PLANETBEVÆGELSE
Studieretningsprojekt
FAGKOMBINATION
Fysik (A) og Matematik (A).
1
Abstract
The aim of this project is to derive Kepler’s three laws on planetary motion where there, to
a certain extent, will be included the mathematics behind an ellipse. Furthermore, the
derivation of Kepler’s laws on planetary motion will be used to focus on how to find
exoplanets and how to find information about them based on their orbit motion.
After having derived Keplers 3 laws on planetary motion, with the involvement of the
mathematics behind concepts like the ellipse, angular momentum and polar coordinate
systems. It occurred that Kepler’s first law says that a planet will be orbiting around its star
in an elliptic shaped orbit, where the star are placed in one out of two focus points in the
ellipse, which has turned out to be a wrong assumption. The truth is that moth the star and
the planet will be orbiting in an elliptical shape, due to the 2-body problem. However, by
finding that the planet and star has joint center point it became possible to deepen
exoplanet-discovery methods such as the radial velocity method and the transit passage
method.
The result is that Kepler’s laws on planetary motion are fitting. And that even though they
were derived by Kepler in 1609 and 1619 and other astronomers have made new
discoveries and explored better methods than the ones Kepler used, the Kepler planetary
motion laws is still relevant today and has been epochal when it comes to finding
exoplanets.
2
Indholdfortegnelse
Indledning ……………………………………………………………………………………. Side 3.
1 Keglesnit ……………………………………………………………………………………. Side 4.
2 Ellipse……………………………..…………………………………………………………. Side 5.
2.1 Ellipse akser og excentricitet………………………………………………………….. Side 6.
2.2 Ellipsens ligning ………………………………………………………………………… Side 8.
2.3 Ellipsens parameterfremstilling ……………………………………………………… Side 11.
2.4 Polære koordinater ……….…………………………………………………………….. Side 11.
2.5 Ellipsens ligning i polære koordinater……………………………………………….. Side 13.
3 Johannes Kepler ………………………………………………………………………….. Side 15.
4. Keplers første lov (ellipseloven) ……………….………………………………………. Side 15.
4.1 Hvordan kom Kepler frem til ellipseloven? …………………………….………….. Side 16.
5 Keplers anden lov (arealloven) ………………………..……………………………….. Side 19.
5.1 Impulsmoment …………………………………………………………………………. Side 19.
5.2 Keplers anden lov – bevis vis impulsmoment………………………………………. Side 21.
5.3 Keplers anden lov – polære koordinater……………………………………………. Side 22.
5.4 Aphelet og perihelet……………………………………………………………………. Side 23.
6. Keplers tredje lov (afstandsloven)…………….………………………………………. Side 24.
6.2 Keplers tredje lov – bevis ……………………………………………….……………. Side 24.
7. Exoplaneter……………………………….……………………………………………… Side 26.
7.1 Hvordan har man fundet exoplanet og viden om dem? ……………………….… Side 27.
7.1.1 Astrometri ………………………………………..………………………………….. Side 27.
7.1.2 Radialhastighedsmetoden…………………….…………………………………… Side 27.
7.1.3 Passagemetoden …………………………………………………..……………….. Side 30.
8 Konklusion………………………………………………………………………………… Side 33.
Litteraturliste……………………………………………………………………………….. Side 34.
Bilag 1……………………………………………………-………………………………….. side 37.
3
Indledning
Mennesket er nysgerrigt af natur og har alle dage været det, og der er ingen tvivl om at det
har været en undren der fik mennesket til at undersøge og lede efter svar i
verdensrummet. Kopernikus kom i 1543 med en vovet teori for universet om at det var
solen der var placeret i centrum og jorden ”bare” kredsede derom. Men grundet religion og
folks egen-opfattelse om at det eneste logiske måtte være at vi var centrum i universet og
enestående, fik dette verdensbillede ikke mange tilhængere og blev først i 1630’erne
bekræftet af Galilei. Dog var der nogle der blev tilhængere at det kopernikanske
verdensbillede, deriblandt Johannes Kepler.
Dette skulle vise sig at være epokegørende da denne opfattelse hjalp Kepler da skulle
bestemme Mars banen ud fra Tycho Brahes målinger. Det var blandt andet ud fra disse
målinger at Kepler kom frem til sine empiriske love om planetbevægelser. Lovene kom
han frem til efter flere års arbejde, da det var empiriske love var mange af de skridt han
tog baseret på gætterier ud fra hans forståelse for verdensbilledet. Det har senere vist sig
at lovene, trods at de er baseret empirisk, stadig gældende i en vis grad og særligt
Newtons arbejde med at eftervise lovende har fastslået deres gyldighed. I dette projekt vil
der arbejdes med at eftervise Keplers love samt se på hvilke skridt han har taget for at så
udarbejdet disse.
Disse love har været med til at bane vejen for astronomien som vi kender den i dag, og
har ført til at man kan få svar på de mange spørgsmål der gennem tiden er blevet stillet
om rummet. For findes der mon andre planeter ligesom jorden med individer som os? Eller
er den oldgamle teori om at vi er ”centrum og enestående” rigtig?
I 1989 blev den første exoplanet fundet, men grundet manglende sikkerhed på udstyr blev
denne først fastslået som værende en exoplanet i starten af 1990’erne. Siden da er det
gået stærkt man har i dag kenskab til næsten 1800 exoplaneter, det interessante i søgen
efter exoplaneter er at man håber på at kunne finde en exoplanet der minder om jorden og
hvor der opfyldes samme kriterier for lov som på jorden. Der er dog lidt vej enden man
finder en planet svarende til den på jorden da jorden er en lille planet og udstyret gør at
det stadig er langt lettere at finde store planeter, man har dog været tæt på flere gange.
Store planeter er lettere at finde hvilket skyldes at disse giver tydeligt udslag på målinger
af radialhastighed eller transitpassage som hovedsageligt er de opdagelses-metoder der
vil blive uddybet i denne opgave.
4
Figur 2
1 Keglesnit
1
Begrebet keglesnit stammer helt tilbage fra det antikke Grækenland, hvor matematikeren
og geomatrikkeren Appollonios
2
stod for keglesnitslæren.
På figur 1 ses en kegle bestående af en cirkel i en plan og et punkt T
(keglens toppunkt) uden for planen, der er placeret således at T’s
projektion på planen lander ned i cirklens centrum C. Keglesnit er
skæring mellem plan og overflade. Den linje der forbinder T med et
vilkårligt punkt på cirklen kaldes keglens frembringer og linjestykket der
forbinder Centrum med toppunktet kaldes keglens akse. W
0
som man
kan se på keglen betegner keglens halve toppunktsvinkel.
Når skæringen ikke ligger oveni keglefladens toppunkt T (figur 1)
3
vil
der fremkomme en vinkel mellem planet og selve kegleaksen,
størrelsen på denne vinkel (v) bestemmer hvilken skæringskurve, altså
om det er en hyperbel, parabel, cirkel eller ellipse, der er tale om.
På figur 2
4
skildres det meget tydeligt hvordan forholdet mellem de to vinkler afgør hvilken
form skæringskurven ender med at få, følgende er altså gældende ved keglesnit;
Når v = 90º vil der dannes en cirkel.
Når v > W
0
vil der dannes en ellipse.
Når v = W
0
vil der dannes en parabel.
Når v < W
0
vil der dannes en hyperbel.
Jeg vil i denne opgave kun gå i dybden med ellipsen da den jeg ønsker at redegøre for
som et matematisk objekt.
1
Carstensen, Jens og Frandsen, Jesper: MAT 3A. Systime 1999, side 151-153.
2
http://da.wikipedia.org/wiki/Apollonius
3
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=644
4
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=645
Figur 1
5
Figur 3
2 Ellipse
Ved keglesnittet ses ellipsen som en kurve hvor enderne hænger sammen. Ellipsen er en
oval figur og kan tilnærmelsesvis kaldes ”en fladmast cirkel”. En ellipse har modsat cirklen
2 midtpunkter, disse punkter kan ses på figur 3 hvor de er markeret med F
1
og F
2
og
kaldes for ellipsens brændpunkter. På figur 3
5
kan man se linjestykket
dette er
ellipsens storakse, og linjestykket
er hvad der svare til lilleaksen. Linestykket fra
hver af brændpunkterne til et vilkårligt punkt kaldes brændstrålerne.
6
Man kan let selv tegne en ellipse ved hjælp af en snor med længden k, snorens ender
forbindes til 2 nåle som fungerer som F
1
og F
2
. Man trækker derefter snoren stramt ud og
en blyant trækkes rundt i en oval cirkulær form, dette gør at summen af afstanden fra
blyantspidsen til de to punkter netop vil være k.
Ellipsen anbringes i et passende koordinatsystem, et geometrisk sted. Et geometrisk sted
er en punktmængde, hvoraf punkterne har en bestemt egenskab og det er kun disse
punkter der har denne egenskab. Det ses på figur 3 at F
1
og F
2
er fastlagt på planen og at
<k, og derfor ønsker jeg nu at finde det geometriske sted for de punkter, hvis afstand
til F
1
og F
2
er lig med k.
Hvis man kigger på figur 4
7
er punkterne P, Q og R alle eksempler på punkter hvis afstand
til de 2 punkter er lig med k.
5
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=645
6
Carstensen, Jens og Frandsen, Jesper: MAT 3A. Systime 1999, side 154-155.
7
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=645
Figur 4
6
Figur 5
Heraf kan jeg komme frem til at keglens storakse, altså linjestykket
er lig
med k.
2.1 Ellipse akser og excentricitet
8
Jeg ønsker at udlede en ligning for ellipsen men før jeg gør dette ønsker jeg at behandle
ellipsens akse og excentricitet. Jeg behandler igen en ellipse placeret i et passende
koordinatsystem.
Jeg sætter nu k til at være lig med 2a, så konstanten
betegnes nu med 2a. Som man kan se på
figur 5
9
, så placerer jeg ellipsens brændpunkter F
1
og F
2
på koordinatsystemets x-akse (storaksen) og lader y-
aksen (lilleaksen) være midtnormal til F
1
F
2
. Punktet 0(0.0)
er centrum for ellipsen, og skærings- punkterne A
1,
A
2
, B
1
og B
2
fungerer som ellipsens toppunkter.
Jeg kan ud fra ovennævnte knytte følgende for et vilkårligt
punkt P på ellipsen.
Herefter er det interessant at vælge punktet A
1
som P.
Som tideligere nævnt er akserne på ellipsen symmetriske, altså er følgende gældende:
Dette gør at man kan omskrive den oven viste formel således:
Brændpunkterne vil da udligne hinanden og følgende vil stå tilbage:
Jeg har altså bestemt storaksens linjestykke til at være lig 2a og lilleaksen der som sagt er
placeret mellem toppunkterne B
1
og B
2
har længden 2b.
Som tideligere nævnt var det interessant at finde frem til længden på storaksen da det er
forholdet mellem brændpunkterne altså
og storaksens længde som bestemmer
ellipsens excentricitet.
Excentriciteten betegnes med bokstavet e og kan findes med følgende formel:
8
Carstensen, Jens og Frandsen, Jesper: MAT 3A. Systime 1999, side 156-159.
9
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=645
7
Figur 6
Figur 7
Da jeg jo har bestemt storaksen til at være lig 2a kan jeg skrive formlen for excentriciteten
på følgende måde:
Excentriciteten bruges til at beskrive en ellipses fladtrykthed. Excentriciteten skal ligge
mellem 0.9 og 0.1 for at kurven er ellipseformet, følgende er gældende:
0 < e < 1
Som skrevet ovenover er det en ellipses excentricitet der bestemmer hvilken form ellipsen
har og hvor fladmast den er. Jo mindre e er jo mere cirkulær er den og jo større e er jo
mere fladtrykt er ellipsen. Dette ses på figur 6
10
.
Efter at have defineret formlen for excentriciteten, kan jeg nu komme frem til følgende:
Det vil altså sige at linjestykket mellem brændpunkterne er lig 2ae. Denne viden skal jeg
bruge til at kunne finde koordinaterne for brændpunkterne. For at finde koordinaterne kan
jeg gå ud fra følgende:
Når
er lig med 2ae og jeg ved fra tideligere at
akserne er symmetriske, kan jeg derfor antage
følgende:
Brændpunkterne ender altså ud med at have
følgende koordinater
10
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=645
8
F
1
(-ae,0) og F
2
(ae,0)
Som man kan se på figur 7
11
er afstanden fra brændpunktet til lilleaksens toppunkt lig den
halve storakse. På figur 7 fremkommer det også at B
1
er et punkt på ellipsen, hvilket vil
sige at følgende gør sig gældende:
Og som tideligere gælder det, at
hvilket gør at jeg kan slutte følgende
Jeg kan nu finde en sammenhæng mellem a, b og e ved hjælp af en af de 2 retvinklede
trekanter
eller
.
Til at finde denne sammenhæng gør jeg brug af Pythagoras sætning, der lyder således;
”Summen af kateternes kvadrater, i en retvinklet trekant er lig kvadratet på hypotenusen”
Jeg indsætter nu de benævnelserne som ses på figur 7, det kommer til at se således ud:
Arealet
12
findes ved følgende formel:
Jeg runder dette afsnit af med at vise disse ligninger med 2 ubekendte
Jeg kan i disse ligninger komme frem til at følgende må være gældende:
Denne viden skal jeg bruge senere henne til at regne ellipsen ligning med polære
koordinater.
2.2 Ellipsens ligning
13
Ellipsens ligning er defineret på følgende måde:
11
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=645
12
http://ggbkursus.dk/formelsamling/areal-og-omkreds/
13
Carstensen, Jens og Frandsen, Jesper: MAT 3A. Systime 1999, side 159-161.
9
Figur 8
Ellipsen med centrum i(0.0) og halvakser a og b har ligningen
Jeg ønsker at eftervise at dette er gældende, derfor ønsker jeg at komme frem til en
ligning for ellipsen i et koordinatsystem som det jeg beskrev i forrige afsnit.
Som det vises på figur 8
14
, lader jeg punktet
P(x,y) være et tilfældigt punkt på ellipsen. Jeg
kalder stadig brændpunkterne for F
1
og F
2
mens
jeg kalder brændstrålerne f
1
og f
2.
Jeg kan altså sige følgende om brændstrålerne:
og
Jeg vil nu bruge afstandsformlen, der jo
gør at jeg kan finde afstanden mellem 2
punkter hvor jeg kun kender deres koordinatsæt,
afstands-formlen lyder
15
:
Jeg indsætter nu brændpunkternes koordinater i formlen:
Da jeg fandt frem til excentriciteten gjorde jeg brug af følgende definition ved en ellipse;
Dette omskriver jeg nu, således at jeg får isoleret den ene længde:
Herefter kan jeg indsætte afstandsformlerne, på følgende måde:
-
Jeg ved at 2a >
derfor ved jeg at begge sider af denne ligning er positiv, så
-
Så jeg kan ved at kvadrede (”det modsatte af at tage kvadratroden”) gøre således:
14
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=645
15
http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/geometri/afstandsformlen
10
Jeg reducere på højre side af lighedstegnet:
Og dividere derefter med 4a i hvert led, sådan at følgende bliver resultatet:
x kan have forskellige fortegn, derfor ved jeg altså at følgende kan ske;
Er x negativ (da vil den være i 2. eller 3. kvadrant) vil begge sider af den oven viste
ligning være positiv, idet jeg ved at følgende er gældende; e > 0.
Er x positiv, må det gælde at 0 < x < a, her gør jeg igen brug af min viden om at e>0 og
kan ved at multiplicere med e, finde at;
Da jeg ved at excentriciteten altid vil være mellem 0.1 og 0.9 ved jeg altså at;
Så da 0 < x < a og hvori jeg ved at e < 0 kan jeg sige følgende:
og
Hermed kan jeg i følgende formel;
komme frem til at begge sider
af lighedstegnet er positive, derefter vil jeg nu igen gå ind og kvadrere med brug af den
anden kvadratsætning, således at
Nu skal jeg igen gøre brug af min viden om ellipse excentriciteten om at;
kan også skrives således
Dette gør det muligt for mig at omskrive denne formel;
Således at
11
Dermed har jeg bevist sætningen som jeg lagde ud med at definere i starten af afsnittet,
nemlig at:
Ellipsen med centrum i(0.0) og halvakser a og b har ligningen
Jeg vil hertil koble at hvis a = b vil det gælde at
2.3 Ellipse parameterfremstilling
16
En Ellipse med ligningen
kan fremstilles som en vektorfunktion:
Hvoraf det vil være gældende at
Dette kommer af at der i et vilkårligt punkt på ellipsen (x,y) er opfyldt følgende
Så punktet
ligger på enhedscirklen
17
og derfor kan t værdien findes således
Bevis
Ved at indsætte ellipsen ligning kan det bevises således:
16
Carstensen, Jens og Frandsen, Jesper: MAT 3A. Systime 1999, side 165
17
http://da.wikipedia.org/wiki/Enhedscirklen
12
Figur 9
Figur 10
2.4 Polære koordinater
Normalt når man bruger koordinatsystemer, gøres der brug af det kartesiske
koordinatsystem, hvilket er et retvinklet koordinatsystem forstået på den måde at alle
punkter deri forekommer ved en skæring mellem linjer som er parallelle med akserne, der
vil mellem disse linjer opstå en ret vinkel, et eksempel på et sådan koordinatsystem ses på
figur 9
18
.
Et polært koordinatsystem er et koordinatsystem der til forskel fra det tideligere omtalte går
ind og bruger polære koordinater. Man kan g gå ind og præsentere et punkt eller
stedvektor ved polære koordinater. I dette koordinatsystem angiver man koordinaterne
anderledes end det som ses på figur 9, for her er origo nemlig centrum i en cirkel og
kaldes for polpunktet, og den akse man i det kartesiske system kalder x-aksen kaldes nu
for polaraksen se eksempel figur 10
19
. Princippet ved det polære koordinatsystem er at
man angiver alle punkter ud fra følgende:
Punktets vinkel, angivet i grader eller radianer, i forhold til polaraksen.
Punktets afstand til origo.
Polære koordinater = (r,θ)
Jeg ved fra trigonometri at det er muligt at finde sidelængder
ud fra en anden længde og vinkel, Derfor kan jeg altså nu
finde x og y, ved at definerer trekantens hypotenuse som r
og derved gøre følgende:
og
Hertil kan jeg knytte at
og
18
http://da.wikipedia.org/wiki/Kartesisk_koordinatsystem
19
http://da.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%A6rt_koordinatsystem
13
Hvis man ønsker at finde polære koordinater tilhørende en vektor, skal man afsætte
vektoren ud fra 0 (begyndelsespunktet) og så bagefter aflæse endepunktskoordinaterne
da de er lig vektorens koordinater.
Som eksempel vælger jeg at kigge på et ’tilfælde’ hvor r og
θ er funktion af variablen t (tiden)
Så vil jeg have følgende:
I dette ’tilfælde’ vil (se figur 11
20
) P (planet) bevæge sig
som følge af tiden langs den blå kurve der er skitseret på
figur 11.
Det er denne kurvebevægelse jeg nu vil finde hastighedsvektor samt accelerations-
vektoren for. Til at gøre dette starter jeg med at definere 2 enhedsvektorer;
e(θ) og f(θ)
ved så at kombinere X-aksen (på figur 11) med en lodret Y-akse, vil jeg komme frem til at
e(θ) har koordinaterne (cos θ,sin θ) og f(θ) har koordinaterne (-sin θ,cos θ), denne
oplysning bruges til at finde differentialkvotienterne for enhedsvektorerne.
21
Normalt når man bruger differentialkvotienter angives de i ”mærke” altså fx e’(θ), men her
gøres der brug af Newtons betegnelse for differentiation for tiden, hvilket angives med en
prik over, altså kan jeg skrive følgende:
og
Stedvektoren P (se på figur 11) er svarende til OP = r*e, dette medvirker at jeg kan finde
hastigheden ved følgende differentiation:
s’(t) = v(t) (momentanhastighed)
Dette bruges til følgende
Og endvidere kan jeg nu drage nytte af min viden om følgende:
a(t) =v’(t) (momentanacceleration
22
)
Dette udnytter jeg til igen at differentiere således at jeg finder accelerationen (w) til at være
følgende:
20
http://www.fysikhistorie.dk/merer2/polaermer.html
21
http://www.fysikhistorie.dk/merer2/polaermer.html
22
Elverkjær, Finn og Benoni, Torben: Fysik AB bogen 2, systime 2007, side 187-194.
Figur 11
14
2.5 Ellipsen ligning i polære koordinater
23
Jeg ved fra afsnittet om excentriciteten at det er muligt at definere, følgende længde;
Jeg skal lige knytte en kommentar om at F
2
på billedet er lavet om til F.
Det jeg ønsker at komme frem til er et udtryk for længden
PF
2
fungerende som funktion af det polære koordinatsæt
(r,θ).
Som det ses på figur 11 kan man konkludere følgende:
Jeg mangler nu at kende x-værdien, men som jeg var inde
på i afsnittet om polære koordinater er x-koordinatet
defineret til følgende (t = teta):
x kan være enten negativ eller positiv og det er dets
fortegn der afgør om x-værdien er højere eller lavere værdien ea, på figur 11 er x–værdien
mindre end ea (kan ses da punktet ligger til venstre for der hvor x-aksen via en lige linje vil
nå punktet).
Man finder altså x ved følgende formel:
Jeg kan nu udlede ligningen for ellipsen i polære koordinater ved at indsætte definitionen
af x ind i formlen for r, dette gøres således:
Dette burde også findes ved hjælp af cosinusrelationerne, hvis man anså det i et meget
lille tidsrum, ville der kunne dannes en ligebenet trekant
24
23
http://www.matlex.dk/kepler.html
Figur 12
15
Figur 13
3. Johannes Kepler
Johannes Kepler () var en tysk matematiker, astronom og geolog, han er kendt
som værende en af nøglefigurerne inden for det 17 århundredes naturvidenskabelige
gennembrud ydermere var han blandt de første til at støtte op om det heliocentriske
verdensbillede som Kopernikus stod bag
25
. Noget af det Kepler især er blevet kendt for er
hans 3 empiriske love om planetbevægelse, som han kom frem til efter at have overtaget
Tycho Brahes omfattende observationer af Mars banen. Han kom frem til de 2 første love i
1609 og den sidste i 1619
26
, disse love som var gældende for planeter i vores solsystem
er senere hen blevet generaliseret til at være gældende i systemer bestående af et
centrallegeme hvortil der kredser et andet legeme (planet, måne, komet eller satellit). De 3
love lyder således:
1; En planet bevæger sig i en ellipsebane med solen i det ene brændpunkt.
2; Radiusvektor (linjen mellem solen og planet) overstryger lige store arealer i lige
store mellemrum (arealhastigheden er konstant).
3; Kvadratet på planetens omløbstid er proportional med middelafstand i tredje og
følgende er gældende
4 Keplers første lov (Ellipseloven)
Keplers første lov siger noget om at planeterne i vores solsystem bevæger sig i en
ellipseformet bevægelse med solen placeret i det ene brændpunkt. Som tideligere nævnt
er dette blevet generaliseret, hvilket muliggør at man gør brug af Keplers første lov i andre
system så længe det tungeste legeme er placeret i et brændpunkt.
Jeg har tideligere været inde og redgøre for ellipsen og vil derfor ikke gøre det igen, jeg vil
blot knytte at planetbaner ofte har en forholdsvis lav excentricitet, hvor kometbaner ofte
har en høj excentricitet. Det er derfor ikke noget under at astronomer i fortiden har angivet
planetbevægelser som værende cirkelbaner. På nedenstående skema (figur 11) ses nogle
af de mest kendte planeters excentricitet, jeg skal dog hertil knytte at Pluto er en
dværgplanet
27
Planet
Storakse
Omløbstid
Excentricitet
Merkur
0.387
0.241
0.201
Venus
0.723
0.615
0.007
Jorden
1.000
1.000
0.017
Mars
1.524
1.88
0.093
Jupiter
5.210
11.86
0.048
Saturn
9.555
29.42
0.056
Uranus
19.218
83.75
0.046
Neptun
30.110
163.72
0.009
Pluto
39.545
248.02
0.249
24
Grundet opgavens omfang gøres dette ikke.
25
Carstensen, Jens og Frandsen, Jesper: MAT 3A. Systime 1999, side 163.
26
http://videnskab.dk/miljo-naturvidenskab/store-opdagelser-johannes-keplers-planetlove
27
http://da.wikipedia.org/wiki/Pluto_%28dv%C3%A6rgplanet%29
16
Figur 14
4.1 Hvordan fandt Kepler frem til ellipseloven?
28
Da Kepler i februar 1600 blev ansat som matematisk assistent hos Tycho Brahe (1546-
1601) overtog han Tycho Brahes omhyggelige målinger af Mars banen og fik til opgave at
udarbejde en beskrivelse for Mars banen, der var så præcis at man kunne gengive den
med en nøjagtighed på 4 buesekunder
29
.
Det første skridt som Kepler tog var en yderst
omhyggelig beregning af udvalgte Mars
positioner placeret forskellige steder på aksen,
hvis formål var at bestemme omløbstiden for
Mars omkring solen, omløbstiden blev bestemt
til at være hele 687 dage. Kepler kunne altså
ved opslag i Tycho Brahes målinger finde
retning til både solen og Mars på udvalgte
datoer, hvilket muligjorde at han kunne
beregne vinklen mellem Solen og Mars. Dette
medføre at Kepler nu havde 2 uafhængige
afstande til Mars set fra jordens positioner (se
figur 12) hvilket gjorde det muligt for ham at
bestemme Mars position i forhold til jordens 2 positioner.
For at kunne lave beregninger på dette skulle han også kende jordens position i forhold til
solen, men jorden bevæger sig ikke i en cirkel og derfor mangler han viden om afstanden.
Til at bestemme den gik han ind og anvendte en meget brugt model for jordens bane om
solen. Denne model havde jorden i en cirkelformet bane om solen, men solen var ikke i
centrum C for banen. Solen var rykket hen til et punkt som ligger 0.018 astronomiske
enheder fra centrum. Se figur 13 der illustrerer Keplers model for jordens bane.
28
http://ihs01.elevunivers.dk/lru/geometer/gymnasie/Keplers_love.pdf
29
Enhed til måling af vinkler svarende til 1/3600 grad og 1/cirkel.
Figur 15
17
Dette gjorde at forholdet mellem solens afstand til C og jordens afstand til C var lig med
0.018, denne værdi kaldes for solens excentricitet e (Den moderne værdi er faslagt til e =
0.0167).
Som vist på figur 13 ser man lige modsat solen, nemlig solens antipunkt A, det er omkring
dette punkt at jorden roterer med en vinkelhastighed der konstant. Dette gør at jorden
bevæger sig hurtigst når den er tættest på solen (Perihelet) og langsomst når den er
fjernest solen (aphelet).
På baggrund af denne model, som muliggør bestemmelse af jordens position i forhold til
solen, bestemte Kepler nu en række positioner for Mars langs banen. Derefter stod der
klart for Kepler at Mars ikke fulgte en cirkelbane, men rettere en oval bane med 2
symmetriakser og et centrum som lå 0.0926 astronomiske enheder fra solen.
Kepler fandt nogle værdier for lilleaksen b og storeaksen a og kunne derved gå ind og
finde forholdet imellem dem således:
Da Kepler allerede fra begyndelsen havde den overbevisning at solen ikke var centrum for
banen og at den var forskudt med en excentricitet på e = 0.0926, med denne viden kunne
han gå ind og definere følgende:
(Denne værdi er i dag sat til 0.0934).
Kepler begyndte at eksperimentere med forskellige former for banebeskrivelser i sær
epicyklen (da denne er centralt i forståelsen for Kopernikus heliocentriske forståelse) men
måtte efter flere år indse at han ikke var på rette spor.
Kepler gik nu helt nye veje hvor han gjorde en interessant opdagelse ved ovalens form,
nemlig den, at
Når man ønsker at finde afstanden fra solen til Mars
på det tidspunkt hvor Mars krydser lille aksen (se
figur 14) viser det sig at afstanden mellem solen og
Mars er meget tæt på værdien for den halve
storakse;
Dette viste sig at være epokegørende da ellipsen,
som tideligere omtalt, er karakteriseret ved at
afstanden fra brændpunkt til lilleaksens toppunkt er
lig med den halve storakse.
Det var da han gjorde denne opdagelse at Kepler overbeviste sig selv om at baneformen
måtte være elliptisk, i forlængelse af den antagelse gik han ind og ”gættede” på baggrund
af erfaring og hans viden, at det fiktive center C* ville passere lilleaksen præcis når Mars
gjorde det. Se figur 15.
Figur 16
18
Figur 17
Figur 18
Hertil følger at projektionen af forbindelsesstykket SC på CC* lig med a, hvilket er det
samme som afstanden fra solen til Mars, igen her kom han frem til at dette vil være
gældende overalt på planetbanen.
Som det fremkommer på figur 15, brugte Kepler
vinklen for den fiktive radius θ (keplervinklen) til at
finde en simpel ligning der angiver afstanden fra
solen til Mars;
Nu manglede Kepler at finde ud af hvad der
afgjorde retningen fra solen til Mars, og efter
mange fejl antagelser gættede han til sidst på at
Mars lå på den linje fra C* og vinkelret på storaksen.
Kepler fandt ud af at det var det helt rigtige gæt han
var kommet med, og at det passede perfekt med at
banen var ellipseformlet og havde solen i det ene
brændpunkt. Og dermed kom han hurtigt frem til at
afstanden fra solen til Mars er lig længden af
brændstrålen (figur 16), hvortil denne simple løsning
følger;
Herved kan man bestemme koordinaterne for det fiktive centrer;
Samt kan jeg definere Mars koordinater til følgende;
M =
Jeg kan altså komme frem til følgende:
Endelige passede hans ide om ellipsebanen overens med observationerne, hvilket gjorde
at han nåede frem til den første af hans kendte planetlove, som jeg har redegjort for i
forrige afsnit.
Det ville i dag ikke være fyldestgørende at bruge et fiktivt centrum for at bestemme
afstanden, nej man ville derfor gå ind og gøre det ved hjælp af polære koordinater og den
formel jeg kom frem til for en ellipse i polære koordinatsystemer. Man ville i stedet for den
fiktive radius og dennes vinkel, gå ind og snakke om afstanden fra solen til planeten ved
19
planetens retningsvinkel i forhold til storaksen. Jeg vil derfor kort til slut knytte følgende at
for retningsvinklen gælder det så at:
x = ae + r * cos(v)
Jeg har tideligere været inde på at man nu kunne definere en x-værdi således:
, grundet keplervinklen.
Det vil sige jeg kan drage til følgende sammenhæng må være gældende:
Jeg ser nu på den lov jeg lige er kommet frem til der siger at
Og ved sammenligning af denne med det jeg kom frem til før, kan jeg gøre følgende; Jeg
kan se et led der er på begge sider af lighedstegnet dog med forskellige fortegn, jeg gør så
følgende:
Ved at isolere r får jeg følgende formel som slutresultat:
5. Keplers anden lov (Arealloven)
Keplers anden lover siger at, radiusvektoren,
linjen fra solen til planet (senenere
generaliseret), overskygger lige store arealer A
i 2 lige store tidsrum t = t1 + t2 samt t = t3 +
t4, illustration kan ses på figur 17
30
.
Man kan altså sige at da planeten bevæger sig i
en ellipsebane omkring solen, vil stedvektoren
overstryge et vidst areal, og arealet vil uanset
hvor på banen det er overstryge samme
mængde på samme tidsrum. Dette skyldes et
begreb der kaldes impulsmomentsbevarelse.
5.1 impulsmoment
For et legeme men en masse m og en hastighed v, kan jeg definere legemets
impulsmoment (L) som værende; krydsproduktet mellem legemets stedvektor r og
30
Rasmussen, Kaare Lund og Meyer, Torsten: Planeter. Munksgaard 1998, side 36.
Figur 19
20
bevægelsesmængden p. Dette ønsker jeg kort at redegøre for da jeg senere skal bruge
viden om dette til uddybning af Keplers anden lov.
Bevægelsesmængden (impuls) p er defineret således:
p = m* v
Jeg kan nu opskrive impulsmomentet L således:
Størrelsen på denne vil altså være:
Jeg ved ud fra definitionen for krydsproduktet at
er en vektor, der står vinkelret på både
r og p, hvilket giver nulvektoren, så længe r står vinkelret på p
31
.
Jeg at definerer et legemes kraftmoment, som er beskrevet som krydsproduktet mellem
stedvektoren r og en kraft F der påvirker legemet
32
.
Men denne har ikke nogen yderligere interesse da jeg her anvender impulsmomentet for
en planet der kredser i en ellipsebane om solen.
Et sådan system er nemlig et inertialsystem
33
, hvoraf det kun er solens tyngdekraft der er
gældende, ingen ydre kræft, derfor må kraftmomentet være lig 0.
Jeg ved fra momentsætningen at følgende er gældende
34
:
Jeg kan altså ved at kigge på momentsætningen komme frem til følgende:
Og da en differentieret konstant er lig 0, og kraftmomentet er lig 0 må følgende være
gældende for impulsmomentet:
31
http://da.wikipedia.org/wiki/Vektor_%28geometri%29
32
http://www.virum-gym.dk/vgportal/s3Ft56YuI_o9iUyqlzXxmT/%7B4871850C-3D03-4BF4-AAD1-
E7EFE8A7A4D5%7D/Impulsmoment%20og%20banebev%C3%A6gelse.pdf
33
http://da.wikipedia.org/wiki/Inertialsystem
34
http://www.e-formel.dk/view/Momentsaetningen
21
Altså må det gælde for alle banebevægelser at der impulsmomentbevarelse.
5.2 Keplers anden lov – bevis via impulsmoment
Jeg vil starte med at bruge min viden om impulsmomentet for at komme frem til Keplers
anden lov.
→
Hvis man så nu går ind og fokusere på et isoleret system, bestående af den ene af de 2
arealer der overstryges af radiusvektoren, kan man komme frem til følgende:
Jeg ved at hastighedsvektoren er en tangent for ellipsen
35
, er det meget let at se for sig at
hastighedsvektoren og radiusvektoren vil være placeret vinkelret på hinanden, dette gør at
jeg kan skrive følgende:
Da jeg som skrevet tideligere kun kigger på et isoleret system, vil jeg have en hastighed
der er tæt på at være konstant v ≈ s/t.
Dette må være gyldigt da s er det stykke (den buelængde) som planeten tilbagelægger i
den gældende tid, dette gør at jeg nu kan omformulere i formlen ovenover til følgende
Herefter kan jeg gå ind og ”flytte rundt” i formlen således at jeg får følgende udtryk:
Grunden til at jeg ønsker at gøre dette er, at jeg kender formlen for arealet i et meget lille
tidsrum, for så længe s (på figur 18 beskrevet som rdθ) er lille nok vil der fremkomme en
trekant
36
og derfor er følgende gældende:
Oven nævnte formel om arealet ønsker jeg nu at
omskrive således;
35
http://matahtx.systime.dk/index.php?id=364
36
http://wiki.mitsted.dk/?page=Keplers_love&revision=664
22
Nu vil jeg så sammenflette den nye formel for arealet med formlen for impulsmomentet,
således at
Dette bliver til
I udtrykket ovenover kan jeg se at venstresiden indeholder konstanterne L og m og vil
derfor være konstant, ergo har jeg eftervist at følgende er gældende:
5.3 Keplers anden lov – polære koordinater
Med min viden fra afsnittet polære koordinater vil jeg nu kort og hurtigt bevise at når
Keplers anden lov er gældende, gælder følgende ”når arealloven er gældende vil
accelerationen være rettet mod det faste punkt 0”.
Som man kan se på figur 21
37
har vi et polært
koordinatsystem med et startpunkt 0 samt en polarakse
mærkeret med X. Kurven (den blå på figur 21) har
følgende parameterfremstilling:
OP:
Hvis man nu igen kigger på figuren kan man se at der er et
mærkegråt areal og et lysegråt areal.
Det mørkegrå areal er givet ved A=A(θ) overlappes af OP
når vinklen der går fra X-aksen og op til parameterfremstilling varierer fra 0 til θ.
Det lysegrå areal indikere den tilvækst som θ får til θ, hvilket medføre at A får en tilvækst
på A.
Jeg ønsker at finde differentialkvotienten A’(θ).
Hvis man forestiller sig at θ går mod 0 vil det lysegrå område tilnærmelsesvis blive til en
ligebenet trekant, hvoraf to af siderne har længden r som danner en vinkel der vil have
størrelsen θ. Ud fra dette kan man knytte således
Dette sker så længe θ går mod 0, hvilket vil sige at:
37
http://www.fysikhistorie.dk/merer2/newpolaer.html
Figur 20
Figur 21
23
Figur 22
så længe θ går mod 0.
Jeg kan ved kendskab til sammensatte funktioner indsæt fodnote til mat bog, se at
arealet A er funktion af t, jeg kan altså se at funktionen er sammensat af A=A(θ) og θ(t) og
ved at bruge reglen for differentiation ved sammensatte funktioner kan jeg nu finde
arealhastigheden A’(t). Jeg vil lige knytte at jeg igen anvender et prik over for at vise at det
er Newtons betegnelse for differentiation for tiden, dette kommer altså til at se ud således:
Herefter vil jeg nu, da jeg ved fra Keplers anden lov at arealhastigheden A’(t) er konstant,
sætte både r og som funktion af tiden, konstanten for arealhastigheden angiver jeg med
½h, dette gør at jeg nu kan fortsætte således:
Bliver derfor til
Dette kan jeg således differentiere således at jeg får således:
Dette får stor betydning for accelerationen da jeg tideligere har defineret den som
værende:
Hvor e er en enhedsvektor som bestemmer vinklen med polaraksen X, hvortil f er
dennes tværvektor. Da jeg ved at arealhastigheden er konstant gør at f får kvotienten 0 og
da jeg ved at en accelerationsvektor peger ind mod banens ”hulhed” / vigtige punkt(O).
38
Jeg er hermed kommet frem til at når arealhastigheden centreret om et punkt O er
konstant, vil accelerationen være rettet mod O.
5.4 Aphelet og perihelet
Jeg vil kort knytte at impulsmoment-bevarelsen særligt udtrykkes når stedvektoren og
hastighedsvektoren står vinkelret på hinanden, se figur 18
39
.
38
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=627
39
http://www.physikerboard.de/topic,9504,-geschwindigkeit-im-perihel.html
24
Dette vil jo lige præcis være opfyldt i aphelet (væk fra solen) og perihelet (tæt på solen).
Dette sker da impulsmomentet i de to punkter er et resultat af stedvektoren og
impulsvektoren, da sin(90) =1, gælder det at
Kort formuleret har jeg formlen:
hvoraf jeg ved at m og L er konstant, derfor
kan jeg sige at når
bliver mindre jo tættere den kommer på solen må hastigheden jo
blive større hvilket også henviser til Keplers anden lov.
6 Keplers tredje lov (Afstandsloven)
Keplers tredje lov siger således; kvadratet på planetens omløbstid er proportional med
middelafstand i tredje og følgende er gældende
Så hvis et helt omløb omkring
solen tager T sekunder og banens halve storakse er R meter lang, gælder det som sagt
a
.
Kepler lancerede hans værk ”verdens harmoni” i 1619 hvori han beskriver, forklarer og
fortæller om det man i dag kaldes Keplers tredje lov.
I Keplers 2 første love går ind og ser på hvordan en planet egentligt bevæger sig osv. og
det er egentlig først i afstandsloven man kan sammenligne hvordan fx 2 planeter bevæger
sig.
6.1 Keplers tredje lov – bevis
For at eftervise denne lov, gældende i vores solsystem, vil jeg gøre brug af nogle helt
grundlæggende formler og love, jeg vil nemlig gøre brug af følgende:
Tyngdeloven:
40
Hvor G er en konstant givet til G= 6.67*10^-11 (Nm^2)/kg^2. og de to masser
repræsentere de to legemers masser og R er middelafstand mellem legemerne.
Når der er tale om en form for cirkulær bevægelse, som en ellipsebane jo er (se i afsnit om
ellipse) er det en nødvendighed at der er en ”midtsøgende” kraft.
41
Denne kraft er givet
ved newtons anden lov:
40
http://www.fysikhistorie.dk/merer2/newmer4.html
25
F = m * a
Hvortil centripetalaccelerationen er givet ved
Centripetalkraften:
42
Herefter finder jeg den resulterende kraft, og da vores planet-sol system er et
inertialsystem er den resulterende kraft lig 0, dette gør at vi kan skrive således
43
;
Dette gør at man hurtigt kan drage følgende konklusion
Det ville sige at jeg så kan gøre følgende
Herefter skal jeg have bestemt ω, dette gør jeg ved at definere formlen for
vinkelhastigheden:
Dette indsætter jeg nu, således at
Herefter ophæver jeg parentesen på højre side og får således:
Nu ønsker jeg at få isoleret omløbstiden T samt middelafstanden R, dette gøres således:
Dette bliver til
Nu kan jeg begynde at isolere de ønskede værdier, således
41
http://www.nbi.ku.dk/spoerg_om_fysik/fysik/centripetalkraft_centrifugalkraft/
42
http://da.wikipedia.org/wiki/Centripetalkraft
43
http://da.wikipedia.org/wiki/Inertialsystem
26
Jeg ganger nu konstanten G op i tælleren
Og kan nu fjerne m da det bliver udlignet, der står altså følgende tilbage:
Herved har jeg eftervist Keplers tredje lov, da jeg kan se at venstreside af ligningen kun
indeholder konstanter. Jeg har altså nu eftervist at;
7 Exoplaneter
Exoplaneter også kaldet for extrasolar planeter, er
planeter der kredser om en anden stjerne end solen.
Man har siden oldtiden spekuleret over om der mon
fandtes andre planeter end jorden og senere hen om
der fandtes andre planeter end dem i vores solsystem
samt om der er liv på disse. Men grundet utilstrækkeligt
udstyr var det først i slutningen af 1980’erne og starten
af 1990’erne at man fik udviklet observationsteknikker
så gode at man kunne eftervise de interessante
exoplaneter. På billede 1
44
ser man en stjerne hvorom
der kredser en exoplaneter.
Men siden man fandt observationsteknikker der passede med teorien er det gået stærkt og
man kunne den 4 april 2014 daterede hele 1779 exoplaneter.
45
Forskellig forskningen
tyder på at minimum 10% af de stjerner der bare minder om solen vil have en eller flere
planeter til at kredse rundt om dem, dette tal er sat meget lavt og kan meget vel være
større
46
.
Det fremkommer også at langt de fleste af de hidtil fundne exoplaneter er en hel del større
end jorden og af samme type som Jupiter nemlig gasplaneter. Det vil sige at størstedelen
af de fundne planeter ligger udenfor hvad man kalder den beboelige zone
47
. Grunden til at
størstedelen af de fundne planeter er store og minder meget om gasplaneten Jupiter
skyldes at exoplaneter er lettere at finde jo mere de påvirker elementerne omkring sig,
hertil kan man knytte newtons 3 lov der jo siger at ”2 genstande der påvirker hinanden vil
44
http://fysikleksikon.nbi.ku.dk/e/exoplaneter/
45
http://planetquest.jpl.nasa.gov./
46
http://da.wikipedia.org/wiki/Exoplanet
47
http://da.wikipedia.org/wiki/Den_beboelige_zone
Billede 1
27
Figur 23
blive påvirket med 2 lige store modsatrettede kræfter”.
48
Samt en stor planet, vil
overskygge en større del af stjernens udsendte lys.
7.1 Hvordan har man fundet exoplaneter og viden om dem?
Det er ikke bare lige sådan at kigge i et teleskop når man ønsker at finde eller se på
exoplaneter, dette skyldes at planeter generelt er meget mindre end den stjerne de
kredser om. Så hvordan er det egentligt muligt at have kendskab til deres eksistens når de
ikke er til at se? Det er muligt at se om en stjerne har en planet kredsende derom på
baggrund af stjernen. Jeg vil nu komme ind på nogle af de metoder man har brugt og
stadig bruger i søgen efter exoplaneter.
7.1.1 Astrometri.
Er en gren inden for astronomien hvor man går ind og foretager eller kigger på nogle
meget præcise målinger over stjernernes position gentagne gange og kan på den måde
finde ud af om der kredser en exoplanet om den.
Som tideligere nævnt vil der for en stor planet, der fastholdes af
solens tyngdekraft, gælde at den påvirker stjernen afhængig af
størrelsen. Dette gør at stjernen bliver påvirket af en kraft og vil
derfor bevæge sig i en lille ellipseformet bane. Dette illustreres
på figur 23
49
til figuren kan man knytte at det er masserne der
afgør størrelsen på banebevægelsen.
Man kan sige at astrometri har den fordel at det er en let
metode, det kræver ikke målinger på både planet og sol, men kun en masse målinger på
stjernes position. Denne metode er god til at bestemme planeter der ligger langt fra den
stjerne de kredser om da jo større afstand der er jo mere vil stjernen bevæge sig væk fra
centrum og det vil derfor være tydeligt at se om stjernen bevæger sig. Dog skal det knyttes
at den metode kræver virkelig skarpe og præcise målinger
at stjernes position.
7.1.2 Radialhastighedsmetoden
Denne metode er den mest effektive metode når det
kommer til opdagelsen af exoplaneter. Radialhastigheden
siger noget om den fart stjernen nærmer sig eller fjerner sig
fra en observatør placeret på jorden, dette måles med
dopplereffekten.
Som det ses på figur 24
50
, der skildre to-legeme problemet,
vil stjernen når der kredser en planet omkring den også
bevæge sig i en ellipsebane kan jeg komme med en fælles
48
http://da.wikipedia.org/wiki/Newtons_tredje_lov
49
http://da.wikipedia.org/wiki/Exoplanet
50
http://www.emu.dk/sites/default/files/exoplaneter-wegge.pdf
28
omløbstid T for planeten og stjernen, samt masserne og de tilsvarende afstande fra
massemidtpunktet CM.
Dette gør at jeg nu for figur 24 kan opstille følgende:
RM =rm
Denne formel er beskrevet med Keplers 3 lov samt masssemidtpunktssætningen der siger
stor planet lille radius udlignes ved lille planet stor radius, dette vides da når der er tale om
2 legemer i bevægelse vil de i dette tilfælde kredse om et massemidtpunkt.
51
Det gode ved denne metode er at observatøren gerne skal kunne stå på jorden og se
hvordan stjernens absorptionsspektrum bliver Dopplerforskudt henholdsvis frem og tilbage
passende med bevægelsen. Bevæger planeten sig væk fra observatøren er der tale om
rødforskydning (store bølgelængder) og mod os vil der ske en blåforskydning (små
bølgelængder). (Se bilag 1).
Model for beregning af dopplerforskydning af den modtagne frekvens:
Der kigges nu på et stjerne-planetsystem der tilnærmelsesvis har en konstant hastighed v
0
dog skal det siges at der regnes i et koordinatsystem hvor begyndelsespunktet er
massemidtpunktet (som på figur 1). Denne model bruges til at finde hastigheden på
stjernen. Observatøren står så langt væk at jeg antager synsretningen er konstant, derved
ved jeg at følgende er gældende
Jeg ved også for jævncirkelbevægelse at jeg kan antage følgende
52
:
Nu kan jeg så relativt gå ind og angive stjernen position samt hastighed således
Jeg ved at
v (t) = s’(t) og går derfor ind og bruger simpel differentialregning til at komme frem til
følgende:
51
http://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem
52
Elverkjær, Finn og Benoni, Torben: Fysik AB bogen 2, systime 2007, side 226
Figur 24
29
Jeg bestemmer nu radialfarten Vr, som angiver farten for stjernen enten på vej mod os
eller væk fra os, jeg bruger igen her figur 24 som udgangspunkt og kan komme frem til
følgende:
Når man leder efter exoplaneter bruger man egentlig ikke radialfarten sådan direkte, for
der holder man jo øje med dopplerforskydningen af frekvensen f for en bestemt
absorptionslinje i et bestemt spektrum, men lader jeg den udsendte frekvens være f
0
og
have fundet stjernes fart til et tidpunkt som værende Vr mod os kan jeg knytte følgende om
frekvensen, den samlede frekvens er et produkt af startfrekvensen og farten for stjernen;
Ved omskrivning:
Frekvensen svinger harmonisk for T og amplituden, dette vises således:
Jeg kan altså slutte at frekvensen påvirker farten.
Hvis man så siger man ønsker at finde andre oplysninger om stjernen, end blot farten som
man i forvejen har givet samt massen, og planeten kan man igen kigge på følgende
sammenhæng;
Jeg kan så finde T ved følgende formel
Hvor B, er B-værdien i følgende formel, denne formel får man når man lavet et harmonisk
fit på data for radialhastighed
53
:
V = A*sin(B*t) +D
Jeg kan nu kigge på følgende udtryk igen:
53
http://www.emu.dk/sites/default/files/exoplaneter-wegge.pd, der refereres her kun til Figur 2 i artiklen.
30
Og komme frem til at jeg vil have følgende:
B =
Så
Herefter kan jeg bestemme radius R til at være følgende:
Da jeg som sagt tideligere allerede kender massen på stjernen har jeg nu kun 2 ubekendte
tilbage, nemlig planetens baneradius r samt dens masse m. At have en ligning med 2
ubekendte burde ikke være direkte svært at løse, men det viser sig at selv når man bruger
case-værktøjet maple til at solve får man ikke det ønskede svar, derfor kan man opstille
54
;
Denne nye variabel indsættes nu på på de ubekendtes plads
Og så herefter kan jeg gå ind og gange igennem med x og gange med T
2
og R
3
ind på
oven viste udtryk således at:
Derefter kan man finde værdien for x i oven viste og til slut komme frem til, via beregning på
eksempel, at planetens masse kan findes;
Så kan man nu finde alle parametre i ligningen, man kan endvidere finde afstanden
mellem planeten og stjernen således:
Disse ovennævnte udtryk er altså udtryk jeg kan bruge til at beregne fx masse og radius
på planeten.
54
http://www.emu.dk/sites/default/files/exoplaneter-wegge.pdf
31
Figur 25
7.1.3 Passagemetoden
Denne metode, kendes også som formørkelsesmetoden eller transit metoden
55
, gør brug
af de målinger for den effekt, samt antal fotoner der udsendes og svingningen på antallet,
der opstår når exoplaneten passerer ind mellem stjernen den er centreret om samt en
observatør på jorden. Denne planetpassage gør således at man fra jorden ser en lille bitte
smule mindre lys end det der normalt kommer fra stjernen af, der sker altså en delvis
”formørkelse” på stjernen.
For at denne metode skal kunne anvendes skal der forekomme transit hvilket sker når
planetens bane ligger placeret således at den i sin kredsen om stjernen kommer ind foran
stjernen (set fra observatør). Hertil vil jeg knytte at kravet om transit hæmmer
brugbarheden af dette forsøg da vi fra jorden kun kan se et meget lille spektrum i forhold til
universet.
På figur
56
illustreres det hvordan man ved målinger af lysets ”skarphed” kan afgøre om der kredser
en exoplanet om den. For at denne metode er brugbar skal man have en række målinger
over transit-perioder for at kunne fastslå at der er en exoplanet til stede, problemet er bare
at det kan tage rigtigt lang tid, nogle gange flere år før en exoplanet har kredset om
moderstjernen.
57
Men når man så har indsamlet tilstrækkeligt data jeg vil her tage udgangspunkt i at man
har opstillet en tidsserie for omløbstiden P og en tidsserie for passagedybden D samt
passagetiden T.
Exoplanet passage
58
jeg vil vise, ved at analysere en givet tidsserie som beskrevet ovenover, at man vil kunne
gå ind og bestemme 3 størrelser for en exoplanet:
55
http://fysikleksikon.nbi.ku.dk/e/exoplaneter/#
56
http://astronomyonline.org/Exoplanets/AmateurDetection.asp
57
http://fysikleksikon.nbi.ku.dk/e/exoplaneter/#
58
http://www.kvant.dk/upload/kv-2009-2/kv-2009-2-TA-asteroseismologi.pdf
32
1. Omløbsperiode P.
2. Passagetiden T (tid for planet at krydse stjernen, set fra observatør)
3. Passagedybden D (mængde absorberet lys)
Jeg går igen ind og regner med at stjernens masse M
s
og radius
Rs er
givet på forhånd
samt at man via lyset har bestemt lysstyrke og overfladetemperatur T
overflade.
Nu anvender jeg Newtons opfattelse af Keplers tredje lov
59
der jo siger;
P betegner den tid det tager for planeten at kredse en omgang, m1 og m2 er masserne på
henholdsvis stjerne og planet og a er den halve storakse for planetbanen om stjernens
tyngdepunkt.
Det er generelt gældende at planeten der kredser om stjernen har den mindste masse, og
der vil være en merkant forskel, derfor kan jeg nu opskrive følgende:
Ved en simpel omskrivning bliver dette til følgende:
Jeg kender massen på stjernen samt plantetens omløbsperiode, hvilket gør at jeg nu kan
finde banehastigheden for planeten:
Jeg indsætter nu de rigtige formler:
Jeg ved at stjernen og planeten kredser om et midtpunkt
60
dette gør at de begge to
bevæger sig i baner, ved at kigge på stjernes hastighedsvariation kan jeg finde stjernens
banehastighed (v. måling af radialhastigheden som funktion af planetfase) og tage
amplituden der vil være lig med v
stjerne.
Ved isolering fås:
59
http://www.astro.umass.edu/~weinberg/a114/handouts/concept1.pdf
60
http://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem
33
Dette gør at jeg kan finde planetens radius via mængden af lys når planeten blokerer,
passagedybde, det angives som det procentvise fald i lys mængde:
Jeg vil runde af med at snakke om overfladetemperaturen på planeten, denne temperatur
”afhænger” af følgende
61
;
Stjernens overfladetemperatur T
overflade.
-> jo højere dennes temperatur er, jo mere
energi udsender stjernen
62
og dette påvirker planetens temperatur.
Stjerne radius R
s
-> jo større overflade jo mere energi bliver der udsendt hvilket
øger planet temperaturen.
Planetens albedo A -> intensitet af tilbagekastet lys, jo højere albedo jo lavere
temperatur og omvendt.
Afstand mellem de 2 legemer, a (halvestorakse) -> jo større afstand jo mindre af
stjernens energi vil nå planeten, hvilket gør den koldere.
Konklusion
Det kan konkluderes at trods Kepler kom frem til lovene empiriske har de vist sig at være
forbløffende præcise, dog siger Keplers første lov at solen er i stilstand i ellipsens ene
brændpunkt hvilket man senere gennem Newtons har kunnet fastslå som være en forkert
opfattelse da planeten og solen påvirker hinanden og derfor har et fælles midtpunkt. Jeg
har i opgaven haft stor brug for viden om ellipsen som matematisk objekt og dette har gjort
eftervisningen for Keplers love meget lettere.
Jeg kan endvidere konkludere at Keplers love gennem dette projekt er blevet eftervist med
begreber som ellipse ligning, polære koordinater, impulsmoment samt ellipsens ligning i
polære koordinater, disse er alle begreber jeg har omtalt i projektet og har været med til at
fremme forståelsen for hvad planetbevægelse er og hvordan det bruges. Keplers love er
uundværlige når det kommer til planetbevægelse og en sikker konklusion om disse er at
Keplers love er centrale når det kommer til forskning i rummet samt søgen efter planeter
som ikke kan ses.
Mennesket udvikling samt teknologiens udvikling har også muliggjort at dekteringen af
exoplaneter, og jeg kan konkludere at man ud fra detektionsmetoder som
61
http://exo.systime.dk/index.php?id=128 -> afsnittet om temperatur på overflade.
62
Skyldes en exoterm process hvor der bliver frigivet varme = høj temp.
34
radialhastigheden, astrometri og transitpassage kan finde en række oplysninger om
exoplaneten, så jeg vil hertil knytte at man ved at kende en masses bevægelse og
mængde lys der bliver udsendt kan gå ind og bestemme en ”usynlig” planets masse,
størrelse, omløbsperiode, overflade temperatur osv.
Litteraturliste
Keglesnit og ellipse m.m.
Hjemmesider
http://da.wikipedia.org/wiki/Apollonius
http://da.wikipedia.org/wiki/Ellipse_%28geometri%29
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=644
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=645
http://ggbkursus.dk/formelsamling/areal-og-omkreds/
http://da.wikipedia.org/wiki/Enhedscirklen
http://da.wikipedia.org/wiki/Kartesisk_koordinatsystem
http://da.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%A6rt_koordinatsystem
http://www.fysikhistorie.dk/merer2/polaermer.html
http://www.matlex.dk/kepler.html
http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/geometri/afstandsformlen
Bøger
Carstensen, Jens og Frandsen, Jesper: MAT 3A. Systime 1999.
Elverkjær, Finn og Benoni, Torben: Fysik AB bogen 2, systime 2007.
Kepler samt hans love
Hjemmesider
http://videnskab.dk/miljo-naturvidenskab/store-opdagelser-johannes-keplers-planetlove
http://da.wikipedia.org/wiki/Pluto_%28dv%C3%A6rgplanet%29
http://ihs01.elevunivers.dk/lru/geometer/gymnasie/Keplers_love.pdf
http://da.wikipedia.org/wiki/Vektor_%28geometri%29
http://www.virum-gym.dk/vgportal/s3Ft56YuI_o9iUyqlzXxmT/%7B4871850C-3D03-4BF4-AAD1-
E7EFE8A7A4D5%7D/Impulsmoment%20og%20banebev%C3%A6gelse.pdf
http://da.wikipedia.org/wiki/Inertialsystem
http://www.e-formel.dk/view/Momentsaetningen
35
http://matahtx.systime.dk/index.php?id=364
http://wiki.mitsted.dk/?page=Keplers_love&revision=664
http://www.fysikhistorie.dk/merer2/newpolaer.html
http://da.wikipedia.org/wiki/Buesekund
http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=627
http://www.physikerboard.de/topic,9504,-geschwindigkeit-im-perihel.html
http://www.fysikhistorie.dk/merer2/newmer4.html
http://www.nbi.ku.dk/spoerg_om_fysik/fysik/centripetalkraft_centrifugalkraft/
http://da.wikipedia.org/wiki/Centripetalkraft
http://da.wikipedia.org/wiki/Inertialsystem
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/KeplersLaws.htm
http://da.wikipedia.org/wiki/Newtons_tredje_lov
http://da.wikipedia.org/wiki/Vektor_%28geometri%29
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Astronomi/Himmellegemernes_positio
ner_og_bev%C3%A6gelser/Keplers_love
http://da.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
http://ihs01.elevunivers.dk/lru/geometer/gymnasie/
Bøger
Carstensen, Jens og Frandsen, Jesper: MAT 3A. Systime 1999.
Rasmussen, Kaare Lund og Meyer, Torsten: Planeter. Munksgaard 1998.
Exoplaneter
Hjemmesider
http://fysikleksikon.nbi.ku.dk/e/exoplaneter/
http://planetquest.jpl.nasa.gov./
http://da.wikipedia.org/wiki/Exoplanet
http://da.wikipedia.org/wiki/Newtons_tredje_lov
http://astronomyonline.org/Exoplanets/AmateurDetection.asp
http://www.astro.umass.edu/~weinberg/a114/handouts/concept1.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem
http://www.rummet.dk/universet/exoplaneter
36
http://exo.systime.dk/index.php?id=128
http://astronomyonline.org/Exoplanets/AmateurDetection.asp
http://da.wikipedia.org/wiki/Den_beboelige_zone
Internetartikler
http://www.kvant.dk/upload/kv-2009-2/kv-2009-2-TA-asteroseismologi.pdf
http://www.emu.dk/sites/default/files/exoplaneter-wegge.pdf
Bøger
Elverkjær, Finn og Benoni, Torben: Fysik AB bogen 2, systime 2007
37
Bilag 1
63
Bilag 1 viser sammenhæng mellem længde på bølgelængde og forskydning. Lyset fra en
lyskilde vil være rødforskudt når lyskilden fjerner sig og blåforskudt når det nærmer sig.
63
Elverkjær, Finn og Benoni, Torben: Fysik AB bogen 2, systime 2007, side 94.