Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx132-MAT/A-
Opgaver uden hjælpemidler - den 14. august 2013
Alle formelnumre i de nedenstående løsningsforslag henviser til
Matematisk formelsamling stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
En ligning for den rette linje i planen kan bestemmes som (jf. formel 50):
a(x − x
0
) + b(y − y
0
) = 0
hvor (x
0
, y
0
) er det kendte punkt og normalvektoren ~n =
a
b
!
Da en normalvektor er ortogonal (vinkelret) på linjen, vil linjen m være ortogonal på
linjen l, hvis retningsvektoren for l (aflæses af parameterfremstillingen) benyttes som en
normalvektor for m:
−→
n
m
=
−→
r
l
=
2
1
!
Koordinaterne for
−→
n
m
og det kendte punkt (3, 4) indsættes i den rette linjes ligning:
a(x − x
0
) + b(y − y
0
) = 0
koordinater indsættes
2(x − 3) + 1(y − 4) = 0
m
2x − 6 + y − 4 = 0
m
2x + y − 10 = 0
En ligning for linjen m gennem punktet (3, 4), som er ortogonal på linen l er således:
2x + y − 10 = 0
Opgave 2
For at bestemme fremskrivningsfaktoren for funktionen h indsættes forskrifterne for f og
g i udtrykket for h og der reduceres (jf. formel 14):
h(x) =
g(x)
f(x)
=
3
x
2
x
=
3
2
x
= 1, 5
x
Fremskrivningsfaktoren a
h
for funktionen h er således bestemt til: a
h
= 1, 5
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx132-MAT/A-
Opgave 3
Arealet af M kan bestemmes som integralet: (jf. formel 153)
A
M
=
Z
1
0
(e
x
+ 2) dx
(jf. formel 134,137,147)
= [e
x
+ 2x]
1
0
(jf. formel 147)
=
e
1
+ 2 · 1
−
e
0
+ 2 · 0
= e + 1
Arealet af M er således bestemt til: A
M
= e + 1
Opgave 4
For at bestemme kuglens radius r indsættes det kendte rumfang i den angivne formel og
ligningen løses i r:
V =
4
3
· π · r
3
rumfanget indsættes
32
3
· π =
4
3
· π · r
3
m begge sider divideres med π
32
3
=
4
3
· r
3
m begge sider multipliceres med
3
4
3
4
·
32
3
=
3
4
·
4
3
· r
3
m
96
12
= r
3
m kubikroden tages på begge sider
r =
3
√
8
m
r =
3
√
2
3
m
r = 2
Kuglen med rumfanget
32
3
· π har således radius: r = 2
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx132-MAT/A-
Opgave 5
For at kunne bestemme monotoniforholdene for f skal den afledede funktion f
0
bestemmes:
f
0
(x) =
x
3
−
3
2
x
2
− 6x + 7
0
(jf. formel 121,122,129)
= 3 · x
3−1
− 2 ·
3
2
· x
2−1
− 1 · 6 · x
1−1
+ 0
|{z}
k
0
=0
= 3x
2
− 3x − 6
For at bestemme eventuelle ekstrema for f løses ligningen f
0
(x) = 0.
Dette er en andengradsligning efter modellen ax
2
+ bx + c = 0, hvor eventuelle løsninger
kan bestemmes med formlen x =
−b±
√
b
2
−4ac
2a
(jf. formel 79)
3x
2
− 3x − 6 = 0
m
x =
−(−3) ±
p
(−3)
2
− 4 · 3 · (−6)
2 · 3
m
x =
3 ±
√
81
6
m
x =
3 − 9
6
∨ x =
3 + 9
6
m
x = −1 ∨ x = 2
For at afgøre, hvorvidt de fundne ekstrema er maksimum, minimum eller eventuelt vand-
rette vendetangenter, foretages fortegnsundersøgelse for f
0
før, mellem og efter de fundne
ekstremapunkter:
f
0
(−2) = 3 · (−2)
2
− 3 · (−2) − 6 = 12 − (−6) − 6 = 12
f
0
(0) = 3 · 0
2
− 3 · 0 − 6 = −6
f
0
(3) = 3 · 3
2
− 3 · 3 − 6 = 27 − 9 − 6 = 12
Monotonilinje:
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx132-MAT/A-
f(x) er voksende i intervallet ] − ∞; −1] da f
0
(x) > 0
f(x) er aftagende i intervallet [−1; 2] da f
0
(x) < 0
f(x) er voksende i intervallet [2; ∞[ da f
0
(x) > 0
Opgave 6
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P
0
(x
0
, f(x
0
)) kan bestemmes
vha. tangentligningen: (jf. formel 119)
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
)
I dette tilfælde er x
0
= 1, altså x-koordinaten til punktet P (1, 4)
f
0
(1) kan bestemmes ved indsættelse af y = 4 i den angivne differentialligning:
dy
dx
= 3y + 5
Hvilket giver følgende resultat:
f
0
(1) = 3 · 4 + 5 = 17
f(1) er lig med y-koordinaten til punktet P (1, 4)
De kendte værdier indsættes i tangentligningen:
y = f
0
(1)(x − 1) + f(1) = 17(x − 1) + 4 = 17x − 17 + 4 = 17x − 13
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er således: y = 17x −13
4