- 1 -
Eulers tal ℮
STX 3.g
STX 3.g
Fag: Matematik
- 2 -
Indholdsfortegnelse
1.0 Indledning………………………………………………………………… s. 3
2.0 Leonhard Euler historie og ℮’s oprindelse………………………………… s. 4
2.1 Eulers baggrund
2.2 ℮’s oprindelse
2.3 Eulers incitamenter til at arbejde med ℮
2.4 Konklusion på Eulers opdagelse af ℮
3.0 Eksponentialrækken……………………………………………………… s. 7
3.1 Udledning af eksponentialrækken
3.2 Beregning af ℮ vha. eksponentialrækken
4.0 Rækkeudviklinger………………………………………………………… s. 9
5.0 Kædebrøker…………………………………………………………………s. 10
6.0 Oversum og undersum…………………………………………………… s. 12
6.1 Oversum
6.2 Undersum
6.3 Fortsat udregning med oversum og undersum
6.4 Beregning af ℮ vha. oversum og undersum
7.0 Vurdering af beregning af ℮ vha. forskellige metoder…………………… s. 16
8.0 Konklusion………………………………………………………………… s. 17
9.0 Litteraturliste…………………………………………………………… s. 18
- 3 -
1.0 Indledning
Jeg vil i denne opgave beskæftige mig med tallet ℮, som er en af de vigtigste konstanter i
matematikkens verden sammen med π.
Mit mål med opgaven er at finde frem til en forståelse for hvorfor Euler indførte ℮ i matematikken.
Til det vil jeg give en kort gennemgang af hans liv i væsentlige punkter og vise hvordan ℮ er blevet
til gennem en udvikling, for mange før Euler var på sporet af ℮. Desuden vil jeg vise forskellige
metoder til beregning af ℮, bl.a. eksponentialrækken, som jeg også vil bevise, kædebrøker og
oversum og undersumsmetoden.
Til slut vil jeg vurdere de forskellige metoder og give mit bud på den metode der giver den bedste
tilnærmelse til ℮.
For at give en meget kort og præcis definition af ℮, kan man tage en ikke særligt dybdegående fra et
leksikon: ”grundtallet for den naturlige logaritmefunktion, dvs. ln(℮)=1. Tallet ℮ er irrationalt.” [
Gyldendals leksikon, under eksponentialfunktion ]
℮ er altså irrationalt, hvilket vil sige at ℮ ikke kan skrives som brøk med hele tal i tælleren og
nævneren. Desuden er ℮ transcendent, og det betyder at ℮ ikke kan være rod i et polynomium, hvor
koefficienterne er hele. Dette viste Charles Hermite i 1873. [ Carstensen: Bogen om ℮ s.76 ]
- 4 -
2.0 Leonhard Euler historie og ℮’s oprindelse
2.1 Eulers baggrund
Leonhard Euler () blev født i Basel i Schweiz og var søn af Paul Euler – en matematisk
interesseret præst. Paul havde taget forelæsninger hos Jakob Bernoulli – manden der beregnede ℮ til
at have en værdi mellem 2 og 3.
Euler var et geni og allerede som 14-årig kom han på universitetet, hvor han fik forelæsninger af
Johann Bernoulli. Dette var ikke udfordring nok for Euler, så han fik råd af Johann Bernoulli om
mere indviklet matematik og fik mulighed for vejledning. [ Andersen bind 2, s.143f ] Euler var altså
ikke bare et geni, men han fik også de optimale muligheder for at udvikle sig. Han var omgivet af
de bedste folk på området og man kunne formode at interessen omkring ℮ blev styrket når man
tænker på at det var Johann Bernoulli’s bror – Jakob Bernoulli – der beregnede ℮ til at have en
værdi mellem 2 og 3 (i 1683). Det var meningen at Euler skulle fortsætte med at studere teologi for
at blive præst som sin far, men fandt ikke interessen for dette og Johann Bernoulli fik overtalt Paul
til at Leonhard måtte studere matematik i stedet – en ting man ikke kan tro at Paul fortrød. [
O’Connor: Leonhard Euler, s.1-2 ]
Euler mødte Nicolaus og Daniel Bernoulli, som var sønner til Johann, og sammen startede de på et
nystartet akademi i Skt. Petersborg i 1725 (Euler kom dog først i 1727, efter at de to brødre havde
arbejdet ihærdigt på at få ham derover). Her ser man igen, hvordan Euler har et netværk der består
af datidens største videnskabsfolk. Dette har været en kraftigt medvirkende faktor til at Euler hele
tiden har kunnet udvikle sine teorier og diskutere dem med andre ligesindede.
Euler færdiggjorde sin første afhandling som 18-årig og fortsatte med at lave disse indtil sin død i
1783.
I 1736 udgav Euler et værk: Mechanica, som omhandlede den Newton’ske dynamik, men dette
normalt fysiske emne var bearbejdet som matematisk analyse for første gang. [ O’Connor:
Leonhard Euler, s.3 ]
Euler forlod Rusland i 1741, fordi der var politisk tumult i landet, og tog til Tyskland på opfordring
af Frederik den store, der herskede på det tidspunkt. Euler holdt kontakten til akademiet i Skt.
Petersborg – ikke mindst fordi nogle af hans børn blev boende derovre. Hans ene søn, Johann
Albrecht, blev ansat på fysikområdet, mens en anden søn, Christoph, fik en militærkarriere. Euler
hjalp fortsat også med administrative opgaver i Skt. Petersborg og udgav forskellige artikler i deres
blad. Dette kan ses som en fornuftig disposition, for Frederik den Store ville ikke tilbyde Euler en
lederstilling på akademiet i Berlin efter den hidtidige leders – Mapertuis – død i 1759. Euler var den
- 5 -
mest kompetente leder til jobbet, men Frederik den Store så hellere d’Alembert som leder. Denne
tog dog ikke imod, da han udmærket vidste han ikke var nær så dygtig som Euler. Det endte med at
Euler tog tilbage til Rusland og fortsatte sit arbejde. [ O’Connor: Leonhard Euler, s.3ff ]
Til trods for fuldstændig blindhed i de sidste 16-17 år af sit liv, fortsatte han de matematiske
afhandlinger og der blev fortsat udgivet nye 50 år efter hans død, fordi han havde produceret så
meget at forlaget ikke kunne følge med. [ Andersen bind 2, s.143ff ]
Dette danner grundlag for en forståelse af Eulers situation og hvilke incitamenter han havde for at
finde frem til værdien ℮.
2.2 ℮’s oprindelse
Euler var langt fra den første – selvfølgelig – der beskæftigede sig med tallet ℮. Det første spæde
skud på stammen til at ℮ blev til, var i 1618, hvor Oughtred skrev et tillæg til et værk udarbejdet af
Napier, hvori han arbejdet med logaritmer, uden ℮ dog hverken blev nævnt eller opdaget. Man
regner med at det var Oughtred der lavede tillægget, men man ved det ikke med sikkerhed.
I 1624 lavede Briggs en numerisk tilnærmelse til 10-talslogaritmen til ℮, uden dog at nævne denne.
44 år senere – altså i 1668 – blev betegnelsen ”naturlig logaritme” for første gang benyttet. Det var
Mercator der benyttede denne betegnelse. [ O’Connor: The number ℮, s.1-2 ]
Den første rigtige tilnærmelse til ℮ blev lavet af Jacob Bernoulli, da han i 1683 fandt frem til at ℮
skulle være et tal mellem 2 og 3. Han benyttede den binomiale læresætning som bevis for denne
påstand.
Men han fandt ikke sammenhængen mellem logaritmer og eksponenter. Så ℮ var stadig ikke blevet
præciseret og heller ikke sat i forbindelse med logaritmer endnu.
Denne sammenhæng blev fundet af Gregory i 1684, hvorefter Leibniz i 1690 skrev et brev, hvori
han brugte betegnelsen b for tallet vi i dag kender som ℮.
Over 100 år efter det første skridt mod ℮ blev taget, skrev Euler i et brev til Goldbach noget om ℮
og i 1748 udgav han sit værk: ”Introductio in Analysin infinitorum”, hvori han beviste:
!
1
...
!2
1
!1
1
1
n
e
Han viste at n er uendelig og ℮ derfor har uendeligt mange decimaler. Euler beregnede ydermere 18
af disse i værket. [ O’Connor: The number ℮, s.1-2 ]
Herefter er der blevet regnet på ℮ og fundet ufatteligt mange decimaler, men bedrifterne er ikke så
store, når metoden er fundet.
- 6 -
Euler står som den store mester der har fundet ℮, hvilket han jo også har, men mange før ham har
nærmet sig tallet meget og man må gå ud fra at Euler har brugt de foregående matematikeres
arbejder som hjælp.
2.3 Eulers incitamenter til at arbejde med ℮
Euler havde et stort incitament til at finde ℮, fordi hans læremesters bror – Jakob Bernoulli – havde
været tæt på at finde ℮, og fordi så mange havde prøvet på det inden ham. Desuden var Euler
særdeles kløgtig og kastede sig jo ikke udelukkende over ℮, men beskæftigede sig med mange
forskellige områder af matematikken, såsom betegnelsen f(x) for en funktion og π for tallet pi.
Som jeg har beskrevet er der mange der har nærmet sig ℮, uden at bestemme den nærmere – en
bedrift som Euler evnede. Dette er i sig selv et incitament til at prøve at finde værdien.
I det 18. århundrede var der ikke specielt mange matematikere, men de der var der, var til gengæld
store. Euler beskæftigede sig selvfølgelig ikke kun med ℮. Man tjente ikke specielt mange penge
som matematiker, så det gjaldt om at bestille noget for at kunne tjene til føden (ikke mindst gjaldt
dette for Euler der fik 13 børn med sin første kone, hvoraf dog kun 5 af dem overlevede deres
barndom). Euler beskæftigede sig også med bl.a. beregning af kanonkuglens bevægelse i luften.
Han forsøgte at beregne denne, men metoden blev ikke brugt – til dels fordi det tekniske udstyr ikke
var i stand til at kunne indstille kanonen fuldstændigt korrekt og ligeledes kunne det heller ikke veje
krudtet helt præcist. Metoden var heller ikke helt sand. [ Andersen bind 2, s. 149 ]
Af andre store bedrifter udarbejdede Euler en måneteori for at kunne se hvad klokken var” når man
eksempelvis rejste over oceaner. Pendulurene kunne ikke holde til at blive fragtet på en båd over
havene og Euler benyttede så månen til pejling af hvad klokken var. Denne teori var så præcis at
den senere blev brugt af en tysk astronom ved navn Tobias Mayer, der i slutningen af 18.
århundrede lavede en nøjagtig månetabel der netop kunne bruges til at navigere efter. [ Andersen
bind 2, s. 150f ]
2.4 Konklusion på Eulers opdagelse af ℮
For at samle op på hvorfor ℮ blev til med hjælp fra Euler, har vi en del mulige grunde.
For det første må han være blevet lært om Jakob Bernoulli’s bedrift med at bestemme ℮ til et sted
mellem 2 og 3, når Johann Bernoulli var Eulers læremester. Mange matematikere havde i de
omkring 100 foregående år, været på vej mod tallet og derfor er det ganske naturligt at flere
matematikere forsøger sig, som den tids største matematiker Euler jo så gjorde med stor succes.
- 7 -
Jeg har også beskrevet hvordan Euler gennem hele sit liv var omgivet af de dygtigste
videnskabsfolk og gennem deres diskussioner og erfaringsudvekslinger, må de alle have udviklet
nye syn på forskellige matematiske emner. Når man får andres syn på en problemstilling, vil man
overveje sin problemstilling nøjere, og andre kan nemmere se eventuelle mangler ved en teori end
man selv kan. Desuden vil man gennem diskussioner blive nødt til at kunne argumentere
fuldstændigt for sine synspunkter for at overbevise de andre om teoriens berettigelse.
Ud fra alle mine kilder har jeg fået det billede at Euler var en ret privilegeret herre, i den forstand at
han ikke hele tiden har skullet tænke på de økonomiske forhold, fordi han har været en
”masseproducent” af udgivelser, og gennem hans økonomiske støtte fra Rusland, da han var bosat i
Tyskland, må han have haft en økonomisk indtægt der har kunnet brødføde hele hans familie. I
dette er der en dobbelthed, hvor han på den ene side kan koncentrere sig mere om sit arbejde frem
for økonomiske skærmydsler, men samtidig blev han nødt til hele tiden at sikre en fortsat
økonomisk indtægt ved at producere artikler og værker. Desuden fik han adskillige priser (ex. ”The
Grand Prize of the Paris Academy” [ O’Connor: Leonhard Euler, s.3 ]) der kunne supplere hans
økonomiske indtægt.
Rent matematisk set, var udviklingen indenfor matematikken også nået til et stadie der muliggjorde
definitionen af ℮. Den naturlige logaritme var blevet indført i 1668 og med dens indtræden i de
matematiske rækker og matematikernes tankegang, blev vejen banet lidt mere for ℮.
Det var et historisk islæt, hvorpå jeg vil bevæge mig mere over imod den matematiske side af ℮ og
forskellige måder til udregning af ℮.
3.0 Eksponentialrækken
Eksponentialrækken er en metode til at finde frem til ℮
x
. Det er sådan set en eksponentialfunktion,
hvor a er skiftet ud med ℮, som her:
xx
f x a f x e
℮
x
er den inverse funktion til ln(x), dvs. hvis man i en ligning, hvor ℮
x
eller ln(x) indgår, kan man
gange med den inverse funktion – i dette tilfælde ln – hvormed man kan løse ligninger som fx den
nedenunder.
1 ln 1 ln 0
x
e e x x
3.1 Udledning af eksponentialrækken
Jeg vil udlede eksponentialrækken ud fra binomialkoefficienterne vha. binomialformlen. Først skal
binomialkoefficienterne findes:
- 8 -
2
2
2
2
2
!1
1
2
2! 2 !
1 2 3 1
1
2! 2 3
1!
1
1
2!
n
n
n
n
n
nn
n n n n
n n n
nn
n
3
12
1
...
3
3!
n
n n n
n
2 3 2
1 2 3 2
1
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 2 3 2
11
1
10
nn
n n n
nn
n n n n n
n n n
n n n n n
nn
nn
12)...1)((!
12)1)()(1()1(
)!(!
!
knknk
knknknnn
knk
n
k
n
fra (n-k) og resten af leddene kan
forkortes i brøken
!
)1()1(
k
knnn
Så bruger jeg binomialformlen til at udregne størrelsen
n
1
1
, hvor a = 1 og b =
n
1
Jeg bruger nogle mellemregninger
inden jeg kommer frem til næste
linie:
Parenteserne (n-2) og de følgende,
kan forkortes væk, så der tilbage
står:
Samme princip følges ved:
jeg bruger binomialformlen til at
regne videre
nn
nn
n
n
nnn
n
nn
n
n
11
...
1
!3
211
!2
11
1
132
jeg sætter n uden for parentes for at
kunne få brøken efter to af leddene
til at gå ud og brøken i 2.led
n
n
n
nn
n
n
n
n
11
!3
2
1
1
1
1
!2
1
1
11
3
3
2
2
n
2
og n
3
går nu ud med hinanden i de
to led hvori de er repræsenteret
jeg lader n gå mod ∞ og ser hvad
følgende går mod
- 9 -
nfor
n
n
_
!4
1
!3
1
!2
1
11
1
1
ved udregning ved vi at
nfore
n
n
__
1
1
Hermed har vi eksponentialrækken, der er en uendelig række. Dvs. at jo flere led man medtager i en
beregning af e, desto mere præcist bliver resultatet. Jeg prøver at tage 10 led med – altså til og med
10! i nævneren.
3.2 Beregning af ℮ vha. eksponentialrækken
1,2
!10
1
!9
1
!8
1
!7
1
!6
1
!5
1
!4
1
!3
1
!2
1
11
Her er de første 7 decimaler korrekte, så det må siges at være en meget præcis metode.
Det var eksponentialrækken. Men der findes mange flere måder at beregne ℮ på. Nu følger to
forskellige rækkeudviklinger, med hvilke jeg vil starte med at vise gyldigheden af.
4.0 Rækkeudviklinger
Jeg vil udlede
!4
1
!3
1
!2
1
11
1
e
af
!3!2
1
32
xx
xe
x
Det er meget simpelt: jeg kigger på venstre side af lighedstegnet. En potensregneregel siger at:
r
r
a
a
1
altså er
x
x
e
e
1
hvis r er negativt:
1
r
r
a
a
og
1
x
x
e
e
Derpå kigger jeg på højre side af lighedstegnet og finder frem til at x = -1 for at udlede den
alternerende række af eksponentialrækken.
!4
1
!3
1
!2
1
11
1
!4
1
!3
1
!2
1
11
432
1
e
e
Et negativt tal i en lige potens vil altid give et positivt tal, mens et negativt tal i en ulige potens altid
vil give et negativt tal.
- 10 -
!9
8
!7
6
!5
4
!3
21
!5
4
!5
15
!5
1
!5
51
!5
1
!4
1
!3
2
!3
13
321
1
321
31
!3
1
!2
1
011
e
Når jeg går videre og vil udlede
!7
6
!5
4
!3
21
e
tager jeg to led og regner sammen:
jeg sætter dem på fælles brøkstreg, ved at
forlænge den første af de to brøker i hver af
de to nederste udregninger.
Derpå sætter jeg alle leddene sammen og så
er den alternerende række udledt.
Nu kan jeg udregne ℮ med 10 led i hver af rækkerne:
1 1 1 1 1 1
1 1 0,367879... 2,4
2! 3! 4! 9! 0,367879...
0,12... 2,8
3! 5! 7! 9! 21! 0,12...
e
e
e
e
Den nederste af rækkerne viser en fuldstændig tilnærmelse så at sige. Jeg vil ikke kalde det ”det
præcise tal ℮”, for lommeregneren tæller bare ikke flere end 9 decimaler. Den øverste giver en 3
decimalers nøjagtighed, hvilket ikke er specielt imponerende. Men på den anden side, har jeg jo i
teorien dobbelt så mange led med i den nederste i forhold til den øverste, fordi leddene fra den
øverste er blevet lagt sammen 2 og 2. Så for sammenlignelighedens skyld, har jeg udregnet den
nederste række som nedenunder:
1 2 4 6 8 1
0,87 2,4
3! 5! 7! 9! 0,87
e
e
Nu bestemmer den ℮ med 5 decimalers nøjagtighed, altså giver den stadig en bedre tilnærmelse end
den ovenover.
5.0 Kædebrøker
Jeg vil beregne tilnærmelser til ℮ vha. kædebrøker. Der findes både sluttelige og uendelige
kædebrøker, hvoraf disse er uendelige. Når man har en uendelig kædebrøk, kan man selv bestemme
hvor mange led man vil medtage. Jo flere led man tager med, jo mere præcist bliver resultatet. ℮’s
kædebrøk bliver nødt til at være uendelig, fordi ℮ ikke er et rationelt tal. I ”Bogen om ℮” er det ret
simpelt beskrevet hvordan man kan vise at ℮ er et rationelt tal. Jakob Bernoulli viste at ℮ skulle
være mellem 2 og 3. Det kan jeg bruge til at konkludere at hvis man stiller ℮ op som brøk, kan
- 11 -
nævneren mindst være 2. Som vist nedenfor ville ℮ = j og hvis j var et helt tal, som vi har antaget,
ville det ikke kunne passe, fordi ℮ skulle være mellem 2 og 3.
j
j
e
k
j
e
1
Derpå foretager de nogle udregninger og finder frem til modstridende facit på hver side af
lighedstegnet. Et irrationelt tal er et tal der ikke kan skrives som brøk o.l.
5
er et eksempel på et
irrationelt tal, for det kan ikke skrives præcist i en brøk eller som helt tal.[ Carstensen: bogen om ℮,
s. 27f og s. 68ff ]
Den første kædebrøk jeg vil udregne er:
22
1
18
1
14
1
10
1
6
1
1
1
2
1e
Jeg beregner den på TI-83 og kan derfor maksimalt bestemme resultatet med 9 decimaler, fordi
lommeregneren ikke har hukommelse til mere.
Jeg medtager tallene (1,6,…,70) og får resultatet:
6,00778,0
78,0
2
1
e
e
Da e med 9 decimaler er 2,9 og man tager en kædebrøk med 18 led, mener jeg ikke at den
giver en specielt god tilnærmelse til den præcise værdi. 4 decimaler er efter min mening ikke en
præcis tilnærmelse når man tager i betragtning hvor mange led der er inddraget.
En anden kædebrøk der skal kunne vise en tilnærmelse til e’s værdi er:
- 12 -
1
1
1
1
6
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
2
1
1
1
11e
Igen vha. TI-83 udregnes med tallene (1,1,2,1,1,4,1,1,…,10)
8,2
8,11
e
e
Her medtog jeg kun 15 led og fik det helt præcise resultat (ud fra lommeregnerens formåen). Så
man må sige at der er forskel på de 2 metoders præcision – eller i hvert fald antallet af led der er
nødvendige for at opnå præcision.
Man kan også bestemme ℮ vha. oversum og undersum, som jeg nu vil gøre.
6.0 Oversum og undersum
Ved at udregne nedenstående integral, bestemmer jeg det præcise areal af området under funktionen
ln x. Det kan sammensættes med oversums- og undersumsberegninger og derpå fremkommer
formlen vist i opgave 4.
2
2
1
])ln([)ln( xxxdxx
, hvor stamfunktionen er [ xlnx-x ]
)1)1ln(1(2)2ln(2
det sidste led (1ln(1)-1) = -1, derfor giver ligningen
1)2ln(2
6.1 Oversum
Jeg bruger oversummen af funktionen ln x til at bevise formlens ene halvdel. Ved at benytte denne,
finder jeg en tilnærmelse af arealet (lidt større end det reelle) af området under funktionen, hvilket
også er ℮. Ved at benytte undersummen, finder man også en tilnærmelse af arealet, men et der er
lidt mindre end det reelle.
- 13 -
…osv…
1
1+2/n
1+4/n
2
ln x
f(1+
2/n)
f(1+
4/n)
OVERSUM
n
n
n
1
ln
1
n
nn
n
n
!
!2
ln
1
…osv…
1
1+1/n
1+4/n
2
UNDERSUM
2-1/n
f(1+
1/n)
f(1+
4/n)
ln x
Oversummen findes ved at gå ud på x-aksen og aflæse værdien ved en af ”kasserne” (se illustration)
og derefter vil jeg beregne den tilsvarende y-værdi. Jeg bruger intervallet [ 1;2 ] for x-værdierne.
f(x)-værdien for x=1+1/n er så:
Dette gøres så for alle x-værdier til og med 2
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
2
ln
13
ln
12
ln
11
ln
1
det er det samme som, hvor jeg
har sat 1/n og ln udenfor
parentes.
6.2 Undersum
Derpå benytter jeg undersummen, som findes ved at gå ud af x-aksen og aflæse koordinaten der
hvor kassen skærer funktionen ln x. Igen beregner jeg den tilsvarende f(x)-værdi på samme måde
som ved oversummen.
- 14 -
f(x)-værdien for x=1+1/n er således:
n
n
n
1
ln
1
for hele området under grafen:
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
12
ln
13
ln
12
ln
11
ln
1
den sidste ”kasse” må have
afstanden 1/n fra 2, derfor ((2n-1)/n)
efter beregninger som ved oversummen,
giver det følgende:
n
nn
n
n
!
!12
ln
1
6.3 Fortsat udregning med oversum og undersum
Det større areal beregnet vha. oversummen, sætter jeg nu ulig med det beregnede areal, som er det
præcise:
n
nn
n
n
!
)!2(
ln
1
1)2ln(2
Jeg ganger med n på begge sider
n
nn
n
n
!
)!2(
ln)1)2ln(2(
Jeg ganger med e
x
e på begge sider
nn
n
e
n
1
!
)!2(
)1)2(ln(2
Så tager jeg den n
de
rod på begge sider
n
n
n
n
nn
n
e
n
1
!
)!2(
)1)2ln(2(
Den n
de
rod på venstre side af ulighedstegnet ophæves ved
leddet i n
de
nn
n
e
n
1
!
)!2(
1
))2ln(2(
Ifølge en potensregneregel må jeg gøre følgende på venstre
side
nn
n
e
e
n
1
!
)!2(
1
))2ln(2(
- 15 -
n
n
n
n
n
e
n
n
n
!1
!12
4
!
)!2(
4
Jeg sætter oversummen, det præcise areal
og undersummen sammen i en ulighed:
nn
n
e
e
n
1
!
)!2(
2
)2ln(
Leddet over brøkstregen på venstre side = 4. Ved at gange
med ℮ på begge sider og dividere med leddet på højre side,
får vi
n
n
n
n
e
!
)!2(
4
Det var oversummen, nu følger undersummen:
n
nn
n
n
!1
!12
ln
1
12ln2
udregningerne er omtrent de
samme som ved oversummen
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
e
n
n
e
n
nn
n
e
e
nn
n
e
nn
n
e
nn
n
ee
nn
n
n
!1
!12
4
!1
!124
1
!1
!12
1
!1
!12
!1
!12
!1
!12
!1
!12
ln12ln2
22ln
12ln2
12ln2
ln12ln2
Hermed er formlen bevist.
6.4 Beregning af ℮ vha. oversum og undersum
Nu kan formlen bruges til at give tilnærmelser til ℮’s værdi. Jeg vil prøve at sætte n = 30.
- 16 -
5,28,94,2
!130
!1302
304
!30
)!302(
304
30
30
e
Både oversummens og undersummens areal ligger forholdsvis tæt på ℮, men set i forhold til nogle
af de andre metoder jeg har benyttet i opgaven, er de ikke overvældende præcise. Slet ikke når man
tænker på at man sætter n = 30, hvilket må siges at være ret højt set i forhold til de andre
udregningsmetoder.
Hvis man i stedet tager differencen mellem oversummen og undersummen, dividerer den med 2 og
trækker den fra enten oversummen eller undersummen, får man et tal, der ligger midt imellem over-
og undersummen (se tabel nedenfor) og som derfor må være det tætteste de ”i fællesskab” kan
komme på e.
Oversummens resultat var 0,4 fra e, mens undersummens resultat var 0,168 fra
e’s eksakte værdi. Altså henholdsvis 0 og 1 decimaler passede ved denne udregningsform.
7.0 Vurdering af beregning af ℮ vha. forskellige metoder
Jeg vil nu lave et skema over alle de udregningsformer jeg har benyttet med deres afvigelse fra e og
n-værdien eller et andet parameter der viser hvor mange led eller lignende der er medtaget.
Formel
Resultat
Afvigelse fra e
Afvigelse fra
e i %
n-værdi
eller andet
parameter
n
n
n
n
n
e
n
n
n
!1
!12
4
!
)!2(
4
2,5-
(2,5-
2,4)/2
= 2,
3,810
-4
1,
n=30
!10
1
!2
1
11
2,1
2,7312610
-8
1,0047710
-6
10 led
10
1
6
1
1
1
2
1e
2,6
2,167245910
-5
7,9728510
-4
18 led
- 17 -
1
1
1
1
2
1
1
1
11e
2,8
1,10177310
-7
4,0532010
-6
10 led
1 1 1 1
11
2! 3! 4!e
2,4
1,86554110
-6
6,8629410
-5
10 led
1 2 4 6 8
3! 5! 7! 9!e
2,8
0
0
10 led
Den sidstnævnte kædebrøk og eksponentialrækken er begge meget præcise med 10 led, mens man
roligt kan sige at over- og undersumsmetoden ikke var specielt tilnærmende. Men den af
eksponentialrækken udledte rækkeudvikling, må siges at være særdeles præcis med 9 decimaler. Jeg
taler her om den sidste i tabellen.
8.0 Konklusion
Man kan konkludere, at Eulers muligheder for at udvikle sine matematiske evner var optimale. Han
var ganske vist et geni, men han havde samtidig de bedste videnskabsfolk omkring sig gennem hele
livet. Dette fik uden tvivl en afgørende betydning for Eulers udvikling af ℮. Johann Bernoullis bror
– Jakob Bernoulli – beregnede ℮ til at være et sted mellem 2 og 3. Dette må have gjort Leonhard
Euler opsat på at vise, at han kunne beregne ℮ med en utrolig præcision, vise at ℮ var en konstant
og finde beregningsmuligheder dertil.
Eksponentialrækken er meget præcis til beregning af ℮. Eftersom det var den metode Euler
fremstillede, må man sige, at det er imponerende at man stadig ikke kan finde metoder der er meget
mere præcise end hans. Nu kan jeg selvfølgelig kun udtale mig om de metoder jeg har gennemgået.
Hvis der findes andre metoder der er mere præcise (udover rækkeudviklingen, som var exceptionel
præcis), vil jeg da straks trække dette synspunkt tilbage. Jeg ved godt, at ℮ er blevet beregnet med
op til 10.000 decimaler, der er det højeste antal jeg er bekendt med. Men det er jo bare et spørgsmål
om at tage tilstrækkelig mange led med i en rækkeudvikling eller en kædebrøk for den sags skyld.
Den ene af de to rækkeudviklinger jeg beregnede ℮ ved hjælp af, blev ud fra mine resultater den
metode med den bedste tilnærmelse til ℮ med færrest led.
Euler er stadig af stor betydning i matematikken i dag. Han har beregnet ℮, som man bruger gang på
gang i forskellig sammenhænge og han har navngivet π, der – sammen med ℮ - er vores vigtigste
naturkonstanter.
- 18 -
9.0 Litteraturliste:
[ Andersen bind 1 ]
Andersen, Kirsti m.fl.: Nogle kapitler af matematikkens historie bind 1, Aarhus Universitet, 1979
[ Andersen bind 2 ]
Andersen, Kirsti m.fl.: Nogle kapitler af matematikkens historie bind 2, Aarhus Universitet, 1979
[ Carstensen: Bogen om ℮ ]
Carstensen, Jens: Bogen om e, Systime, 1995
[ Carstensen: Mat 3 ]
Carstensen og Frandsen, Jens og Jesper: Matematik 3, Systime, 1990
[ Encyklopædi ]
Den store danske Encyklopædi bd.5, Gyldendal, 1996
[Gyldendals leksikon]
Gyldendals leksikon A-G, Gyldendal, 2002
[ Mejlbo ]
Mejlbo, Lars: Uendelige rækker, Aarhus Universitet, 1983
[ Nielsen: ℮ ]
Nielsen, Birger: ℮=2,8… (artikel fra Internettet):
www.246.dk/e.html, 2003
[ O’Connor: The number ℮ ]
O’Connor, J J og E F Robertson: The number e (artikel fra Internettet):
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/e.html
- 19 -
[ O’Connor: Leonhard Euler ]
O’Connor, J J og E F Robertson: Leonhard Euler (artikel fra Internettet):
www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Euler.html
[ Weisstein: Euler ]
Weisstein, Eric: Euler, Leonhard (artikel fra Internettet):
scienceworld.wolfram.com/biography/Euler.html
[ Rouse Ball: Leonhard Euler ]
Rouse Ball, W W: Leonhard Euler () (artikel fra Internettet):
www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Euler/RouseBall/RB_Euler.html
[ ℮ -- from MathWorld ]
℮ -- from MathWorld (artikel fra Internettet):
mathworld.wolfram.com/e.html