STX 3.g
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
1
Studieretningsprojekt
3f
STX 3.g
Fag:
Vejleder:
Naturgeografi B
Matematik A
Opgaveformulering:
Foretag en geofaglig behandling af emnet olie.
Der ønskes en redegørelse for den matematiske teori bag Hubbert’s Peak. Redegørelsen skal indeholde
en behandling af den logistiske differentialligning og teorien bag lineær regression.
Relevante dele af den matematiske teori ønskes anvendt på autentiske data fra olieindustrien.
Diskuter, hvorvidt der vil være olie nok i fremtiden. I diskussionen skal inddrages udvalgte lande/regioner
som konkrete eksempler.
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
2
Abstract
This paper studys a geographic process of oil, in which oil formation and how extracted oil. There
will also be a mathematics theory, whit regression and logistic differential equation. Hubbert’ clock
curve, where is also an explanation of, which faults and imperfections Hubbert’ curve has. But to
the still frames exactly, even if there are some errors on his time, that does not take into account
some factors and thereby allows fluctuations in Hubbert's theory about when oil will run out.
Eventually there will be a discussion on which oil enough in the future that will be involved U.S. oil
production that will be compared with Hubbert's theory, when u. S would reach peak oil. After what
we have seen, could look as though there is enough oil, but because it cannot retrieve all oil up in
the oil fields, there won't be enough oil, but justified new clean and renewable energy, it will
replace some of the oil, so oil consumption will fall and thereby gets in a mixture of oil and other
energy sources.
Indholdsfortegnelsen
Abstract ................................................................................................................................................ 2
Indledning ............................................................................................................................................ 3
Geofaglig behandling af Olie ............................................................................................................... 3
Olie dannelse .................................................................................................................................... 4
Reserver ........................................................................................................................................... 6
Skifergas........................................................................................................................................... 7
Hubbert’s Peak ..................................................................................................................................... 9
Matematik .......................................................................................................................................... 10
Kvadratsummer .............................................................................................................................. 10
Mindste kvadraters metode ............................................................................................................ 12
Differentialligninger....................................................................................................................... 15
Stamfunktioner. .............................................................................................................................. 15
Separation....................................................................................................................................... 16
Den logistiske ligning .................................................................................................................... 17
Beviserne og Hubbert’s metoder.................................................................................................... 20
Er der olie nok? .................................................................................................................................. 25
Konklusion: ........................................................................................................................................ 29
Litteraturliste ...................................................................................................................................... 30
Bilag ................................................................................................................................................... 31
Bilag 1 ............................................................................................................................................ 31
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
3
Bliag2 ............................................................................................................................................. 31
Bilag 3 ............................................................................................................................................ 31
Bliag 4 ...................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.
Indledning
I denne opgave bliver der præsenterer en geofaglig behandling af emnet olie, hvor i der indgår,
hvilken rolle spiller olien for os i dag. Hvordan dannelsen af olie undergrunden forgår og hvor olien
befinder sig i undergrunden i de forskellige bjergarter, hvorfor nogle elementer der skal til, før der
kan findes olie i undergrunden og er der kommet nye teknologier til, der har gjort olien er nemmer
at indvinde, eller har man opdaget en ny energikilde, alle disse elementer har indflydelse på, hvor
meget olie der kan indvindes. Der vil også være en redegørelse, af den matematiske teori bag
Hubbert’s Peak. Redegørelsen vil indeholde en behandling af lineær regression og den logistiske
differentialligning teori og teorien bag Hubbert’s ligning, ud fra teorien vil den blive anvendt på
autentiske date fra olieindustrien i U.S. I diskussionen vil der bliver diskuteret, om der vil være nok
olie i fremtiden, der vil blive inddraget noget fra den geofaglige behandling og Hubbert’s
matematik for U.S, derved vil jeg inddrage grafer for U.S olie produktionen og om der er nye
energikilder der kan overtage oliens forbrug, eller de nye energikilder er med til, at hjælpe med at
sænke olie forbruget i verden.
Geofaglig behandling af Olie
Olie har været og er fundamentet for vores levevilkår. Hvis vi ikke havde olie, ville vi ikke kunne
leve som vi gør nu, vi ville fx ikke have biler, skibe, fly, opvarmning af hustande og kæmpe
produktioner. Siden 1960’erne hvor udviklingen begyndte, steg olie forbruget merkant, der kom
væsentligt flere og flere ting, der skulle bruge olie til drift. Der ved steg olie forbruget merkant, der
var ikke nogen der tænke på, hvilken konsekvenser det ville have for verden, man havde ingen ide
om, at en dag ville olien slippe op. Dette så folk da U.S nåede peak oil i 1971. Dette gjorde der kom
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
4
oliekrise, folk indså nu, at der ikke var uanede mænger af olie i undergrunden. Fra ca.
var der oliekrise i verden, man sætte der ved olie forbruget ned. det ses også på nedstående figur.
Hvor vi ser et faldt i olie forbruget, fra 1970, hvor efter den stiger igen, til ca. 1978 og falder igen til
1985, her har der været oliekriser der har ændret olie forbruget, da der har været mangel på olie.
(Jimmy Mangelsen, 2011) figur3.1
I 1965, blev der brugt 30.000 olietønder pr. dag verden over. I 2005 er den på ca. 85.000 olietønder
pr. dag dette er næsten en tre dobling af olieforbruget i verden.
Men før alt dette kan ske, skal der være dannet olie og vi skal have pumpet det op af undergrunde.
Olie dannelse
For at der kan dannes olie, skal der en række faktorer til, disse faktorer er alt afgørende om der kan
dannes olie eller ikke, vi skal huske det tager flere millioner år før olien bliver dannet, det er derfor
der kommer efterspørgsels på olie, da vi ikke selv kan lave det, selv om man forsker i om det kan
lade sig gøre, har forskerne ikke knækket denne kode.
- Organisk materiale
- Aflejring under iltfire forhold (anearobt proces)
- Tid
- Temperatur
- Tryk
Alt dette skal være til sted for, at der kan dannes olie i undergrunden. Det organiske materiale er fx
døde dyr og planter, for det kan dannes til olie. skal det aflejres et sted, hvor der ikke er ilt til stede
fx havbunden (anearobt proces), ellers ville det organiske materiale forrådne og omdannes til
og
. Hvordan kan man så finde olie i undergrunde på landoverflader? Det er fordi, de fleste
landområde har været dækket af havbunden på et tidpunkt, i de flere millioner af år jorden har
eksisteret og hvor der har været levende organismer til steder, derved kan man finde olie på land.
Men man skal da huske, det er først da der er kommet organiske materiale (liv) tilstede på jorden,
der har kunne dannes olie i undergrunden. Des stører aflejringerne er af plankton og dyr fra havet,
des større er sandsynlighederne for, at der bliver dannet olie. På landoverfladen, hvor planter og dyr
bliver aflejret, er der større sandsynlighed for naturgas i undergrunden.
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
5
Tid, tryk og temperatur hænger sammen, det organiske materiale, skal have et hvis tryk og
temperatur før det bliver dannet til olie. Oliedannelsen starter ved ca. og slutter ved ca.
Dette kaldes for olievinduet. Når temperaturen når over ca. bliver der dannet gas.
Temperaturen i undergrunden stiger med dybden, temperaturen stiger ca. med pr.
når det organiske materiale når 1800m, ned i undergrunden, er der ca.
så ved 1800m dybde begynder olie dannelsen, men hvor langt skal det organiske materiale ned i
undergrunden, for omdannelse til olie er færdig. , vi skal ned omkring 3km
- 5km dybde for, at finde olie, da olie dannelse kan slutte ved da det er hyppigst gas der
bliver dannet over . Nu er olien dannet, men hvordan får man den så hente op af
undergrunden.
Olysninger på tal, info er fundet i denne bog (Jimmy Mangelsen, 2011) s.60-78
Olie i undergrunden
Man skal ikke tænke olie ligger som en sø for sig selv i undergrunden, det ligger inde i forskellige
bjergarter, olien bevæger sig altid op mod overfladen, men det er ikke alle bjergarter den kan trække
sig igennem, til sidst vil den møde en bjergart på veje op, som er for tæt, og der kan olien ikke
trække sig igennem den, der vil olie felter dannes.
(Jimmy Mangelsen, 2011) figur.3,6
Vi har 3 bjergarter der har betydningen for, hvor der kan findes olie felter. Kiledebjergart er det lag,
der består af kalksten, lersten og skifer, det og også det lag der ideholder organiske materiale ca. 2-
5%. Begrund af det øget tryk i undergrunden, vil gas, olie og vand blive trykket op, først vil gassen
blive trykket op, da det har den laveste masse fylde, derefter olie også vand til sidst, hvor olie og
vand ikke flyder sammen, er fordi, olie og vand er forskelige, vand har både positive og negative
elektroner, hvor olie kun har positiv elekroner, derved vil olien lægge sig øverst og ikke blive
sammen med vandet.
Det næste lag kaldes for reservoirbjergart det er det lag, hvor gas, olie og vand bliver stoppet af
laget hen over, seglbjergart
1
. I reservoirbjergart findes der kalk og sandsten begge er to bjergarter
1
Seglbjergarten bliver beskrevet i næste af snit.
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
6
der har kendetegn for, at have en høj porøsitet
2
og en høj permeabilitet
3
, kalk har dog en lav
permeabilitet grundet kalkens små porestørrelser. I kalklagene vil olien bevæge sig langsomt,
igennem men indeholder store mænger af olie.
Seglbjergarten er den bjergart der stopper olien fordi, bjergarten har en meget lav porøsitet og
permeabilitet, de bjergarter er fx saltlag, lersten og kan være kalk med meget lav permeabilitet. Så
inde i disse bjergarter kan der findes olie, hvis alle ting er gået til som de skulle. Dette medføre
olien er ulig fordelt over verden, og nogle lande er rige på olie og andre er ikke.
For at kunne finde ud af, hvor olien muligvis er, bruger man seismiske undersøgelser af havbunden
og undergrunden. Man sender ultralyd ud i vandet, derefter reflekteres lyden tilbage af de forskelige
bjergarter, dette opfanger hydrofonen, (bilag1) nu kan man få et form, for ultralydsbillede af
bjergarterne i undergrunden. Dette kan være med til, at skabe et billede af, hvor olien kan være i
undergrunden, men for at finde ud af om der olie, er man nød til, at tage en prøvebording før man
ved der olie i undergrunde.
Oplysninger er fundet i bogen (Jimmy Mangelsen, 2011) s.60-78
Reserver
http://www.geologi.dk/oliegas/p2A.png (Gas, 2014)
Her ses hvordan oliereserver og gasreserver er fordelt i 2014. Hvad betyder reserver? Reserver er
forudsætning på det opgjorte olie og gas, som kan udvindes under de økonomiske forhold der er,
det vil sige, at det olie der er for dyrt at indvinde, ikke er med i denne figur. Da oliefirmaer ikke er,
insereret i at hente olie op, når olie prisen lav og derfor ikke kan betale sig med den økonomiske
profit. Dette kan også have betydning på, at olieproduktionen stopper da det økonomisk set ikke
giver nok profit.
2
Stor andel af hulrum i bjergarten, så det er plads til gas, olie og vand.
3
God gennemstrømning af gas, olie og vand
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
7
Mellemøsten har de største reserver, dette har betydningen for olie prisen i verden, hvis der sker
noget i Mellemøsten der påvirker olie produktionen kan det hurtigt påvirker prisen på olie.
(Gas, 2014)
Oliebordinger
Vi har nu fundet olie i en prøvebordingerne, reservoirbjergarten består hyppigst af kalk. Der er en
primær metode og en sekundære metode til indvinding af olie. Den primær metode er den
traditionelle boring, hvor man border lodret ned til olien, ved denne metode kan der indvindes
ca.5% af olien der presses op, grundet trykke nedefra, men fordi kalken har en lav permeabilitet,
bevæger olien sig langsomt. Der ved har man fundet en metode, der kan presse olien op, derved kan
man udvinde ca. 20 procent mere. (Jimmy Mangelsen, 2011) Denne metode er kaldes Fracking.
Fracking er, hvor man presser en væske ned i brønden, med et højt tryk, dette givet et højt pres på
olien og derved kan man skubbe olien op i brønden, og derved øges olie indvindingen. (Holm,
2012)
Den sekundære boring, er en opfindelse af Maersk, hvor man laver en horisontal boring i olie feltet,
men hvordan kan man borehorisontal? Dette gøres, at man bruger længere rør og man drejer
langsomt med borehovdet og til sidst borde man horisontalt. Denne borde teknik giver en
gennemsnitlig indvindingsgrad på omkring 12% fordi, brønden får et stører overfalde areal inde i
olie feltet, hvor olien kan komme ind i oliebrønden. (Holm, 2012) Ved brug af fracking i en
horisontal bording, kan der udvindes ca. 25% af oliereservoiret
4
. I USA bruger man injektion af
, hvor man pumper det ned til olien, dette medfører olien bliver tynder og flyder lettet igennem
kalken, derved kan man opnå en gennemsnitlig indvindingsgrad på ca. 30% Sener i opgaven i
diskussionen om der er olie nok vil jeg, beskrive de sidste 70% i oliereservoiret som ikke er blevet
hentet op.
(Jimmy Mangelsen, 2011) (Holm, 2012)
Skifergas
(S.Deffeyes, 2006; Adminstration Eia U.S Energy Information, 2012)
Skifergas er en nylig energikilde, man fandt omkring 2005, men det er først omkring 2010 man er
begyndt at indvinde skifergas. Mange mener skifergas er en god forsikring, da det kan erstatte noget
4
Se bilag2 for figur på horisontal boring og traditionel bording
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
8
af olie forbruget, og derved forlænge tiden til oil peak. I min diskussion vil jeg komme ind på, hvor
meget skifergas har på virket et lands økonomi og om det er svaret på verdens olie mangel.
Skifer er gammelhavbund men, hvordan kan det være? Som nævnt tidligere, hvordan olie og gas er
dannet, det samme sker når skifer skal dannes. Skifergas befinder sig i bjergarten skifer, skifer har
en meget lav permeabilitet, så skifergasen kan kun pumpes op ved fracking. Som der ses på billede
nedenunder, kan man se skifergas bevæger sig ikke opad, men er fanget i bjergarten skifer, skifer
lægger omkring 4 km nede, skifergas bliver dannaet sammen med olie, men skifergas, er den gas og
olie der blev dannet i skiferbjergarten og derved ikke fulgte med gassen og olien. (Nordsøfonden,
u.d.)
http://www.skifergasnejtak.dk/media/cms_page_media/3/skifergasdkillustration.jpg
(Nordsøfonden, u.d.)
I et skifergasfelt er indholdet af skifer ikke så højt, som konventionelle gas felter. Derfor skal der en
del boringer til, i forhold til de konventionelle gas felter, for at opretholde en stabil produktion af
skifer gas, derfor krævers der en del flere boringer, fx i Barnett Field i Texas, er det boret ca. 20.000
brønde. (Geus, 2015) Fordi produktion fra en brønd er særdeles laver end konventionelle gasfelter.
Derved er det tidskravende at pumpe skifergas op, men det stadig en billiger energikilde end olie.
Men skifer gas er ikke svaret på oliens problem, for skifer med fører også en del miljøproblemer
med sig. Skifer indvinding er blevet forbudt eller takket nej tak i flere lande, grundet de
miljøproblemer skifer kan medføre, de søstre problem er, at drikkevandet kan forurenes af skifergas
indvinding, da det der bliver anvendt kemikalier til fracking processen, dette kan forurene
vandlagene og drikkevandreservoirerne ved borehullet, men man kan der også bruge vand, men der
har også konsekvenser. Når der bruges store mængder vand, kan dette medfører til at vandstanden i
grundvandsreservoirerne falder og det vand der bruges til fracking af skifergas, kan også blive
forurenet af gassen og andreting i undergrunden. Skifer gas er også med til, at påvirker
drivhuseffekten og derved øges klima problemerne også af skifergas, dog er det mere miljøvenligt
end olie, da skifer ikke udleder så meget
som olie gør. (vedvarendeenergi, u.d.)
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
9
Hubbert’s Peak
Hubbert var en såkaldt pessimist, han mente ikke olien var bæredygtigt, og han beregnede sig frem
til, hvornår der ville komme mangel på olie, i U.S. og i verden. Han lavede en kurve der blev kaldt
klokken. Klokken viser produktion fra et oliefelt, produktion stiger hurtigt og når et stabilt niveau,
hvor det maksimale olie hentes op fra oliefeltet. Når oliefeltet er ved, at være tømt vil produktion
falde brat, som ses på kurven neden under.
(Jimmy Mangelsen, 2011) Figur. 3.12A
Dette vil ske for alle olie felter, selv om det bliver fundet nye olie felter, vil olieproduktion toppe på
et tidspunkt, dette kaldes for peak oil.
I 1956 forudså Hubbert ud fra hans beregninger, at olieproduktion i U.S ville ramme i 1970. Dette
skete ikke og alle oliebrancherne hængte ham ud for, at være en hykler. Men i 1971 toppede
olieproduktion og der fik alle øjne op for Hubbert’s teori. Hubbert havde vurderet, at verden ville
ramme peak oil i år 2000, dette skete, men i Danmark nåede vi peak oil i 2004, og mange mener, at
peak oil for verden blev passeret i år 2005. (Poul Osmundsent, 2011). En af grunde til, at Hubbert
ikke har ramt de rigtige årstal, kan skyldes hans model, for den ikke tager hensyn til udsving i
olieproduktionen, i de forskellige lande. (Se bilag 3) her ses Iraks olieproduktion i tusind tønder pr.
dag fra I år 1980 falder produktion drastisk på få år, fra en produktion på over 3.500
tusind tønder pr. dag til næsten en produktion på 0. det samme sker i år 1990 hvor produktion
stopper helt, når en olieproduktion stopper, vil det sige man skubber peak oil, længere ud i
fremtiden, da man ikke har en konstant olieproduktion hvert år. Dette betyder Hubbert’s klokke
kurve, kun kan bruge på olie felter der lægger i lande og områder, hvor der er stabil politisk forhold,
så oliebranchen ikke udsættes for politiske svingerne fra år til år, der kan eksempelvis komme
naturkatastrofer eller tekniske problemer, som kan påvirker olieproduktionen i længere tid og
derved ændre olieproduktionen for de enkle oliefelter. Alt dette påvirker peak oil, da olieproduktion
ikke er jævn hvert år, dette er så med til, at Hubbert’s teorier ikke holdte, men det er utroligt, at en
mand i 1956 kunne forudsig så mange år ud fremtiden og verdens olie forbrug.
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
10
Peak oil bevægelse er ikke bekymret for hvornår olien slipper op, det deres bekymringer går på, er
hvornår peak oil rammer verden og når olie produktionen falder, fordi vores forbrug stiger og stiger,
men fordi olie produktionen falder er det ikke ensbetydende med, at vi sænker vores forbrug af olie.
Men dog kan vores olie forbrug, sænkes fordi olien vil blive så dyr, at ens økonomi ikke har råd til,
at bruge alt den olie som der bliver brugt i dag. Så på et tidspunkt må, grafen for forbrug og olie
produktionen krydse hinanden, dette er illustreret på figur 3.4 neden under.
(Jimmy Mangelsen, 2011)
Når dette sker vil det med følge en række konsekvenser for hele verden. Verden vil være i energi
mangel, hvis man ikke finder en ny energi kilde inden dette sker. Olie prissen ville stige merkant og
dette er et tegn på, at udbuddet ikke kan følge med efterspørgsel. (Jimmy Mangelsen, 2011) derfor
regner man med, at en række nye energi kilder, har nået at hjælpe med at sænke olieforbruget, så vi
ikke vil ende i denne onde cirkel.
(Jimmy Mangelsen, 2011) (S.Deffeyes, 2006)
Matematik
Kvadratsummer
Vi følger beviset i (Jens Carstensen, 2006) s. 273-274
Vi skal huske et nogle ting igennem beviserne.
Dette ses
her hvor
olie
forbrug
og
olieprodu
ktionen
skær
hinanden
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
11
n’et det står for ålser et tal fra det kan ikke være minus det der er antallet af punkter
man har og man ikke kan have minus punkter.
Vi har valgt . nu er der forlagt 3 tal og ved formel hen over kan men beregner deres middeltal
(1)
Det ville se ud i almindligheden
Definition af kvadratsum:
kvadraternes afvigelse mellem y’erne
Vi får angivet nogle y’er og c’er
Nu skal vi regne
Når kan vi antage mindste værdigen, når
dette er toppunkts
formlen
nu samles alle led sammen
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
12
Hvis c er et fast tal og
er et given tal, får man det mindste kvadratsum, hvis
Mindste kvadraters metode
Vi følger beviset i (Jens Carstensen, 2006) s. 274-277
Vi skal illustrer at vi har en tabel af x og y’er, dette giver en række punkter i et koordinatsystem.
Vi har lært at tage regressionslinjen i cas/wordmat. Ved given ligning også kendt som
Hvis er middeltallet af
nu kan vi skrive ligningen sådan her.
Vi sætter nu og nu kan vi skrive formlen sådan.
Vi skal finde regressionslinjen ved, at bestemme summen af kvadratet på de lodrette afstande i
mellem punkterne og linje er mindst mulige. Kvadraterne er
,
,……….,
Vi har de lodrette linjer
der går fra punktet til linjen.
er antal punkter i kordinatsystemet
Dette er linjens hældning
Man skal have 3 punkter for at kunne lave linjens ligning derfor skal vi have op til
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
13
Dette er afstande mellem punktet og linjen på figuren.
Vi skal vælge så a og b bliver mindst mulig, da det er de mindste kvadraters metode vi beregner.
Nu kan vi regne kvadratsummen afstandene:
Hvis vi ser på en parentes skal det ses som to led:
Vi betragter første led i s:
Dette gøres også ved de to andre led
Nu samles alle led og sættes i roden.
Nu betragters det ”sidste” led, koefficienten til -2a
Nu udregnes parenteserne
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
14
nu samler vi det vi kan og vi skal huske
det samme med x
Nu betragters det ”midterste” led, koefficienten til
¨
Nu skal vi findes b’s værdig så de 3 midterste led bliver mindst muligt, vi skal bemærke at de første
3 led er en kvadratsum i sætning 1. her skal b vælges som så det er
Nu skal vi vælge a så S bliver mindst mulig
Vi sætter ind på b’s plads
Nu skal vi vælge så a bliver mindst mulig.
Læg mærke til at S er et 2.gradspolynomium i a så nu kan vi sige:
Et 2. gradspolynomium
Nu sætter vi a ind på x plads og andre lille a til stor A
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
15
Nu skal vi bruge toppunktformlen fra tidliger
-2 går ud med hinanden
?
Nu kan vi lave ligningen om da vi har fundet b den vil nu hedde
.
(Jens Carstensen, 2006)
Differentialligninger
Stamfunktioner.
Jeg følger beviset i (Fogh, 2013)
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
16
Dette har den fuldstændige løsning
Bevis for dette
Hvis
er en stamfunktion til så er
dette er så =
Antag at
også er en løsning
Separation
Jeg følger beviset i (Fogh, 2013) s. 245- 246
og
er lig med hinanden
Hvis h er kontinuert interval med I, g er kontinuert interval med J og har den samme
løsning som ligningen ovenfor
Nu vil jeg lavet beviset for separation, ud fra dette, vi skal sørge for at x’erne og y’erne er samlet på
vær sin side.
Da er kontinuert, har den en stamfunktion:
Vi har tidligere lært at
se sætning 2.1 s.206 (Fogh, 2013)
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
17
Vi ved at er forskellig fra 0, derved kan vi dividere med dette danner så funktionen
vil skal huske er kontinuert og derved vil
også være kontinuert og derfor har den også en
stamfunktion
Efter disse indledende formidling vil vi nu bevise
Der bliver divideret med og vi lærte oven over at det giver
vi ved at
så vi indsætter på y plads og
indsætter
på
plads da det er det samme
vi definere G og H
Vi har lært på s.86 sætning 4.9 at
dvs.
Vi flytter nu over på anden side
Nu samles højre side i en parentes
Vi bruger nu monofomissætningen og 0 er en konstant og derved kan den
laves om til c
Nu indsættes og vi flytter over igen
Vi ved at
og
så dette sætter vi ind
Hermed er sætningen bevist
Den logistiske ligning
Jeg følger beviset i (Fogh, 2013) s.254-256
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
18
Dette er et bevis på, den logistiske ligning:
Vi skal bevise at
er
Vi skal bruge det vi lærte sidst Separation til den første del
Jeg ganger nu M, derved får jeg y’erne på den ene side og x’erne på den anden side
Jeg vil lave et lille trick, for at komme videre.
Dette vil jeg bevise er rigtigt
dette beregnes ligesom en brøk, ganger over kors
Så nu kan vi sætte dette ind på højre side
Jeg vil nu finde stamfunktionerne. Vi skal huske derved skal y og M være +
Dette kan vi nu sætte ind på højre siden.
Vi ved at
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
19
Vi ganger med e på hver side, for så fosvinder ln
Vi ganger parentesen ud
Vi kan omskrive højre side da
har fortegnet y og
Nu isoleres y
Jeg ganger nu med
Vi forkorter hvad vi kan forkorte vi skal huske
Da
er konstant kan vi skifte det ud med c
Beviset er nu frem ført
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
20
Beviserne og Hubbert’s metoder
Ud fra (S.Deffeyes, 2006) på s. 56-58 er der blevet fundet Hubbert’s ligning
(S.Deffeyes, 2006)
Jeg vil bevise hvorfor
er en logisk ligning
I Hubbert’s ligning laver vi a om til
Jeg dividere med y på begge sider og ganger så a ind i parentesen.
Nu kan vi se
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
21
Vi kan se og vi
ved vores
Nu kan vi se, at Hubbert’s
formel er en logisk ligning
A’erne går ud med hinanden
Nu kan vi lave den logiske ligning om.
Dette vil bruges på tallene neden under, hvor der vil blive lavet en regression først og derefter bruge
den logiske ligning som lige er blevet bevist
Year
År efter 1977
årlig
produktion = P
Q
P/Q
i tusind tønder
i millioner
tønder
1977
0
3009,265
3,009265
118,1
0,025481
1978
1
3178,216
3,178216
121,3
0,026201
1979
2
3121,31
3,12131
124,4
0,025091
1980
3
3146,365
3,146365
127,5
0,024677
1981
4
3128,624
3,128624
130,7
0,023937
1982
5
3156,715
3,156715
133,8
0,023593
1983
6
3170,999
3,170999
137
0,023146
1984
7
3249,696
3,249696
140,2
0,023179
1985
8
3274,553
3,274553
143,5
0,022819
1986
9
3168,252
3,168252
146,7
0,021597
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
22
Talende er fra (Administration, 2015) (Adminstration Eia U.S Energy Information, www.eia.gov,
2012)
1987
10
3047,377
3,047377
149,7
0,020357
1988
11
2979,126
2,979126
152,7
0,01951
1989
12
2778,772
2,778772
155,5
0,01787
1990
13
2684,689
2,684689
158,2
0,01697
1991
14
2707,039
2,707039
160,9
0,016824
1992
15
2624,631
2,624631
163,5
0,016053
1993
16
2499,033
2,499033
166
0,015054
1994
17
2431,476
2,431476
168,4
0,014439
1995
18
2394,269
2,394269
170,8
0,014018
1996
19
2366,016
2,366016
173,2
0,013661
1997
20
2354,831
2,354831
175,6
0,01341
1998
21
2281,92
2,28192
177,8
0,012834
1999
22
2146,732
2,146732
180
0,011926
2000
23
2130,706
2,130706
182,1
0,011701
2001
24
2117,512
2,117512
184,2
0,011496
2002
25
2096,588
2,096588
186,3
0,011254
2003
26
2061,994
2,061994
188,4
0,010945
2004
27
1991,394
1,991394
190,4
0,010459
2005
28
1892,096
1,892096
192,3
0,009839
2006
29
1856,608
1,856608
194,1
0,009565
2007
30
1853,243
1,853243
196
0,009455
2008
31
1830,415
1,830415
197,8
0,009254
2009
32
1954,241
1,954241
199,8
0,009781
2010
33
1998,583
1,998583
201,8
0,009904
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
23
Jeg vil nu lave regression på år efter 1977 og Q, fordi vi ikke bruge , og bruger 0-33 i
stedet er fordi det giver et pænere resultalt.
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
24
Ligningen løses for Q_t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bruger 1979 fordi det punkt ligger på linjen.
Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat.
(Fogh, 2013)
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
25
0 160 180
100
200
300
t/år
Q/mio tønder
total
Q
)(tQ
er den maksimale olie der kan hentes, i de reserver vi har.
er den kumulative frekvens for olie indvinding.
Er der olie nok?
Diskussion om der olie nok går verden rundt, for hvad sker der når olien slipper op? kan man finde
andre energikilder? eller vil der altid være olie nok, dette er nogle af de mange problemer vi står
over for, jeg vil diskutere nogle af, disse problemer.
Som jeg nævnte tidligere, kan man kun indvinde 25%-30% ved de nyeste teknologiske metoder. I
Mellemøsten er de fleste olieboringer traditionelle og ikke horisontale, dette har så betydning for, at
de kun kan indvinde ca.12%, derved kan man lave en horisontal boring og derved kan indvinde
dobbelt så meget olie og vi så tidligere, at Mellemøsten havde ca. 48% af oliereserverne i hele
verden. Hvis de brugte de nyeste teknologiske metoder. Hvert år bliver der brugt, uanede mængder
ressourcer på, at finde nye metoder, der kan hjælpe med, at indvinde endnu mere, det kan godt være
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
26
indvindingen kun øges med 2-3%, hvis man indvinder ca. 1% mere for felterne i Nordsøen ville det
give en indtjening på ca. 50 milliarder kr. (Jimmy Mangelsen, 2011) Dette viser bare, hvor meget
1% ekstra kan gøre, og hvis hele verden kunne øge indvindingen af olie i alle olie felter, ville man
også skubbe oil peak, da man så øger
.
(Jimmy Mangelsen, 2011) figur. 3,16 s.77
På figur 3.16 ser vi produktion og reservebidrag, det grønlige er efterforskning og teknologibidrag.
Dette illustrere, at vi kan forlænge oil peak, med forskning og teknologi. Men selv vi ville have olie
nok i verden, så ville man stadig finde nye løsninger på andre energikilder, det er grundet den
forurening olie skaber når der afbrændes, dette giver klimaforandringer, fx temperaturen stiger og
klimaet ændres verden over, dette er også et stort problem som følger med olie forbruget.
Når man skal pumpe olie op, har de økonomiske omkostninger også en rolle, fordi når et olie felt
lægger længer nede end 5km i undergrunden, ville man ikke få nok omsætning, derved er disse olie
felter ikke interessante for olie firmaerne. Vi forstiller os, at olien er ved at slippe op, derved stiger
priserne og olie firmaerne får flere penge pr. Liter olie de henter op, derved kan det nu økonomisk
lade sig gøre, at hente olien op fra de olie felter, som har flere omkostninger grundet transport eller
lægger steder det er svært komme til, at bore.
Grafen som ses neden under, illustrere U.S olie produktion, som Hubbert har lavet. Toppunktet er i
1970, hvor Hubbert forudså at der ville U.S ramme oil peak, dette skete dog ikke, derved fik han en
del modstander der mente, at der var olie nok og det ikke ville være et problem, men da oil peak
ramte i 1971 fik folk øjne op for problemet man stod over for. I Straten 1970’erne kunne man
mærke olie krisen her hjemme i Danmark, hvor man lavede bilfri søndag for, at spare på olien, hvis
dette ville ske i dag, ville det have store konsekvenser, da mange mennesker lavet meget om
søndagen i forhold til i 70’erne, hvor folk slappede af i weekender, så dette ville blive et problem i
dag, hvis der blev dage hvor man ikke kunne køre i bil.
(S.Deffeyes, 2006) s. 56-58
(Poul Osmundsent, 2011)
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
27
Hvis vi sammenligner Hubbert’s model, med virkeligheden kan man hurtigt se peak oil skete i
1971, og deres olie produktion daler lidt for hvert år, men i 2010 sker der noget ved olie
produktionen i U.S, derved stiger deres olie produktion til 289,040 tusind tønder i august. (Poul
Osmundsent, 2011) Derved kan man sige Hubbert’s teori var forkert, da de har fundet nyt olie og
derved har rykket peak oil igen og får forlænget
, selv om de havde ramt peak oil i 1971, dette
viser også det er svært at datere, hvor meget olie der tilbage i undergrunden. Men hvad er det U.S
har fundet der har givet så meget olie?
U.S har fundet så store mængder skiferolie og skifergas, at den kan få en storbetydning for
verdensøkonomien. Skifer er derved blevet en billig energikilde i U.S, hvis skifer spreder sig til hele
verden, kan det blive en revolution inde for det globale energimarked, man vil få rykket peak oil og
, da det vil skabe en mere langsigtet sikkerhed inden for energi, i forhold til det vi ser i dag,
hvor olien er ved at slippe op. PricewaterhouseCooers (PwC) har lavet en analyse for skifer olie og
ud fra den har de vurderet, at skifer har potentiale til, at produktionen i 2035 vil nå op på 14 mio.
tdr. i døgnet (Pedersen, 2013) dette er ca. svarende på 12% af olie produktionen. Dette vil dog have
en stor betydningen for olie prisen, prisen ville bliver reduceret drastisk, (PwC) analyser siger 25-
40% reducering af olie prisen. Denne reducering af olie prisen vil have store betydning for mange
lande, der er olie producenter. I 2012 kostede en tønde olie 133 dollars. (Poul Osmundsent, 2011)
Hvis prisen så falde de 25-40% ville en tønde olie koste 88-110 dollars. Da vil deres BNP falde 4-
10% dette vil typisk være landeende i Mellemøsten, der eksportere store mængder olie. Det med
olie priser er svært at vurdere, hvordan prisen hænger sammen, fordi mange lande giver statsstøtte
til olie, kul og gas (fossilbrændstof), disse energikilder skader klimaet, derfor er det svært for andre,
firmaer som vil producere energi som er vedvarende og ikke er skadeligt for klimaet, fx vind, sol og
bølge energi, vi skal dog huske, at vindmøller, solceller og bølgebryder skal produceres og derved
også udleder
, dog minimalt forhold til fossilbrændstof.
I 2010 udgjorde skifergas 23% af U.S.A gasproduktion, der forventes at i 2035, ville skifergas
udgøre ca.50% af gasproduktionen. (Geus, 2015) Som nævnt tidligere, var skifergas en billig
energikilde, derved er skifergas marginalt økonomisk, men en langvarig energi forsikring og også
politisk, da olie spiller en stor rolle ind for politik.
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
28
Som deres ses er U.S et eksemplar på, at der olie og gas nok i verden, selv om de nåede oil peak i
1971 og måtte importere store mængder olie og nu eksportere de store mængder skifergas. Dette har
gjort, at U.S.A økonomi har fået et stort skub.
Efter det vi har set med U.S, kan vi se at der kan være olie nok i verden, men jeg vil sige nej til, at
der olie nok, selv om der kun kan indvindes 30% af olie felterne, og i Mellemøsten har de ikke de
nyeste teknologier og bruger stadig traditionelle boringer. Hvis vi tager et ex. Et hjul kan først dreje
når der bliver tilført energi, det er så olie der har drevet dette hjul i mange år, men grundet oliens
klima forandringer og olien er ved, at slippe op, er man begyndt at finde ny rene og vedvarende
energikilder, når der bliver fundet nye energikilder, kan man sige de også giver energi til hjulet,
disse nye energikilder, skal være med til at af belaste olie forbruget, der bliver brugt flere miliareder
om året, på at forske i ren og vedvarende energi, i denne tv udsendelse (Geographic, 2014) så, vi et
anlæg det lavede tornadoer, ud fra spildevarme og kulde, dette kunne så skabe ren energi, dog var
det kun under proces. En kæmpe gruppe forsker, forskede i fusions energi, dette gjorde de ved, at de
havde hydrogen molekyler, de skød med 192 laser direkte mod den, i kort tid blev den 500
gradervarmer end solen, og i et af deres forsøg, havde det lavet mere energi end der blev tilført, men
vi snakker i hundrededel af et sekund, men alle disse teknologier, er med til at af belaste
menneskeheden afhængelighed af olie. Men før forbruger vil omlægge sig, skal det kunne betale
sig, at skifte fx fra en benzinbil til en elbil, man havde forventet, at elbiler blev det der skulle
stoppe, de store benzin slugende biler, dette skete ikke fordi elbilerne kunne ikke følge med benzin
bilerne, grundet en elbil model Tesla kun, kan køre ca. 445km på en ladning (Bernth, 2014),
hvorimod en gennemsnitlig benzin bil, kan køre 500-700km på en tank, når en elbil og benzinbil
kan køre lige langt, vil man se støre blanding af elbiler og benzin biler på vejene.
Dog har kan nye ren og vedvarende energi give politiske problemer, hvis nu få lande kan producere
energi nok til hele verden, grundet nye teknologier. Kan det medføre politiske problemer, hvis nu
der komme splid i mellem lande, kan det land med energikilden bare stoppe salget af energi til det
land, så før man kan opfinde kæmpe energikilder der kan, give energi til det meste af verden, skal
verden være i harmoni så der ikke kommer kamp om energien. Menneskeheden har altid løst det
problem vi har mødt på vejen, så hvorfor skulle vi ikke også kunne klare denne forhindring.
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
29
Konklusion:
Ud fra denne opgave kan der konkluderes at, oliens fremkosten har gjort kæmpe fremskridt for
menneskeheden, vi har kunne opfinde motorer der kørere på olie og det har været med til at gøre
verden mindre, da man nu kunne rejse længer på korter tid end før og været med til, at forøge
produktionen med maskine der kører på olie, men der kan også konkluderes ud fra den geofaglig
behandling af olie, at olien er et produkt der er svær at frem skaffe, men begrund af nye teknologier,
har det på virket olie industrien, som der blev fundet ud af i den geofaglige behandling kunne der
blive indvundet ca.30% i olie felterne og har store omkostninger som fx datering af bjergarterne i
undergrunden og prøve boringerne koste omkring 3 millioner.kr og det er ikke sikker der olie der,
hvor man laver boringen derfor skal der måske mange boringer til og derved kan der kommer store
omkostninger før man har fundet olien.
Der var ikke nogle bekymringer om mangel på olie, før Hubbert kom med sine teorier om olie i U.S
ville slippe op i 1970, denne teori kom han med i 1956. (Jimmy Mangelsen, 2011). Men der var en
række ting som Hubbert’s teori ikke tog hensyn til, som det blev skrevet i teorien om Hubbert
metode. I den matematiske teori så vi, hvilken matematik teori Hubbert havde brugt, for at kunne
lave sine grafer og teori om, hvornår U.S olie produktion ville ramme peak oil. Derefter så at
Hubbert’s matematik hang sammen frem til 2010, hvor U.S olie produktion steg markant, grundet
de fandt skifergas i undergrunden. Dette med førte at
bliver flyttet længer ud i fremtiden.
Men selv om olie er et fremragende produkt, prøvede stadig at finde andre energikilder der kan
erstatte olien, fordi olie medfølger
og
er med til, at forøge drivhus effekten. Fordi forbruget
af olie, forårsager klimaforandring vil man gerne finde anden energikilde også fordi spørgsmålet er
om der olie nok i fremtiden? Dette spørges er omtalt af mange forsker, men er et svært spørgsmål at
besvare, men efter U.S har fundet skifergas, har det ændret synet på, at der muligvis er olie nok i
verden, men grundet nye teknologisk energikilder, kan det sænke olieforbruget, og derved kan det
være vi aldrig løber tør for olie, fordi andre energikilder måske kommer til, at fylde mere end olie,
men dette lægger længer ude i fremtiden og er svært, at sige noget om.
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
30
Litteraturliste
Administration, U. E. (31. augst 2015). Eia. Hentet fra Eia:
http://www.eia.gov/dnav/pet/hist/LeafHandler.ashx?n=PET&s=MCRFPUS1&f=M
Adminstration Eia U.S Energy Information. (09 2012). Annual Energi Rewiew 2011. Hentet 29. 11
2015 fra www.eia.gov: http://www.eia.gov/totalenergy/data/annual/pdf/aer.pdf
Bernth, M. (). Tesla forbedrer rækkevidde og fart i ny superbil. Hentet fra Ingeniøren:
http://ing.dk/artikel/tesla-forbedrer-raekkevidde-og-fart-i-ny-superbil-171512
Fogh, K. E. (2013). Vejen til Matematik A2. I K. E. Fogh, Vejen til Matematik A2 (s. 240-257).
Silkeborg : Silkeborg Bogtrykkeri A/S.
Gas, O. o. (2014). Olie og Gas. Hentet fra Olie og Gas: http://www.geologi.dk/oliegas/d2.htm
Geographic, N. (Instruktør). (2014). BREAKTHROUGH [Film].
Geus. (01. Januar 2015). www.geologi.dk/oliegas/e2/d25. Hentet fra Olie og gas:
www.geologi.dk/oliegas/e2/d25
Holm, E. (25. juni 2012). Ingeniøren . Hentet fra Ingeniøren : http://ing.dk/artikel/40-ar-i-nordsoen-
avanceret-boreteknologi-og-fracking-skabte-dansk-olieeventyr-130357
Jens Carstensen, J. F. (2006). Kvadratsummer, mindste kvadraters metode . I J. F. Jens Carstensen,
Mat A2 (s. 272-277). Vibrog: Systime.
Jimmy Mangelsen, A. N. (2011). Naturgeografi - vores verden. Danmark: Geografforlaget.
Nordsøfonden. (u.d.). Nordsøfonden. Hentet fra http://www.skifergas.dk/teknisk-overblik/hvad-er-
skifergas.aspx
Pedersen, K. L. (21. Februar 2013). En gigantisk kickstart eller. Jyllands-postens, s. 14.
Poul Osmundsent. (). infomedia. Hentet fra infomedia:
http://infomedia.skoda.emu.dk/ms3/ShowArticle.aspx?outputFormat=Full&Duid=e2d6fe98
S.Deffeyes, K. (2006). Byyond oil The wiew from hubbert's peak. I K. S.Deffeyes, Byyond oil The
wiew from hubbert's peak (s. 57-71). United States of America: Hill and Wang.
vedvarendeenergi. (u.d.). vedvarendeenergi. Hentet fra http://www.ve.dk/hvad-er-de-
miljomaessige-risici-ved-skifergas
Nordfyns Gymnasium 3.F
Naturgeografi B og Matematik A
Dato.
31
Bilag
Bilag 1
(Jimmy Mangelsen, 2011) figur 3.7b
Bliag2
(Jimmy Mangelsen, 2011) figur 3.15
Bilag 3
(Jimmy Mangelsen, 2011) 3.13