SRP om renæssancen i Fysik A og Historie A

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Roskilde Katedralskole 2016 –

Studieretningsprojekt (SRP)

STX 3.g

Fag: Vejleder:

Fysik A

Historie A

Krav til opgavens omfang: 15 -20 sider ekskl. forside, indholdsfortegnelse, noter,

litteraturliste og eventuelle bilag.

Opgaveformulering:

Titel: Det nye verdensbillede i renæssancen

Der ønskes en redegørelse for kirkens holdninger til og reaktioner på naturvidenskabelige

opfattelser af verdensbilledet i tiden frem til Galileis.

Formuler Keplers 3 love.

Definer kraftmoment, impulsmoment og impulsmomentsætningen. Gør rede for arealsætningen

(Keplers 2. lov).

Benyt Keplers 2. lov til at beregne perihelhastigheden for Halleys komet. Benyt et regneark til at

simulere bevægelsen af Halleys komet og undersøg om banen er en ellipse og om dens mekaniske

energi er konstant.

Undersøg om planeterne i deres bevægelse om Solen opfylder Keplers 3. lov. Undersøg det samme

for Jupiters måner.

Der ønskes på grundlag af en analyse af et udvalg af Galileis breve samt selvvalgte kilder en

diskussion af forskellene mellem kirkens og naturvidenskabens forståelse af verdensbilledet.

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Det nye verdensbillede i Renæssancen

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Abstract

This study will first investigate the church’s view on the ancient scientist, the discoveries made

by Galileo Galilei, a well-known Italian scientist, and how it contradicted the church’s view, but

also the Holy Scripture. It will discuss the issue of the interpretation of the Holy Scripture. Also,

it will explain the geometricity of an ellipse, the energy level of an astronomical object, the

Gravitational law of Isaac Newton, the laws of moment and Torque. It will also examine the

second and the third law of the German astronomer Johannes Kepler. The second law states

that: A line segment joining a planet and the Sun sweeps out equal areas during equal intervals

of time and the third law states: The square of the orbital period of a planet is proportional to

the cube of the semi-major axis of its orbit. By recreating the path of Halley’s Comet,

calculating its perihelion velocity, and calculating the mass of the Sun and the planet Jupiter,

the study will be able to acknowledge that these laws are true. The study concludes both the

Church and Galileo Galilei had their logical reasons to stand behind their theories. However,

the study also concludes that the 2

and 3

laws of Kepler is indeed true since the calculated

perihelion-velocity only deviates 3% from the table-value, and the calculated mass of the sun

deviates 0,008%.

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Indholdsfortegnelse

Abstract ....................................................................................................................................................................................... 3

Indledning .................................................................................................................................................................................. 6

1. Introduktion til historie delen ................................................................................................................................. 7

1.1 Kirken og Det Geocentriske Verdensbillede ................................................................................................. 7

1.11 Antikken Grækenland ............................................................................................................................................ 7

1.12 Kristendommen og verdslige viden ................................................................................................................. 7

1.13 Aristoteles er kun et menneske ......................................................................................................................... 7

1.2 Renæssancen – Europa bliver genfødt ................................................................................................................... 8

1.21 Heliocentriske verdensbillede ............................................................................................................................ 8

1.3 Galilei og de første observationer ............................................................................................................................ 8

1.31 Galilei Bio .................................................................................................................................................................... 8

1.32 Kikkertinstrumentet og Galileis første observationer ............................................................................. 9

1.33 Brev til Kepler (kilde 1) .................................................................................................................................... 9

1.331 Begrundelse ........................................................................................................................................................ 9

1.332 Før læsningen .................................................................................................................................................... 9

1.333 Analysen ............................................................................................................................................................... 9

1.4 Kirken begynder at angribe ...................................................................................................................................... 10

1.41 Bibelen skal fortolkes (Brev til hertuginden af Toscana Kilden: 2) .................................................. 10

1.411 Begrundelse ...................................................................................................................................................... 10

1.412 Før læsningen og analyse ............................................................................................................................ 10

1.42 Galilei får en advarsel (Brev til Paolo Foscarini Kilde: 3) ..................................................................... 11

1.421 Begrundelse ...................................................................................................................................................... 11

1.421 Før læsning og analyse ................................................................................................................................. 11

1.5 – Diskussion ..................................................................................................................................................................... 12

1.6 - delkonklusion ............................................................................................................................................................... 13

2. Introduktion til den teoretiske fysik del ............................................................................................................ 13

2.1 Jævn Cirkelbevægelse .................................................................................................................................................. 13

2.2 Ellipser ............................................................................................................................................................................... 14

2.21 Planeter bevæger sig i ellipser ......................................................................................................................... 14

2.3 Impuls og energiniveau .............................................................................................................................................. 15

2.31 Energi .......................................................................................................................................................................... 16

2.4 Impulsmoment og kraftmoment ............................................................................................................................. 18

2.41 Moment ...................................................................................................................................................................... 18

2.42 Impulsmoment og Kræftmoment.................................................................................................................... 18

2.43 Halleys Komet ......................................................................................................................................................... 19

2.44 Hastigheden ............................................................................................................................................................. 20

3. Introduktion til undersøgelse af Keplers 2. og 3. lov ................................................................................... 21

3.1 Keplers 2. Lov.................................................................................................................................................................. 21

3.12 Halleys komet .......................................................................................................................................................... 22

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

3.121 Før arbejde ........................................................................................................................................................ 22

3.122 Beregninger og efterarbejde ...................................................................................................................... 24

3.123 Bemærkninger ................................................................................................................................................. 26

3.124 Delkonklusion .................................................................................................................................................. 26

3.2 Keplers 3. Lov.................................................................................................................................................................. 26

3.21 Solen og Planeterne .............................................................................................................................................. 27

3.211 Efterarbejde og beregninger ...................................................................................................................... 27

3.22 Jupiter og dens måner .......................................................................................................................................... 28

3.23 Efterarbejde og beregninger ........................................................................................................................ 28

3.23 Bemærkninger ........................................................................................................................................................ 29

2.24 Delkonklusion ......................................................................................................................................................... 29

Konklusion ............................................................................................................................................................................... 30

Historie ................................................................................................................................................................................. 30

Fysik ...................................................................................................................................................................................... 30

Litteraturliste ......................................................................................................................................................................... 31

Bilag: .......................................................................................................................................................................................... 34

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Indledning

”Tvivl er nøglen til viden”- iransk ordsprog

Hvis man ikke tvivler på, hvad man allerede ved, hvilken motivation vil man så have for at lære

mere? Det er især sandt i videnskaben, hvor eksperimenter og forsøg på at acceptere eller afslå

hypoteser er kernen til metodologi. Ved ikke at antage at en hypotese eller information er

rigtig, samtidig med at man er åbensindet, kan man opnå egenskaben til at lære og vokse sin

viden.

Eksempler på personer der har tvivlet og opnået en viden, der har revolutioneret den måde

mennesket ser verden på, er Galileo Galilei og Johannes Kepler. De var begge med til at bevise

det Heliocentriske system ved at tvivle på det gamle ptolemæiske verdensbillede.

Jeg har ud fra fagene Fysik og Historie valgt at give et indblik i tiden op til og under

renæssancen, da det er en vigtigt, og også interessant periode, fordi det var i den periode det

heliocentriske system blev bevist af Galilei og Kepler. Jeg vil også redegøre for kirkens

holdninger og synspunkter for videnskab og antikkens filosoffer. Derudover vil jeg definere, en

ellipse, impulsmoment, kraftmoment og den mekaniske energi for et astronomisk objekt.

Herudover vil jeg definere Keplers 2. og 3. lov og undersøge, om de gælder ved at simulerer

Halleys komets banen. Yderlige vil jeg undersøge om Jupiters måner og planeterne egentlig

kredser om et centrallegeme, der har en masse, som er lig med Jupiters og Solens.

Opgaven vil være opdelt i 3. dele.

I. En historisk redegørende og analyserende del. (s. 7-13)

II. En fysik del, der indeholder en teoretisk gennemgang og beviser. (s. 13-21)

III. En fysik del, der indeholder en analyserende del af Keplers 2. og 3. love. (s. 21-29)

Opgaven er opdelt på overstående måde, da det virker naturligt for mig først at redegøre, hvad

kirkens holdninger var til videnskab, så analyser Galileis og Kirkens holdninger til det

heliocentriske system og til sidst slutte af med at undersøge om, det du nu opdagede også

passede.

Der er i opgaven anvendt historiske- og videnskabelige bøger og artikler. Herudover har jeg

brugt historiefagets kildekritiske værktøjskasse til at analysere historiske kilder.

Opgavens omfang er på omtrent 25-26 sider.

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

1. Introduktion til historie delen

I følgende afsnit (Mellem 1.1 og 1.5) vil der være et indblik i perioden op til og under

renæssancen. Herudover vil afsnittet komme ind under kirkens holdninger til antikkens filosofi,

videnskab og det heliocentriske verdensbillede. Der vil bl.a. også indgå 3 analyserende dele af

historiske kilder af Galilei og Roberto Bellarmine.

1.1 Kirken og Det Geocentriske Verdensbillede

1.11 Antikken Grækenland

I antikkens Grækenland forklarede den græske filosof og videnskabsmand Aristoteles (384-322

f.kr), hvordan verden var opbygget. Han opstillede en teori, der byggede på et geocentrisk

verdensbillede. Her var universet kugleformet, med Jorden i centrum. De andre planeter, Solen

og krystalsfæren (som bestod af stjernerne) kredsede i fuldkommen cirkelbevægelser rundt om

Jorden. De ting, der befandt sig i himlen, blev kaldt for Himmellegemerne, og ifølge Aristoteles

var fysikken i himlen noget anderledes end på jorden. Himmellegemerne bevægede sig nemlig

uendeligt men også uforanderligt. Det geocentriske verdensbillede bliver også kaldt det

Ptolemæus verdensbillede, opkaldt efter filosoffen Ptolemaios, som også havde arbejdet videre

på det Geocentriske verdensbillede.

1.12 Kristendommen og verdslige viden

Op gennem mere end tusind år troede folk på det Ptolemæus verdensbillede. Det var fordi

kirken, der var meget magtfuld, havde støttet antikkens verdensbillede, da det ifølge dem

stemte overens med Bibelens egne ord om, at Jorden ikke er i bevægelse

. I tiden op til Roms

fald i slutningen af 400-tallet havde det øst- og vestromerske rige adopteret kristendommen

som statsreligion. Kirken fik for alvor magten, og i 700-tallet blev den katolske kirke den

stærkeste institution i Europa

. Kirken ville gerne bevise, at Bibelen havde svar på alle de vigtige

spørgsmål

. Allerede fra oldkirkens tid havde man forholdt sig til de græske filosoffer, selvom

det i en kristen forståelse var hedninge og verdslige tanker. Kirken så den græske logik brugbar,

men også interessant, da den lærte kristne tænkere at argumentere imod hedensk filosofi.

Kirkefædre såsom Augustin (354-430), der var meget betydningsfuld i sin tid, så ikke verdslig

lære som nogen trussel mod troen, da han også mente, at den kunne bruges til at forsvare

kristendommen. Dog opdelte han verden i en sanseligverden og åndelig-verden, hvor svarene

skulle findes i den åndelig-verden. I et af Platons værker ’Timaios’ fortæller Platon, at verden er

skabt ud af kaos, har en sjæl, og at skaberen er en guddommelig skaber. Augustin fortolkede

skaberen som den kristne Gud, Verdenssjælen som Helligånden, og kaos kom fra intet

1.13 Aristoteles er kun et menneske

Kirken brugte mange kræfter på at bringe en overensstemmelse mellem Aristoteles’ lære og

Bibelen, men det var ikke alle, der havde tiltro til disse forestillinger. Der kom for alvor gang i

kritikken af Aristoteles, da ærkebiskoppen i Paris i år 1277 forbød mange af hans læresætninger.

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008) (s.7)

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008)(s.5)

(Keller 2013) (s.17)

(Keller 2013) (s.20-21)

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

I længere tid havde naturforskere haft problemer med overensstemmelser mellem det man så i

naturen og Aristoteles lære. Albert Magnus (), tysk teolog og naturforsker, sagde på

den måde at: ”Hvis Aristoteles var en gud, ville han være ufejlbarlig, men eftersom han faktisk

var et menneske, kunne han naturligvis tage fejl, som alle vi andre”

. I slutningen af 1300-tallet

var der var en regulær tilbagegang i videnskabelig viden, mest fordi kendskabet til det græske

sprog forsvandt. Latin var modersproget, og der var i den tid ikke særlig mange, der kunne tale

græsk. Derfor blev der ikke oversat mange videnskabelige græske værker. Hvis man skulle have

svar på noget, fandt man det i Bibelen, og sådan var det

. Det var først i 1500-tallet, at

verdensbilledet igen kom i debat

1.2 Renæssancen – Europa bliver genfødt

Ordet Renæssance kommer fra italiensk og betyder Genfødsel. Det er navnet på den periode,

hvor man reelt genfødte, de tanker og tekster, der fandtes i antikken. Kristen og troende var

man stadig, men af naturlige følger ændrede man forholdet til autoriteter, og kirken havde ikke

længere den store enerådende autoritet. Kirkens drøm om en enerådende magtfaktor,

begyndte så småt at smuldre, og mennesket kunne nu selvstændigt efterforske, hvordan

verden hang sammen

1.21 Heliocentriske verdensbillede

I år 1543 publicerede den polske astronom Nikolaus Kopernikus (

) en

revolutionerende hypotese, der påstod, at Jorden bevægede sig, og at solen var centrum i

universet. Sådan et verdensbillede kaldes for det heliocentriske verdensbillede, da helio-

betyder sol på græsk. Kopernikus mente, at det Ptolemæiske verdensbillede var alt for

kompliceret, og fandt i stedet inspiration hos den græske astronom Aristarchos (310-230 f.Kr).

Han havde allerede i oldtiden forslået, at solen var i centrum, og at Jorden kredsede rundt om

den

. I de senere år udbyggede og viderearbejdede videnskabsmænd Kopernikus hypotese.

Heriblandt var den tyske astronom Johannes Kepler (

) og den italienske astronom

Galileo Galilei.

1.3 Galilei og de første observationer

1.31 Galilei Bio

Galileo Galilei blev født i Pisa den 15. februar 1564. Han blev senere valgt ind som professor på

universitet i Pisa. Her underviste han i kosmologi og matematik, men da det var den katolske

kirke, der satte dagsorden, skulle kosmologien indebære læren om det Geocentriske

verdensbillede. Så rationel som Galilei var, begyndte han at blive mere kritisk overfor den

gamle græske idé om, at Jorden var i centrum

. Efter udløbet af hans kontrakt som underviser

i Pisa, flyttede han til Venedig, der på daværende tid var en republik. Denne var kendt for at

(Keller 2013) (s.110-111)

(Keller 2013) (s.17)

(Keller 2013)(s.112)

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008)(s.14-15)

https://da.wikipedia.org/wiki/Nicolaus_Kopernikus

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008)(s.21-23)

https://da.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008) (s.8)

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008)(s.92)

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

være lidt mere tolerant end hans gamle hjem i hertugdømmet Toscana. Her blev han ansat på

et universitet i Padova. Så småt begyndte Galilei at blive meget overbevist om, at det var det

heliocentriske system, der var det rigtige

1.32 Kikkertinstrumentet og Galileis første observationer

I starten af 1600-tallet hørte Galilei om opfindelsen af kikkertinstrumentet, og han begyndte

selv at lave sit eget. I 1609 konstruerede han en af sine stærkeste kikkerter, og her opfandt han

teleskopet. Han begyndte at bruge det til at studere nattehimlen, og kort tid efter, i starten af

1610, publicerede han bogen ’’Budskab om stjernerne’’, hvor han beskrev sine observationer.

Denne bog indeholdt observationer af både månen og Jupiters måner.

1.33 Brev til Kepler (kilde 1)

1.331 Begrundelse

Selvom der var mange, der syntes, at Galilei gjorde et godt arbejde, var der også mange, der

mente, han ikke gjorde. Som en af de første analyser af kilder, er denne kilde valgt på baggrund

af, at den kan hjælpe os med at give et indblik i Galileis syn på filosoffer og kirkefolk, der ikke

var tilhængere af hans arbejde.

1.332 Før læsningen

Der er nogle vigtige ting, man skal tage højde for inden, man læser en historisk kilde. Læseren

skal være opmærksom på den periode, den er skrevet i, hvem den er skrevet af, kildens

tendens, afsender, modtager, hvilken type kilde det er og om kilden er blevet offentliggjort i sin

tid.

1.333 Analysen

Som det første undersøges der, hvem kilden er skrevet af, hvilken kilde der er tale om og

hvornår. De noter der har hørt med til kilden konkluderer, at kilden er et brev, der er skrevet af

Galilei Galileo. Den første linje i kilden giver os datoen: ”Padua, 19. august 1610”, og ved at

sammenligne det med Galileis leveår må man antage, at kilden er skrevet af Galilei – Derfor er

det en førstehåndskilde. Anden linje giver os så svaret på, hvem modtageren er, men også

kildens tendens: ”Jeg har, kære Kepler, modtaget dine to breve.”. Det er altså Kepler, der er

modtageren, og tendensen har været at give et svar på de breve, som Kepler har sendt til

Galilei. Det virker til at være et meget realistisk scenarie, da de to faktisk har sendt breve til

hinanden før, men pga. af ukendte årsager fik Galilei ikke svaret på Keplers breve

. Hvad der

også er vigtigt at bide mærke i er, at kilden har været privat. Brevet er skrevet fra én person til

en anden, der begge har haft et godt venskab sammen. Galilei og Kepler var nemlig begge

tilhængere af det heliocentriske verdensbillede. Derfor forventes der også, at kilden er

personlig, og den derfor indeholder ærlige meninger af Galilei uden, at den skulle have været

censureret af hverken kirken eller anden høj autoritær magt.

Galilei begynder i slutningen af brevet at tale om de filosoffer, der arbejder på det samme

universitet, som ham selv. Set fra hans synsvinkel er filosofferne dovne og uvillige, fordi de

netop ikke gider at se i hans kikkert, selvom han har tilbudt dem det:”… de ledende

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008)(s. 94)

(Knudsen, Sanne Stemann; Danielsen, Kim Beck; 2005)(s.193) (Kilde: Tekst 35)

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008)(s.94)

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

filosofferne her ved universitetet, der, træge som slanger, der har spist sig mæt, hverken har

villet se på planeterne eller på månen eller på kikkerten, skønt jeg for min part tusinde gange

ihærdigt har opfordret dem til dertil?”. Galilei kommenter også at: ”Det er storslået”, at de

nemlig ikke gider at se i kikkerten. Han kommer også med en forklaring på, hvorfor de vender

det blinde øje til: ”… den slags mennesker tror nemlig, at filosofi er en slags bog ligesom

Æneiden eller Odysseen, og at sandheden ikke skal søges i naturen, men ved sammenligning af

tekster (det er deres egne ord)! Gid jeg havde dig her, og vi kunne le hjerteligt sammen! Sikke

noget latterskrald…”. Han fremstiller dem tydeligvis mere eller mindre som idioter og

uvidende mennesker. Siden at disse filosoffer har været tilhængere af det samme

verdensbillede som kirkens, ville det nok have været samme holdninger, Galilei havde til kirken.

Derfor er det heller ikke underligt, at han har valgt brevet til at være privat, eftersom han

kunne have risikeret at blive dømt for kætteri. Kilden kan altså bruges til at give læseren en idé

om, hvilke holdninger Galilei har haft om Kirken.

1.4 Kirken begynder at angribe

1.41 Bibelen skal fortolkes (Brev til hertuginden af Toscana Kilden: 2)

1.411 Begrundelse

Mange af kirkens folk mente, at alt hvad der var nødvendigt at vide stod i Bibelen, og pga. af

Galileis opdagelser og observationer bragte det ham efterhånden i konflikt med kirken. Ifølge

kirken var det jo tydeligt, at Jorden lå stille, men Galilei var på ingen måder enig i det, og mente

at Bibelen var mindre klar og skulle fortolkes

. Denne kilde er valgt på baggrund af, at den kan

hjælpe os med at give et indblik i Galileis egen religiøse overbevisning og den måde, han selv

mener at man skal læse Bibelen.

1.412 Før læsningen og analyse

Fordi at afsenderen her er den samme som i ’kilde 1’ gøres mange af de samme overvejelser

sig gældende her. Kilden er et brev, som er skrevet Galilei Galileo, og i kildens noter er der kun

givet årstallet (1614) som dato. Da Galilei stadig var i live i 1614 må man antage, at det er en

førstehåndskilde. Hvad der er anderledes ved den her kilde er modtageren. I kildens noter er

der angivet, at kilden er skrevet til hertuginden af Toscana, Christina. Ved at kigge på den første

linje i brevet, kan man få en idé om, at det er en adelig person, der er modtageren: ”Some

years ago, as Your Serene Highness well knows”. Hertuginden af Toscana er ikke hvilken som

helst person. Tidligere i Galileis liv arbejdede han på et universitet i Toscana som en

respekteret professor, og det lader til, at de to må have haft et godt venskab siden, at han

netop har valgt hende som modtageren

. En vigtig bemærkning til 1614 er, at det specielt er i

den tid at Galilei kommer i konflikt med Kirken pga. af hans observationer

. Derfor må brevets

tendens have været at overbevise Hertuginden, om at hans fortolkninger af sine observationer,

ikke nødvendigvis gik imod Biblen.

(Spielvogel 2016)(s.481) (kilde tekst)

(Clausen, Flemming; Falkesgaard, Jørgen; Løndahl, Mette; Thiedecke, Johnny; 2001)(s.35)

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008)(s.92 og s.94)

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008)(s.103)

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Hvis man kigger på appelformerne, så starter Galilei ud med en blanding af Patos og Etos, da

han først roser Hertuginden og samtidig siger, at han er har opdaget noget som ingen før har

gjort: ”Some years ago, as Your Serene Highness well knows, I discovered in the heavens many

things that had not been seen before our own age.”. Galilei fortsætter med at appellere til

Hertugindens følelser ved at skrive, at mange professorer beskylder ham for at have skabt

forvirring i videnskaben:” … academic philosophers, stirred up against me no small number of

professors as if I had placed these things in the sky with my own hands in order to upset nature

and overturn the sciences…”. Han fortsætter så med at tale om Bibelen. Galilei starter med at

gøre Hertuginden opmærksom på, at grunden til, at mange ikke tror på hans teorier om, at

Jorden er i bevægelse, er fordi, de tror det går imod Bibelens ord. Til dette argument kommer

han med et modargument, hvor han forklarer, at Bibelen altid taler sandt, men kan være svær

at læse:” I think it is very pious to say and prudent to affirm that the holy Bible can never speak

the truth whenever its true meaning is understood. But I believe nobody will deny that it is often

very abstruse, and may say things which are quite different from what its bare words signify.”.

Galilei er altså selv meget religiøs, men han læser bare Bibelen på en anden måde.

En anden mulighed som muligvis også har været grunden til, at Galilei har valgt at skrive til en

adelig er, at han har forsøgt at få nogle magtfulde personer bag sin ryg til for at støtte op om

sine teorier. Efter at brevet her har været offentliggjort, ser man ikke længere den mere

aggressive og nedtalende sprogbrug af Galilei mod Kirken eller filosofferne ligesom det private

brev.

1.42 Galilei får en advarsel (Brev til Paolo Foscarini Kilde: 3)

1.421 Begrundelse

Som svar på Galileis brev til hertuginden er denne kilde blevet valg på baggrund af, at den kan

give os kirkens synsvinkel på Galileis tolkninger af Bibelen.

1.421 Før læsning og analyse

Denne kilde er ifølge kilde noterne skrevet af Robert Bellarmine (– Jesuit og

Kardinal

). Han er en meget interessant person, da han var den vigtigste person i Vatikanet

med hensyn til naturfilosofi og fortolkninger af Bibelen. Vi kan derfor være sikre på, at han taler

på kirkens vegne. Han havde i 1611 kigget i Galileis kikkert og anerkendt hans arbejde, men han

mente dog, at Galileis fortolkninger af observationerne var forkerte

. Kilden er fra 1615, altså

et år efter Galileis brev til hertuginden. Kilden er også en førstehåndskilde, og modtageren er

Paolo Foscarini. Han var både følger af Galilei men også tilhænger af det heliocentriske

verdensbillede

. Bellarimines tendens med brevet her har ifølge kildenoterne været at give

kirkens synspunkter omkring Galileis teorier. Han starter ud med at sige, at Galilei (og andre

der følger samme teorier som ham) kun taler hypotetisk og ikke absolut: ”Galileo did prudently

to content yourself with speaking hypothetically, and not absolutely.”. Han forsætter så

længere nede med at sige, at det er farligt at antage, at Jorden bevæger sig, da det ødelægger

den Hellig skrifts egne ord, men også fordi det irriterer filosoffer: ”…, is very dangerous thing,

(Spielvogel 2016)(s.481) (kilde tekst)

https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Bellarmine

(Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie; 2008)(s.103)

https://en.wikipedia.org/wiki/Paolo_Antonio_Foscarini

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

not only by irritating all the philosophers (…), but also by injuring our holy faith…”. Han

advarer også Paolo (og Galilei), fordi Tridentinerkoncilet

forbød andre fortolkninger af de

hellige skrifter: ”Second. I say that, as you know, the Council [of Trent] prohibits expounding the

Scriptures contrary to the common agreement…”.

Ifølge Bellarmine ser kirken altså Galileis tolkninger af Bibelen som en trussel mod troen, men

også som flabet. Både fordi det er mangel på respekt for filosofferne, og da koncilet forbyder

andre fortolkninger af Bibelen, end den de selv har vedtaget.

1.5 – Diskussion

Det er vigtigt, at man som læser er opmærksom på perioden og den historiske kontekst, disse

begivenheder foregik i. Kirken har både haft praktiske og taktiske grunde til at tro på de gamle

græske filosoffer. Der blev længere oppe i opgaven pointeret, at kirken udnyttede græske

tanker og ideer til at beskytte troen. Kirkefaderen Augustin, som i øvrigt var en meget

respekteret person i Kristendommen, koblede Platons lære meget logisk sammen med Bibelens

egne ord

. Hvis man bare læste Bibelens ord, som det stod, var det jo tydeligt, at Jorden stod

stille, ligesom Aristoteles havde foreslået flere år tilbage. Det er derfor heller ikke underligt, at

kirken ikke var så glade for Galileis nye opdagelser, da det jo direkte gik imod det man havde

troet i flere hundrede ord.

Af mere taktiske grunde skal vi kigge på den historiske kontekst. Vi befinder os i starten af

1600-tallet, og Europa var på det tidspunkt en tikkende bombe. Konflikten mellem protestanter

og katolikker var på sit højeste, og det var i 1618, at trediveårskrigen udbrød

. Taktisk ville det

ikke have set så godt ud for den katolske kirke, hvis de accepterede en teori, der gik imod

Bibelens ord. De ville måske være blevet dømt som vantro kristne af deres modpart

protestanterne, og det ville måske have fået den katolske kirke til at blive set som en svag

institution. En artikel

fra Los Angeles Times nævner netop denne pointe:” …the judges feared

that if Galileo's ideas were taught, they would undermine Catholic tradition at a time when it

was under attack by Protestant reformers such as Martin Luther and John Calvin.”

Det er heller ikke mærkeligt, at Galilei begyndte at tvivle på det gamle verdensbillede. Selvom

han selv var religiøs, mente han ikke, at Kopernikus system gik imod Bibelens egne ord. Han

gjorde et forsøg på at koble det, han så i naturen sammen med Guds ord. Han nægtede hverken

at sige, at Bibelen tog fejl, eller at hans fortolkninger af sine observationer var forkerte. Galilei

var jo heller ikke den eneste, der troede på det heliocentriske verdensbillede. Kepler og

Kopernikus bog har på sin vis også opmuntret Galilei til at arbejde videre på sine hypoteser.

Nogle ville måske se Galilei som et egocentreret menneske, idet at han i starten af sine brev var

meget ivrig for at fortælle, at han er den eneste der har set disse observationer: ” I discovered

in the heavens many things that had not been seen before our own age.” (fra kilde 2), og i en

kilde hvor han taler om månens udseende, siger han: ”Disse pletter er ikke observeret af nogen

Største koncil på daværende tidspunkt

Se afsnit 1.12

https://en.wikipedia.org/wiki/Thirty_Years%27_War

http://articles.latimes.com//news/mn-1827_1_galileo-galilei

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

før mig.

”. Ifølge dansk historiker Lise Bek er det ikke underligt, at Renæssance mennesket har

set sig selv som et højdepunkt i historien: ”Renæssancens menneske ser sig for sit

vedkommende som stående på et absolut højdepunkt i historiens omskiftelige løb og det på

trods af al antikkens storhed”- år 2000

Begge parter har altså haft deres logiske grunde til at have den holdning, de nu har. Kirken var

ikke tilhængere af Galileis måde at angribe de gamle filosoffer, men ifølge Lise Bek er det jo ikke

underligt, når renæssance mennesket har set sig selv som en vigtigere person end antikkens

filosoffer.

1.6 - delkonklusion

Kirken respekterede de gamle grækere, da grækernes logik og tanker hjalp dem med at

argumentere imod verdslig viden. Som Europas største institution havde kirken brug for nogle

videnskabelig tekster, der kunne bevise Bibelens ord. Aristoteles verdensbillede stemte

overens med Bibelens ord om, at Jorden stod stile og var centrum i universet. Galilei derimod

var en religiøs mand med andre forestillinger om verdensbilledet end den brede befolkning.

Han mente ligesom Kepler og Kopernikus, at Jorden kredsede rund om solen og ikke omvendt.

Renæssancen havde hjulpet mennesket ved at give et tilbageblik i den gyldne tid i antikken.

2. Introduktion til den teoretiske fysik del

I følgende afsnit (2.1-2.4) gennemgås teorien til det, der bl.a. ligger op til Keplers første, anden

og tredje lov. Derudover vil der være et afsnit, der forklarer den mekaniske energi for et

astronomisk objekt og definitionen af en ellipse. Der startes først med en kort gennemgang af

jævn cirkel bevægelse.

2.1 Jævn Cirkelbevægelse

I astronomien bruges begrebet jævn-cirkelbevægelse, når der er tale om et legeme (Planet,

stjerne, komet, måne osv.), som omtrent bevæger sig rundt i en jævncirkel med konstant fart. I

disse tilfælde kan Newtons Gravitations lov sættes lig med den resulterende kraft for en

cirkelbevægelse, altså centripetalkraften:





=



 ∗







=∗

∗ 





Her er  centrallegemets masse,  massen i bevægelse,  afstanden fra centrallegemet og G

Newtons Gravitations konstant. Ligningen kan forkortes yderligere til:









(1)

(Knudsen, Sanne Stemann; Danielsen, Kim Beck; 2005)(s. 193) tekst 36

(Knudsen, Sanne Stemann; Danielsen, Kim Beck; 2005)(s. 202) tekst 40

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Hvis en planets, eller anden form for astronomisk objekts hastighed kendes, og den bevæger

sig i en omtrent jævn-cirkelbevægelse i en kendt afstand r, vil det være muligt at beregne

centrallegemets masse M.

2.2 Ellipser

2.21 Planeter bevæger sig i ellipser

Ifølge Keplers 1. lov, så bevæger alle planeter sig i en ellipse

formet bane, da deres afstand til solen varierer hen over

tiden i sin bevægelse. Nogle planeter såsom Jorden og Mars

bevæger sig omtrent i en jævncirkel rundt om solen. For de

planeter der bevæger sig i en jævn cirkel, kan det betale sig at

antage, at hastigheden er konstant og hermed bruge

ligningen 



=



til at bestemme accelerationen,

perioden eller hastigheden for planeten. Dog bliver dette

et problem, hvis planetens afstand varierer for meget til

solen.

En ellipse er kort sagt et skråt keglesnit. En mere matematisk definition af en ellipse er, at det

er en kurve i det geometriske sted for alle punkter i det plan, hvor summen af afstanden 







fra to fastepunkter 



 



, der er separeret med en afstand af 2, er lig med det positive

dobbelte af den halve-stor-aksen (se fig. 1)





+ 



=2





 



kaldes for brændpunkterne, og i et koordinatsystem med origo i midten af ellipsen, vil

de ligge symmetrisk omkring y-aksen ovenover. 



er afstanden







og 



er afstanden







hvor P er et punkt på ellipsens bane. Forholdet mellem afstanden









og storaksen er lig

med konstanten , som også kaldes for Excentriciteten:

=









2

Hvor der gælder at 0≤≤1. Excentriciteten fortæller noget om, hvor fladtrykt eller udspændt

ellipsen er. Hvis =0 vil ellipsen være en cirkel, og jo tættere tallet e kommer på 1, desto mere

fladtrykt vil ellipsen være. Dette kan også skrives som:

=









2

2

2

,ℎ 2      æ

Ved at isolere x, kan man bestemme afstanden mellem y-aksen og et af brændpunkterne til at

være:

=

Derfor er punktet 



(

−,0

)

 



(

,0

)

Arealet af en ellipse bestemmes som:

http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html

Figur

;

Her ses en skitse af en Ellipse. B1 og B2 er de to

brændpunkter, eller fokuspunkter. a kaldes for halve-stor-

akse og b for halve-lille-akse. P er et punkt på banen evt. en

planet i kredsløb.(Baktoft n.d. (s.6))

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

=∗ ∗ 

I forhold til astronomien vil centrallegemet være en af de to brændpunkter, som f.eks. Solen.

For argumentationen skyld vælges der i denne opgave 



som centrallegemet. Afstanden

mellem 



og punktet (a,0) kaldes for perihel-afstanden, der er den afstand mellem

centrallegemet og legemet i bevægelse, der er kortest. Afstanden mellem 



og (-a,0) er så

aphelium-afstanden, som er den afstand, der er længst væk fra centrallegemet.

2.3 Impuls og energiniveau

Der gælder for et legeme med en masse m, der bevæger sig med en hastighed , at den vil have

et momentum eller impuls i samme retning som hastighedvektoren. Impulset er produktet af

massen og hastigheden

=∗ 

Hvor SI-enheden for p er

[



]

∗



. Yderligere kan impuls defineres som:

= ∗ = ∗





Her er  stedvektoren, der er relativt fra et valgt punkt. Differentierer man impuls får man den

resulterende kraft eller Newtons 2. lov:





=

󰆒

∗ + ∗ 

󰆒

Fra Galileis faldlov, gælder at 

󰆒

=





=0 ∗ + ∗ =∗ 







(2)

Hvor  er den kraft, der forårsager ændringen i impulsbevægelsen. Hvis 



=0, vil =

[], fordi





=0. Det betyder også, at hastigheden er konstant

. Regner man baglæns

og integrerer 



, får man ændringen i impuls:

Δ=∗Δ

Da kraften afhænger af den tid, der er gået, vil ændringen i impuls mellem to tidspunkter

være

Δ= 

(



)











(Nielsen, Knud Erik; Fogh, Esper; 2011)

http://scienceworld.wolfram.com/physics/Momentum.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

For en planet eller et andet astronomisk objekt, der bevæger sig i en fladtrykt ellipse, gælder

der, at dens impulsændring vil være meget stor. Det skyldes, at Gravitationskraften afhænger af

afstanden mellem et centralt legeme og et objekt. Derfor vil kraften ikke være konstant.

Et eksempel på en fladtrykt ellipse er Halleys Komet. Idet at dens afstand til solen varierer

meget, vil hastigheden ændre sig afhængigt af, hvor kometen befinder sig.

2.31 Energi

For at bevise, at hastigheden afhænger af afstanden, kigges der på kometens potentielle- og

kinetiskeenergi. Hvis et legeme (i dette tilfælde en komet), der bliver påvirket af en

konservativkraft (Gravitationskraften), flyttes fra et valgt punkt, vil den få tilført en potentiel

energi, der er lig med det arbejde, der skal tilføres for at flytte den. Det kan skrives som:





==∗ Δ

Da afstanden her er r kan Δ skrives som:





=∗

Ved at dividere med r på begge sider fås at:







=

Jo længere væk kometen bevæger sig væk fra centrallegemet (Solen), desto større bliver den

potentielle energi. lad →0.







=()

Vi har nu differentialkvotienten for 



(). Ved at integrere ()=∗

∗





mellem ∞ og r fås

den endelige formel for den potentielle energi. Fordelen ved at integrere fra ∞ er, at den

potentielle energi altid vil være negativ:

 ∗

 ∗











Fra matematikken er det muligt at sætte konstanterne ud foran integralet:

∗ ∗  











Det bestemte integral findes nu:

∗ ∗  











=∗ ∗−









=∗ ∗∗ −



−



−

∞



=−∗





3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Derfor er 



(



)

lig med





()=−

∗ ∗



Siden at Gravitationskraften er en konservativ kraft, må det legeme, der bliver påvirket af en

sådan en kraft have en konstant mekanisk energi:





=



+ 



Det betyder så for Halleys komet, at dens mekaniske energi skal være den samme i to tilfældige

punkter på dens bane (A og B):



,

=

,

∗ 



∗ 







−

∗



∗ 









∗ 



∗ 







−

∗ 



∗ 









Ved at dividere med 



på begge sider forkortes det væk:

∗ 





+ −

∗ 







=

∗ 





+ −

∗









Her er 



hastigheden i point A, 



afstanden til solen i point A, 



hastigheden i point B og 



er afstanden til solen i point B

Ved at plotte 



som funktion af afstanden , kan man få

dannet et overblik over, hvor kometen har den største og

mindste potentielle energi (se fig.2

). Eftersom kometen

bevæger sig fra sin perihel position, vil kometens bevægelse

bremses af Solens gravitationskraft. Fordi den mekaniske

energi skal være konstant, vil kometen i yderpositionen, altså

aphelium, have omdannet det meste af sin kinetiske energi til

potentiel energi. Ved 



(Aphelium) er kometens fart

meget lav, og derfor vil den blive trukket tilbage ind imod

solen, men eftersom at det nu er den potentielle energi, der

bliver omdannet til kinetisk energi, vil hastigheden vokse igen,

og når kometens hastighed når undvigelseshastigheden, vil

kometen bevæge sig væk fra solen og fortsætte i sin bane

. Undvigelseshastigheden kan

beregnes ved at sætte den mekaniske energi til 0, og herved isoleres hastigheden. Det er et

særtilfælde der gælder, når den kinetiske energi og potentielle energi er numerisk lige store.

Her vil kometen akkurat have den hastighed, der er nødvendig for at slippe væk fra solen.

(Ingwersen, Jens; Jensen, Hans Birger; Sørensen, Knud Erik; 1990)(s.74-75)

(Nielsen, Knud Erik; Fogh, Esper; 2011)(s.256-260)

Selv tegnet i photoshop

(Nielsen, Knud Erik; Fogh, Esper; 2011)(s.259-261)

Figur

;

Skitse af Epot som funktion af afstanden

"R". Jo længere væk kometen (Grå cirkel) kommer

væk fra solen (gule cirkel) desto større bliver den

potentielle energi.

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Hvis der er tale om et legeme, der kredser i en jævn-cirkelbevægelse, kan den kinetiske energi

udtrykkes om 



=−













=



+ 







−





Fra (1) er 



=∗









∗ ∗





∗









Da 



=



+ 



⇔



=



− 







− 



=−





Det viser sig også, at det gælder for legemer, der kredser i fladtrykte ellipser.

2.4 Impulsmoment og kraftmoment

2.41 Moment

I fysikken er moment et produkt mellem en stedvektor og en fysisk størrelse. På den måde

fortæller det om, hvor den fysiske størrelse befinder sig, og hvordan den er indstillet. Som regel

er moment defineret med et fast referencepunkt

, i det her tilfælde vil sådan et

referencepunkt være solen. Der findes mange forskellige slags momenter, men i de følgende to

afsnit, vil opgaven være beskæftiget med impulsmoment og kraftmoment. Sammenhængen

mellem de to vil blive uddybet.

2.42 Impulsmoment og Kræftmoment

Kraftmoment eller drejningsmomentet er en krafts tendens til at rotere et objekt rundt om en

akse. Matematisk er kraftmoment defineret som

4142













(3)

Hvor  er kraftmomentet,  er stedvektoren med hensyn til et fast referencepunkt og 



kraften der forårsager bevægelsen. (Produktet på højre side af lighedstegnet er krydsproduktet)

Man kan sige, at kraftmoment beskriver den trækkraft, der forårsager en rotation af et legeme

om en akse

Impulsmoment også kaldt angulært moment fortæller noget om, hvor meget impuls, der

befinder sig i et valgt punkt på et legeme

. I fysikken er det en meget vigtig størrelse, da det

hører under bevaringsloven, og den vil være konstant med mindre et eksternt kraftmoment

påvirker impulsmomentet

(Christensen, Claus; Claussen, Carsten ; Felsager, Bjørn; 1990)(s.85)

https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(physics)

https://en.wikipedia.org/wiki/Torque

https://www.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/torque

https://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/Q.torque.intro.html

https://da.wikipedia.org/wiki/Impulsmoment

https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Definitionen på impulsmoment er:



󰇍











(4)

Hvor 

󰇍



er impulsmomentet,  er stedvektoren med hensyn til et fast referencepunkt og  er

impuls. (Produktet på højre side af lighedstegnet er krydsproduktet).

Sammenhængen mellem de to minder meget om impuls og kraft, da kraftmomentet er tids-

differentialkvotienten for impuls moment:

=



󰇍





Hvis der er tale om flere kraftmomenter, der påvirker et legeme, er det det resulterende

kraftmoment, der er differentialkvotienten:





+ ⋯



󰇍



=



󰇍





󰇍





Det vil nu bevises, at kraftmoment er differentialkvotienten til impulsmoment. Da 

󰇍



=× , er

differentialkvotienten for 

󰇍



lig med (fra matematikken bruges gangereglen):



󰇍





=×









×

I ligning (2) blev der vist at







=





󰇍





=×







×







er distance over tid, som er definitionen på hastighed (5):



󰇍





=×



+ ×

Fra matematikken kendes at krydsproduktet mellem to parallelle vektorer er lig 0, og da   er

parallelle, kan det sidste led forkortes væk:





󰇍













(3)

Kraftmomentet er derfor differentialkvotienten for impulsmoment

2.43 Halleys Komet

I nogle tilfælde er kraftmomentet lig med 0, fordi stedvektoren og kraften er parallelle, og det

vil resultere i, at impulsmomentet er konstant. Eksempler på sådan et fænomen er

gravitationskraften mellem solen og Halleys Komet.

Hvis



󰇍





=0 så er ændringen 0:

http://denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Klassisk_mekanik_og_kvantefysik/impulsmo

ment

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Δ

󰇍



Hvis impulsmomentet er konstant, så er der tale om impulsbevarelse



󰇍







󰇍



=[]

Det betyder at impulsmomentet før og efter skal være lig med hinanden:



󰇍



=×



󰇍





=

󰇍









󰇍



×



󰇍



=



󰇍



×



󰇍



Udvider :





󰇍



(

 ∗ 



󰇍



)

=



󰇍



(

 ∗



󰇍



)

Der antages at kometens masse ikke ændre sig. Dermed vil de to masser eliminere hindanen:





󰇍



×



󰇍



=



󰇍



×



󰇍



Denne ligning er vigtig, da den kan bruges til at beregne hastigheden for kometen til hvilken

som helst tid, så længe der kendes to længder og en hastighed på forhånd. Praktisk set skrives

denne ligning uden vektorstreg





∗ 



=



∗ 



2.44 Hastigheden

Som det nok er bekendt skrives impulsmoment formelt som:



󰇍



=×

Kigger man på den numeriske-værdi af impulsmoment, kan man ved hjælp af definitionen af

impuls skrive  som (Hvis vinklen mellem r og p er 90 grader):

=∗ 





Hvor 



er tangentialhastigheden. (tangentialhastigheden er når hastighedsvektoren er

ortogonal med stedvektoren)

I det tilfælde hvor impulsmomentet er konstant, vil der være to scenarier:

 

 

Scenarie 1: Hvis L er konstant og r vokser må hastigheden falde, da massen er en konstant.

Scenarie 2: Hvis L er konstant og r formindskes, må hastigheden stige

https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum#Conservation_of_angular_momentum

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/node159.html

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Det giver mening, da der længere oppe under energi-afsnittet var blevet pointeret, at

hastigheden er størst, når kometen er tættest på solen og lavest når, den er længst væk fra

solen.

3. Introduktion til undersøgelse af Keplers 2. og 3. lov

I følgende afsnit (3.1-3.2) gennemgås Keplers 2. lov med bevis, og Keplers 3. lov defineres

også. Derudover vil Halleys komets bane simuleres og der vil blive undersøgt om Keplers 2.

lov gælder for kometen ved at beregne dens perihel-hastighed. Til Keplers 3. lov vil der også

blive lavet en analyse af loven ved at kigge på Solens planeter samt Jupiters måner. Jupiters

måner er valgt på baggrund af, at det var en af Galileis første opdagelser med teleskopet.

3.1 Keplers 2. Lov

J. Kepler havde lånt Tycho Brahes (Dansk astronom-

) omfattende og nøjagtige

observationer af Mars. Heraf har han opstillet 3 love ud fra de observationer, der beskriver et

astronomisk objekt i en bevægelse omkring et centralt legeme

. Keplers 2. lov er:

”Indenfor lige lange tidsrum, vil linjen mellem Solens og en planets

centrummer overstryge samme areal.”

;

Beviset er relativt simpelt og ved at bruge de formler ovenover, kan vi udtrykke det areal, som

en linje mellem solen og kometens centrum stryger over et lille tidsrum. Hvis der kigges på et

bestemt punkt til en bestemt tid vil  være positionen og  hastighedvektoren til den tid. Hvis

tidspunktet gøres infinitesimalt, altså uendeligt lille, vil positionen  et stykke tid  efter være:

 + 

Ved at bruge definitionen af hastighed (5), kan  skrives som:

=

Fordi tidspunktet er infinitesimalt vil   

󰇍



udspænde en trekant, som har et areal på:

=

×

|×|

Hastighedsvektoren omskrives vha. impuls =, og begge sider divideres med .:















∗









(6)

Ligning (4) fortæller os, at krydsproduktet mellem stedvektoren og impuls er lig med

impulsmomentet:







∗





󰇍





(7)

https://da.wikipedia.org/wiki/Tycho_Brahe

https://da.wikipedia.org/wiki/Keplers_love

http://demonstrations.wolfram.com/KeplersSecondLaw/

(Baktoft n.d.) (side. 11)

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Fordi at kometens kraftmoment =0 vil  være konstant, og da massen er en konstant, kan

der konkluderes, at hele højre side er en konstant. Derfor må arealhastigheden være konstant,

hvor arealhastigheden er det areal, som en linje mellem solen og kometens centrum stryger

over et lille tidsrum

3.12 Halleys komet

3.121 Før arbejde

Som en af opgavens undersøgelser, er der blevet valgt at simulere Halleys Komets bane.

Herunder vil der blive:

- Undersøgt om den mekaniske energi er konstant

- Undersøgt om 



+ 



= og en vurdering af excentriciteten.

- Undersøgt om arealhastigheden er konstant ved at beregne perihel hastigheden og

den relative afvigelse.

- Undersøgt om kometens bane er en ellipse

Før der startes med at simulere dens bane skal tabelværdierne først findes:

- Kometens perihel-afstand

(

8,766108 ∗ 10





)

[

]

- Kometens perihel-hastighed 󰇡54600





󰇢[

]

- Kometens masse (2,2 ∗ 10



)[

]

- Solens masse (1,98844∗ 10



)[

]

- Kometens periode () =75,315892 å[

]

- Newtons Gravitations Konstant 󰇡6,674 ∗ 10











󰇢(:

)

For at tegne kometens bane opstilles et skema i Microsoft Excel. Her noteres tiden, der er gået,

() for kometen, () for kometen, længden af stedvektoren (afstanden fra solen til kometen

til tiden ), 



(), 



(), (), 



(), 



() og (). (a er accelerationen – x og y viser

hvilken retning der er tale om.)

Til tiden 0, er kometen i sin perihel position. Derfor skrives perihel-afstanden ind på første x-

plads. =0 da kometen ikke har bevæget sig endnu fra sin position. Afstanden  bestemmes

ved hjælp af Pythagoras:

Første  vil derfor være lig med perihel-afstanden. For at beregne accelerationen sættes

Newtons Gravitationslov lig med Newtons 2. lov, og accelerationen isoleres:





=



(Jerslev 2009 (s.4))

Wolfram Alpha : 1P/Halley Perihel afstand

http://users.df.uba.ar/sgil/physics_paper_doc/papers_phys/follows.pdf (Ctrl+F og søg ” (perihelion)”)

Wolfram Alpha 1P/Halley Masse

Wolfram Alpha Sol masse

Wolfram Alpha 1P/Halley Periode

Wolfram Alpha Newtons Grav. konstant

⇔





(



)



(



)



3.W SRP- Roskilde Katedralskole

 ∗ =∗

 ∗ 





=∗







Her er  solens masse, og  den beregnede afstand til solen. Ligesom 

består  også af sine x og y komposanter, 



 



. Som man kan se til højre

på skitsen, danner de tre accelerationer en trekant. Fordi vinklen  er den

samme vinkel som  og  danner, kan der ved hjælp af geometrien skrives

(se fig. 3





=∗ cos

(



)

=∗









=∗ sin

(



)

= ∗





Her antages der, at accelerationen er konstant under tidsskridtet.

Hastigheden 



=0, da den ikke bevæger sig i x-retningen i starten, og 



ℎℎℎ, da den til tiden 0 kun har en hastighed i y-retningen.

Tangentialhastigheden beregnes ved: =



(





)













I teorien er accelerationen ikke konstant, men da tidsskridtet sættes til en meget lav værdi, vil

accelerationen omtrent være konstant. Tidsskridtet skal eksperimenteres og vurderes i starten.

Hvis tidsskridtet er for lille, vil det tage for lang tid at beregne kometens positioner, og hvis

tidsskridtet er for stort, vil grafen være en ret linje. Der bestemmes et tids-skridt til at være

Δ=9000 . For neden ses den første del af tabellen, til tiden 0:

For at beregne de nye x- og y-koordinater, bruges Galileis faldlov. Den kan bruges fordi der

antages, at accelerationen er konstant under tidsskridtet:



(



)

∗ 





∗ 



+ 





∗ + 





(



)

∗ 





∗ 



+ 





∗ + 



Hvor 





er den sidst beregnet acceleration i x-retningen, 





er den sidst beregnede

acceleration i y-retningen, 





er den sidst beregnet hastighed i y-retningen, 





er den sidst

beregnede hastighed i x-retningen, 



er den sidst beregnede y-koordinat og 



er den sidst

beregnede x-koordinat. Tiden  er blot tids-skridtet, altså 9000 sekunder. Når følgende er gjort,

klarer Excel resten.

Selv tegnet

(s)

(m)

󰇡







󰇢

󰇡







󰇢

󰇡







󰇢

󰇡





󰇢

󰇡





󰇢

󰇡





󰇢

Tid

























8,77E+10

000

1,E

1,727000E

54600

9,00E+03

Figur

; (rød streg er

stedvektoren, og det grønne er

vinklen Alpha.

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

3.122 Beregninger og efterarbejde

Excel bregner omkring 240000 nye koordinatsæt

, og efter ca. 30 sekunder kan

koordinatsættene plottes ind i et grafvindue:

Dernæst skal den

halve-stor-aksen og

halve-lille aksen

bestemmes. Eftersom

at solen er placeret i

(0,0), og afstanden

mellem kometen og

solen til tiden 0 er

8,766108 ∗



(perihel-

afstand), kan den

halve-stor-aksen 

beregnes ved at minus

8,766108 ∗10



 med den x-værdi, hvor y er størst. Excel kan selv finde den største y-værdi og

celleaddresse ved at skrive,

=((($12:$1048576);$12:$1048576;0);1), i en celle. Det

giver os det cellenavn, hvor y er størst. Her findes x-værdien til 



, og den bliver minusset

med perihel afstanden for at få [

]. For den halve-lille-aksen er =



. a og b fås til at

være:

Excentriciteten beregnes herefter. Afstanden |







| beregnes ved at minus perihel afstanden

med  ganget med 2:









(

2,605862 ∗10



− 8766108 ∗ 10





)

∗ 2

=









2

=0,96636

Det er en forholdsvis meget fladtrykt ellipse. Den relative afvigelse fra tabelværdien

beregnes:

=





− 







∗ 100%=

0,9663600 − 0,9671429

0,9671429

∗ 100%≅−0,0809%

0,0809% er en meget lav afvigelse, så der er med garanti tale om en ellipse bane.

Excel arket ligger under bilag, med alle tallene

Må ikke forveksles med accelerationen. Det er stor aksen der er tale om her

I Excel arket er a og b angivet med Orange felt

Wolfram Alpha 'e'

Halve

stor

akse

2,29162E+12 m

Halve

lille

akse

6,74723E+11 m

-8,000E+11

-6,000E+11

-4,000E+11

-2,000E+11

0,000E+00

2,000E+11

4,000E+11

6,000E+11

8,000E+11

-6,00E+12 -4,00E+12 -2,00E+12 0,00E+00 2,00E+12

(m)

Halleys Komet

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Dernæst beregnes arealhastigheden. Til det skal der først kendes arealet af ellipsen, og som der

blev skrevet før i opgaven, er arealet af en ellipse givet ved formlen:





= ∗∗ 





=∗ 2,605862 ∗ 10



 ∗ 6,749886 ∗ 10



=5,525830∗ 10







For at få arealhastigheden divideres arealet med kometens omløbstid/periode (75,315892 år):





5,525830 ∗ 10







75,315892 ∗ 365,25 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60s

=2,324914 ∗ 



∗ 



Den kan bruges til at finde en eksperimentel værdi for perihelhastigheden. I ligning (6) blev der

vist, hvordan arealhastigheden kunne skrives som:





×

Fra matematikken kendes, at krydsproduktet er lig med ×

󰇍





∗



∗ sin () (vinklen

mellem stedvektoren og tangentialhastigheden er 90 grader):







∗



∗ sin

(

90°

)



∗



Ved perihel-positionen antages, at kometens hastighed er det samme efter 1 sekund. Derfor

ganges der med 1 sekund på begge sider og || isoleres, hvor || er perihel afstanden:

⇔









2,324914 ∗ 



∗ 



0,5 ∗ 8766108 ∗ 10





=53043,26





Den relative afvigelse beregnes fra tabelværdien (54600 m/s):

 =





− 







∗ 100%=

53043,26





− 54600

54600

∗ 100%

≅−2,85%

Den beregnede perihelhastighed afviger altså 2,8% fra tabelværdien.

Derefter undersøges om 



+ 



=. 



er afstanden fra solen til kometen, (hvilket

bare er r-værdien), mens 



er afstanden fra det andet brændpunkt til kometen. Da afstanden

mellem solen og det andet brændpunkt er −2 (minus fordi solen befinder sig i (0,0)), kan

vektoren for 



skrives op som:





󰇍





−

(

−2

)

 − 0



Hvor x og y er kometens koordinater.

Derfor er længden af 



󰇍



lig med:





󰇍



(

+ 2

)



(

 − 0

)



Ved hjælp af Excel finder man MAX og MIN for 



+ 



3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Det næste der gøres er at undersøge om den

mekaniske energi er konstant. Det gøres ved at

beregne den kinetiske- og potentielle energi:





∗ 



∗ 









=−∗





∗ 



Hvor  er kometens masse,  solens masse,  kometens hastighed og  afstanden mellem

solen og kometen. De to tal lægges sammen og herefter undersøges resultatet. Herunder er

Excel blevet bedt om at give en MIN og MAX værdi for den mekaniske energi:

Det er mere eller mindre konstant, dog skal det

nævnes, at de fleste tal (Mekanisk Energi) i Excel

arket er tættest på den maximaleværdi. Så selvom

der er 1 eller 10 værdier, der er for lave, så er de

fleste værdier ikke.

3.123 Bemærkninger

Grafen der simulerer Halleys komet er ikke helt symmetrisk om akserne, og det kan betyde, at





+ 



ikke vil være konstant hele vejen igennem. Siden det her ikke er noget forsøg, men kun

efterarbejde af data, er det ikke relevant at tale om fejlkilder.

3.124 Delkonklusion

Ud fra beregningerne kan der konkluderes, at kometens bane faktisk er en ellipse, da både 







mere eller mindre er konstant, samt at excentriciteten er større end 0. Den mekaniske energi

er også konstant, og det betyder at gravitationskraften er en konservativ kraft. Keplers 2. lov er

sand, da den beregnede perihelhastighed kun afviger med ca. 3%

3.2 Keplers 3. Lov

Fra Keplers 2. lov bliver der nu begyndt på en uddybning af hans tredje lov. Hvis der er tale om

en planet (eller andet astronomisk objekt), som bevæger sig i en ellipse formet bane omkring et

centrallegeme, siger Keplers 3. lov at:

”Kvadratet af omløbstiden af en planet er direkte-proportional til kubikken af

planetens halve-stor-akse

”

Med andre ord skrives det sådan her:









=





∝



Her er konstanten  lig med







, hvor  er centrallegemets masse. Hvad der er interessant ved

denne ligning er, at alle planeter der kredser om det samme centrallegeme har den samme

Se Excel arket

https://da.wikipedia.org/wiki/Keplers_love

r1+r2(max)

5,21E+12

r1+r2(min)

5,05E+12

Mekanisk Energi

(Joule)

MAX

5,12549E+21

MIN

6,27449E+21

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

konstant. Jorden har den samme konstant som Jupiter, og Jupiter har den samme konstant

som Venus osv.

3.21 Solen og Planeterne

Der vil nu vises, at Keplers 3. lov gælder for de planeter, der kredser om Solen. Tabel-dataene

for planeternes halve-stor-akse og periode er:

Tallene konverteres i Excel til SI-enheder og i et graf vindue plottes tallene ind, hvor x er

middelafstanden  og y perioden . Her forventes at punkterne danner en potensfunktion (for

ikke at forveksle a med potens konstanten  angives den halve-stor-akse som r neden under):









4





⇔



4





∗ 



⇔=

2 ∗

√



√



∗ 





2 ∗ 

√



√



∗ 

,

=∗ 



Hvor konstanten a skal være lig med 1,5 og b lig med

∗

√



√



hvor M er solens (centrallegemets)

masse:

3.211 Efterarbejde og beregninger

Efter at have lavet potensregression indstilles akserne til dobbelt-logaritmisk koordinatsystem,

så der fås en meget pæn og ret linje. Konstanten a kan aflæses til at være =1,498≅1,5.

Yderligere aflæses konstanten b til: 5,47697∗ 10



. Det sættes lig med

∗

√



√



og Solens

masse M isoleres:

Planet navn

Hal

stor

akse (km)

Periode

(Enhed)

Merkur

000

0,241

(Jord år)

Venus

1,082E+11

0,615

(Jord år)

…

y = 5,47697E-10x

1,49984E+00

R² = 1,00000E+00

262144

2097152

1,074E+09

8,59E+09

4,708E+10 3,766E+11 3,013E+12

(m)

(r,T)

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

5,47697 ∗ 10



2 ∗

√



√



⇔=

󰇧

2 ∗ 

√

∗5,47697 ∗10

−10

󰇨



=







2 ∗ 



6,674 ∗ 10



 ∗







∗ 5,47697 ∗10

−10









≅1,97194 ∗ 10





Den relative afvigelse fra tabelværdien

beregnes:

 =



,

− 

,



,

∗ 100%

1,97194 ∗ 10



 1,98843 ∗ 10





1,988 ∗ 10





∗ 100%≅−0,008%

Den beregnede solmasse afviger med ca. 0,008 % fra tabelværdien (Databogen), hvilket er et

perfekt resultat.

3.22 Jupiter og dens måner

Samme proces laves for Jupiters måner. Fordi Jupiter har 63 måner, er der kun blevet valgt at

kigge på 16 af dens måner. Punkterne plottes ind i et nyt grafvindue:

3.23 Efterarbejde og

beregninger

Efter der er lavet

potensregression, ligges der

mærke til, at konstanten b

præcis er lig med 1,5. Igen

beregnes massen M, men her er

massen Jupiters masse:

=







2 ∗ 

6,674 ∗ 10



∗ 







∗ 5,4769 ∗ 10











≅2,076 ∗ 10





(Andersen, Erik Strandgaard; Jespersgaard, Paul; Østergaard, Ove Grønbæk; 2009)(s. 246)

Excel arket hedder; Kepler (både om solen og Jupiter er i samme bilag)

y = 1,68800E-08x

1,50222E+00

R² = 9,99972E-01

16384

131072

1048576

8388608

1, 0 74E + 09 1, 71 8E+10

(m)

(R,T)

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Den relative afvigelse beregnes nu ud fra tabelværdien

af Jupiters masse:

 =



,

− 

,



,

∗ 100%=

2,076 ∗ 10



− 1,89813 ∗ 10





1,89813 ∗ 10





∗ 100%≅9,37%

Den beregnet Jupiter masse har altså en relativ afvigelse fra tabelværdien på ca. 9%. Det er kun

1.1 gange større end tabelværdien, hvilket er en rimelig værdi.

3.23 Bemærkninger

Igen er det her ikke et forsøg, men en analyse eller undersøgelse af Keplers love. Derfor er det

ikke relevant at tale om fejlkilder. Dog kan der gøres nogle bemærkninger. Var der blevet kigget

på flere af Jupiters måner havde det nok været muligt at få en masse, der var tættere på

tabelværdien. I teorien bevæger Solen og Jupiter også rundt om deres tyngdepunkt, men da det

ikke er en særligstor bevægelse, er det blevet antaget, at de begge ligger ”stille”.

2.24 Delkonklusion

Det er nu blevet vist, at den mekaniske energi er bevaret for kometen, og at arealhastigheden

kan bruges til at finde perihelhastigheden. Herved har jeg også vist at Keplers 3. lov er sand, da

den beregnede solmasse er ca. 100% rigtig, mens den beregnede Jupiter masse kun er 1,1

gange større end tabelværdien.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=jupiter+planet

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Konklusion

Historie

Græske filosoffer kunne ifølge kirkens mest magtfulde og betydningsfulde mennesker bruges til

at beskytte troen, da de lærte den almen kristne at argumentere for religionen. Kirken brugte

også Aristoteles fortolkning af verdensbilledet til at underbygge Bibelens egne ord som et

videnskabeligt bevis. Under Renæssancen mistede kirken meget af sin autoritet, og mennesket

begyndte selv at undersøge, hvordan verden hang sammen. Galilei, der er en af de mest kendte

renæssancemennesker, var tilhænger af det heliocentriske verdensbillede. Han var en religiøs

mand, men han tolkede Bibelen på en anderledes måde end den katolske kirke. Både kirken og

Galilei havde deres logiske grunde til at tro, at deres verdensbillede var det rigtige. Havde

kirken accepteret det nye verdensbillede, var deres magt måske blevet svækket. Galilei kunne

hverken tro, at Bibelen løj, (da han selv var religiøs), eller at hans observationer ikke var

fortolket rigtigt.

Fysik

Det er blevet bevist, at Keplers 2. lov gælder. Da kraftmomentet for kometen er 0, må

impulsmomentet være konstant. Det betyder så også, at arealhastigheden kan skrives som:









∗





󰇍





Her er hele højre side en konstant, og dermed er Keplers 2. lov teoretisk bevist. I opgaven er

Keplers 2. lov også blevet undersøgt ved at simulere Halleys komets bane. Keplers 2. lov bruges

til at beregne kometens perihel-hastighed, og der konkluderes i opgaven, at det er den rigtige

perihel hastighed.

For Keplers 3. lov konkluderes der, at den gælder, da både den beregnede solmasse og Jupiters

masse afviger meget lidt fra tabelværdierne. En anden ting er at konstanten  i

potensregression for både Solen og Jupiter er 1,5, som den skal være.

Der er i opgaven også bevist at Halleys bane er en ellipse da 



+ 



er omtrent konstant, og at

den beregnede excentricitet afviger meget lidt fra tabelværdien.

Den mekaniske energi for kometen er også konstant, og det betyder, at gravitationskraften er

en konservativ kraft.

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

Litteraturliste

Bøger:

Andersen, Erik Strandgaard; Jespersgaard, Paul; Østergaard, Ove Grønbæk;. 2009. Databog: Fysik

og Kemi. Årg. 11. udgave. 4 oplsag. F&K Forlaget.

Christensen, Claus; Claussen, Carsten ; Felsager, Bjørn;. 1990. Fysikkens Spor. Årg. 1. 1 bind.

Gyldendal.

Clausen, Flemming; Falkesgaard, Jørgen; Løndahl, Mette; Thiedecke, Johnny;. 2001. Skabt til at

Skabe: Renæssancens Kultur i Europa. Årg. 1. Udgave, 4. Opslag 2001. Aschehoug Dansk

Forlag.

Halsall, Paul. 1997. »Modern History Sourcebook: Letter to the Grand Duchess Christina of

Tuscany, 1615.« Fordham University. Senest hentet eller vist den

http://sourcebooks.fordham.edu/mod/galileo-tuscany.asp.

Ingwersen, Jens; Jensen, Hans Birger; Sørensen, Knud Erik;. 1990. Kernestoffet - Højt Niveau.

Forlaget Systime A/S.

Jørgensen, Nanna Dissing Bay; Sørensen, Marie;. 2008. Den natuvidenskabelige revolution. 1.

udgave, 1. oplag. Systime A/S.

Keller, Ole. 2013. Midedelalderens naturvidenskab: Europa og den arabiske verden. 1. udgave 1.

oplag. Systime A/S.

Knudsen, Sanne Stemann; Danielsen, Kim Beck;. 2005. Renæssancen - Dan mennesket kom i

centrum. 1. udgave, 1.oplag. Systime A/S.

Nielsen, Knud Erik; Fogh, Esper;. 2011. Vejen Til Fysik. Årg. 2. Silkeborg: Forlaget HAX.

Spielvogel, Jackson J. 2016. Western Civilization, Tenth Edition. 10th. Cengage Learning.

Pdf-filer:

Baktoft, Allan. n.d. Matematik I Virkeligheden. Bind 3. Retrieved (klik her for at se).

Jerslev, Kristian. 2009. “Udledning Af Keplers Love.” 2(8. december):1–5. Retrieved (klik her for at se).

Links:

- Links til historie:

o https://da.wikipedia.org/wiki/Platon(set den 21. december)

o https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Bellarmine (set den 21. december)

o https://en.wikipedia.org/wiki/Paolo_Antonio_Foscarini(set den 21. december)

o https://da.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler(set den 21. december)

o https://da.wikipedia.org/wiki/Nicolaus_Kopernikus(set den 21. december)

o https://en.wikipedia.org/wiki/Thirty_Years%27_War (set den 21. december)

o http://articles.latimes.com//news/mn-1827_1_galileo-galilei (set den

21. december)

o https://da.wikipedia.org/wiki/Tycho_Brahe (set den 21. december)

- Links til Fysik:

o https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(physics) (set den 21. december)

o https://en.wikipedia.org/wiki/Torque (set den 21. december)

o https://www.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-

tutorial/a/torque (set den 21. december)

o https://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/Q.torque.intro.html (set den 21.

december)

o https://da.wikipedia.org/wiki/Impulsmoment (set den 21. december)

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

o https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum(set den 21. december)

o http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html(set den 21. december)

o http://scienceworld.wolfram.com/physics/Momentum.html (set den 21.

december)

o https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum(set den 21. december)

o http://denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Klassisk_mekanik_o

g_kvantefysik/impulsmoment (set den 21. december)

o https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum#Conservation_of_angular_mo

mentum(set den 21. december)

o http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/node159.html(set den 21.

december)

o https://da.wikipedia.org/wiki/Keplers_love (set den 21. december)

o http://demonstrations.wolfram.com/KeplersSecondLaw/(set den 21. december)

o Halleys komet

 Wolfram Alpha : 1P/Halley Perihel afstand (set den 21. december)

 http://users.df.uba.ar/sgil/physics_paper_doc/papers_phys/follows.pdf (Ctrl+F og

søg ”Halley comet”) (set den 21. december)

 Wolfram Alpha 1P/Halley Masse (set den 21. december)

 Wolfram Alpha Sol masse(set den 21. december)

 Wolfram Alpha 1P/Halley Periode (set den 21. december)

 Wolfram Alpha Newtons Grav. konstant(set den 21. december)

 Wolfram Alpha 'e'(set den 21. december)

o Keplers 3. lov

 Solen og planeterne

 Merkur: https://www.wolframalpha.com/input/?i=mercury+planet

(set den 21. december)

 Venus: https://www.wolframalpha.com/input/?i=venus+planet (set

den 21. december)

 Jorden: https://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+planet(set

den 21. december)

 Mars: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Mars+planet (set

den 21. december)

 Jupiter: https://www.wolframalpha.com/input/?i=jupiter+planet

(set den 21. december)

 Saturn: https://www.wolframalpha.com/input/?i=saturn+planet

(set den 21. december)

 Uranus: https://www.wolframalpha.com/input/?i=uranus+planet

(set den 21. december)

 Neptune:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=neptune+plan(set den

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

21. december)et

 Solen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sun+mass (set den

21. december)

 Jupiter og dens måner (husk at klikke på ”more”)

 Io: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Io+moon (set den 21.

december)

 Europa: https://www.wolframalpha.com/input/?i=europa+moon

(set den 21. december)

 Ganymede: https://www.wolframalpha.com/input/?i=ganym(set

den 21. december)ede+moon

 Callisto:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=callisto+moon(set den

21. december)

 Amalthea:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=amalthea+moon (set den

21. december)

 Himalia: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Himalia+moon

(set den 21. december)

 Elara: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Elara+moon (set

den 21. december)

 Pasiphae:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Pasiphae+moon (set den

21. december)

 Sinope: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sinope+moon

(set den 21. december)

 Lysithea:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Lysithea+moon(set den

21. december)

 Carme: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Carme+moon(set

den 21. december)

 Ananke: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Ananke+moon

(set den 21. december)

 Leda: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Leda+moon(set

den 21. december)

 Thebe: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Thebe+moon(set

den 21. december)

 Adrastea:

3.W SRP- Roskilde Katedralskole

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Adrastea+moon(set den

21. december)

 Metis: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Metis+moon(set

den 21. december)

 Jupiter: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Jupiter (set den

21. december)

Bilag:

- Alle hjemmesider er downloadet i det tilfælde hjemmesiden ikke er oppe længere.

- Alle bilagene og hjemmesiderne kan findes ved at åbne filen ”Bilag til srp.zip”

- Fysik analyserne er også inde i .zip filen.

o Halleys komet Excel ark: /fysik/analyser/Halleys komet (i .zip filen)

o Keplers 3. lov Excel ark: /fysik/analyser/Keplers 3. lov (i .zip filen)