SRP – Vækst og bakterier Abstract
Side 1 af 32
HTX 3. år
3.a MF – Studieretningsprojekt
- HTX
Vejleder: FRG
HTX 3. år
HTX 3. år
HTX
Vækst og bakterier
”Logistisk vækst”
Studieretningsprojekt (SRP)
Ma
tematik A
Biologi B
5. semester
3.a MF
SRP – Vækst og bakterier Abstract
Side 2 af 32
3.a MF – Studieretningsprojekt
- HTX
Vejleder: FRG
1 Abstract
This project investigates how bacteria grow, what role they have in nature
and how the mathematic term “logistic growth” can explain the development
of bacteria through a given time. I answered these questions by scrutinising
various sources such as “Biology of Microorganisms” and “Modelbygning –
om matematiske modeller”, and by examining a research about bacteria.
The results of my calculations and descriptions, which can be seen in my
report, were that by analyzing some data you are able to define a mathemati-
cal function describing how a population, such as a bacteria culture, grow
through a given time, and that bacteria have a major role in the ecosystems
all around the world.
1
* Billede tegnet i MSPaint. Ingen copyright.
SRP – Vækst og bakterier Indholdsfortegnelse
Side 3 af 32
2 Indholdsfortegnelse
1 Abstract .................................................................................................. 2
2 Indholdsfortegnelse................................................................................ 3
4 Indledning .............................................................................................. 4
5 Opgaveformulering ................................................................................ 5
6 Analyse / hoveddel ................................................................................ 6
6.1 Opgave 1 - Bakteriekulturer .................................................................. 6
6.2 Opgave 2 - Forsøgsresultater og logistiske kurver ................................ 8
6.3 Opgave 3 – Logistisk differentialligning og eksponentiel vækst ........ 11
6.4 Opgave 4 – Numerisk analyse + konstanterne a og b samt k .............. 12
6.5 Opgave 5 – Den bestemte løsningsfunktion med forsøgsresultaterne . 14
6.6 Opgave 6 – Funktionsundersøgelse af løsningsfunktionen ................. 17
6.7 Opgave 7 – Opstilling af en matematisk model................................... 20
6.8 Opgave 8 – Bakterier i et økosystem ................................................... 22
7 Vurdering / perspektivering ................................................................. 24
8 Konklusion ........................................................................................... 25
9 Selvevaluering ..................................................................................... 27
10 Litteraturliste m. kildekritik ................................................................. 27
10.1 Bøger.................................................................................................... 27
10.2 Internetmateriale .................................................................................. 28
11 Bilag ..................................................................................................... 29
11.1 Hele opgaveformuleringen m. bedømmelse samt vilkår for
pr
ojektarbejde ...................................................................................... 29
12 Underskrifter m. dato og antal sider .................................................... 32
SRP – Vækst og bakterier Indledning
Side 4 af 32
4 Indledning
Når man hører ordet bakterier er der ofte folk, som kun tror det har med no-
get negativt at gør, som fx sygdomme. Dette er en helt forkert og negativ
måde at se bakterier på. Bakterier findes overalt ude i naturen og er med til at
vedligeholde forskellige økosystemer som fx kulstofkredsløbet.
Udover dette, så bruges bakterier også i utrolig mange menneskeskabte
undersøgelser på laboratorier verden over. Man mener bl.a., at man i den
snarere fremtid ville kunne hjælpe til forskellige miljømæssige problemstil-
linger
2
. Det kunne fx være den globale opvarmning, som har været helt oppe
at ringe i medier de seneste år, eller det kunne være med til at løse det pro-
blem, at vi om nogle år vil være for mange mennesker på jorden til at have
ressourcer (føde, plads osv.) nok til at overleve. Man mener, at bakterier
kunne være med til at løse dette problem ved at masseproducere en ressource
på en ”naturlig” måde.
Men hvordan formere bakterier sig egentlig, og hvad har indflydelse på deres
vækstrate? Kan man lave matematiske funktioner, som til dels kan beskrive
hvordan bakterier formere sig, og hvilken del af matematikkens store univers
hører vækst af bakteriekulturer egentlig under?
I det følgende forklares hvordan en bakteriekultur vokser vha. biologisk ma-
terialer, samt en serie målinger, som redegøres for matematisk.
Herefter beskrives forskellen mellem en logistisk differentialligning og en
differentialligning for eksponentiel vækst. Derudover laves også en numerisk
analyse af forsøgsresultaterne, som fører ud i en løsningsfunktion for bakte-
riernes vækst, som så sættes op mod den kurve som forsøgsresultaterne viste.
Ud over dette foretages der også en funktionsundersøgelse af løsningsfunkti-
onen, samt at der bliver lavet en matematisk model for bakteriekulturens
vækst. Til slut gives der eksempler på hvilken rolle bakterier spiller i et øko-
system, hvorefter der vil blive konkluderet på bakteriers rolle og måden de
vokser på.
2
Brock, Thomas D. m.fl. Biology of Microorganisms (Seventh edition). United States of
America: Prentice-Hall International, Inc., 1994. Side 624, linje 24
*”Petriskål med bakterier”. DenStoreDanske.dk. Ingen copyright.
Figur 1: Petriskål med bakterier*
SRP – Vækst og bakterier Opgaveformulering
Side 5 af 32
5 Opgaveformulering
Projektets titel: Vækst og bakterier
For os mennesker er bakteriernes verden meget svær at forestille sig. De er
så små, at vi ikke kan se dem med det blotte øje og selvom en enkelt lille
bakterie er svag og kun lever kort tid, så er bakterierne uovervindelige sam-
men.
Et mikrobiologisk laboratorium har fået til opgave, at undersøge bakteriekul-
turers vækst under forskellige vækstbetingelser.
Undersøgelsesresultaterne ønskes matematiseret for hver førsøgsserie,
dvs. der skal opstilles matematiske modeller (funktionsudtryk), der for en
bestemt bakteriekultur bedst muligt beskriver dens vækst som funktion af
tiden under de givne vækstbetingelser.
I nedenstående skema er vist en serie målinger af en bakteriekulturs størrelse
N(t) til forskellige tidspunkter:
t [min]
N(t) [mill.]
1,1 2,8 7,0 15,7 30,2 46,2 57,3 63,1 65,5
1) Forklar hvad det vil sige, at bakteriekulturen vokser – hvad sker der med
bakterierne?
2) Afbild forsøgsresultaterne i et koordinatsystem. Afbildningen tyder på en
logistisk kurve – forklar, hvorfor og anslå det maksimale antal bakterier.
3) Opskriv og forklar den logistiske differentialligning y’ = y(b –ay), her-
under hvordan den adskiller sig fra differentialligningen for eksponentiel
vækst y’ = ky.
4) Bestem ved en numerisk analyse af forsøgsresultaterne størrelsesordenen
af konstanterne a og b i differentialligningen. Bestem desuden konstanten
k i differentialligningens løsningsformel.
5) Afbild den bestemte løsningsfunktion sammen med forsøgsresultaterne
og kommenter overensstemmelsen mellem den matematiske model og
målingerne.
6) Foretag en funktionsundersøgelse af løsningsfunktionen, herunder mono-
toniforhold, vendepunkt/vendetangent og asymptoter.
7) Opstil en alternativ matematisk model for bakteriekulturens vækst vha.
logistisk regression i matematikprogrammet Mathcad, og sammenlign
denne model med afbildningerne under punkt 5.
8) Giv eksempler på og beskriv, hvilken rolle bakterier spiller i et økosy-
stem, fx i et næringsstof- kredsløb.
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 6 af 32
6 Analyse / hoveddel
Jeg har valgt at dele min hoveddel op i de forskellige opgaver fra opgave-
formuleringen, og løse dem en efter en.
6.1 Opgave 1 - Bakteriekulturer
Problemanalyse: Forklar hvad det vil sige, at bakteriekulturen
vokser – hvad sker der med bakterierne?
Løsningsbeskrivelse: Jeg vil i denne opgave først forklare kort om
hvad en bakterie egentlig er, hvorefter jeg
vil beskrive hvad det vil sige, at en bakterie-
kultur vokser. Herefter vil jeg kort komme
ind omkring hvad der skal til for at vokse
bakterier på et laboratorium.
Bakterier findes i utallige mængder overalt
på jord: I vand, i jord, i luft, på og i for-
skellige organismer osv. Selvom dette kan
lyde skræmmende, så skal man ikke blive
fortvivlet, for de fleste bakterier er ufarli-
ge, og nogle er endda nyttige for os men-
nesker. De benyttes fx ved industriel frem-
stilling af mælkeprodukter eller til at ned-
bryde en lang række spildprodukter, som
kommer fra os mennesker. Ind imellem er
der dog også nogle farlige bakterier, som fx ”asteurella pestis”, som giver
pest eller ”Vibrio cholerae”, som giver kolera
3
.
Bakterier er prokaryoter (organismer, hvor arvemassens DNA ikke findes
dækket af en membran inde i en cellekerne), og som mangler membran-
bundne organeller. Arvematerialet, DNA, ligger derimod i små cirkulære
DNA-molekyler kaldet plasmider.
Figur 3: Tværdeling af bakterier**
3
Struwe, Sten og Lars Jelsbak. ”Bakterier”. DenStoreDanske.dk, 10. Juli 2009
http://www.denstoredanske.dk/Natur_og_milj%C3%B8/Mikrobiologi/Bakterier_og_mikrob
iologi_generelt/bakterier (Dato: 8/12-09)
* ”Bakterier”. DenStoreDanske.dk. Ingen copyright.
** ”Tværdeling af bakterier”. Tegnet i MSPaint. Inspiration fra Lademanns Leksikon. Ingen
copyright.
Figur 2: Billede af bakterier *
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 7 af 32
En bakterie formerer sig ved det man kalder en tværdeling af cellen. Ved
tværdeling af en bakterie spaltes dets DNA-kæde først i to, hvorefter de to
nye DNA-kæder, som er identiske med den første, trækker sig væk fra hin-
anden. Bakterien tværdeles imellem dem, idet cellemembranen er i stand til
at ”lime” sig sammen igen derefter. På denne måde kommer der to nye iden-
tiske bakterier (Se figur 3, forrige side). Hvis man ser bort fra, at bakterierne
skal have mad, plads osv. for at kunne blive ved med at formere sig, så kan
man sige, at de vokser eksponentielt (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 osv.).
Denne proces er inden for biologien også kendt som kløvning
4
.
Under gunstige forhold er en bakterie, som i øvrigt ikke kendestegnes ved
noget køn, i stand til at formere sig hvert 15. – 20. minut. Under ugunstige
forhold derimod bliver celledelingen meget langsom eller stopper helt.
Bakterier kan vokse under næsten alle forhold, men de fleste bakterier har
det dog bedst ved ca. 30 grader celsius. Under vækst skal bakterierne også
have noget energi, og dette får de på flere måder. Dette kunne fx være ved
fotosyntese som hos planter (6 CO
2
+ 6 H
2
O C
6
H
1
2
O
6
+ 6 O
2
), eller ved
respiration som hos dyr (C
6
H
12
O
6
+ 6 O
2
6 CO
2
+ 6 H
2
O + Energi). Disse
to er meget forskellige, og det beskriver det faktum, at bakterier er i stand til
at formere sig på så mange forskellige steder.
I laboratorier rundt omkring i verden dyrker man også bakterier af forskelli-
ge grunde. For at være i stand til at dyrke bakterier skal man først kende de-
res vækstkrav. Man dyrker normalt bakterier i petriskåle, hvori der er et fast
substrat, som passer til de enkelte bakterier. Det kunne fx være et substrat
med fosfat, sulfat, glukose, kalium osv. De stoffer der passer til det enkelte
bakterier er dets vækstkrav.
De bakterier man ønsker at dyrke spre-
des så ud over det faste substrat og bakte-
rierne begynder så at dele sig i kolonier,
som man vil være i stand til at se på sin
petriskål allerede efter 24 timer. De fleste
bakterier kender man ikke vækstkravene
på, og man er derfor ikke i stand til at dyr-
ke dem i petriskåle. Dog kender man man-
ge sygdomsfremkaldende bakteriers
vækstkrav, og man er derfor i stand til at
dyrke disse, og senere bruge dem til medi-
cinske undersøgelser eller andet.
5
4
Ukendt specifik forfatter. ”Kampen mod infektioner”. Lademanns Lægeleksikon, Lade-
mann, 1992.
4
Struwe, Sten og Jelsbak, Lars. Bakterier. DenStoreDanske.dk, 10. Juli 2009,
http://www.denstoredanske.dk/Natur_og_milj%C3%B8/Mikro
biologi/Bakterier_og_mikrob
iologi_generelt/bakterier (Dato: 8/12-09)
* ”Laborant med petriskål”. DenStoreDanske.dk. Ingen copyright.
Figur 4: Laborant med petriskål *
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 8 af 32
Figur
5: Eksponentiel vækst
6.2 Opgave 2 - Forsøgsresultater og logistiske kurver
Problemanalyse: Afbild forsøgsresultaterne i et koordinatsy-
stem. Afbildningen tyder på en logistisk
kurve – forklar, hvorfor og anslå det mak-
simale antal bakterier.
Løsningsbeskrivelse: Jeg vil først beskrive teorien bag logistisk
vækst, hvorefter jeg, i programmet MathCad
14, vil afbildede mine forsøgsresultater i et
koordinatsystem. Efter dette vil jeg så anslå
det maksimale antal bakterier. Jeg vil i den-
ne opgave benytte mig af bogen ”Model-
bygning – om matematiske modeller” af
Torben Svendsen
6
.
J
eg betegner nyfødte og døde individer i tidsrummet ∆t som f og d, populati-
onens størrelse med et y og til sidste tiden med t. Det kan derfor siges, at der
fødes · individer og dør · individer i et givet tidsrum ∆t. y opfylder
derfor den dynamiske ligning:
Populationens størrelse i tidsrummet ∆t kan skrives med en fast faktor, som
jeg kalder q ( ). Dette giver den eksponentielle model:
Normalt har en population ikke ubegrænsede
ressourcer (eksempelvis føde eller plads), og den
er derfor ikke i stand til at kunne vokse uhæmmet
i uendelig lang tid. Dog har en population nor-
malt i starten nok ressourcer til at vokse næsten
uhæmmet og den logistiske kurve for denne po-
pulation vil derfor vokse eksponentielt i starten
ligesom på billedet til højre
7
.
D
a en population ikke har ubegrænsede res-
sourcer vil den efterhånden begynder at vokse
langsommere og langsommere for til sidst at holde helt op med at vokse i
antal. Det siges her, at en population har nået sin maksimale størrelse.
For at få dette med i min model vil jeg forbedre matematiseringen af y.
Fremskrivningsfaktoren q kan erstattes med en fremskrivningsfaktor f(y),
6
”Svendsen, Torben. Modelbygning – om matematiske modeller. København: Gyldendal,
1994” - side 35-38 om logistisk vækst.
7
Billedet er tegnet i MSPaint
q 1 f+
d
−
som omskrives til
y y f y⋅
+ d
y
⋅− y 1 f+ d−( ) y⋅
t t ∆t+
y q
y
⋅
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 9 af 32
Figur 6: Fremskrivningsfaktoren
som funktion af populationens stør-
relse.
der er en aftagende funktion af y, da der fremskrives med en mindre og min-
dre faktor. t og y bliver derfor:
Hvis vi siger, at y ikke er for stor i forhold til de ressourcer der er til stede, så
skal f(y) være til dels være lig med q. f(M), hvor M er en populations mak-
simale størrelse, må være lig 1, da der fremskrives med 1, når populationens
størrelse er konstant. Vi kan derfor sige, at:
Figuren herunder
8
viser en funktion, men tallet af de funktioner som egentlig
kunne
være vist er nærmest uendeligt. Jeg har valgt at benytte mig af funkti-
onen:
I denne funktion er k en konstant og q er tidligere fremskrivningsfaktoren
. Denne funktion kaldes for den logistiske fremskrivningsfaktor,
og indsætter vi den i får vi det følgende dynamiske system / logi-
stiske model:
Denne teoridel kan jeg nu bruge til at forklare hvorfor den kurve, som jeg
kan tegne med forsøgsresultater, er en logistisk kurve. Først tegner jeg kur-
ven vha. programmet MathCad 14:
8
Billedet er tegnet i MSPaint
q 1 f+
d
−
y f y( )
y
⋅
t t ∆t+
y
q
1
y
k
+
y
⋅
t t ∆t+
y f y( )
y
⋅
t t ∆t+
y 1
y
⋅
f y( )
q
1
y
k
+
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 10 af 32
Som
det ses på kurven, så starter den ud med at vokse som den eksponentiel-
le model, hvorefter bakterierne i denne bakteriekultur har været ved at løbe
tør for ressourcer (plads, føde eller en helt tredje). Vi kan her se, at det derfor
er en logistisk kurve. Et typisk kendetegn er også, at den logistiske kurve er
formet som et s.
Ovenstående kan også forklares matematisk vha. differentialligning
. Denne ligning tager udgangspunkt i differentialligning for
uhæmmet vækst . Den kan løses på følgende måde, hvis vækstraten er
konstant:
For at lave en differentialligning, hvis vækst er hæmmet, skal k erstattes med
den lineære funktion . Ligningen er da bedre egnet til at beskrive
vækstprocesser, som fx bakterievækster, der på et tidspunkt går hen og afta-
ger.
y' y b a y⋅−(
)
⋅
y' k y⋅
y'
y
y k⋅
y
⇔
y'
y
k
b ay−
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 11 af 32
Da jeg blot skal anslå, og ikke endnu finde frem til, maksimal antal bakterier,
så aflæser jeg fra mine data hvor omkring maksimumspunktet er. Jeg anslå,
at det er omkring 65,5 mill.
6.3 Opgave 3 – Logistisk differentialligning og eksponentiel vækst
Problemanalyse: Opskriv og forklar den logistiske differen-
tialligning ”y’ = y(b – ay)”, herunder hvor-
dan den adskiller sig fra differentiallignin-
gen for eksponentiel vækst ”y’ = ky”.
Løsningsbeskrivelse: Jeg vil i denne opgave først udtrykke diffe-
rentialligning , hvorefter jeg udtryk-
ker og forklarer den logistisk differentiallig-
ning .
Differentialligning for eksponentiel vækst, , kan man udtrykke som
”En afledt funktion er proportional med funktionen selv”. Den generel-
le/fuldstændig løsning til denne ligning er: (c er en konstant og k
er et reelt tal)
9
Differentialligning for logistisk vækst af typen har også en
generel/fuldstændig løsning, som er , hvor c er en kon-
stant, b er skæring med y-aksen, a er hældningen og y svarer her til min N(t)
(antal bakterier i mill.).
10
S
om sagt tidligere, så er den eksponentielle vækstmodel uhæmmet. Hvis der
var tale om bakterier i en kultur i dette eksempel, så ville de aldrig stoppe
med at formere sig. De ville have uendeligt adgang til de forskellige ressour-
cer de måtte mangle. Sådan ser det ikke ud i virkeligheden, da bakterier på et
eller andet tidspunkt vil have formeret sig så meget, at de ikke ville have nok
ressourcer til at kunne formere sig mere – altså en hæmmet vækst. De har
her nået et maksimalt antal, som også indgår i den logistiske vækstmodel.
Derfor kan jeg anslå, at det bedste billede af virkeligheden laves med den
logistiske vækstmodel.
9
”Bohnstedt, Allan m.fl. "Mat A - HTX”: Systime, 2008” - side 318 om eksponentiel vækst.
10
”Pedersen, Lars. Matematik 112. København: Nyt Teknisk Forslag, 2006” - side 169 om
l
ogistisk vækst.
y'
ky
y' y b ay−(
)
⋅
y'
ky
f x( ) c e
kx
⋅
y' y b a y
⋅
−
(
)
⋅
y 0 y
b
a
1 c e
b− x⋅
⋅+
∨
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 12 af 32
6.4 Opgave 4 – Numerisk analyse + konstanterne a og b samt k
Problemanalyse: Bestem ved en numerisk analyse af forsøgs-
resultaterne størrelsesordenen af konstanter-
ne a og b i differentialligningen. Bestem
desuden konstanten k i differentiallignin-
gens løsningsformel.
Løsningsbeskrivelse: Jeg vil i denne opgave først komme frem til
en måde hvorpå jeg kan beregne hældningen
a og skæringen med y-aksen, b. Herefter vil
jeg bruge de værdier til at regne min kon-
stant k. Med disse ting vil jeg derudover la-
ve en kontrol af værdien M, som jeg tidlige-
re anslog. Til denne opgave vil jeg igen be-
nytte mig af bogen ”Modelbygning – om
matematiske modeller” af Torben Svend-
sen
11
.
D
en logistisk model vil jeg først tage reciprokværdierne af, og
der får jeg, at
1
y
1
y
k
+
q
1
y
⋅
.
Dette ser uoverskueligt ud, så jeg omskriver højresiden på følgende måde,
for at gøre det nemmere at bruge senere hen:
1
y
k
+
q
1
y
⋅
1
q
1
y
⋅ 1
y
k
+
1
q
1
y
⋅
1
qk
+
Jeg kan nu bestemme 1/y på følgende måde:
t t ∆t+
1
y
1
q
1
y
⋅
1
qk
+
Grafen for reciprokværdien af den nye værdi af y som funktion af reciprok-
værdien af den gamle værdi er en ret linje. Hældningen af denne linje er
altså
1
q
, og skæring med y-aksen er
1
kq
.
11
”Svendsen, Torben. Modelbygning – om matematiske modeller. København: Gyldendal,
1994” - side 38-39 + 42-43 om logistisk vækst.
y
q
1
y
k
+
y
⋅
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 13 af 32
NOTE: Jeg bruger kun 8 værdier fra
min tabel, da der skal være lige mange
reciprokværdier i den gamle og den
nye.
NOTE 2: Reci1 = Gammel,
Reci2 = Ny
For at få den bedste rette linje skal ”corr(Reci1 , Reci2)” være så tæt på 1
som overhovedet muligt, og dette testes vha. programmet MathCad:
OK!
Jeg kan nu beregne k vha. formlen
1
y
1
q
1
y
⋅
1
kq
+
, men først skal jeg finde
q ( ):
Igen vha. ovenstående formel regner jeg k:
Og nu beregnes M (maksimal antal bakterier), som en kontrol af det jeg an-
slog i opgave 2:
mill.
Det ses her, at min antagelse på 65,5 mill., som det maksimale antal bakteri-
er, ikke stemmer overens med den logistiske models løsning på svaret. Hvil-
ken en der er mest præcis kan jeg endnu ikke konkludere på.
corr Reci1 Reci2, ( ) 1=
1
a
q
q
1
0.382
:=
q 2.618=
1
kq
0.009
k
1
0.009
2.618
⋅
:=
k 42.441=
M 8 1−(
)
:=
M 68.67
=
Reci1
1
1.1
1
2.8
1
7
1
15.7
1
30.2
1
46.2
1
57.3
1
63.1
:= Reci2
1
2.8
1
7
1
15.7
1
30.2
1
46.2
1
57.3
1
63.1
1
65.5
:=
a slope Reci1 Reci2, (
)
:= a 0.382=
b intercept Reci1 Reci2, (
)
:= b 0.009=
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 14 af 32
6.5 Opgave 5 – Den bestemte løsningsfunktion med forsøgsresultaterne
Problemanalyse: Afbild den bestemte løsningsfunktion sam-
men med forsøgsresultaterne og kommenter
overensstemmelsen mellem den matemati-
ske model og målingerne.
Løsningsbeskrivelse: I denne opgave bestemmes først en funktion
for den bestemte løsningsfunktion, hvorefter
denne afbildes sammen med forsøgsresulta-
terne for bakteriekulturens vækst. Herefter
beskriver jeg hvad den bestemte løsnings-
funktion kan fortælle mig om matematikken
bag logistisk vækst.
Den bestemte løsningsfunktion er en logistisk vækst, og jeg kan derfor bruge
følgende teoretiske formel til at beskrive den med:
Det ses, at højreside af den omskrevet formel ligner den lineære formel (
), så jeg regner med, at jeg vil få en ret linje, hvis mine måledata er
korrekte. Derudover kan jeg også se, at min linje vil falde/hælde, da hæld-
ningen a er negativ.
Jeg anslår også, at y’ er sekanthældningen mellem et målepunkt før og efter
det punkt der betragtes.
Nu findes
y'
y
og dette gøres ved at fremstille et program (i MathCad14), der
skal løbe igennem mine måledata:
a x⋅
b
+
Logistisk forskrift: s
om er udledet af:
som omskrives til:
y
b
a
1 k e
b− x⋅
⋅+
y' y b a y⋅−(
)
⋅
y'
y
a− y⋅
b
+
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 15 af 32
Bakterier
1.1
2.8
7.0
15.7
30.2
46.2
57.3
63.1
65.5
:= T
id
0
50
100
150
200
250
300
350
400
:=
sekant
y
næste
y
forrige
−
x
næste
x
forrige
−
y
⇔
y' y
0
0←
y
n 1−
Bakterier
n 1+
Bakterier
n 1−
−
Tid
n 1+
Tid
n 1−
−
Bakterier
n
←
n 1 7..∈for
y
:=
Jeg finder nu frem til værdierne for sekanterne samt, at jeg opstiller de y-
værdier, som skal bruge i formlen
a x⋅ b+
:
Disse værdier kan nu indsættes i et koordinatsystem:
Som det ses, så følger grafen tilnærmelsesvis den rette linje, så mine måleda-
ta har været korrekte. Nu bestemmes hældning, a, og skærings med y-aksen,
y'
0.021
0.018
0.015
0.01
0.006
0.003
0.001
= y
2.8
7
15.7
30.2
46.2
57.3
63.1
0 50 60 70
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
y'
y
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 16 af 32
b, vha. lineære regression, og herefter findes
b
a
, som indgår i den logistiske
forskrift tidligere nævnt:
Funktionen for bakterievæksten kan nu tegnes sammen med måleresultaterne
af bakteriekulturens størrelse, og hvis N(t) danner en kurve, som tilnærmel-
sesvis går gennem punkterne fra måleresultaterne, så kan der konkluderes, at
den logistiske funktion, N(t), passer:
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 17 af 32
Jeg kan på grafen se, at den s-formet kurve, som N(t) danner, tilnærmelses-
vis går gennem punkterne, og det kan derfor også konkluderes, at denne lo-
gistiske funktion passer sammen med virkelighedens resultater.
6.6 Opgave 6 – Funktionsundersøgelse af løsningsfunktionen
Problemanalyse: Foretag en funktionsundersøgelse af løs-
ningsfunktionen, herunder monotoniforhold,
vendepunkt/vendetangent og asymptoter.
Løsningsbeskrivelse: Jeg vil i denne opgave lave en funktionsana-
lyse af løsningsfunktion N(t), hvor jeg her-
under vil finde værdimængden, defini-
tionsmænden, monotoniforholdet, vende-
tangenten samt asymptoter.
1. Værdimængden:
Ud fra mine tidligere beregninger kan jeg konkludere, at værdimængden er
Vm N( ) 1.1 t≤ 65.577≤
t
∈
R
, da min graf starter i y = 1,1 og slutter i y =
65,577
2. Definitionsmængden:
Grafen for den logistiske vækst starter i x = 0 og slutter principielt aldrig, da
bakteriekulturen aldrig vil stå stille. Der vil hele tiden dø og blive født bakte-
rier. Definitionsmængden er derfor:
60 400
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
Forsøgsresultater og den logistiske funktion
Tid [min]
Antal bakterier [mill.]
Størrelse
N t( )
Tid t,
Dm N( ) R
t
0
≥,
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 18 af 32
3. Monotoniforholdet:
4. Vendetangenten:
Vendetangenter tangerer grafen et sted, vor hældningen ”vender” eller ændre
sig. Overgangspunktet i mellem de to stejlheder findes ved at sætte f’’(x) = 0
Først differentieres funktionen, N(t), to gange, og herefter findes N’’(0):
Fortegnsvariationen for N'(t) kan bruges til at bestemme, i hvilke intervaller
en funktion er voksende eller aftagende.
Hvis f ' (x) > 0 i et givet interval = f(x) voksende.
Hvis f ' (x) < 0 i et givet interval = f(x) aftagende.
Monotoniforholdene for f(x):
N
(t) er voksende i intervallerne: , da den altid kun vil nærme sig
65,577.
Funktionen er på intet tidspunkt aftagende.
N t( )
6
5.577
1 72.6 e
− t⋅
⋅+
:= N' t( )
t
N t( )
d
d
:=
60 400
10
20
30
40
50
60
70
N t( )
N' t( )
t
0
0 400
5−
0
5
N' t( ) 0>
t
0 t≤ ∞≤
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 19 af 32
Nu vil jeg så finde ud af om vendetangenten er vandret eller skrå:
Nu vil jeg så finde ud af hvor denne skrå vendetangent befinder sig:
5. Asymptoter:
Ved den logistiske vækst findes der kun vandrette asymptoter.
Ud fra dette kan jeg konkludere, at
vendetangenten er skrå
.
Vandrette asymptoter bestemmes ved, at bestemme grænseværdien for N(t)
når t gående mod plus uendelig og minus uendelig:
N' t( )
t
N
t( )
d
d
:= N'' t( )
t
N' t( )
d
d
:=
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 20 af 32
6.7 Opgave 7 – Opstilling af en matematisk model
Problemanalyse: Opstil en alternativ matematisk model for
bakteriekulturens vækst vha. logistisk re-
gression i matematikprogrammet Mathcad,
og sammenlign denne model med afbildnin-
gerne under punkt 5.
Løsningsbeskrivelse: Jeg vil i denne opgave først opstille en al-
ternativ matematisk model for bakteriekul-
turens vækst vha. logistisk regression i ma-
tematikprogrammet Mathcad 14, hvorefter
jeg sammenligner den sammen med N(t)
samt måleresultaterne, og til sidst konklude-
re på resultatet der kommer ud af dette
Først definerer jeg min tid og min størrelse (antal bakterier i mill.) fra måle-
resultaterne:
Mathcads løsning på differentialligningen y' = y(b-ay
):
For at benytte logistisk regression og få beregnet a, b og c, skal man først give
et kvalificeret gæt på værdierne v
g
:
Mathcads bud på koefficienterne fås derefter sådan:
Dvs. de sædvanlige betegnelser er ændret således
- b/a i tælleren hedder a
- k i nævneren hedder b
- b i eksponenten til e hedder c
Tid
0
5
0
100
150
200
250
300
350
400
:= Størrelse
1.1
2.8
7
15.7
30.2
46.2
57.3
63.1
65.5
:=
y
a
1
b e
c−
x
⋅
⋅+
vg
65
72
0.02
:=
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 21 af 32
Dette vil jeg nu sammenligne med værdien for N(t) samt måleresultaterne
for bakteriekulturens vækst i en graf:
Som det ses på grafen, så ligger måleresultaterne for bakteriekulturens
vækst, N(t) og N
2
(t) utrolig tæt på hinanden. Jeg kan derfor konkludere, at de
t
o logistiske funktioner passer sammen med virkelighedens resultater, og det
derfor er muligt tilnærmelsesvis, at beskrive hvordan bakterier vokser i en
bakteriekultur.
60 400
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
Forsøgsresultater og de to logistiske funktioner
Tid [min.]
Antal bakterier [mill.]
N t( )
N
2
t( )
Størrelse
65.577
t t, Tid, t,
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 22 af 32
6.8 Opgave 8 – Bakterier i et økosystem
Problemanalyse: Giv eksempler på og beskriv, hvilken rolle
bakterier spiller i et økosystem, fx i et næ-
ringsstof- kredsløb.
Løsningsbeskrivelse: Jeg vil i denne opgave fortælle om bakteri-
ers rolle i et økosystem. Dette gør jeg bl.a.
ved at beskrive et kvælstofkredsløb.
Når man hører ordet bakterier, er der ofte folk, som kun tror det har noget
med laboratorieundersøgelse samt sygdomme at gøre. Dette er en helt forkert
måde at se bakterier på. Bakterier findes overalt ude i naturen, hvor de bl.a.
er med til at skifte de omgivelser de er i. Dette kunne fx være i vand, jord
eller i det hele taget bare alt der er rundt om bakterierne. Selvom de er så
utrolig små, at man kun kan se dem med et mikroskop, så har de en stor rolle
i naturens miljø. Man kan sige, at bakterier er en del af økosystemerne, og
et økosystem er kort sagt ”et udsnit af naturen med alle dens biotiske (leven-
de) og abiotiske (døde) bestanddele og de processer, der foregår imellem
dem
12
”.
K
vælstofkredsløbet, som er et eksempel på et næringsstof-kredsløb hvor
bakterier har en stor rolle, kan man kalde for et økosystem, og jeg vil prøve,
at forklare dette kredsløb på en overskuelig og forståelig måde.
Planter danner protein, og når de gør dette anvender de den glukose de
fremstiller under fotosyntesen som kulstofskelet. Fra omgivelserne optages
nitrogen, som normalt kommer fra ammonium NH
4
+
eller nitrat NO
3
-
, på
opløst form (opløst i vand) gennem planternes rødder. Bakterier nedbryder
protein og urinstof til ammoniak NH
3
, der bruges som energi til deres
l
ivsprocesser. Nedbrydningen af disse stoffer kan foregå uden ilt, altså anae-
robt, eller med ilt, aerobt, og når ammoniakken, som bakterierne udvandt,
opløses i vand, så får man ammonium (NH
4
+
), som planterne jo skulle bruge.
Ammonium kan også omdannes til nitrit (NO
2
-
) og herefter til nitrat (NO
3
-
),
og begge disse processer skyldes igen bakterier, som udnytter energi der
frigøres ved disse processer, til at opbygge glukose fra kuldioxid og vand.
Dette lyder lidt som fotosyntesen, og den eneste forskel er da også, at ener-
gien, som bruges, ikke kommer fra sollys, men i stedet ved iltning af uorga-
nisk stof (ammonium og nitrit). Når ammonium bliver omdannet til nitrat har
man det vi kalder for en nitrifikation.
Bælgplanter (bønner, ærter osv.) er anderledes end andre planter når det
kommer til nitrogen. De optager, som andre planter, ammonium og nitrat,
men de er også i stand til at udnytte det nitrogen, N
2
, som svæver rundt i
luften omkring dem. Bakterier har igen en rolle her. Nogle bakterier kaldet
Rhizobium, som lever i rødderne på bælgplanterne, er i stand til at skille
luftens nitrogen til små nitrogenatomer, og derfra danne ammonium, som så
anvendes til aminosyreopbygning. Bakterierne får dog også noget ud af at
hjælpe bælgplanterne. Den proces bakterien gennemgår, kræver utrolig me-
12
Hansen, Niels m.fl.
Biologibogen
. Gylling, Systime, 2008. Side 244 (ordforklaring)
SRP – Vækst og bakterier Analyse / hoveddel
Side 23 af 32
get energi, men denne energi får de foræret af bælgplanterne i form af gluko-
se. Man kan sige, at de lever i symbiose (to arter der lever i harmoni med
hinanden og gør gavn for begge). En mangelvare i mange økosystem er ni-
trogen, men da bælgplanten lever i symbiose med bakterierne Rhizobium, så
er dette ikke noget de kommer til at savne
13
.
På billedet herunder er et billede af hvordan kvælstofkredsløbet fx kunne se
ud. Teksten er lidt utydelig, men kan heldigvis godt læses.
Figur 7: Kvælstofkredsløb *
13
Hansen, Niels m.fl.
Biologibogen
. Gylling, Systime, 2008. Side 28-29 (økologi)
* ”Kvælstofkredsløb”.
Biologibogen
af Systime. Ingen copyright.
SRP –
Vækst og bakterier
Morten
Kristensen
retningsprojekt
7 Vurdering /
Det kan for nogle være svært, at regne ud
modeller for den logistiske vækst til
mange mennesker
en forholdsvis pålidelig model, s
sen af en bakteriekultur,
over en bestemt tid.
for eksempel
jagt, fiskeri, antal vuggestuer i en kommune el
en skimmelkultur til fremstilling af skimmeloste vil vokse, så er det utrolig
vigtigt at have en nogenlunde idé om hvordan
vokser over tid.
Som sagt, så er disse modeller kun forholdsvis pålidelige, da man ikk
altid kan regne med hvordan populationer vokser over en tid. Hvis man fx
har lavet en logistisk model for hvordan en befolkningsgruppe i
Danmark vil vokse over en given tid, så er der mange ting man vha. matem
tikken ikke kan tage højde for.
været ramt af i et godt stykke tid. Denne har fået mange til at gøre sig flere
overvejelser
inden de får børn, da de evt. ikke sel
forøge deres familie.
for at forskellige dyrebestande pludseligt kan blive næsten udryddet af andre
rovdyr eller
blive
Igennem denne rapport har jeg nævnt, at bakterier bruges til forskellige v
denskabsmæssige undersø
2008 fandt nogle svenske forskere ud af, at man
veanlæg fra en colibakterie kunne få den til at producere ravsyre, som bruges
i plast-
og opløsningsmiddelsindustrien. En af de r
dette, er at man nu er i stand til at gøre det halvt så dyrt som før, samtidig
med at man skåner miljøet langt mere. Før
som vi ved ikke er miljøvenlig
slippe op.
Det er derudover også lykkedes forskere, at
naturlige evne til at danne ravsyre
som
før blev brugt til at danne
som er oppe at ringe i medierne for tiden
bakterier også ville være med til at forhindre, da de kræver CO
leve.
14
Krøyer, Kent
. ” Amputeret bakterie erstatter olie med træ”. ing.dk, 13.
http://ing.dk/artikel/86399
*Billede fra Wikipedia.dk. Ingen copyright.
Vækst og bakterier
Vurdering / perspektivering
Kristensen
Faarkrog
St
G
perspektivering
Det kan for nogle være svært, at regne ud
hvor og
hvad man skulle bruge
modeller for den logistiske vækst til
, men faktisk bruges dette af utrolig
mange mennesker
verden over. I adskillige
tilfælde kan det være nyttigt med
en forholdsvis pålidelig model, s
om er i stand til at vise hvordan fx større
sen af en bakteriekultur,
en dyrebestand eller en
befolkningsgruppe vokser
over en bestemt tid.
Når forskellige beslutningstagere skal fastlægge kvoter
jagt, fiskeri, antal vuggestuer i en kommune el
en skimmelkultur til fremstilling af skimmeloste vil vokse, så er det utrolig
vigtigt at have en nogenlunde idé om hvordan
de forskellige populationer
vokser over tid.
Som sagt, så er disse modeller kun forholdsvis pålidelige, da man ikk
altid kan regne med hvordan populationer vokser over en tid. Hvis man fx
har lavet en logistisk model for hvordan en befolkningsgruppe i
Danmark vil vokse over en given tid, så er der mange ting man vha. matem
tikken ikke kan tage højde for.
Det kunne fx være finanskrisen som vi har
været ramt af i et godt stykke tid. Denne har fået mange til at gøre sig flere
inden de får børn, da de evt. ikke sel
v mener, at de har råd til at
forøge deres familie.
Man kan også sige, at modellen h
eller ikke
for at forskellige dyrebestande pludseligt kan blive næsten udryddet af andre
blive
jagtet væk fra et sted til et andet.
Igennem denne rapport har jeg nævnt, at bakterier bruges til forskellige v
denskabsmæssige undersø
gelser, og dette har jeg fundet et eksempel på
2008 fandt nogle svenske forskere ud af, at man
blot
ved at fjerne noget a
veanlæg fra en colibakterie kunne få den til at producere ravsyre, som bruges
og opløsningsmiddelsindustrien. En af de r
evolutionerende ting ved
dette, er at man nu er i stand til at gøre det halvt så dyrt som før, samtidig
med at man skåner miljøet langt mere. Før
hen
blev ravsyre udvundet fra olie,
som vi ved ikke er miljøvenlig
t
, og så er det også en ressource som er ved at
Det er derudover også lykkedes forskere, at
tredoble bakteriens
naturlige evne til at danne ravsyre
ved at fjerne gener
(genmanipulation)
før blev brugt til at danne
andre unødvendige stoffer.
Et andet problem
som er oppe at ringe i medierne for tiden
,
er global opvarmning, som disse
bakterier også ville være med til at forhindre, da de kræver CO
Figur 8: Kemisk opstilling af ravsyre*
. ” Amputeret bakterie erstatter olie med træ”. ing.dk, 13.
http://ing.dk/artikel/86399
-amputeret-bakterie-erstatter-olie-med-trae
(Dato: 12/12
*Billede fra Wikipedia.dk. Ingen copyright.
Vurdering / perspektivering
Side 24 af 32
hvad man skulle bruge
, men faktisk bruges dette af utrolig
tilfælde kan det være nyttigt med
om er i stand til at vise hvordan fx større
l-
befolkningsgruppe vokser
Når forskellige beslutningstagere skal fastlægge kvoter
jagt, fiskeri, antal vuggestuer i en kommune el
ler hvor hurtigt
en skimmelkultur til fremstilling af skimmeloste vil vokse, så er det utrolig
de forskellige populationer
Som sagt, så er disse modeller kun forholdsvis pålidelige, da man ikk
e
altid kan regne med hvordan populationer vokser over en tid. Hvis man fx
har lavet en logistisk model for hvordan en befolkningsgruppe i
eksempelvis
Danmark vil vokse over en given tid, så er der mange ting man vha. matem
a-
Det kunne fx være finanskrisen som vi har
været ramt af i et godt stykke tid. Denne har fået mange til at gøre sig flere
v mener, at de har råd til at
eller ikke
tager højde
for at forskellige dyrebestande pludseligt kan blive næsten udryddet af andre
Igennem denne rapport har jeg nævnt, at bakterier bruges til forskellige v
i-
gelser, og dette har jeg fundet et eksempel på
14
. I
ved at fjerne noget a
r-
veanlæg fra en colibakterie kunne få den til at producere ravsyre, som bruges
evolutionerende ting ved
dette, er at man nu er i stand til at gøre det halvt så dyrt som før, samtidig
blev ravsyre udvundet fra olie,
, og så er det også en ressource som er ved at
tredoble bakteriens
(genmanipulation)
,
Et andet problem
,
er global opvarmning, som disse
bakterier også ville være med til at forhindre, da de kræver CO
2
for at kunne
. ” Amputeret bakterie erstatter olie med træ”. ing.dk, 13.
marts, 2008
(Dato: 12/12
-09)
SRP – Vækst og bakterier Konklusion
Side 25 af 32
8 Konklusion
Jeg har valgt, at dele min konklusion op i 8 dele – 1 del til hver af opgave-
formuleringens opgaver.
1. Jeg kan konkludere, at en bakteriekultur vokser eksponentielt, så
længe der er ressourcer (plads, føde osv.) til det, og de formerer
sig ved det man kalder en tværdeling af deres celler.
2. Ud fra denne opgave kan jeg konkludere, at den logistiske kurve
kan forklares vha. følgende model for logistisk vækst ,
som afbilder en s-formet kurve. Jeg anslog det maksimale antal
bakterier til 65,5 mill..
3. Her kan der konkluderes, at differentialligning for logistisk vækst
af typen har en generel/fuldstændig løsning, som
er:
, hvor c er en konstant, b er skæring med
y-aksen, a er hældningen og y svarer her til min N(t). Og den
eksponentielle vækstmodel, er uhæmmet. Sådan ser det
ikke ud i virkeligheden, da bakterier på et eller andet tidspunkt vil
have formeret sig så meget, at de ikke ville have nok ressourcer
til at kunne formere sig mere – altså en hæmmet vækst. De har
her nået et maksimalt antal, som også indgår i den logistiske
vækstmodel, og derfor er det den logistiske model der beskriver
virkeligheden bedst.
4. Ud fra denne opgave kom jeg frem til, at 1/y kan beskrives på
følgende måde, som jeg vha. kan komme frem til konstanterne a
og b samt konstanten k:
Jeg fandt frem til, at a = 0,382 , b = 0,009 og k = 42,441
5. Jeg fandt frem til, at den bestemte løsningsfunktion for logistisk
væ
kst er:
Jeg kan også konkludere, at den s-formet kurve, som N(t)
danner, tilnærmelsesvis går gennem punkterne fra forsøgsresulta-
terne, og det kan derfor også konkluderes, at denne logistiske
funktion passer sammen med virkelighedens resultater.
y
q
1
y
k
+
y
⋅
y' y b a y
⋅
−
(
)
⋅
y 0 y
b
a
1 c e
b− x⋅
⋅+
∨
y'
ky
1
y
1
q
1
y
⋅
1
qk
+
SRP – Vækst og bakterier Konklusion
Side 26 af 32
6. Ved en funktionsanalyse af N(t), kan jeg konkludere, at:
a. Værdimængden er
Vm N( ) 1.1 t≤ 65.577≤
t
∈
R
b. Definitionsmængden er
c. N(t) er stigende i intervallet
d. Der findes en skrå vendetangent i
e. y = 0 er en vandret asymptote, når t går mod minus uende-
lig
f. y = 65,577 er en vandret asymptote, når t går mod plus
uendelig
7. Ved hjælp af logistisk regression i matematikprogrammet Math-
cad kom jeg frem til:
På grafen, som N(t), måleresultaterne og N
2
(t) dannede, ses, at de
ligger utrolig tæt på hinanden. Jeg kan derfor konkludere, at de to
logistiske funktioner passer sammen med virkelighedens resulta-
ter, og det derfor er muligt tilnærmelsesvis, at beskrive hvordan
bakterier vokser i en bakteriekultur.
8. Jeg kan ud fra denne opgave konkludere, at bakterier har en utro-
lig stor rolle i de forskellige økosystemer der findes rundt om-
kring i verden. Det kunne fx være i kulstofkredsløbet, hvor de
bl.a. nedbryder protein og urinstof til ammoniak NH
3
, der bruges
som energi til deres livsprocesser, og som også bruges af planter.
Dm N( ) R t
0
≥,
0 t≤ ∞≤
SRP – Vækst og bakterier Selvevaluering
Side 27 af 32
9 Selvevaluering
Da jeg i sin tid skulle vælge et emne til SRP (Studieretningsprojekt), var jeg
i tvivl om hvad jeg skulle tage. Vi havde fået at vide, at det ville være en god
idé, at vælge noget man interesserede sig for, men på samme tid skulle det
også være noget som gik ud over pensum i de enkelte fag. Jeg valgte derfor
at spørge min matematiklærer, Franka Gallas, om hvilke emner der i fagene,
matematik og biologi, gik ud over pensum, og hvilke emner der ville gøre
det muligt at få en høj karakter. Vi fandt frem til emnet logistisk vækst, og
allerede fra start af vidste jeg, at det ville være et emne, der udfordrede mig
meget på det matematiske og biologiske plan. Jeg har i løbet af ugen arbejdet
hårdt og målrettet for at løse den udleverede opgaveformulering, samt alt
andet der skulle indgå i rapporten, og jeg synes selv, at resultatet af mit hårde
arbejde er rigtig tilfredsstillende. Jeg blev i løbet af projektugen ramt af in-
fluenza, hvilket satte mig på standby i nogle dage, men da jeg hurtigt kom
tilbage på benene, så var det ikke noget der havde den helt store betydning
for det færdige resultat.
Jeg har forstået emnet logistiske vækst samt viden bag bakterier, og dette
har været en personlig sejr for mig.
Alt i alt synes jeg, at dette er et godt og tilfredsstillende projekt.
10 Li
tteraturliste m. kildekritik
Jeg har valgt at dele min litteraturliste op i to dele. De bøger jeg har brugt
samt de internetsider jeg har benyttet mig af.
10.1 Bøger
Bohnstedt, Allan m.fl. Mat A - HTX: Systime, 2008. Side 318.
- Denne bog er beregnet til HTX-studerende med matematik på A-
niveau. Den er skrevet af matematikere, og jeg konkludere derfor, at
det er en troværdig kilde.
Brock, Thomas D. m.fl. Biology of Microorganisms (Seventh edition).
United States of America: Prentice-Hall International, Inc., 1994. Side 623-
624.
- Dette er en bog beregnet til universitetsundervisning i mikrobiologi.
Den er skrevet af fire professorer, og bliver ”ofte” ændret og udgivet
på ny. Jeg konkluderer derfor, at denne kilde er troværdig og brug-
bar.
Hansen, Niels m.fl. Biologibogen. Gylling, Systime, 2008.
- En bog beregnet til studerende på ungdomsuddannelser med biologi
på B-niveau. Den er skrevet af 5 forskellige biologer, og er blevet op-
timeret 1 gang (2. udgave). Jeg vurderer denne kilde som relevant og
troværdig.
SRP – Vækst og bakterier Litteraturliste m. kildekritik
Side 28 af 32
Pedersen, Lars. Matematik 112. København: Nyt Teknisk Forslag, 2006.
Side 169.
- Dette er en formelsamling til faget matematik, beregnet til ungdoms-
uddannelser som fx HTX og STX. Den indeholder de formler man
normalt har brug for i faget matematik, og så stemmer formlerne
overens med formler fra andre matematiske bøger. En troværdig bog
ifølge mig.
Svendsen, Torben. Modelbygning – om matematiske modeller. København:
Gyldendal, 1994. Side 35-44.
- Dette er en bog skrevet til ungdomsuddannelser som fx HTX og STX.
Den er skrevet på et forståeligt sprog, men på samme tid giver den
information, som ligger ud over pensum. Den er forholdsvis ny, og
denne del af matematikken har ikke ændret sig siden. Jeg vurderer
derfor denne kilde som troværdig.
10.2 Internetmateriale
Krøyer, Kent. Amputeret bakterie erstatter olie med træ. ing.dk, 13. marts,
2008 http://ing.dk/artikel/86399-amputeret-bakterie-ersta
tter-olie-med-trae
(Dato: 12/12-09)
- Ing.dk (Inginøren.dk) er en side, hvorpå forfatter, dato samt kilder er
oplyst, hvilket er med til at gøre dette til en pålidelig kilde. Derud-
over er det kun folk, der har en fagmæssig fyldig viden inden for det
givende område der skriver derinde. En pålidelig kilde.
Struwe, Sten og Jelsbak, Lars. Bakterier. DenStoreDanske.dk, 10. Juli 2009,
http://www.denstoredanske.dk/Natur_og_milj%C3%B8/Mikrobiologi/Bakte
rier_og_mikrobiologi_generelt/bakterier (Dato: 8/12-09)
- Den Store Danske.dk er en side, som minder om Wikipedia på nogle
punkter, bortset fra, at det her kun er folk der har studeret om det de
skriver om, samt at de angiver en dato for det de skriver. Ved brug af
den store danske behøves man ikke nødvendigvis dobbelttjekke sine
informationer, men alligevel er dette altid en god idé at gøre. En tro-
værdig kilde.
Ukendt forfatter. Kulstofkredsløb. Wikipedia.dk, ukendt dato,
http://da.wikipedia.org/wiki/Kulstofkredsløb (Dato: 9/12-09)
- Wikipedia er en side, som de fleste fraråder, at man bruger, da for-
fatteren af artiklen ikke er kendt, datoen er ikke kendt, og så kan alle
og enhver gå ind og redigere i teksten derpå. Dog vil jeg mene, at
man kan lave Wikipedia til en troværdig kilde, hvis bare man dob-
belttjekker ens data. De få gange jeg i løbet af rapporten har brugt
Wikipedia, har jeg husket at dobbelttjekke mine data, og de har hele
tiden været troværdige. Jeg konkluderer derfor, at dette er en til dels
troværdig kilde, hvis man dobbelttjekker sine data.
SRP – Vækst og bakterier Bilag
Side 29 af 32
11 Bilag
11.1 Hele opgaveformuleringen m. bedømmelse samt vilkår for
projektarbejde
M
M
o
o
r
r
t
t
e
e
n
n
K
K
r
r
i
i
s
s
t
t
e
e
n
n
s
s
e
e
n
n
F
F
a
a
a
a
r
r
k
k
r
r
o
o
g
g
3
3
.
.
A
A
Studieretningsfag: Matematik A, Fysik A
Fagkombination i studieretningsprojekt: Matematik A, Biologi B
V
ejleder: Franka Gallas (FRG)
Projektets titel:
V
V
æ
æ
k
k
s
s
t
t
o
o
g
g
b
b
a
a
k
k
t
t
e
e
r
r
i
i
e
e
r
r
For os mennesker er bakteriernes verden meget svær at forestille sig. De er
så små, at vi ikke kan se dem med det blotte øje og selvom en enkelt lille bak-
terie er svag og kun lever kort tid, så er bakterierne uovervindelige sammen.
Et mikrobiologisk laboratorium har fået til opgave, at undersøge bakterie-
kulturers vækst under forskellige vækstbetingelser.
Undersøgelsesresultaterne ønskes matematiseret for hver førsøgsserie, dvs.
der skal opstilles matematiske modeller (funktionsudtryk), der for en bestemt
bakteriekultur bedst muligt beskriver dens vækst som funktion af tiden under
de givne vækstbetingelser.
I nedenstående skema er vist en serie målinger af en bakteriekulturs størrel-
se N(t) til forskellige tidspunkter:
t [min]
N(t) [mill.]
1,1 2,8 7,0 15,7 30,2 46,2 57,3 63,1 65,5
1) Forklar hvad det vil sige, at bakteriekulturen vokser – hvad sker der
med bakterierne?
2) Afbild forsøgsresultaterne i et koordinatsystem. Afbildningen tyder
på en logistisk kurve – forklar, hvorfor og anslå det maksimale antal
bakterier.
3) Opskriv og forklar den logistiske differentialligning y’ = y(b –ay),
herunder hvordan den adskiller sig fra differentialligningen for eks-
ponentiel vækst y’ = ky.
4) Bestem ved en numerisk analyse af forsøgsresultaterne størrelsesor-
denen af konstanterne a og b i differentialligningen. Bestem desuden
konstanten k i differentialligningens løsningsformel.
SRP – Vækst og bakterier Bilag
Side 30 af 32
5) Afbild den bestemte løsningsfunktion sammen med forsøgsresultater-
ne og kommenter overensstemmelsen mellem den matematiske model
og målingerne.
6) Foretag en funktionsundersøgelse af løsningsfunktionen, herunder
monotoniforhold, vendepunkt/vendetangent og asymptoter.
7) Opstil en alternativ matematisk model for bakteriekulturens vækst
vha. logistisk regression i matematikprogrammet Mathcad, og sam-
menlign denne model med afbildningerne under punkt 5.
8) Giv eksempler på og beskriv, hvilken rolle bakterier spiller i et øko-
system, fx i et næringsstof- kredsløb.
Bedømmelse
Ved bedømmelsen lægges der herudover vægt på nedenstående forhold:
• at du demonstrerer evne til faglig fordybelse og til at sætte dig ind i nye faglige
områder
• at du demonstrerer evne at udvælge, anvende og kombinere forskellige faglige
tilgange og metoder og dermed forstærke den faglige fordybelse
• at du behersker relevante faglige mål i de indgående fag
• at du udvælger, bearbejder og strukturerer relevante materiale
• at du demonstrerer evne til faglig formidling
• at du besvarer en stillet opgave fyldestgørende, herunder at der er overens-
stemmelse mellem opgaveformuleringen og –besvarelsen samt
• at du behersker fremstillingsformen i en faglig opgave (fx citatteknik, noter,
kilde- og litteraturfortegnelse)
Der gives én karakter ud fra en helhedsbedømmelse. Karakteren vægtes med faktor
2.0 på eksamensbeviset.
Vilkår for projektarbejdet
● Opgaven udleveres kl. 15.00 mandag, den 7. december 2009.
● Din rapport skal afleveres senest kl. 14.00 mandag, den 14.december 2009.
Din vejleder vil være tilstede i afdelingen for at yde vejledning på følgende tids-
punkter i løbet af projektugen:
● Tirsdag 10.40 – 13.30
● Onsdag 08.00 – 11.25
● Torsdag efter aftale
● Fredag 08.00 – 09.35
● Mandag 09.50 – 11.25 + 13.30 – 15.00
SRP – Vækst og bakterier Bilag
Side 31 af 32
Øvrige vilkår for projektarbejdet – herunder rapportens omfang og udfdormning,
inklusive resumé på engelsk, samt vejlederens rolle i projektugen fremgår af den
udleverede ”Info-folder til elever”.
Opgaveformulering skal indsættes i rapporten.
SRP – Vækst og bakterier Underskrifter m. dato og antal sider
Side 32 af 32
12 Underskrifter m. dato og antal sider
Antal normalsider (2400 tegn (uden mellemrum) pr. side) uden ind-
holdsfortegnelse, opgaveformulering samt bilag:
~ 27,500 ~ 11,5 sider
Dog er alle beregningerne ikke taget med, da de er sat ind som billeder.
_______ / _____
Dato
_______ / _____
Dato