[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 1 of 25
Indholdsfortegnelse:
Indledning ………………………………………………………………………………………...2
Samfundet op igen tallet. ............................................................................................. 2
1400-tallet: ................................................................................................................................................ 2
1600-tallet: ................................................................................................................................................ 3
Videnskaben fra tallet: ................................................................................................. 4
Verdensbilledets forandringen: ....................................................................................................... 5
Keplers arbejdsform: ....................................................................................................................... 5
Tycho Brahes observationer og Keplers beregninger for den fortsatte udvikling af
naturvidenskab. ............................................................................................................................... 6
Siderisk og synodisk omløbstid. ..................................................................................................... 6
Ellipsen ........................................................................................................................................... 9
Keplers Metode til beregning af Mars bane. ................................................................................. 12
Ellipsens ligning i polærer koordinater: ........................................................................................ 20
Parameterfremstilling:................................................................................................................... 21
Fremgangsmåde til konstruktion af planetbanen for jorden og mars: .......................................... 22
Konklusion: ................................................................................................................................... 23
Literaturliste: ................................................................................................................................. 24
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 2 of 25
Indledning:
Perioden renæssancen, var en tid hvor næsten alle idéerne om verdens struktur blev lavet om.
Mennesket fik en helt anden og mere central plads i verden, religionen undergik alvorlige
forandringer. Solen fik sin plads som universets centrum. En mand, som var med til at gøre
denne forskel, var Johannes Kepler. Johannes Kepler startede i det små, som matematiklærer i
byen Graz, efter han var blevet færdiguddannet i sin hjemby.
Kelper gjorde sig allerede her nogle af de samme tanker og idéer som Tycho Brahe også havde.
Men dengang var disse tanker endnu ikke anerkendt, og der var ingen som snakkede for højt om
den nye opfattelse af universet. Jeg ser på tiden omkring Kepler og forsøger at placere ham i
forhold til tiden.
I 1600 flytte Kepler til Prag, Tycho Brahe var blevet kejserlig matematiker efter at han forlod
Danmark. Efter Brahes død overtog Kepler alle Brahes observationer, for at Kepler kunne
færdiggøre sine beregninger for Mars’ banebevægelse, og i 1602 nåede Kepler frem til at Mars’
bane måtte være oval, og dermed modbevidste han datidens opfattelse af universet. I 1609 udgav
han ”Astronomisk nova” hvor i hans 2. lov blev beskrevet således “Arealhastigheden er konstant
i hele bevægelsen”. Denne lov vil jeg i opgaven se nærmere på plus ellipsens ligning.
Samfundet op igen tallet.
1400-tallet:
Samfundet i det 1400 var stadigvæk påvirket af den sorte død , hvor omkring 50% af
Europas befolkning døde
1
. Den sorte død fjernede feudalismens magt, da mange mennesker
levede som bønder, og pga manglende arbejdeskraft gav det mere frihed. Omkring 1600-tallet
var det kun omkring 10% af Frankrigs befolkning, som var stavnsbundet
2
.Magten lå hos de lærte
dvs kirke og monarkiet. Samfunet i 1400-tallet var også en tid præget af krig, sygdom, sult og
udvandring. Betingelserne var hårde og gennemsnits levealderen var 22år
3
.
1
Europe in the 17th Century side 1. (Denne tal i andre kilder lå omkring 25-30%)
2
Europe in the 17th Century ; side 7. I Denmark hedder det Len.
3
Europe in the 17th Century side 9.
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 3 of 25
Videnskaben var i starten af 1400-tallet påvirket af den sorte døds effekt. Europa var blevet mere
konservativt. Nytænkning og ideer var ikke det vigtiste omkring starten 1400-tallet. Indtil 1400-
tallet havde kirken haft monopol på næsten alt skriftsprog og litteratur i Europa. I 1442 begyndte
Johann Gutenberg at trykke, og i 1455 begyndte han at trykke Biblen. Bogtrykkeri gjorde ikke
kun biblen men også viden mere tilgængelig. Konstantinopels fald i 1453 gav også styrke til
nytænkning og ideer. Med Konstantinopels fald kom der ideer og tekster fra det gamle Rom og
Grænkenland. Italien stod som centurm for disse ideer, da man ville genskabe Roms storhed
igen.
I 1500-tallet blev katolismen splittet, først kom reformen kaldet konciliarism, som var med til at
begrænse kirkens magt (1511 Koncil af Lateran), og gav reelt magten til monarkiet. Kirken blev
også opfattet som meget korrupt, paver var politiske, og deres magt blev ofte misbrugt til at
fremme egne mål.
Luthers 95 theser fra 1517 blev til på grund af dette magtmisbrug. Luther var påvirket af tidens
humanistiske bevægelse (menneskehedens placering og læring fra oldtider). Luthers reformation
og den katolske kirkes kontra-reformation førte til krig. Augsburg Traktaten af 1555 gav
monarkiet ret til bestemme en religion alt efter deres egen overbevisning(Cuius regio,eius
religio). Virkligheden i 1500-tallet Europa var, at man kunne leve sammen med andre troende,
men man kunne ikke acceptere deres tro. De fleste Stater modarbejdede andres tro, nogle blev
dog tolereret pga. handel og videnskab. Her blev raison d´etat
4
det afgørende for accept.
1600-tallet:
I 1600-tallets Europa blev magten centraliset til statens overhovede "raison d´état", monarken
blev uafhængig af kirken, staten kom til sin egen ret. I 1648 blev dette manifesteret efter
slutningen på 30 års krigen. Machiavelli skrev, at kun et stærk og absolut monarki kunne give et
sikkert og stærkt samfund. De fleste i samfundet (bonder) blev ikke påvirket af denne udvikling,
her herskede stadig den gamle traditions tro. I 1617 blev Keplers mor beskyldt for heksegerning.
Omkring 1600-tallet gav udviklingen inden for videnskab, øget handel og velfærd hos de rige
ofte kirken problemer. Staten fik sit eget moralske grundlag og man kunne ikke tjene to herrer.
4
Europe in the 17th Century ; side 44
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 4 of 25
Videnskabs udvikling gik også væk fra et kirklig synspunkt og indflydelse fra fjerne kulture viste
at der fandtes moral og etik i andre religioner..
Videnskaben fra tallet:
I perioden opstod et nyt verdensbillede, det aristoteliske verdensbillede, som var formuleret af
Aristoteles (384-322 f. Kr.). Dette verdensbillede har jorden som dets centurm. Det var et
perfekt, uforanderligt og guddommeligt billede, der blev tegnet. Dette verdensbillede blev
ligestillet med kirkens idé om skabelsen. Ind for videnskab kom ingen nye ideer eller
nytænkning, man genskabte gamle ideer og disse blev cementeret i tankemåden. Intuition og
følelser blev det ny værktøj til opfindelser og ikke logik og deduktion. Humanismen blev til, at
mennesket er i centrum, at Mennesket er selvstændigt og at mennekset kan udvikle sig og skabe
uden Guds indblanding.
I astronomien blev det Polemæiske geocentriske system baseret på Polemæus Almagest
5
brugt.
Til udregninger blev den Alfonsinske tabel brugt, disse var baseret på Almagest med
modifikationer fra arabiske udregninger (Thabit ibn Qurra). I 1496 blev "Epitome of the
Almagest" udgivet, hvilket gjorde at Polemæus arbejdet blev tilgængeligt for første gang. Fælles
for denne tid var at resonnement blev opbygget på tolkninger af hvad der var blevet skabt og
sagt. Menneskers handlinger var baseret på det kulturelle billed, de befandt sig i. Forudforståelse
var bygget på de gamle tanker fra Grækenland som Rom genfandt med Renæssancen.
Kopernikus udgav i 1543 sin bog ”De revolutionibus orbium caelestium”. Kirken skrev i
forordet, at ideen heri var en matematisk model og skulle forstås som sådan. Kopernikus påviste,
at problemer og uregelmæssigheder ved Polemæus model kunne løses ved at sidestille jorden
med de andre planeter og anbringe den i sin egen cirkelbane omkring solen. Hans teori var ikke
præcis og planeter kunne ikke følge eksakte cirkelformede baner. Hans metode fuldte Polemæus
også hans præsentation. Omrking samme tid udarbejder Kopernikus et dokument hvori han
argumentererde for sin idé om et heliocentriske verdenssystem, med umildbar stillestående
fiksstjerner alleryderst.
5
http://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_revolution
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 5 of 25
Verdensbilledets forandringen:
Det var ikke en enkelt begivenhed, der ændrede verdensbilledet, men hvordan man pludselig
løste videnskablige problemer på, og en filosofisk ændring af livet . Matematik og empirisme
kom til at definere terorier. Nytænknig så verden som mekanisk, hvor svar kom fra fysiske love
og matematiske udregninger. I denne periode kom beviser enten gennem eksperimenter eller ved
observation og det var afgørende for videnskablige metoder. Systematiske eksperimenter kom til
at ersatte det aristoteliske verdensbillede,dvs tro på natur og kunstige omstændigheder, deduktion
og antagelser.
Keplers arbejdsform:
Johannes Kepler var optaget af geometri, matematik og astronomi, han så og søgte guds arbejdet
i verden. Han så en relation mellem planetens bevægelse og geomatrik mønstre. Han udgav
bogen "Mysterium Cosmographicium", hvori hans teori var om et heliocentrisk verdensbillede,
men hans udregninger påviste planetens bane som cirkler. Disse udregninger var upræsise, og
der manglede data. Tycho Brahe var svaret på Keplers problem. Brahe havde over en periode på
20 år skrevet observationer ned om planeternes baner. Kepler kunne bruge disse oplysinger til at
udregne, at planeternes baner var ellipseformede og ikke cirkler. Kepler udviklede tre modeller
over solsystemet, modellerne var baseret på præcise matematiske udregninger.
Keplers ”Mysterium Cosmographicium” (1596) blev sendt til adskillige astronomer, og det var
dette værk, der fik Kepler etbleret som et dygtig astronom. Kepler fik dog også en del kritik, en
del af kritikken kom fra Tycho Brahe. Tycho Brahe viste at den data Kepler indsamlede fra
Kopernikus var forkert.
Kepler så ”Mysterium Cosmographicium” som et led i en del af 4 bøger om planter og stjerner.
Med Tycho Brahes død fik Kepler fuld indsigt i Brahes arbejdet. Kepler startede med at
analysere Mars bane, dette arbejde tog to år med Brahes data. Kepler kun ikke fået den data, han
havde fået, til at stemme overens, og traditionelle astronomiske metode hjalp ikke. Kepler
reformulerede sine regler, det tog ham 40 forsøg, inden han fandt frem til den ellipsiske bane, da
nu passede Brahes data til Mars bane. Kepler arbejdede alene og hans matematiske analyse
omhandlede kun Mars. Hans beregninger og teori blev udgivet i 1609.(Astronomia Nova), her
har Kepler formuleret to af hans tre regler for planternes bane. I 1615 fik Kepler udgivet sin
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 6 of 25
Epitome astronomia Copernicanae. Dette var Keplers mest omfattende værk. Kepler kunne nu
forklare om planterne i solsytem plus deres respektive måners baner med matematiske
beregninger.
Kepler kom igennem denne tid med beviser enten gennem eksperimenter eller ved observation,
og dette var afgørende for videnskablig metodik. Systematisk eksperiment kom til at ersatte
Aristoteles tro på natur og kunstige omstændigheder, deduktion og antagelser.I 1619 udgave
hans sin Harmonices Mundi og sin sidste teori.
Tycho Brahes observationer og Keplers beregninger for den fortsatte udvikling af
naturvidenskab.
Tycho Brahe var selv ikke tilfreds med de Alfoniske tabeller og Kopernikanske tabeller. Tycho
Brahe brugt over 30 år på at beskrive himmelriget.Tycho Brahes data var den største samling af
data i sin tid, og de mest præcise data, der var samlet ind uden at brug af teleskop. (1610 Keplers
astronomiske kikkert). Det der var interessant ved Tycho Brahes data var hans eget
verdensbillede, det var hverken et geocentrisk eller et heliocentrick verdensbillede. Tycho Brahe
forslog en blanding af de to baseret på hans egne udregninger. Tycho Brahe drog konklusioner
på baggrund af sin egne observationer samtidig med, at han ikke ville krænke kirken eller
religionen. Der var en stor forskel mellem hans egne observationer og konklusioner. Kepler var
den første til at teorisere. Kepler udviklede videnskablige eksperimenter til at bevise hans teorier.
Adgang til Brahes data gav Kepler det nødvendige værktøj. Kepler ændrede sin opfattelse af
videnskab. Nu kom beviser, observationer og eksperimenter til at give en ny metologi. Moderne
videnskab var født.
Siderisk og synodisk omløbstid.
Der skelnes mellem to slags omløbstider siderisk og synodisk, når der snakkes om planeter. Den
sideriske omløbstid er den tid det tager for Jorden at dreje en omgang (360 grader) i forhold til en
fiksstjerrne, denne tid er anført i Almanakkens Tabel
6
. Den synodiske omløbstid defineres som
tidsrummet fra, når en planet står et bestemt sted i forhold til solen set fra jorden til den igen står
6
En astrologisk tabel med opgivelser af himmellegemernes positioner, bevægelser, hastighed og aspekter – i
forhold til jorden. (http://www.astro-service.dk/Almanakkens%20ord.htm)
Figur taget fra Astronomi til almandakbehov af knud Erik Sørensen.
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 7 of 25
det samme sted. Dermed er den synodiske omløbstid en tid, der kan måles fra jorden hvor den
sidesrikeomløbstid, kræver at der laves målinger på en fiksstjerne/planet.
Sammenhængen mellem sideriske og synodiske omløbstider:
Det antages at alle planetbvægelser foregår i en jævn cirkel bevægelse. Dermed kan
sammenhængen mellem de to omløbstider findes.
Imens Jorden tilbagelægger vinklen v. tilbagelægger
planeten en vinklen på 360° + V.
Vi kalder Jordens sideriske omløbstid Tj, planetens
sideriske omløbstid Tp og dens syndoiske for U
Vinkelhastingheden (antal grader pr. tidsenhed).
betegnets således: jorden: ω
j
og vinkelhastigheden for
planeten: ω
p
.
Definitionen for den indre planets omløbstid:
ω
j
=
døgn25,365
360
= 0,9856
ω
p
=
p
T
360
Det fremkommer nu at:
ω
p
* T
p
= 360° og ωj * T
j
= 360°
1
360
360
jj
pp
T
T
jj
pp
T
T
= 1
j
j
pp
T
T
*
p
j
j
p
T
T
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 8 of 25
U: Tid på viklen V.
Planeten:
U
V
T
p
p
V kan også betegnes som: ω* U = V
U
U
T
p
j
p
*
Der ses nu på forholdet mellem ω
j
/ ω
p
T
p
+
UU
T
T
j
p
*
der divideres med U*T
p
ppj
p
p
p
TU
U
TUT
UT
TU
T
***
*
*
UTjTp
111
for indre planeter.
Det antages at man står på en yndre planet denne planet er nu T
j
TydreUTjorden
111
Dermed får man at:
TjUTp
111
for en ydre planet.
Men da planeterne ikke bevæger sig som forusat, varieres den synodiske omløbstid for en
plantet, og man anvender derfor en gennemsnitlig værdi.
Der ses nu på Mars synodiske omløbstid
7
:
Sideriske omløbstid for jorden: 1,00
Sideriske omløbstid for Mars : 1,881
7
Værdierne fundet i Databogen se kildeliste.
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 9 of 25
U isoleres i sætningen for en ydre planet.
U =
jp
jp
TT
TT
*
=
2,136 *365,24= 779,814 dage.
Hvis der sammenlignes med databogen som er 780 er det næsten det samme.
%024,0%100
780
780814,0779
%
Udatabog
UdatabogUudregnet
afvigelse
Her er en ganske pæn afvigelse, den lille afvigelse kommer i form af unøjagtighed med
decimalerne.
Ellipsen
Ser man på et keglesnit med a (den halve toppunktsvinkel) og v som skæringsvinkel mellem en
planet og planetens akse. Glæder det at hvis v>a er det en ellipse.
Ellipse har nogle brændpunkter som skal defineres, disse brændpunkter kaldes F
1
og F
2 ,
de
fortæller hvor ”flad” ellipsen er. Des længere disse to brændpunkter ligger fra centrum, jo
”fladere” er ellipsen. Brændpunkternes koordinater beskives som F
1
= (ea ; 0), og F
2
= (-ea,0),
hvor e er ellipsens excentricitet. e må derfor sige noget om hvor ”flad” ellipsen er.
excentricitet er defineret som:
||
||
21
21
AA
FF
e
eller
a
FF
e
2
21
Da e er positivt i både tæller og nævner gælder det at e > 0 og da |F1F2| < 2a er e<1
Dvs. 0<e<1.
e angiver hvor langt væk F
1
ligger på stykket mellem centrum og (a,0) som er det punkt hvor
ellipsen skærer x-aksen. Punkterne P som ligger på ellipsen opfylder at definitionen er:
Hvis a>0
2a er storaksen, altså afstanden fra de 2 steder ellipsen skærer x-aksen.
aPFPF 2
21
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 10 of 25
Figuren ses som bilag 1 ( med centrum i (0,0))
Ellipsens Ligning:
Linjestykket B
1
B
2
er ellipsens midtnormal, også kaldet lilleakse og har længden 2b. Punkterne
A
1
A
2
som punkterne F
1
of F
2
skære, kaldes den storeakse med længden 2a. A
1
, A
2
, B
1
og B
2
kaldes de fire toppunkter.
Som tidligere vides at;
|F
1
P| +|F
2
P| = 2a I stedet for et vilkårligt punkt P indsættes de to toppunkter fra lilleaksen.
|F
1
B
1
| +|F
2
B
2
| = 2a
På figuren ses at linjestykkerne F
1
B
1
og F
2
B
2
danner en ligbenet trekant og derfor er lige lange
|F
1
B
1
| = |F
2
B
2
| = a
I en af de to retvinklede trekanter ΔB
1
OF
2
eller ΔB
1
OF
1
ses sammenhængen mellem a,b og e ved
hjælp af pythagoras a² + b² = c²
b² + (ae)² = a² b² + a²e² =a ² b² = a² - a²e² b² = a² (1-e²)
²)1(
²
²
e
a
b
ved brug af afstandsformlen fås det at aftanden fra et brændpunkt til et vilkåreligt punkt p(x,y):
|PF
1
| = √(x+ea)² + y² og |PF
2
| = √(x-ea)² + y² (1)
|PF
1
|-|PF
2
| =√(x+ea)² + y² - (√(x-ea)² + y²)
= x² + e²a² + 2xea + y² - x² - e²a² + 2xea – y²
= 4xea
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 11 of 25
P for et punkt på ellipsen insættes i sætningen ser således ud:
(|PF
1
|-|PF
2
|) * 2a = 4xea |PF
1
|-|PF
2
| = 2ex
Ligningen adderes:
2|PF
1
| = 2a + 2xe |PF
1
| = a + ex
Udtrykket indsættes i (1) og følgende omskrivning kan nu finde sted:
(a+ex)² = (x+ea)² + y²
a² + 2exa = x² + e²a² + 2xea + y²
y² isoleres
y² = a² - e²a² - x² + e²x²
y² = a²(1-e²) – x²(1-e²)
y² = (a²-x²) (1-e²)
Der vides fra tidligere at
²)1(
²
²
e
a
b
Dermed får man at:
²)²(² axy
²
²
a
b
²
²
²
²²
b
y
a
xa
1 -
²
²
²
²
b
y
a
x
1
²
²
²
²
b
y
a
x
ellipsens ligning er nu udledt.
Der ses nu på et tilfælde hvor ellipsens centrum ikke ligger i (0,0) med koordinaterne (x,y) men i
Se bilag 2
set fra ellipsen med centrum (0,0)
set fra ellipsen med centrum (p,q)
Indskudssætningen:
O’O +
=
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 12 of 25
(
Dettet insættes nu i ellipsen ligning:
Dermed er ligningen for en ellipse med centrum i (p,q) defineret.
Der ses nu på et eksempel
8
.
En ellipse med centrum i (p,q) og halvakser a og b har ligningen:
Vi bliver præsenteret for denne andengradsligning i x og y:
16x² + 9y² - 96x + 36y + 36 = 0
For at bestemme cetrum og halvakserne, tænkes på given situation med cirklens ligning:
16x² + 9y² - 96x + 36y + 36 = 0
16(x² - 6x) + 9(y²+ 4y) + 36 = 0
16(x²-6x+3)-48 + 9(y²+4y+2)-18+ 36 =0
²²
²²
Centrum er derfor (3,-2) og halvakserne a= √16 og b = √9
2
2
1
a
b
e
=
2
2
4
3
1
= 0,6614
Keplers Metode til beregning af Mars bane.
Sig. 53 s. 58 i Barmwaters Astronomi. Bilag 3
Kepler brugte den sideriske omløbstid til bestemmelse af Mars bane, når den sideriske omløbstid
er forløbet har Mars drejet 360° og er tilbage til samme punkt som før.
8
Eks. Fundet i MAT A3 OPGAVER – se literaturliste.
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 13 of 25
Derfor lavede Kepler sigtepunkter, hvor han sigtede til en planet fra flere steder på jordensbane
med tidsintervallet lig planeternes sideriske omløbstid.
Kepler kendte solen og jordens bevægelser på himlen. Solen betegnede han som S, Jorden som J
og Mars som M.
Udregninger:
For at beregne Mars bane skal længderne af J
1
, J
2
, J
3
først findes.
Vinkel: SJ
1
M =60°
Vinkel: J
1
SM = 84°
Vinkel SMJ
1
= 180° – (73°+84°) = 36°
|SM| = 1
Der ses på trekant J
1
SM
For at finde siden b bruges sinusrealtionen.
b =
b= 0,678
Vinkel: SJ
2
M = 97°
Vinkel: J
2
SM = 41°
Vinkel SMJ
2
= 180° – (97°+41°) = 42°
|SM| = 1
Der ses på trekant J
2
SM
For at finde siden b bruges sinusrealtionen.
b =
b= 0,674
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 14 of 25
Vinkel: SJ
3
M =102°
Vinkel: J
3
SM = 40°
Vinkel SMJ
3
= 180° – (73°+84°) = 38°
|SM| = 1
Der ses på trekant J
3
SM
For at finde siden b bruges sinusrealtionen.
b =
b= 0,629
I enhedcirklen er koordinaterne til et punkt (Cosv;Sinv) Hvis cirklen formindskes eller forstørres
ganges en fælles faktor på foran Cos og Sin. Så koordinatparret nu hedder
(r*Cosv; r*Sinv).
r er i denne sammenhæng det udregnede b.
Skema over koordinatsættet for jordens bane.
Vinklerne:
MSJ
2
= 41°
MSJ
1
= 84°
MSJ
3
= 320°
r
0,674
0,678
0,629
r* cosv
0,505
0,068
0,482
r* sinv
0,439
0,646
-0,405
De tre punkter afsættes nu i Geogebra. Se bilag 4.
De tre punker danner en trekant, vi skal nu finde den omskrevne Cirkel.
For at finde radiusen til den omskrevne cirkel, skal midtnormalerne først findes. Midtnormalen
til et linjestykke er den rette linje, som står vinkelret på linjestykket og som går gennem
midtpunktet. Skæringen mellem linjestykkerne er centrum for den omskrevne cirkel.
På bilag 8, ser man nu at den omskrevne cirkels centrum betegnes med et O. og forholdet OS og
OP som er solens ekscentriske plads i cirken. OS:OP.
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 15 of 25
Bogens OS:OP =
= 0,016 Målt OS:OP =
= 0,080
%80%100
080,0
080,0016,0
%
målt
bogenmålt
afvigelse
Den store afvigelse kan skyldes målefejl af vinkler, og manglende decimal beregning.
Vinklen: FSJ
0
= 120° , hvor FS er forårspunktet
9
. Denne viden gør at vi til hver en tid kan måle
jordens hastighed og bevægelse i rummet.
Derefter opsøgte Kepler alle de par af Marsobservationer med 1,88 års (687 dage) mellemrum og
derefter tegnede sigtelinier fra jorden, som nu kendes for et hvert tidsinterval.
Mars positioner:
10
Vinklerne er i buegrader. For at omregne alle vinklerne til decimaler. Eks. 25°5’=
08,25
60
5
25
Dato
Jorden
Mars
17 feb. 1585
5 jan. 1587
159°23’ = 159,38°
115°21’=115,35°
135°12’ = 135,2°
182°08’=182,13°
19 sep. 1591
6. Aug 1593
5°47’ = 5,79°
232°26’ = 323,43°
284°18’ = 248,3°
346°56’=346,93°
7. dec. 1593
25 okt. 1595
85°53’ = 85,88°
41°42’= 41,9°
3°04’ = 3,06°
49°42’=49,7°
28 mar. 1587
12 feb. 1589
196° 50’ =196,83°
153° 42’ = 153,7°
168°12’ = 188,2°
218°48’=218,8°
Målt med udgangspunkt til forårspunktet.
Værdierne for Mars indsættet i Geogebra bilag 4.
Dermed er Keplers metode forklaret udfra fig. 53. Bilag 3
9
det skæringspunkt mellem himlens ækvator og ekliptika, som Solen passerer ved forårsjævndøgn, som er det
døgn hvorsolen er på sin vej fra den sydlige til den nordlig del af himmelkuglen. Forårspunktet er nulpunkt for både
det ækvatoriale og det ekliptikale koordinatsystem.
10
http://www.lemvig-gym.dk/astrofilo/k-opgaver.htm også udleveret i et fyisk forløb i 1.g
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 16 of 25
Areal af en ellipse ved hjælp af ingegration:
Ellipsen har en storeakse med længden 2a (x-aksen) og en lilleakse med længden 2b (y-aksen).
Ellipsen består af 4 kvadranter. Hvis arealtet af 1. kvadrat udreges ganges det med 4 og arealet af
hele ellipsen er fundet.
Ellipsen ligningen ser således ud:
1
²
²
²
²
b
y
a
x
y isoleres:
1
²
²
²
²
b
y
a
x
=> b²x² + a²y² = a²b²
a²y² = a²b² - b²x² =>
²
²²²²
²
a
xbba
y
²
²²²²
a
xbba
y
=>
²² xa
a
b
y
Vi ved at y>0 i 1.kvadrant derfor regnes der kun med positivt fortegn, dermed hedder ligningen:
²² xa
a
b
y
der intergrares fra 0 til a.
a
0
²² xa
a
b
dx
a
b
kan flyttes uden for intergralet.
Der laves nu subistiation ved intergration og x sættes til asin(θ) dvs. at dx bliver acos(θ)dθ
Da der er sket subistiation ændres intervallet a sig også der med går det fra 0 til
2
Således at intergrationen ser således ud:
daaa
a
b
2
0
)cos()²(sin((²
de givende værdier for x og dx indsættes.
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 17 of 25
=
da
a
b
2
0
))(cos(²((sin1²
a² sættes uden for kvadratrodstegnet.
=
dab
2
0
))(cos(²(cos
derefter flyttes a² uden for intergralet.
=
dab
2
0
)²(cos
=
dab
2
0
2
2cos1
=
d
ab
2
0
)2cos(1(
2
intergralen opløses:
=
0
2/
2
2sin
2
ab
=
2
)0(2sin
0´
2
2sin
22
ab
der ganges nu igennem
=
4
ab
dette er arelaet af 1. kvadrant, derfor ganges med 4 og arealet af en ellipse ser nu således ud:
4*
4
ab
= abπ
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 18 of 25
Keplers 2. lov arealhastighed konstant:
Figuren lavet i Geogebra og paint.
Keplers Anden lov siger at “Arealhastigheden er konstant i hele bevægelsen”
I dette udtryk er det ikke er farten der er konstant med tilgengæld arealhastigheden. Et objekts
bevægelse rundt i sin bane om objektet bevæger sig ikke jævnt. Den besvæger sig langsomere
når radiusvektoren er lang, altså objektet er langt fra solen(aphelium) og ligeledes omvendt. Når
radiusvektoren er kort bevæger objektet sig hurtigere og er tættere på solen (perihelium)
Alle planeter har sit baneimpulsmoment L, impulsmomentet i sin bane omkring solen, defineres
således.
L= | r * m* v |
Det vides der ud over at baneimpulsmomentet er konstant.
I baneimpulsmoments linien er r radiusvektoren for planeten i banen omrking solen, m er
planetens masse og v er planetens hastighedsvektor.
Da L er bevaret ser sætningen således ud:
|r * v | =
.
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 19 of 25
Der ganges med en ½ for at få det tidsintervallet dT
½ * |r * v * dT| =
.* dT
Venstresiden ½ * |r * v * dT| er det areal dA som radiusvektoren overstyrger i tidintervallet dT.
Dermed må Keplers 2 lov. gælde givet ved:
vi ser nu på at at hastigheden kan skrives som
med udgangspunkt i jorden:
Arealet for en ellipse: A
hastighed
= π*a*b
Den sideriske omløbstid for jorden: T = 365,25
hvor a er jordens radius ved ækvator og b er radius ved polerne
11
.
a = 6378 b = 6356
A
hastighed
=
Derefter finder vi hastigheden pr. time.
Dermed har vi nu hvor hastigheden for jorden pr. time.
Udled parameterfremstillingen for en ellipse i polære koordinater, dette fortolker jeg
således: Ved at angive parameterfremstilling for en ellipse samt polære koordinater for en
ellipse.
Når der arbejdes med ellipser på lommeregneren (TI89) skal lommeregneren først indstilles. I
mode på lommeregneren ændres settings. Vi sætter den på parameterindstilling og radian. Vi
kan nu tegne en hvilken som helst ellipse på vores lommeregner med parameterfremstillingen,
hvis polære koordinater er det der arebjedes, med ændres setting igen denne gang i stedet for
parameterindstilling sættes den til Polar, den kører stadig i radian:
11
Værdierne fundet i databogen se literaturlisten.
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 20 of 25
Fig. Lavet i geogebra ilusteret et polært og alm.
Koordinatsystem.
Først ses på nogle begreber for polære koordinater.
(x,y) betegner de ”almindelige” koordinater.
(φ,r) betegner ligeledes de polære koordinater.
For at udregne r bruges pythagaros:
r²= x² + y² r =
y er givetved : Sin() =
y = r * Sin()
x er givet ved: cos( =
x= r * Cos(
y divideres med x og vi får at:
φ=tan
-1
)(
y
x
Ellipsens ligning i polærer koordinater:
Der ses på en ellipse med brændpunktet F (0,0) og ledelinien l der er orthogonal(vinkelret) på
vores koordinatsystemets førsteakse i den negative kvadrant. Der vides at i en ellpise er e givet
ved 0<e<1. Der indtegnes nu et orthonormalt koodinatsystem (F, i, j ).
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 21 of 25
figur lavet i geogebra.
P er et viklårligt punkt på ellipsen. En defination for keglesnittet siger således at:
|PF|=e|Pl|
Hvor P har koordinatsættet (r,φ). S Sættes som en orthogornal projektion af P. og Q sættes til
skæringen af andenaksen i den positive kvadrant. |FP| = a – ex.
Deraf kan det udleddes at:
r = e|PS| + e|Sl| r = e * r * cos(φ) + |QF| r = e * r * cos(φ) +
denne ligning gælder når punktet Q = (0,
) og P > 0 er ellipsens parameter.
Parameterfremstilling:
Ellipsen med centrum i (0,0) , storeaksen 2a og lille aksen 2b har parameterfremstillingen:
Dette kan ses ved at insætte udtrykket i ellipsens ligning:
)cos(
)(
1
t
a
cx
og
)sin(
)(
2
t
b
cy
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 22 of 25
hvoraf
x = c
1
+ a*cos(t) og y = c
2
+ b*sin(t)
Fremgangsmåde til konstruktion af planetbanen for jorden og mars
12
:
Først indsættes et koordinatsystem med solen i (0,0), og Jorden på en cirkel med radius 5. Parvis
afsættes Jordens position ved at dreje en linie med start i (0,0) i forhold til førsteaksen, som er sat
til forårspunkt. Der er nu fundet to steder til jordens placering, der laves parallelle linier
igennem, som er parallelle med x-aksen. For at bestemme Mars’ nøjagtige position drejes de to
parallelle linier i vinklen, som er angivet ved Mars´ rektascension. Der hvor de skærer hinanden
har vi nu Mars´ position.
figur lavet i geogebra se bilag 5.
Storaksens længde måles til at starte med, hvorefter afstanden fra solen til centrum måles.
34,15MarsMars
32
78,0βSolen
Derefter er storakse a og ekscentriciteten e udregnet.
0,10
βMars
βSolen(F1)
2
e
Der ses på forholdet mellem a og b i ellipsen.
12
Alle værdier er fundet i databogen , se literaturlisten.
67,7βMarsa
2
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 23 of 25
Dette kan vi gøre via formlen
2
2
1
a
b
e
, da vi kender både a og e fra forrige udregning.
2
2
67,7
110,0
b
2
2
2
67,7
110,0
b
1
67,7
10,0
2
2
2
b
2
2
2
10,01
67,7
b
222
67,7)10,01(b
22
67,7)10,01(b
63,7b
Dermed er a og b værdien fundet.
Solen ligger i ellipsens ene brændpunkt F
1
. det andet brændpunkt er tilføje, for at kunne finde ud
af om alle Mars-positionerne opfylder følgende:
aPFPF 2
21
Dette er udregnet i Geogebra se bilag 5.
Afstandene varierer lidt, dette fortæller blot at der er tale om en ellipseformet bane.
Størrelsesforholdet mellem de virkelige mål af den mindste afstand fra jorden til Mars.
1,903jordenMarsafstandkorteste
13,442jordenMarsafstandlængste
09,7
90,1
44,13
3
2
jordenMars
jordenMars
Der med er forholdet mellem den korteste og længste side til 1:7,09.
Konklusion:
Johannes Kepler levede i en veden med mistro og hvor hans tanker og ideér ikke var anakendt.
Alligevel blev han ved med at kæmpe på at det han trode på var rigtigt, og hans vi kender ham i
dag på grund af hans tre love. Kepler levede ikke forgæves, uden hans revolutionære ide om at
forkaste de gamle grækeres ide med cirkler og i stedet indfør ellipser, var noget af det mest
geniale nogen nogensinde var kommet på. Dermed var han den første til at kombinere teori og
virkelighed, med de målinger han fik af Thyco Brahe efter hans død. Derud over kan der
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 24 of 25
konkluderes , at Marsbane er en ellipse efter at have lavet beregninger og tegnet figurer i
Geogebra. For at marsbanen havde været cirkulær, skulle alle marspositionerne opfylde
aPFPF 2
21
og det kan vi hurtigt komme med eksempel der ikke opfylder.
03,16)1(4)2( MarsFSolenMarsF
34,1532 MarsMars
Her ses det tydeligt, at de to afstande ikke er den samme, og vi kan derfor konkludere at
marsbanen er en ellipse.
Literaturliste:
Litteratur:
Matemamatik 3 for høj niveau
Cartensen & Frandsen
systime - udgivet: 1990
STX MAT A3 OPGAVER
Carstensen ·Frandsen · studsgaard
Mat.systime.dk
STX MAT A3
særligt s. 228-241
Carstensen ·Frandsen · studsgaard
systime – udgivet: 2007
Vort solsystem
Særligt kapittlerne 2, 3, 7
Peter Kjeldsen og Mogens Nørgaard Olesen
Systime - udgivet1984.
Astronomi til almanakbehov
Særligt kapittlerne 2, 6
Knud Erik Sørensen
Systime – udgivet:1986
Astronomi
Særligt kapittlerne 1,3,4
F. Barmwater:
Gad - udgivet 1959
Databogen
Erik Strandgaard Andersen, Paul Jerspersgaard og Ove Grønbæk Østergaard
F&K forlaget 10. Udgave 3. oplag
Det kostmiste urværk
[navn fjernet] VirumGymnasium 3.A
Fag: Matematik / Historie Matematikken i renæssancen afl. d. 18.12.08
Page 25 of 25
Bo Brøndsted
Munksgaards Dimensioner – udgivet:1996
Den naturvidenskabelige revolution
Nanna Dissing Bay Jørgensen & Marie Sørensen
Forlaget Systime - Udgivet 2008
Europe in the 17th Century
særligt Kapitel 1.
David Maland
University - udgivet 1970.
Videnskabsteori for begyndere
særligt Kapitel 7,8 og 10
Thomas Thuren
Rosinate forlag - udgivet 2005.
A History of astronomy
særligt Kapitel 2,3 og 4
Anton Pannekoek
Dover publications - udgivet 1988.
Revolutionizing the Sciences:European Knowledge and Its Ambitions,
særligt Kapitel 2 og 4
Peter Dear.
Princeton University - udgivet 2001
Verdens Historie bind 1
Bogklubben 12
udgivet 1992
Internetsider:
http://www.fmb.dk/geometer/gymnasie/Keplers_love.pdf
Hvordan Kepler fandt frem til sine 3 love
gymnasie materiale af alinea egmont.
http://www2.mat.dtu.dk/people/P.G.Hjorth/Kepler-09-10-07.pdf
Fordrag og Kepler og hans 3.love af Poul Hjort
DTU
http://www.johanneskepler.com/
side der forklare om Keplers liv og hans arbejde.
http://www.math.ku.dk/arkivet/heegaard/naturvm.pdf
Naturforskernes stormænd indtil 18. Hunderede tallet.
afsnit om kepler s. 24
Programmer:
Geogebra
brugt til at lave de forskellige figurer.