
/
) sin(16° 54,8
/
) + cos(60° 50
/
) cos(16° 54,8
/
) cos(311° 5,1
/
) = 0,56046
som giver h
Y
= 34,088° = 34° 34,3
/
.
Vi kan nu bestemme azinutvinklen , vi indsætter vores kendte værdier i tangentformlen for
azinutvinklen:
Tan(Az) =
Hvoraf Az = - 60,546° = 60°32,8
/
.
Ved brug af tangentmetoden kan man nu tegne Y’s stedlinje. Forskellen mellem den teoretiske og
den egentlige målte højde i Y er:
13
∆h = h
målt
– h
Y
= 34°16,4
/
- 34°5,3 = 11,1
/
Vi kan altså drage at da ∆h har en positiv værdi skal stedlinjen til Y altså forskydes 11,1 sømil imod
polpunktet.
23
Eksempel på beregning af solens retning den. 25. juni kl.11:30 i Skagen
Vi samler først den information vi skal bruge til beregning af dette i en almanak fra 2008.
Skagens geografiske bredde
24
= 57° 43´
Solens deklination d.25 juni
25
= +23° 22´
Solens kulminationstid i Skagen
26
= kl. 13:20
Vi bestemmer timevinklen og regner den om fra tid til gradtal ved at bruge at benytte at 1h=15° og 1m=1´:
Timevinkel kl. 11:30: = 332° 30´
Vi kan nu indsætte vores kendte værdier i fomlen for højden fra tangentmetoden.
sin(h) = cos(t) cos(b) cos(d) + sin(b) sin(d)
sin(h) = cos(57° 43´ ) cos(23° 22´) cos(332° 30´) + sin(57° 43´) sin(+23° 22)=0.7702 = 50° 22’
Vi kan nu bestemme azinutvinklen , vi indsætter vores kendte værdier i tangensformlen for
azinutvinklen:
Tan(Az) =
27
Tan(Az) =
= -0.8895= 318° 21´
Vi har nu bestemt solhøjden over horisontent til at være 50° 22’ og azimutregnet fra syd til at være
318° 21’.
John Harrison – Tømrer, urmager og videnskabsmand
John Harrison blev født som ældste søn af tømreren Henry Harrison i Foulby, i nærheden af
Wakefield i Yorkshire d. 24 Marts 1693
28
. Familien Harrison flyttede i 1701 til det nordlige
23
Astronomisk navigation s.28-29
24
S.83- Almanak, skriv- og rejse-kalender 2008- som er et skudår
25
S.26-, Almanak skriv- og rejse-kalender 2008- som er et skudår
26
S.41 , Almanak skriv- og rejse-kalender 2008- som er et skudår
27
Astronomisk Navigation s.26
28
Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s. 30
14
Lincolnshire, og det var her John Harrison voksede op. Den unge John fik foruden den tømrer
uddannelse fra sin far en hel del hjemmeundervisning. Han var en intelligent ung mand, og dette
blev ikke overset af en besøgende præst, der lånte ham et eksemplar af Nicholas Saunders (1682-
1739)
29
forelæsninger om mekanik.
Det vides ikke hvor Harrisons interesse for umagerkunsten kom fra, men det antages at den bunder i
hans almene interesse for mekanik. Man ved dog at han i en alder af kun 20 år havde færdiggjort sit
første ur. Siden dette første ur udviklede Harrisons urmagerkunst sig, og hans interesse for
præcisionen af ure voksede.
Der var en del problemer med de ure der allerede var opfundet på Harrisons tid. Et af dem beroede
på metalkomponenternes sammentrækning og udvidelse ved skiftende temperaturer. Harrison løste
til en hvis grad, problem ved at bruge stål såvel som messing komponenter i sine ure. Da disse to
metallers udvidelseskoefficienter ligger i modsatte ender af skalaen ophæver de hinanden. Dette
resulterede i pendulure der havde en afvigelse på mindre et 1 sekund pr. måned. Denne geniale
løsning skulle vise sig at være afgørende for Harrisons karriere.
Harrisons maritime chronometere.
Harrison hørte for første gang om længdegradsprisen i 1726
30
. Og han regnede sig frem til, at et ur
der skulle leve op til kravene, maximalt måtte afvige med 2.8 buesekunder om dagen. De eneste ure
der på daværende tidspunkt var så præcise var de stationære pendulure, som tideligere nævnt var
disse ikke brugbare til søs. Harrison søgte derfor at konstruere et ur, der var transportabelt, men
havde samme præcision som pendulurene. Han tog i 1727, 1728 eller i 1730
31
til London for at
søge, at få sit chronometer finansieret. Årstallet er usikkert, men vi har hans egen samtidige
beskrivelse af hvordan han tænkte sig et maritimt kronometer.
I London kom Harrison i kontakt med ”the Astonomer Royal” Edmund Halley (c.), som
modtog Harrisons ide med åbne arme. Halley var nemlig ved at fortvivle over manglende
fremskridt indenfor månedistancemetoden. Halley følte sig imidlertid ikke i stand til at bedømme
Harrisons plan, og henviste ham derfor til George Graham (), tidens fineste og mest
anerkendte urmager i London.
29
- en Lucasiansk Professor i Matematik ved Cambridge Universitet i 1700 tallet
30
Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s. 35
31
Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s. 41
15
Harrisons ideer for temperaturregulering i sine ure viste sig at vinde stor respekt hos Graham, idet
han selv siden 1715 havde prøvet at løse dette problem. Graham blev overbevist om, at Harrison
havde fat i noget, og han lånte Harrison £200 til at konstruere det første af fem maritime
chronometere. Det tog Harrison og hans bror James omtrent fem år at konstruere, afprøve, og
finpudse dette første mesterværk, kaldet H1. Det blev prøvet på floden Humber og resultaterne så
lovende ud. Da Harrison var tilfreds med H1.’s nøjagtighed, vendte han med det, tilbage til London,
hvor det blev offentliggjort for det øvre videnskabelige selskab af Graham. Harrison fik hurtig
omtale, og H1 blev præsenteret for the Royal Society i 1735.
32
Der blev her underskrevet et
dokument der skulle vise sig at være med til at få H1. sendt på en foreløbig prøve.
Harrison og H1 d. 19. Maj 1736
33
afsejlede med H.M.S. Centurion til Lissabon. På udrejsen var
vejret dårligt, men ikke desto mindre viste uret sig meget præcis selvom det mistede tid. På
hjemturen blev H1 placeret på skibet HMS Orford, og det var på dette skib at Harrison for første
gang fik mulighed for at bestemme længdegraden ved brug af tiden. Selvom uret også på denne
rejse mistede tid, lykkedes det Harrison ved brug af uret at undgå en potentiel katastrofe. Skibets
kaptajn mente, da man fik land i sigte, at det var ”Start Point”, men Harrison havde beregnet deres
position til at være lige udenfor halvøen Penzance. Denne er lokaliseret næsten 60 kilometer fra
Start point og er omgivet af klipper. Harrison fik kaptajnen overtalt til at han havde ret, og skibet
undgik således at forlise. Skibest kaptajn viste sin taknemmelighed overfor Harrison ved at skrive et
brev om hændelsen hvori han svor, at uden Harrisons opfindelse ville skibet og hele hans mandskab
være gået tabt. ”The Board of Longitude” ville dog ikke høre tale om en udbetaling af en dusør. De
mente ikke at uret var præcist nok til at kunne bruges på en tur til Vestindien. Harrison bad så
kommissionen om finansiering til at fremstille et forbedret ur, og de tildelte ham £250 til dette.
Harrison flyttede med sin familie til London og begyndte der at arbejde på sit andet ur H2. Dette ur
lignede H1. i en mindre udgave. Det havde dog ikke mange forbedringer til forskel fra H1. Det tog
Harrison kun to år at bygge H2. Dette ur kom dog aldrig ud på en sørejse, da Harrison opdagede at
dette urs præcision blev påvirket når uret blev flyttet. Det var derudover også meget tungt, og på
mange måder mere upraktisk end H1. Harrison brugte de næste 17 år på at bygge og afprøve sit
tredje ur H3. Dette ur var for Harrison det mest problematiske, af alle hans ure, at bygge. Det var
færdigt i 1757.
34
32
Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s. 44
33
Fra bogen Navigationens Historie bind 2. af Søren Thirslund- s.72
34
Fra bogen Navigationens Historie bind 2. af Søren Thirslund- s.73
16
Harrisons gennembrud.
Indenfor urmagerkunsten var der et generelt grundprincip der hed at et håndholdt urs fjerdre og
tandhjul skulle laves af så let et materiale som overhoved muligt. Harrison arbejdede under dette
princip i H1, H2 og H3. Men Harrison gik imod dette princip, idet han byggede et håndholdt ur der
efter sigende skulle være en kontrol til H3. Dette ur blev bygget af John Jefferys efter Harrisons
specifikationer; alle komponenter skulle bygges af messing og jern og derefter monteres i en
guldkapsel. Vægten af urets komponenter gjorde at det ikke var så let modtageligt for ydre
påvirkninger. Uret H4 viste sig at være det første håndholdte ur der var nøjagtigt nok til at kaldes et
chronometer.
Harrison præsenterede uret for ”The Board of Longitude”, og på trods af en del skepsis blev det
besluttet at uret skulle afprøves på en rejse til Vestindien d. 18 November 1761. Harrisons søn
William blev givet ansvaret for uret på rejsen. Han sejlede med skibet H.M.S. Deptford og hans
beregninger af længdegraden ved brug af uret viste sig ikke kun at være præcise, men også at
korrigere Jamaicas position på kortet. Ved ankomst til Jamaica blev urets præcision beregnet og det
viste sig at denne varierede med 5 sekunder, hvilket svarer til 1,25 buesekunder. John Harrisons H4
burde således have vundet ham længdegradsprisen på £20.000, men sådan gik det ikke til. ”The
Board of Longitude”, og i særdeleshed medlemmet Nevil Maskelyne
35
, kom med en masse falske
postulater om at Jamaicas længde ikke kendtes præcist nok, og at metoden ikke kunne bevises ved
kun 1 forsøg. Det forlangtes derfor at H4 skulle ud på en ny sørejse. Kommissionen tildelte
Harrison £2500 men nægtede at udbetale mere uden endnu en prøve. Harrison mente, at dette var
uacceptabelt, men efter lang tids diskussion gav Harrison sig. H4 og William Harrison skulle denne
gang med skibet HMS Tatar til Barbados og skibet sejlede d. 28 Marts 1764
36
. Også på denne rejse
viste uret sit værd, idet det kun mistede 10 længdeminutter på hele rejsen. Ved hjemkomsten blev
resultatet accepteret som tilfredsstillende, men Harrison fik stadig ikke sin dusør. Han blev tildelt
£7500 der tilsammen med de £2500 gav £10.000. Komiteen stillede endnu engang flere krav til
Harrison; Han skulle beskrive urets bygning og mekanik så detaljeret, at en anden god urmager ville
kunne genskabe det. Harrison tænkte sig længe om, men efter lang tids overvejelser gav han sig
endnu engang. Han gjorde som der forlangtes af ham, men han stolede nu ikke længere på, at ”The
Board of Longitude” ville holde sit løfte.
35
Anstronom og fortaler for månedistancemetoden
36
Fra bogen Navigationens Historie bind 2. af Søren Thirslund- s.74 – Dato underbygget af bogen Harrison
af Johnathan Betts
17
Han konstruerede derfor i 1770 et endnu et chronometer, H5. Dette ur var ikke blot smukkere end
H4, men det var også en forbedret mindre udgave. Dette ur blev skænket til Kong George d. 3. som
blev meget imponeret over urets skønhed og nøjagtighed. Han udførte sin egen prøve af H5 i
Richmond og fandt resultaterne utrolige. Da Kongen hørte om komiteen havde behandlet både John
og William Harrison, lovede han, at han personligt ville se til at John Harrison fik sin belønning. Da
Kong George den 3 ikke havde enevælde kunne han ikke bare udbetale dusøren til Harrison.
Harrisons eneste chance for at få sin retmæssige belønning var derfor at fremlægge sin sag i
parlamentet. ”The Board of Longitude” blev, da denne sag blev fremført i ”The House of
Commons”, sat under et voldsomt pres. Efter Harrison havde fremført sin sag, blev de sidste
£10.000 tildelt Harrison, og han blev officielt uråbt til vinder af dronning Annes længdegradspris.
Harrisons opfindelses indflydelse på Englands rolle i koloniseringen
I 16-1700tallet udviklede den europæiske økonomi sig betydeligt med udgangspunkt i
kolonieringen, og velstanden blev generelt forøget. Udvidelsen af det britiske imperium ved
kolonisering begyndte i midten af 1600tallet. Ved at udforske kloden ved sejlads fandt de
europæiske stormagter frem til nye landområder. Hvis man opdagede et land eller en ø, kunne man
gøre krav på denne og derved sikre sig retten til dets befolkning og naturresurser.
Nogle af de mest centrale lande i den verdensomspændende økonomi var, på dette tidspunkt,
Portugal, Spanien, England, Frankrig, og Holland. Disse lande tog alle del i koloniseringen. Idet
man ved udgangen af middelalderen, i disse stormagter, søgte at opbygge en moderne, enevældig
stormagt, blev den tidligere feudalisme brudt. Der opstod, på baggrund af dette, et behov for at
skaffe nye statsindtægter og for at øge landets areal. Man søgte altså kilder til dækning af
statskassens udgifter. Det var i denne periode at merkantilismen kom fem som et økonomisk
princip. Tanken bag merkantilismen var, at man skulle fremme sin økonomi ved at producere varer,
og eksportere så mange af disse som muligt. Samtidigt med dette skulle man så udgå at importere
varer fra udlandet. Dette ville resultere i en større økonomisk indtægt end udgift, og derfor i større
velstand. Thomas Mun, der var en engelsk investor og erhvervsmand, var med til at skabe de
teoretiske grundlag for merkantilismen. Om at øge et riges velstand skrev han:
”Et riges indtægter hvorved det forsynes med udenlandske varer er enten naturlige eller kunstige.
Den naturlige rigdom består i, hvad der kan spares i eget forbrug og hvad der kan eksporteres af
18
forbrugsvarer til udlandet. Den kunstige rigdom beståri vores farbriks- og industrihandel med
udenlandske varer, for hvilke jeg vil anføre nærmere retningslinjer”
37
Han udgav flere værker der omhandlede økonomiske strategier, men hans hovedværk ”England’s
Treusure by Foreign Trade” er dog den mest berømte. Den skulle efter sigende være skrevet i
1630’erne men den udkom efter hans død i 1664. Bogen var ment som en lærebog i handel til Muns
søn John, som udgav den efter sin fars død. I en kilde, der er et uddrag af bogen, beskrives
merkantilismens principper og ideer
38
:
Kilden er en primær kilde, da den er skrevet af Thomas Mun selv og ikke er gennemredigeret. Der
er dog udtaget dele af den oprindelige tekst, men der er ikke skrevet om i teksten. Da bogen hvorfra
den stammer, er udgivet efter hans død kunne det tænkes at han ikke selv har færdiggjort værket.
Det har dog ikke været mig muligt at finde oplysninger herom, og det må derfor antages at den er
samtidig. Formålet med bogen var at beskrive de økonomiske principper England skulle arbejde
under koloniseringen for at opnå større rigdom. Det er tydeligt i teksten at den ikke kun er ment
som en forklaring på disse principper, men også som en overbevisning om, at netop den beskrevne
metode er den rigtige. Kildens tendens ligger således i denne overbevisning. Da bogen, hvorfra
kilden stammer, blev skrevet til Thomas Muns søn, John Mun, må man antage at faderen ønskede at
videreføre, hvad han betragtede som værdifuld viden, til sin søn. Det må derfor være en personlig
kilde til viden, men da bogen blev udgivet af sønnen er den sidenhen blevet brugt som institutionelt
undervisningsmateriale. Bogen er således gået fra at være fortrolig til at være offentlig, og det er
denne offentliggørelse der har bevirket at Thomas Mun beskrives som en af merkantilismens
teoriers skabere.
Han delte sin teori op i ”den naturlige rigdom” og ”den kunstige rigdom”. Koloniseringen var en
måde hvorpå man kunne opnå den såkaldte ”kunstige rigdom”. Om koloniseringen skrev Mun:
For det første, skønt dette rige er overordentligt rigt af naturen, kan det yderlige beriges ved at
lægge det ubebyggede land, som der findes meget af, ud til brug som ingenlunde vil være en
hindring for de nuværende indtægter af dyrket land. Herigennem vil vi blive selvforsynende og
kunne undgå import af hør, hamp, tovværk, tobak og til forskellige ting som vi nu henter i udlandet
med fare for forarmelse.
37
Se. Bilag – Thomas Mun: ”Merkantilismens principper” s. 244 afsnit 2,
38
Se. Bilag – Thomas Mun: ”Merkantilismens principper”
19
Koloniseringen var altså en måde hvorpå man kunne få hurtig økonomisk fremgang ved at få
monopol på et lands naturresurser. F.eks. Hvis et land havde monopol på sukkerproduktionen ville
alle andre lande skulle købe sukker af det, samtidig med at det ville være selvforsynende med
sukker. Dette ville udelukkende give overskud til sukkerproducenten og underskud til køberen. Der
var selvfølgelig forskellige tanker i de forskellige lande om hvad der skulle eksporteres og om hvad
det skulle importeres. Det afhang dog mest af hvilke naturresurser der var til rådighed i det
pågældende land. Det var bl.a. derfor, at man begyndte at lede efter nyt land ved at sejle ud på de
store verdenshave. Da det var ”først-til-mølle”-princippet der gjaldt for indtagelsen af nyt land,
opstod der en oversøisk konkurrence landene imellem. I 1700-tallet var udvidelsen af det britiske
imperium udfordret af Frankrigs udvidelse af landets kolonier. Alle kolonimagterne sloges om
retten til at sejle på havene, og der fandt mange søslag sted. Igen her spillede navigationen til søs
afgørende rolle.
Der var som før nævnt ikke kun kamp om land og rigdom under koloniseringen. Der var også kamp
om bestemmelsen af længdegraden til søs. Alle kolonimagter søgte en løsning på dette problem.
Hvis man ser på dette problem ud fra merkantilismens principper ser man; hvis en kolonimagt
havde monopol på bestemmelsen af længdegraden, ville de have en utrolig fordel over de andre
lande. Ikke nok med at man bedre ville kunne sikre at ens skibe ville komme sikkert fra havn til
havn, men man ville også kunne øge mængden af varer man fragtede over havet, da risikoen for tab
ville være væsentligt formindsket. Man ville derudover stå bedre i en krigssituation idet man, alt
andet lige ville kunne bestemme til hvilken tid man ville være et givent sted på jorden. Man ville
kunne kortlægge jorden, og derudfra bestemme grænser på havet mellem landene. Fordelene ved
præcis navigation var enorme.
Det kommer derfor ikke som nogen stor overraskelse at Franskmændene kontaktede John Harrison
da de hørte om hans utrolige gennembrud med opfindelsen af H4. Man skulle tro at ”The Board of
Longitude” ville have ønsket kan gemme denne opdagelse for franskmændene, men således gik det
ikke til. Franskmændene blev inviteret til London af ”The Board of Longitude” efter de havde fået
udleveret Harrisons tegninger af H4. Denne handling synes med den bunder nok i den uofficielle
konkurrence mellem England og Frankrig og hvem der først ville finde en løsning. Englænderne
ønskede sandsynligvis, at vise deres overlegenhed på emnet overfor franskmændene. Harrison
forstod imidlertid ikke hvorfor disse franskmænd skulle have lov til at se på hans opfindelse. Han
havde altid været under det indtryk at han arbejdede for den Engelske Konge. Harrison tillod derfor
20
kun at franskmændene så det ydre af uret. Da Harrison kun havde fået halvdelen af
længdeprisdusøren følte han sig dog snydt, og indvilligede i at forhandle med Franskmændene om
detaljerne for H4.
39
Franskmændene undervurderede dog Harrisons opfindelse, og tilbød en, i
Harrisons øjne, for lille sum på £500 for detaljerne.
Englænderne havde således stadig muligheden for monopol over bestemmelsen af længdegraden.
Men de valgte efter udbetalingen af længdegradsprisen til Harrison, at offentliggøre detaljerne om
H4 for den videnskabelige verden. Hvorfor dette blev gjort har det ikke været mig muligt at finde
ud af. Men om ikke andet kan man sige at denne handling på sigt øgede den generelle sikkerhed til
søs. Man forhindrede nu ikke kun ens egene søfolk i at dø pga. dårlig navigation, men reddede
søfolk fra andre lande. Om det så var en klog handling rent økonomisk kan diskuteres. Hvis man
tager Thomas Muns 8. retningslinje om kunstig rigdom i betragtning ses det at han ikke ville være
enig i at det var en klog beslutning:
”Vi bør ligeledes værdsætte og fremme den handel, vi har med de fjerne lande, thi foruden fremme
af skibsfart og søfolk er de varer som sendes dertil og derfra langt mere fordelagtige for vort land
end den nærliggende handel… ”
40
Det viste sig dog ikke at være en større økonomisk ulykke at udgive værket, i den forstand at
England ikke mistede noget af deres formue ved at gøre det. Det satte bare endnu engang alle lande
på sammen niveau. De gik dog muligvis glip af formuer der kunne have været tjent på at sælge
ideen, og på at have været havets absolutte mestre. Det tog de andre kolonimagter nogle årtier at
oversætte og forstå detaljerne om H4, i en sådan grad at de kunne genskabe uret så at de havde
samme præcision. Det blev først almindeligt at have et chronometer ombord på et skib midt i 1800-
tallet. Dette skyldes bl.a. at det var kaptajnerne selv der skulle betale for et sådant ur, og det var
derfor kun de rigeste kaptajner der havde råd til det. Derudover var der ikke mange i Europa der
byggede disse ure. Så på trods af udgivelsen af detaljerne om H4, var England stadig foran i
kapløbet om havet.
England gjorde samtidigt enorme fremspring indenfor kartografien. Det var bl.a. James Cook der
berigede den engelske flåde med enormt præcise kort, ved at sejle jorden rundt for at opdage nyt
land. Han havde på sin anden og tredje rejse en kopi af H4, bygget af Kendall, kaldet K1 med. På
39
Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s.76-80
40
Se. Bilag – Thomas Mun: ”Merkantilismens principper”
21
hans anden rejse udtalte Cook i sin dagbog: ”Her må jeg bemærke at vores fejl (i Længdegraden) i
sandhed aldrig kan blive stor, så længe vi har så god en fører som ur(et).”
41
Cook fik altså ved brug af K1 optegnet de første eksakte søkort over øerne i Sydhavet, der
muliggjorde det, for andre søfarer at følge samme rute og komme sikkert hjem igen.
42
Konklusion:
Den selvlærte urmager John Harrison vandt den omdiskuterede engelske længdegradspris, med sin
opfindelse af H4 og H5. Opfindelsen af disse ure løste et af de største problemer indenfor
navigationen på dette tidspunkt, nemlig bestemmelsen af længdegraden til søs via sfærisk geometri.
Gennem denne øgede effektivitet af den engelske koloniseringsproces kunne landet bedre efterleve
merkantilismens principper om selvforsyning og positiv handelsbalance. Med opfindelsen fik
England adgang til mange værdifulde råstoffer, slaver og store landområder. Ved at have monopol
på mange af disse råstoffer kunne varerne sælges dyrt til andre lande, og den engelske statskasse
fyldtes hurtigt. Af min diskussion ses det således, at opfindelsen af H4 og H5 sandsynligvis
muliggjorde det for englænderne at udvide deres imperium hurtigere end hvis opfindelsen ikke
havde været tilgængelig.
Perspektivering:
Den massive fremgang indenfor videnskaberne og industrien siden det 18.åhr. har ført til langt mere
præcise og sikre søkort og navigationsmetoder. Man har nu elektroniske søkort og satellitbaserede
navigationssystemer, der løbende angiver skibets position med stor nøjagtighed. Denne udvikling
har ført til at de fleste af de klassiske navigationsmetoder og instrumenter er gået ud af brug. Man
navigerede faktisk kun ved brug af chronometre i omkring 100år før der kom andre metoder på
banen. Det blev dog brugt indtil 1. verdenskrig hvor radioen blev opfundet og elektronisk
navigation blev mulig. Radioen videregiver signaler om ens position på jorden ved hjælp af
radiobølger. Systemet består af flere radiosendere med en kendt position, disse udsender et signal til
skibet og ved at bestemme frekvensforskellen imellem to eller flere tårne kan stedlinjerne beregnes.
41
Manden det målte længdegraden s. 154
42
Manden det målte længdegraden s.166
22
Denne metode var ganske præcis hvis man benyttede sig af den rette frekvens, da dette havde stor
effekt på signalernes rækkevidde og stedlinjernes nøjagtighed.
Bølger med en høj frekvens udbredes efter rette linjer og giver derfor en meget større nøjagtighed
end bølger med lav frekvens. Denne såkaldte radiopejling er stort set gået ud af brug, da denne
også er blevet erstattet af ny teknologi.
De fleste mennesker i den moderne vestlige verden er bekendte med en GPS, mange har endda en i
deres bil og på mobilen. Der er dog ikke mange der kender til dens virkemåde og oprindelse.
Det første satellitsystem TRANSIT blev åbnet for civiltrafik i 1967 og var operativt indtil 1998.
Sidenhen har det amerikanske NAVSTAR GPS og det russiske GLONASS været hovedsystemerne
for satellitnavigation. Det amerikanske GPS, består i 2010 af 30 satellitter og en central
kontrolstation, der styres fra jorden. Disse bevæger sig i seks forskellige cirkulære baner om jorden,
og det giver 6-8 aktive satellitter hvorudfra man kan få sin position beregnet. Der er altså nok
backup-satellitter selv hvis en skulle fejle. Hver af disse 30 satellitter udsender et signal om dens
position og dens nøjagtige tid målt ved et atomur. Dette signal modtages af en computer på jorden
der beregner afstanden til hver satellit ved at sammenligne afsendelses- og modtagelsestidspunktet.
Når en computer har modtaget signaler fra fire forskellige satellitter får den fire ligninger med fire
ubekendte. Disse svarer til længdegraden, breddegraden, satellittens højde fra jordoverfladen, og
den nøjagtige tid. Hvis man ser på disse oplysninger ses det at det også er disse der brugtes indenfor
den sfæriske geometri i 1700-tallet. Her er satellitten dog vores fikspunkt i stedet for en stjerne.
Der har således været en betydelig fremgang indenfor navigationen, der bunder i den generelle
udvikling af teknologi, siden Harrisons opfindelse af H4. Det bør dog ikke glemmes at Harrisons
opfindelse gjorde det muligt for søfarende at bruge den sfæriske geometri i første omgang, og siden
alle de efterfølgende metoder bygger på denne matematiks anvendelse.
43
43
Den store Danske – Se litteraturliste under websider.
23
Litteraturliste
• Sobel, Dava: Manden der målte længdegraden. 1. udg. Borgen, 1997. (Bog)
• Thirslund, Søren : Navigationens Historie, Træk af navigationens historie. Bind 1. 1. udg.
Gullandes Bogtrykkeri a-s, Skjern, 1987. (Bog)
• Thirslund, Søren: Navigationens Historie, Træk af navigationens historie. Bind 2. 1. udg.
Gullandes Bogtrykkeri a-s, Skjern, 1988. (Bog)
• Thirslund, Søren: Navigationens Historie, Træk af navigationens historie. Bind 3. 1. udg.
Gullandes Bogtrykkeri a-s, Skjern, 1989. (Bog)
• Whitrow, G.J.: Time in History. 1. udg. Oxford University Press, 1988. (Bog)
• Almanak 2008, Skrive- og rejsekaldener . Redigeret af: Nils Koudahl og Joakim Groth. 1.
udg. Schultz Grafisk, 2007. (Bog)
• Betts, Jonathan: Harrison. 2. udg. National Maritime Museum Greenwich, 2007. (Bog)
• Øhrstrøm, Peter: Tidens gang i tidens løb. Side 59-77. 3. udg. Schølin Grafisk ApS Aalborg,
1999. (Bog)
• Vestergaard, Erik: Astronomisk Navigation- sfærisk geometri i anvendelse. 1. udg. Jelling
Bogtrykkeri A/S, 1997. (Bog)
Hjemmesider:
• http://www.matematiksider.dk/navi_principper.html
• http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./S%C3%B8fart/Navigation/navigation/n
avigation_(Navigation_til_s%C3%B8s)/navigation_(Navigation_til_s%C3%B8s_-_Historie)
• http://www.denstoredanske.dk/It%2c_teknik_og_naturvidenskab/Elektronik%2c_teletrafik_og_kom
munikation/Antenner_og_b%c3%b8lger/GPS
• http://www.denstoredanske.dk/Bil%2c_b%c3%a5d%2c_fly_m.m./S%c3%b8fart/Navigation/navigat
ion/navigation_(Navigation_til_s%c3%b8s)/navigation_(Navigation_til_s%c3%b8s_-
_Elektronisk_navigation)
24
Bilag:
Figurer fra Vestergaard, Erik: Astronomisk Navigation- sfærisk geometri i anvendelse. 1. udg. Jelling
Bogtrykkeri A/S, 1997. (Bog)
:
25
26
Bilag – Matematikken –De sfæriske cosinus og sinusrelationer
Sfæriske cosinus og sinusrelationer
Indenfor sfærsisk geometri gælder der nogle andre formler for trigonomiske beregninger end dem i
plantrigonometrien. Man kan, ved at se på ændringerne i koordinaterne for timevinkel- og horisont
systemet udlede de væsentlige relationer mellem vinklerne og længderne i en sfærisk trekant. Da
det er rumgeometri vi har med at gøre er det nøvendigt at drage på vores viden om beregning af
vektore i rummet. Regnereglerne og formlerne for disse er dog ikke metaget men kan findes i en
matematikbog for A-niveau i gymnasiet.
Koordinaterne fra koordinatsystemerne kaldes henholdsvis (x, y, z) og (x
’
, y
’
, z
’
). Vinklen A i
trekanten beskriver hvor mange grader (x
’
, y
’
, z
’
) har roteret om x-aksen. Et vilkårlig valgt punkt P’s
position, i en enhedscirkel med radius på 1, givet ved to vinkler. Viklen B skildre hvor langt punktet
er drejet fra x-aksen. Det viser også hvordan punktet er drejet langs niveauet for x & y. Det er nu
givet at vinkel C beskriver hvor meget det vilkårlige punkt er hævet over xy niveauet. Vi skal nu
have dannet to retvinklede trekanter og dette opnås ved at vi nedsætter nu punktet P på xy niveauet.
Ud fra P’s projection dannes en linje vinkelret hen imod x-aksen. Ned langs x-aksen ligger den
hosliggende katete Cos<B. Den hosliggende katete til vinklen C, Cos<C, kan ud fra dette beskrives
ved
:
= 1cosC.
For vores retvinklede trekant kan forholdet mellem de forskellige sider opstilles for vinklen C ved
denne formel:
= sinC ↔ modstående = hypotenusen ∙ sinC
Man kan nu drage at der tilsvarende må gælde:
Vi mangler at finde koordinaterne til x og y. Disse bestemmes ved at betragte den bue der strækker
sig over vinklen. Denne svarer til afstanden mellem den projekterede P, og x-aksen. For
koordinaterne til y gælder samme princip. Til punktet P beskrives x & y-koordinaterne således:
= 1cosC
y =
cosB
y = 1 cosC cosB
27
= 1cosC
x =
cosB
x = 1 cosC cosB
Idet vi nedlagde punktet P på xy niveauet blev der også dannet en anden trekant. For beregning på
denne trekant følger man samme procedure som for foregående. Man foretager en vinkelret
projection af P til y-aksen. Vi betegner linjen, den modstående katete til vinklen B, som sinB.
=Projektionen af P. Denne svarer til den modstående katete til vinklen C.
Koordinaterne for siden z kan skrives altså sinC.
44
Det er gennerelt accepteret at antage at vinklerne (x
’
, y
’
, z
’
) fortolkes som analog til B
’
og C
’
.
I de sfærsike koordinatsystemer betegnes de rektangulære koordinater til et vilkårligt punkt således:
x = cosB cosC x
’
= cosB
’
cosC
’
y = sinB cosC y
’
= sinB
’
cosC
’
z = sinC z
’
= sinC
’
Ved at rotere siden yz i koordinatsystemet har vi fået nye koordinater til siden P. Ved denne rotation
roteres y- & z-aksen i negativretning omkring vinklen A. x-koordinaterne forbliver dog de samme,
da x-aksen ikke ændre sin position. Betragt fiugr 1
45
De tidligere y-koordinater bliver nu større eftersom de er blevet forskudt. Efter at være blevet
roteret omkring <A, ændre y-aksen sig nu til y’-aksen.
Den hosliggende katete til vinklen A, der roterer y-aksen betegnes som y,CosA. Dette bruges til
beskrivelse af det nye punkt.
y
’
-koordinater til et ubestemt punkt P bestemmes således: y
’
= y cosA + z sinA
Samme fremgangsmåde benyttes nu på z’-koordinaterne af P. Da der her roteres mod venstre over i
den negtive del af x-aksen er de nye koordinater negative. Man skal derfor huske at den modstående
katete til vinklen A, skal subtraheres og ikke adderes.
z
’
-koordinaterne for P bestemmes således: z
’
= - y sinA z cosA
44
http://www.matematiksider.dk/sfaere/tillaeg.pdf
45
http://www.matematiksider.dk/sfaere/tillaeg.pdf
28
P’s nye koordinater der ved en rotation af yz niveauet nu er bestemt ud fra de gamle vil betegnes
således:
x
’
= x
y
’
= y cosA + z sinA
z
’
= - y sinA + z cosA
Ved at indsætte disse i koordinater ind i vores formler for de rektangulære koordinater fra før fås:
cosB
’
cosC
’
= cosB cosC
sinB
’
cosC
’
= sinB cosC cosA + sinC sinA
sinC
’
= - sinB cosC cosA + sinC cosA
Vi har nu fundet en måde at beregne ud fra et vilkårligt punkt i en trekant. I et kombineret
koordinatsystem, bestående af horisontsystemet og timevinkelsystemet, med koordinaterne (x, y, z)
og (x
’
, y
’
, z
’
) som vi allerede har arbejdet med, indtegnes den sfæriske trekant.
(Bemærk at den sfæriske trekant der her er skabt hedder ABC, i stedet for OPZ.)
Om at bestemme siderne i en sfærisk gælder følgende:
Vi ved at deklinationen af P er 90° og at deklinationen af O er d. Der må om siden OP derfor
gælde:
Vi kan på analog vis slutte at Z har højden 90° og O har højden h. Der må om siden OZ derfor
gælde:
Vi kan ud fra fig.2, hvor situationen er set fra siden, se at der om siden PZ gælder:
For at bestemme timevinklen i den astronomiske trekant gælder der en række sfæriske geometriske
formler. Se. Figur 11.
29
Figur 11 Enhver sfærisk trekant opfylder
(F1) cos(a) = cos(b) cos(c) + sin (b) sin(c) cos(A)
(F2) sin(a) sin(B) = sin(b) sin(A)
(F3) sin(a) cos(B) = cos(b) sin(c) – sin(b) cos(c) cos(A)
(F4) cos(A) = - cos(B) cos(C) + sin(B) sin(C) cos(a)
(F5) sin(A) cos(b) 0 cos(B) sin(C) + sin(B) cos(C) cos(a)
(F1) er en såkaldt (sfærisk) cosinusrelation for sider, (F2) en (sfærisk) sinusrelation og (F4) en
(sfærisk) cosinusrelation for vinkler. Bemærk, at hver af ovenstående fem relation her en række
”søsterrelationer”, som fremkommer ved bogstavombytning.
46
46
Astronomisk navigation s.16