Studieretningsprojekt
Matematikkens rolle i det vestlige
Han-dynasti
[navn fjernet] 3.d
STX 3.g
Fagkombination: Matematik A og Historie A
20. december 2016
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Abstract
This paper investigates the social and economical changes during the former Han Dynasty, and
the importance and usage of mathematics and arithmetics for both the administrative
management for the Han-government and the merchants. The main source for the mathematics
during the Han Dynasty is the Nine Chapter of Mathematical Art
, which contains practical problems
related to the economic activities. One of these problems is about taxation and equitable
transportation, which is also one of Emperor Wu’s economic measures that were necessary to
finance the military campaign against the Xiongnu. This led to an even bigger expansion of
China. Although this was too expensive to maintain, which in the end led to impoverishment of
the peasants due to increased taxes and the exchequer went emptier.
The paper is also going to investigate the chinese calculation method used to solve linear
equations and connect it with the economic activities during the Han-dynasty. The calculation
method will then be put into perspective with the modern way of solving linear equations.
Based on an analysis and interpretation of a historical source about the debate on the monopoly
on salt and iron industries, the paper shows that the monopoly had both good and bad
intentions with it. The good intentions with the monopoly was that it was a good source of
income that did not depend on taxing the peasants, but the bad intentions with monopoly was
that it made the officials put into stalls in the market by profiting from the people.
Through an analysis and interpretation of different historical sources about the process of
agricultural reform, it shows the importance of having a bureaucracy based on merits instead of
birth. This is because of an official that was able to make suggestions to solve the economic
instability and problems in agriculture during the beginning of the former Han Dynasty. This was
then approved by the emperor which made the Han-economy blossom.
1
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Indholdsfortegnelse
Indledning……………………………………………………………………………………....3
Redegørelsen for etablering af det vestlige Han-dynasti………………………………………....4
Redegørelsen for landbrugsøkonomien under det vestlige Han-dynasti………………………....4
Redegørelsen for Kinas forhold med udlandet under Han-dynastiet……………………………5
Redegørelsen for kejser Wus indenrigspolitik…………………………………………………...5
Redegørelsen for den kinesiske matematik……………………………………………………...6
Historisk analyse af den økonomiske skrøbelighed under kejser Wens Regime………………....7
Historisk analyse og fortolkning af statens monopol på salt- og jernindustrien og matematikkens
rolle for staten………………………………………………………………………………….9
Matematisk analyse og fortolkning af kurserne på kornsorter og fordelingen af transport
vedrørende skatter……………………………………………………………………………..12
Matematisk beskrivelse og analyse af den kinesiske regnemetode til at løse ligningssystemer…..14
Nutidens metoder til løsninger af n ligninger med n ubekendte………………………....……..16
Lineære ligninger og ligningssystemer……………………………………………….………....17
Matricer og Gauss Elimination………………………………………………………….…….17
Gauss-Jordan Elimination……………………………………………………………………..18
Bevis for rækkeoperationer anvendt i Gauss Elimination og Gauss-Jordan…………………....20
Konklusion………………………………………………………………………………….....21
Litteraturliste………………………………………………………………………………….22
Billag……………………………………………………………………………………....…..24
2
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Indledning
I dag består den kinesiske befolkning primært af Han-folket. Dette kommer af, at Kinas
befolkningstal steg drastisk under Han-dynastiet (206 f.kr.-220 e.kr.). Han-dynastiet bragte Kina i
store nye højder, såsom fremmelsen af konfucianismen som samfundsfilosofi. Ikke desto mindre
blev det nyetablerede bureaukrati i det tidlige vestlige Han-dynastiet baseret på konfucianismens
lære, og samtidigt ført til en økonomiske fremgang i landbruget og den formelle etablering af
Silkevejen. Resultatet af dette førte til handel uden for grænserne samt ekspansionen af Kina.
1
I denne opgave vil der undersøges, hvordan matematikken har haft en indflydelse på den
økonomiske udvikling under det vestlige Han-dynasti. Herunder vil der først redegøres kort om
den kinesiske matematik og de regnemetoder, der blev anvendt til at beregne kurser på
kornsorter og fordeling på transportydelser vedrørende skatter. Derefter undersøges der
yderligere om ligningssystemet også har haft for beskatning af bønder. Efterfølgende vil det blive
perspektiveret til den nutidige måde at løse ligningssystemer og beviset for den matematiske
indgriben af ligningssystemer. Den tværfaglige forhold mellem historie og matematik vil blive
illustreret i den historiske analyse og fortolkning, hvorved kejserens økonomiske foranstaltninger
blev gennemført ved hjælp af matematikken samt den efterfølgende debat omkring disse
foranstaltninger. Derudover vil der også blive analyseret to kilder, der lagde grund for
landbrugsreformen under det vestlige Han-dynasti samt dens betydning for de efterfølgende
kejsere.
Inden analysen vil det være nødvendigt at redegøre den samfundsmæssige og økonomiske
udvikling under det vestlige Han-dynasti. Først vil der blive redegjort for etableringen af det
vestlige Han-dynasti, da dette lagde grund for den nyetablerede bureaukrati, som primært bestod
af dygtige embedsmænd, og derefter redegøres landbrugsøkonomien under det vestlige Han.
Desuden redegøres Kinas forhold mellem omverdenen, specielt nomaderne nord for Kina, da
dette førte til Kejser Wus militære kampagner for ekspansionen samt ændringen af Kinas
indenrigspolitik.
1
http://www.ancient.eu/Han_Dynasty/
3
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Redegørelsen for etableringen af det vestlige Han-dynasti
Da kejser Gaozu kom til magten og blev den første Han-kejser (202-195 f.kr.), bibeholdt han
mange af de love og regler fra Qin-dynastiet (221-206 f.kr.), hvor man i Qin-dynastiet fremmede
centraliseringen af staten og fordrivelsen af den feudale adel. Regeringen under Qin-dynastiet
2
var mest influeret af legalismen, som førte til ensartethed blandt folket, strikse regler og
undertrykkelse gennem censurering af litteratur. Ikke-legalistiske bøger blev brændt, og hvis
3
man kritiserede Qin-regeringen eller brød loven, blev man henrettet.
4
Udfordringen for Gaozu var nu at udvikle en ny form for centralisering for at opretholde
dynastiets stabilitet og orden, uden at det blev associeret med den tyranniske Qin-dynasti. På
5
den måde blev et nyt bureaukrati etableret, som skulle udføre den administrative del af
regeringen, inden for både provinserne og hovedstaden, hvorved den bestod mest af den nye
adel: landadelen. Man blev således bedømt for ens erfaringer og ikke længere ens arv.
Embedsmændene fra landadelen var typisk højtuddannede i de administrative del af regeringen,
og de blev ofte kaldt litterater. Under Han-dynastiet kunne lokale embedsmænd også anbefale
dygtige unge mænd til at få en plads som embedsmænd i regering. Derfor blev det nødvendigt at
introducere et eksamenssystem for den offentlige tjeneste i slutningen af år 200 f.kr.
6
Redegørelsen for landbrugsøkonomien under det vestlige
Han-dynasti
Landbruget var fundamentet for Han-civilisationen. Under Han-dynastiet var der teknologisk
fremskridt i landbruget, som gjorde det muligt at kontrollere dybden af pløjningen. Til rådighed
havde bønderne jernredskaber, der skulle hjælpe dem med at dyrke jorden. Brugen af oksen
under pløjningen var blevet en normal ting hos bønderne og skabte flere muligheder til at dyrke
større marker. Fattige småbønder måtte dog gøre brug af deres hænder til pløjningen.
7
Jordbesiddelse, arv samt regeringens finanspolitik skabte tydeligt skel mellem de små familiers
bondegårde og jord ejet af godsejere. Den økonomiske skrøbelighed blev blandt beskrevet af
embedsmanden Chao Cuo, især blandt småbønder. Den primære årsag til, at småbønderne havde
knap nok til at overleve var pga., at der skulle være en ligelig fordeling af familiens ejendom
blandt sønnerne, som blev indført under Han-dynastiet. Derfor blev bønderne presset til enten
at arbejde med, hvad de havde eller arbejde på jord af en magnat. Hvis dette ikke var nok endte
det ud med at være lejere eller afhængige af magnater. Når skattesamlerne kom, undslap nogle
bønder beskatningen, som satte pres på skattesamlerne til at sætte pres på andre bønder.
2
Morris: s. 61
3
http://www.ancient.eu/Qin_Dynasty/
4
Ebrey: s. 61-63
5
Ebrey: s. 64
6
Eberhard: s. 69-72
7
Thomsen: s. 165
4
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Resultatet blev, at de fattige var nødt til at migrere eller være fuldstændigt afhængige af
magnaterne. Som reaktion var kejser Wen (180-157 f.kr.) nødt til at sænke kopskatten for de
fattige og skatten for høstudbyttet. Kejser Wen var desuden tilhænger af daoismen , hvor han
8 9
fulgte laissez faire-politikken, dvs. herskeren afholder sig i enhver indgreb på samfundet, som
førte til reducering af restriktioner på kobberminer. Hans efterkommer, kejser Jing (157-140
f.kr.) , sænkede skatten for bønder, og resultatet blev en økonomisk boost for Han-riget.
10 11
Redegørelsen for Kinas forhold med udlandet under Han-dynastiet
Kinas kontakt med omverdenen kommer af Silkevejen, et netværk af handelsruterne, som
forbandt Kina med andre regioner. Dette blev formelt etableret under Han-dynastiet og har
gennem historien både ført til militære og økonomiske konflikter. De kinesiske produkter, silke
12
og lakarbejde, var bedre end nabolandenes. Det medførte til en stor efterspørgsel. Ud fra
produkterne kunne kineserne få dyr og tømmer fra handlen. Det var desværre også en norm for
ikke-kinesere at plyndre for at få fat i de kinesiske goder i stedet for en ordentlig handel.
Problemet blev forværret midt under Zhou-dynastiet (1064-256 f.kr) pga. Xiongnu, som
er nomaderne nord for Kina. Deres færdigheder som jægere og ryttere gjorde dem militært
stærke. Desuden så de ned på bønder, som de fleste kinesere under Han-dynastiet var. De tidlige
Han-kejsere prøvede med forsonende politik mellem år 176 og 174 f.kr., hvorved de gav gaver,
såsom ris, silke og penge samt prinsesser til ægteskab. Dette gav dog bagslag, da de gjorde
13
nomaderne Xiongnu stærkere, hvor de i år 166 f.kr. overtog den nordlige grænse af Kina. I
14
frygt for, at Xiongnu ville sammen med tibetanerne overtage den nordlige Kina, indførte kejser
Wu militære kampagner, som skulle stoppe betalinger til Xiongnu. På den måde fik han overtaget
den nordlige grænse, hvor 2 millioner kinesere kunne migrere til det nye territorium. Krigen
mellem Xiongnu førte til en større ekspansion, hvor Kina overtog flere territorier rundt omkring
grænserne, såsom den nordlige og vestlige del af Korea, pga. jern og deres handelsforbindelser
15
med Japan i år 108 f.kr. De militære kampagner var økonomisk belastende for staten.
16 17
Redegørelsen for kejser Wus indenrigspolitik
8
Ebrey: s. 73-75
9
Schwartz: s. 253
10
http://www.chinaknowledge.de/History/Han/personschaocuo.html
11
Ebrey: s. 73
12
http://www.ancient.eu/Silk_Road/
13
Twitchett & Fairbank: s. 152
14
Swann: s. 244
15
http://www.fsmitha.com/h1/china04.htm
16
Eberhard: s. 87+88
17
Ebrey: s. 68+69
5
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Kejser Wu’s aggressive udenrigspolitik førte til en indenrigspolitik, der skulle få indtægter til at
finansiere ekspansion af kejserriget. På grund af laissez faire-politik havde købmændene tjent en
masse på store foretagender inden for jernproduktion, alkohol og udvindinger af salt. Desuden
havde de også spekulerede med kornpriserne samt udlånt penge med ågerrenter. Disse forhold
førte til en stramning af finanspolitikken, der førte til forhøjelsen af skatten af vogne og både.
18
Desuden blev der sat en årlig ejendomsskat på 9,5% for købmændene. Bønderne skulle
yderligere belastes med mere militærtjeneste og statshoveri. De købmænd som ikke betalte fik
fratrukket deres formue. Købmændene, som rasede over de uberegnelige anti-merkantile
19
foranstaltninger, spekulerede kraftigt og fik drevet priserne så højt oppe, at mønterne mistede
værdi. For at gøre bod på dette, blev der givet retten til bestemte familie til privat prægning, som
ledte til en ekstremt lokaliseret kapitalakkumulation, eftersom regeringen også overtog
kobberminerne. På den måde fik regeringen kontrol over produktion over kobbermønter.
Kejseren tog de dygtigste af disse købmænd til den offentlige tjeneste, specielt i relation
til salt og jern monopol. Disse monopoler endte ud med at være en vigtig form for indtægt for
20
regeringen, men det ville på samme tid også ende ud med prisstigninger på disse vitale råvarer.
21
På den måde behøvede kejseren ikke at beskatte bønderne yderligere mere. Ekspansionen i de
nye områder, der skulle finansieres af indenrigspolitikken, besat af store hære var meget dyrt at
vedligeholde. Den eksterne handel førte ikke til den økonomiske fremgang, man havde håbet.
Udover dræning af statskassen pga. vedligeholdelsen var der også et stort behov for heste. Dette
ledte til, at man i regeringen købte heste til meget høje priser. Desuden skulle hæren også
belønnes for at tjene landet, hvilket førte til større skatter blandt bønder. Resultatet blev, at i
slutningen af det sidste århundrede f.kr. blev den økonomiske situation forværret. Bønderne blev
mere forarmede og statskassen blev hurtigere tømt, og derfor var der pludselig behov for at
diskutere den økonomiske situation, specielt om monopolet på salt og jern.
22
Redegørelsen af den kinesiske matematik
Den kinesiske matematik var baseret på et titalsystem, som havde været dateret tilbage helt fra
mindst “The Warring States” perioden (475-221 f.kr.). Man regnede med stænger, som var lavet
af enten ben eller bambus på et tællebræt med firkantede markeringer. 1, 100, 10000 osv. blev
repræsenteret ved at sætte stængerne lodret op. 10, 1000, 100000 osv. blev repræsenteret ved at
sætte stængerne vandret op. 0 blev repræsenteret med en blank firkant. Man brugte også
23
tælletbrættet med stænger for at løse ligningssystemer i The Nine Chapters of Mathematical Art,
som
18
Twitchett & Fairbank: s. 160
19
Thomsen: s. 132
20
Needham, Vol 1: s. 107
21
Morris: s. 78+79
22
Eberhard: s. 89+90
23
https://arxiv.org/pdf/3.pdf
: s. 2+4
6
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
er en af de ældste kinesiske matematikbøger. Tælletbrættet med stænger erstattede man med
abacus i det 14. århundrede, som var under Ming-dynastiet.
24
The Nine Chapters on the Mathematical Art
(Jiuzhang Suanshu) har domineret den kinesiske
matematikhistorie , og er blevet meget anerkendt af dens akademiske værdi. Liu Hui, som
25 26
anses for at være den første bemærkelsesværdig lærde matematikere, har i år 263 e.kr. kommet
27
med løsninger og forklaringer til de matematiske problemstillinger, der bliver fremstillet i bogen.
De matematiske regnemetoder er forklaret med ord og ikke algebraisk, men det giver os en ide
om omkring algoritmen. De matematiske problemer er hver især referencer til praktiske
problemer i samfundet, da den kinesiske matematik var meget optaget omkring opmålinger af
landbrugsjord, beskatning, dimensioner på kornkamre, fordelingen af goder osv. dette citat.
28
Historisk analyse af den økonomiske skrøbelighed under kejser
Wens regime
I kilden Edict of Emperor Wen on the primacy of agriculture,
skrevet i år 163 f.kr., er Kejser Wen
opmærksom på den økonomiske skrøbelighed omkring landbruget. Kilden er en primær kilde, da
det er en tale/befaling af kejser Wen, hvor modtagerne er kanslerne, embedsmændene og de
intellektuelle, som befinder sig i retssalen. I kilden står der “we”, da han refererer til ham selv og
modtagerne, der lytter i retssalen. Det er også derfor, at han spørger sine embedsmænd til råds i
sin bekendtgørelse: “Where does the blame lie? Is it that many people pursue secondary activities
to the detriment of agriculture?”. Allerede i dette citat er han godt klar over, at grunden til at
29
regeringen ikke får så meget korn i systemet, det er, at mange folk søger ud i det sekundære
erhverv, fordi det økonomisk set er mere profitabelt. “for they will follow after profit in any
direction”. Hvilket man kan se i Chao Cuos memoranda som svar på kejser Wens edikt, at det
30
slet ikke kan betale sig at være bonde. “No matter how diligently they work nor what hardships
they suffer”. Bønderne slider, men de lider, og derfor søger folk ud i det sekundære erhverv.
31
Kejser Wens intention med sin edikt er, at han politisk set vil opretholde sin plads som
kejser, som himlens mandat har givet til Han-slægten, hvilket er ansvaret til at holde freden på
jorden. Hvis han ikke gjorde dette, kan folket afsætte ham. Et typisk scenarie for uorden og
32
kaos var: “People ate human flesh; and more than half [of the population] died.” Dette skete,
33
24
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Chinese_numerals.html
25
Kangshen: s. 1
26
Kangshen: s. 5
27
Kangshen: s. 3
28
Burton M.: s. 28
29
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/emperor_wen_agriculture.pdf
30
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/chaocuo_agriculture.p
df
31
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/chaocuo_agriculture.pdf
32
Thomsen: s. 70+130
33
Swann: s. 148
7
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
da Qin blev afsat, og etableringen af Han-dynastiet skulle dermed genoprette freden. Formålet
med hans edikt er, at problemet skal løses blandt embedsmændene, kanslerne osv. netop fordi
han har behov for korn til at styre samfundet. Dermed fortæller det også kornets vigtighed, da
man brugte korn som samfundets styringsmekanisme. Korn ligger grund til mad og dækker
folkets fysiske behov, og på den måde har han madforsyninger til hæren, kejserriget og vagterne,
som skal dække folkets sikkerhed og dermed skabe fred iblandt samfundet. På den måde kan han
derfor opretholde samfundspagten og beholde sit mandat.
34
Kejser Wens tendens er dog, at han mener, at det er hans embedsmænd, der er skyld i
landbrugets ustabilitet, og derfor er dem der skal løse den økonomiske problem, som man kan se
i dette citat: “We have considered whether our administration has been guilty of some errors or
our actions of some faults”. Da kejser Wen følger laissez-faire-politiken, kan det tillade ham at
35
bebrejde embedsmændene først, fordi han er ikke den, der laver et indgreb på samfundet. Men
alligevel spørger han til råds, fordi han ikke rigtig kan gøre noget uden sine embedsmænd, som
ses i dette citat “Let this matter be debated by the chancellor, the nobles, the high officials, and
learned doctors”. Dette er ret modstridende mod hans laissez-faire politik, netop fordi daoismen
er baseret på, at man lader balancen i naturen og samfundet køre af sig selv, uden at herskeren
laver et indgreb på harmonien. Dette er også hans intention med ediktet, da han er interesseret i
at få mere korn. Men på grund af den nuværende situation, er mængden af korn, der bliver
beskattet faldet drastisk, hvilket er nok derfor, at han er blevet opmærksom omkring dette.
Desuden bor 90% af befolkningen i landdistrikterne. Han laver derfor et indgreb, idet at han
36
iværksætter processen for at indføre en politik, der skal forbedre den økonomiske tilstand.
Desuden kan han heller ikke lade det fortsætte, da det øger chancen for, at folket afsætter ham.
Kejser Wen er også meget afhængig af hans embedsmænd, fordi han er efterkommeren af
oprørslederen Gaozu, som skabte et system, hvor embedsmænd blev hyret baseret på
færdigheder frem for arv. På den måde behøvevde kejseren ikke rigtig at gøre noget.
Embedsmanden Chao Cuo kommer med forslaget om at styrke værdien af korn, “... all
who send grain to the government shall obtain honorary rank or pardon from crimes”. Dette
37
kommer af, at efterspørgslen bliver større for korn, og dermed stiger prisen, da købmænd eller
forretningsmænd med mange penge vil købe korn fra bønderne. Det vil derfor skabe
konkurrence iblandt dem. Chao Cuos tendens er at nedgøre købmændene, da de er magtsyge,
grådige og arbejder for deres egen vindings skyld, som bliver understøttet i dette citat “They use
their profits to overthrow each other. Over a thousand miles they wander at ease, their caps and
cart covers filling the roads”. Købmændene har det let, og de bestiller ikke andet end at lege
38
34
http://asianhistory.about.com/od/ancientchina/f/What-Is-The-Mandate-Of-Heaven.htm
35
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/emperor_wen_agriculture.pdf
36
Twitchett & Fairbank: s. 150
37
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/chaocuo_agriculture.pdf
38
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/chaocuo_agriculture.pdf
8
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
konger, når de kunne være ude i markerne og blive et aktiv for regeringen. Men når de så køber
sig til en højere rang, kommer der penge i statskassen, og på samme måde kan bønderne få mere
penge ud af deres korn. Udover at rang giver en status, kan man med mindst den 9. rang fritages
fra militærtjeneste og statshoveri, hvilket købmændene under Han-dynastiet var meget
interesseret i, da tid er penge. På den måde bliver kornet cirkuleret i samfundet, da der kommer
39
penge i systemet. Overskuddet vil så bruges til at hjælpe bønderne, som ses set i dette citat: “If
this surplus is acquired for the use of the ruler, then the poll tax on the poor can be reduced.”
40
Når de rige bruger deres overskud på regeringen, kan regeringen dermed reducerer kopskatten
for bønderne. Det vil betyde en lettelse af byrden for bønderne, som gør landbruget mere
attraktivt. Han er desuden meget sympatisk for bønderne pga. at de er hårdtarbejdende, men den
nuværende situation og deres sociale forhold ikke belønner deres arbejdsomhed. Hvis forslaget
indføres, vil der også om tre år være nok korn til grænseområderne, “... no more than three years
there will be plenty of grain for the border areas.” Korn er vigtigt at have i grænseområderne for
at militærvagter og soldater kan få mad, og deres job er at beskytte imperiet for potentielle
angreb udefra såsom Xiongnu eller andre, som Chao Cuo også beskriver “...but without grain, it
cannot be defended.” Dette kommer af, at fjenden var meget interesseret i de kinesiske
41
produkter såsom silke. Kejser Wen udsteder disse forslag fra Chao Cuo med høj succesrate, som
førte til endnu lavere skat af ens høstudbytte. “The emperor again followed his (that is, Ch’ao’s)
words, and thereupon issued the mandate granting the people reduction of one half of the
produce tax”. Det førte til endnu mere økonomisk vækst for regeringen, som gav kejser Wu
økonomiske muligheder til at udføre hans militære kampagner. På den måde havde
embedsmændene en stor indflydelse på Han-dynastiets måde at systematisere den økonomiske
udvikling på, mens kejseren var den, der godkendte de forslag, der gav ham de bedste
begrundelser til økonomisk gevinst. Dermed kunne kejseren vedligeholde sin slægts magt.
Historisk analyse og fortolkning af statens monopol på salt- og
jernindustrien og matematikkens rolle for staten.
Årsagen til etableringen af jern og salt industrien var, at det skulle finansiere kejserens militære
kampagner. Dette kom af, at Xiongnu indtog den nordlige grænse af Kina, som førte til kejser
Wus indledte nogle økonomiske foranstaltninger, som senere efter hans regime, bliver dybt
kritiseret af litteraterne pga. at de mener, at statens indgreb på markedet svækker økonomien.
Dette kan vi se i kilden A Record of the Debate on Salt and Iron
, hvor debatten tog sted i retssalen i år
81 f.kr. Dette er også en primær kilde, da debatten blev nedskrevet, som dermed skulle sendes til
kejser Zhao, som var modtageren. Kejseren var den, der skulle bedømme, om hvorvidt
39
Thomsen: s. 156
40
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/chaocuo_agriculture.pdf
41
Swann: s. 168
9
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
monopolet skulle afskaffes. Der blev diskuteret om den økonomiske politik og især emnet om
monopol på salt, jern og likør, som kom af kejser Wus regime. Kejser Wu var allerede død på
dette tidspunkt, hvorved kejseren Zhao (87-74 f.kr.), som stadig var et barn, overtog tronen.
42
Debatten omkring den økonomiske politik endte hurtigt ud med diskussion mellem to
modstridende politiske ideologier. En af grundene til debatten var, at kejserens regime kunne
potentielt lede til et dynastiskifte, som ses i dette citat: “[The resources of] all under Heaven were
utterly wasted, and again human beings ate human flesh.” Dette kom af, at kejser Wus
43
udenrigspolitik tog et hårdt slid på regeringens statskasse.
Debatten foregik mellem litteraterne, som var imod monopol på salt, jern og likør, og
Hung-yang (Hongyang) som blev udpeget som leder af sekretariatet af kejser Wu, altså kejserens
højre hånd. Desuden har han som nævnt været med til at administrere monopolet samt
44
regeringens finanser. Hvis man ser det fra Litteraternes synsvinkel, bør man bandlyse regeringens
ligelig markedsføring og monopol på salt og jern, netop fordi at de mener, at det får folket til at
være grådige, som det ses i dette citat: “... system of equitable marketing have been established to
compete with the people for profit… teaching the people greed”. Litteraterne mener, at staten
45
ikke bør indblandes i markedet, da det moralsk er forkert. Dette giver folket et forkert forbillede,
hvorved de selv bliver fristet til at være lige så grådige. På samme måde er litteraternes tendens at
nedgøre staten, fordi de synker lige så dybt som de rige købmænd, der spekulerer med priserne.
Desuden bruger litteraterne også fortiden som et argument mod Hung-yang, idet at de
sammenligner den nuværende situation med Qin-dynastiets fald. “You see how Shang Yang
opened the way to imperial rule for the Qin, but you fail to see how he also opened for the Qin
the road to ruin!”. I bund og grund siger de, at den nuværende regering er korrupt, og dette vil
46
medføre til dens fald, derfor bør staten fjernes i markedet, hvor man sætter embedsmænd i
boder, og i stedet fokusere på det primære erhverv og få indtægter gennem der. Man kan allerede
se, at debatten fører til en verbal slagsmål mellem de to parter, fordi Hung-yang også ender ud
med at nedgøre litteraterne indirekte. “Perhaps we are not capable of recognizing true scholars.”
Da han mener, at litteraterne ikke bestiller andet end at spille kloge og pege ned på regeringens
47
beslutninger ved at fordærve sandheden. De nævner alt det negative, men fortæller ikke, at
Qin-dynastiet har forenet Kina gennem centralisering samt fjernet den feudale adelen, som
Hung-yang selv nævner: “... give no thought to the state of the times.” Dette sætter han så op
48
med, at litteraterne ikke strejfer en tanke om, hvad den primære grund til – som Hung-yang
42
http://www.chinaknowledge.de/History/Han/personssanghongyang.html
43
Swann: s. 183+184
44
Swann: s. 319
45
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/debate_salt_iron.pdf
46
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/debate_salt_iron.pdf
47
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/debate_salt_iron.pdf
48
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/debate_salt_iron.pdf
10
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
påstår – hvorfor regeringen var så opsat på at have monopol på salt og jern: “Now our critics,
who desire that these measures be abolished, would empty the treasuries and deplete the funds
used for defense.” Da indtægterne på salt- og jernindustrien skulle også bruges til at beskytte
49
mod angreb udefra. Dette kan der diskuteres om, siden at kejser Wu også brugte budgettet på at
finansiere hans udenrigspolitik, som skulle yderligere give større økonomisk gevinst. For at dette
kunne lade sig gøre, havde kejser Wu behov for nogle ved hans side, der kunne holde styr på
regeringens finanser samt skabe indtægter til regeringen. Heriblandt var Hung-yang en af dem.
“Hung-yang, a son of a merchant of Loyang, was able to make mental calculations
(without using the “counting sticks”). When he was thirteen years old (140 B.C.) he became
shih-chung”. Herunder man kan understrege, at Hung-yang blev valgt ud som palads ledsager
5051
som 13-årig i år 140 f.kr. baseret på sine matematiske færdigheder, og dermed ikke af sit arv, da
købmænd ikke er en høj social klasse. Det nye bureaukrati, som blev etableret under starten af
det vestlige Han-dynasti, udvalgte embedsmænd baseret på de fordele, man kunne bringe til
regeringen. Citatet fortæller også om repræsensativeten hos købmændene, da Hung-yang er søn
af en købmand. Det betyder så, at købmændene under Han-dynastiet anvendte matematikken til
at beregne udbyttet af de forskellige varer, de handlede med. Det var så derfor, at Hung-yang fik
opgaver i regeringen, der involverede matematiske beregninger. “And so the three men discussed
matters for government revenue to the point of splitting an autumn hair.” Udover Hung-yang
52
beskriver citatet også to andre embedsmænd, Xian-yang og Kong-Jin, som blev i år 120 f.kr.
udnævnt til at have ansvaret for regerings finanser, handlen og for at få skaffet flere indtægter til
regeringen. Xian-yang var en salt-industrialist og Kong-Jin var en jern-metallurgist. Det var
derfor, at Kejser Wu havde udnævnt dem, da de har hver især ekspertise i deres område og
spiller derfor en stor rolle for på etableringen af monopol på salt og jern. På den måde blev
matematikken også en nødvendighed for at kunne udføre disse poster. Dette bliver også
53
understøttet i bogen The Nine Chapters of Mathematical art
, da man skulle kunne matematik for at
udføre administrative opgaver i regeringen. “since the Nine Chapters was used as a textbook for
civil service examinations in ancient China.” Da eksamener var baseret på de fire bøger og fem
54
klassikere, fik man således embedsmænd, der kunne udføre statens opgaver.
55
I The Nine Chapters
er der blevet dateret praktiske problemer og løsninger helt tilbage til
før Qin-dynastiet, og derefter blev den kompileret, og dermed brugt under den vestlige
Han-dynasti. Modtagerne bliver således embedsmændene, da de skulle kunne aritmetik for at
49
http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/debate_salt_iron.pdf
50
Swann: s. 272
51
shih-chung: En palads ledsager. Han var særlig favoriseret af kejseren selv.
52
Swann: s. 272
53
Swann: s. 271
54
Kangshen: s. 134
55
http://www.chinasage.info/examinations.htm
11
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
kunne beregne regeringens finanser og dermed få større indtægter ind til regeringen. Selvom
bogen har en anonym afsender, da den efter mange generationer har været omskrevet eller
modificeret, og at de historiske kilder ikke fortæller hvilke slags beregninger eller regnemetoder,
56
der var involveret, så har kapitel 6 i The Nine Chapters
fået titlen “Fair Levies eller Junshu” på
kinesisk, som betyder en retfærdig fordeling eller upartisk beskatning. Den samme titel ses også
57
på en kejser Wus’ omstridte økonomiske foranstaltninger, som er “equable transportation eller
Junshu” på kinesisk, under kejser Wus tid. “Equable transportation” kan forstås som fordeling
58
af transportydelser, idet at man fordelte transportydelser til landene, som så skulle bruge det til at
transportere korn, som er det, der skal beskattes. På den måde kunne den administrative del af
regeringen udfører beregninger vha. af The Nine Chapters
, og dermed give et blik, hvordan man
ved hjælp af matematikken systematiserede den økonomiske udvikling under det vestlige
Han-dynasti.
Matematisk analyse og fortolkning af kurserne på kornsorter og
fordelingen af transport vedrørende skatter
Kurser er vigtigt for at holde styr på, at værdien man får fra en kornsort er vekslet til noget andet
med samme værdi. Dette kan både købmænd og regering gøre gavn af. I kapitel 2 problem 1 i
The Nine Chapters on the Mathematical Art
lyder spørgsmålet: Hvor meget man kan få ud fra 1 dou
hirse til afskallet hirse. Regnemetoden der anvendes til problemet er reglen om tre, som også er
59
vigtig metode for at løse problem 1 i kapitel 6. Man skal tage den givne mængde, der er behov
for og multiplicerer den med den søgende pris oppe i tælleren (dividenden) for at finde
produktet. Produktet divideres med den givne pris, som er divisoren for at få kvotienten.
Den givne pris
Den givne mængde
=
Den søgende pris
Den søgende mængde
⇔
b
a
=
c
d
⇒ d =
a
cb
⇒
5
1 3
*
=
5
3
Svaret er, at man kan få dou eller 6 sheng af afskallet hirse ud fra, at man har 1 dou hirse.
5
3
På den måde kunne de udveksle korn og andre sorter med hinanden, da forskellige sorter har
forskellige kurser/værdier.
Kapitel 6 handler om produktivitet, skatter og fordelinger, og kan derfor have meget
betydning for regeringen økonomisk, som nævnt tidligere havde kapitlet den samme titel som
Kejser Wus økonomiske foranstaltninger. For eksempel i problem 1, vil der i opgaven vises
fordelingen af transport og skat, som vedrører praktiske problemer relateret til de økonomiske
aktiviteter. Skattebureauet skal have en total skat på 250000 hirse målt i hu, og de har 10000
vogne til rådighed fordelt mellem 4 lande. Land A har 10000 husholdninger, og det tager landet 8
56
Kangshen: s. 1
57
Kangshen: s. 310
58
Wager: s. 13
59
Kangshen: s. 143
12
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
dage at komme til skattebureauet. Land B har 9500 husholdninger tager landet 10 dage. Land C
har 12350 husholdninger og tager landet 13 dage. Land D har 12200 husholdninger og tager
landet 20 dage. Hvor meget skal de 5 lande give hver især? Det vil sige, satsen af fordeling er
proportionelt til antallet af husholdninger i hvert land, og omvendt proportionalt med distancen
målt i dage til skattebureauet for hvert land. Liu Hui fortæller, at man skal dividere antallet af
husholdninger (dividenden) i hvert land med antallet af dage til skattebureaet (divisoren).
Land A: Land B: 25
8
10000
= 1 5
10
9500
= 9 Land C: 5
13
12350
= 9 Land D: 1
20
12200
= 6
Alle disse tal skal tilsammen sættes som divisoren. Her skal man anvende regnemetoden, som
hedder reglen om proportional fordeling. Formlen for dette ses sådan her ud:
60
Land A:, , ..,
A a
*
a+b...+n
A b
*
a+b...+n
.
A n
*
a+b...+n
⇒ 324
*
125+95+95+61
⇔ 3
376
176
Land B og C: Land D: 526 ,
10000 95
*
125+95+95+61
⇒ 2
376
224
622
10000 61
*
125+95+95+61
⇔ 1
376
128
Resultatet bliver således antal af vogne, der skal bruges i hvert land. Herefter skal man se, om der
er tale om retfærdig fordeling, siden antallet af husholdninger og antallet af dage er forskellige
Dette bekræftes ved brug af reglen af tre skal der bekræftes. Først skal man multiplicere antallet
af vogne brugt i hvert land (Den søgne mængde) med antal dage (Den givne rate) for at komme
til bureaukratiet (A: 8, B: 10, C: 13, D: 20). Dette giver produktet, og derefter dividerer man det
med den totale mængde vogne (Den givne mængde).
Hvis vi forkorter brøken , vil det give et gennemsnit på dage for hvert hjem, som
47
125
⇔ 2
47
31
2
47
31
er den søgne rate. På den måde har man bekræftet, at antallet af vogne fordelt i landene er
retfærdigt fordelt. Hvis der er tale om brøker, skal det rundes af for at få et naturligt tal, da man
ikke kan måle personer eller vogne med brøker. Brøkdelen er mindre i Land A, derfor
kombineres det med Land B, hvorved Land B får ekstra. De resterende
376
176
+
376
224
= 1
24
376
24
376
tilføjes over ved Land C, da D’s brøkdel er mindre. Land D’s brøkdel sættes over til Land C’s, og
dermed bliver det også 1. ekstra til Land C. Dermed har Land A: 3324 vogne,
24
376
+
376
224
+
376
128
= 1
Land B og C: 2527 vogne og Land D: 1622 vogne. Derefter multipliceres der med 25 hu, da
Det skal multipliceres med antallet af vogne brugt i5 hu af hirse pr. vogn.
10000vogne
25000hu af hirse
= 2
hvert land.
60
Kangshen: s. 159
13
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Land A: 1
*
2 = 4 Land B og C: Land D: 2
*
2 = 03
*
2 = 8
Land A har 3324 vogne til 83100 hu af hirse, som skal beskattes. Land B og C har 2527 vogne til
63175 hu af hirse, som skal beskattes. Land D har 1622 vogne til 40550 hu af hirse, som skal
beskattes. På den måde kunne regeringen sikre, at hver husholdning får betalt deres skat i hirse.
Det kunne kejser Wu bruge til at finansiere hans udenrigspolitik, som så skulle potential gøre
ham rigere og mere magtfuld.
61
Matematisk beskrivelse og analyse af den kinesiske regnemetode
til at løse ligningssystemer
Hvad de brugte ligningssystemerne til, det var at sammenligne (cheng) i rektangulære matrice
(fang), da den kinesiske titel er (fangcheng). Hvis man ser på kapitel 8 problem 1, som handler
62
om sammenligninger af forskellige kvaliteters rismarkers udbytte. Dette kan specielt være
interessant for regeringen, da man krævede 1/30 af bøndernes høstudbytte. De 3 ligninger
63
kunne repræsentere bøndernes rismarker, hvorved de har 3 forskellige kvaliteter, som er de
ubekendte. Ved brug af den kinesiske regnemetode til at løse ligningssystemer, vil man kunne
finde hvor meget udbytte de vil få fra hver af rismarkernes kvaliteter. På den måde bliver
regeringen ikke snydt, når de skal beskatte bønderne. Desuden bliver bønderne også retfærdigt
beskattet, som hænger sammen med kapitel 6 om upartisk beskatning og retfærdigt fordeling.
Problem 1 i kapitel 8 lyder således: 3 bundter af top kvalitets rismarker, 2 bundter af
mellem kvalitets rismarker og 1 bundt af lav kvalitets rismark giver et udbytte på 39 dou af
riskorn. Dvs. at den første ligning med 3 ubekendte vil være:
x x x 93
1
+ 2
2
+ 1
3
= 3 (ligning 1)
2 bundter af top kvalitets rismarker, 3 bundter af mellem kvalitets rismarker og 1 bundt af lav
kvalitets rismark giver et udbytte på 34 dou af riskorn. Den anden ligning med 3 ubekendte vil
være:
x x x 42
1
+ 3
2
+ 1
3
= 3 (ligning 2)
1 bundt af top kvalitets rismarker, 2 bundter af mellem kvalitets rismarker og 3 bundt af lav
kvalitets rismark giver et udbytte på 34 dou af riskorn. Den tredje ligning med 3 ubekendte vil
være:
x x x 61
1
+ 2
2
+ 3
3
= 2 (ligning 3)
61
Kangshen: s. 310-312
62
Kangshen: s. 399
63
Thomsen: s. 161
14
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Hvor meget udbytte dou kan man få ud fra hver af disse kvaliteter af rismarker?
Liu Hui gjorde brug af tællestænger og tællebrættet til at løse n ligninger med n ubekendte.
Regnemetoden han brugte var reglen om arrays, som handler om elementær matrix
transformation til at løse ligningssystemer. Dette gøres ved elimination, idet at han multiplicerede
en kolonne med en konstant. Derefter fjernede han en række ved brug af en anden række
gennem subtraktion. Selvom der i citatet står i hans regnemetode, at han lægger noget sammen
“...multiply the middle column then merge” , så skal merge også forstås som, at han trækker tal
64
fra en række og lægger det i anden række, som kan ses i en af hans andre citatet her: “subtracting
is adding [to another], adding is subtracting [from another]”.
65
Liu Hui fortæller trinvis, hvordan man skal løse ligningssystemet. I det
første trin sættes ligning 1 i højre kolonne, ligning 2 i midterste kolonne
og ligning 3 i venstre kolonne. Opsætningen kan ses i billedet til venstre. I
trin 2 fortæller han, at man skal bruge tallet af bundter af top kvalitets
rismarker fra den højre kolonne og multiplicerer den med den midterste
kolonne og derefter gentagne gange anvende subtraktion på den højre
kolonne, indtil den øverste af den midterste kolonne er elimineret.
Dette vil så give de følgende matricer:
⇒ ⇒
x)( −)(
Vi kan se i den øverste ubekendt i den midterste række er blevet elimineret. På den måde flyttede
Liu Hui stængerne, der repræsenterer tal og fjernede dem, indtil der ikke er nogle tilbage i en af
firkanterne. I trin 3 skal man igen multiplicere tallet fra højre kolonnes top kvalitets rismark med
tallet i den venstre og eliminerer tallet i den øverste venstre side.
⇒ ⇒
x)( −)(
64
Kangshen: s. 399
65
Kangshen: s. 388
15
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
I trin 4 skal man gange den venstre kolonne med den midterste kolonnes mellem kvalitets
rismark, dvs. med 5, og derefter eliminerer vi den midterste i venstre kolonne.
⇒ ⇒
x)( −)(
I trin 5 fortæller de sidste to tal i den venstre kolonne udbyttet af den lave kvalitets rismark,
hvorved divisoren er (36), og tallet nedenunder er dividenden (99), og svaret er kvotienten.
dou eller 2.75 dou.⇒
36
99dou
= 2
4
3
Trin 6 er at finde udbyttet af mellem kvalitets rismarken fra den midterste kolonne, skal man
sætte den øverste tal som divisoren (5), og den nederste som dividenden (24) og subtraherer den
med udbyttet af den lave kvalitets rismark multipliceret med mængden (1*2.75).
dou eller 4.25 dou.⇒
5
(24−1 2.75)dou
*
= 4
4
1
Trin 7 er at beregne udbyttet af top kvalitets rismarken fra den højre kolonne, skal man sætte den
øverste tal som divisoren (3), og den nederste som dividenden (39) og subtraherer den med den
subtraherer den med udbyttet af den mellem kvalitets rismark multipliceret med mængden
(2*4.25) samt subtraherer den med udbyttet af den lave kvalitets rismark multipliceret med
mængden (1*2.75).
dou eller 9.25 dou.⇒
3
(39−2 4.25−1 2.75)dou
* *
= 9
4
1
Trin 8 er, at man har fundet udbyttet af hver af rismarkernes kvaliteter. 1 lav kvalitets rismark
gav et udbytte på 2.75 dou riskorn, mens 1 mellem kvalitets rismark gav et udbytte på 4.25 dou
riskorn. 1 top kvalitets rismark gav et udbytte på 9.25 dou riskorn.
Nutidens metoder til løsninger af n ligninger med n ubekendte
Den kinesiske regnemetode til at løse ligningssystemer er den samme regnemetode, man bruger i
vesten, som er Gauss-elimination. Gauss-elimination er en af de nutidige regnemetoder til at løse
n ligninger med n ubekendte. Man kan også anvende den udvidet version, som er Gauss-Jordan
66
elimination. I begge tilfælde kan de anvendes til at løse problem 1 i kapitel 8. Forskellen mellem
Gauss-elimination og den kinesiske regnemetode er, at deres ligningssystem skrives op i kolonner
i stedet for rækker, som man gør i Gauss Elimination. Grunden til dette kommer af, at kinesere
66
Kangshen: s. 388
16
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
under oldtidens Kina brugte bambus til at skrive tegn på, hvorved man skrev det oppefra og ned.
67
Lineære ligninger og ligningssystemer
68
Det grundlæggende i Gauss Elimination er matricer og lineære ligningssystemer, som indeholder
lineære ligninger samt rækkeoperationer og baglæns substitution, man foretager i Gauss
elimination. Formlen for en lineær ligning med n ubekendte er således:
...a
1
*
x
1
+ a
2
*
x
2
+ a
n
*
x
n
= b
hvor a er koefficienter og b er højresiden. a og b skal forstås som kendte tal. a beskriver hvor
meget af det ubekendte (x) vi har. Et eksempel på en lineær ligning er ligningen for en ret linje,
hvorved man isolerer b, og dermed erstatter de ubekendte x og y med , hvorved y også og xx
1 2
har koefficienten a:
x x xy = a + b ⇔ a
1
+ a
2
= b
En lineær ligningssystem opstår, når der er tale om et sæt af lineære ligninger. Den simpleste
ligningssystem er 2 ligninger med 2 ubekendte. På den måde er en løsning til en lineær
ligningsystem med n ligninger med n ubekendte derfor:
..a
11
*
x
1
+ a
12
*
x
2
+ . + a
1n
*
x
n
= b
1
..a
21
*
x
1
+ a
22
*
x
2
+ . + a
2n
*
x
n
= b
2
..a
m1
*
x
1
+ a
m2
*
x
2
+ . + a
mn
*
x
n
= b
m
Talsættet skal forstås som uafhængige variabler, der varierer sig efterx , , .., )x = (
1
x
2
. x
n
koefficienter a på venstre side, og skal tilsammen give b på højre side. m beskriver antallet af
ligninger, sat op i rækker, hvorved n beskriver antal ubekendte, sat op i søjler.
Matricer og Gauss Elimination
6970
Dette kan også skrive op i i (m x n)-matrix. En matrix er således et talskema. T står for
totalmatricen, som består så af en koefficientmatrice A og en højre side (b), hvorved man ikke
skriver de ubekendte op. Dermed består en totalmatrix af (m x n +1), som der gøres brug af
under Gauss Elimination. Hvis man tager eksemplet fra kapitel 8, problem 1 og sætter det op i
en totalmatrix, vil det se sådan her ud.
67
http://www.china.org.cn/english/2003/Jun/66332.htm
68
http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID1-tn2/
69
http://alsholm.dk/people/P.K.Alsholm/01905/Beamer/Artikel/uge03-1article.pdf
70
http://home.math.au.dk/holger/cs06/noter/noter.pdf
17
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
⇒
Udkommet vil således se sådan her ud, efter man har anvendt reduktion af lineære
ligningssystemer. Gauss Elimination fungerer ved, at man anvender de tre rækkeoperationer til
71
at få matricen på et række-echelonform, som også kaldes for trappeform. På den måde vil der
opstå en diagonal i matricen, hvorved man bagefter kan bruge baglæns substitution. Elimination
fungerer ved, at når man anvender de tre rækkeoperationer, ændrer man ikke på
ligningssystemets løsningsmængde. Den første rækkeoperationer er, at man kan bytte
ligningernes rækker. Den anden rækkeoperation, man kan foretage i et ligningssystem er, at man
kan multiplicere eller dividere med en konstant, som ikke er 0, med en række. Den sidste
rækkeoperation man kan foretage, det er, at man kan med en ligning i en række enten addere
eller subtrahere med en ligning fra en anden række, som er blevet ganget med en konstant, som
ikke er 0, altså et multiplum. Efter at matricen er på et echelonform, vil det tilsvarende
ligningssystem være:
x x x 93
1
+ 2
2
+ 1
3
= 3
5x x 4
2
+ 1
3
= 2
36x 9
3
= 9
Herefter bruger man reglen for baglæns substitution og isolerer de ubekendte ( ). 1) Der, ,x
1
x
2
x
3
startes nedefra og op, da den nederste kun har 1 ubekendt. 2) Derefter substitueres svaret for ix
3
den nederste ligning i i den midterste. 3) Dernæst substitueres svarene fra både den midterstex
2
og den nederste ligning i i den øverste ligning. og xx
3 2
x
1
1. 6x /36 9/36 .753
3
= 9 ⇒ x
3
= 2
2. x 1 .75) .75 4 .75 5
2
+ (
*
2 − 2 = 2 − 2 ⇒ x /5 1.25/5 .255
2
= 2 ⇒ x
2
= 4
3. x 2 .25 .75) 1.25 9 1.25 x /3 7.75/3 .253
1
+ (
*
4 + 1
*
2 − 1 = 3 − 1 ⇒ 3
1
= 2 ⇒ x
1
= 9
Løsningen til ligningssystemet fra kapitel 8 problem 1 er x = ( , .25x
1
= 9 .25, .75)x
2
= 4 x
3
= 2
Gauss-Jordan Elimination
72
I Gauss-Jordan Elimination får man matricen ned til en reduceret række-echelon form, dvs. at
den lineære ligningssystem er fuldstændigt reduceret. Den første kolonne elimineres det, der er
over eller under den ledende 1-tal. Derefter den anden kolonne og så den sidste kolonne i
71
Billag 1
72
http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID1-tn2/
18
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
totalmatricen, som følger den samme princip. Det første tal i en række, som ikke er 0, skal være
1, så vi får rækkens ledende 1-tal, som er vores pivot. Hvis der er tale om flere rækker, vil de
ledende 1-taller være mere til højre, end de forrige ledende 1-taller. På den måde vil der dannes et
trappematrix eller en diagonal. Forskellen mellem Gauss Elimination og Gauss-Jorden, det er, at
de øvrige af matricens elementer skal være 0, hvis rækken indeholder en ledende 1-tal. På den
måde får vi værdierne for de ubekendte ( ). Hvis man fortsætter fra Gauss Elimination, ,x
1
x
2
x
3
af, før man har substitueret, kan man vha. Gauss-Jordan få matricen i et reduceret række-echelon
form.
1 1/3R > R 2 2/5R > R
R1 divideres med 3 for at få til at være 1, som er vores ledende 1-tal. Derefter dividerer mana
11
R2 med 5 for at finde vores næste ledende 1-tal, .a
22
2 2R > R
*
3
2
1 − 2 1R > R + R
g R2 2 .5o > R
*
1
R2 multipliceres med samt forlængelse af brøkerne på R1 og R2 for at få samme
3
2
fællesnævnere. Derefter multipliceres -1 med R2 og adderes til i R1. For at få R2 tilbage som før,
multipliceres 1.5 med R2.
3 3/36R > R 3 3R > R
*
5
1
R3 divideres med 36 for at få den sidste ledende 1-tal, Derefter divideres R3 yderligere til at.a
33
få en , fordi at det skal bruges til at eliminere . Brøkerne i forlænges.
5
1
og aa
13 23
og aa
13 33
1 − 3 1R > R + R 2 − 3 2 R > R + R
g R3 3o > R
*
5
19
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Derefter forlænges brøkerne af R1 og R2, så de har den samme fællesnævner som R3’s. Bagefter
adderes -R3 med både R1 og R2, og R3 multipliceres til 5, for at få den tilbage til 1.a
33
1. .25 dou
4
37
= 9 2. .25 dou
4
17
= 4 3. .75 dou
4
11
= 2
Løsningen til ligningssystemet fra kapitel 8 problem 1 er x = ( , .25x
1
= 9 .25, .75)x
2
= 4 x
3
= 2
Bevis for rækkeoperationer anvendt i Gauss Elimination og
Gauss-Jordan
73
Bevis for rækkeoperation 1 :ro )(
1
I et lineært ligningssystem er løsningsmængden (L) den samme som fællesmængden (F) til hver af
ligninger. Derfor ændres fællesmængden ikke, når man bytter ligningernes rækker.
Bevis for rækkeoperation 2 :ro )(
2
En lignings løsningsmængde ændres ikke, når der multipliceres/divideres med en konstant, som
ikke er 0. På den måde ændres fællesmængden ikke. Eksempelvis hvis løsningsmængden for
dette eksempel er L(x,y) = L(2,1), som også er fællesmængden F(2,1)
Ligning A: x y 22 + 1 = 5 ⇒
*
2 + 1
*
1 = 5
Ligning B: x y2 + 2 = 6 ⇒ 2
*
2 + 2
*
1 = 6
(Ligning A)*2: 2x y ) x y 0 0( + 1 = 5
*
2 ⇒ 4 + 2 = 1 ⇒ 4
*
2 + 2
*
1 = 1
(Ligning B)/2: 2x y )/2 x y( + 2 = 6 ⇒ 1 + 1 = 3 ⇒ 1
*
2 + 1
*
1 = 3
Algebraisk bevis for rækkeoperation 3 :ro )(
3
Omdannelsen af totalmatricen for (A=b) for et lineært ligningssystem til et andet lineært
ligningssystem (A’=b’) gennem rækkeoperation 3, har den samme løsningsmængde.
Man opskriver først en ligning op som , før vi kan udføre den sidste rækkeoperation(x)L
n
= b
n
. I beviset vil man multiplicere en ligning i en række med en konstant, og dermed adderero )(
3
den over i en anden række med en ligning. I ligningssystem (A) er der en vilkårlig ligning
, som multipliceres med en konstant og lægges til i en anden vilkårlig ligning(x)L
1
= b
1
, dermed dannes en ny ligning , hvor:(x)L
2
= b
2
(x)L
3
= b
3
(x) (x) (x) og bL
3
= L
2
+ k
*
L
1 3
= b
2
+ k
*
b
1
Der opstår der et nyt ligningssystem, da vi antager, at er tilladt at anvende. Hvorvedro )(
3
fra det gamle ligningssystem (A) erstattes med i det nye ligningssystem (A’),(x)L
2
= b
2
(x)L
3
= b
3
73
http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID1-tn2/
20
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
da den har den samme løsningsmængde som (A). Hvis man antager, at er en vilkårlig løsningx
0
til (A), så gælder reglerne for omdannelse for en ligning at:
heraf følger (x ) (x ) L
2 0
+ k
*
L
1 0
= b
2
+ k
*
b
1
L (x )⇒
3 0
= b
3
Da venstre side af lighedstegnet svarer til og højreside med . bliver så løsningen til(x )L
3 0
b
3
x
0
ligningssystemet (A’) og på samme måde, hvis vi antager, at er en vilkårlig løsning til (A’), så:x
1
heraf følger (x ) (x ) L
3 1
− k
*
L
1 1
= b
3
− k
*
b
1
⇒ (x )L
2 1
= b
2
Da venstre side af lighedstegnet svarer til og højreside med , så er også en løsning til(x )L
2 1
b
2
x
1
ligningssystemet (A). Derfor kan man foretage rækkeoperation 3 på ligningssystemer. Det samme
er også gældende division og subtraktion, da vi kun ændrer ligningssystemet, men vi har ikke
ændret sættet for løsningsmængderne for ligningssystemet.
Konklusion
Den samfundsmæssige ændring var etableringen af et bureaukrati med embedsmænd baseret på
færdigheder frem for arv, som har ført til en økonomisk fremgang i landbruget. Dette skyldes, at
embedsmanden Chao Cuos forslag blev vedtaget af kejser Wen, da kejseren havde behov for et
øget økonomisk vækst i landbruget. Forslaget indebar, at man øgede kornets værdi ved at gøre
det muligt at komme i højere rang samt fjernelse af straf ved betaling af korn. Dette ville gøre det
muligt at reducere kopskatten og den totale høstudbytte. På den måde skabte det fremgang i
landbrugsøkonomien. Desuden har matematikkens rolle haft en stor indflydelse på det vestlige
Han-dynasti, da man brugte The Nine Chapters of Mathematical Art,
som indeholder løsninger til
praktiske problemer, til både den offentlige tjenester eksamener, finansieringen af regerings
finanser og for købmænd, brugte de matematikken for at kunne beregne fortjenester. Disse
beregninger regnede man på et tællebræt med stænger, som var baseret på et titalssystem.
Herunder blev ligningssystemerne vigtigt for sammenligning af f.eks. udbyttet af forskellige
rismarkers kvaliteter, som derefter kunne bruges til beskatning afhængig af, hvor meget man
havde af hver rismark. Regnemetoden til at løse ligningssystemer under Han-dynastiet er den
samme, som man bruger i Gauss elimination og Gauss-Jordan Elimination, da man også
foretager rækkeoperationer på ligningssystemer. Under Han-dynastiet var ligningssystemet
nødvendigt for at kunne beskatte folket retfærdigt, som hænger sammen med kejser Wus
økonomiske foranstaltninger, som senere hen efter hans regime bliver diskuteret om af
litteraterne og lederen af sekretariatet. Monopolet på salt og jern har på den ene side ført
umoralsk anlægning af boder fra staten for at profitere fra folket, men på den anden side har det
ført økonomisk vækst for staten for at finansiere militærkampagnerne samt forsvare sig fra
nomaderne. På den måde blev den økonomiske udvikling under Han-dynastiet systematiseret.
21
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Litteraturliste
Bøger:
- Burton, David M.. (2011). The History of Mathematics: An Introduction.
Seventh Edition. New
York: McGraw-Hill.
- Ebrey, Patricia Buckley. (2010). The Cambridge Illustrated History of: China.
Second Edition. New
York: Cambridge University Press
- Kangshen, Shen & Crossley, John N. & Lun, Anthony W.-C.. (1999). The Nine Chapters on the
Mathematical Art: Companion and Commentary
. New York: Oxford University Press
- Needham, Joseph. (1954). Science and Civilisation in China. Volume 1: Introductory Orientations.
New
York: Cambridge at the University Press.
- Rossabi, Morris. (2013). A History of China.
West Sussex, UK: John Wiley & Sons Ltd
- Schwartz, Benjamin Isadore. (1985). The World of Thought in Ancient China.
London: Harvard
University Press.
- Swann, Nancy L.. (1974). Food & Money in Ancient China: The Earliest Economic History of China to
A.D. 25.
New York: Octagon Books.
- Thomsen, Rudi. (1983). Oldtidens Kina: Stat, samfund, kultur.
København: Det Schønbergske
forlag.
- Twitchett, Denis & Fairbank, John K.. (1986) The Cambridge History of China. Volume 1: The Ch’in
and Han Empires, 221 B.C.-A.D. 220.
New York: Cambridge University Press.
- Wagner, Donald B.. (2001) The State and the Iron Industry in Han China.
Copenhagen: Nordic
Institute of Asian Studies
- Wolfram, Eberhard. (1977). A History of China.
Revised Edition. California: University of
California Press.
Internetressourcer:
- Aarhus Universitet: Nielsen, Salmonsen. Forår 2006. Lineær algebra
Lokaliseret : http://home.math.au.dk/holger/cs06/noter/noter.pdf
- Alsholm Preben. Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lokaliseret :
http://alsholm.dk/people/P.K.Alsholm/01905/Beamer/Artikel/uge03-1article.pdf
- Ancient History Encyclopedia: Christian Violatti. Zhou Dynasty.
Lokaliseret : http://www.ancient.eu/Zhou_Dynasty/
- Ancient History Encyclopedia: Christian Violatti. Han Dynasty
Lokaliseret : http://www.ancient.eu/Han_Dynasty/
- Ancient History Encyclopedia: Gabriel Peralta. Qin Dynasty.
Lokaliseret : http://www.ancient.eu/Qin_Dynasty/
- Ancient History Encyclopedia: Mark, Joshua J.. Silk Road
22
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Lokaliseret : http://www.ancient.eu/Silk_Road/
- China Saga. 2012. 2000 years of Examinations in China
Lokaliseret : http://www.chinasage.info/examinations.htm
- Columbia University Press. 1999. A Record of The Debate on Salt and Iron
Lokaliseret : http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/debate_salt_iron.pdf
- Columbia University Press. 1999. Edict of Emperor Wen on The Primacy of Agriculture
Lokaliseret : http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/emperor_wen_agriculture.pdf
- Columbia University Press. 1999. Memorial on The Encouragement of Agriculte: By Chao Cuo
Lokaliseret : http://afe.easia.columbia.edu/ps/cup/chaocuo_agriculture.pdf
- Danmarks Tekniske Universitet. Lineære ligningssystemer.
Lokaliseret : http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID1-tn2/
- O’Connor J.J. & Robinson E.F.. Januar 2004. Chinese Numerals
Lokaliseret :
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Chinese_numerals.html
- Smitha, Frank E.. 2009. Emperor Wu, Military Expansion, Class Conflict and Decline
Lokaliseret : http://www.fsmitha.com/h1/china04.htm
- Szczepanski, Kallie. What is the Mandate of Heaven?
Lokaliseret :
http://asianhistory.about.com/od/ancientchina/f/What-Is-The-Mandate-Of-Heaven.htm
- Shao, Da. The Age of the Bamboo Slip
Lokaliseret : http://www.china.org.cn/english/2003/Jun/66332.htm
- Theobald, Ulrich. Persons in Chinese History - Chao Cuo
Lokaliseret : http://www.chinaknowledge.de/History/Han/personschaocuo.html
- Theobald, Ulrich. Persons in Chinese History - Sang Hongyang
Lokaliseret :
http://www.chinaknowledge.de/History/Han/personssanghongyang.html
- Zhejiang University: Fang, Li & Yong, Zhang. On Mathematical Symbols in China
Lokaliseret : https://arxiv.org/pdf/3.pdf
23
[navn fjernet] 3.d
20. december 2016
Bilag
Billag 1: Mellemregninger for Gauss Elimination til kapitel 8, problem 1:
24