nies’ economic issues. Such an economic issue could be if a company wanted to find the exact pro-

duction, which will create the highest profit. Another economic issue for a company could be to

determine the optimal combination of input in the production. The report covers three aspects. First-

ly, a thorough account of differential calculus is given. The theory about differential calculus is very

important and useful in this report. Secondly, it is explained how functions of one variable can be

optimized. Two methods are used in order to optimize a function of one variable – formula for

summit of the function and differential calculus. Furthermore, it is explained how companies can

use these methods. Finally, it is explained how functions of two variables can be optimized. Linear

programming and especially partial differentiation is described. Both methods are used in order to

solve an economic issue, which companies might face. The optimization methods are useful tools

Hvordan hænger matematik og økonomi sammen? Hvordan kan en virksomhed bruge matematik-

ken til at optimere?

Dette er spørgsmål, der uundgåeligt vil blive besvaret i denne opgave. En virksomhed vil ofte stå

overfor optimeringsproblemer, hvor problemstillingen fx kunne være at finde den produktion, der

giver det størst mulige overskud. I denne opgave vil der blive undersøgt, hvordan matematikken kan

en redegørelse for Cobb-Douglas funktioner, der ofte bruges til at beskrive en produktionsfunktion,

og partielle afledede.

Under hver gennemgang af en optimeringsmetode vil der blive givet eksempler på, hvordan meto-

den kan bruges i økonomi til at løse virksomheders problemstillinger. Under disse eksempler forud-

sættes det, at virksomhedens variable enhedsomkostninger forløber proportionalt, og at virksomhe-

den afsætter alt, der produceres.

I bilag vil der blive placeret længere udregninger, beviser samt opgavetekster, der er benyttet i de

konkrete eksempler.

Maple og Graph er blevet benyttet til at illustrere grafer, indskrive formler og udregninger.

kring optimeringsmetoder. På grund af områdets nytte i de kommende afsnit, er det relevant at star-

te ud med en gennemgang af teorien bag differentialregning.

Ved at benytte sig af differentialregning, er det muligt at bestemme en tangents hældningskoeffici-

ent i netop det punkt, hvor den rører den oprindelige funktion. Dette punkt kaldes også tangentens

røringspunkt. Tangentens hældningskoefficient kaldes også differentialkvotienten. Matematisk bli-

f’(x) (udtales som f mærke af x)

Bestemmelse af differentialkvotienten:

anvendes inden for økonomi, burde man kunne anvende den velkendte formel for en ret linies

hældningskoefficient, nemlig

Hermed kan vi ud fra formlen udregne sekantens hældningskoefficient, der også kaldes differens-

yderste punkt nærmer sig det inderste punkt. Sekanten nærmer sig altså tangenten. Differentialkvo-

tienten bestemmes på denne måde og noteres således:

Dette betyder altså, at differenskvotienten går mod differentialkvotienten, når ∆x nærmer sig 0.

Differentialregning er et vigtigt værktøj i forskellige økonomiske optimeringsproblemer, da diffe-

rentialkvotienter fortæller os, om funktionen er voksende, aftagende eller om f’(x) = 0, hvilket be-

tyder, at der må være et maksimum eller et minimum.

Hvis f’(x) < 0 er funktionen aftagende

Omvendt vil der naturligvis være et maksimum, hvis funktionen vokser før og aftager efter.

Dette kan opstilles i såkaldte monotonilinier.

Eksempel 1: f(x) = x

, minimum i (0,0) Eksempel 2: f(x) = -x

, maksimum i (0,0)

Det skal hertil nævnes, at hvis fortegnet er det samme på begge sider af punktet, er der tale om et

vendetangentpunkt, hvor funktionen skifter fra at være konveks til konkav eller konkav til konveks.

finde ud af, hvilken afsætning, der giver det størst mulige overskud. Dette er altså den økonomiske

problemstilling. Det forudsættes, at alt det, der produceres afsættes.

Tilskæring og bukning: Svejsning: Efterbehandling og pakning

Da det ikke vil være relevant at producere et negativt antal rustfrie stålborde eller reoler, må følgen-

de begrænsninger tilføjes:

Begrænsningerne indtegnes nu i et koordinatsystem og danner dermed et polygonområde:

For at se hvordan kriteriefunktionen varierer med produktionen, indtegner man nu en række niveau-

linjer. En niveaulinje betegnes N(t), hvor t er et dækningsbidrag. Niveaulinjerne kan altså vise,

hvilke produktsammensætninger, der givet et bestemt dækningsbidrag.

forøgelse, der sker i output, når input øges marginalt. Med produktionsfunktioner af to variable

dres, når arbejdskraft ændres marginalt, mens kapital holdes konstant.

Der ses her et tredimensionelt koordinatsystem, hvilket skyldes at der arbejdes med en funktion af

to variable. En sådan funktion kan umuligt vises i et todimensionelt koordinatsystem, da der her er

on p(m), omkostningsfunktionen s(m) og overskudsfunktionen o(m). Der kan udledes en nødvendig

betingelse for et indre globalt maksimum for overskudsfunktionen, hvis p(m) og s(m) er differenti-

able funktioner. Fra tidligere i opgaven vides det, at hvis overskudsfunktionen har et globalt mak-

simum i det indre af definitionsmængden, altså ikke i et af endepunkterne, så vil den aflede over-

Denne betingelse kaldes en førsteordensbetingelse. Det skal dog nævnes, at man i princippet er nødt

til at foretage en fortegnsundersøgelse af o’(m) for med sikkerhed at kunne afgøre, om en værdi af

m, der tilfredsstiller den nævne førsteordensbetingelse, er et globalt maksimum eller blot et lokalt

maksimum, et minimum eller et vendepunkt.

Til at afgøre om en løsning til førsteordensbetingelserne er et maksimums- eller minimumssted

kommer andenordensbetingelser i spil. Lad være en sådan løsning, dvs. og

Der kan nu opstilles følgende betingelser til at afgøre om en løsning, , til førsteordensbe-

tingelserne er et lokalt maksimum, et lokalt minimum eller et saddelpunkt.

a) så er

et maksimumssted.

b) , så er

c) , så er et saddelpunkt

Tages der udgangspunkt i betingelserne for et maksimum, kan de forklares således:

henholdsvis k- og a-aksen. Den tredje betingelse sikrer sammen med de to første, at funktionen er

generelt konkav, så grafen krummer nedad, uanset hvilket retning man bevæger sig i.

Holder disse betingelser for alle k og a og ikke blot for krummer grafen nedad over hele

Der findes dog tilfælde, hvor grafen ligner en saddel rundt omkring et såkaldt saddelpunkt. Dette

sker, når et nulpunkt hverken er et minimum eller et maksimum, men derimod et saddelpunkt.

Er der tale om en funktion af en variabel, kan man imidlertid hurtigt bestemme om et nulpunkt til

den afledede er et maksimum, minimum eller en vendetangent.

Dette gøres ved at finde den anden ordens afledede f’’(x). Denne findes ved at differentiere to gan-

ge.

Der kan nu opstilles følgende:

blandt andet benyttet af Økonomiministeriet i den såkaldte SMEC-model til at vurdere konsekven-

serne af forskellige politiske og økonomiske indgreb

En Cobb-douglas produktionsfunktion er givet ved forskriften:

hvor a, er positive konstanter

Niveaukurverne bestemmes ved at isolere y:

Ved hjælp af potensreglerne fås nu:

Der ses på grafen, at det fx er muligt at producere 2 enheder output mange forskellige kombinatio-

ner af input. Det kan aflæses at 2 enheder kapital og 2 enheder arbejdskraft vil give et output på 2

enheder. I stedet kan der også anvendes 4 enheder kapital og 1 enhed arbejdskraft til at skabe det

samme enheder output. En produktion på 2 enheder output kan altså opretholdes ved at substituere

kapital med arbejdskraft eller omvendt.

Parametrene har en betydning for den måde, hvorpå man kan substituere mellem de to typer

input i produktionen. Er β relativt højere end α, kan arbejdskraft let substitueres med kapital. Om-

den, da funktionen hedder x^2)

(ophæver parentesen ved at sætte begge i anden og

res.

X'erne samles:

Parentesen ophæves:

Der vendes om på brøkeren og p'erne samles, for at fjerne de negative potenser:

da starte med at isolere k i stedet for a.