SSO om nulpunktsbestemmelse med numeriske metoder

Større Skriftlig Opgave

Nulpunktsbestemmelse

Større Skriftlig Opgave 2012

Matematik B

HF 2. år

Kursistnr. [fjernet], VUC Lyngby

Større Skriftlig Opgave

Abstract

To determine zeros of a function

This study investigates various methods of solving the mathematical issue: How to determine zeros of a

function. The aim has been to introduce the methods for increasingly more complex functions. After a

general introduction to polynomial functions the method of polynomial division, also known as the Rational

Zeros theorem, is introduced. An example is performed and through this the rule of p/q is introduced.

Given that the possible and qualified zeros determent by this method cannot be other than rational

numbers, the Rational Zeros theorem is of course insufficient in many cases. This leads to the introduction

of three numerical methods: Bisection, Secant method and Newton-Raphsons iteration. The Bisection

method is concluded too slowly, while the other two methods are worked with through solving a specific

problem, followed by an analysis. The outcome shows that there is significant difference between the

amount of iterations and the accuracy of the result. The project will sum up with the conclusion that the

Newton-Raphsons method is to prefer in determining non-rational zeros.

Større Skriftlig Opgave

Indholdsfortegnelse

Nulpunktsbestemmelse

Polynomier 4

Nulpunktsbestemmelse af første- og andengradspolynomier 5

Polynomier af højere grad 7

Polynomiers division 7

Bevisførelse 8

p/q-reglen 9

Numeriske metoder 12

Bisektion 12

Sekantmetoden 14

Newton-Raphsons iteration 16

Opgaveløsning 18

Analyse og konklusion 23

Bilag 24

Litteraturliste 25

Større Skriftlig Opgave

Polynomier

En funktionstype

Da projektet tager udgangspunkt i nulpunktsbestemmelse for polynomier, vil vi først definere denne type

af funktioner. Det skal dog understreges at de numeriske metoder også er velfungerende for andre

funktionstyper.

Definition af polynomier

Polynomier har alle det til fælles, at de beskriver sammenhængen

mellem to størrelser: En afhængig og uafhængig variabel, ofte betegnet

 

. I dette projekt vil vi veksle imellem flere skrivemåder.

Polynomier opdeles i såkaldte grader, hvor den højeste potens af

i en

given funktionsforskrift definerer polynomiets grad. Konstanterne, som

er multipliceret på

, kaldes koefficienter. Et eventuelt sidste led kaldes

blot konstantleddet, da det ikke er koblet sammen til nogen egentlig

variabel (se boks). Vi vil senere se hvordan den ledende koefficient (

)

og konstantleddet (

), vil være essentielle informationer i polynomiers

division.

Således er eksempelvis funktionen

( ) ( 3)( 6)f x x x  

andengradspolynomium, da det kan skrives på formen

( ) 3 18f x x x  

. Den første form er blot et faktoriseret

andengradspolynomium.

Som det fremgår af definitionen, må der findes uendelig mange egentlige polynomier. Lidt populært sagt

findes der 1, 2, mange: Førstegradspolynomier, andengradspolynomier og polynomier af højere grad.

Denne inddeling er et godt udgangspunkt til at betragte problemet ’at bestemme nulpunkter for

polynomier’. Vi vil kort set på, hvordan vi for første- og andengradspolynomiet kan udlede en nulpunkts-

formel. Som det vil blive klart, stiger sværhedsgraden i denne disciplin med polynomiets grad, hvorfor vi for

polynomier af højere grad må tage andre metoder i brug.

Konstantleddet

Koefficienten

er ikke koblet

til nogen egentlig variabel:

0 0 0

11x a x a a    

Definition

Et polynomium er en funktion, der kan skrives på formen:

1 2 1 0

( ) ...

f x a x a x a x a x a



     

, hvor

0a 

[Litteratur2.2, s.1]

Egentlige polynomier og

nul’te-grads polynomiet

Et polynomium af nul’te grad

indeholder kun et konstantled.

f.eks.

 

5fx

Alle andre polynomier kaldes

egentlige polynomier

[Litteratur 2.2, s.1]

Større Skriftlig Opgave

Nulpunktsbestemmelse af første- og

andensgradspolynomier

De simple nulpunkter

At bestemme en given funktions nulpunkt, også kaldet at

bestemme funktionens rødder, er jo at finde det punkt, hvor

grafen for funktionen skærer

-aksen. Man kan sige meget om

første- og andengradspolynomier ved blot at betragte dem

illustrativt.

Ved at betragte graferne i figur 1 kan man hurtigt konstatere, at

der altid kun kan findes ét nulpunkt for et førstegrads-

polynomium. Uafhængigt af dets hældning og et eventuelt

konstantled vil et førstegradspolynomium nemlig altid danne

en ret linje i et almindeligt koordinatsystem, hvorfor vi da også

omtaler dem, som lineære funktioner.

Udfører vi samme billedlige betragtning for et andengrads-

polynomium, er situationen allerede en kende mere

kompliceret. Vi kan dog stadig konstatere, at grafen for et

andengradspolynomium altid vil være en parabel i et almindeligt

koordinatsystem, hvorfor der altid må gælde, at et andengrads-

polynomium enten har ét, to eller ingen nulpunkter. Dette er

illustreret i figur 2.

Ovenstående påstande vil vi underbygge ved en algebraisk

bearbejdning af funktionsforskrifterne for de to funktions-typer.

At bestemme nulpunkterne er jo det samme, som at bestemme

hvornår funktionsværdien er lig med nul. Altså blot løse

ligningen

( ) 0fx

. Vi vil hermed også udlede nulpunkts-

formler, som altid vil være brugbare for henholdsvis første- og

andengradspolynomier, såfremt et nulpunkt findes.

Førstegradspolynomiet

()f x a x a

genkendes som den

lineære funktion

 

f x ax b

0a 

[Litteratur 2.2, s.1]. Vi

løser ligningen

( ) 0fx

( ) 0 0

f x ax b x



     

0b 

vil nulpunktet altid være

 

0,0

Figur 1: Grafen for et førstegradspolynomium vil altid

være en ret linje i et almindeligt koordinatsystem.

Figur 2: Andengradspolynomiet har ikke altid et nulpunkt.

Større Skriftlig Opgave

Andengradspolynomiet

2 1 0

()f x a x a x a  

vil vi arbejde

med på formen

()f x ax bx c  

0a 

[Litteratur 2.2,

s.1]. Ligeledes løser vi blot ligningen

( ) 0fx

(se boks).

Resultatet er en altid gældende nulpunktsformel for

andengradspolynomiet:

 

b b ac

f x ax bx c x

  

      

Betragtes

4d b ac

i formlen, må det være logisk, at der

må være en sammenhæng mellem antallet af rødder og

diskriminanten

0d 

ingen nulpunkter

0d 

netop ét nulpunkt

0d 

to nulpunkter

Udledning af nulpunktsformlen for et

andengradspolynomium

 

2 4 4

ax bx c

b b c

a a a

b b c

a a a

b b c

a a a

b b ac

a a a

b b ac



  

  

   

     

   

   



   







  







  















Vi indsætter

d b ac

2 2 2 2

b d b d

a a a a

b d b d









  









  

      



  

Hermed er nulpunktsformlen:





[Litteratur 2.3, s.3]

Figur 3: Fire eksempler på, hvordan grafen for et tredjegradspolynomium

kan forløbe.

Større Skriftlig Opgave

Polynomier af højere grad

De mange nulpunkter

’Polynomier af højere grad’ er alle polynomier af højere grad end to.

Graferne for polynomier af højere grad er sværere at forudsige i

forhold til grafen for et andengradspolynomium, der altid vil være en

parabel i et almindeligt koordinatsystem. Figur 3 illustrerer et udvalg

af tredjegradspolynomier. Nulpunktsformlerne udledt, kan vi også

udnytte i jagten på rødder for polynomier af højere grad. Hvordan

det kan lade sig gøre, vil vi nu se i polynomiers division.

Polynomiers division

En algebraisk metode

Det essentielle i polynomiers division er, at vi ved divisionen kan få faktoriseret et

polynomium af højere grad til faktorer af lavere grad. Vi har allerede set, hvad et

faktoriseret polynomium er (j.f. eksemplet s.4). På denne form kan vi anvende

nulreglen og nulpunktsformlerne, tidligere redegjort for. Divisionen kan udføres

for alle polynomier, så længe divisoren er af lavere grad end dividenden:

 

p x r x

d x d x



[Litteratur 2.2, s.3]

Vi er dog interesseret i en divisor af formen

()xx

, hvor

er rod i

 

De mange nulpunkter

Et polynomium af

’te grad

har højst

rødder.

Et polynomium af en ulige grad

har mindst én rod.

[Litteratur 2.2, s.7]

Divisionsligningen

Når

 

er et polynomium af

’te grad og

x 

, kan

 

skrives:

     

p x x x q x r   

hvor

er resten ved divisionen. Der gælder at resten

()r p x

. Kvotientpolynomiet

 

har graden

1n

. Når

0r 

går divisionen op og

kan konstateres som værende rod for

 

[Litteratur 2.2, s.3]

Division af

polynomier

Generelt

 

divident

 

divisor

 

kvotient

 

rest

Større Skriftlig Opgave

Bevisførelse

[Litteratur 2.4, s.16]

Påstand

Når

 

er et polynomium af

’te grad og

x 

, samt at

 

0px 

vil divisionen

 

xx

medføre

0r 

. Hvilket er ensbetydende med: Hvis divisionen

 

xx

går op er

 

0px 

Bevis

Sætningen kan bevises ad to veje. Vi vil først antage, at vi ikke ved om

er rod i

 

. Derimod står vi i

den situation, at divisionen går op. Vi vil altså undersøge om

er rod i

 

Vi udfører først divisionen

 

xx

og får skrevet polynomiet på formen:

     

p x x x q x r   

Hvis divisionen går op,

0r 

, har vi nu:

     

p x x x q x  

Undersøger vi

()px

får vi følgende:

       

1 1 1 1 1

0p x x x q x p x    

Omvendt kan vi antage at

 

0px 

. Vi ved altså at

er rod i

 

og vil undersøge om divisionen

går op:

     

1 1 1 1

0 0 0p x x x q x r r       

Konkluderende kan vi altså konstatere, at når

er rod i

 

går divisionen op og omvendt: Går

divisionen op er

rod

 

. [Litteratur 2.2, s.3]

Større Skriftlig Opgave

p/q-reglen

Kunsten at gætte et nulpunkt

Med teorien bevist vil vi afprøve den i praksis. Og ja, du læste rigtigt, vi skal i denne matematiske disciplin

til at gætte, men det er der selvfølgelig råd for. Vi vil nu arbejde os igennem et eksempel, hvor vi anvender

polynomiers division til at finde nogle konkrete rødder for en given funktion og indfører herigennem p/q-

reglen.

Eksempel

Lad der være givet et polynomium

 

76f x x x  

x

Ifølge divisionsligningen findes der et førstegradspolynomium på formen

()xx

, der opfylder at

divisionen

 

xx

vil gå op, såfremt at

 

0fx

. Vi skal altså gætte en rod for

 

. Det er der som sagt

råd for og denne kaldes p/q-reglen.

Findes der nogle rationelle rødder, vil de være blandt de mulige kombinationer af

faktorer af a

faktorer af a q



Anvender vi reglen på eksemplet

 

, hvor

6a 

a 

, får vi følgende talrække opstillet:

 

1 2 3 4 6

, , , , 1,2,3,4,6

1 1 1 1 1



   





. Læg mærke til, at løsningsmængden både kan være positiv og

negativ. Vi har altså nu fem kvalificerede gæt på nulpunkter og kan afprøve dem i divisionsligningen.

Vi opstiller divisionen som følger:

( ) ( ) ( )x x p x q x

(en eventuel rest vil stå tilbage i bunden af udregningen)

Der gælder følgende sætning for polynomier:

Hvis den uforkortelige brøk

er rod i et polynomium med heltallige koefficienter,

da gælder at

[Litteratur 2.2, s.5]

Større Skriftlig Opgave

Vi starter med at sætte

 

1 1 1

1 ( ) ( 1) ( ) ( 1)x x x x x x x          

og udfører divisionen:

( 1) 7 6 8

x x x x x

    











Vi kan ifølge divisionsligningen beskrive udregningen

7 6 ( 1)( 8) 14x x x x x      

 

0 1 0rf  

og vi har altså ikke fundet en rod for polynomiet

 

Vi prøver nu

   

11x x x x    

og udfører divisionen:

( 1) 7 6 6

x x x x x

    



  



 

0 1 0rf  

og vi har altså fundet et nulpunkt. Hvis vi

opskriver udregningen på samme vis ser vi, at vi har faktoriseret et

tredjegradspolynomium til et første- og andengradspolynomium:

 

7 6 1 6x x x x x     

Vi løser som bekendt ligningen:

 

1 6 0

x x x



   

Kommentar

 

altid vil have graden

1n

, må det stå klart, at des

højere grad divisorpolynomiet

 

er, des flere gange må

divisionen gentages med nye

kvalificerede gæt, herefter ud fra

en ny udførelse af p/q-reglen ud

fra kvotientpolynomiet

 

Større Skriftlig Opgave

Anvendes nulreglen har vi nu:

   

1 0 6 0

1 1 4 1 6

1 25

1 3 2

x x x

     

      

  





  



  

     

Konkluderende kan vi konstatere at polynomiet har tre

rødder:

 

0 1 3 2f x x x x       

. Hermed er

nulpunkterne for

 

bestemt ved p/q-reglen og

polynomiers division.

Rationelle rødder eller ej

Rationelle tal er mængden af reelle tal, der kan skrives som en

brøk med helt tal i tæller og et naturligt tal i nævner. De

kvalificerede gæt, vi finder ved p/q-reglen, vil dermed altid

være rationelle tal. Altså må det stå klart, at metoden kun er

brugbar, hvis polynomiet har rationelle nulpunkter. Det er jo

langt fra altid tilfældet.

Hermed følger en redegørelse for de udvalgte numeriske

metoder, som ikke kun er brugbare for andre funktionstyper,

men også er i stand til at bestemme rødder, der ikke

nødvendigvis tilhører de rationelle tal.

Rationelle tal

Rationelle tal (også kaldet rationale tal)

betegnes og er mængden af reelle tal

der kan skrives som en brøk

, hvor

p

q

Litteratur [2.4, s.2]

Nulreglen

Hvis et produkt af en multiplikation er lig med

nul, må et af tallene eller dem begge være nul:

0 0 0a b a b     

[Litteratur 1.4, s.65]

Hvor kommer det fra?

Som en kommentar til p/q-reglen er

her en lille illustrativ betragtning af

konstanten

’s sammenhæng med

nulpunkterne

1, 3,2

Større Skriftlig Opgave

Numeriske metoder

De tilnærmede nulpunkter

De numeriske metoder er iterationsprocesser (iteration betyder gentagelse), hvor man tilnærmer sig et

nulpunkt for en given funktion ved en trinvis beregning af en

-værdi [Litteratur 1.1, s.33]. Vi vil i det

følgende afsnit beskæftige os med tre af disse metoder: Bisektionsmetoden, Sekantmetoden og Newton-

Raphsons iteration. For alle er det en forudsætning at funktionen er kontinuert.

Bisektionsmetoden

Midtpunktet nærmer sig nulpunktet [Litteratur 1.2, s.30]

Bisektion betyder midtpunkt. Metoden tager meget

simpelt udgangspunkt i to punkter på grafen

 

,a f a

 

,b f b

, for hvilke der må gælde, at

hvis

   

0f a f b

må der findes minimum ét

nulpunkt i intervallet

 

,x a b

, såfremt at

 

kontinuert i det givne interval.

Definition af kontinuitet

Kontinuitet i et punkt

vil sige, at grafen for en funktion er sammenhængende i

Hvis funktionens graf er sammenhængende for ethvert

x Dm

er det en kontinuert funktion.

[Litteratur 1.4, s.130]

Kontinuitet i et interval vil logisk nok sige, at grafen for funktionen er sammenhængende for

ethvert tal i intervallet.

[Litteratur 1.1, s.18]

Vi kan bestemme om en funktion er kontinuert ved at undersøge grænseværdien.

For eksempel

   

lim

f x f a





. Funktionen er kontinuert i intervallet

 

,xa

[Litteratur 2.5]

Figur 4: Eksempel på hvordan man ved bisektionsmetoden, nærmer sig

nulpunktet ved intervalhalvering.

Større Skriftlig Opgave

Man tilnærmer sig nulpunktet ved at finde midtpunktet

 

m a b  

og derefter bestemme

funktionsværdien for

. Hvis

( ) 0fm

foretages en ny intervalhalvering med

 

,am

. Derimod, hvis

( ) 0fm

foretages en ny intervalhalvering med

 

,mb

   

0f a f b

eller

   

0f a f b

spiller ingen rolle, blot dette noteres og tages højde for ved

bestemmelsen af det nye interval. Vi ser på et eksempel.

Eksempel på anvendelse af bisektionsmetoden

Anvendes metoden til at bestemme tilnærmede

værdier af nulpunktet for funktionen

   

cosf x x

 

0,3x

finder vi altså først to

-værdier i definitionsmængden, hvis

funktionsværdier har modsat fortegn.

     

0,5 cos 0,5 0,5 0,8776ff  

     

2 cos 2 2 0,4161ff   

Hermed er et interval indeholdende et nulpunkt

fundet. Vi udfører første iteration:

 

0,5 2 1,25mm    

Funktionsværdien af

bestemmes:

 

1,25 0,3153f 

 

0fm

og vi erstatter vores

med

. Næste intervalhalvering

foretages altså med

 

,mb

 

1,25 2 1,625mm    

Funktionsværdien af

bestemmes:

 

1,625 0,054177f 

 

0fm 

hvilket medfører at næste intervalhalvering skal foretages

med

 

,mm

 

1,25 1,625 1,4375mm    

Figur 5: Funktionen f defineret i intervallet ]0,3[

Cas-regnskab

Intervalhalveringen foretages

hurtigt på cas-regneren:

Og så fremdeles.

Større Skriftlig Opgave

 

0fm 

hvilket medfører at næste intervalhalvering skal

foretages med

 

,mm

Efter fjortende iteration er en tilnærmet værdi af nulpunktet

for funktionen

bestemt med fire decimalers nøjagtighed

til

1,5707x 

Bisektionsmetoden er en langsommelig proces til at finde

tilnærmede nulpunkter og den kræver en del

mellemregninger. Udføres disse uden fejl er metoden dog

sikker, såfremt

 

er kontinuert, men altså en meget

langsom metode.

Sekantmetoden

Nulpunktet nærmer sig nulpunktet

I denne metode benytter man sekantens nulpunkt til at bestemme tilnærmede værdier af en given

funktions nulpunkt. Vi vil altså ikke blot benytte fortegnene i undersøgelsen, men også selve værdierne.

Vi indfører en sekant til den kontinuerte funktion

ud fra to punkter på grafen

 

,a f a

 

,b f b

En sekant er som bekendt en ret linje, hvorfor vi vil udlede dens ligning ud fra linjens ligning:

Hele afsnittet ’Sekantmetoden’ generelt inspireret af [Litteratur 2.2, s.30-31]

Det faktiske nulpunkt:

Iterationsskema, bisektion

 

1,250000m 

0,315322

1,625000m 

0,054177

1,437500m 

0,132902

1,531250m 

0,039536

1,578125m 

0,007329

1,554688m 

0,016108

1,566406m 

0,004390

1,572266m 

0,001469

1,569336m 

0,001460

1,570801m 

0,000004

1,570068m 

0,000728

1,570435m 

0,000362

1,570618m 

0,000179

1,570709m 

0,000087

Figur 6: De første tre iterationer. Her ses hvordan det nye midtpunkt

ikke altid er tættere på nulpunktet end det forrige (læg mærke til

funktionsværdierne i iterationsskemaet).

Større Skriftlig Opgave

 

y y a x x  

, hvor







. Sættes

   

 

,,x y b f b

har vi nu sekantens ligning på formen:

     

( ) ( )f b f a

y y a x x y f b x b





      







Ønsker vi nu at bestemme nulpunktet

sættes

0y 

og ligningen omskrives:

 

   

 

   

 

     

 

       

 

   

 

       

 

   

 

           

 

       

 

   

 

()

f b f a

f b x b

f b f a

f b x b

f b b a f b f a x b

b f b a f b x f b f a b f b f a

b f b a f b b f b f a x f b f a

b f b a f b b f b b f a x f b f a

a f b b f a x f b f a

a f b b f a

f b f a





  











  







    

       

       

         

    

  





Hermed er udledt en formel for sekantens nulpunkt. Vi vil se nærmere på anvendelsen i opgaveløsningens

anden del. Betragter vi iterationsprocessen ved anvendelse af sekantmetoden på en kontinuert funktion

kan det forløbe som i figur 7. Sekantens nulpunkt definerer sammen med dets funktionsværdi et nyt punkt

på grafen, der anvendes til at indføre en ny sekant efter en bestemmelse og sammenligning af fortegn.

Resultatet er illustrativt flot og godt til forståelsen af, hvordan sekantens nulpunkt altså nærmer sig

funktionens nulpunkt:

Figur 7: Sekantmetoden

Større Skriftlig Opgave

Newton-Raphsons iteration

Tangentmetoden

I Newton-Raphsons metode vil vi nu benytte os af en anden geometrisk figur, nemlig tangenten. Dette

lader sig gøre ved at indføre endnu en forudsætning for funktionen, vi ønsker at bestemme nulpunkter for,

nemlig differentiabilitet.

Er funktionen

differentiabel, kan vi indføre en tangent i punktet

Dette ved først at differentiere

 

, som giver os dens afledte

funktion

 

'fx

. Den afledte funktion af

beskriver tangentens

hældning, hvorfor vi i linjens ligning vil betegne hældningskoefficienten

 

'a f x

. Vælges punktet

   

 

0 0 1 1

,,x y x f x

kan vi nu udlede

tangentens ligning:

      

0 0 1 1 1

'y y a x x y f x f x x x      

Ligesom for sekantmetoden ønsker vi nu at bestemme nulpunktet. Vi

lader tangentens nulpunkt være

xx

og sætter

0y 

         

 

2 1 2 1

0 ' '

f x f x x x f x f x x x

f x f x

x x x x

f x f x

       

     

Afsnittet ’Newton-Raphsons iteration’ generelt inspireret af [Litteratur 1.2, s.32]

Differentiabilitet

En kontinuert funktion

()fx

er differentiabel i

, såfremt differenskoefficienten



har en

grænseværdi, og at denne grænseværdi er lig med differentialkvotienten:

 

lim '









En funktion kaldes differentiabel, såfremt den er differentiabel for ethvert

i definitionsmængden.

[Litteratur 1.1, s.37]

Differentialregning

Differentieres en funktion

 

findes dens afledte funktion

 

'fx

, som beskriver

tangenthældninger.

Vi vil i opgaven s.21 benytte os af

følgende differentiationsregler:

 

'fx





Større Skriftlig Opgave

Når nulpunktet er bestemt indføres en

ny tangent i punktet

 

,x f x

og den

nye tangents nulpunkt bestemmes.

Generelt kan vil vi benytte

nulpunktsformlen for tangenten på

formen:

 





En fordel ved metoden er, at vi kun

behøver et enkelt punkt til at starte

iterationsprocessen, som kan forløbe

som vist i figur 8.

Vigtigt er det dog, at få valgt det rigtige

udgangspunkt. Man kan ende i en

uendelig udregning af tangenter, hvis

nulpunkt måske aldrig vil nærme sig

funktionens (figur 9).

Man kan også forestille sig, hvad der ville

ske, hvis vi ramte et ekstrema på grafen.

Dermed ville

 

'0fx

og tangenten

ville aldrig skære

-aksen.

Figur 9: En mislykkedes iterationsproces

Figur8: En vellykket iterationsproces.

Kommentar

Det skal noteres, at selvom vi kun

har beskrevet fejlslåede iterations-

forsøg for tangentmetoden, er

bisektion- og sekantmetoden heller

ikke problemløs. Hvis der

eksempelvis findes mere end et

enkelt nulpunkt i intervallet, vil

metoderne kun være i stand til at

finde et. Uden en

funktionsundersøgelse kan man

altså let komme til at overse en rod.

Større Skriftlig Opgave

Opgaveløsning

Første del, funktionsanalyse og polynomiers division

Givet funktionen

 

6 3 4f x x x  

x

Da polynomiet har en ulige grad, vil der minimum findes én rod.

Betragtes grafen for

 

ser vi, at

 

0fx

har netop én løsning i en

omegn omkring

0,7x 

Dette underbygges ved en funktionsundersøgelse af

 

Funktionsanalyse

Det kan konstateres ud fra de givne oplysninger at

 

Dm f 

Ved at undersøge om

 

har en grænseværdi for

x 

ligeledes for

x  

, kan vi bestemme værdimængden.

For funktionen

 

kan man forestille sig, at indsættes en uendelig

stor

-værdi, vil vi tilsvarende få en uendelig stor

 

-værdi og

omvendt. Dette logiske ræsonnement leder os til konklusionen:

 

lim





 

lim



 

Altså kan det konstateres at

 

Vm f 

og funktionen er en

kontinuert funktion.

Med dette i mente differentieres

 

til at bestemme eventuelle

ekstrema. Den afledede funktion af

 

er:

'( ) 18 3f x x

x

. Ligningen

'( ) 0fx

løses. Da vi har at gøre med en

andengradsligning, bestemmes først diskriminanten:

6d b ac d d         

Det kan hermed konstateres da

0d 

 

'fx

ikke har nogen

rødder. Det betyder, at der ikke findes nogen tangenter med

hældningen

og at der altså ikke findes nogen ekstrema for

 

Funktionsanalyse

I funktionsanalysen af funktionen

er bestemt følgende:

Definitionsmængden

 

Dm f

Værdimængden

 

Vm f

Ekstrema for f:

 

'0fx

Figur 10: Funktionen har netóp et nulpunkt

Større Skriftlig Opgave

Altså ’vender’ grafen for

 

aldrig, hvilket leder os til konklusionen:

 

er en kontinuert funktion og

 

'0fx

for hele definitionsmængden, kan der kun eksistere

netop ét nulpunkt for funktionen.

Polynomiers division

 

6 3 4f x x x  

er et tredjegradspolynomium med heltalige koefficienter, kan vi forsøge at

benytte polynomiers division til at bestemme nulpunktet. Hvis roden tilhører et rationelt tal vil den som

bekendt findes i løsningsmængden af

For

 

4p 

6q 

. Løsningsmængden er således:

, , , , , , , , , , , 1,2,4, , , , ,

   

   

   

   

Vi starter fra en ende af og sætter

   

11x x x x    

og udfører divisionen:

( 1) 6 3 4 6 6 9

6 3 4

x x x x x

    



  







Vi konstaterer at

 

0 1 0rf  

Divisionerne gennemføres (se bilag) og det kan konstateres, at ingen af de seksten kvalificerede gæt er rod i

polynomiet

 

, da ingen af divisioner går op. Det må derfor konstateres, at nulpunktet ikke er et

rationelt tal.

Anden del, numeriske metoder

Vi vil nu anvende to af de numeriske metoder til at bestemme nulpunkterne for funktionen

. Vi undlader

at anvende bisektionsmetoden.

Større Skriftlig Opgave

Sekantmetoden

Bestemmelse af nulpunktet for funktionen

 

6 3 4f x x x  

x

ved sekantmetoden:

Vi bestemmer to

-værdier, hvis funktionsværdier har modsat

fortegn. Betragter vi variablen

i funktionsforskriften, kan vi

rationalisere os frem til, at en passende stor negativ størrelse af

vil resultere i en negativ funktionsværdi (ved at indsætte

0x 

, vil

de første to led ligeledes være negative og skal dermed blot have

en samlet værdi større end

), mens alle positive størrelser vil

give en positiv funktionsværdi. Vi kan gætte på

1 0,5xx   

     

( 1) 6 1 3 1 4 1 5ff           

   

0,5 6 0,5 3 0,5 4 0,5 6,25ff      

Hermed har vi fundet to skæringspunkter for den første sekant,

nemlig

 

, 1, 5A a f a   

 

, 0,5,6,25B b f b 

. Vi

bestemmer nu sekantens nulpunkt:

   

 

1 6,25 0,5 5

0,3

6,25 5

a f b b f a

f b f a

  





    

    



Vi bestemmer nu funktionsværdien af

 

0,333333 2,77778f 

 

0fx

og vi bestemmer derfor næste sekant, som den der skærer

grafen for

 

i punkterne

 

1, 5A 

 

0,333333,2,77778B 

. Vi udregner den nye sekants nulpunkt:

   

 

   

 

1 2,77778 0,333333 5

0,571429

1,22227 5

a f x x f a

f x f a

  





     

   



Funktionsværdien af

bestemmes:

 

0,571429 1,16618f 

Casregnskab,

Sekantmetoden

Iterationerne kan udregnes

således:

Figur 11: De første to iterationer ved

sekantmetoden

Større Skriftlig Opgave

 

0fx

og vi bestemmer derfor næste sekant, som den

der skærer i punkterne

 

1, 5A 

 

0,571429, 1,16618B 

Efter ti iterationer er en tilnærmet værdi af nulpunktet for

funktionen

bestemt med seks decimaler til

0,686433x 

Rewton-Raphsons iteration

Der findes en tangent til grafen for

 

i punktet

 

1, 5

. Til

iterationsprocessen vil vi altså anvende

1x 

I forbindelse med funktionsanalysen bestemte vi den afledte funktion

 

' 18 3f x x

. Vi er nu klar til at anvende tangentmetoden:

   

 

   

 

1 1 1 1

'( ) '

6 1 3 1 4

1 0,761905

18 1 3

f x f x

x x x x

f x f x



     



     

     



  



Næste iterationstrin er således:

 

   

 

2 1 2

6 0,,761905 4

0,761905

18 0,761905 3

0,692054



  



     

   



  





Iterationsskema, sekantmetoden

 

0,333333x 

2,777778

0,571429x 

1,166181

0,652482x 

0,375853

0,676779x 

0,109753

0,683722x 

0,031099

0,685677x 

0,008736

0,686225x 

0,002448

0,686378x 

0,000686

0,686421x 

0,000192

0,686433x 

0,000054

Casregnskab, Newton-

Raphsons iteration

Iterationerne kan udregnes

således:

Større Skriftlig Opgave

Funktionsværdien af

er ikke en nødvendig information

for iterationsprocessen, men er alligevel medtaget i

iterationsskemaet, da det jo fortæller hvor langt fra det

faktiske nulpunkt vi er.

Efter fem iterationer ses ingen grund til at fortsætte.

Newton-Raphsons iteration gav et tilnærmet nulpunkt med

seks decimaler på

0,686438x 

Iterationsskema, Newton-Raphsons

iteration.

 

0,761905x 

0,939423

0,692054x 

0,064869

0,686472x 

0,000387

0,686438x 

0,000000

0,686438x 

0,0

Figur 12: Newton-Raphsons iteration

anvendt i opgaveløsningen.

Større Skriftlig Opgave

Analyse og konklusion

Sammenligning af Sekantmetoden og Newton-Raphsons iteration

Matematiske resultater er heldigvis aldrig til at tage fejl af.

Tangentmetoden var klart den hurtigste til at bestemme et

tilfredsstillende og korrekt resultat. Efter blot fem iterationer

kan vi godt tillade os at sige, at det tilnærmede nulpunkt ikke

kunne komme meget nærmere det faktiske. Det skal dog ikke

udelades, at det var muligt at vælge en anden startværdi, der

havde resulteret i en tangent med en fladere hældning. Det

havde resulteret i flere iterationer for at nå frem til samme

flotte resultat. Figur 12 illustrerer hvordan vi allerede ved

første iteration havde nærmet os nulpunktet betragteligt.

Sekantmetoden var noget langsommere til at nå frem til et

nogenlunde resultat, som efter dobbelt så mange iterationer

kun kunne beskrive nulpunktet korrekt med fem decimaler.

Er funktionen kontinuert og differentiabel, er Newton-Raphsons

iteration at foretrække, når et nulpunkt, ikke tilhørende de

rationelle tal, skal bestemmes. Igen skal det nævnes, at de

numeriske metoder jo også kan anvendes på funktioner, der ikke

tilhører klassen polynomier, som vi så det i redegørelsen for

bisektionsmetoden.

Kan man konstatere, at man har at gøre med en konstant voksende

eller konstant aftagende funktion, vil problemet med vandrette

tangenter aldrig forekomme. Da er det blot et spørgsmål om

antallet af iterationer før man har et brugbart resultat, og her har

Newton-Raphsons iteration vist sig overlegen.

Hermed afsluttes studiet af nulpunktsbestemmelse.

Det faktiske nulpunkt

Større Skriftlig Opgave

Bilag

Udførelse af polynomiers division i forbindelse med opgaveløsningen, s.19.

Ud fra funktionen

 

6 3 4f x x x  

er p/q-reglen anvendt og

følgende kvalificerede gæt på rationelle rødder er:

1 1 2 4 1

1,2,4, , , , ,

2 3 3 3 6









Divisionerne er udført på cas-regneren TI-89 Titatnium. Som det

fremgår af regnskabet vil ingen af de kvalificeret gæt medfører

0r 

hvorfor ingen er rod i polynomiet

 

Cas-regnskab,

Polynomiers division

Cas-regnskab, fortsat

Større Skriftlig Opgave

Litteraturliste

Materialehenvisninger er opdelt efter materialetype

Bøger

Litteratur 1.1 Jens Pilgaard Hansen, Differentialregning A1, Frederisksund Arbejdsgruppen

ApS, 1. udgave, 3. oplag, 1983

Litteratur 1.2 Jens Pilgaard Hansen, Differentialregning A2, Frederisksund Arbejdsgruppen

ApS, 1. udgave, 3. oplag, 1983

Litteratur 1.3 Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk, Geometri, Differentialregning

og Sandsynligheder, Nordisk Forlag A.S., Copenhagen, 1. udgave, 1. oplag 1998

Litteratur 1.4 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard, MATB hf, Systime A/S, 1.

udgave, 1. oplag, 2006

Litteratur 1.5 Flemming Clausen, Poul Printz, Gert Schomacker, Differentialrening,

Gyldendahl Uddannelse, 2. udgave, 1. oplag, 2000

Undervisningsnoter

Litteratur 2.1 Peter Ove Jørgensen, Matematiske Modeller

Litteratur 2.2 Peter Ove Jørgensen, Polynomier

Litteratur 2.3 Peter Ove Jørgensen, Andengradspolynomier

Litteratur 2.4 Peter Ove Jørensen, Matematiske Standardsymboler

Litteratur 2.5 Petere Ove Jørgensen, Grænseværdi og kontinuitet

Egne illustrationer

Alle grafer og illustrationer er egne og er udarbejdet med softwaren GeoGebraPrim, Math-Type og Paint.