Studieretningsprojekt htx
3uv
HTX 3. år
Opgaveuger: 50-51
Fag:
Vejleder:
Idehistorie B
Matematik A
Opgaveformulering:
Tallets historie
Kort redegørelse for tallenes historiske udvikling frem til i dag.
En redegørelse for opdagelsen af inkommensurable størrelser og en vurdering af
betydningen heraf for Pythagoræernes Verdensbillede. Inddrag et bevis for, at
er
irrational.
En redegørelse for landmåleren Caspar Wessels udvidelse af det kendte talbegreb og
diskussion af baggrunden herfor. En matematisk redegørelse for de komplekse tal
herunder definition, regneregler, og polær form. Vis desuden hvordan man finder
samtlige løsninger til 3.gradspolynomiet
Diskutér ligheder og forskelle på udvidelserne af talbegreberne.
Krav til opgavens omfang: 10-15 sider
Abstract
This project will start with a brief explanation of the numbers historical development until today.
This knowledge is necessary to understand the following themes. It includes a statement of the
incommensurable sizes and an assessment of the importance of Pythagoræernes worldview.
There will also be a testament to the square root of 8 is irrational. A statement by Caspar Wessels
discovery of the complex numbers and the discussion of its reasons. Additionally, there will be a
description of various philosophers' view of the world, and theirs arguments for their claims.
There will also be a mathematical explanation of the complex numbers, and an explanation of
what impact this had on the world. The complex number will be described in different forms, from
both vectors and polar form. Additionally, there will appear a solution to a third grade polynomial.
In the end, there will be a discussion of the difference between the different number concepts.
Indholdsfortegnelse
Indledning 1
Tallets udvikling 2
De naturlige tal 2
De hele tal 3
De rationale tal 3
De reelle tal 3
De komplekse tal 4
Pythagoræernes Verdensbillede 4
Sokrates’ indflydelse 5
Hulelignelsen 5
Pythagoras’ læresætning 6
Bevis for er irrationalt 6
Caspar Wessel og Immanuel Kants verdenssyn 7
Oplysningstidens gennembrud 8
Caspar Wessels opdagelse af det komplekse tal 8
Definition af det komplekse tal 9
Regneregler for komplekse tal 11
Aksiomsystemet for et legeme 13
3. gradspolynomium 14
Ligheder og forskelle på udvidelserne af talbegreberne 15
Konklusion 16
Bibliografi 17
Side 1 af 17
Indledning
I følgende projekt vil der indgå en redegørelse af tallets historiske udvikling helt tilbage fra de
gamle græker og frem til nu. Der vil komme en kort beskrivelse af tallenes funktioner og
anvendelse i den matematiske verden. Derudover vil der suppleres med en kort forklaring over
tallenes opstående ud fra de forskellige tidsalders tankegang. Yderligere vil der indgå en
redegørelse for opdagelsen af de inkommensurable størrelser og betydningen af hvilken
indvirkning, det havde på Pythagoræernes verdensbillede. Herefter vil der være bevisførelse for,
at
er et irrationalt tal og forklaringen her til. Dette fører os videre til Caspar Wessels opdagelse
af de komplekse tal, og hvordan omverden responderede på dette. Desuden vil der indgå en
matematisk redegørelse af de komplekse tal, hvorunder definitionen af et komplekst tal vil blive
beskrevet. Der kommer konkrete eksempler på regneregler for de komplekse tal og beskrivelse af,
hvad et komplekst tal er på polær form. Desuden vil der indgå et bevis for, hvordan man finder
samtlige løsninger til et vilkårligt 3. gradspolynomium og løsningen til det specifikke 3.
gradspolynomium
. Til sidst vil der indgå en diskussion af lighederne og
forskellene på udvidelserne af talbegreberne.
Side 2 af 17
Tallets udvikling
(Ebert, 1995)Den græske filosof og matematiker Pythagoras var af den opfattelse, at tallene er alle
tings væsen. Med dette mente han, at tallene gjorde naturen til et harmonisk kosmos, og dermed
udgjorde en stor del af vores måde at forstå verden på. I dag er vi mennesker blevet så sikker i
tallets værdi, at vi anvender den til at beskrive og løse komplicerede problemstillinger i vores
hverdag.
Tallene er et menneskeskabt produkt, som har været under udvikling igennem årtusinder. Der er
utallige eksempler på anvendelsen af tal op igennem historien. Blandt andet hos de gamle
grækere da de skulle beskrive månens bane og årstidernes skifte, og senere hen til mere praktiske
formål såsom at holde styr på sine husdyr. I takt med at naturvidenskaben udviklede sig, blev de
matematiske problemstillinger mere komplicerede og derfor videreudviklede man på tidligere
anvendt matematik, så de mere komplicerede problemstillinger blev lettere forståelige.
De naturlige tal
(Ebert, 1995)De naturlige tal bliver f.eks. anvendt til at tælle antallet af ting i hverdagen, og hører
til de mere primitive talsystemer. Matematisk noteres de således og bliver også
kaldt ”tælletallene” fordi det er de tal, vi anvender når vi tæller. Derudover anvendes de naturlige
tal i begrænset forstand til aritmetik. Aritmetiske operationer er en gren inden for matematikken,
hvor der anvendes subtraktion, addition, multiplikation og division. Det kan blive meget mere
indviklet, men så bevæger vi os over i rationelle- og reelle tal. De naturlige tals evner bliver
mangelfulde, jo længere vi bevæger os ind i matematikken. Allerede ved simpel ligningsløsning er
de naturlige tal ikke længere tilstrækkelig. Eksempelvis i ligningen . Svaret til denne
ligning vil være , men dette tal befinder sig ikke i de naturlige tal, så derfor skabte
udviklingen de hele tal.
Side 3 af 17
De hele tal
(Ebert, 1995)Man skabte de hele tal for at kunne løse ligningerne på formen .
Matematisk noteres de således og indeholder alle hele negative
tal, alle hele positive tal inklusiv 0. Matematisk kan man også anvende subtraktion, addition,
multiplikation og division med hele tal, men de hele tal er utilstrækkelige når resultatet af
multiplikation f.eks. giver en brøk. Det kan forklares ved ligninger, som har formen .
Eksempel: . Her er løsningen
og kan dermed ikke beskrives som et helt tal. Derfor
bevæger vi os videre ind i matematikken, videre til de rationale tal.
De rationale tal
(Ebert, 1995)Hvis man vil være i stand til at løse alle ligninger på formen , såfremt ,
skal vi udvide vores begreber og matematiske kendskaber til de rationale tal. Definitionen på et
rationelt tal (Q) er
hvor . Med ord betyder dette, at a og b tilhører
alle hele tal, og a er forskellig fra 0. De irrationale tal er tal, som ikke kan beskrives ved en brøk
eller kommatal. Eksempler på irrationale tal, er
. Med viden om de rationale tal kan man
løse alle ligningerne på formen såfremt . Den matematiske udvikling stopper
imidlertid heller ikke ved de rationale tal, så derfor må vi endnu dybere ned i matematikken og
dens mange begreber.
De reelle tal
(Ebert, 1995)Som matematikken videreudviklede sig, stødte man på et problem, som var, at man
ikke altid ved hjælp af et rationalt tal kunne beskrive forholdet mellem 2 linjer. Man fandt ud af, at
længden af to linjestykker, en katete og hypotenusen, i et kvadrat er inkommensurable, hvilket vil
sige, at deres forhold skal beskrives irrationalt, ved hjælp af
. Man forskede videre i
matematikken, både for at udbygge ens egen erkendelse, og for at tilegne sig mere viden.
Man undersøgte de reelle tal og fandt ud af, at de består af rationale- og irrationale tal, som
tidligere beskrevet. De reelle tal kan beskrive forskellige størrelser og forhold. F.eks. kan man
beskrive forholdet mellem en cirkels diameter og dens omkreds ved hjælp af , som er et
Side 4 af 17
irrationalt tal.
Ved hjælp af de reelle tal kan man løse ligninger af typen
, for hvilket det gælder at
og
. Vi ved derfor, at vi kan tage den
n’te-rod af alle positive tal, men ikke tage kvadratroden af de negative. F.eks. har vi ligningen
. Den har ingen løsninger, da
, og da man ikke kan tage kvadratroden af et
negativt tal, kan
ikke være .
De komplekse tal
(Ebert, 1995)Løsningen til overstående eksempel ville være muligt, hvis vi kunne tage
, og det
har den matematiske udvikling hjulpet os med at finde en løsning på. Man havde på daværende
tidspunkt stor undren overfor lige præcis denne problemstilling. Man førte mange beviser, der
påviste, at det var muligt at tage kvadratroden til et negativt tal. Her vises et typisk eksempel på to
regnestykker, der modsiger hinanden:
De komplekse tal består af en reel del og en imaginær del. Forskellen på de reelle tal og de
komplekse tal er, at man kan tage de reelle tal og ligge dem på en tallinje, hvorimod de komplekse
tal bliver inddelt på en to-dimensionel flade eller i et koordinatsystem. I koordinatsystemet har vi
den reelle akse ud af x-aksen og den imaginære akse op af y-aksen.
Pythagoræernes Verdensbillede
(Ebert, 1995)Pythagoræerne, som var en gruppe af Pythagoras’ elever, der interesserede sig for
hvordan verden kunne beskrives ved hjælp af tal. Pythagoras er mest kendt for læresætning,
, som beskriver forholdet mellem kateterne og hypotenusen i retvinklede trekanter.
Pythagoræerne var førhen overbevist om, at verden kun kunne beskrives ved hjælp af de rationale
Billedet beskriver et modsigende regnestykke, som beviser at svaret til regnestykket
er
= 1 og -1
Side 5 af 17
tal, og dermed opfattede de verden som værende rational. Yderligere undersøgelser gjorde det
imidlertid klart for dem, at verden ikke kun udelukkende kunne beskrives ud fra de rationale tal,
men også ved hjælp af de reelle tal. Dette problem skabte direkte ændringer på den måde, som
Pythagoræers verdenssyn hidtil havde været. Dette uddybes senere.
Sokrates’ indflydelse
(Kragh, 2010)Tilbage i den tid hvor Pythagoræerne levede, var der stor tvivl om, hvad sikker viden
egentlig var. Derfor var Pythagoræerne inde og røre ved erkendelsesteori, hvor det store
spørgsmål var ”Hvad er sikker viden?”. (Posselt, 2011)Den gruppe mennesker, som levede i
periode fra år ca. 570-495 f.Kr. kaldte man Førsokratikerne. Navnet har de efterfølgende fået
grundet deres filosofiske overbevisning, som mindede om den kendte filosof Sokrates.
Førsokratikernes filosofiske tankegang var, lige som Sokrates’, at virkeligheden skulle forklares
rationelt frem for mytologisk. (Johansen, 2014) Det vil sige, de mente, at verden skulle forklares
med sund fornuft, debat, logik, og materiel viden, frem for med religiøs overbevisning. Derudover
mente Sokrates, at god moral og gode handlinger var vejen til ny viden. Hermed kan vi fastslå, at
Pythagoræerne, også kaldet Førsokratikerne, var tilhænger af rationalismen.
Hulelignelsen
(Olsen, 2015)Senere kom Platon, som var Sokrates’ elev, på banen. Platons holdning til sikker
viden var ikke som hans lærers opfattelse. Platon gik ind og kritisere de rationalistiske synspunkter
og kom med argumenter imod den rationalistiske tankegang. (Ukendt, Static SDU, 2007 <)En af
hans mest kendte eksempler er hulelignelsen. I hulelignelsen fortæller Platon om, hvordan
sanserne og fornuften kan blive bedraget. Han fortæller denne lignelse, som en historie hvor nogle
fanger sidder lænket fast nede i en hule. Det eneste disse fanger kan se, er skygger på
hulevæggen. Problemet med dette er, at de former og farver de ser på hulevæggen, blot er
skyggebilleder af virkelige objekter. Dermed får de et fordrejet syn på virkeligheden, og en verden
som ikke bygger på sand viden. Platon mente derfor, at for at opnå den sikre viden, skulle man op
af hulen. Platon var af den overbevisning, at sikker viden opnås ved at ”vide” hvad det er, og ikke
ved at ”tro” hvad det er. (Olsen, 2015)Sagt på en anden måde, vi skal skelne mellem episteme
Side 6 af 17
(sikker viden) og doksa. Doksa kan optræde som værende både sand og falsk, som det for
eksempel opleves i vores sanseerfaring.
Pythagoras’ læresætning
(Ebert, 1995)Som tidligere nævnt var Pythagoræerne en skeptisk gruppe mennesker, som også
søgte efter sikker viden. Da Pythagoræerne fandt ud af, at forholdet mellem diagonalen og en side
i et kvadrat var irrationalt, og dermed inkommensurabel, forsøgte de at finde en løsning på dette.
Når 2 linjer er inkommensurable betyder det, at de ikke kan måles med fælles mål. Simplere
forklaret, at de ikke kan måles med samme ”målebånd”. I Pythagoræerens verdensbillede, hvor
geometrien var mere nøjagtig end tallet, var det en gåde, at to længder ikke kunne måles med
samme ”målebånd”. Hvis vi eksempelvis har en ligebenet, retvinklet trekant, kan vi anvende
Pythagoras’ læresætning, som siger at den ene sidelængde i anden + den anden sidelængde i
anden skal være lig med hypotenusens længde i anden. Matematisk noteres den således
, hvor a og b er sidelængder og c er hypotenusen.
Bevis for
er irrationalt
Vi arbejder med en ligebenet, retvinklet trekant, hvor vi får oplyst, at de to kateter er = 2. For at
udregne hypotenusen anvender vi Pythagoras’ læresætning hvor vi indsætter tallet 2 på
pladser i ligningen:
Vi anvender CAS-værktøjet WordMat til at udregne
, i overstående ligning:
Ud fra denne ligning kender vi nu
For at fjerne vores skal vi tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet
Og
er hermed længden af hypotenusen.
Der opstilles en påstand, om at
er et irrationalt tal. Beviset for at
er et irrationalt tal sker
ved hjælp af indirekte bevisførelse, som er et modbevis.
Side 7 af 17
Først antager vi, at et rationalt tal kan beskrives ved en uforkortelig brøk. Vi kalder den
uforkortelig bræk for
, og derfor beskriver vi
på følgende måde.
Vi antager også, a og b er hele tal og kan omskrive dette til
Da vi kan se, at venstre siden af lighedstegnet er lige, skal højre siden også være det. Vi ved at 2
går op i
og må dermed også gå op i a. Da vi ved, at a er et helt tal må det også gælde at :
Hvor c er et andet helt tal. Dette udtryk kan vi indsætte på a’s plads i ligningen
, så
udtrykket kommer til at se således ud:
Og det medfører også at c må være lige, så derfor må
Hvor d også er et helt tal.
Derved må
Og derfor må b også være lige. Da både a og b er lige modstrider det at
er uforkortelig.
Derfor må
være et irrationalt tal.
Caspar Wessel og Immanuel Kants verdenssyn
(Heegaard, 2011)Caspar Wessel var en dansk-norsk matematiker, som levede i år I
hans levetid var Norge under styre af den danske enevælde, og da han var født i Norge benævnes
Wessel derfor at være en dansk-norsk matematiker. Det sene 1700-tal, som var tiden Wessel
levede i, blev senere betegnet som oplysningstiden. Denne historiske periode bar præg af troen på
menneskets fornuft og kendskab til ny viden. Dette skabte et formål, om at bryde de vante
rammer, som menneskerne i den tid var fanget i. (Koch, 2013)Under oplysningstiden trådte en
tysk filosof ved navn Immanuel Kant frem i rampelyset. Han fulgte sin tids tankegang, idet han
mente, at erkendelsen ikke rettede sig efter objekter, men objekterne rettede sig efter
erkendelse. Han mente med dette, at mennesket ikke blot var en tilskuere, der stillede sig passivt
Side 8 af 17
over for de indtryk, som mennesket fik, men at de erkendte verden både ud fra fornuft og
sanseerfaringer. Kant fulgte den samme tankegang, som oplysningstiden bar præg af. Dette så vi
blandt andet, da han stillede sig kritisk over for de førhen tilsyneladende kendte rammer og
normer. Han stillede sig kritisk i forhold til tankes magt og grænser, som oplysningstidens
menneskesyn bar præg af. Hele denne revolutionerende tankegang var med til, at befolkningen
begyndte at stille sig kritisk i forhold til verden. Dette være sig alt lige fra religiøse overbevisninger
til nyere matematiske fund.
Oplysningstidens gennembrud
(Ebert, 1995)Da Danmark som tidligere nævnt, på daværende tidspunkt, var styret af en enevældig
konge, bar landet præg af blindhed og ukritiske spørgsmål. Den danske borger var på det
tidspunkt af den overbevisning, at hvad man ikke umiddelbart kunne forklare, skulle man ikke
sætte spørgsmålstegn ved. Søren Kirkegaard havde betegnet denne befolkning som værende en
gruppe spidsborgere. Trods befolkningens blindhed var der ifølge flere anerkendte
videnskabsmænd imidlertid kommet eksempler på, at naturen kunne forklares
naturvidenskabeligt. Der skulle derfor en lang række naturvidenskabelige beviser til, før befolkning
fik øjnene op for dette, og oplysningstiden fik sit gennembrud. Dette viste sig ved en længere
række banebrydende omvæltninger, blandt andet stoppede slavehandelen og stavnsbåndet gik i
opløsning. Derudover opdagede man også noget revolutionerende inden for matematikkens
rammer. Manden, der gjorde sig denne opdagelse, var den tidligere nævnte landmåler, Caspar
Wessel. Han gjorde sig opdagelser omhandlende de komplekse tal, hvilke tidligere er kort
beskrevet.
Caspar Wessels opdagelse af det komplekse tal
(Ebert, 1995)Caspar Wessel færdiggjorde sin eksamen i år 1763, og derefter flyttede han til
København. Et år efter Wessels ankomst til København blev han tilbudt jobbet som korttegner for
Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab. Wessel havde en stor passion for faget, og hans
evner bar ham langt. Han gjorde sit arbejde grundigt, og var en flittig mand. Jobbet som
korttegner indebar også opmålinger af landstykker, og dette faldt nemt for Wessel, da han havde
evner inden for det matematiske område. Wessel formåede at opmåle Jylland, Slesvig og Holsten,
Side 9 af 17
uden hjælp fra andre. Wessels job som landmåler, og hans interesse for matematik, var ikke just
det hans uddannelse rettede sig mod, da han var uddannet jurist. Jobbet som landmåler skabte
visse udfordringer inden for den matematiske verden, og dermed nogle problemstillinger som
skulle løses matematisk. Disse problemstillinger omhandlede primært geometriske figurer i
landskabet. Når man regner med geometriske figurer, regnes der ofte med linjestykker. Wessel
havde på daværende tidspunkt, sin egen metode til at regne med linjestykker. Han regnede dem
nemlig med fortegn, således at hvis man havde en linje så var linjestykket .
Derudover opdagede han, at man kunne forlænge linjestykker ved hjælp af multiplikation. Ud fra
denne erfaring opdagede han også, at hvis han multiplicerede sit linjestykke med et positivt tal,
ville linjestykket blive tilsvarende længere, og hvis han multiplicerede linjestykket med et negativt
tal, ville linjestykket ændre retning altså . Disse udregninger var kun mulige ved hjælp fra
naturlige tal. Senere opstod der et problem, hvor Wessel skulle dreje et linjestykke , og der var
de naturlige tal ikke tilstrækkelige.
Grundet tidsalderen som Wessel levede i, nemlig oplysningstiden, gav det ham blot blod på
tanden til nye undersøgelser. Wessel tog udfordringen op, og opdagede de komplekse tal, som
han skrev en kæmpe afhandling om på dansk. Wessel var klar på at møde kritik fra andre
matematikere i landet, men til Wessels skuffelse var der ingen respons. Wessel konkluderede
derfor, at de andre matematikere ikke var på samme niveau som ham selv, og dermed manglede
viden for at kunne forstå den abstrakte matematik. Ca. 100 år senere fik franskmanden Jean-
Robert Argand og den tyske matematiker, Carl Friedrich Gauss, æren som grundlæggere af de
komplekse tal.
Definition af det komplekse tal
(Ebert, 1995)Caspar Wessels opdagelse af de komplekse tal, udsprang som tidligere nævnt, fra
hans job som landmåler. Da Wessel forklarede sin opdagelse, bruge han geometriske figurer, da
de er letforståelige og danner et billede, som er lettere at forholde sig til. Det var dog noget svære
da Wessel begyndte at opstille abstrakte matematiske ligninger for disse geometriske figurer. Han
startede derfor med en geometrisk definition af de komplekse tal. Som nævnt tidligere regnede
Wessel med fortegn, når han udregnede linjestykker. Hvis linjestykket havde et positivt fortegn,
Side 10 af 17
Overstående billede viser et Argand-diagram
var linjestykket fremadgående, og ligeledes hvis linjestykket havde et negativt fortegn, var det
bagudgående. Wessel var klar over, at et linjestykket havde en længde og ligeledes en vinkel. Hvis
linjestykket havde et positivt fortegn, var linjens vinkel 0, og hvis linjen var negativ, havde den en
vinkel på . Hans tanke var at udstrække regneoperationer, så de omfattede tal med vilkårlige
retninger i det to-dimensionale plan. Hans løsning til dette var, at danne et plan med to akser,
nemlig en reel-akse og en imaginær-akse. Dette blev senere kendt som et Argand-diagram. Han
placerede de reelle tal på et linjestykke med en retning på eller , også kaldet den reelle
akse. Udvidelsen til grafisk at illustrer de komplekse tal, skete ved at tilføje den imaginære akse,
som er lodret.
(Ukendt, Mat DTU, u.d.)Et kompleks tal skrives oftest på formen , hvor er reelle
tal, og vi får den nye del, , som er den imaginære del, hvorom det gælder at
.
Side 11 af 17
Regneregler for komplekse tal
(Ebert, 1995)Wessel havde defineret hvad de komplekse tal var. Den næste opgave var at
definere, hvordan man adderede med de komplekse tal. Wessel gav først et simpelt eksempel,
hvor han anvendte reelle tal og derefter et mere generelt eksempel. Wessels generelle eksempel
lyder ordret:
”Ligeledes naar en Triangels ene Side strækker sig fra a til b, og den anden fra b til
c, maa den tredie fra a til c kaldes Summen, og maa betegnes ved ab bc , saa at
ac og ab bc have samme Betydning, eller ac ab bc ba bc , dersom ba er
det modsatte af ab.”
Sagt med andre ord: I et Argand-diagram defineres et komplekst tal som værende en linje mellem
2 punkter. Hvis man skal indtegne et komplekst tal i dette diagram, er tommelfingerreglen, at man
starter i 0. Er dette ikke tilfældet laver man en parallelforskydning, således at man altid starter i 0.
Ved en parallelforskydning ændrer man ikke på hverken længden eller retningen, og derved ikke
det komplekse tal.
Med udgangspunkt i overstående billede hvor vi har den reelle akse som vandret og den
imaginære akse som lodret, vil følgende forklaring tage udgangspunkt i Wessels udtalelse. Vi har
et komplekst tal , som er dannet ud fra punkterne , og et komplekst tal som er dannet
ud fra punkterne . Wessel udtaler, at deres sum må være det komplekse tal , som bliver
Side 12 af 17
udtrykt som værende linjen der dannes mellem punkterne . Vi kan betragte overstående
linjer i figuren, som værende vektorer. Vi har en vektor
og en vektor
, for at
finde sumvektoren til den, altså
, som vi har valgt at kalde , skal vi blot addere dem, som
var det reelle tal.
og dermed er det komplekse tal, . Derved
har vi vist en regneregel for, hvordan man addere de komplekse tal, og reglen gælder ligeledes for
subtraktion af de komplekse tal.
(Ukendt, Mat DTU, u.d.)Multiplikation af de komplekse tal foregår på samme måde som med de
reelle tal. Hvis vi har to vilkårlige komplekse tal,
, defineres produktet af
disse ved at gange ind i parentesen.
.
(Ukendt, Mat DTU, u.d.)I forhold til division af de komplekse tal, gælder ligeledes, som med de
reelle tal, at nævneren ikke må være 0. Hvis vi igen har 2 vilkårlige komplekse tal,
skal
. Regneregelen for division lyder som følgende :
Hvis vi også her definerer vores komplekse tal,
, kan vi indsætte dette i
stedet for
. Dermed kommer formlen til at se således ud:
I dette udtryk kan vi nu gange vores
(ind i parentesen, dermed får vi :
Hermed får vi en formel, som vi kan anvende til division af de komplekse tal.
Vi har hermed påvist - ud fra ovenstående matematiske redegørelser - at regnereglerne som er
gældende for de reelle tal, også anvendes i forbindelse med de komplekse tal.
Side 13 af 17
Udover formen, hvor man beskriver et komplekst tal ved hjælp af koordinater langs de to
ortogonale akser, den reelle og imaginære akse, kan vi også angive dem på polær form. Når man
angiver et komplekst tal på polær form, angiver man det ved hjælp af tallets ”længde” samt en
vinkel. Hvis vi som tidligere kigger på et komplekst tal, som en vektor, angiver vi vektorens længde
og dens vinkel i forhold til den reelle akse. Dette gøres ved at angive et talpar, , hvor er
længden af vores vektor og er vores vinkel.
(Mohr, 2013)Hvis vi har 2 komplekse tal på polær form,
, og gerne vil
finde summen af dem, kan dette ikke umiddelbart lade sig gøre. Men ved hjælp af multiplikation
kan vi få det omskrevet til
, og kan dermed bevise at længden
af det nye tal er produktet af de to gamle, mens vinklen af det nye tal er summen af de 2 vinkler.
Aksiomsystemet for et legeme
(Ebert, 1995)Et legeme inden for matematikkens verden er en talstruktur, som opfylder 6
aksiomer(regler). I et legeme er der kun fastsat to regneoperationer, addition og multiplikation.
Alle de andre aksiomer kan defineres ved hjælp af addition og multiplikation. Det vil altså sige, at
enhver talstruktur som opfylde disse 6 aksiomer, kan betegnes som et legeme. Det vil igen sige, at
vi kan kalde de reelle tal og komplekse tal for legemer. Aksiomerne er som følger, hvor :
Side 14 af 17
3. gradspolynomium
Når vi skal løse et polynomium af 3. grad, skal vi finde antallet af rødder. Man kan finde alle de
reelle løsninger ved at indsætte det valgte 3. gradspolynomium i et tegneprogram og aflæse antal
skæringer med x-aksen. Eksempelvis kan vi have et 3. gradspolynomium som lyder:
Ved at trykke: Alt + L, løser CAS værktøjet WordMat, ligningen i forhold til den ubekendte værdi,
som i dette tilfælde er x. Dog skal man tage i mente, at det kun er den reelle løsning, som vises.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan se, at dette 3. gradspolynomium kun har én reel løsning, og dermed kun krydser x-aksen én
gang. Vi kan også vise dette grafisk ved hjælp af tegneprogrammet WolframAlpha.
Vi ved f.eks. at hvis diskriminanten i 2. gradspolynomium er , har den ingen løsning. I hvert fald
ikke en løsning, som findes inden for de reelle tal. Vi vil derfor undersøge om vores
3. gradspolynomie har nogle komplette løsninger. Vi kan omskrive vores 3. gradspolynomium så
der fremkommer et 2. gradspolynomium i ligningen. Dette gøres ved at sætte
uden for en parentes. I vores tilfælde:
Vi skal nu finde de komplekse løsninger til vores 2. gradspolynomium.
Vi trækker 1 fra på begge sider af lighedstegnet
Side 15 af 17
Vi tager nu kvadratroden på begge sider, så x står alene
Vi ved at
Derudover ved vi at 2. gradspolynomiet har 2 løsninger, nemlig den positive og negative løsning.
Så derfor har den også løsningen
.
Vi kan dermed konkludere, at et 3. gradspolynomium har 3 komplekse løsninger (de komplekse tal
indeholder også de reelle tal), ud fra algebraens fundamentalsætning som ordret lyder:
”At ethvert komplekst polynomium i én variabel af grad har n komplekse rødder”
Dette gælder for polynomier af alle grader.
Ligheder og forskelle på udvidelserne af talbegreberne
Da grækerne, som tidligere nævnt, opdagede at forholdet mellem længden af linjestykkerne i et
kvadrat var inkommensurable, gav det stof til eftertanke. Man var på den tid, 300 år f.Kr.,
overbevist om, at naturens fænomener kunne beskrives ved hjælp af rationale tal. Pythagoræerne
havde set deres verden i form af de rationale tal og ikke de reelle tal. Denne opdagelse skabte stor
fortvivlelse om hvad deres verden så bestod af og skabte trang til undersøgelse. Ligeledes skete
det, da opdagelsen af de komplekse tal fandt sted i år 1780. Der begyndte folk endnu engang at
stille sig kritisk i forhold til verden. De skulle undersøge alt, og der skulle være bevisførelse for alt,
hvad de konkluderede. Dette var alt sammen et led i jagten på at finde ”sikker viden”, som
beskrevet i afsnittet ”Caspar Wessel og Immanuel Kants verdenssyn”. Lighederne i måden verden
tænkte på da de nye talbegreber blev ”opfundet” var slående. Verden forholdt sig kritisk og
begyndte at tage ansvar.
Forskellen i opdagelsen var, at da man opdagede de reelle tal, var det ud fra et ønske om at løse
en praktisk problemstilling i ens hverdag. Ønsket kunne være at, man skulle bruge nogle mål til
f.eks. at bygge et hus, eller blot til at udregne hvordan man lavede en cirkel i midten af en
fodboldbane. Da man opdagede de komplekse tal, var det i forbindelse med et
teoretisk/matematisk problem, med at beskrive hypotenusen i et kvadrat. I dag anvendes de
Side 16 af 17
komplekse tal i forbindelse med kryptering. Dengang troede man, at man havde fundet det
endelige svar til at beskrive verden, men hvem ved hvad fremtiden bringer?
Konklusion
Vi kan konkludere, at den historiske tankegang har haft stor betydning for verden, som vi kender
den i dag. Menneskenes behov for tal startede, da husdyrene skulle tælles, og har udviklet sig i
takt med nye problemstillinger. Derudover kan vi konkludere, at de inkommensurable størrelser
har haft stor betydning for Pythagoræernes verdensbillede, idet de troede, de kun skulle anvende
de rationale tal, men da opdagelsen af de inkommensurable størrelser fandt sted, stod det klart,
at de også skulle benytte de reelle tal. Vi kan ydermere konkludere, at
er et irrationalt tal, samt
at Caspar Wessels opdagelse ikke på daværende tidspunkt havde så stor betydning for verden,
men at den senere hen fik stor betydning i forhold til anerkendelsen af de komplekse tal. Hans
opdagelse var banebrydende, men formidlingen af opdagelsen var knap så gennemført. De
komplekse tal er med til, at vi den dag i dag forstår og har mulighed for at løse mange indviklede
problemstillinger. Vi kan derudover konkludere, at de komplekse tal er en forlængelse af de reelle
tal, og at regnereglerne for disse overordnet er ens. Derudover kan vi beskrive et komplekst tal på
to måder. Enten ved hjælp af vektorer i det to-dimensionale plan, eller på polær form ud fra dens
”længde” og vinkel i forhold til reel-aksen. Vi kan også konkludere, at et 3. gradspolynomium har 3
løsninger ud fra den algebraiske fundamentalsætning. Samlet kan vi konkludere, at opdagelsen af
de reelle tal ikke er så forskellige, i forhold til opdagelsen af de komplekse tal, og at
menneskesynet på begge tidspunkter var nogenlunde ens.
Side 17 af 17
Bibliografi
Berg, C. (23. Februar 2009). Den store danske. Hentet fra Den store danske:
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/An
alyse,_vektor-_og_matrixregning_og_funktionsteori/Eulers_formel
DTU. (u.d.). Mat DTU. Hentet fra DTU:
http://www2.mat.dtu.dk/education/gymnasieopgaver/opgaver/kompleks.pdf
Ebert, J. (1995). Komplekse tal. Gråsten: Forlaget Minor.
Heegaard, P. (18. Juli 2011). Den store danske. Hentet fra Den store danske:
http://www.denstoredanske.dk/Dansk_Biografisk_Leksikon/Naturvidenskab_og_teknik/La
ndm%C3%A5ler/Caspar_Wessel
Johansen, K. F. (19. Juni 2014). Den store danske. Hentet fra Den store danske:
http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Oldtidens_filosofi/Sok
rates
Koch, C. H. (22. April 2013). Den store danske. Hentet fra Den store danske:
http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Oplysningstiden,_enge
lsk_deisme_og_kritisk_filosofi/Filosoffer_1700-t._-_Tyskland_-_biografier/Immanuel_Kant
Kragh, H. (6. December 2010). Den store danske. Hentet fra Den store danske:
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Astronomi/Astronomi_gen
erelt/verdensbillede
Mohr, G. (Februar 2013). georgmohr. Hentet fra georgmohr:
http://www.georgmohr.dk/noter/foersterundealgebra.pdf
Olsen, A.-M. E. (19. Februar 2015). Den store danske. Hentet fra Den store danske:
http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Oldtidens_filosofi/Plat
on
Posselt, G. (28. Marts 2011). Den store danske. Hentet fra Den store danske:
http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Oldtidens_filosofi/f%C
3%B8rsokratiske_filosoffer
Ukendt. (2007 <). Static SDU. Hentet fra Static SDU:
http://static.sdu.dk/mediafiles//7/E/5/%7B7E5F95E9-FD5A-4BF1-BB30-
A32BC7823C05%7DPlaton-hulelignelsen_og_idel%C3%A6ren.pdf
Ukendt. (u.d.). Mat DTU. Hentet fra Mat DTU:
http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID43-tn29/