Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
1
STX Matematik A
13. august 2008
Delprøven med hjælpemidler
STX082-MAA
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 3.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel funktion. Tallene
og bestemmes derfor ved
eksponentiel regression:
Tabellen opstilles og, der udføres eksponentiel regression:
År efter
år 1999
0
1
2
3
4
5
6
7
Solenergi
(MW)
7
11,7
15,6
22,6
32,8
49,4
68,9
116,4
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9966133
Fra regressionsligningen aflæses tallet
til 7,260 og tallet aflæses til 1,470 (afrundet til 3 decimaler).
b)
Først defineres funktionen:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
2
Til at forudsige mængden af udvundet solenergi i Spanien i år 2008 løses:
Ifølge modellen vil mængden af udvundet solenergi i Spanien i år 2008 være ca. 233 MW (afrundet).
Til at forudsige, hvornår udvindingen af solenergi overstiger 400MW løses følgende ligning:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen vil udvindingen af solenergi i Spanien overstige 400 MW ca. 10,40 år efter år 1999 dvs. ca. i
år 2009.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
3
Opgave 7
a)
Siden |BD| bestemmes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A’ = 33°, ν
a
= 3,9, c = 4,7
A’ = 33°
B = 56,06556°
D = 90,93444°
BD = 2,560144
ν
a
= 3,9
c = 4,7
Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation
Siden |BD| aflæses til 2,56 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
A
B
D
BD
ν
a
c
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
4
Opgave 8
a)
Kuglen har ligningen:
For at kunne aflæse kuglens centrum og radius omskrives ovenstående ligning med kvadratkomplottering:
Kuglens centrum kan nu aflæses til
og kuglens radius kan aflæses til .
b)
Hvis planet skal tangere kuglen, skal den vinkelrette afstand fra centrum af kuglen og ud planet være lig
kuglens radius. Vi bestemmer en normalvektor til planet, der opfylder netop dette vha. punktet
,
der ligger på kuglens periferi, og kuglens centrum.
Med udgangspunkt i punktet P og vektor CP opskrives ligningen for planet, der tangerer kuglen netop i
punktet :
c)
Vinklen mellem linjen og planen bestemmes ved at finde vinklen mellem normalvektoren til planen og
retningsvektoren til linjen.
Retningsvektoren til og normalvektoren til defineres:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
5
Vinklen bestemmes ved:
Ligningen løses for u vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem planen og linjen bestemmes ved:
Vinklen mellem planen og linjen er 49,60° (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
6
Opgave 9
a)
Der er tale om en eksponentiel funktion:
Fordoblingstiden kan bestemmes ved:
Fordoblingstiden for
er fundet til 10,6 (afrundet til 1 decimal) dvs. at ifølge modellen vil antallet af
retspsykiatriske patienter under tilsyn fordobles i løbet af en periode på 10,6 år.
b)
Konstanten 297 betegner i dette tilfælde antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn i år 1980. Ifølge
modellen var der således 297 retspsykiatriske patienter under tilsyn i år 1980.
Konstanten 1,0679 er fremskrivningsfaktoren . Med fremskrivningsfaktoren kan vi beregne vækstraten
:
Ifølge modellen vil antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn i årene 1980 til 2000 stige med ca.
6,79% om året.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
7
Opgave 10
a)
Funktionen defineres:
Temperaturen efter 20 minutter bestemmes ved at løse
:
Ifølge modellen vil temperaturen i stegen efter 20 minutter være 50°C (afrundet).
Tiden efter stegen er sat i ovnen som funktion af temperaturen bestemmes ved, at lade WordMat
isolere .
Hver opmærksom på, at
skal udskiftes med , for at WordMat kan løse ligningen. Når ligningen er løst
kan indsættes tilbage i besvarelsen.
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
8
Opgave 11
a)
350 sekunder. Kun 25% af elev A’s samtaler er under 110 sekunder. De sidste 25% af elev A’s samtaler er
endda over 310 sekunder.
sekunder, altså er størstedelen af elev B’s samtaler betydeligt kortere end elev A. Derimod har elev B både
de længste og korteste samtaler.
Det kan konkluderes at elev B har betydeligt kortere samtaler end elev A, men samtidig har elev B både de
korteste og længste samtaler omend ikke så hyppigt.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
9
Opgave 12
a)
Funktionerne defineres:
Forskriften for bestemmes ved:
Funktionen
defineres:
For at bestemme det antal enheder, der skal fremstilles for at fortjenesten
bliver størst mulig, skal
maksima for findes. Først bestemmes evt. ekstremumspunkter:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at være sikker op, at der rent faktisk er tale om et maksimum foretages en funktionsundersøgelse
omkring intervallet, hvor ekstremum befinder sig:
er voksende i intervallet
er faldende i intervallet
har maksimum i
På baggrund af funktionsundersøgelsen, kan det konkluderes, at et antal på 62500 producerede enheder
giver fabrikken den største fortjeneste.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
10
Opgave 13
a)
Funktionen defineres og intervallet defineres:
Først bestemmes evt. ekstrema:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Differentialkvotienten undersøges i intervallet omkring ekstrema:
er voksende i intervallet og faldende i intervallet
har maksimum i
b)
Først bestemmes grænserne for :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer når drejes 360° omkring 1.aksen, bestemmes ved:
Volumen af omdrejningslegemet er således bestemt til 103,4 (afrundet til 1 decimal).
Volumen af omdrejningslegeme:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
11
Opgave 14
a)
Differentialligningen er givet ved:
Først bestemmes den fuldstændige løsning ved at lade WordMat løse differentialligningen:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion
Her efter bestemmes den partikulære løsning, ved at indsætte værdierne fra punktet
og bestemme
konstanten :
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Forskriften for er bestemt til
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
12
Opgave 15
a)
Modellen er givet ved:
Først bestemme den partikulære løsning til differentialligningen, ved at lade WordMat løse
differentialligningen med betingelsen, at er lig
:
Løsningen defineres desuden:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(1)=1200000
Populationens væksthastighed til tiden bestemmes ved at løse
:
Ifølge modellen er væksthastigheden af individer i populationen efter 1 døgn -1104000 dvs. ifølge modellen
vil antallet af individer i populationen falde med 1104000 individer i det første døgn.
Tiden, hvor antallet af individer i populationen er mindst, bestemmes ved at finde minima. Først
bestemmes evt. ekstrema:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Differentialkvotienten undersøges i intervallet omkring ekstrema:
er aftagende i intervallet
er voksende i intervallet
har minimum i
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
13
På baggrund af funkionsundersøgelsen, kan det konkluderes, at værdien
giver det mindste
antal individer i populationen. Dvs. ifølge modellen vil der i det 12,5. døgn være færrest individer i
populationen være mindst.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
14
Opgave 16
a)
Den hurtigste løsning til at finde en forskrift for parablen, er at lægge toppunktet i , det eliminerer
konstanterne , og parablens ligning bliver
:
Skitse af situation. Skitsen er ikke et krav til eksamen:
Konstanten bestemmes ved at indsætte værdien for et af punkterne og isolere . Punktet vælges
og indsættes:
En ligning for parablen bliver:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
15
I eksamensbesvarelsen skal kun en af opgaverne 17a og 17b vedlægges. I denne besvarelse vises løsninger
til begge opgaver.
Opgave 17a
a)
Trekant er retvinklet og siden udtrykt ved kan bestemmes ved:
Vi kender nu et udtryk for siderne
udtrykt ved .
For at bestemme omkredsen af trapezet som funktion af skal, et udtryk for siden
og
udtrykt ved , findes. Det udnyttes at arealet af trapezet er lig 10:
Omkredsen af trapezet som funktion af kan nu bestemmes som:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008
16
Opgave 17b
a)
Funktionen defineres:
Førstekoordinaten til punktet defineres som
:
Tangenten bestemmes ved:
Det udnyttes at linjen er lineær dvs. at hældningen for kan findes jf. formlen for en lineær funktions
hældning, ved:
Hældningen for i punktet kan også bestemmes som:
Sættes udtryk (1) og (2) lig og løses ligningen fås:
Ligningen løses for x_l vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den anden løsning svarer til tangenten . Det kan konkluderes at førstekoordinaten for røringspunktet til
tangenten er
.