Spilteorier og sandsynlighedsregning
Studieretningsprojekt i Matematik A & Dansk A
HTX 3. år
3.U
Vejledere:
06 februar 2015
HTX 3. år
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
1
Abstract
This assignment is based on the subjects Mathematics A and Danish A. In the part involving Math it will
overlook the probability theory and combinatory with an offspring in poker and gambling. The other part,
involving the subject Danish, will be based on an article from the magazine Illustreret Videnskab
1
. The
problem is that when you are sitting at the poker table, you often make reckless decisions without making a
thought. This could have been avoided if the right techniques were merely put to use. I have tested in what
range one can apply the theory of probability to Texas Hold ‘Em Poker. It turns out that the chance of getting
a hand with a Royal Flush is at 0.000154%, which I may conclude is not very good odds.
I have analysed scenarios from poker games from which I have gathered that it will always be wiser to play it
safe, rather than to bet. Often the probability is simply too small to place your money with. However, one can
always be lucky and get off with an all right deal. Then you should go for it, otherwise it is not worth it.
Pot Odds is a tool that provides a good solution to calculate one's potential chances of hitting one of the outs
that are still in the deck. This is a very neat way to consider whether or not you should call or fold. It is the
link between the chances of winning and the odds from the table.
This assignment has given me a good insight in the mathematics of poker, and I can conclude that poker
game is working with very small probabilities. You have less than zero shot at winning the big bucks.
However, this assignment will give you the tools to think first and then gamble.
1
(Videnskab u.d.)
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
2
Indholdsfortegnelse
Afsnit: Side:
Abstrackt ............................................................................................................................................................................. 1
1. Indledning ....................................................................................................................................................................... 3
2. Sandsynlighedsregning og kombinatorik ........................................................................................................................ 4
2.1 Sandsynlighedsregning ............................................................................................................................................. 4
2.1.1 Jævn sandsynlighed .......................................................................................................................................... 4
2.1.2 Additivitetsreglen .............................................................................................................................................. 5
2.1.4 Uafhængige hændelser ..................................................................................................................................... 6
2.2 Kombinatorik ............................................................................................................................................................ 6
2.2.1 Additionsmetoden og multiplikationsprincippet .............................................................................................. 6
2.2.2 Fakultet .................................................................................................................................................................. 7
2.2.3 Ordnet/uordnet - med/uden tilbagelægning ........................................................................................................ 7
2.2.3.1 Ordnet stikprøve uden tilbagelægning .......................................................................................................... 8
2.2.3.2 Ordnet stikprøve med tilbagelægning ........................................................................................................... 8
2.2.3.3 Uordnet stikprøve uden tilbagelægning ........................................................................................................ 9
2.2.3.4 Uordnet stikprøve med tilbagelægning ......................................................................................................... 9
3. Eksempler og scenarier ................................................................................................................................................... 9
3.1 Eksempler på sandsynlighedsregning....................................................................................................................... 9
3.1.1 Antal muligheder i alt ved 5 kort. ..................................................................................................................... 9
3.1.2 Udregning af sandsynligheden for en Flush .................................................................................................... 10
3.1.3 Udregning af sandsynligheden for en Straight Flush ...................................................................................... 11
3.1.4 Udregning af sandsynligheden for en Royal Straight Flush (Royal Flush) ....................................................... 11
3.2 Spillescenarier ........................................................................................................................................................ 12
3.2.1 Scenarie 1 - Gus Hansen mod Daniel Negreanu .............................................................................................. 13
3.2.2 Scenarie 2 - tilfældige kort .............................................................................................................................. 14
3. Populærvidenskabelig formidling ................................................................................................................................. 16
3.1 Artikel til illustreret videnskab ............................................................................................................................... 16
3.2 De formidlingsmæssige valg ................................................................................................................................... 20
Konklusion ........................................................................................................................................................................ 21
Bibliografi .......................................................................................................................................................................... 22
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
3
1. Indledning
Denne opgave kommer til at handle om sandsynlighedsregning, kombinatorik og herunder Poker og
gambling. Hvad jeg vil med opgaven er at udbrede en viden omkring spillestrategier inden for Poker, mere
specificeret Texas HoldEm Poker, som kan bidrage til bedre og flere velovervejede satsninger fremfor
hurtige og unødvendige satsninger. Det sker nemlig ofte, at man som gambler tager uovervejede sats, og
mange ender derfor med at gå tomhændet hjem - Nogle ender måske endda med at miste flere penge end
vedkommende har, hvilket kan have personlige konsekvenser.
Selv har jeg aldrig været den helt store Pokerspiller, og har jeg forsøgt mig, er jeg som regel endt med et
underskud. Dette, tænker jeg, er også sket, fordi jeg aldrig har været vidende om, at sandsynlighedsregning
faktisk kan inddrages i Poker.
Men hvilke spillerstrategier, under sandsynlighedsregning og kombinatorik, kan være behjælpelige til at
forøge vinderchancerne? Og i så fald, hvordan kan dette formidles for at gøre det forståeligt for den
almindelige dansker?
I opgaven vil der blive redegjort for begreber under emnet sandsynlighedsregning, og herunder
kombinatorik. Sandsynlighedsregning og kombinatorikregning er to forskellige regnemetoder, men for at man
kan regne på sandsynligheder for de gode kombinationer i Poker, så skal begge metoder inddrages.
I opgaven vil der bliver regnet på sandsynlighederne for at trække nogle af de bedste ”hænder” i Texas
HoldEm Poker, hvor det så vil fremkomme hvilke kombinationer som er mest usandsynlig at få.
Der vil også blive givet eksempler på spillescenarier og heraf draget vurderinger - Kan det betale sig at satse
eller vil det være klogt at spille sikkert? Disse eksempler skal også generelt give en bedre forståelse af
spillets helhed, og for at bygge videre på forståelsen vil der samtidig indgå en populærvidenskabelig artikel i
opgaven. Denne artikel vil på sin vis tage udgangspunkt i de foregående udregninger, eksempler og
scenarier.
I forlængelse af denne artikel er der et refleksionsnotat, som begrunder de formidlingsmæssige valg, der er
foretaget i forhold til målgruppen for artiklen.
Opgavens helhed giver en forståelse for matematikken bag Poker - sandsynlighedsregning og kombinatorik,
og nogle af de spillestrategier, som der gennemgås, vil skabe større sikkerhed, for ikke at ende med et
nederlag og pengetab i Pokerspillet.
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
4
2. Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Ved sandsynlighedesregning regner man ofte på stokastiske eksperimenter, som er eksperimenter, hvor
resultatet kan variere selvom forsøgsbetingelserne ikke ændres. Sandsynlighederne går fra 0 til 1. Er en
sandsynlighed 0 for et givent udfald, så vil dette aldrig ske. Er sandsynligheden 1 for det givende udfald, så
vil det altid ske. Sandsynlighederne kan med lethed omregnes til procenter ved at gange sandsynligheden
med 100.
Kombinatorik læner sig meget op ad sandsynlighedsregning, og her tæller man i grove træk kombinationer
for at finde ud af, hvor mange måder et sæt af elementer, f.eks. 52 spillekort, kan kombineres.
2.1 Sandsynlighedsregning
Jeg vil først forklare og uddybe begreberne:
Ord
Forklaring
Stokastiske eksperimenter
Et stokastisk eksperiment kan have forskellige ”udfald”,
selvom betingelserne for forsøget ikke ændres.
Eksempelvis, hvis man trækker en konge fra et kortspil, og
derefter blander kortspillet. Man vil man sandsynligvis ikke
trække det samme kort igen efterfølgende.
Udfaldsrum
Et udfaldsrum er en mængde, som regnes, hvor
.
F.eks. vil udfaldsrummet i et kortspil gå fra
til
, da der er 13 forskellige kort.
Elementerne, som danner udfaldsrummet, kaldes udfald.
Udfald
Et udfald er simpelthen de varierende resultater, som
fremkommer fra det stokastiske eksperiment.
2.1.1 Jævn sandsynlighed
Ved en jævn sandsynlighed, som også kaldes symmetrisk sandsynlighed, fremgår det, at alle udfald er lige
sandsynlige.
Her benyttes formlen for en jævn sandsynlighed:
2
2
(Frandsen 1989)
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
5
P skal forstås som sandsynligheden, og det stammer fra det engelske udtryk probability.
A er en hændelse i et symmetrisk sandsynlighedsfelt.
De gunstige udfald er de udfald, som man gerne vil kende sandsynlighederne for.
De mulige udfald er de udfald, som i alt er mulige.
Her ses et lille eksempel:
I et kortspil med 52 kort, skal sandsynlighederne for følgende hændelse findes:
A: at trække et sort kort
B: at trække en esser
C: at trække en dronning eller konge
Her bruges formlen for jævn sandsynlighed til at regne på de ovennævnte hændelserne:
Som det fremgår, så er det gunstige antal i det her tilfælde, de kort, der forventes at blive trukket. Det antal
deles med det samlede antal kort, og sandsynligheden kan findes.
2.1.2 Additivitetsreglen
Det kan nogle gange være nødvendigt at finde summen for nogle hændelser, hvis man ønsker den samlede
sandsynlighed. Hvis man ønsker at finde sandsynligheden for at trække en spar eller en hjerter i et kortspil,
kan fremgangsmåden således være:
Der er altså 50 procent chance for at trække enten en spar eller en hjerter. Den udregning, som her
benyttes, kaldes additivitetsreglen. Den har formlen:
3
Så for at finde sandsynligheden for flere hændelser, skal summen for sandsynlighederne, A, B, … n, bruges.
3
(ApS 2014)
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
6
2.1.4 Uafhængige hændelser
Når der forekommer flere forskellige hændelser i et eksperiment, kan det være nyttigt at vide, om
hændelserne er afhængig af hinanden, eller om de ikke har nogle virkning og er uafhængige af hinanden.
F.eks. roulettespil i et kasino. Bolden er landet på sort flere gange i streg. Dette gør ikke sandsynligheden
større for, at den næste gang lander på rød, dersom hver enkle runde er uafhængig af hinanden.
Hvis A og B er 2 hændelser i et sandsynlighedsfelt (U,P), vil A være uafhængig af B, hvis
4
Når hændelse A og B er i sandsynlighedsfeltet (U,P), vil A være uafhængig af B, hvis
5
Denne formel vil man bruge i tilfælde af uafhængighed. Hændelsers uafhængighed er derfor en vigtig del af
sandsynlighedsregning.
2.2 Kombinatorik
Ønsker man at beregne sandsynligheder, så dækker kombinatorikken over mange måder, hvorpå dette kan
gøres. Jeg starter i det basale og tager udgangspunkt i et tælletræ:
Her vises der et eksempel på sammensætninger af kombinationer.
På tælletræet ses der 3 pinde oppefra. De udvikler sig til 3 flere
pinde hver, og de 3 pinde udvikler sig til i alt 9 kombinationer.
2.2.1 Additionsmetoden og multiplikationsprincippet
Additionsmetoden er meget simpel og udtrykkes ved:
6
Man kalder den ”enten-eller-metoden”, fordi den bruges når der kun må udvælges én ting.
Multiplikationsprincippet læner sig lidt op af additionsmetoden. Den ser sådan ud:
4
2
5
2
6
3
Figur 1: tælletræ
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
7
7
Princippet kaldes også ”både-og-princippet”, fordi der er muligheder for at sammensætte en ”menu” ud fra
flere muligheder.
F.eks. hvis man ser på et menukort med 3 forretter, 3 hovedretter og 3 desserter.
I forhold til additionsmetoden så har man her kun kombinationer, og i forhold til
multiplikationsprincippet så har man kombinationer.
2.2.2 Fakultet
Fakultet er meget relevant inden for kombinatorik. Denne gør det muligt at forsimple ligninger. Fakultetstallet
indføres.
Der kan tages fakultet af hele positive tal, og definitionen er:
8
Fakultet af tallet 5 og tallet 9 bliver:
Fakultetstallet kommer til udtryk i næste afsnit, og her bliver det brugt i mere relevante sammenhænge.
2.2.3 Ordnet/uordnet - med/uden tilbagelægning
For at kunne forstå definitionen på ordnet & uordnet - med & uden tilbagelægning skal der først dannes en
forståelse af ordene nedenfor:
Ord
Forklaring
Stikprøve
En stikprøve betyder, at man vælger en tilfældig delmængde fra en hel
mængde.
Ordnet stikprøve
En ordnet stikprøve vil sige, at en rækkefølge har en relevant
betydning.
F.eks. 2,3,4,5, …10
Uordnet stikprøve
Her har rækkefølgen ingen betydning.
Med tilbagelægning
Med tilbagelægning vil sige at man kan bruge det samme element
igen. Elementet udgår altså ikke men forbliver.
Uden
tilbagelægning
Elementet lægges ikke tilbage, så den udgår og kan derfor ikke
vælges flere gange.
7
3
8
(Carstensen 2006)
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
8
Her ses et lille skema, som i alt viser 4 måder at tælle kombinationer på:
Figur 2: Udtag fra PDF fra Sejergårdsskolens musikefterskole
9
2.2.3.1 Ordnet stikprøve uden tilbagelægning
Antallet af kombinationer for en ordnet stikprøve uden tilbagelægning udregnes ved
10
Af formlen ses:
Her skal der vælges et antal, men kun én af hver, og rækkefølgen er betydningsfuld.
Eksempel:
I et kortspil er der i alt 52 kort, hvor 3 kort ud af de 52 skal udtages i alt. Hvert kort må kun bruges én gang.
Muligheder i alt bliver så
Der skal bruges 3 kort, så
Det bliver så til
Der kan vælges 3 kort på 132.600 forskellige kombinationer.
2.2.3.2 Ordnet stikprøve med tilbagelægning
For en ordnet stikprøve med tilbagelægning må det samme element bruges flere gange, og rækkefølgen er
her vigtig. Antallet af kombinationer kan udregnes ved:
9
(musikefterskole 2009/2010)
10
3
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
9
Eksempel:
2.2.3.3 Uordnet stikprøve uden tilbagelægning
Ved denne stikprøve må det samme element ikke benyttes igen, og rækkefølgen er ligegyldig, og
kombinationen kan her regnes:
Denne formel kommer også senere til udtryk, når der regnes på kombinationer af kort i Poker.
2.2.3.4 Uordnet stikprøve med tilbagelægning
Rækkefølgen har her ikke nogen betydning, og elementet kan bruges flere gange. Udregningen bliver
således følgende:
De 4 forskellige måder at udregne kombinationer på er som sådan ikke specielt komplicerede, fordi man ved
addition, subtraktion, multiplikation og division kan udregne de forskellige sammensætninger.
3. Eksempler og scenarier
For at gøre denne teori lidt mere virkelighedsnært, har jeg regnet på sandsynligheden for at få nogle af de
bedste ”hænder” i spillet Texas HoldEm Poker. I alle eksemplerne er udgangspunktet det samme;
Der kendes 5 kort - 2 på hånden og 3 på bordet.
3.1 Eksempler på sandsynlighedsregning
Jeg vil nu regne på sandsynligheden for at få henholdsvis Flush, Straight Flush, Royal Flush og Full House.
Disse hænder består af forskellige sammensætninger, så der er forskellige sandsynligheder for at få hver
enkelt.
3.1.1 Antal muligheder i alt ved 5 kort.
Der findes rigtig mange forskellige kombinationer og sammensætninger i et kortspil, og typisk består et
kortspil af 52 kort, og når 5 kort kendes, så kan alle de mulige kombinationer udregnes. Dette kan gøres med
formlen for uordnet stikprøve uden tilbagelægning:
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
10
Denne formel vil generelt blive brugt gennem alle sandsynlighedsregningerne, da man i Texas HoldEm
Poker ikke tager højde for, hvilken rækkefølge kortene kommer i. Når de mulige kombinationer udregnes, vil
n- og r-værdierne blive:
- da der i alt er 52 kort i et kortspil.
- da vi kender 5 kort, ud af de 52.
De mulige kombinationer kan regnes:
Der er altså knap 2,6 millioner mulige kombinationer i et kortspil ved 5 kendte kort. Denne udregning
kommer til at være gennemgående gennem de kommende eksempler, da antallet af de mulige gunstige
kombinationer skal findes, ud af alle mulige kombinationer, der kan forekomme.
3.1.2 Udregning af sandsynligheden for en Flush
En Flush består er 5 forskellige kort, dog i samme kulør, som det ses her:
Figur 3: Flush
11
En Flush kræver 5 kort, så r-værdien bliver , og da der er 13 forskellige kort, fra A til K, så bliver n-
værdien . De 2 værdier kan nu indsættes i formlen:
I og med at der kan vælges 13 kort indenfor 4 forskellige kulører - Spar, Hjerter, Ruder og Klør- så skal
formlen ganges med 4 for at finde kombinationerne:
Men en Flush kan også sammensættes, så den giver bedre vinderchancer end normalt, nemlig når det er en
Straight Flush. Disse udgør 10 muligheder (inklusiv den Royale Flush) inden for hver farve, (A,2,3,4,5),
(2,3,4,5,6), (3,4,5,6,7),....(10, J, Q, K, A). Altså 40 kombinationer, som trækkes fra. Jeg kommer senere ind
på Straight og Royal Flush.
11
(PokerListings 2003)
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
11
Sandsynligheden for en Flush kan regnes, når de gunstige muligheder er fundet. Det gør jeg med formlen for
jævn sandsynlighed:
Der er altså en sandsynlighed på 0,2 % for at få en Flush, hvis man har 5 kort.
3.1.3 Udregning af sandsynligheden for en Straight Flush
En Straight Flush består af en Straight og en Flush, på samme hånd. Her gælder det om at få 5 kort i samme
kulør og samtidig i rækkefølge.
Figur 4: Straight Flush
12
Som jeg også har nævnt tidligere, så kan en Straight Flush forekomme i 10 tilfælde, hvor Royal Flush indgår.
Inden for hver kulør sorteres Royal Flush fra, fordi den giver større vinderchancer end en Straight Flush. Jeg
vender tilbage til udregningen af den. En Straight Flush fås så i 9 kombinationer inden for hver farve. Jeg
starter med at udvælge kuløren, hvor
De fundende værdier indsættes således i formlen:
Der ganges med 9, da der ved hver kulør er 9 sammensætninger - ved dette findes de gunstige muligheder:
For at finde sandsynligheden for en Straight Flush bruges samme udgangspunkt som ved Flush’en, og jeg
deler de gunstige kombinationer med de mulige kombinationer:
Sandsynligheden for at få en Straight Flush er altså forholdsvis lille, på bare 0,00139%.
3.1.4 Udregning af sandsynligheden for en Royal Straight Flush (Royal Flush)
En Royal Flush læner sig meget op ad en Straight Flush, men her er der kun én mulighed i hver kulør, altså
(10,J,Q,K,A). Dette er den bedste hånd i spillet, og dermed også den mest usandsynlige at få.
12
11
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
12
Figur 5: Royal Flush
13
Fremgangsmåden for at finde sandsynligheden er præcis, som ved en Straight Flush.
Kuløren udvælges:
Da Royal Flush kun kan fås én gang i hver kulør, er de mulige kombinationer allerede fundet ovenover,
altså:
Jeg udregner nu sandsynligheden:
Med en sandsynlighed på 0,000154%, kan man godt sige, at en Royal Flush er ret usandsynlig, og det er
også den sværeste kombination at få, og derfor den som giver de bedste vinderchancer.
Disse sandsynligheder er eksempler på, hvor lille en chance, der er for at få de bedste hænder. Man kan dog
også trække hænder med et eller to par, som er mere sandsynlige at få, men grundet dette, har de også en
lavere værdi.
3.2 Spillescenarier
For at give en uddybende forståelse af sandsynligheder og kombinationer, vil jeg nu se på 2 forskellige
spillescenarier og vurdere på vinderchancerne.
Før jeg går videre, skal der først skabes en forståelse af betegnelsen Outs
.
Outs er det samlede antal kort, der er tilbage i dækket, som kan forbedre ens vinderchancer. Har man f.eks.
trukket en spar 10 fra dækket, vil der være 3 outs tilbage, da der samtidig også er en hjerte 10, kløver 10 og
en ruder 10. Nedenfor her illustreres en tabel, som viser hvor stor sandsynlighederne er ved varierende antal
outs.
13
11
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
13
Tabel 1: Tabel taget fra bogen"Vind i Poker"
14
Antal Outs
Sandsynlighed
Procent %
2
1:23
4,35
3
1:15,3
6,50
4 (inderside straight draw)
1:11,5
8,70
5
1:9,20
10,90
6
1:7,67
13
7
1:6,57
15,20
8 (åbent straight draw)
1:5,75
17,40
9 (flush draw)
1:5,11
19,60
10
1:4,60
21,70
11
1:4,18
24
12
1:3,83
26,10
13
1:3,54
28,30
14
1:3,28
30,40
15
1:3,07
32,60
16
1:2,92
34,30
17
1:2,70
37
18
1:2,56
39,10
19
1:2,42
41,30
20
1:2,30
43,50
3.2.1 Scenarie 1 - Gus Hansen mod Daniel Negreanu
I 2009 spillede Gus Hansen, en professionel dansk pokerspiller, mod Daniel Negreanu, i en pokerturnering
15
.
De endte med en rigtig høj pot, da de begge havde gode vinderchancer, men var det smart at satse, eller
skulle de have spillet sikkert? Dette belyses nu lidt nærmere.
De sad med følgende hænder:
Gus
Ruder 5 og kløver 5
Daniel
Spar 6 og hjerte 6
På bordet
Hjerte 5, ruder 6 og
kløver 9
Begge sad de med 3 ens, og begge havde altså en god hånd. Jeg vil nu se på sandsynligheden for, at der
kunne fremkomme 4 ens og en Straight.
14
(Steffen Dam 2005)
15
(Youtube 2010)
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
14
4 ens:
Da der er 7 kort i spil, vil der være 45 kort tilbage i dækket. For at en af dem kan få 4 ens, kræver det enten
én 5’er eller én 6’er. Jeg finder nu sandsynligheden for, at en af disse kort vil blive trukket.
Da der kun er 45 kort tilbage, vil dette være alle de mulige udfald. Der skal enten bruges én 5’er eller én 6’er,
så det gunstige udfald bliver 2. Her benyttes formlen for jævn sandsynlighed:
Chancen for, at der enten bliver trukket én 5’er eller én 6’er, er altså 4,444% stor.
Straight:
For at få en Straight, så mangles der en 7’er og en 8’er og da der ikke er nogle af disse kort på bordet, har
begge kort 4 outs. Om den ene kommer efter eller før den anden er irrelevant. Jeg regner først
sandsynligheden for, at den ene kommer, og så må sandsynligheden for at den anden kommer vokse, da
der er færre kort i bunken. Jeg finder sandsynligheden:
Jeg ganger med 2, da der enten kan komme en 7’er eller en 8’er - Der er 2 muligheder, og chancen for de to
udfald begge bliver trukket, er 1,161%.
Både Gus og Daniel havde fra start gode vinderchancer, hvor Daniels’ var størst, da hans kort havde den
højeste værdi. Med de kort, som lå på bordet, var der gode chancer for en ”udvikling” fra 3 ens til f.eks. 4 ens
eller Straight Flush. Dog var sandsynligheden for at trække et kort, som kunne give 4 ens, ikke særlig stor,
med sine 4,444%. Daniel ville så her have den største chance for at vinde, fordi han fra start havde de
højeste værdier.
3.2.2 Scenarie 2 - tilfældige kort
For at tage et andet eksempel så ses der 2 nye hænder og 3 kort på bordet. Personerne A og B har
følgende kort i spil:
A
Hjerter 5 og kløver 9
B
Spar 7 og konge
På bordet
Kløver 4, spar 9 og
ruder bonde
Person A har par 9 og ikke andet værdifuldt, og her vil den bedste hånd være at gå efter et fuldt hus.
Person B har ikke noget værdifuldt, men kan gå efter en Flush, da der i forvejen er 3 spar i spil.
Jeg vil nu regne sandsynligheden ud for at person A får Fuldt Hus.
Person A - Fuldt hus
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
15
Der er igen 7 kort i spil, så 45 tilbage i dækket. Der er kun én 5’er i spil, så her er der 3 outs, og der er 2
9’ere i spil, så her er der 2 outs. Der er nu alt, hvad der skal bruges, for at regne sandsynligheden ud, for at
A får et fuldt hus.
Her er udgangspunktet det samme, som i Gus og Daniels spil, hvor der ganges med 2. Sandsynligheden
bliver 0,606%, så der er en meget lille chance for, at A får Fuldt hus.
Jeg regner nu på sandsynligheden for, at B får en Flush.
Person B - Flush
Ud af de 13 spar, som der findes i et kortspil, er der 3 i brug, dvs. 10 outs på spar. B skal kun bruge 2 flere
klør for at danne en Flush, og de gunstige kombinationer kan findes ved at sige:
De mulige kombinationer findes:
Så kan sandsynligheden udregnes:
Der er altså 4,545% chance for, at B får de resterende 2 spar, som kan danne en Flush.
Ud fra disse beregninger på A og B, vil B have størst chance for at vinde. Man kan så sige, at A’s
kombination er sværere at få, og dermed også mere værdifuld end en Flush. For B gælder det dog, at
vinderchancerne ikke er særlige store fra start, og A sidder med et par. Der er en chance for at B får fuldt
hus, men chancen er dog ikke særlig stor.
Men når der regnes med så små sandsynligheder, så funderer jeg over, om det overhovedet kan betale sig
at satse på at der fremkommer et kort, som vil forbedre vinderchancerne?
I scenarie 1 med Gus og Daniel vil det give god mening at satse, da en kombination af 3 ens er et godt
udgangspunkt at starte med - En sådan hånd vil skabe gode vinderchancer. Da ingen af dem ved, om den
anden faktisk sidder med en god hånd, kan de hver især reelt sidde og bluffe. Men har man en starthånd,
hvor på 3 ens, så kan man godt tillade sig at satse, da der er bedre chancer for at ramme en god
kombination, end hvis man har to forskellige kort. Det vil dog aldrig være sikkert at satse, da
sandsynligheden for en sikker vinderhånd er minimal.
I det andet scenarie vil det give mindre mening for begge to at satse. Person A sidder dog med et par, men
da sandsynligheden for at få en sådan hånd er forholdsvis stor, vil den heller ikke skabe så gode
vinderchancer. Person B sidder ikke med særlige gode kort, så hans vinderchancer er eget små.
Generelt så vil det kun i få tilfælde kunne betale sig at satse. At trække en vinderhånd kræver stort hæld, når
vi arbejder med så små sandsynligheder, og ”in real life” satser eller bluffer de professionelle generelt ikke,
da sandsynligheden for at vinde ved at spille sikkert over flere omgange, er betydelig større.
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
16
3. Populærvidenskabelig formidling
Meget af denne teori ovenfor kan til dels være forvirrende og svært at forstå. Man kan derfor, for at gøre
denne teori fremmede familiært, altså at gøre det komplicerede stof bedre forståeligt, mere spændende og
underholdende, skrive en populærvidenskabelig artikel.
For at fremstille en sådan artikel, kræver det at man er bekendt omkring sin målgruppe, da det teoretiske stof
skal formidles således, at det gør emnet forståeligt og samtidig spændende at fordybe sig i. Man skal nå
læserens forståelsesunivers
16
.
Med dette udgangspunkt, vil jeg her at formidle det teoretiske omkring sandsynlighedsregning og
kombinatorik, med udgangspunkt i poker, i en videnskabelig artikel.
Artiklen er henvendt til Illustreret Videnskab, som er et kendt videnskabsblad. Bladet er netop kendt for at
formidle det teoretiske og uforståelige fra forsker til almindelige danskere, som har en interesse for
udviklingen i samfundet og de nye teknologier.
3.1 Artikel til illustreret videnskab
På næste side fremstår den populærvidenskabelige artikel, og derefter, beskriver jeg de formidlingsmæssige
valg, som jeg har foretaget i forhold til artiklens målgruppe.
16
(Hansen 2008)
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
17
Fra oldtidskort til verdensomspændende
hasardspil
Kortspil startede som et
alternativ til tidsfordriv, men
gennem tiden har det
udviklet sig til mange former
for gambling og hasardspil,
hvor penge sættes over styr,
penge vindes og penge tabes.
De almindelige spillekort har
en lang historie tilbage i tiden.
”Made in China” burde der
trykkes på dem, for grundlaget
af kortspillet, som vi kender
det i dag, kan spores tilbage til
Kina i 900-tallet, hvor det blev
brugt til at spille Domino og
Mahjong. Udbredelsen af
kortene ramte Europa i 1300-
tallet, og der spirede mange
forskellige kortspil frem,
herunder moder-spillet til
Poker, nemlig Primero.
Primero stammer fra Spanien,
og der fremspirede
efterfølgende andre spil, som
var kraftigt inspireret heraf.
Heriblandt den tyske version,
Pochen, og den franske
version, Poque. I 1834
beskrives reglerne for Poque
for første gang af
amerikaneren Jonathan H.
Green, og det lagde grundlaget
for spillereglerne i Poker, som
vi kender dem i dag.
Et verdensomspændende spil
Poker findes i flere forskellige
versioner, hvor Texas HoldEm
Poker formegentlig er det mest
populære af dem alle. Verden
rundt afholdes der live-
turneringer online eller i et
kasino, hvor der typisk spilles
mellem 2 og 9 personer.
Ligesom der inden for fodbold
er ”fodboldstjerner”, så er der
I spillet Mahjong, brugte man
disse spillekort. De ligner på
sin vis ikke almindelige, men
grundlaget er der
Regler i Texas Hold Em Poker
Spilles med 52 alminelige spillekort.
Fra 2 til 10 spillere.
Alle spillere får 2 kort.
Derefter tildeles der 5 fælleskort på
bordet
Vinderen er den, som har den bedste
kombination af kort på hånden.
Begge kort på hånden kan bruges til
at sammensætte en kombination
med kortene på bordet.
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
18
også professionelle poker
spillere, som bruger spillet
som deres levevej. Her i
Danmark har vi Gustav
Hansen, bedre kendt som Gus
Hansen eller The Great Dane,
som er professionel gambler.
Han er født i det indre
København, og nu er han
bosiddende i Monaco. Før han
begyndte poker karrieren, var
han en af verdens bedste
backgammonspillere, men han
søgte ny udfordringer, og
derfor forsøgte han sig så med
Poker. Dette viste sig, at være
et klogt sats, idet han nu er en
af verdens bedste pokerspiller,
og er kendt som The Great
Dane. Hans økonomiske
kapital er ikke set bedre. I en
turnering vandt han en pot,
som er en pengepulje, på
537.750$, hvilket svarer til
omkring 3.5 millioner danske
kroner. Det er en af de største
pots, som Gus nogensinde har
vundet.
Gambling og sandsynligheder
At gamble i hasardspil vil sige
at man spiller om økonomiske
værdier. Dette forekommer
f.eks. i poker, og mang
e
mennesker lader sig ofte friste,
til en hurtig tur på kasinoet i
håb om at indbringe næste
uges udgifter.
Men kan det så også betale
sig? Svaret er nej, medmindre
man selvfølgelig er en habil
poker spiller, som har gamblet
før og ved hvad det drejer sig o
eller, som ganske få er, bare er
et naturtalent.
Har du ikke kendskab til spillet,
og bare gerne vil tjene nogle
hurtige skillinger, så hold dig
væk, og sæt dig ved rouletten i
stedet for. Sandsynlighederne
for at få en vinderhånd er
nemlig usandsynlig lille i
Pokerspillet. I tabellen
nedenfor, beskrives
sandsynlighederne ved nogle
af de bedste hænder, og som
det fremstår, er vinder
chancerne meget små.
Nedenfor ses en tabel over Poker hænder. De er sorteret med
de mest usandsynlige hænder øverst, og de mere sandsynlige
nedefter. (Eksemplerne tager udgangspunkt i, at vi kender 2
kort på hånden og 3 kort på bordet).
Kort kombination
Sandsynligheden for denne
Straight Royal Flush
0,000154%
Straight Flush
0,00139%
4 ens
0,024%
Full House
0,144%
Flush
0,197%
Nogle gange handler det mere om hæld end forstand. Guy
Lalibertés, som vi ser på billedet, vandt i 2013 en pot på 3.5
millioner, i en enkelt hånd med par 2.
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
19
Man skal altid huske på, at
Poker afhænger af rene
tilfældigheder, for lige meget
hvor mange gange man har
siddet i Poker stolen, så er og
bliver det umuligt, at forudse
hvilket kort der bliver det
næste.
Smarte tips til nemme penge
Pot odds er et værktøj, som
alle de professionelle benytter
sig af. Det går ganske simpelt
ud på at vurderer, om man skal
betale et bud eller folde ens
hånd. Pot odds er simpelthen
forholdet mellem beløbet i
potten, og hvor meget det
koster at calle - dvs. at byde sig
ind i runden.
Så går du og har en lille
gambler spire gemt i dig, så
kan du nyttigt medbringe disse
små tips til kasinoet eller foran
skærmen. Det kunne en dag
blive dig, der ligesom Guy
Lalibertés, vinder den helt
store pulje. Husk dog på
konsekvenserne af hasardspil.
Det er penge, der spilles med,
og passer man ikke på, kan
man nemt ende ved et bord,
hvor ”hajerne bare venter på
at fisken svømmer frem”.
Når du næste gang sidder ved
spillebordet, så husk på dette
ordsprog;
”Your best chance to get a
Royal Flush in a casino is in the
bathroom”. ~ V.P. Pappy.
Scenarie: Skal du calle eller folde?
Pot odds tager udgangspunkt i de kort du har på hånden, og de kort som ligger på bordet. Når du har 2 kort, og
der ligger 3 kort på bordet, så vil der i alt være 47 kort tilbage i bunken. Det er udgangspunktet.
4 & 2 reglen: Efter Floppet, som er de første 3 kort på bordet, så kan du gange dine outs med 4. Dette giver
nogenlunde dine chancer for at få det ønskede kort. Efter Turn, som er det næste kort, der vendes, kan du gange
dine outs med 2, for at få sandsynligeden for det ønskede kort.
Du sidder med: På bordet ligger der: Efter Turn: Din modstander sidder med:
Som det ser ud nu, så har din modstander et par, og du har ingenting. Du har flere gode muligheder, men du vil
gerne ramme en Flush, som består af 5 rene kuløre. Her mangler du kun en hjerter. Der er altså 9 outs i dækket.
Du kan nu regne dine chancer for at få den sidste hjerter ved hjælp af 4 & 2 reglen:
Efter Turnet, får du ikke en hjerter, og sandsynligheden falder så. Vi regner nu dine chancer:
Dine chancer for at få en Flush er nu reduceret til 18%.
Hvis vi siger, at der i forvejen er 20 kr. i puljen, og din modstander better 5 kr. ekstra, så giver det en pulje på 25
kr. Du skal nu lægge 5 kr. i puljen for at Calle. Vi kan regne de odds, vi får fra puljen:
Dine pot odds bliver
Vi kender i forvejen din chance for at vinde før Turnet, som var 36%. Så længe at din chance for at vinde er
STØRRE end oddsene fra potten, kan du calle på hans bet. Det vil altså være lidt for optimistisk at calle efter
Turnet.
Dette var en hurtig og smart måde at udregne, om du skal folde eller klø på.
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
20
3.2 De formidlingsmæssige valg
Illustreret videnskabs læsere består
af 62% mænd og 38% kvinder,
hvoraf størstedelen er i alderen fra
20 år til 54 år
17
.
Vender vi blikker over på Minerva-
modellen, så vil den typiske
målgruppe for Illustreret videnskab
være at finde i det blå segment af
cirkeldiagrammet, da man her
interessere sig for moderne
teknologi.
En populærvidenskabelig artikel
formidler det kedelige og teoretisk
stof, som ikke er til at forstå, så det
bliver bedre håndtereligt og læseligt
for målgruppen.
Netop for at gøre min artikel mere spædende læsevenlig overfor min målgruppe, har jeg valgt at benytte mig
af metaforer i artiklen. Jeg skriver blandt andet;
”…hvor hajerne bare venter på at fisken svømmer frem”.
Med dette mener jeg, at den uerfarne pokerspillere er fisken, og de erfarende spillere er hajerne.
Citatet,
”Your best chance to get a Royal Flush in a casino is in the bathroom”
18
, som artiklen slutter af med,
har jeg valgt at indskrive i artiklen, for at give den et humoristisk islæt.
Artikler, som trykkes i Illustreret videnskab, vækker meget troværdighed hos læseren, da journalisten, som
formidler stoffet, har direkte kontakt til forskeren/eksperten inden for området. Det gør derfor Illustreret
videnskab som magasin, meget troværdigt og der opbygges tillid fra modtageren. Inden for danskfaget
kaldes dette også, at gøre brug af appelformerne, og i dette tilfælde benytter artiklerne Etos, som vækker
troværdighed. For også at opbygge troværdighed i min artikel har jeg inddraget ”fortæller” bokse, hvor der
f.eks. er sandsynligheder ved de bedste hænder eller et spillescenarie, hvor der gennemgås Pot odds
.
Boksene er dog også med for at gøre artiklen mere spændende og opmærksomhedskrævende.
17
(Publications u.d.)
18
(Pappy u.d.)
Figur 6: Minervamodellen (IFTEK u.d.)
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
21
Konklusion
Opgavens helhed har været med til at give et stærkere indtryk af reglerne bag sandsynlighedsregning.
F.eks. så har det fremgået, at man kan regne på sandsynligheder ved, at dele de gunstige muligheder med
det samlede antal muligheder. Det var den generelle regneregel, som igen og igen blev brugt til at regne på
sandsynligheder. Apropos sandsynligheder, så fremstod det også, at den bedste kombination, som er mulig
at trække i poker, er en Royal Straight Flush. Sådan en kombination er dog også usandsynlig svær at få, og
med kun 4 muligheder er chancen 0,000154%.
Ved hjælp af den populærvidenskabelige artikel, så er udtrykket Pot Odds og Outs også dukket op. Pot
Odds er værktøjet hvor man i sammenspil med Outs, kan regne på ens chancer for at få den ønskede
kortkombination og om det overhovedet kan betale sig, at calle. Hvis dine chancer for at få den ønskede
kombination er større en forholdet mellem Pot og Call, så kan man Calle, men er chancerne mindre, så vil
det være klogest at lade værd.
For at drage tråde mellem sandsynlighedsregning, kombinatorik og Poker, så har opgaven vist at
sandsynlighedsregning afhænger af det antal gunstige og mulige kombinationer, som kan udregnes under
emnet kombinatorik. Sandsynlighederne kan hver især udnyttes ved pokerbordet, og specielt Pot Odds
teknikken er nyttig at huske på.
Med alle disse udregninger, sandsynligheder, kombinationer, eksempler og smarte spilletricks, er jeg nået
frem til, at det aldrig rigtig ville kunne betale sig, at satse frem for at spille sikkert.
Studieretningsprojekt Vejle [navn fjernet] 06/02 2015
Matematik A & Dansk A
22
Bibliografi
ApS, Site Project. Regneregler.dk. 2014. https://www.regneregler.dk (senest hentet eller vist den 02. Februar
2015).
Carstensen, Frandsen & Studsgaard. MAT A2 - stx. Århus C: Systime A/S, 2006.
Frandsen, Carstensen. Matematik 2 - for obligatorisk niveau. Herning: Systime a/s, 1989.
Hansen, Janne. Intern Rapport - Fra forsker til forbruger. Omkring faglig formidling, Århus: Århus Universitet,
2008.
IFTEK. Informationsteknologi. u.d. http://iftek.dk/webshop-indledende-designfase (senest hentet eller vist
den 05. Februar 2015).
musikefterskole, Sejergårdsskolens. Kombinatorik og sandsynlighedsregning . Redegørende rapport,
Sejergårdsskolens musikefterskole, 2009/2010.
Pappy, Citat - V. P. »”Your best chance to get a Royal Flush in a casino is in the bathroom”.« u.d.
PokerListings. PokerListings - The All-In Poker Guide. 2003. http://www.pokerlistings.com/ (senest hentet
eller vist den 02. Februar 2015).
Publications, Bonnier. Bunnier Publications - Illustreret Videnskab. u.d. http://bonnierpublications.com/
(senest hentet eller vist den 05. Februar 2015).
Steffen Dam, Frederik Hosttrup og Mikael Strunge. Vind i poker. Århus: AKA-Print , 2005.
Texaspoker.dk. Texas Poker. http://www.texaspoker.dk/poker-historie (senest hentet eller vist
den 05. Februar 2015).
Videnskab, Illustreret. Illvid. u.d. http://illvid.dk/ (senest hentet eller vist den 04. Februar 2015).
Youtube. Daniel Negreanu vs Gus Hansen - sick poker hand, huge pot, awful bad beat! 08. Februar 2010.
https://www.youtube.com/watch?v=3hZlPsLXRnM (senest hentet eller vist den 05. Februar 2015).