Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
1
STX Matematik A
15. august 2016
Delprøven med hjælpemidler
stx162-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 15
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Udviklingen kan beskrives ved en eksponentiel funktion, tallene og bestemmes derfor ved eksponentiel
regression. Først opskrives data i tabel:
Tid (timer)
1
2
3
4
5
Temperatur
(C°)
14,9
15,8
16,9
18,4
20,3
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,988744
Tallet aflæses til og tallet aflæses til (afrundet til 3 decimaler).
b)
Først defineres regressionsligningen og intervallet:
udregnes:
Ifølge modellen vil temperaturen i betongulvet være ca. (afrundet til 1 decimal).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
3
c)
Tallet betegner fremskrivningsfaktoren. Med fremskrivningsfaktoren kan vækstraten beregnes:
Dvs. at temperaturen i betongulvet vokser med ca. 8% pr. time efter støbning, inden for de første 10 timer.
Tidspunktet, hvor temperaturen i betongulvet er 25C° bestemmes ved:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen vil temperaturen i betongulvet være 25C° ca. 7,9 (afrundet til 1 decimal) timer efter støbning.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
4
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Nulpunkterne for
bestemmes ved:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Funktionen har nulpunkter i og .
b)
For at bestemme monotoniforhold for bestemmes først eventuelle ekstrema:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Herefter tjekkes differentialkvotienten på, hver side af ekstrema:
er voksende i intervallet
og
er aftagende i intervallet
har lokalt maksimum i
har lokalt minimum i
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
5
c)
Rumfanget af omdrejningslegemet, når punktmængden drejes 360° omkring førsteaksen, bestemmes ved
formlen for volumen af et omdrejningslegeme. I dette tilfælde betegner nulpunkterne fundet i opgave a)
grænserne for integralet:
Rumfanget af omdrejningslegemet, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360°, er således 2337,5
(afrundet til 1 decimal).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
6
Opgave 9
a)
Skæringen mellem linjen og cirklen , når er lig 23, bestemmes ved at løse følgende ligningssystem:
Ligningssystemet løses for x,y vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Skæringspunkterne mellem cirklen og linjen , når er lig 23, er fundet til: og .
b)
Vi udnytter, at distancen fra linjens røringspunkter, når den tangerer cirklen , til centrum af cirklen, skal
være lig radius af cirklen. Centrum af cirklen aflæses fra cirklens ligning til
og radius af cirklen
aflæses til
. Vi benytter distanceformlen (1) og isolerer :
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
De to værdier for , hvor linjen er tangent til cirklen , er således og .
(1)
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
7
Opgave 10
a)
Kyllingens væksthastighed som funktion af tiden kan beskrives ved differentialligningen:
Kyllingens væksthastighed efter 5 døgn bestemmes ved :
Kyllingens væksthastighed, når den er 5 døgn gammel, er således ifølge modellen 0,02 kg. pr. døgn (afrundet
til 2 decimaler).
b)
En forskrift for bestemmes ved, at lade WordMat løse differentialligningen med starts betingelsen, at
kyllingen vejer 0,125 kg, når den er 5 døgn gammel:
Desuden defineres løsningen til senere brug:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen M(5)=0,125
Kyllingens alder, når kyllingen vejer 2 kg, bestemmes ved:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen vejer kyllingen 2 kg, når den er ca. 37,5 døgn gammel (afrundet til 1 decimal).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
8
Opgave 11
a)
Linjen er parallel med vektor
dvs. retningsvektoren til parameterfremstillingen for linjen er lig .
Linjen går gennem punktet
, og punktet vælges derfor som begyndelsespunkt for
parameterfremstillingen.
En parameterfremstilling for linjen vil se ud således:
Den spidse vinkel mellem -planen og parameterfremstillingen for linjen findes ved, at bestemme vinklen
mellem -planens normalvektor og retningsvektoren til parameterfremstillingen for :
En normalvektor til -planen har kun z-koordinaten:
Vektorerne indsættes i formlen for vinklen mellem to vektorer (1), og vinklen mellem normalvektoren til -
planen og retningsvektoren til linjen udregnes:
Ligningen løses for u vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem -planen og linjen bestemmes ved:
Den spidse vinkel mellem -planen og linjen er (afrundet til 2 decimaler).
(1) Vinkel mellem to vektorer:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
9
b)
For at bestemme tallet sættes parameterfremstillingen for linjen og lig hinanden, og følgende
ligningssystem løses. Vær opmærksom på, at det er de stykvise ligninger for stedkoordinaterne der
sættes lig hinanden:
Ligningssystemet løses for s,k,t vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Værdien af tallet , der gør at linjen og skærer hinanden, er således fundet til .
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
10
Opgave 12
a)
Tabellen udfyldes med oplysningerne, at der i alt var 1400 personer i stikprøven, stikprøven bestod af 760
kvinder og 640 mænd, hvoraf sagde nej og sagde nej:
Kvinder
Mænd
I alt
Ja
Nej
I alt
760
640
b)
Nulhypotesen
: Der er uafhængighed mellem køn og oplevelsen af, om man får tilstrækkeligt med søvn.
De forventede værdier, under den forudsætning af nulhypotesen er sand, bestemmes med WordMats
-
skabelon. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
Forventede
Kvinder
Mænd
I alt
Ja
672,6
566,4
1239
Nej
87,4
73,6
161
I alt
760
640
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
11
Opgave 13
a)
Vinklen B og de resterende sider i trekant ABC bestemmes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 30°, C = 90°, AC = 10
A = 30°
C = 90°
B = 60°
CB = 5,773503
AB = 11,54701
AC = 10
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden CB findes vha. tangens
Længden af siden AB findes vha. cosinus
Vinklen B aflæses fra trekantsløseren til 60°, længden af de resterende sider |AB| aflæses til 11,55 og |CB|
aflæses til 5,77 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Til at bestemme siden , der har længden , opstilles et ligningssystem med 2 ligninger og ubekendte:
Det udnyttes, at længden fra punkt til er lig
Og
A
C
B
CB
AB
AC
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
12
At et andet udtryk for længden fra punkt til er lig
Ligningssystemet vil se ud som følger:
Ligningssystemet løses for BE,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Lænden
, der er lig , har længden (afrundet til 2 decimaler):
Skitse af situation. Der tages udgangspunkt i trekant og siden . Skitsen er ikke et krav til eksamen:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
13
Opgave 14
a)
Funktionen defineres:
Grænserne for grafen til findes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Punktmængden befinder sig i førstekvadrant, derfor bliver grænserne i det bestemte integral .
Arealet af punktmængden udregnes:
Arealet af punktmængden er således fundet til 5,33 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Funktionen defineres og intervallet defineres:
Værdien af , der gør arealet mindst muligt bestemmes ved optimering, dvs. minima skal findes:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at være sikker på at, løsningen rent faktisk er et minimum, tjekkes differentialkvotienten på hver side:
er faldende i intervallet
er voksende i intervallet
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
14
Vi kan konkludere at er et minimum, og derfor vil være den værdi, der giver det mindst mulige areal
af trekant OQR.
c)
En ligning for tangenten til grafen for i punkter
bestemmes:
For punktet Q gælder der at :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har dermed koordinatsættet til Q udtrykt ved ved
.
For punktet R gælder der at . Dette indsættes i tangentens ligning, og der reduceres:
Vi har dermed koordinatsættet til udtrykt ved
.
Arealet af en trekant er generelt givet ved:
Hvor højden svarer til y-koordinaten for og grundlinjen svarer til -koordinaten for :
Vi har dermed gjort rede for, at arealet af trekant kan udtrykkes ved .
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2016
15
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.1)(1.1.1)
Opgave 7
a)
Udviklingen kan beskrives ved en eksponentiel funktion, tallene a og b bestemmes derfor ved
eksponentiel regression.
Først opskrives lister med data:
(1.3.2)(1.3.2)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.3.3)(1.3.3)
Tallet a aflæses til 1,080 og tallet b aflæses til 13,614 (afrundet til 3 decimaler).
b)
Vi definere regressionsligningen:
f(6) udregnes:
87
Ifølge modellen vil temperaturen i betongulvet være 21,6°C (afrundet til 1 decimal).
c)
Tallet a betegner fremskrivningsfaktoren. Med fremskrivningsfaktoren kan vækstraten r beregnes:
Vi definerer tallet a:
1.0801
Vi beregner r:
Dvs. at temperaturen i betongulvet vokser med ca. 8% pr- time efter støbning inden for de første
10 timer.
(1.3.4)(1.3.4)
Tidspunktet, hvor temperaturen i betongulvet er 25° bestemmes ved:
Ifølge modellen vil temperaturen i betongulvet være 25°C ca. 7,9 (afrundet til 1 decimal) timer
efter støbning.
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Nulpunkterne for f(x) bestemmes ved:
Funktionen f har nulpunkter i x = -1 og x = 4.
b)
Vi foretager en funktionsundersøgelse:
Vi kan på baggrund af funktionsundersøgelsen opskrive monotoniforholdet:
f
f er aftagende i intervallet [2/3; 4]
f har lokalt maksimum i x = 2/3
f har lokalt minimum i x = 4
(2.3.1)(2.3.1)
(2.3.2)(2.3.2)
c)
Rumfanget af omdrejningslegemet, når punktmængden M drejes 360° omkring førsteaksen,
bestemmes ved
formlen for volumen af et omdrejningslegeme. I dette tilfælde beteger nulpunkterne fundet i
opgave a)
grænserne for integralet:
Rumfanget af omdrejningslegemet, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360°, er
bestemt til 2337,5 (afrundet til 1 decimal).
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.1)(3.2.1)
Opgave 9
a)
Skæringen mellen linjen l og cirklen C, når k er lig 23, bestemmes ved at løse følgende
ligningssystem:
Skæringspunktet mellem cirklen C og linjen l, når k er lig 23, er fundet til: S1(1, 9) og S2(-5, 1).
b)
Vi udnytter, at distancen fra linjens l røringspunkter, når den tangerer cirklen C, til centrum af
cirklen, skal
være lig radius af cirklen. Centrum af cirklen aflæses fra cirklens ligning til C(-2,5) og radius af
cirklen
aflæses til r k:
De to værdier for k, hvor linjen l er tangent til cirklen C, er bestemt til k = -2 og k = 48.
(4.2.1)(4.2.1)
(4.2.4)(4.2.4)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.2.3)(4.2.3)
(4.2.2)(4.2.2)
Opgave 10
a)
Kyllingens væksthastighed efter 5 døgn bestemmes ved M'(5):
0584
Kyllingens væksthastighed, når den er 5 døgn gammel, er således ifølge modellen 0,02 kg. pr.
døgn (arundet til 2 decimaler).
b)
En forskrift for M bestemmes ved, at lade WordMat løse differentialligningen M
betingelsen, at
kyllingen vejer 0,125 kg, når den er 5 døgn gammel:
Vi definerer desuden løseningen:
Kyllingens alder, når kyllingen vejer 2 kg, bestemmes ved:
Ifølge modellen vejer kyllingen 2 kg, når den er ca. 37,5 døgn gammel (afrundet til 1 decimal).
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.4)(5.1.4)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.5)(5.1.5)
(5.1.1)(5.1.1)
Opgave 11
a)
Linjen l er parallel med vektor dvs. retningsvektoren til parameterfremstillingen for
linjen l er lig .
Linjen l går gennem punktet P(1, 0, -2), og punktet P vælges derfor som begyndelsespunkt for
parameterfremstillingen.
En parameterfremsilling for linjen l vil se ud således:
Den spidse vinkel mellem xy-planen og parameterfremstillingen for linjen l findes ved, at
bestemme vinklen
mellem xy-planens normalvektor go retningsvektor til parameterfremstillingen for l:
En normalvektor til xy-planen har kunz-koordinaten. Vi definerer desuden normalvektoren og
retningsvektoren:
Vi bestemmer og definerer vinklen mellem vektorerne:
68
Vinklen mellem xy-planen og linjen l bestemmes ved:
Den spidste vinkel mellem xy-planen og linjen l er 54,74° (afrundet til 2 decimaler).
b)
For at bestemme tallet k sættes parameterfremstillingen for linjen l og m lig hianden, derefter
løses ligningsystemet:
(5.2.1)(5.2.1)
Værdien af tallet k, der gør at linjen l og m skærer hinanden, er således fundet til k = 0,5.
(6.2.3)(6.2.3)
(5.2.1)(5.2.1)
(6.2.5)(6.2.5)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.2.6)(6.2.6) (6.2.7)(6.2.7)
(6.2.9)(6.2.9)
(6.2.8)(6.2.8)
(6.2.4)(6.2.4)
Opgave 12
a)
Tabellen udfyldes med oplysningerne, at der i alt var 1400 personer i stikprøven, stikprøven
bestod af 760 kvinder og 640 mænd, hvoraf 11.5% sagde nej og 88,5% sagde nej:
Vi opstiller tabellen og beregner data:
Kvinder
Mænd
I alt
Ja
1197.000 (6.1.1)
Nej
161.000 (6.1.2)
I alt
760
640
1400 (6.1.3)
b)
Nulhypotesen H0: Der er uafhængighed mellem køn og oplevelsen af, om man får tilstrækkeligt
med søvn:
De forventede værdier, under den forudsætning af nulhypotesen er sand, bestemmes manuelt.
Først beregner vi andelen af mænd og kvinder i stikprøven:
Mænd:
16
35
Kvinder:
19
35
Vi beregner de forventede værdier i en tabel:
Kvinder Mænd I alt
(6.2.3)(6.2.3)
(5.2.1)(5.2.1)
(6.2.5)(6.2.5)
(6.2.6)(6.2.6) (6.2.7)(6.2.7)
(6.2.9)(6.2.9)
(6.2.8)(6.2.8)
(6.2.4)(6.2.4)
Ja
649.8000\
000
0
Nej
87.40000\
000
I alt 760 640
1400
(7.1.1)(7.1.1)
(5.2.1)(5.2.1)
(7.2.1)(7.2.1)
Opgave 13
a)
Vinklen B og de resterende sider i trekant ABC bestemmes med Maples trekantsløser:
Vinklen B aflæses fra trekantsløseren til 60°, siden |AB|, der svarer til siden c, aflæses til 11,55,
og siden |CB|, der svarer til siden a, aflæses til 5,77 (afrundet til 2 decimaler).
Skitse af situation:
b)
For at bestemme siden |DF|, der har længden x, opstilles et ligningssytem med 2 ligninger med 2
ubekendte:
Det udnyttes, at længden fra punkt E til B er lig EB = CB - x
Og
At et andet udtryk for længden fra punkt E til B er lig EB = tan(A)
Ligningssystemet vil se ud som følger:
Længden af siden |DF|, der er lig x, har længden 3,66 (afrundet til 2 decimaler).
Skitse af situation. Skitsen er ikke et krav til eksamen:
(5.2.1)(5.2.1)
(8.1.1)(8.1.1)
(8.1.2)(8.1.2)
(8.2.4)(8.2.4)
(8.2.5)(8.2.5)
(5.2.1)(5.2.1)
(8.2.3)(8.2.3)
(8.2.6)(8.2.6)
(8.2.2)(8.2.2)
(8.1.4)(8.1.4)
(8.1.3)(8.1.3)
(8.2.1)(8.2.1)
Opgave 14
a)
Funktionen defineres:
Grænserne for grafen til f findes ved at løse:
Punktmængden M befinder sig i førstekvadrant, derfor bliver grænserne i det bestemte integral [0;
2].
Arealet af punktmængden M udregnes:
Arealet af punktmængden M er således tilk 5,33 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Funktionen defineres:
Værdien af a, der gør arealet mindst muligt bestemmes ved optimering, dvs. minima skal findes:
Differentialkvotienten tjekkes på begge sider af punkt:
4
(8.3.3)(8.3.3)
(8.3.7)(8.3.7)
(8.3.4)(8.3.4)
(5.2.1)(5.2.1)
(8.3.2)(8.3.2)
(8.3.1)(8.3.1)
(8.3.5)(8.3.5)
(8.3.6)(8.3.6)
f er aftagende i intervallet [1; 1,9]
f er voksende i intervallet [1,9; 2]
Vi kan konkluderer at a = 1,15 (afrundet til 2 decimaler) er et minimum og vil være den værdi,
der giver det mindst mulige areal
af trekant OQR.
c)
Vi definerer f igen:
En ligning for tangenten til greafen f i punktet P(a, f(a)) bestemmes:
For punktet Q gælder der at y = 0. Vi isolerer x:
Vi har dermed koordinatsættet til Q udtrykt ved a ved .
For punktet R gælder der at x = 0. Dette indsættes i tangentens ligning, og der reduceres:
Vi har dermed koordinatsættet for R udtrykt ved R .
Vi definerer førstekoordinaten til punktet Q og andenkoordinaten til punktet R:
Arealet af en trekant er generelt givet ved:
(8.3.8)(8.3.8)
(5.2.1)(5.2.1)
Hvor højden svarer til y-koordinaten for R og grundlinjen svarer til x-koordinaten for Q:
Vi har dermed gjort rede for, at arealet af trekant OQR kan udtrykkes ved T(a).