Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
1
STX Matematik A
12. december 2008
Delprøven med hjælpemidler
STX083-MAA
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 3.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Vektorerne defineres:
Hvis situationen skal være ortogonal skal vektorernes prikprodukt være lig 0:
Ligningen løses for s vha. CAS-værktøjet WordMat.
Når tallet er lig er situationen ortogonal.
For at være sikker på at ikke gør
til nulvektoren, indsættes i udtrykket, og der beregnes:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
2
Værdien af er et sandt facit.
b)
Arealet af det udspændte parallelogram bestemmes ved den numeriske værdi af determinanten:
Arealet af det udspændte parallelogram, som vektor udspænder med vektor
, har arealet 7.
c)
Koordinatsættet til projektionen af vektor på
findes ved:
Koordinatsættet til projektionen af vektor på
er fundet til
.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
3
Opgave 7
a)
Vinklen A bestemmes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 10, b = 15, c = 21
A = 26,0498°
B = 41,20295°
C = 112,7472°
a = 10
b = 15
c = 21
Vinkel A findes vha. cosinusrelationer
Vinklen A aflæses til 26,05° (afrundet til 2 decimaler).
Arealet af trekant ABC beregnes ved:
Arealet af trekant ABC er således 69,17 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Medianen
forbinder hjørnet B med midtpunktet af siden b. Dvs. at medianen
kan findes i en
trekant, hvor siden b er lig
. Trekanten beregnes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 26,0498°, b = 7,5, c = 21
A
B
C
a
b
c
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
4
A = 26,0498°
B = 13,0039°
C = 140,9463°
m
b
= 14,63728
b = 7,5
c = 21
Længden af siden m
b
findes vha. en cosinusrelation
Medianen
aflæses til 14,64 (afrundet til 2 decimaler).
A
B
C
m
b
b
c
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
5
Opgave 8
a)
Sammenhængen kan tilnærmelsesvis beskrives ved en lineærfunktion. Tabellen med data opstilles, og der
foretages en lineær regression:
År efter år
1963
0
4
7
11
14
Testtal
502
492
488
480
470
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9842015
En forskrift for er fundet til:
b)
Tallet -2,17 (afrundet til 2 decimaler) betegner hældningskoefficienten for linjen og dermed udviklingen i
testtal pr. år. Ifølge modellen falder testtallet således med ca. 2,17 pr. år efter år 1963.
Tallet 502 (afrundet til 0 decimaler) betegner testtallet i år 1963 og dermed begyndelsesværdien. Testtallet
i matematik i år 1963 ifølge modellen er således 502.
I år 1980 vil testtallet ifølge modellen være:
Testtallet i år 1980 ifølge modellen er således fundet 465 (afrundet til helt testtal). Sammenlignes tallet
med det faktiske testtal i år 1980 på 466, står det klart, at testtallet fundet med modellen og det faktiske
testtal stort set stemmer overens.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
6
Opgave 9
a)
Det oplyses at bruttonationalproduktet pr. indbygger i de 2 lande vil vokse med en uændret årlig vækstrate
efter år 2003 dvs. at der er tale om en eksponentiel udvikling:
En model for udviklingen i bruttonationalproduktet pr. indbygger i Kina kan skrives som:
Bruttonationalproduktet pr. indbygger i Kina i år 2020 beregnes som:
Ifølge modellen vil bruttonationalproduktet i Kina i år 2020 være 20023,3 US$ (afrundet til 1 decimal).
b)
En model for bruttonationalproduktet pr. indbygger i USA kan skrives som:
I skæringspunktet mellem de 2 grafer for henholdsvis USA og Kina vil landene have samme
bruttonationalprodukt pr. indbygger:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellerne vil USA og Kina have samme bruttonationalprodukt pr. indbygger 33,16 (afrundet til 2
decimaler) år efter år 2003 dvs. ca. i år 2036.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
7
Opgave 10
a)
Den spidse vinkel mellem planerne og bestemmes ved, at finde vinklen mellem normalvektorerne til de
2 planer:
En normalvektor for plan og aflæses fra plan ligningerne og defineres:
Vinklen mellem normalvektorerne bestemmes ved:
Ligningen løses for u vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen er stump, den spidse vinkel bestemmes ved:
Den spidse vinkel mellem normalvektorerne til planerne og , der svarer til den reelle vinkel mellem
planerne, er fundet til 74,60° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Hvis linjen skal være parallel med planen , må linjen og planen ikke skærer hinanden. Dette kan
testes ved at tage prikproduktet af retningsvektoren til og normalvektoren til planen , hvis resultatet
giver 0, er vektorerne ortogonale dvs. linjen og planen er parallel:
Retningsvektoren til aflæses fra parameterfremstillingen og defineres:
Retningsvektoren og normalproduktet prikkes:
Det kan konkluderes at linjen og planen er parallelle.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
8
Skæringspunktet mellem linjen og planen bestemmes ved, at indsætte linjen s koordinatligninger i
ligningen for planen :
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kender nu forlængelsen . Værdien for indsættes i parameterfremstillingen for linjen og
koordinatsættet til skæringspunktet findes:
Skæringspunktet mellem linjen og planen har koordinatsættet
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
9
Opgave 11
a)
Funktionen defineres:
Arealet af punktmængden bestemmes ved det bestemte integral, hvor kordinataksen og ligningen
betegner grænserne for arealet:
Arealet af punktmængden er således fundet til (afrundet til 2 decimaler).
b)
Rumfanget af det omdrejningslegeme, der forekommer når punktmængden drejes 360° omkring
førsteaksen, bestemmes ved:
Volumen af
er således fundet til 7330,83 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
10
Opgave 12
Funktionen defineres og intervallet defineres. Husk at skifte til radianer, når der er tale om en
trigonometrisk funktion:
Ligningen
løses:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Monotoniforholdene bestemmes ved, at tjekke differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstremum:
Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen at:
er voksende i intervallet
og
er faldende i intervallet
har lokalt maksimum i
har lokalt minimum i
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
11
Opgave 13
a)
Modellen opstilles:
En forskrift for bestemmes ved at lade WordMat løse differentialligning med startsbetingelsen, at en
10 år gammel atlantisk havkat er 72 cm lang:
Løsningen defineres desuden:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen L(10)=72
b)
Længden af en 16 år gammel atlantisk havkat bestemmes ved at løse:
Ifølge modellen er længden af en 16-årig gammel atlantisk havkat ca. 90,48 cm lang (afrundet til 2
decimaler).
Alderen af en 40 cm lang atlantisk havkat bestemmes ved at løse ligningen:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen vil en 40 cm lang atlantisk havkat være ca. 5,18 år gammel (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
12
Opgave 14
a)
Volumen af en kasse er givet ved:
Højden kan beskrives som:
Substitueres oplysninger fra opgaven ind i ovenstående udtryk, kan udtrykkes ved x på følgende måde:
Det udgår ikke fra opgavebeskrivelsen om kassens overfladeareal også betegner indmaden af kassen.
Overfladearealet beregnes kun for ydersiden af kassen:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Faktoriser,
Substitueres oplysninger fra opgaven og udtrykket for højden ind i ovenstående udtryk, fås et udtryk for
kassens overfladeareal givet ved følgende:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
13
Opgave 15
a)
Populationen betegner reelt alle mennesker, der har adgang til hjemmesiden. Stikprøven betegner de
mennesker, som benytter sig af hjemmesiden, og dertil vælger at deltage i undersøgelsen vedrørende
kosttilskuds betydning for helbredet. Problemet med stikprøven er, at stikprøven ikke er repræsentativ for
befolkningen, som firmaet hævder, eftersom det kun er de mennesker, der besøger hjemmesiden, der kan
deltage i undersøgelsen. Et andet problem opstår i, at der er en overhængende chance for, at de
mennesker, der vælger at deltage i undersøgelsen på forhånd har en mening om kosttilskud, og derfor ikke
er en upartisk stemme. Den skjulte variabel bliver i undersøgelsen de upartiske tilkendegivelser, som
firmaet med baggrund i senere vælger at bruge i en pressemeddelelse, hvor firmaet absolut hævder at 80%
af befolkningen tydeligt mærker en positiv forskel ved indtagelse af kosttilskud.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
14
I eksamensbesvarelsen skal kun en af opgaverne 16a og 16b vedlægges. I denne besvarelse vises løsninger
til begge opgaver.
Opgave 16a
a)
Sammenhængen mellem husradonkoncentrationen og studeradonkoncentrationen opskrives og
husradonkoncentrationen isoleres.
H må isoleres med WordMat og manuelt med simple logaritmeregneregler:
Ligningen løses for H vha. CAS-værktøjet WordMat.
Husradonkoncentrationen som funktion af studeradonkoncentrationen kan altså omskrives til en
potensfunktion:
Den %-mæssige sammenhæng mellem den afhænge og uafhængige variabel i en potensfunktion kan
beskrives ved:
Når studeradonkoncentrationen vokser med 20% vokser Husradonkoncentrationen med:
Når studeradonkoncentrationen vokser med 20% vokser husradonkoncentrationen med 18,31% (afrundet
til 2 decimaler).
(I) Potensudvikler:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
15
Opgave 16b
a)
Funktionen defineres:
Så undersøges nulpunkterne for den afledte funktion :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Monotoniforhold bestemmes på begge sider af ekstremum:
På baggrund af ovenstående funktionsundersøgelse, kan vi konkludere at har lokalt maksimum i
og lokalt minimum i . Dvs. at tredjegradspolynomiet har 2 vendetangenter uafhængig af . Det
indses, at de eneste situationer, hvor tredjegradspolynomiet har 2 skæringspunkter med -aksen, er hvor
enten det lokale maksimum eller minimum tangerer med x-aksen.
Den eneste indflydelse konstanten har på , er at den parallelforskyder grafen op og ned ad -aksen. For
at bestemme de værdier af , der netop gør at det lokale minimum eller maksimum tangerer, med -aksen
bestemmes ved først at finde værdierne for i maksima og minima:
Maksimum:
Dvs. at for situationen, hvor maksimum tangerer -aksen, skal grafen for forskydes 32 i negativ retning
dvs.
Minimum:
Dvs. at for situationen, hvor minimum tangerer -aksen, er .
De 2 værdier for , der medfører at grafen for har to skæringspunkter med -aksen, er og
.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
16
Skitse af situation. Skitsen er ikke et krav til eksamen.