2222
Studieretningsprojekt – 2013
Opgaveformulering
Cpr. Nr.
HTX 3. år
Klasse:
11xca
Opgaveformuleringen udleveres fredag den 13. december 2013 kl. 12.00
HTX 3. år
Senest fredag den 20. december 2013 kl.i studieservice.
Fag:
Matematik A
Vejleder:
Fag:
Dansk A
Vejleder:
Område/tema: Tallet π
Opgaveformulering:
Ved beregning af en cirkels omkreds indgår tallet π, men også andre matematiske sammenhænge
bygger på Bare det at beregne π (med et vist antal cifre) er nærmest blevet en disciplin i sig
selv.
Gør rede for forskellige måder hvormed π er blevet beregnet gennem tiden. Du kan f.eks.
gennemgå Archimedes beregning, Viétes produkt, Wallis produkt m.fl.
Udled den uendelige række for arctan(x) vha. Taylorpolynomier og gør rede for, hvordan den kan
anvendes til beregning af
Du skal udarbejde en artikel om tallet I artiklen skal du opridse tallets historie og give
eksempler på anvendelsesmulighederne. Diskuter også nytten af de forskellige typer af beregning
HTX 3. år
Artiklens målgruppe er den typiske læser af et populærvidenskabeligt tidsskrift som Illustreret
Videnskab. Besvarelsen skal indeholde retoriske og argumentationsteoretiske overvejelser, som
begrunder den valgte formidlingsform i artiklen i forhold til målgruppen. Du bestemmer selv, om
disse overvejelser skal indlede eller afslutte besvarelsen.
Din besvarelse bør være på 10-15 normalsider.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
1
Jeg bekræfter herved med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig. Jeg har
ikke anvendt tidligere bedømt arbejde uden henvisning hertil, og opgavebesvarelsen er
udfærdiget uden anvendelse af uretmæssigt hjælp og uden brug af hjælpemidler, der ikke har
været tilladt under prøven.
Underskrift:_______________________________________________
HTX-Christiansbjerg, 3.A
2
Tallet pi
SRP opgave
Vejledere:
HTX-Christiansbjerg, 3.A
3
Abstract
This project explains the different calculations of π through history. Egyptian and Babylonian ways of
finding π is briefly discussed and compared. Archimedes, François Viète and John Wallis’ methods are
explained in details and with proofs of some of the theorems they worked with. How we calculate π today
is mentioned and how the computers took over. Arctan(x) is explained in detail with proof. The Taylor
series is briefly shown, and how they are used to find π with arctan(1). The mathematical parts of π are
then communicated through a popular scientific article to a broader audience.
The irrational number π has fascinated humans for about 4000 years. Without our detailed knowledge of π
we would never have come this far in modern science, technology and mathematics.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
4
Indholdsfortegnelse
Abstract ............................................................................................................................................................. 3
Indledning .......................................................................................................................................................... 5
Tallet π ............................................................................................................................................................... 5
Historisk oversigt over π’s værdier .................................................................................................................... 5
Den egyptiske værdi for π ............................................................................................................................. 5
Den babylonske værdi for π .......................................................................................................................... 6
Den græske matematik ..................................................................................................................................... 7
Metoder til bestemmelse af π ........................................................................................................................... 7
Archimedes .................................................................................................................................................... 8
François Viète .............................................................................................................................................. 12
John Wallis ................................................................................................................................................... 14
Beregning af π i dag ..................................................................................................................................... 16
De uendelige talrækker ................................................................................................................................... 16
Arcustangens ............................................................................................................................................... 17
Arctan vha. Taylorpolynomier ..................................................................................................................... 18
Artikel .............................................................................................................................................................. 19
Valg af kommunikationsformer ................................................................................................................... 19
Konklusion ....................................................................................................................................................... 22
Kildeliste .......................................................................................................................................................... 23
HTX-Christiansbjerg, 3.A
5
Indledning
Matematik har fascineret os, siden man blev opmærksom på de runde former, som naturen skaber f.eks.
månen, solen og øjet. De allerførste eksempler på matematisk brug er op imod 4000 år gamle og måske
ældre, og meget af det vi ved i dag, er rent gætværk. Matematik har efterhånden udviklet sig fra at være
noget, meget få mennesker brugte til noget, der fascinerer rigtig mange i dag.
Jeg har i denne opgave forsøgt at redegøre for, hvordan man har bestemt pi gennem historien. Jeg har
taget udgangspunkt i, hvordan Archimedes, François Viète og John Wallis fandt frem til pi. Derefter har jeg
udledt den uendelige række for arctan(x) vha. Taylorpolynomier og gjort rede for, hvordan det kan bruges
til beregning af pi. Efterfølgende har jeg skrevet en artikel om tallet pi.
Tallet π
Tallet π kender vi i dag med
cifre (3,141592…) osv. Vi kan definere pi som forholdet mellem omkredsen
og diameteren i en vilkårlig cirkel
1
. Dette gælder uanset cirklens størrelse, da omkredsen og diameteren er
proportionale størrelser:
2
Symbolet, som vi bruger for pi (π), stammer fra det græske alfabet og blev første gang brugt som symbol
for pi i 1706 af englænderen William Jones. Det tog dog lidt tid, før det officielt blev symbolet for pi. Pi er
også et irrationelt tal, som er et tal, der i form af decimalbrøker er uendeligt og u periodisk.
Gennem historien er der meget få tal, som har fascineret menneskeheden ligeså meget, som pi har. Lige,
siden man opdagede al den matematik, der er i cirkler, har det været relevant at beskæftige sig med pi. Vi
kan kun gætte os til, hvordan de har regnet π dengang, da de hverken havde lineal eller lommeregner, som
vi har i dag.
Historisk oversigt over π’s værdier
Den egyptiske værdi for π
Den egyptiske matematik har fascineret os, siden vi har kunnet oversætte de egyptiske hieroglyffer til
noget, vi kunne forstå
3
. I 1856 fandt den skotske historiker Henry Rhind i Theben ved Nilen en papyrusrulle.
Papyrusrullen lå i en sammenstyrtet bygning. Rullen var 556 cm lang og 33 cm bred og indeholdt 84
matematiske problemer og deres løsninger
4
. Papyrussen er skrevet omkring f.Kr af en egyptisk
matematiker, som hed Ahmes. Ahmes er derfor den ældste matematiker, som vi kender ved navn, da rullen
dateres tilbage til Ne-mat’et-Re’s regeringsperiode, som man mener, var omkring f.Kr
5
. I
problem 41 på papyrussen angives en metode til at beregne en cirkels areal ved hjælp af diameteren. Hvis
vi omformulerer det til moderne sprog, påstår Ahmes, at arealet af en cirkel A med diameteren d er givet
ved:
1
Torben Svendsen, Bogen om π side 7.
2
Torben Svendsen, Bogen om π side 7.
3
http://www.matematiksider.dk/pi.html#raekker den 16.12.13
4
Torben Svendsen, Bogen om π side 8.
5
Torben Svendsen, Bogen om π side 10.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
6
Hvis vi sammenligner den egyptiske formel med den moderne formel får vi den egyptiske
til at være:
Da det er skrevet for næsten 4000 tusind år siden, er det fascinerende, hvordan de er kommet så tæt på
det rigtige resultat.
I problem 46 på papyrussen forklarer Ahmes, hvordan han kommer frem til dette
resultat. Ahmes omskriver en cirkel med et kvadrat. Cirklen har diameteren 9. Ahmes
opdeler herefter kvadratet i 9 lige store kvadrater, hvorefter han opdeler alle
hjørnekvadraterne i 2 lige store trekanter(se figur 1)
6
. Ahmes laver derefter to
tilnærmelser, som han ved en fejl antager, ophæver hinanden. Den første tilnærmelse
er, at han sætter cirklens areal lig med arealet af den irregulære ottekant, der dannes
inde i cirklen. Vi kan se på figur 1 at arealet af ottekanten er 63. Den anden tilnærmelse
er, at han sætter arealet
.
Med disse to tilnærmelser bliver Ahmes resultat upræcist hvis vi sammenligner med
tallet
Ahmes metode giver derfor følgende ligning:
Den babylonske værdi for π
Babylon var hovedstaden i oldtidens Babylonien. Babylonien svarer nogenlunde til, hvor Irak ligger i dag.
Matematikken, som vi har herfra, betegnes som babylonisk matematik. Vores viden kommer hovedsageligt
fra ca. 400 lertavler, der er indsamlet. De fleste af lertavlerne er fra perioden f.Kr. Babylonierne
var egypterne overlegne, når vi taler om talbehandling. Det var de, fordi de dengang havde et
positionssystem, der ligner vores titalssystem. Babylonierne brugte tallet 60 som grundtal, og det var også
dem, der inddelte 1 time i 60 minutter, 1 minut i 60 sekunder, og som satte cirkelperiferien til 360 grader
7
.
Omkring 300 km fra Babylon blev der i 1936 udgravet en lertavle fra perioden f.Kr. Lertavlen
beskriver forskellige geometriske konstruktioner. Omkredsen af en cirkel sammenlignes med omkredsen af
den indskrevne sekskant, som er:
6
Torben Svendsen, Bogen om π side 9.
7
Torben Svendsen, Bogen om π side 10.
Figur 1
HTX-Christiansbjerg, 3.A
7
Da vi ved, at omkredsen af en cirkel er og længden af en indskreven sekskant er , får vi følgende
ligning for beregning af den babylonske værdi
for :
Heraf får vi:
Hvis vi så sammenligner den egyptiske
med med 10 decimaler ser vi:
Gør vi det samme med den babylonske værdi
får vi:
Hermed kan vi se, at den babylonske værdi
er tættere på end den egyptiske
.
Den græske matematik
Omkring 600 f.Kr. begyndte den græske matematik at udvikle sig fra at være en samling mere eller mindre
velbegrundede ting til et mere præcist opbygget tankesystem med definitioner, sætninger og beviser. Man
mener, at den græske matematik sandsynligvis blev grundlagt af Thales fra Milet og Pythagoras
8
. Thales og
Pythagoras rejste rundt i verdenen og besøgte blandt andet Ægypten og Babylonien, hvor de lærte at forstå
matematikken. Man har ikke nogle af Thales’, eller Pythagoras’ værker bevaret, og det eneste, man kender,
er andres beretninger, som ikke alle er lige pålidelige. En pålidelig kilde til den tidlige græske matematik er
Euklid, som omkring 300 f.Kr. samlede alle sine forgængeres resultater i en stor samling på 13 bøger kaldet
’’Elementerne’’. Elementerne var så god en samling, at den helt op i 1900-tallet stadig blev brugt som
lærebøger nogle steder
9
.
Metoder til bestemmelse af π
π er blevet regnet på, lige siden man opdagede dens eksistens. Kun få mennesker er kommet tæt på π i
tidens løb, og den første, som er kommet rigtig tæt på, er Archimedes. Han levede fra 287-212 f.Kr. og
regnes i dag som en af oldtidens store forskere inden for naturvidenskab og matematik. Der blev altid
udviklet og viderearbejdet på matematikken, også efter Euklid. Archimedes arbejde ville ikke være der, hvis
det ikke havde været for Euklid’s forskning. Som nævnt har mange personer gennem historien forsøgt at
beregne . Mange af de forsøg, der er kommet tæt på , er upræcise, og formlerne er svære at bruge og
8
Torben Svendsen, Bogen om π side 11.
9
Torben Svendsen, Bogen om π side 12.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
8
forstå. Der findes dog også mange, som er overaskende præcise og simple at bruge. Kineseren Tsu Chung-
Chi, som levede i 400-tallet, fandt brøken
, som har hele 7 rigtige cifre af π
10
og kan ikke blive simplere at
bruge.
Den første, der kom med et eksakt udtryk til beregning af , var François Viète, der levede fra
Han kom med følgende sætning:
Han var den første, der kom med en uendelig analytisk formel til at beregne med. Viètes formel blev ikke
så populær, da processen er lang, og det varer lang tid, før kommer med bare få decimaler.
Som sagt findes der utroligt mange forskellige måder at beregne π på. Jeg har ved hjælp af en uendelig
talrække kaldet Nilakantha serien beregnet nogle cifre af Talrækken er følgende:
Denne måde at regne π på er utrolig simpel og let at forstå.
Jeg har omskrevet den i maple så jeg ikke behøver at sidde og skrive 1000 led ind i hånden:
Hvor n er det antal led, jeg vil have på.
Jeg har kørt den med 999 led som vist her:
(3,3)
Ved at køre den med 999 led har jeg kun opnået at få 10 rigtige cifre af π(dem i parentes).
Archimedes
10
http://gbtimes.com/life/life-pi-mathematician-tsu-chung-chi den 16.12.13
HTX-Christiansbjerg, 3.A
9
Archimedes har haft stor indflydelse på den matematik, som vi kender i dag. Han udgav værket ’’Cirklens
Udmåling’’, hvor han blandt andet indskriver og omskriver regulære n-kanter i en cirkel
11
(se figur 2). Ved
at gøre det beregnede, han at der må være en øvre og nedre grænse
for . Omkredsen på cirklen må være større end den indskrevne n-kant
og mindre end den omskrevne n-kant. Hvis der tegnes en cirkel med
radius 1 er omkredsen af cirklen givet ved .
Her får vi så at:
Jo større n er, jo tættere kommer man på , som jeg vil vise her:
12
Sætning 1: Lad
betegne sidelængden i den indskrevne n-kant i en
cirkel med radius 1. Da gælder:
Jeg tager herefter udgangspunkt i figur 3 til venstre.
Her ser vi, at vinkel A er ret, da den spænder over
en halvcirkel AEB. Vinklen D er også ret. Vinklen B er
derimod fælles for ΔADB og ΔBAE. Da de to
trekanter har disse vinkler tilfælles, må det gælde
at: . Det vil sige de to trekanter er
derfor ensvinklede. Så er de ensliggende sider
proportionale:
Jeg mangler herefter at beregne siden BD, og på tegningen kan vi se, at BD=1-OD. Jeg anvender herefter så
Pythagoras’ sætning på ΔDOA:
11
Torben Svendsen, Bogen om π side 16.
12
Torben Svendsen, Bogen om π side 16.
Figur 2
Figur 3
HTX-Christiansbjerg, 3.A
10
Vi har nu:
Jeg tager nu kvadratroden af dette og beviser sætningen:
Vi kan se at
og ved hjælp af ovenstående sætning kan vi f.eks. beregne:
Heraf fås at:
Og at:
Det giver os derfor følgende ligning for π:
Således kan vi blive ved med at beregne
for n=12, 24, 48…
Og igen, jo større n er, jo mere præcis bliver
Inden jeg ser på de omskrevne n-kanter, skal jeg bruge følgende sætning,
som stammer fra ’’Elementerne’’ af Euklid:
13
Sætning 2: En vinkelhalveringslinje i en trekant deler den modstående
side i stykker, hvis indbyrdes forhold er lig med forholdet mellem de
sider, der danner vinklen.
Hvis vi ser på figur 4 hvor vinkelhalveringslinjen fra A skærer siden BC i D
skal vi vise at:
13
Torben Svendsen, Bogen om π side 18.
Figur 4 Vinkelhalveringslinjen og CE tegnes
parallelt med AD
HTX-Christiansbjerg, 3.A
11
Tegner vi nu en linje fra C parallel med AD op til hvor BA’s forlængelse vil ramme som er punktet E. På
figuren har vi nu 4 vinkler, der er lige store. Da linjen AD halverer vinkel A, kan vi se, at .
Linjen AC skærer de parallelle linjer AD og CE. De ensliggende vinkler CAD og ACE er derfor lige store. Det
ses på figuren, at og er ens, fordi AD og CE er parallelle. Vi ser nu, at ΔACE er ligebenet, og
dermed er AE=AC. ΔBDA og ΔBCE er ensvinklede, og det giver os:
Jeg kan nu vise følgende sætning for omskrevne n-kanter:
Sætning 3: Lad
betegne sidelængden i den omskrevne regulære n-kant i en cirkel med radius 1. Da
gælder:
På figur 5 er linjestykket AB en side i den
omskrevne n-kant, og linjestykket DE er siden
i den omskrevne 2n-kant. Punktet C ligger
midt på linjestykket DE. Når vi kigger på figur
5 giver sætning 2:
.
Da OC=1 kan OA beregnes ved hjælp af
Pythagoras’ sætning anvendt på OCA:
De andre linjestykker kan udtrykkes ved hjælp af
og
.
Figur 5
HTX-Christiansbjerg, 3.A
12
Indsætter vi dem nu i ligningen
får vi:
Herefter forkorter jeg bare ned:
Kan beregnes på samme måde som
. Da Archimedes regnede på dette, brugte han en 96-kant, og det
gav ham følgende vurdering af π:
François Viète
François Viète var en fransk matematiker, som levede fra 1540 til 1630. Han var som sagt den første til at
opstille et regneudtryk for Viète brugte en del af Archimedes arbejde og ideer til sin egen forskning. Ud
fra cirklens indskrevne og omskrevne polygoner kom han frem til, at π måtte ligge mellem 3,35 og
3,37. Ud fra dette var man i stand til at udtrykke π i en formel med et uendeligt produkt. Som
nævnt opstillede han følgende formel
14
:
Viète brugte også n-kanter til at bestemme π, men i stedet for at finde omkredsen beregnede han n-
kanternes areal. Viète indskrev et kvadrat i en cirkel med radius 1. Han halverede herefter de 4 vinkler i
kvadratet, så det blev til en 8-kant. Det gjorde han igen og fik så en 16-kant og så videre.
14
Torben Svendsen, Bogen om π side 22.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
13
Figur 6 viser hvordan 2n-kanten fremkommer når
man opdeler n-kanten. AB er en side i den indskrevne
n-kant og O er centrum for cirklen. Linjen OC er en
vinkelhalveringslinje for . AC og BC er sider i en
indskreven 2n-kant. I ΔOAB er grundlinjen OA=1 og
højden
. Arealet A(n) af n-kanten er n
gange arealet af ΔOAB. Da arealet af en trekant er
0,5*højden*grundlinjen altså er arealet:
Af appendiks 1, sætning 16
15
står der:
Herefter kan vi omskrive ovenstående formel:
På samme måde regner vi formlen for A(2n):
Herefter kan vi udregne forholdet mellem n-kantens areal og arealet af 2n-kanten:
Ud af det får vi:
Af appendiks 1 sætning 15 får vi følgende formel:
Den ligning kan vi omformulere til:
Hvis n=4 er
=45 grader, giver det os:
15
Med appendiks menes appendiks i Torben Svendsen, Bogen om π side 55-59.
Figur 6
HTX-Christiansbjerg, 3.A
14
Hvis vi så kombinerer (4) og (5) får vi:
Og så videre. Vi har nu hvis vi ser tilbage på (3):
Og regner vi den også med A(32) får vi:
Her kan vi så fortsætte ud i det uendelige, så længe vi bliver ved med at fordoble n dvs. A(64), A(128),
A(256)… Jo større n er, jo tættere vil A(n) komme på Jo større n bliver, jo flere kvadratrødder kommer
der i nævneren, hvorimod tælleren og venstresiden forbliver uændret. Derfor kommer den til at hedde:
John Wallis
John Wallis er født i England (), og allerede i en alder af 15 år begynder han at interessere sig for
matematik. Han var den første til at bruge en uendelig række uden brug af kvadratrødder og irrationelle tal.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
15
Han kom op med
16
:
For at bevise, hvordan han kom op med dette, skal man først bestemme værdien af integralerne:
Først beregner jeg
med partiel integration:
Ved så at samle integralerne på venstre side af lighedstegnet får jeg:
For får man ved partiel integration:
Hvis man så indsætter 2n i stedet for n gentagne gange i formlen ovenover får man:
16
Følgende afsnit er udelukkende brugt fra Kurt Bøge, Elementer af tallet pi’s historie.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
16
Hvis han så erstatter n med 2n+1:
Ved så at dividere de lige potenser med de ulige potenser får man:
Brøken
Skal så flyttes så til venstre for lighedstegnet og integralerne til højre:
Beregning af π i dag
I dag er det blevet meget simplere at komme frem til I 1944 blev en supercomputer fremstillet, kaldet
ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Calculator). Den blev udviklet på Harvard University og blev
finansieret af det amerikanske militær, der skulle bruge ENIAC til fremstilling af den første atombombe.
ENIAC krævede så meget strøm, at der skulle et mindre elværk til at holde den kørende. En af dem, der var
med til at udvikle ENIAC, var John von Neumann. I 1949 brugte han og hans medarbejdere ENIAC til et
noget fredeligere formål end atombombefremstilling. De programmerede nemlig ENIAC til at beregne
Efter 70 timer havde ENIAC beregnet de første 2037 decimaler af Derefter startede kampen om at
udregne flest mulige decimaler af I 1958 beregnede franskmanden F. Genuys 10.000 cifre af π på kun 100
minutter. Rekorderne blev hurtigere og hurtigere slået og computerne mere og mere avanceret, og i dag
har vi over
cifre af π
17
.
De uendelige talrækker
En uendelig række er en sum med uendelig mange led. Tager vi Wallis’ produkt som eksempel, kan vi se, at
både tælleren og nævneren vil blive ved med at stige uendeligt.
17
i Torben Svendsen, Bogen om π side 42
HTX-Christiansbjerg, 3.A
17
Arcustangens
Arcustangens, også kendt som arctan, er den omvendte funktion af tangens i intervallet
og kan
derfor også kaldes tan
-1
. Grunden til at man bruger arctan, når vi taler om π, er at arctan kan beskrive π
med denne række
18
:
Selve funktionen tangens er ikke injektiv, derfor begrænser vi definitionsmængden til intervallet:
og gør den injektiv. Da arctan derfor er den omvendte funktion til tan må der gælde at: Dm(arctan) =
Vm(tan) = og Vm(arctan) = Dm(tan) =
Jeg differentierer nu arctan(x), da jeg får brug for det senere:
arctan’(x)=
Arctan er differentiabel, da det er den omvendte funktion til en differentiabel funktion. Hvis vi sætter
y=tanx, så er x=arctan(y). Da omvendte funktioner har reciprokke afledede, gælder:
arctan’(y)
Jeg vil nu bevise, at arctan kan skrives som en uendelig række:
Jeg har sætningen:
Ud fra den laver jeg en funktion:
Her ser jeg kun på intervallet da summen her ikke giver mening, når t≥1 eller når t≤-1.
Jeg ganger med
på begge sider og får:
Jeg lægger herefter disse to udtryk sammen:
Jeg isolerer så f(t):
Jeg viste ovenfor, at arctan’(t)
stamfunktionen er derfor:
18
i Torben Svendsen, Bogen om π side26
HTX-Christiansbjerg, 3.A
18
c er den konstant, der skal lægges til, når man integrerer.
Med den række kan pi så bestemmes, da jeg ved at
så må
dvs.
Arctan vha. Taylorpolynomier
Taylorrækker er særlige da de kan tilnærme funktioner, der kan være svære at regne på. Til dette har vi
Taylors formel som er:
19
For at vise, hvordan sætningen:
er kommet til, vil jeg bruge Taylors formel.
Jeg bruger arctan(0) med udviklingspunkt i 0.
Det kan reduceres ned til:
Hvis vi så indsætter arctan(1) i stedet for arctan(x) får vi:
Og da vi ved fra før, at
.
Jeg har nu derfor lavet en uendelig række med arctan(1) vha. taylorpolynomier til at bestemme
19
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analyse,_vektor-
_og_matrixregning_og_funktionsteori/Taylors_formel den 19.12.13
HTX-Christiansbjerg, 3.A
19
Artikel
Valg af kommunikationsformer
Denne artikel er en populærvidenskabelig artikel, som man normalt ser i f.eks. Illustreret Videnskab.
Målgruppen af en sådan artikel er folk, der har en nogenlunde forstand på det naturfaglige og matematiske
og der forventes af dem, at de har en basal viden til det naturfaglige. Det forventes ikke, at man er ekspert
på alle områderne, men at man har evnen til at forstå det.
Jeg vil i denne artikel komme meget ind på appelformen logos, da jeg har en masse matematik med i min
artikel. Jeg forsøger i artiklen at få læseren interesseret omkring emnet ved at være logisk. Ved at gøre det
indser læseren med sin fornuft, at det ikke er så svært og måske er spændende. Læseren sætter sig, måske
derfor mere, ind i stoffet, da artiklen er ment som en hurtig måde at få basal spændende viden om
Jeg har valgt at fokusere en del på logos, da jeg er nødt til at appellere til læserens fornuft, da meget af det
matematik, der er med i min artikel, er meget logik, hvis man bare er lidt matematisk. Bruger også
appelformen Etos, da jeg i min påstand også prøver at virke troværdig. Prøver at vise, at jeg har styr på det,
jeg taler om. Jeg prøver med en snært af humor at få læseren til at stole på, at jeg er troværdig, og at jeg
ved, hvad jeg snakker om.
Artiklen er også bygget op omkring Ciceros kommunikationsmodel.
I min artikel har jeg forsøgt at skabe interesse for læseren.
Det er ikke nødvendigt, at modtageren er ekspert
omkring tallet π, men det forventes, at læseren har
en kendskab til tallet og kendskab til almen matematik. Da
læseren af et blad, som f.eks. Illustreret Videnskab er
naturfaglig, er det den målgruppe, jeg har valgt at fange.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
20
Det spændende pi
Der findes en del tal, der har interesseret os mennesker op gennem historien. Dog har intet tal
interesseret os så meget som tallet pi. Hvorfor er tallet pi så specielt, og hvorfor fascinerer det
os?
Pi har optaget os, lige siden egypterne begyndte
at regne på cirkler. I en kort definition er pi:
som er omkredsen på en cirkel, også kendt
som cirkelperiferien divideret med cirklens
diameter. Dette opdagede man allerede for
næsten 4000 år siden! Men da det er svært at få
et præcist tal ved
at måle cirklens
omkreds, begyndte
jagten på andre
alternative måder
at beregne pi på.
Den første, vi
kender af navn,
som fandt en måde
at regne pi på, var
Ahmes fra det
gamle Egypten.
Ahmes skrev en
556 cm lang og 33
cm bred papyrusrulle, der blev fundet i 1858 af
den skotske historiker Henry Rhind. Den
indeholdt, 84 matematiske problemer med deres
løsninger. Ahmes påstår i problem 41 på
papyrusrullet, at arealet af en cirkel kan beregnes
således:
. Ahmes brugte figuren
til højre, som har en
diameter på 9. Vi kender alle
sammen formlen for at regne
en cirkels areal:
,
og hvis vi sammenligner de
to metoder, kan vi beregne
den π, Ahmes brugte:
som er
det samme som:
. Ahmes var
derfor ikke helt ved siden af med sine
beregninger. Man skal igen tænke på, at Ahmes
levede for næsten 4000 år siden, og det er derfor
utroligt, at han kom så tæt på.
De næste, der kom med en formel for π, var
babylonierne. De levede i det gamle Babylon,
som lå ca. der, hvor det nuværende Irak ligger.
Babylonierne var egypterne overlegne, når vi
taler matematik og naturvidenskab. Det skyldes,
at babylonierne havde et talsystem, der ligner
vores titalssystem rigtig meget. De brugte tallet
60 som grundtal, og det var også dem, der
inddelte 1 time i 60 minutter og 1 minut i 60
sekunder. Den viden, vi har i dag, om deres
matematiske kundskaber, stammer fra lertavler
fra perioden f.Kr. I 1936 udgravede
man en lertavle, som var noget specielt. Denne
lertavle beskrev forskellige geometriske
konstruktioner, blandt andet hvordan
babylonierne havde bestemt
De indskrev en sekskant i en cirkel og
sammenlignede sekskantens omkreds med
cirklens. Ifølge lertavlen er det lig med:
.
Eftersom vi ved at formlen for at beregne
omkredsen på en cirkel er: , og at en
indskreven sekskants omkreds er: får vi
følgende ligning for beregning af babyloniernes
værdi for
:
. Ser vi på
de to tal, kan vi se, at babylonierne var tættere
på den rigtige værdi for π end egypterne.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
21
Efterfølgende har der været mange forsøg på at
komme tættere på. Den næste store opdagelse
omkring π bliver gjort af
Archimedes. Han
bestemte en øvre og en
nedre grænse for π ved at
omskrive og indskrive en
96-kant i en cirkel.
Dermed kom han frem til,
at omkredsen af cirklen må være større end
omkredsen af den indre 96-kant og mindre end
den omskrevne 96-kant. Beviset lader jeg ligge,
da det er langt og kompliceret, men han
bestemte π til at være:
. Den næste,
der kommer endnu tættere på π, er
franskmanden François Viète. Han brugte
Arcimedes’ metode med at indskrive og omskrive
polygoner. Han havde dog sin egen måde at
tilnærme sig π på. I stedet for at kigge på
omkredsen af polygonerne kiggede han på
arealet af dem. Ud fra det opdagede han, at π var
uendelig. Han kom op med følgende formel for
beregning af π med et uendeligt produkt:
Efter Archimedes og Viète er der kommet mange
forbedringer til deres formler, og endnu bedre
formler er også dukket op. Efterfølgende har man
kun beskæftiget sig med de uendelige rækker,
der er dukket op til beregning af I dag har
computerne taget over og beregner konstant
flere og flere decimaler af Første gang
computerne tog over var i 1949 af computeren
kaldet ENIAC (Electronic Numerical Integrator
And Calculator). ENIAC blev bygget i 1944 på
Harvard University og finansieret af det
amerikanske militær. ENIAC skulle bruges til
fremstilling af den første atombombe. I 1949 blev
den brugt til et noget fredeligere formål, da John
von Neumann og hans kollegaer programmerede
ENIAC til at beregne På kun 70 timer havde
ENIAC beregnet de første 2037 decimaler af π!
Efterfølgende er det blevet en konkurrence om,
hvem der kan udregne flest decimaler. I dag har
vi ca.
decimaler af π, og der kommer kun
flere og flere.
Som sagt findes der mange måder, hvorpå π kan
beregnes. Nogle bedre end andre. Hvis vi tager
Gregory-Leibniz serien som er:
og prøver at finde frem til π, skal vi
helt op på næsten en halv million led bare for at
få 10 decimaler af π rigtigt! Man har forbedret
meget igennem tiden, og Gregory-Leibniz’s
formel er også blevet forbedret af Nilakantha-
serien, som er:
.
Ved hjælp af matematikprogrammet Maple har
jeg kørt denne funktion 999 gange for at
sammenligne den med Gregory-Leibniz serien.
Ved at køre den 999 gange får jeg også 10 rigtige
cifre af Nilakantha-serien må derfor være
noget mere effektiv end Gregory-Leibniz serien.
Nu sidder du sikkert og tænker, hvad vi egentligt
bruger π til?
Hver eneste gang en maskine skal regne noget
ud, der har det mindste med cirkler at gøre,
bruger den Astronomer som Copernicus og
Galileo brugte π til beregning af afstande, f.eks.
afstanden fra jorden til månen. Og i dag bliver π
brugt næsten overalt. Selv pizzeriaet nede på
hjørnet har engang brugt π til at beregne, hvor
stor pizzaen skulle være i forhold til prisen.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
22
Konklusion
Der er vidst ingen tvivl om, at tallet π er det tal, der har optaget menneskeheden mest gennem tiden. I
mindst 4000 år er der blevet regnet på π, og i dag er det nærmest blevet en sport at beregne flere og flere
decimaler af Der er noget over π som vi ikke kan gennemskue, og det fascinerer os. π har vakt så stor
interesse, at der i dag er folk, der har viet hele deres liv til at være dem der beregner π med flest decimaler.
Der findes mange forskellige formler til beregning af Archimedes lagde nok fundamentet til beregning af
Han brugte en cirkels omkredsen af en cirkels omskrevne og indskrevne 96-kant’s til at bestemme I
stedet brugte François Viète n-kanters areal til at bestemme Efterfølgende er der kommet mange flere
beregningsmetoder til. Grunden til den store fascination er nok, at der er tale om et uendeligt tal. Ting, der
er uendelige, har vi svært ved at forholde os til. Det ligger i menneskets natur at det vi ikke forstår,
undersøger vi, indtil vi har forstået det. Jeg kan konkludere, at π har været et utroligt nyttigt tal igennem
historien. Hvis der ingen interesse havde været for π, havde vi ikke haft den forståelse af cirkler og
matematik, som vi har i dag, og vi ville derfor ikke være så langt fremme med teknologien, som vi er.
HTX-Christiansbjerg, 3.A
22
Kildeliste
Svendsen, Torben. Bogen om 1.udgave, Forlaget Systime a/s, 1992
Pedersen, Lars. Matematik 112. 3.udgave, Nyt Teknisk Forlag,
Bøge, Kurt. Elementer af tallets pi’s historie, 1.udgave 1.oplag, Abacus 1991.
Hauer, Annette. Munk, Birgitte. Tal & skriv! 1.udgave, 4.oplag, Systime A/S
http://www.wikihow.com/Calculate-Pi den 16.12.13
http://en.wikipedia.org/wiki/Pi den 16.12.13
http://www.matematiksider.dk/pi.html#tidligere den 16.12.13
http://gbtimes.com/life/life-pi-mathematician-tsu-chung-chi den 16.12.13 den 17.12.13
http://alsholm.dk/people/P.K.Alsholm/01905/Noter/taylor.pdf den 12.13
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analyse,_vektor-
_og_matrixregning_og_funktionsteori/Taylors_formel den 19.12.13
http://gymdansk.weebly.com/appelformer.html den 19.12.13
23