Matematik B
1
Stor skriftlig opgave
Stem m er
A. Socialdemokratiet 2
B. Det Radikale Venstre 179.023 9
C. Det Konservative Folkeparti
D. Centrum -Demokraterne 61.031 0
F. Socialistisk Folkeparti
O. Dansk Folkeparti
Q. Kristeligt Folkeparti 78.793 4
V. Venstre, Danm arks Liberale Parti 6
Z. Frem skridtspartiet 19.340 0
Ø. En hedslist en – De Rød-Gr ønn e 82.685 4
Uden for partierne 1.016 0
I alt 75
Part i
M andater
Partiernes stemme- og mandatfordeling ved folketingsvalget tirsdag den 20. november 2001.
Statistik
Folketingsvalg i Danmark
Matematik B
3
Indholdsfortegnelse
Forord .............................................................................................................................................. side 4
Tak til .................................................................................................................................... side 4
Indledning ................................................................................................................................... side 5
Problemformulering ......................................................................................................... side 5
Grundbegreber ....................................................................................................................... side 6
Fordelingsmetoder .............................................................................................................. side 8
Største brøks metode....................................................................................................... side 9
Sainte-Laguës metode ...................................................................................................... side 9
Den modificerede Sainte-Laguës metode ................................................................. side 10
Den danske metode .......................................................................................................... side 11
d’Hondts metode ............................................................................................................... side 12
Folketingsvalget 2001 ..................................................................................................... side 13
Forberedelser til folketingsvalg .................................................................................... side 13
Mandatfordelingen efter valget .................................................................................... side 16
Uretfærdighed ......................................................................................................................... side 20
Sainte-Laguës metode ...................................................................................................... side 21
Konklusion .................................................................................................................................. side 23
Noter................................................................................................................................................. side 24
Litteraturliste ............................................................................................................................ side 25
Matematik B
4
Forord
I efteråret 2001 blev der som bekendt afholdt valg i Danmark. For første gang skulle vælgerne
afgive deres stemme til tre valg på samme dag. Prognoser og eksperter forudsagde, at vælgernes
stemmeafgivelse ville blive påvirket af folketingsvalget, men eksperterne tog fejl. Vælgerne kunne
godt finde ud af at holde de tre valg adskilt, hvilket tydeligt kunne ses af resultaterne: Hvor
Venstre havde stor fremgang ved folketingsvalget, havde de i mange amter og kommuner
tilbagegang og måtte aflevere borgmesterposter til venstrefløjen. Selv ”eksperter” kan tage fejl!
Dette var anledningen til mit valg af emne i den større skriftlige opgave. Jeg syntes, det kunne
være interessant at se på, hvordan mandater bliver fordelt i forhold til vælgernes
stemmeafgivelse.
Tak til
Denne opgave var ikke blevet til uden…
Matematik B
5
Indledning
Denne opgave skal klarlægge matematikken bag folketingsvalg i Danmark. Hvilke kriterier gør sig
gældende når kreds- og tillægsmandater skal fordeles? Er fordelingsmetoden, der bliver brugt i
Danmark, den mest retfærdige? Er retfærdigheden set ud fra et vælger- eller politikersynspunkt?
Kan vi eventuelt bruge en metode, der giver større retfærdighed?
Der tages udgangspunkt i Ebbe Thue Poulsens bog ”Matematik og retfærdighed –
mandatfordelingsproblemet”, Nordisk Forlag 2000. Hvor der kun er anført [EP9] henvises til
denne bog og sidenummer.
Indenrigs- og Sundshedsministeriet (tidl. Indenrigsministeriet) har undervejs i opgavens forløb
ændret deres internetadresse til: www.inm.dk (tidl. www.indenrigsministeriet.dk).
Problemformulering
Du skal ret kort forklare de metoder, som bruges ved omregningen fra stemmetal til
mandattal ved danske folketingsvalg.
Du skal for en udvalgt kreds vise omregningen fra stemmetal til mandattal ved
folketingsvalget i 2001.
Du skal kort beskrive én eller to andre fordelingsmetoder, med deres fordele og ulemper.
Du skal definere og forklare begrebet
Uretfærdighed
, og specielt bevise, at den metode, der
set fra vælgernes synspunkt er mindst uretfærdig, er Sainte-Laguës metode.
Opgave: a) Fire mandater skal fordeles mellem de to partier A og B med stemmetallene
henholdsvis 3750 og 600. Hvilken fordeling af mandaterne fremkommer ved
brug af Sainte-Laguës metode?
b) Hvordan bliver fordelingen af mandater hvis partiet A deler sig i to næsten lige
store partier? Kommentér resultatet.
Matematik B
6
Grundbegreber
For overskuelighedens skyld fastsættes nogle betegnelser, som er gennemgående, når intet andet
er anført, i alle definitioner, beviser og eksempler:
s står for stemmetal og m for mandattal, dvs. at partiet A’s stemmetal betegnes s
A
og dets
mandattal m
A
.
S står for partiernes samlede stemmetal, M for det samlede mandattal.
Et vilkårligt parti betegnes P, dets stemmetal betegnes s
P
og det mandattal P tildeles betegnes
m
P
.
k
P
står for partiets kvota. [EP11ff]
d betegner en divisor.
% står for den procentvise andel af stemmer.
f betegner folketallet, v er vælgertallet ved sidste valg og a betegner areal20
1
.
”Grundprincip (Proportional repræsentation)
Mandaterne i Folketinget skal fordeles blandt partierne i forhold til deres stemmetal.”
[EP9]
Definition 1: Ved en fordelingsmetode forstås, at det af metoden klart fremgår, hvordan et
sæt mandattal (m
A
, m
B
, … m
Ø
) bliver fordelt ud fra partiernes stemmetal (s
A
, s
B
, … s
Ø
) og det
samlede mandattal M. [EP14+33]
(Vigtigt i enhver forsamling, hvor nogle få skal repræsentere en større kreds).
Definition 2: Ved kvota forstås det tal k, der fremkommer når partiets stemmetal s divideres
med kvotienten q (se Definition 4).
2
Partiets kvota fremkommer ved:
k
P
= s
P
/((s
A
, s
B
, … s
Ø
)/(m
A
, m
B
, … m
Ø
)) k
P
= s
P
/(S/M) k
P
= s
P
/q
Definition 3: Ved divisor forstås det tal d, hvormed et andet tal s skal deles.
Her en række positive tal fx 1, 2, 3, 4 osv., som divideres op i partiets stemmetal, således
at der fremkommer en række tal x
1
> x
2
> x
3
> x
4
> osv. x = s
P
/d [EP20]
Eks.: d
1
x
1
og x
4
, d
2
x
2
, d
3
x
3
, d
4
x
5
A B C
Stem m etal
sA sB sC
Divisor 1
sA / d1 sB / d1 sC / d1
Divisor 2
sA / d2 sB / d2 sC / d2
Divisor 3
sA / d3 sB / d3 sC / d3
Definition 3 om divisorer.
Definition 4: Ved kvotient forstås det tal Q, der giver ”prisen” i stemmer pr. mandat. Også
når partierne skal tildeles mandater forud for folketingsvalg, hvor folketal f, vælgertal v og
areal20 a divideres med det samlede antal mandater M.
2
Matematik B
7
Kvotienten fremkommer ved: q =
S/M
Kvotienten fremkommer ved: Q = (f + v + a)/M
(Skal ifølge den danske valglov bruges ved forberedelsen til mandatfordeling).
3
Definition 5: Ved den totale uretfærdighed forstås det tal U, der fremkommer ved
når et valg med deltagelse af partierne A, B, … Ø med stemmetal (s
A
, s
B
, … s
Ø
) og mandattal (m
A
,
m
B
, … m
Ø
) bliver betragtet. Forskellen u
P
= M/S – m
P
/s
P
betragtes som den uretfærdighed, der
sker mod vælgerne fra partiet P. [EP58]
Definition 6: Ved retfærdig mandatfordeling forstås det tal U
V
(se Definition 5), der gør at
uretfærdigheden set fra en vælgers synsvinkel bliver så lille som mulig. [EP59]
2
ØØ
2
BB
2
AAP
2
s
m
S
M
Ø
2
s
m
S
M
B
2
s
m
S
M
AV
mk...mkmkU
s...ssU
Ø
Ø
B
B
A
A
Matematik B
8
Fordelingsmetoder
Der findes mange fordelingsmetoder; her vil jeg forklare
Største brøks metode
og
Sainte Laguës
metode
4
, som bliver brugt ved danske folketingsvalg
5
, og kigge på
d’Hondts metode,
som bliver
taget i anvendelse ved kommunal- og amtsvalg
6
.
Sainte-Laguës metode bliver brugt i Danmark, fordi det er den mindst uretfærdige metode set
ud fra vælgernes side, hvilket vil blive bevist i afsnittet om uretfærdighed.
Som det ses i tabel 1 og 2 er det kun i teorien, at grundprincippet (som er en fordelingsmetode i
sig selv) kan overholdes. [EP14-15]
Tabel 1 viser, hvordan fem mandater fordeles på tre partier A, B og C med stemmetallene s
A
=
1000, s
B
= 1000 og s
C
= 500. Ét mandat svarer til én person, og kun i kraft af de overskuelige
stemmetal kan grundprincippet overholdes.
s % m
Parti A
1000 40 2
Parti B
1000 40 2
Parti C
500 20 1
I alt 2500
Tabel 1: Grundprincippet overholdes.
Tabel 2 viser, hvordan fem mandater fordeles på tre partier A, B og C med stemmetallene s
A
=
3750, s
B
= 600 og s
C
= 1150. Hvorfor man er nødt til at bruge mere komplicerede
fordelingsmetoder.
s % m
Parti A
3750 68,2 3,4
Parti B
600 10,9 0,5
Parti C
1150 20,9 1,0
I alt 5500
Tabel 2: Grundprincippet overholdes ikke.
Når stemmetallene bliver mere ”komplicerede” holder grundprincippet ikke, idet der ikke kan
opnås hele mandattal. Altså skal der bruges en fordelingsmetode, hvor decimalerne tages i
anvendelse. Det er i denne forbindelse at definition 2 om kvota kommer ind i billedet.
Matematik B
9
Største brøks metode
Partiernes kvota udregnes i henhold til definition 2, og hvert parti tildeles det antal mandater,
som heltallet h i kvotatallet k angiver. Brøken b elimineres indtil man har set, om der er flere
mandater at fordele end summen af heltal. De eventuelt overskydende mandater fordeles
herefter til de partier, der har største brøk. [EP16]
I tabel 3 vises beregningen for partierne A, B og C, hvor største brøks metode tages i anvendelse
i praksis:
k
A
= s
A
/(S/M) k
A
= 3.750/(5500/5) k
A
= 3,4
k
B
= s
B
/(S/M) k
B
= 600/(5500/5) k
B
= 0,5
k
C
= s
C
/(S/M) k
C
= 1.150/(5500/5) k
C
= 1,0
hvilket medfører, at parti A får tildelt tre mandater og parti C et mandat i første omgang, da de
har et heltal i deres kvotatal. Der er fem mandater, der skal fordeles, så det femte mandat går til
det parti, der har den største brøk, som i tabel 3 er parti B.
s % k h b m
Parti A
3750 68,2 3,4 3 0,4 3
Parti B
600 10,9 0,5 0 0,5 1
Parti C
1150 20,9 1,0 1 0 1
I alt 5500
Tabel 3: Største brøks metode ved fordeling af 5 mandater på 3 partier.
Hvis det skulle ske, at flere partier har nøjagtig samme størrelse brøk, foretages der en
lodtrækning om mandatet mellem de vedrørte partier.
Største brøks metode tages i anvendelse forud for folketingsvalg, ved tildeling af mandater til
landsdele samt amts- og storkredse. [EP86]
Sainte-Laguës metode
Definition 3 om divisorer tages i brug i Sainte-Laguës metode, som også kaldes
de ulige
divisorers metode
. Det er en divisormetode med de ulige tal 1, 3, 5, 7 osv. som divisorer.
[EP59]
I tabel 4a vises beregningen for partierne A, B og C:
x
1
= s
A
/d
1
, x
2
= s
A
/d
3
, x
3
= s
C
/d
1
, x
4
= s
A
/d
5
, x
5
= s
B
/d
1
A B C
Stem metal 150
Divisor 1150
Divisor 383
Divisor 30
Divisor 7 536
Divisor 9 417
(De kursiverede tal vil blive omtalt i afsnittet om uretfærdighed).
Tabel 4a: Fordeling af 5 mandater på 3 partier
vha. Sainte-Laguës metode.
Den modificerede Sainte-Laguës metode
Matematik B
10
Definition 3 er også udgangspunkt i
den skandinaviske metode
7
(som denne fordelingsmetode
også kaldes), men den modificerede Sainte-Laguës metode kan give et andet resultat, idet den
første divisor ændrer karakter til 1,4.
8
I tabel 4b vises beregningen for partierne A, B og C:
x
1
= s
A
/d
1,4
, x
2
= s
A
/d
3
, x
3
= s
C
/d
1,4
, x
4
= s
A
/d
5
, x
5
= s
A
/d
7
A B C
Stem m etal 150
Divisor 1,821
Divisor 383
Divisor 30
Divisor 4
Tabel 4b: Fordeling af 5 mandater på 3 partier
vha. den modificerede Sainte-Laguës metode.
I tabel 4a og 4b ses de samme partier og deres stemmetal, og i henhold til metoderne er det
kun førstedivisoren, der er forskellig. Ifølge [EP118, note 57] er der ikke nogen teoretisk
begrundelse for at bruge 1,4 som divisor, men resultatet er, at parti A i den modificerede version
af Sainte-Laguës metode får tildelt det femte mandat i stedet for parti B. Det viser, at divisor 1,4
kan være med til at favorisere de store partier.
I tabel 5a skal der fordeles fire mandater på de to partier A og B.
x
1
= s
A
/d
1.4
, x
2
= s
A
/d
3
, x
3
= s
A
/d
5
, x
4
= s
A
/d
7
A B
Stem m etal 3750 600
Divisor 1,
Divisor
Divisor 5 750 120
Divisor 7 536 86
Tabel 5a: Fordeling af 4 mandater på 2 partier
vha. den modificerede Sainte-Laguës metode.
I tabel 5b skal der fordeles fire mandater på de tre partier A’, A’’ og B. Partierne A’ og A’’ er det
tidligere parti A (tabel 5a), som har delt sig i to næsten lige store partier.
x
1
= s
A’
/d
1,4
, x
2
= s
A’’
/d
1,4
, x
3
= s
A’
/d
3
, x
4
= s
A’’
/d
3
A' A'' B
Stem m etal 600
Divisor 1,6 429
Divisor 00
Divisor 20
Tabel 5b: Fordeling af 4 mandater på 3 partier
vha. den modificerede Sainte-Laguës metode.
Parti A’ og A’’ deles om de fire mandater, som parti A havde inden delingen. Man kan i dette
tilfælde konstatere, at der er tale om retfærdighed overfor både vælgere og partier.
Matematik B
11
Den danske metode
Sainte-Laguës metode kaldes også
den danske metode
. Forskellen er, at det nu er divisorerne 1, 4,
7, 10 osv., der ligger til grund for beregningerne. Denne fordelingsmetode bruges ved fordeling af
tillægsmandater ved Folketingsvalg.
9
For at illustrere hvad der sker, når divisorerne ændrer sig, tages stemmetallene fra tabel 5a og
5b i anvendelse endnu en gang.
x
1
= s
A
/d
1
, x
2
= s
A
/d
4
, x
3
= s
B
/d
1
, x
4
= s
A
/d
7
A B
Stem m etal 3750 600
Divisor
Divisor 4 938 150
Divisor 7 536 86
Divisor 10 375 60
Tabel 6a: Fordeling af 4 mandater på 2 partier
vha. den danske metode.
x
1
= s
A’
/d
1
, x
2
= s
A’’
/d
1
, x
3
= s
B
/d
1
, x
4
= s
A’
/d
4
A' A'' B
Stem m etal 600
Divisor 0 600
Divisor 50
Divisor 6
Tabel 6b: Fordeling af 4 mandater på 3 partier, hvor
A’ og A’’ tidligere var 1 parti, vha. den danske metode.
Tabel 6a og 6b viser, at den danske metode tager hensyn til de mindre partier. Selvom parti A
deler sig i to næsten lige store partier, får parti B stadig det tredje mandat. Man kan selvfølgelig
sige, at det er uretfærdigt, at parti A’ og A’’ ikke får lige mange mandater, men et ulige tal kan
nu engang ikke deles i to hele tal, så partiet med flest stemmer vinder, hvilket jo er den
demokratisk rigtige løsning.
I de 3 forskellige versioner af Sainte-Laguës metode gælder det, at der foretages lodtrækning,
hvis en eller flere af de fremkomne tal x er lige store.
Matematik B
12
d’Hondts metode
Denne fordelingsmetode er også af divisortypen, men er enklere end Sainte-Laguës og andre
divisormetoder, idet divisorerne er 1, 2, 3, 4 osv. Fremgangsmåden er den samme, som beskrevet
under Sainte-Laguës metode.
Metoden bliver blandt andet brugt ved kommunalvalg. [EP19]
Parti A, B og C illustrerer i tabel 7, hvordan fordelingen af fem mandater vil forløbe efter
d’Hondts metode.
x
1
= s
A
/d
1
, x
2
= s
A
/d
2
, x
3
= s
A
/d
3
, x
4
= s
C
/d
1
, x
5
= s
A
/d
4
A B C
Stem metal 150
Divisor 1150
Divisor 575
Divisor 383
Divisor 88
Divisor 30
Divisor 92
Tabel 7: Fordeling af 5 mandater på 3 partier
vha. d’Hondts metode.
I tabel 7 ses det tydeligt, at d’Hondts metode i allerhøjeste grad favoriserer de store partier, idet
både et eventuelt sjette og syvende mandat ville være gået til parti A.
d’Hondts metode bliver anvendt ved kommunal- og amtsvalg i Danmark, og selvom det ikke
indgår i denne opgave, er der alligevel spændende og rimelige spørgsmål at stille:
Vil det sige, at det er de store partier, der styrer kommuner og amter?
I disse Farum tider kan det være en overvejelse værd, om tiden er inde til, at der skal skiftes
fordelingsmetode ved kommunal- og amtsvalg, således at der bliver en mere kritisk – i positiv
forstand – og varieret holdning til beslutningsprocesserne.
Matematik B
13
Folketingsvalget 2001
Forberedelser til folketingsvalg
I Danmark sidder der 179 personer i Folketinget, 2 er valgt på Færøerne og 2 i Grønland. Disse 4
mandater tages ikke med i beregningerne; i alt skal der fordeles 175 mandater på 135
kredsmandater og 40 tillægsmandater. [EP86]
De 175 mandater bliver hvert femte år 1995, 2000, 2005 osv. fordelt på 3 landsdele: København-
Frederiksberg, Øerne og Jylland. Landsdelene er inddelt i amts- og storkredse, idet København-
Frederiksberg er inddelt i 3 storkredse, Øerne og Jylland er inddelt i hver 7 amtskredse. I alt er
der altså 3 landsdele samt 17 amts- og storkredse.
10
Den stedlige mandatfordelingen sker ved forholdstalsregning ud fra følgende kriterier:
a) folketal, b) vælgertal ved sidste folketingsvalg og c) areal i kvadratkilometer ganget
med 20.
11
Når arealet ganges med 20, er det, fordi resultatet altid falder inden for en politisk
acceptabel grænse.
12
Hvis fordelingen, når heltallet er brugt og brøkerne elimineret, ikke er lig med de 175 mandater,
tages største brøks metode i anvendelse, hvilket vil sige, at de største brøker forhøjes til
nærmeste hele tal, indtil mandattallet 175 er nået.
13
I det følgende vil nedenstående betegnelser blive taget i anvendelse:
K betegner København-Frederiksberg, Ø er Øerne, J er Jylland og L betegner hele landet.
Tabel 8 viser 175 mandater fordelt på de 3 landsdele, men først beregnes kvotienten Q:
Q =
(f
L
+ v
L
+ a
L
)/M Q = (5.330.020 + 3.993.099 + 861.909)/175
Q = /175 Q = 58.200,16
dvs. at ét mandat ”koster” 58.200 stemmer.
f + v + a
k m
h b
7,75 18 17 0,75
3,01 73 73 0,01
4,24 84 84 0,24
175,
Kvotient Q =
58.200
I alt landsdele
Største brøks
metode
Ø erne
Jylland
175 mandater
fordelt på landsdele
København - Frederiksberg
Tabel 8: 175 mandater fordelt på landsdele.
Landsdelen København-Frederiksberg får tildelt det 175. og sidste mandat, da den med brøken
0,75 har største brøk.
En ny kvotient findes, så 135 kredsmandater kan fordeles på landsdelene (tabel 9):
Q =
(f
L
+ v
L
+ a
L
)/M Q = /135 Q = 75.445
Matematik B
14
f + v + a
k m
h b
3,69 14 13 0,69
6,32 56 56 0,32
4,98 65 64 0,98
135,
Kvotient Q =
I alt landsdele
Største brøks
metode
Ø erne
Jylland
135 kredsm andater
fordelt på landsdele
København - Frederiksberg
75.445
Tabel 9: 135 kredsmandater fordelt på landsdele.
Jylland får tildelt det 134. mandat, da de med brøken 0,98 har største brøk, og København-
Frederiksberg tildeles det sidste mandat for næststørste brøk.
Landsdelenes tildelte kredsmandater fordeles på amts- og storkredse (tabel 10). Kvotienten for et
mandat i amtskredsene på Øerne beregnes:
Q =
(f
Ø
+ v
Ø
+ a
Ø
)/M Q = 4.249.284/56 Q = 75.880
f + v + a
k m
h b
4,15 14 14 0,15
658.976 8,68 9 8 0,68
420.842 5,55 5 5 0,55
576.701 7,60 8 7 0,60
527.393 6,95 7 6 0,95
90.311 1,19 1 - -
,88 12 11 0,88
6,00 55 51
Fyns Am tskreds
Frederiksborg Amtskreds
Roskilde Amtskreds
Kvotient Q =
I alt Øerne
Københavns Amtskreds
Største brøks
metode
Vestsjæ llands Amtskreds
Storstrøms Am tskreds
Bornholms Am tskreds
56 kredsm andater
fordelt på am tskredse
75.880
Tabel 10: 56 kredsmandater fordelt på amtskredse på Øerne.
Idet Bornholms Amtskreds
skal
have tildelt 2 kredsmandater
14
, foretages en ny kvotientberegning
(tabel 11) med 133 kredsmandater, hvor Bornholms forholdstal er fratrukket:
Q =
(f
L-B
+ v
L-B
+ a
L-B
)/M Q = /133 Q = 75.900
f + v + a
k m
h b
3,61 14 13 0,61
4,80 55 54 0,80
4,59 64 64 0,59
133,
Kvotient Q =
75.900
Største brøks
metode
I alt (- Bornholm)
Ø erne (- Bornholm )
Jylland
133 kredsm andater
fordelt på landsdele
København - Frederiksberg
Tabel 11: 133 kredsmandater fordelt på landsdele, hvor Bornholm på forhånd er tildelt 2 kredsmandater.
Øerne får tildelt det 132. mandat, da de med brøken 0,80 har største brøk, og København-
Frederiksberg tildeles det sidste mandat for næststørste brøk. Som det kan ses i tabel 11, i forhold
til den tidligere beregning i tabel 9, må Jylland afgive et kredsmandat til Bornholms Amtskreds. I
alt får Øerne tildelt 57 mandater.
En ny kvotientberegning foretages for landsdelen Øerne:
Q =
(f
Ø-B
+ v
Ø-B
+ a
Ø-B
)/M Q = 4.158.973/55 Q = 75.618
Matematik B
15
f + v + a
k m
h b
4,20 14 14 0,20
658.976 8,71 9 8 0,71
420.842 5,57 5 5 0,57
576.701 7,63 8 7 0,63
527.393 6,97 7 6 0,97
90.311 - - - -
,92 12 11 0,92
5,00 55 51
Største brøks
metode
Frederiksborg Amtskreds
Roskilde Amtskreds
55 kredsm andater
fordelt på am tskredse
Københavns Amtskreds
75.618
Kvotient Q =
I alt Øerne (- B ornholm )
Vestsjæ llands A mtskreds
Storstrøms Am tskreds
Bornholms Am tskreds
Fyns Am tskreds
Tabel 12: 55 kredsmandater fordelt på amtskredse på Øerne, hvor Bornholm på forhånd er tildelt
2 kredsmandater.
Storstrøms Amtskreds får tildelt det 52. mandat, da de med brøken 0,97 har største brøk,
derefter får Fyns Amtskreds med 0,92 ét mandat, Frederiksborg Amtskreds får med 0,71 ét
mandat, og Vestsjællands Amtskreds tildeles det 55. og sidste mandat med brøken 0,63.
Ifølge Lov om valg til Folketinget er det kun Bornholms Amtskreds, der har særstatus.
Fordelingen af kredsmandater på amts- og storkredse i landsdelene København-Frederiksberg og
Jylland foregår på samme måde som i tabel 12 bortset fra kvotienten, der ændres.
Kbh.-Fr.bergs Storkredse: Q =
(f
K
+ v
K
+ a
K
)/M Q = 1.033.034/14 Q = 73.788
Jyllands Amtskredse: Q =
(f
K
+ v
K
+ a
K
)/M Q = 4.902.710/64 Q = 76.605
Tillægsmandaterne T fordeles ved at beregne differencen mellem de tildelte mandater M i
landsdelene (tabel 8) og kredsmandater m i landsdelene (tabel 11).
15
Kbh.-Fr.bergs Storkredse: T
K
= M
K
– m
K
T
K
= 18 – 14 T
K
= 4
Øernes Amtskredse: T
Ø
= M
Ø
– m
Ø
T
Ø
= 73 – 57 T
Ø
= 16
Jyllands Amtskredse: T
J
= M
J
– m
J
T
J
= 84 – 64 T
J
= 20
Hele den stedlige mandatfordeling er vist i bilag 5, tabel 2.
Matematik B
16
Mandatfordelingen
Inden selve mandatfordelingen foretages, kontrolleres det vha. partiernes stemmetal s
P
og det
samlede antal stemmer S, om der er nogle partier, som er kommet under spærregrænsen på
2%.
16
Beregning af Socialdemokratiets (A) andel af stemmerne:
%
A
= s
A
/S100 %
A
= 1.003.323/3.449.668
100 %
A
= 29,08
Stemm er Procent
A. Soc ialdem okratiet 9,08
B. Det R adikale Venstre 179.023 5,19
C. Det Konservative Folkeparti 312.770 9,07
D. Centrum -D em okraterne 61.031 1,77
F. Soc ialistisk Folkeparti 219.842 6,37
O. Dansk Folkeparti ,00
Q. Kristeligt Folkeparti 78.793 2,28
V. Venstre, D anm arks Liberale P arti 1,25
Z. Frem skridtspartiet 19.340 0,56
Ø. E n h ed s lis ten – D e R ø d -G rø n n e 82.685 2,40
Uden for partierne 1.016 0,03
I alt 00,00
Parti
Tabel Fejl! Ukendt argument for parameter.3: Partiernes procentvise andel af stemmerne ved valget i 2001.
Kilde: www.inm.dk, bilag 8.
Ovenstående tabel 13 viser, at der er tre partier, der på forhånd er udelukket fra at få tildelt
mandater pga. spærregrænsereglen. Det er Centrum-Demokraterne med 1,77% af stemmerne,
Fremskridtspartiet med 0,56% af stemmerne og kandidater uden for partierne med 0,03% af
stemmerne. Disse tre partier er ikke repræsenteret i Folketinget, før de eventuelt ved næste valg
får mere end 2% af stemmerne.
Kredsmandater
Efter valget bliver kredsmandaterne fordelt på partier efter deres samlede stemmetal i de enkelte
amts- eller storkredse, ved brug af den modificerede Sainte-Laguës metode.
17
De 14 kredsmandater i landsdelen København-Frederiksberg fordeles til Søndre Storkreds med 4
mandater, Østre Storkreds med 6 mandater og Vestre Storkreds med 4 mandater.
A B C F O Q V Ø
Stem m er
Divisor 1,907
Divisor 2 6.244
Divisor 5 5.317
Søndre Storkreds
Tabel 14: Søndre Storkreds i landsdelen København-Frederiksberg.
Anm.: Socialdemokratiet mandat og , Venstre mandat og Socialistisk Folkeparti .
Kilde: Stemmetal fra www.inm.dk, bilag 4.
Matematik B
17
A B C F O Q V Ø
Stem m er 9.620
Divisor 1,56 6.871
Divisor 69 10.060
Divisor 5 8.467
Østre Storkreds
Tabel 15: Østre Storkreds i landsdelen København-Frederiksberg.
Anm.: Socialdemokratiet og , Venstre , Socialistisk Folkeparti , Radikale Venstre og Dansk Folkeparti .
Kilde: Stemmetal fra www.inm.dk, bilag 6.
A B C F O Q V Ø
Stem m er 7.711
Divisor 1,508
Divisor 69
Divisor 5 6.503
Vestre Storkreds
Tabel 16: Vestre Storkreds i landsdelen København-Frederiksberg.
Anm.: Socialdemokratiet og , Venstre og Det Konservative Folkeparti .
Kilde: Stemmetal fra www.inm.dk, bilag 7.
Når tabellerne 14, 15 og 16 betragtes, og divisor 1,4 sammenlignes med divisor 1 (som jo er lig
med parti-stemmetallene), kan det ikke undgås, at jeg er nødt til at tage ordene om favorisering
af de store partier (side 10 om tabel 4a og 4b) op igen, da det tredje mandat i alle tre storkredse
ville være gået til det parti, der har fået det fjerde mandat.
I Søndre Storkreds ville Det Radikale Venstre have fået tildelt et mandat i stedet for Social-
demokratiet. I Vestre Storkreds ville Socialistisk Folkeparti have ”taget” det sidste mandat.
I Østre Storkreds, hvor 6 mandater skulle fordeles, ville resultatet ikke have ændret sig kun
rækkefølgen, idet Socialdemokratiet ville få det sjette mandat i stedet for det tredje.
Jeg vil ikke i denne opgave grave dybere i konsekvenserne, men må alligevel konkludere, at
divisor 1,4 kan være med til at favorisere de store partier.
Tillægsmandater
Når kredsmandaterne er fordelt på partier, skal tillægsmandaterne fordeles på partier i hver
landsdel, til den beregning skal kvotienten q (definition 4) tages i brug:
q =
S
/M q = 3.449.668/175 q = 19.712
Den beregnede kvotient divideres op i partiernes stemmetal (definition 2), og derved
fremkommer et kvotatal, som er det antal mandater, hvert parti er berettiget til.
k
A
= s
A
/q k
A
= 101.430/19.712 k
A
= 5,15
Matematik B
18
Hvis heltallet i alle partiers kvota ikke giver det antal mandater landsdelen blev tildelt før valget,
anvendes største brøks metode indtil mandatantallet er nået.
18
A B C F O Q V Ø
870
79 9.620
06 7.711
Kvotient 19.712
5,15 2,00 1,60 2,20 1,95 0,30 3,69 1,23
-
København-Fr.berg
Søndre Storkreds
Ø stre Storkreds
Ves tre Storkreds
Stem m er i alt
Tillægsmandater
Partiets kvota
Berettigede m andater
Kredsm andater
Tabel 17: Tillægsmandaternes fordeling på partier i København-Frederiksberg.
Anm.: Ifølge tabel 8 og 11 skal der fordeles 4 tillægsmandater.
Kilde: Antal stemmer og kredsmandater fra tabel 14-16.
Idet Socialdemokratiet i beregningen (tabel 17) har fået flere kredsmandater end de egentlig er
berettiget til, foretages en ny beregning (tabel 18), hvor der
19
”ses bort fra partier, som har
opnået et antal kredsmandater lig med eller større end det samlede mandattal, som de er
berettiget til i forhold til deres stemmetal.”
Det vil sige; hvis et parti har opnået det antal
kredsmandater eller flere, som heltallet i deres kvotatal berettiger dem til, skal partiet udelades
af beregningen.
A B C F O Q V Ø
Kvotient 19.712
5,15 2,00 1,60 2,20 1,95 0,30 3,69 1,23
2 2 2 1
1 1 1 1
Kredsmandater
Tillæ gsmandater
København-Fr.berg
Stem mer i alt
Partiets kvota
Berettigede mandater
Tabel 18: Ny beregning af tillægsmandaternes fordeling på partier i København-Frederiksberg.
Som det kan ses i tabel 17 og 18 må Venstre må afgive et mandat til Socialdemokratiet.
Tillægsmandaterne fordeles på partierne, som er berettiget til dem. Det sker ved at dividere
divisorerne 1, 3, 5, 7 osv.
20
(Sainte-Laguës metode) op i partiets stemmer i landsdelen, for
derefter at udelade de største kvotienter for hvert parti, som svarer til partiets kredsmandater i
landsdelen.
B C O Ø
4.201
1 1 1 0
1 1 1 1
Divisor 24.201
Divisor 8.067
Divisor 0 7.700
København-Fr.berg
Stem mer i alt
Kredsmandater
Tillæ gsmandater
Tabel 19: Tillægsmandaternes fordeling på partier i København-Frederiksberg.
Matematik B
19
I de landsdele et parti har fået tillægsmandater, skal disse fordeles på amts- og storkredse. Det
sker ved at dividere divisorerne 1, 4, 7, 10 osv.
21
(Den danske metode) op i partiets stemmetal i
de enkelte amts- eller storkredse, for derefter at udelade de største kvotienter for hvert parti,
som svarer til partiets kredsmandater i amts- eller storkredsen.
Søndre
Storkreds
Østre
Storkreds
Vestre
Storkreds
0 12.256
1
0 12.256
3.064
2.457
Divisor 4
Divisor 7
B.
Det Radikale Venstre
Stem mer
Kredsmandater
Divisor 1
Tabel 19: Det Radikale Venstres tillægsmandat i København-Frederiksberg
tildeles Vestre Storkreds.
For partiet Det Radikale Venstre i landsdelen København-Frederiksberg blev det Vestre
Storkreds, der fik tillægsmandatet.
Hvilken kandidat der skal have mandatet udledes af den opstillingsform – kredsvis opstilling eller
sideordnet opstilling – det enkelte parti har valg. Det vil jeg ikke komme nærmere ind på her, da
det er en politisk og ikke en matematisk beslutning.
Det hører ikke hjemme i denne opgave at foretage det fuldstændige regnestykke, da det ikke er
resultatet af regnestykket, men metoden der er interessant.
Når alle mandater er fordelt til de repræsenterede partier, landsdele, amts- og storkredse,
fremkommer mandatfordelingen, som det kan ses på opgavens forside.
Matematik B
20
Uretfærdighed
Ved danske folketingsvalg anvendes Største brøks metode og Sainte-Laguës metode.
Jeg vil derfor koncentrere mig om at se på uretfærdigheder i disse to metoder, og da vi bor i et
land med demokrati, vil jeg tage udgangspunkt i vælgersynspunktet ved at bevise, at Sainte-
Laguës metode er den mest retfærdige. [EP59]
Igen vil jeg se på situationen, hvor fem mandater skal fordeles på tre partier med stemmetallene
s
A
= 3750, s
B
= 600 og s
C
= 1150, som blev anvendt i tabellerne 2 til 6b (side 8-11).
Divideres stemmetallet S op i mandattallet M, kan man se, hvor mange mandater der
repræsenterer hver vælger, ergo er der 5/5500 = 0,0009 mandater pr. vælger. [EP57]
Uretfærdigheden u
P
, set fra den enkelte vælgers synsvinkel, defineres, som forskellen mellem det
antal mandater der repræsenterer hver vælger, og det antal mandater der repræsenterer partiets
vælgere, ergo er uretfærdigheden
u
P
= M/S – m
P
/s
P
[EP58]
s m m/s u m' m'/s u' m'' m''/s u''
Parti A
3750 3 0,0008 0,0001 3 0,0008 0,0001 4 0,0011 -0,0002
Parti B
600 1 0,0017 -0,0008 1 0,0017 -0,0008 0 0,0000 0,0009
Parti C
1150 1 0,0009 0,0000 1 0,0009 0,0000 1 0,0009 0,0000
I alt 5500 5 0,0009 5 0,0009 5 0,0009
Den modificerede
Sainte-Laguës
Største brøks
metode
Sainte-Laguës
metode
Tabel 20: Uretfærdighed ved at anvende Største brøks metode (m og u), Sainte-Laguës metode (m’ og u’) og den modificerede
Sainte-Laguës metode (m’’ og u’’) for alle vælgere i parti A, B og C.
Tabel 20 viser, at forskellene u
A
= 0,0009 – m
A
/s
A
, u
B
= 0,0009 – m
B
/s
B
og u
C
= 0,0009 – m
C
/s
C
er
den uretfærdighed, der udøves overfor hver enkelt vælger i hhv. parti A, B og C.
Den totale uretfærdighed
22
(i tabel 20) kan derfor stilles op til at være
U = s
A
(0,0001)
2
+ s
B
(-0,0008)
2
+ s
C
(0,0000)
2
= 0,0205
ved største brøks metode, idet der tages hensyn til at s
A
vælgere har stemt på parti A osv.
For Sainte-Laguës metode er U ligeledes 0,0205, idet den giver samme mandatfordeling, men for
den modificerede Sainte-Laguës metode er
U = s’’
A
(-0,0002)
2
+ s’’
B
(0,0009)
2
+ s’’
C
(0,0000)
2
= 0,0252
hvilket vil sige, at største brøks metode og Sainte-Laguës metode er mindre uretfærdig – eller
mere retfærdig – end den modificerede Sainte-Laguës metode.
Matematik B
21
Sainte-Laguës metode
Det skal bevises, at Sainte-Laguës metode er den mest retfærdige fordelingsmetode set fra
vælgernes synsvinkel. [EP58-61]. Her tages definition 5 om uretfærdighed i brug.
konstant. ener hvor
...W
kan det som ned, langtså forkorteter
2...W
at således
2 )m...m(m2 og ))(s...s(s idet omskrives, og
m...mm2...s...ssW
samles leddene og
m2s...m2sm2sW
til forkortes W
udregnes. neparenteser andengrads idet
2s...2s2sW
til omskrives og
s...ssW
kaldes og mulig mindst væreskal stegnetkvadratrodunder står der del Den
S
M
S
M
s
m
s
m
s
m
S
M
s
m
s
m
s
m
S
M
S
M
Ø
BA
S
M
S
M
2
S
M
Ø
BA
Ø
BA
S
M
s
m
s
m
s
m
2
S
M
Ø
BA
Ø
S
M
s
m
S
M
Ø
B
S
M
s
m
S
M
BA
S
M
s
m
S
M
A
s
m
S
M
s
m
S
M
Ø
s
m
S
M
s
m
S
M
B
s
m
S
M
s
m
S
M
A
2
s
m
S
M
Ø
2
s
m
S
M
B
2
s
m
S
M
A
2
2
Ø
2
Ø
B
2
B
A
2
A
2
Ø
2
Ø
B
2
B
A
2
A
2
22
Ø
2
Ø
B
2
B
A
2
A
Ø
2
Ø
2
B
2
B
2
A
2
A
2
Ø
Ø
Ø
2
Ø
2
B
B
B
2
B
2
A
A
A
2
A
2
Ø
Ø
B
B
A
A
2
s
m
S
M
Ø
2
s
m
S
M
B
2
s
m
S
M
AV
Ø
Ø
B
B
A
A
s...ssU
Ø
2
Ø
B
2
B
A
2
A
s
m
s
m
s
m
...Z
kaldes og mulig mindst væreskal W i parentes istår der del Den
1.2m til P parti med leddet i tælleren øgesså
1),(m til mfra øges m at forudsat mandat, teM' det tildeltfår P partinår at ses, det kan
...Z
til sættes Z Idet mandat. teM' det have skalder parti hvilket afgøres, nu skal Det
mandater. )m ... ,m ,(m med partierne til fordelter mandater 1-M at antages, Det
P
PPP
s
m
s
m
s
m
Ø
BA
Ø
2
Ø
B
2
B
A
2
A
største. det som tallethar der parti det mindste det som tallethar der
parti det til dvs. ,Z til forhold i muligt mindst Zøger som parti, det tildeles skal mandat teM' det at
ZZ
i det ses mulig, som lilleså væreskal ZDa
1 m 2
s
s
1 2m
s
1 2m
P
P
P
P
P
P
Matematik B
22
For at illustrere beviset for U
V
i Sainte-Laguës metode på foregående side, indsættes stemme- og
mandattal for partierne A, B og C fra tabel 4a (side 9) i formlen
Resultatet vil vise, at tallene, der fremkommer, vil være de tal, der svarer til det næste tal hvert
parti har i rækken (kursiverede tal i tabel 4a), efter de første 5 mandater er fordelt.
Man kan af beregningerne se, at det er parti A, der skal have det sjette mandat, hvilket nøje
svarer til metoden. Det syvende mandat ville også gå til parti A, som det også er tilfældet i
d’Hondts metode.
Forskellen mellem Sainte-Laguës metode (tabel 4a) og d’Hondts metode (tabel 7) er, at parti B
ved Sainte-Laguës metode har fået tildelt det femte mandat, inden det sjette og syvende mandat
bliver fordelt. Ved d’Hondts metode får parti B ingen mandater.
Man skal ved hjælp af formlen
finde den totale uretfærdighed set fra vælgernes synsvinkel.
Stemme- og mandattal for partierne A, B og C (tabel 4a) indsættes
Resultatet svarer – næsten – overens med den totale uretfærdighed U (tabel 20), hvor både
Sainte-Laguës metode og største brøks metode havde samme uretfærdighed.
Konklusionen må være, at både største brøks metode og Sainte-Laguës metode er de
fordelingsmetoder, der kommer tættest på retfærdighed set fra vælgernes side.
1m 2
s
P
P
383
112
1150
1m 2
s
002
112
600
1m 2
s
536
132
3750
1m 2
s
C
C
B
B
A
A
2
s
m
S
M
Ø
2
s
m
S
M
B
2
s
m
S
M
AV
Ø
Ø
B
B
A
A
s...ssU
,02090 U
),0(1150)(600),0(3750U
750 U
V
222
V
2
1150
1
5500
5
2
600
1
5500
5
2
3750
3
5500
5
V
Matematik B
23
Konklusion
Mandatfordelingen ved danske folketingsvalg foregår i to omgange. Der er 179 mandater at
fordele, men de 2 færøske og de 2 grønlandske tæller ikke med i beregningerne.
1: 175 mandater fordeles hvert femte år – sidst i år 2000 – på landsdele samt amts-
og storkredse. Det sker ud fra forholdstal, hvor folketal, vælgertal og areal indgår. Valgloven
foreskriver, at der fordeles 135 kredsmandater og 40 tillægsmandater.
a: 175 mandater fordeles på landsdele ved største brøks metode.
b: 135 kredsmandater fordeles på landsdele ved største brøks metode.
c: Det beregnes, hvor mange kredsmandater hver enkelt amts- og storkreds skal tildeles ved
største brøks metode. Bornholms Amtskreds
skal
have to kredsmandater, ellers skal der
foretages en ny beregning.
d: Forskellen, mellem landsdelenes tildelte mandater og deres tildelte kredsmandater, er
deres tildelte tillægsmandaterne.
2: I Danmark er der en spærregrænse på 2%, hvilket gør, at de partier der ikke opnår 2% af
stemmerne på landsplan ikke kan få del i de 175 mandater, og de er derfor ikke
repræsenteret i Folketinget.
a: Amts- og storkredsenes tildelte kredsmandater fordeles på partier (over spærregrænsen)
ved den modificerede Sainte-Laguës metode, (som kan være med til at favorisere de store
partier).
b: Tillægsmandaterne, der er tildelt landsdelene, skal fordeles på partier ved største brøks
metode. (Socialdemokratiet fik 6 kredsmandater, men var kun berettiget til 5 mandater i
alt, hvilket gjorde, at Venstre måtte afgive deres tillægsmandat ved en ny beregning, side
18).
c: Rækkefølgen tillægsmandaterne skal fordeles i sker ved Sainte-Laguës metode.
d: Til sidst fordeles partiernes tillægsmandater på amts- og storkredse ved den danske
metode, som er en variant af Sainte-Laguës metode.
Man kan konstatere, at der ved danske folketingsvalg er en retfærdig mandatfordeling, idet den
totale uretfærdighed i største brøks metode svarer til uretfærdigheden i Sainte-Laguës metode,
så set fra vælgernes synspunkt er det meget retfærdigt.
Det vil næppe være muligt, at finde en metode der er mere retfærdig end Sainte-Laguës metode.
Matematik B
24
Noter
1
Nærmere beskrevet under ”forberedelser til folketingsvalg” side 13.
2
Definition 2 om kvota og definition 4 om kvotient er fremkommet ved at sammenholde oplysningerne i
[EP15] og Lov om valg til Folketinget, §8 (bilag 1), og §10 (bilag 2).
3
[EP86]
4
Metoden kaldes også de ulige divisorers metode, den modificerede Sainte-Laguës metode
(den skandinavisk metode) med divisorerne 1.4, 3, 5, 7 osv. og den danske metode med divisorerne 1, 4, 7,
10 osv.
5
[EP86 - 87]
6
[EP87]
7
[EP118]
8
[EP118] og Lov om valg til Folketinget, §76, stk. 2. (Bilag 2).
9
[EP118] og Lov om valg til Folketinget, §79. (Bilag 2).
10
Lov om valg til Folketinget, §8, stk. 2. (Bilag 1).
11
Folketal, vælgertal og areal20 er hentet hos Indenrigs- og Sundhedsministeriet. (Bilag 5, tabel 1).
12
Ifølge Indenrigs- og Sundhedsministeriet, Kommunalafdelingen, Klaus Josefsen på spørgsmålet: Hvorfor
er det lige tallet 20 der ganges med?
13
Lov om valg til Folketinget, §10, stk. 2. (Bilag 1).
14
Lov om valg til Folketinget, §10, stk. 3. (Bilag 1).
15
Lov om valg til Folketinget, §10, stk. 5. (Bilag 1).
16
Lov om valg til Folketinget, §77. (Bilag 2).
17
Lov om valg til Folketinget, §76. (Bilag 2).
18
Lov om valg til Folketinget, §77, stk. 2. (Bilag 2)
19
Lov om valg til Folketinget, §77, stk. 4, linie 3-4. (Bilag 2).
20
Lov om valg til Folketinget, §78, stk. 2. (Bilag 2).
21
Lov om valg til Folketinget, §79. (Bilag 2).
22
[EP57 - 58]
Matematik B
25
Litteraturliste
Boolsen, Merete Watt/Hansen, Uffe Foss:
Forstå statistikken
. C.A. Reitzels Forlag 1998.
Danmark Statistik:
Statistisk tiårsoversigt 2000
.
Elklit, Jørgen/Jensen, Roger Buch:
Kommunalvalg
. Odense Universitetsforlag 1997.
Hessing-Olsen, Ib:
Sandsynlighedsregning og statistik
.
Nyt Nordisk Forlag Arnold Busck 1976.
Jensen, Steffen/Sørensen, Karin:
Statistik og sandsynlighed
. Christian Ejlers Forlag 1985.
Kristensen, Kai m.fl.:
Analyse af kvalitative data
. Systime 1982.
Poulsen, Ebbe Thue:
Matematik og retfærdighed
. Nordisk Forlag 2000.
Bilag
1: www.retsinfo.dk/DELFIN/HTML/A2001/0026129.htm. (1 side)
2: www.retsinfo.dk/DELFIN/HTML/A2001/0026129.htm. (4 sider)
3: www.retsinfo.dk/DELFIN/HTML/B2000/0024005.htm. (2 sider)
4: www.inm.dk/publikationer/fv2001/valg/fv2001/fintælling/vak01.htm. (4 sider)
5: Danmarks Statistik: Befolkning og valg 2000:13, 31. august 2000. (4 sider)
6: www.inm.dk/publikationer/fv2001/valg/fv2001/fintælling/vak02.htm. (5 sider)
7: www.inm.dk/publikationer/fv2001/valg/fv2001/fintælling/vak03.htm. (4 sider)
8: www.inm.dk, Endelig opgørelse af folketingsvalget den 20. november 2001. (1 side)