Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
1
STX Matematik A
14. maj 2008
Delprøven med hjælpemidler
STX081-MAA
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 3.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Vinkel D bestemmes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90°, CD = 6, HC = 5
H = 90°
C = 33,55731°
D = 56,44269°
CD = 6
HD = 3,316625
HC = 5
H
C
D
CD
HD
HC
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
2
Vinkel D findes vha. sinus
Vinkel D aflæses til 56,44° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Siden |BD| bestemmes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 90°, AD = 7, AB = 5
A = 90°
B = 54,46232°
D = 35,53768°
BD = 8,602325
AD = 7
AB = 5
Længden af siden BD findes vha. Pythagoras
Siden |BD| aflæses til 8,6 (afrundet til 1 decimal).
Siden |AC| bestemmes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 56,44°, CD = 6, AD = 7
A = 53,62274°
C = 69,93726°
D = 56,44°
CD = 6
AD = 7
AC = 6,209989
A
B
D
BD
AD
AB
A
C
D
CD
AD
AC
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
3
Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation
Længden af siden |AC| aflæses til 6,2 (afrundet til 1 decimal).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
4
Opgave 7
a)
Vektorerne defineres:
En ligning for planen er bestemt ved en normalvektor til planen og punktet . En normalvektor
til planen bestemmes ved krydsproduktet mellem vektor og
(I):
Planens ligning bestemmes ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
En ligning for planet er bestemt til .
(I) Krydsvektoren mellem 2 vektorer står pr. definition vinkelret på begge vektorer, og derfor vinkelret på
planen.
b)
Vinklen mellem linjen og planen bestemmes ved at finde vinklen mellem normalvektoren til planen og
retningsvektoren til linjen:
Normalvektoren til planen og retningsvektoren til linjen defineres:
Vinklen bestemmes ved:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
5
Ligningen løses for w vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem planen og linjen bestemmes ved:
Den spidse vinkel mellem linjen og planen er bestemt til 9,27° (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
6
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Først bestemmes stamfunktionen til
:
Løsningen, der opfylder, at
bestemmes:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den stamfunktion, der opfylder at
, er bestemt til:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
7
Opgave 9
a)
Det oplyses at sammenhængen kan beskrives ved en lineær funktion. Forskriften for bestemmes derfor
ved lineær regression:
Tabellen med data opstilles:
Årstal
År efter år 1900
Forventet levealder for nyfødte
(år)
1900
0
46
1675
75
70
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
En forskrift for er bestemt til:
b)
Funktionerne defineres:
Årstallet, hvor den forventede levealder for nyfødte og for 65-årige er den samme, bestemmes ved:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den forventede levealder for nyfødte og 65-årige er bestemt til at være ens 112 år (afrundet til helt år)
efter år 1900 altså ca. i år 2012.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
8
Opgave 10
a)
Der er tale om en eksponentiel udvikling, da det oplyses at udviklingen sker med en fast % om året.
Bevillingerne i år 2005 oplyses til at være 20 mia. kroner. I år 2020 er det besluttet, at bevillingerne skal
være 60 mia. kroner om året. Dvs. at stigningen i bevillingerne skal ske over en periode på 15 år.
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den årlige procentvise stigning i bevillingerne er fundet til 7,6% (afrundet til 1 decimal).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
9
Opgave 11
a)
Funktionen defineres:
Tangentens ligning til punktet
bestemmes ved:
b)
Funktionen defineres:
Først bestemmes førstekoordinaten til punktet :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Anden koordinaten til punktet bestemmes ved:
Koordinatsættet til punktet er bestemt til
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
10
Opgave 12
a)
Tabellen med data opstilles:
Længde
(cm)
0-50
50-60
60-70
70-80
80-90
90-100
100-110
110-120
Procentdel
0
9
11
0
31
25
19
5
Sumkurven og kvartilsættene bestemmes med WordMats skabelon for grupperede observationer:
Det er oplyst, at henholdsvis den mindste og største havkat er 51 cm og 120 cm. Kvartilsættene aflæses til:
Mindste: 51
Nedre: 81,61
Median: 89,68
Øvre: 99,6
Største: 120
b)
De 2 boksplot tegnes i WordMats skabelon for boksplot:
Kvartilsæt for havkatte i dybdeintervallet 40 - 80 m:
Mindste: 6
Nedre: 46
Median: 81
Øvre: 95
0%
25%
50%
75%
100%
40
Observationer
Sumkurve
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
11
Største: 123
Boksplottene tegnes:
I dybdeintervallet 5 - 40 m varierer havkattens længde generelt mindre end i dybdeintervallet 40 - 80 m.
50% af havkattene i dybdeintervallet 5 - 40 m er mellem 81,61 - 99,6 cm, altså et relativt lille interval på
17,99 cm.
I dybdeintervallet 40 - 80 m er 50% af havkattene mellem 46 - 95 cm, altså et meget større interval på 49
cm sammenlignet med havkattene i dybden 5 - 40 m.
I dybden 5 - 40 m finder vi heller ingen små havkatte og generelt spænder intervallet af havkattens længde
meget mere i dybden 40 - 80 m. Forskellen i havkattens længde i de to dybdeintervaller kan muligvis
forklares ved at havkatten fødes dybere og først bevæger sig op mod overfladen, når havkatten har nået en
hvis længde.
40
Plot 1 Dybdeinterval 5-
40 m
Plot 2 Dybdeinterval
40-80 m
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
12
Opgave 13
a)
Funktionerne defineres:
Grænserne for punktmængden bestemmes som skæringen mellem og :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da > g i hele 2. kvadrant bestemmes arealet af punktmængden ved:
Arealet af punktmængden er bestemt til 1,5.
b)
defineres:
Arealet af punktmængden og skal være lige store. Da i hele 1.kvadrant bestemmes arealet af
punktmængden ved. Det udnyttes til at bestemme :
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Værdien for , der gør arealerne af og lige store, er bestemt til 2,33 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
13
Opgave 14
a)
Modellen er givet ved:
En forskrift for bestemmes ved, at lade WordMat løse differentialligningen med betingelsen, at
biltætheden til tiden er 198:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(0)=198
b)
Forskriften for defineres:
Et skøn over biltætheden i år 2008 bestemmes ved:
Ifølge modellen, vil biltætheden i 2008, være ca. 314 biler pr. tusinde indbyggere (afrundet).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
14
Opgave 15
a)
Kyllingens vægt, når den er 30 døgn gammel bestemmes ved:
Ligningen løses for M vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen er kyllingens vægt, når den er 30 døgn gammel, ca. 1,43 kg (afrundet til 2 decimaler).
som funktion af bestemmes ved at lade WordMat isolere :
Ligningen løses for M vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
15
Opgave 16
a)
Antallet af individer til tiden er givet ved
.
Hastigheden, som antallet af individer vokser med til tiden , er givet ved
Det oplyses at
er proportionel med forskellen mellem og
og
. Forskellen skrives som
.
Forskriften som
opfylder, hvor betegner proportionalitetskonstanten, vil være givet ved:
Det er oplyst, at når
, så er
. Konstanten bestemmes ved:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den fuldstændige ligning som
opfylder er fundet til:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
16
Til eksamen skal kun en af opgaverne 17a og 17b løses. Vi viser løsningen på begge.
Opgave 17a
a)
Et udtryk for bestemmes:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket substitueres ind i udtrykket for og udtrykket defineres:
Værdien for , der gør beholderens areal mindst mulig bestemmes ved optimering. Først bestemmes evt.
ekstrema:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstremum:
er aftagende i intervallet
er voksende i intervallet
har minimum i
Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen, at den værdi, der gør beholderens
overfaldeareal mindst mulig, er (afrundet til 3 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
17
Opgave 17b
a)
Hvis linjen skal tangere kuglen, skal kuglen og linjen kun have et røringspunkt. Det testes om kuglen og
linjen har netop et røringspunkt, ved at indsætte parameterfremstillingen for linjen i kuglens ligning.
Først defineres stedkoordinaterne fra parameterfremstillingen for linjen :
Kuglens ligning opstilles, og der reduceres:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Tallet bestemmes:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs. da der kun er en løsning for , skærer linjen kuglen én 1 gang. Det kan konkluderes at linjen er en
tangent til kuglen .