Side 1 af 26
Abstract
The paper explores the significance of Google’s pageranking algorithm for the search engine
Google. The paper, in general, is divided in two parts. Initially, a mathematical section.
Through an analysis of books, websites and a video, concerning Google’s pageranking
algorithm, the study describes how Sergey Brin and Lawrence Page managed to complete the
algorithm. Furthermore, the study includes which complications they had to face plus an
evaluation of the mathematical proof (Blaavand, 2010). In the paper’s second section the
mathematical study is communicated to a larger target group in a popular science article. The
article is based on being identifiable and informative. In closing of the second section there is
a reflection on the presentation of the subject in the popular science article. This reflection
involves a consideration of argumentation, rhetorical features, layout and literary devices.
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 2 af 26
Indholdsfortegnelse
Abstract ..................................................................................................................................... 1
Indledning ................................................................................................................................ 3
Matematikken bag Googles pageranking algoritme ................................................. 4
Formlen for pagerank .......................................................................................................................................... 4
Hyperlinkmatricen ................................................................................................................................................ 5
Eksempelberegning af egenvektor I ............................................................................................................................ 6
Potensmetoden ....................................................................................................................................................... 7
Eksempelberegning af egenvektor I med potensmetoden ................................................................................. 8
Googlematricen skabes ........................................................................................................................................ 8
Bevis for løsningen til ............................................................................................................................ 10
Googlematricen færdiggøres ........................................................................................................................... 12
Den populærvidenskabelige artikel ............................................................................. 13
Analyse .................................................................................................................................... 17
Det retoriske pentagram ................................................................................................................................... 17
Argumentation og retorik ................................................................................................................................. 17
Layout....................................................................................................................................................................... 19
Stilistik ..................................................................................................................................................................... 20
Konklusion ............................................................................................................................. 22
Litteraturliste ........................................................................................................................ 23
Bilag 1 ...................................................................................................................................... 25
Bilag 2 ...................................................................................................................................... 26
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 3 af 26
Indledning
Hvad er ideen bag Googles pageranking algoritme? Hvordan har Sergey Brin og Lawrence Page båret
sig ad, med at skabe en så revolutionerende måde at sortere alle internettets websider?
Før Google blev lanceret, havde man ingen søgemaskine, der kunne behandle alle internettets mange
websider. Søgemaskinen behandlede på daværende tidspunkt kun en brøkdel af alle de eksisterende
websider, og sorteringen foregik efter emne, som var det et bibliotek. Det var langt fra optimalt. Derfor
tog Sergey Brin og Lawrence Page opgaven om at skabe den optimale søgemaskine op. De skulle altså
skabe en algoritme, som kunne behandle alle websider og samtidig sortere dem. De måtte altså først
finde ud af, hvordan de skulle rangere disse milliarder af websider, finde ud af hvad man skulle
rangere efter. De fandt frem til, at en websides pagerank afhænger af websidens vigtighed.
I første del af opgaven beskrives det, hvordan man matematisk kan bestemme en given sides
pagerank. Opgaven forklarer, hvordan Sergey Brin og Lawrence Page kom frem til den endelige
pagerank algoritme, som Google benytter den dag i dag. Derudover beskrives de komplikationer, de
mødte på vejen til det endelige produkt.
I anden del af opgaven formidles den matematiske undersøgelse til et bredere publikum ved hjælp af
en populærvidenskabelig artikel. Her beskrives ideen bag Googles pagerank algoritme og
grundstenene for den. Ydermere reflekteres der over, hvilke retoriske og stilistiske overvejelser der
ligger til grund for den populærvidenskabelige artikel.
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 4 af 26
Matematikken bag Googles pageranking algoritme
Søgemaskinen Google blev hurtigt enormt populær og er stadig den mest anvendte søgemaskine på
nettet
1
. Det er den, fordi den revolutionerende pagerank algoritme var blandt grundstenene til den.
Formlen for pagerank
Før man kan udlede en matematisk formel for pagerank af en given webside, skal man bestemme,
hvordan vigtigheden af den enkelte webside beskrives. Her anvendte man sine erfaringer fra
naturvidenskab om, at hvis en artikel havde mange henvisninger og
referencer i andre artikler, så var det en god artikel. Derudfra kunne
man sige, at en webside er vigtig, hvis andre websider linker til den.
På figur 1 ses et miniatureinternet, hvor A, B, C og D, indikerer hver
sin webside, og pilene repræsenterer et link fra den ene webside til
den anden. Så vil man altså beskrive vigtigheden, I, af siderne ved:
.
Det ses at en websides pagerank er et tal. På denne måde tages der
ikke højde for at en knap så vigtig side opnår troværdighed og
dermed en højere vigtighedsscore, hvis en vigtig side linker til den.
F.eks. burde websiden D have en højere score, da C linker til den.
2
Nu kan en formel udledes. Vigtigheden af en webside er defineret, samtidig med at der skal tages højde
for en websides troværdighed. Samlet finder man en sides pagerank. Altså er en given side, P
i
,
pagerank givet ved
. Hvis en anden webside,
, har
links og et af de
’te links, linker til P
i
, så
modtager
en
del af
. Så er pageranken givet ved summen af alle
’te dele, hvor hver
, hvor
er alle websider, som linker til P
i
, altså:
Det er altså formlen for en webside, P
i
’s pagerank, indtil videre. Tydeligvis er der et problem med
formelen.
er defineret ud fra
, derved er der en ny funktion indeni
og indeni den er der
1
Internetadresse: http://politiken.dk/navne/foedselsdage/ECE1930669/han-har-skabt-
verdens-mest-besoegte-soegemaskine/
2
Internetadresse: https://www.rose-hulman.edu/~bryan/googleFinalVersionFixed.pdf
Figur 1,
miniatureinternet.
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 5 af 26
endnu en, og sådan bliver det ved. Derved kan man ikke finde tallet
, men det kan matematikken
hjælpe med. Rettere sagt kan potensmetoden hjælpe med det, men først skal man indføre
hyperlinkmatricen og demonstrere en generel metode
3
.
Hyperlinkmatricen
Man indfører den såkaldte hyperlinkmatrice, for som sagt at hjælpe med at løse problemet med
bestemmelsen af pagerank. I matricen er der præcis en række for hver webside og en tilsvarende søjle
for hver webside. Derfor må matricen være kvadratisk. Matricen er defineret som
. Ud fra
formlen for
ved man, at der vil stå
på plads
i H. Hvis ikke
, så står der 0 på plads
. Heraf ses det, at H har nogle specielle egenskaber, at for plads
må det gælde, at
og
summen af alle indgange til den j’te søjle er lig 1, selvfølgelig medmindre websiden den j’te søjle
repræsenterer, ikke har nogle links.
Man indfører så pagerank vektoren
, og indgangene i denne vektor repræsenterer alle
websiders pagerank. Hvis dette sammenfattes med formlen for
, og hvis H har alle internettets
websider, så man derfor godt kan finde produktet mellem I og H, fås følgende ligning for vektor
:
Da produktet mellem I og H giver I tilbage, må I være en egenvektor for H med en tilhørende
egenværdi lig 1. Det var et stort skridt for de to Google-grundlæggere. Det er bare et problem, at vi har
n ligninger med n ubekendte, og n indikerer altså antallet af websider på internettet
4
,
5
. Hverken en
maskine eller et menneske vil kunne løse alle disse ligninger. Kigger vi på miniatureinternettet (figur
1), bliver det muligt, da der vil være færre ligninger. Jeg demonstrerer, hvordan man kan finde
egenvektor I for miniatureinternettet.
3
Blaavand, Jakob Lindblad: Filosofien og matematikken bag Google.
4
Internetadresse: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank
5
Internetadresse (video): : http://mimimi.dk/pwl/
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 6 af 26
Eksempelberegning af egenvektor I
Man skal beregne websiderne; A, B, C og D’s pagerank. Som en begyndelse opstilles hyperlinkmatricen
for miniatureinternettet:
Så kan man finde egenvektoren til matricen H. Tidligere er det blevet vist, at egenværdien er lig 1. Så
kan man finde websidernes pagerank egenvektoren, u, ved at løse følgende homogene ligningssystem,
hvor I er H’s enhedsmatrice:
Ved hjælp af rækkeoperationer bringes matricen på echelonform:
Det ses af den sidste matrix, at der er én fri variabel
; så
. Derefter findes de tre øvrige
variable:
Så:
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 7 af 26
Ovenfor ses pagerank vektoren for miniatureinternettet, hvor;
. Nu kan man altså bestemme websiders pagerank ud fra troværdigheden og vigtigheden af den
enkelte side. Der er bare et problem. Denne metode kan selv en computer ikke anvende med en 25
milliarder gange 25 milliarder hyperlinkmatrice. Derfor gjorde man brug af potensmetoden.
Potensmetoden
I afsnittet før er der vist en fremgangsmåde, hvorved man kan finde en egenvektor til en kvadratisk
matrice. Altså pagerank vektoren, I, for miniatureinternettet. I praksis består hyperlinkmatricen af 25
milliarder søjler og 25 milliarder rækker. Fordelen er, at det er estimeret, at der i gennemsnit er 10
links pr. side. Det resulterer i, at der på plads
i H ofte står 0. Heraf blev potensmetoden skabt for
altså at finde egenvektoren, I, med egenværdien 1 af matricen H. Man starter med at konstruere
følgende:
Her er
en selvvalgt vektor, som man mener, kunne være repræsentant for pagerank vektoren, I. Så
det,
skal opfylde, er, at summen af indgangene skal være lig 1. Den konstruerede følge er
konvergent, og det vil sige, at
vil konvergere mod en bestemt værdi, når bliver større og større
og går mod uendelig. Det viser sig så, at
når . Princippet med potensmetoden er altså,
at følgen
vil konvergere mod pagerank vektoren, I
6
. På den måde kan man bestemme egenvektoren
til en given matrix. Jeg demonstrerer, hvordan følgen
vil konvergere mod pagerank vektoren I.
6
Internetadresse: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 8 af 26
Eksempelberegning af egenvektor I med potensmetoden
Jeg benytter som H en kvadratisk matrix af størrelsen 2 gange 2, som er givet ved:
Hvis man skal finde egenvektoren til denne matrix H med egenværdien 1, ved at løse det på samme
måde som i sidste eksempel, altså som en ligning, fås:
Giver potensmetoden samme svar? Det finder vi ud af. Først vælges en
vektor:
Så beregnes følgen:
…
0,8
0,68
0,61
0,56
0,54
0,52
0,51
0,51
0,51
0,5
0,5
…
0,5
0,2
0,32
0,39
0,44
0,46
0,48
0,49
0,49
0,49
0,5
0,5
…
0,5
Med Googles egen matrice skal de op på cirka .
I Geogebra kan det i planen vises, hvordan følgen konvergerer mod egenvektoren med egenværdien
lig 1:
Her er
og ligeledes er
. På den måde
kan man altså finde en egenvektor til en 25 milliarder
gange 25 milliarder matrix. Men er denne metode nu
komplet sikker, vil følgen
altid konvergere mod I, og er
I altid uafhængig af startsvektoren
? Hvor kommer
brugerens indflydelse ind i billedet, og indeholder I
dermed den information, man søger? Alle disse
spørgsmål kan man svare nej til, og heraf dannes den
endelige Googlematrice.
Googlematricen skabes
Førhen har vi bestemt en websides pagerank, ud fra hvor mange der linker til siden. Derefter tilføjede
vi, at en websides pagerank vil stige, hvis en vigtig side linker til en mindre vigtig side, dermed fik en
sides troværdighed også indflydelse på en websides pagerank. Til sidst vil vi give brugerne af
internettet indflydelse på pageranken af en webside. Det gør man for at gøre pagerank algoritmen så
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 9 af 26
objektiv og demokratisk som muligt. Man ønsker selvfølgelig også at kunne svare ja på spørgsmålene
nævnt i slutningen af sidste afsnit.
Nu vil vi altså skabe Googlematricen, som er defineret som
. Den tidligere information har
ikke været forgæves, tværtimod, vi bygger nemlig videre på hyperlinkmatricen H. Nu vil vi altså bare
konstruere en matrix, G, og løse ligningen:
Her er vektor I den endelige pagerank vektor. For at give brugeren en stemme i bestemmelsen om,
hvilke websider der er vigtige, surfer vi tilfældigt rundt på nettet, som en bruger ville gøre det. Lad os
sige, at brugeren starter på siden
, som har
links. Et af disse links linker til siden
. Brugeren vil
klikke sig ind på et af de
’te links, hvor sandsynligheden for at brugeren rammer
, vil være
. Med
denne tanke kan man beskrive pagerank
som sandsynligheden for, at brugeren tilfældigt
kommer forbi siden
, når der surfes rundt på må og få. F.eks. hvis man skal skrive en større opgave
og søger dybdegående information om et specifikt emne, så ender man med garanti på nogle af de
samme sider flere gange. Dermed giver brugerne af internettet disse sider en højere pagerank.
Problemet er bare, hvis denne tilfældige surfetur ender på en webside uden nogen links. For at komme
videre med tanken før, betragter man siden uden nogen links som en side, der linker til alle nettes
sider, altså n. Hvis vi så med det ovenstående skal modificere H, vil det sige, at den søjle der
repræsenterer websiden uden links, nu har
i hver indgang i stedet for 0. Den modificerede
hyperlinkmatrice kaldes nu S:
H er stadig hyperlinkmatricen. A er en matrix af samme dimension som H, og den har 0 i alle de søjler,
hvor H repræsenterer en webside med links til andre sider, men
i hver indgang i en søjle hvor H
repræsenterer en websider uden links.
Man bliver også nødt til at tage højde for, hvis brugen på den tilfældige surfetur ikke vælger at klikke
videre på et af de
’te links. For at beskrive dette matematisk indføres . Alfa er et tal mellem 0 og 1,
som skildrer sandsynligheden for, om brugeren er vejledt af S og vælger et af de
’te links eller ender
på en webside uden links. Dermed må sandsynligheden for, at brugeren vælger at gå udenom de
’te
links være . Googlematricen kan nu beskrives ud fra det ovenstående:
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 10 af 26
Her er 1 en matrix af samme dimension som S, og har 1 stående i alle indgangene. Heraf ses, at hvis
så . Alfa bestemmer altså, hvor stor indflydelse internettets hyperlinkstruktur skal have i
Googlematricen. Sergey Bin og Lawrence Page valgte at bruge
7
8
.
Nu har vi imiteret en tilfældig brugers adfærd på internettet, og beskrevet det i G, men kan vi løse
? Og findes der i så fald kun én løsning? Det fremgår i næste afsnit.
Bevis for løsningen til
I dette bevis vil jeg bruge matricen
til at illustrere min argumentation i beviset. G er givet
ved:
Hypotese: Ligesom hyperlinkmatricen skulle opfylde nogle krav, skal G det også. Alle indgangene skal
være positive, altså er
på plads
, samt skal den ’te søjle summere til 1. Hvis disse krav er
opfyldt, er 1 en egenværdi for G, og dermed har ligningen én løsning, hvor alle indgangene i
vektor er større end 0. Jeg vil altså bevise eksistensen af en pagerank vektor, hvor alle indgange er
positive. Heraf ses det, at G opfylder disse krav.
Bevis: Da G opfylder kravene, må det for den transponerede matrix
gælde, at rækkerne summerer
til 1, da den transformerede matrix konstrueres ved at danne søjler til rækker og rækker til søjler.
Dermed må vektor
være en egenvektor for
, fordi
, hvor I er
enhedsmatricen for
. Så må 1 være en rod i det karakteristiske polynomium, som er givet ved
, og da
9
er 1 også en egenværdi for G.
Generelt gælder det, at den numeriske værdi af summen af en talrække er mindre eller lig med
summen af den numeriske værdi af talrækken. Hvis så talrækken har blandede fortegn, bliver
7
Blaavand, Jakob Lindblad: Filosofien og matematikken bag Google.
8
Internetadresse: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank
9
Michelsen, Ib: Lineær Algebra, side 25.
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 11 af 26
uligheden skrap, altså vil summen af den numeriske værdi af talrækken altid være større end den
numeriske værdi af summen af talrækken.
For at løse
kan man sige, at vektor
skal være en egenvektor med egenværdien 1 i
egenrummet for G. Nu antages det, at der er forskellige fortegn i
’s indgange. En sandsynlighed kan
ikke være negativ, derfor tages den numeriske værdi af vektoren
’s indgange. Den vilkårlige indgang
i
bliver kaldt
.
Hvis man kigger på ligningen
med den oplyste G, så findes
på følgende vis:
Her ses det, at for at beregne vektor
, skal man gange den ’te række med hver
. Uden at tage den
numeriske værdi kan dette generelt skrives som:
. Da alle indgangene i
har blandede
fortegn, må
’erne også have blandede fortegn, da alle indgange i G er positive. Fra det generelle
princip med talrækken kan man her opstille samme skarpe ulighed:
Sammenfattes det hele, kan man opstille følgende modstrid:
Det udnyttes at
for den j’te søjle. Det er altså en venstre stokastisk matrix
10
. Modstriden
viser, at pagerank vektoren kun har positive indgange, og at der findes én løsning til ligningen .
Da dimensionen af egenrummet for G er lig 1
11
, er der én løsning. Denne løsning er pagerank vektoren.
10
Internetadresse: https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_matrix
11
Blaavand, Jakob Lindblad: Filosofien og matematikken bag Google, side 9.
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 12 af 26
Googlematricen færdiggøres
I beviset før blev det vist, at der findes én løsning til ligningen . Da dimensionen af egenrummet
for G er lig , er der kun én løsning til ligningen, som er vores rigtige pagerank vektor, hvor alle
indgangene summeret giver 1. Nu er det altså muligt for os at løse ligningen . G er givet og der er
én løsning og fremgangsmåde til at finde pagerank vektoren, nemlig potensmetoden. Følgen
vil
konvergere mod den eftersøgte pagerank vektor, og grænsevektoren for
afhænger ikke af
startsvektoren
12
. For at bruge potensmetoden skal vi ændre G. Det gøres med , så:
Potensmetoden anvendes, deraf fås:
Det er altså den endelige modifikation af Googles pageranking algoritme. Her ses det, at alle indgange i
er ens, så dette produkt skal kun beregnes en enkelt gang. Det samme ses gældende for
.
Google konstaterer selv, at det tager et par dage at beregne I. Kort efter den er beregnet, vil den være
forældet, da der hele tiden kommer nye websider til, samtidig med at andre websider bliver slettet.
Det siges derfor, at Google beregner en ny pagerank vektor hver måned
13
.
12
Blaavand, Jakob Lindblad: Filosofien og matematikken bag Google, side 10.
13
Blaavand, Jakob Lindblad: Filosofien og matematikken bag Google.
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 13 af 26
Videnskaben bag Google beviser:
Derfor er søgemaskinen
Google uovervindelig
Skaberne bag Google er de første, der skaber en søgemaskine, der kan
behandle alle internettets websider. Samtidig er Google først til at sortere
siderne efter vigtigheden af den enkelte side i stedet for at fortage en
kategorisering af siderne. Dette skyldes Googles pagerank algoritme.
Hele verden kender til Google. Mange
computere bruger den velkendte søgemaskine
og dens tilhørende søgefelt som startside.
Hvorfor gør man det? Det gør
man, fordi den er smart, ikke
mindst i dens minimalistiske
design, men også i dens
egentlige funktion. Den kan søge
blandt alle websider i det ellers uendelige
univers af websider på en brøkdel af et sekund,
og vigtigst af alt kan den vise de mest relevante
resultater først. Med dens sublime egenskaber
var Google enormt revolutionerende, da det
blev lanceret i 1997. Ingen havde før set noget
lignede. Man kan nu undre sig over, hvad der
ligger bag dette mesterværk, og hvordan det
overhovedet er muligt at sortere siderne, så de
mest relevante resultater kommer først. Dette
muliggjorde Sergey Brin og
Lawrence Page med deres
pagerank algoritme. En algoritme
der rangerer de mest relevante
sider, når man søger i Google.
De allerede eksisterende søgemaskiner
Der fandtes allerede søgemaskiner, inden
Google blev opfundet. De byggede bare på et
andet princip. Samme princip som et bibliotek
gør, da personer kategoriserede nogle
Hvad er en algoritme?
En abstrakt beskrivelse af en
proces, som kan løse et
bestemt problem, uanset
udsenende.
Illustration af
ændringerne i
Googles logo siden
begyndelsen i
1997.
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 14 af 26
websider og var i stand til at placere
den enkelte webside inden for en
bestemt kategori.
På den ene side var denne
kategorisering af websiderne praktisk,
men på den anden side var den yderst
uhensigtsmæssig. Uhensigtsmæssig
fordi det var menneskers subjektive
vurdering, om en webside skulle høre
til en bestemt kategori eller ikke.
Derudover var det kun en brøkdel af de mange
milliarder websider, som blev kategoriseret.
Det var simpelthen ikke optimalt.
Googles pagerank algoritmes begyndelse
Hvis Google skulle bygge på samme princip
som et bibliotek, kan man prøve at forestille sig
et bibliotek, med 25 milliarder bøger. Alle
bøgerne står fuldstændig tilfældigt, uden
orden, uden nogen form for sortering. Nogle af
dem har ikke engang et entydigt emne eller
titel. Det vil tage uanede mængder af tid at
kategorisere hver enkelt bog. Tanken om at
skulle grave én af de 25 milliarder bøger op er
særdeles uoverskuelig, og hvem kan magte en
sådan opgave? Ikke et menneske, i hvert fald.
På den måde startede udviklingen af pagerank
algoritmen. En abstrakt matematisk
beskrivelse af hvordan man kan rangere den
enkelte webside.
Man ønskede at lave denne rangering så
objektiv og demokratisk som muligt. Først
måtte man altså finde ud af, hvad man skulle
rangere den enkelte webside efter. Så gjorde
Brin og Page brug af en generel viden, man
havde indenfor videnskaben. Man vidste, at en
artikel var vigtig, hvis der var mange, der
havde henvist til den. Derudover fik en artikel
mere troværdighed, hvis vigtige personer
henviste til den. Denne tanke overførte de så til
deres sammenhæng. Deraf kunne de
konkludere, at en webside er vigtig, hvis mange
andre sider linker til den. En websides
vigtighed bliver forbedret, hvis en mere vigtig
side linker til den, da den opnår troværdighed
på den måde. Figuren øverst på siden illustrer
dette princip. Den viser en miniatureudgave af
internettet, hvor der kun er fire websider.
Pilene fra den ene side til den anden
repræsenterer de links, den enkelte webside
har. Af de fire websider ser det ud til, at den
private side er mindst vigtig, men opnår
troværdighed med linket fra illvid.dk.
Ydermere, hvordan bestemmes en
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 15 af 26
vigtighedsliste for disse sider, og hvordan
betegnes vigtigheden af den enkelte side? Til at
svare på dette spørgsmål
opstillede Brin og Page en
matematisk formel, som var
begyndelsen på Googles
pageranking algoritme. På den
måde fik de beskrevet
vigtigheden og troværdigheden
af en webside ved et tal mellem
nul og et. Det var et stort og
vigtigt skridt for de to herrer. Så
kunne de ved hjælp af ligninger bestemme
vigtigheden af den enkelte side i et internet,
som eksempelvis er vist på side 2. Problemet
opstod, når de skulle bestemme
vigtighedslisten for alle internettets sider. Det
blev simpelthen for omfattende, der var for
mange ligninger, som selv en computer ikke
var i stand til at løse. Hvad skulle de dog gøre
ved det?
Jagten på løsningen
Brin og Page var kommet til en blindgyde. De
kunne ikke længere se målet forude, men de
måtte færdiggøre hvad de havde igangsat. De
kunne ikke søge hjælp hos nogen, for ingen
andre havde beskæftiget sig med noget
lignende. Hvis eksempelvis Yahoo også
arbejdede på at finde denne pageranking
algoritme, kunne de have hjulpet hinanden,
men det gjorde de ikke. De var ene og alene på
denne opgave.
Hvordan lykkes dem så at finde en løsning på
dette problem? Det er et komplekst spørgsmål,
men et kort svar på det er, at de
anvendte lineær algebra, knoklede
benhårdt i flere måneder og fandt
en metode hvorpå en computer
kunne beregne vigtighedslisten af
alle internettets sider.
Med lineær algebra opstillede de
en matrix, der beskriver hele
internettets hyperlinkstruktur i
ligninger. Metoden gik så ud på at opstille en
følge. Det geniale ved det var, at det viste sig, at
produktet af følgen og matricen konvergerer
mod vigtighedslisten for hele internettet. Var
algoritmen så komplet med denne metode?
Algoritmen finpudses
På dette tidspunkt var Brin og Page ikke langt
fra målet. Indtil videre beregnede de
vigtighedslisten ud fra, hvor mange og hvilke
sider der linker til den enkelte side. På den
måde er det kun skaberne af internettets
websider, som afgør, hvilke sider der er vigtige.
De måtte derfor lave nogle ændringer, så
algoritmen blev så objektiv og demokratisk
som muligt. De manglede blot at give brugerne
af websiderne en stemme om, hvilke sider der
er vigtigst.
Det gjorde de ved at ved at imitere en tilfældig
brugers surfetur på internettet. Med denne
tanke kunne de beskrive den enkelte websides
Matematiske begreber
Lineær algebra: Matematik
hvor man studerer matricer.
En matrix: Et ligningssæt,
uendelig mange ligninger kan
samles i en matrix
En følge: En række af tal, som
går mod uendelig.
At konvergere: At stabilisere
sig ved en bestemt værdi.
[navn fjernet]
Studieretningsprojekt (SRP)
3y
Side 16 af 26
placering på vigtighedslisten som
sandsynligheden for, at brugeren klikker på
den enkelte webside. Det kan lyde tæmmeligt
abstrakt, men det kan simplificeres i et
eksempel. Hvis man skal skrive en artikel om et
specifikt emne og søger dybdegående viden på
nettet om dette emne, så vil man givetvis ende
på nogle af de samme sider op til flere gange.
Dermed må brugerne af internettet give disse
websider en højere placering på
vigtighedslisten. Den kvikke læser tænker så:
Hvad så, når man klikker på en webside uden
nogen links? Det tog Brin og Page også højde
for. Med denne modifikation af algoritmen, og
med den tidligere nævnte metode, var de nu i
stand til at beregne vigtighedslisten af alle
internettets websider. Algoritmen for Googles
pageranking var nu komplet.
Den mest attraktive søgemaskine
Hvis man i Google søger på ”Illustreret” og
”Teknologi”, får man smidt 193.000 resultater i
hovedet på blot 0,42 sekunder. Idet man søger
lige præcis på disse ord, søger man naturligvis
afsnittet om teknologi på illustreret videnskabs
hjemmeside. Denne side er også Googles første
forslag. På den måde kan man opleve Googles
pageranking algoritme i funktion, og stadig
blive forundret over, hvordan det kan lade sig
gøre. Man kan også forstille sig, hvor
revolutionerende Google må have været, da
den blev lanceret. Hvordan den utvivlsomt tog
førstepladsen over alle andre søgemaskiner, og
stadig er det den dag i dag.
På billedet ses Sergey Brin (til venstre) og Lawrence
Page, som sammen skabte Google.
Side 17 af 26
Analyse
Artiklen; ”Videnskaben bag Google beviser: Derfor er søgemaskinen Google uovervindelig”, er skrevet som
en populærvidenskabelig artikel, med henblik på at blive udgivet i magasinet Illustreret Videnskab.
Illustreret Videnskab udgiver, i Danmark, et nyt blad hver måned, hvori de med garanti illustrerer
videnskab. Det gør de ved at give deres læsere et overblik og en indsigt i de epokegørende fremskridt,
der har været, er og kommer indenfor videnskabens verden. Via detaljerede illustrationer og
simplificeringer formår magasinet at formidle disse tunge videnskabelige problemstillinger til en
bredere målgruppe
14
.
Det retoriske pentagram
Inden jeg begyndte at skrive artiklen, gjorde jeg brug af det retoriske pentagram. Det gjorde jeg for at
skabe et overblik over artiklen og samtidig få et godt fundament for artiklen. Jeg udfyldte det retoriske
pentagram, som ses under bilag 1. Modtageren er en bredere målgruppe, som er engageret i videnskab,
derfor opsøger han eller hun illustreret videnskab. Dermed må modtageren i mere eller mindre grad
også være interesseret i emnet, som i artiklen er Googles pageranking algoritme. For at muliggøre at
denne viden bliver formidlet til en bredere målgruppe, bliver artiklen nødt til at være fængende via
illustrationer, definitioner på svære fagtermer og sproglige virkemidler. Dette leder op til budskabet af
artiklen. Budskabet er at informere læseren på en underholdende måde om, hvordan Googles
pageranking algoritme kan sortere websiderne efter vigtigheden af den enkelte side, og dermed har
været med til at skabe Google. Derfor holdes den tidligere metode, hvorpå man sorterede websider, op
mod Googles pageranking algoritme for at fremhæve den revolutionerende tankegang, der ligger bag
Googles pageranking algoritme. Dermed kan modtageren lettere forholde sig til det ellers abstrakte
emne.
Argumentation og retorik
I en populærvidenskabelig artikel er det i særdeleshed vigtigt at have en gennemgående ordentlig
argumentation. Hvis den ikke er til stede, når hovedpointen eller budskabet ikke ud til modtageren. Og
artiklen opfylder ikke sit formål: At formidle information. Stephen Edelston Toulmin var en britisk
filosof og forfatter, som netop beskæftigede sig med grundelementerne indenfor argumentation. Han
opstillede en argumentationsmodel, som beskrev de forskellige elementer, en god argumentation
indeholder. Den består af tre dele: Påstand, belæg og hjemmel.
14
Internetadresse: http://bonnierpublications.com/illustreret-videnskab
[navn fjernet]
3y
Studieretnings projekt (SRP)
Side 18 af 26
Påstanden er et synspunkt eller en vurdering, som afsenderen ønsker anerkendelse af. I den
populærvidenskabelige artikel ses påstanden sædvanligvis meget tidligt i artiklen. Den skal være
fængende og interessant, da det er den viden, der skal formidles i artiklen. Belægget er fundamentet til
påstanden og dermed den viden, der ligger til grund for påstanden. I den populærvidenskabelige artikel
består belægget typisk af brødteksten. Det er belægget, der gør påstanden interessant, i sidste ende. Her
er illustrationer og simplificeringer særlig vigtige. Hjemmelen er så det, der binder påstand og belæg
sammen. Den er ofte implicit og bestående af almen viden. I den populærvidenskabelige artikel er den
meget vigtig. Hvis modtageren ikke kender til hjemmelen, er påstand og belæg ikke sammenhængende,
og argumentet vil derfor miste sin overbevisningskraft.
Denne argumentationsmodel blev videreudviklet, og tre yderligere elementer blev tilføjet, som alle tre
forstærker et argument. Dette er følgende tre elementer: Styrkemarkør, gendrivelse og rygdækning.
Styrkemarkøren indikerer, i hvor stor grad afsenderen står inden for påstanden. Gendrivelse sikrer
påstandens validitet, og rygdækning forstærker hjemmelen.
I modsætning til hvis jeg skulle formidle humanistisk viden, har jeg ikke på samme måde mulighed for
at appellere til læserens følelser. I formidling af naturvidenskab appellerer man ofte til læserens fornuft
i form af logiske forklaringer. På den ene side kan det virke utrolig nemt at argumentere, når det
omhandler noget naturvidenskabeligt. Det siges, fordi man i sidste ende bare kan bruge generelle
lovmæssigheder, eller et bevis, en tidligere person har opstillet, som allerede har opnået anerkendelse
hos folket, som belæg. På den anden side kan det næsten virke umuligt at argumentere, når det
omhandler noget naturvidenskabeligt, specielt når det skal nå ud til en bredere målgruppe. Heraf kan
man spekulere på, om det nu også kan nå ud til en person uden nogen form for naturvidenskabelig
baggrundsviden. Googles pageranking algoritme er temmelig abstrakt at skulle forholde sig til. Hvordan
kan man argumentere, så læseren uden baggrundsviden også fanger budskabet? Er det muligt? Man
kan frygte at denne læser ikke helt fanger meningen og mister interessen. Derfor er der i artiklen lavet
nogle bokse med forklaringer på essentielle, svære matematiske begreber. Skal der mere til? Hvad så
hvis denne læser slet ikke forstår matematikken, men har interessen? Så vil læseren måske bare
simplificere det væsentlige og på den måde opnå en påtvungen eller indbildt forståelse af indholdet.
Ud fra disse spekulationer, har jeg valgt at lægge fokus på søgemaskinen Google som helhed, i stedet for
bare Googles pageranking algoritme. Jeg kom frem til, at det, jeg ville formidle i min artikel, var,
hvordan Googles pageranking algoritme gør Google til den bedste søgemaskine. Påstanden i min artikel
kan så formuleres: Google er en uovervindelig søgemaskine. Allerede med den lille indledende sætning
[navn fjernet]
3y
Studieretnings projekt (SRP)
Side 19 af 26
og rubrikken, er der skabt et argument. Her bruges videnskaben som belæg. Det er karakteristisk for
den populærvidenskabelige artikel, at den altid taler sandt, så hjemmelen vil være: Da videnskaben
beviser det, er Google en uovervindelig søgemaskine. Det er et argument, men i mine øjne, et meget tyndt
et af slagsen. Dette arguments funktion er bare at fremhæve hele artiklens hovedpåstand: Google er en
uovervindelig søgemaskine. Formentlig, så overgiver den nysgerrige læser sig allerede her til
videnskaben, begynder at søge svar på, hvordan videnskaben beviser dette, og opbygger en forventning
til, at artiklen vil give svar på netop hovedpåstanden. På den måde bliver belægget, Googles
pageranking algoritme, hurtig det nye fokus for læseren. Det bliver så beskrevet i artiklen, og deraf kan
følgende hjemmel opstilles: Søgemaskiner med en pageranking algoritme, er uovervindelige. En
styrkemarkør hertil kunne være: Uovervindelig eller utvivlsom. Disse markører indikerer, at afsenderen
står 100 procent indenfor påstanden. Styrkemarkørne kan muligvis forstærke overbevisningskraften i
argumentet. Gendrivelsen fremkommer implicit: Ikke hvis Yahoo havde skabt en lignende algoritme.
Dette kan understrege påstandens validitet. Rygdækningen fremkommer eksplicit: Ingen andre havde
beskæftiget sig med noget lignende. Under bilag 1 ses alle disse elementer indsat i Toulmins udvidede
argumentationsmodel.
For at sikre mig, at modtageren finder min artikel underholdende, og i håb om, at modtageren læser den
til vejs ende, har jeg brugt de fem nyhedskriterier. Nyhedskriterier, hvorfor dog det? For at give artiklen
en form for nyhedsværdi, trods det, at Google ikke ligefrem er en nyhed nu om dage. I et magasin, som
illustreret videnskab, læser den videnskabsengagerede læser vel ikke alle artikler igennem. Der må vel
være nogle artikler, som er mere populære end andre og dermed have en højere relevans for deres
læsere. Magasinet er jo til den bredere målgruppe, så der må jo være artikler indenfor alle de forskellige
aspekter af videnskaben. Mon der er en vigtighedsliste for artiklerne i illustreret videnskab? Og vil det,
der skulle afgøre den enkelte artikels placering på listen ikke være, hvor høj nyhedsværdi artiklen har?
Eller vil det være, hvor revolutionerende den enkelte artikels emne er?
Layout
Layoutet i illustreret videnskab er særlig iøjnefaldende, med mange detaljerede illustrationer, figurer
og modeller. I min artikel spiller layoutet ikke den helt store rolle, da det er kompliceret at skulle
illustrere Googles pageranking algoritme. Det er et abstrakt emne, som er svært at illustrere konkret.
Lad mig gennemgå layoutet fra start til slut. Med billederne på den første side, har jeg forsøgt at skabe
noget, læseren skal kunne relatere til. En simpel visning af ændringerne gennem tiden i Googles
varemærke, logoet. Den rammer den brede målgruppe, da enhver kender til logoet. Læseren er
dermed, lige fra starten af, bevidst om, at denne artikel handler om Google.
[navn fjernet]
3y
Studieretnings projekt (SRP)
Side 20 af 26
Udover billeder har jeg anvendt tekstbokse som forklarer essentielle, svære matematiske begreber. De
er essentielle fordi, hvis man som læser ikke kender til dem, har man svært ved at få essensen af
artiklen med. Nogle af læserne ser dem måske som overflødige, mens andre måske finder tekstboksene
komplicerede. Generelt set er de centrale for formidlingen i den populærvidenskabelige artikel. De er
placeret mellem spalterne, som ellers er ukorrekt at gøre inden for nyhedsartikler, men som
populærvidenskabelig artikel skal den vel skille sig lidt ud.
På den anden side ses en figur, der forestiller et miniatureinternet. Dens formål er at underbygge
læserens forståelse af, at princippet med en websides vigtighed kan blive målt efter, hvor mange der
linker til den. Der er valgt nogle websider, som læseren formentlig kender til, for at læseren kan føle sig
hjemme i et ellers ukendt emne.
På sidste side ses et billede af skaberne af Googles pageranking algoritme, og dermed Google. Billedet er
der for at sætte ansigter på de omtalte personer i artiklen. Det kan sætte forskellige tanker i gang på
den enkelte læser. Læserne kan anerkende dem for deres arbejde, de kan blive misundelige, og vigtigst
af alt kan de bemærke, at det blot er mennesker ligesom en selv. På den måde kan artiklen måske
inspirere læseren til at iværksætte en innovativ ide.
Tekstmæssigt er artiklen bygget op som en artikel. Med en rubrik, manchet, brødtekst i to spalter og
tilhørende mellemrubrikker.
Stilistik
Det meste af artiklen er skrevet i normal stil, men passagerne med den tunge matematik kan, for nogle,
virke som høj stil, da de indeholder mange fagtermer. Det er også der, den enkelte læser formentligt
føler sig mest på udebane. Derfor har jeg været bevidst om hvilken diskurs artiklen er underlagt. Den
bygger på læserens mulighed for at identificere sig med emnet.
Lad mig gennemgå artiklens mest karakteristiske stilistiske virkemidler fra start til slut. Artiklens
overskrift kan ophidse nysgerrigheden hos læseren, idet det konstateres, at Google er uovervindelig.
Samtidig kan den virke provokerende for læseren, som ikke er forbruger af Google og egentlig
foretrækker en anden søgemaskine. I manchetten resumeres artiklens indhold, og sætter fokus på
Googles pageranking algoritme, belægget for, hvorfor Google er en uovervindelig søgemaskine.
Den første side af brødtekst forsøger jeg at forklare, hvorfor artiklen har relevans for læseren.
Derudover beskriver jeg, hvorfor Googles pageranking algoritme er afgørende for Google. Den tidligere
[navn fjernet]
3y
Studieretnings projekt (SRP)
Side 21 af 26
metode, hvorpå man sorterede websider, holdes op mod Googles pageranking algoritme for at
fremhæve den revolutionerende tankegang, der ligger bag Googles pageranking algoritme. Dermed kan
modtageren lettere forholde sig til det ellers abstrakte emne.
På anden side starter jagten på løsningen. Først forsøger jeg at skabe en identifikation hos læseren,
hvorefter videnskaben eller matematikken tager over. Her stiller jeg nogle retoriske spørgsmål for at
give læseren lidt at tænke over. Jeg forsøger at fastholde en form for spænding, idet jeg understreger
denne ”jagt”, som var det en kamp mod videnskaben.
Afslutningsvis trækker jeg det igen op til nutiden, og omtaler igen det, læseren kender til. Jeg sætter den
nye viden om Googles pageranking algoritme i kontekst til Google som helhed. På den måde hænger
afslutningen sammen med begyndelsen. Artiklen kan dermed siges at være tredelt, på følgende vis:
Nutid/identifikationsbart – ”jagten” - nutid/identifikationsbart.
[navn fjernet]
3y
Studieretnings projekt (SRP)
Side 22 af 26
Konklusion
Opgaven er åbenlyst opdelt i to dele: En matematisk del og en dansk del. Helt generelt ligger fagene
langt fra hinanden. Dansk tilhører det humanistiske fakultet og siges at være subjektiv, mens matematik
tilhører det naturvidenskabelige fakultet og er objektiv.
Trods dette mødes fagene i den populærvidenskabelige artikel. Her måtte jeg nøje overveje, med brug
af dansk faglige metoder, hvordan jeg bedst muligt fik formidlet det komplicerede matematik, bag
Googles pageranking algoritme, til en bredere målgruppe. Målgruppen var nemlig læserne af Illustreret
Videnskab. Derfor var jeg nødt til også at gøre artiklen spændende med billeder, bokse med forklaringer
og illustrationer. Samtidig gjorde jeg det til en fængende historie om Googles tilblivelse, med fokus på
Googles pageranking algoritme, samt var jeg bevidst om hele tiden at gøre det identifikationsbart.
Derefter reflekterede jeg over formidlingen i min artikel, hvori mine overvejelser om artiklens
opbygning er beskrevet. Hvorvidt budskabet kan nå ud til en person uden nogen form for
naturvidenskabelig baggrundsviden, eller personen påtvinger en indbildsk forståelse, er svært at svare
på. På umage vis har jeg forsøgt at skabe en formidling af et tungt matematisk stof, i håb om, at det er
forståeligt for alle. Derfor spiller jeg på at pakke matematikken ind i situationer og emner, læseren kan
relatere til.
Den matematiske viden, der ligger til grund for den populærvidenskabelige artikel, er beskrevet i
begyndelsen. Beskrivelsen indeholder skridt for skridt, hvordan Googles pageranking algoritme blev til.
Hvilke komplikationer de mødte på vejen, samt eksempelberegninger af metoder for at tydeliggøre
forståelsen for læseren. I den sidste halvdel lægges fokus på potensmetoden, hvordan det var den
optimale metode til at finde pagerank egenvektoren. Ydermere ses en grundig gennemgang af beviset
om løsningen til , og afslutningsvis ses det, hvordan potensmetoden skabte Googlematricen:
Googles pageranking algoritme har betydning for de fleste mennesker, men de fleste ved det bare ikke.
Derfor vil de fleste mennesker finde det fascinerende at finde ud af, såfremt det hele tiden gøres
identifikationsbart. Deraf skabes forbindelsen mellem dansk og matematik i denne opgave.
[navn fjernet]
3y
Studieretnings projekt (SRP)
Side 23 af 26
Litteraturliste
Blaavand, Jakob Lindblad: Filosofien og matematikken bag Google, Århus universitet, 2010.
(Bog)
Michelsen, Ib: Lineær Algebra, Ikast, 2015. (Bog)
Politikken, Han har skabt verdens mest besøgte søgemaskine, Dabelsteen, Per.
Internetadresse: http://politiken.dk/navne/foedselsdage/ECE1930669/han-har-skabt-
verdens-mest-besoegte-soegemaskine/ Besøgt d. 10/16 (Internet).
Foredrag om Googles PageRank algoritme, Blaavand, Jakob Lindblad, d. 29/9 2015.
Internetadresse: http://mimimi.dk/pwl/ Besøgt d. 10/16 (Video).
American Mathematical Society, How Google Finds Your Needle in the Web’s Haystack, David
Austin.
Internetadresse: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank Besøgt d.
9/12 2015 (Internet).
The Linear Algebra Behind Google, Kurt Bryan og Tanya Leise.
Internetadresse: https://www.rose-hulman.edu/~bryan/googleFinalVersionFixed.pdf Besøgt
d. 10/12 2015 (Internet).
Wikipedia, Stochastic Matrix.
Internetadresse: https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_matrix
Besøgt d. 17/12 2015 (Internet).
Ind i sproget ud i verden, om at skrive en populærvidenskabelig artikel.
Internetadresse: https://suneweile.wordpress.com/skriftlighed-i-dansk/tekstgenrer/om-at-
skrive-en-populaervidenskabelig-artikel/ Besøgt d. 16/12 2015 (Internet).
Illustreret videnskab, Et fantastisk magasin for de videbegærlige læsere.
[navn fjernet]
3y
Studieretnings projekt (SRP)
Side 24 af 26
Internetadresse: http://bonnierpublications.com/illustreret-videnskab Besøgt d. 17/12 2015
(Internet).
Sprog i brug, Anna Maria Lassen, argumentation.
Internetadresse: https://sprogibrug.systime.dk/index.php?id=220 (E-bog) besøgt 19/12 2015.
Sprog i brug, Anna Maria Lassen, retorik.
Internetadresse: https://sprogibrug.systime.dk/index.php?id=222 (E-bog) besøgt 19/12 2015.
[navn fjernet]
3y
Studieretnings projekt (SRP)
Side 25 af 26
Bilag 1
[navn fjernet]
3y
Studieretnings projekt (SRP)
Side 26 af 26
Bilag 2
Alle elementer indsat i Toulmins udvidet argumentationsmodel.