Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
1
STX Matematik A
15. august 2017
stx172-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 3.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 7
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
2
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
Arealet af trekanten er givet ved:
Vi kender arealet af trekanten A = 15 og højden |BC| = 5. Vi indsætter kendte værdier og løser for siden
|AC|:
Siden |AC| er bestemt til 6.
Opgave 2
Vi reducerer udtrykket:
(I): Kvadratsætninger:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
3
Opgave 3
Vi har, at alle forskrifter betegner potensfunktioner. Forskriften for h(x) = x
-1
= 1/x, er den eneste af
forskrifterne, der ikke er defineret for x = 0, vi kan dermed konkludere, at grafen A er graf for h(x).
Forskriften for f(x) =
= x
0,5
har en eksponent der er mindre end eksponenten for g(x) hhv. 0,5 < 2, dvs. at
grafen for f(x) vil være mindre stejl end grafen for g(x), vi kan dermed konkludere, at grafen B er graf for
f(x), samt at grafen C er graf for g(x).
Opgave 4
Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi bestemmer den afledede funktion f’(x):
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
4
Vi kan konkludere, at x = 2 betegner et maksimum.
Vi opskriver monotoniforhold for f.
f er voksende i intervallet ]0; 1]
f er aftagende i intervallet [1; ∞[
(I): Differentialkvotienter
Opgave 5
Vi benytter, at når diskriminanten er lig 0 dvs. d = 0, så har andengradsligningen netop én løsning.
Diskriminanten er givet ved:
Dvs.
Andengradsligningen har netop én løsning, når tallet k er lig 1.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
5
Opgave 6
Vi undersøger om punktet P(5, 5) opfylder cirklens ligning:
Vi kan konkludere, at punktet P(5, 5) ligger på cirklen.
Linjens ligning består af en normalvektor
til linjen og et punkt (x
1
, y
1
) på linjen:
Vi omskriver cirklens ligning vha. kvadratkomplottering, så vi kan aflæse centrum C af cirklen:
Vi aflæser centrum af cirklen til C(2, 1).
Vi bestemmer en normalvektor til linjen som vektor
:
Vi opskriver en ligning for tangenten til cirklen i punktet P:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
6
En ligning for tangenten til cirklen i punktet P er bestemt til udtrykket herover.
(I): Kvadratsætninger
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
7
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 7
a)
Det er oplyst, at forskriften er en eksponentiel model, vi bestemmer derfor en forskrift for N vha.
eksponentiel regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager eksponentiel regression:
Tid (målt
i år)
1
2
5
6
7
9
10
11
Antal
træer
(stk. pr.
ha)
24500
13600
3020
1800
1150
440
270
166
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Vi opskriver forskriften for N:
Forskriften for N er bestemt til udtrykket herover.
b)
Vi definerer forskriften for N(t):
Vi bestemmer antallet af træer i området 14 år efter tørlægning ved at bestemme N(14):
Ifølge modellen er antallet af træer 14 år efter tørlægning bestemt til 37 træer (afrundet op til helt træ).
c)
Vi definerer fremskrivningsfaktoren a:
Vi bestemmer halveringstiden ved:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
8
Halveringstiden er bestemt til 1,40 år (afrundet til 2 decimaler).
Konstanten a betegner fremskrivningsfaktoren. Med fremskrivningsfaktoren a kan vi bestemme vækstraten
r:
Ifølge modellen aftager antallet af træer pr. hektar med 39,0 % for hvert år efter tørlægning (afrundet til 1
decimal).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
9
Opgave 8
a)
Funktionen er oplyst til at være en potensfunktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med
potensregression.
Vi opstiller tabel med data og foretager potensregression:
x
f(x)
3
17
5
102
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Vi aflæser tallene a og b fra regressionsligningen herover:
Tallet a er bestemt til 3,5, og tallet b er bestemt til 0,36 (afrundet til 2 decimaler cifre).
b)
Vi definerer tallet a og vækstraten for den uafhængige variabel som r
x
:
Vi bestemmer væksten for den afhængige variabel f(x), ved at løse for r
y
i udtrykket herunder:
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen vokser f(x) med 39,7 %, når x vokser med 10 % (afrundet til 1 decimal).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
10
Opgave 9
a)
Vi aflæser og definerer hhv. en retningsvektor for parameterfremstillingen for linjen l og en normalvektor
for linjen m:
Vi bestemmer vinklen mellem retningsvektoren for linjen l og normalvektoren for linjen m, som vinklen
mellem to vektorer:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer den spidse vinkel mellem linjen l og linjen m ved:
Den spidse vinkel mellem linjen l og linjen m er bestemt til 52,13° (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
11
Opgave 10
a)
Vi bestemmer de kumulerede frekvenser og tegner en sumkurve for fordelingen af levendefødte børn med
WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
Grupperede frekvenser:
Interval
55409
Fra
Til
Hyp.
Frekvens
Kumuleret
30
35
138
0%
0%
35
40
166
0%
1%
40
45
699
1%
2%
45
50
8333
15%
17%
50
55
40611
73%
90%
55
60
5433
10%
100%
60
65
29
0%
100%
De kumulerede frekvenser kan aflæses i tabellen herover.
Sumkurve:
En sumkurve over fordelingen er givet herover.
0%
25%
50%
75%
100%
70
Kumm. frek.
Fødselslængde cm
Sumkurve
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
12
b)
Vi bestemmer kvartilsættet for fordelingen af levendefødte børn med WordMats skabelon for grupperede
observationer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
Deskriptorer
Kvartilsæt
Mindste
30
Nedre
50,56
Median
52,26
Øvre
53,97
Største
65
Kvartilsættet kan aflæses i tabellen herover.
Vi bestemmer procentdelen af levendefødte børn i populationen, der har en fødselslængde på højst 48 cm,
som fraktil 48 cm med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres herefter ind i
besvarelsen:
Observation Fraktil
48
11%
Procentdelen af levendefødte børn, der højst er 48 cm lange, når de bliver født, er bestemt til 11 %.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
13
Opgave 11
a)
OBS: Husk at skifte til radianer, når der arbejdes med trigonometriske funktioner.
Vi definerer forskriften for f samt definitionsmængden for x:
Vi tegner grafen for f:
Vi bestemmer forskellen mellem dagtemperaturen på den koldeste- og den varmeste dag, som differensen
mellem 2. koordinaten for hhv. maksimum og minimum.
Vi bestemmer nulpunkter for den afledede funktion f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion
f’:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
14
Vi har at, at x = 27,860679 betegner et minimum, dvs. den dag på året med den laveste dagtemperatur, og
at x = 210,51141 betegner et maksimum, dvs. den dag på året med den højeste dagtemperatur.
Vi bestemmer temperaturforskellen mellem dagen med den laveste- og højeste dagtemperatur ved:
Forskellen for dagtemperaturen mellem den koldeste- og varmeste dag er bestemt til 18,5 °C (afrundet til 1
decimal).
c)
Vi bestemmer f’(90):
Tallet f’(90) er bestemt til 0,14 °C / dag (afrundet til 2 decimaler).
Tallet f’(90) betegner hastigheden, hvormed dagtemperaturen udvikler sig på den 90. dag på året. Vi kan
konkludere, at dagtemperaturen vokser med 0,14 °C på den 90. dag på året.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
15
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f(x), og ligningen for y:
Vi bestemmer intervallet for arealet af M, som skæringspunkterne mellem f(x) og linjen y:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer arealet af punktmængden M som differensen mellem arealet under grafen for f og arealet
under grafen for y i intervallet [-2; 2] dvs.:
Arealet af punktmængden M er bestemt til 1,41 (afrundet til 2 betydende cifre).
b)
Vi bestemmer volumen af omdrejningslegemet, der fremkommer, når M drejes 360° omkring x-aksen, som
differensen mellem volumen af omdrejningslegemerne, der fremkommer, når hhv. grafen for f og grafen
for y drejes 360° omkring y-aksen i intervallet [-2; 2]:
Volumen af omdrejningslegemet er bestemt til 4,23 (afrundet til 2 betydende cifre).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
16
Opgave 13
a)
Vi bestemmer stegens vægttab pr. døgn, når stegens vægt er 2500 g, ved at bestemme dM/dt, når M =
2500:
Stegens vægttab pr. døgn, når stegen vejer 2500g, er bestemt til 27 g.
b)
Vi bestemmer en model for M(t), ved at løse differentialligningen dM/dt med WordMat, vi benytter
startbetingelsen M(0) = 2650:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen M(0)=2650
Vi definerer forskriften for M, som funktion af t:
Vi bestemmer stegens vægt efter 30 døgn i køleskabet, ved at bestemme M(30):
Stegens vægt efter 30 døgn i køleskabet er bestemt til 2149,2 g (afrundet til 1 decimal).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
17
Opgave 14
a)
Vi benytter, at højden h udgør modstående katete i den retvinklede trekant, der udspændes af punkterne A
og B med grundlinjen g = y. Vi benytter Pythagoras’ læresætning, og løser for h, hvor h > 0:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Et udtryk for h, udtrykt ved x og y, er bestemt til udtrykket herover.
Arealet af en trekant er generelt givet ved A = ½ h · g, dvs. arealet af trekant ABC er givet ved:
Udtrykket for arealet af trekant ABC er identisk med udtrykket i opgaveformuleringen, vi har dermed gjort
rede.
b)
Omkredsen af trekanten kan beskrives ved O = 2x + 2y. Det er oplyst, at omkredsen af trekanten er lig 10, vi
benytter dette og bestemmer et udtryk for y udtrykt ved x, ved at løse for y i udtrykket herunder.
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Et udtryk for y udtrykt ved x er bestemt til udtrykket herover.
Vi bestemmer et udtrykt for trekantens areal udtrykt ved x, ved at indsætte udtrykket for y udtrykt ved x
ind i udtrykket for trekantens areal bestemt i opg a) dvs.:
Vi definerer udtrykket for trekantens arealet som funktion af x samt definitionsmængden for x:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
18
Vi bestemmer den værdi for x, der giver trekanten det største areal ved at optimere A
ABC
(x). Vi bestemmer
nulpunkter til den afledede funktion A’
ABC
(x).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:
Vi har, at x = 10/3 er et maksimum.
Vi kan konkludere, at værdien for x, der giver trekant ABC det største areal, er bestemt til x = 10/3.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
19
Opgave 15
a)
Med forklaringen i opgaveformuleringen in mente bestemmer og definere vi koordinatsættene til hvert af
punkterne A, B, C og D:
Koordinatsættene til punkterne hhv. A, B, C og D er bestemt herover.
b)
Vi bestemmer hhv. vektor
og vektor
:
Vi definerer hhv. vektor
og vektor
:
Vi bestemmer arealet af trekant ABC som halvdelen af den numeriske værdi for krydsproduktet mellem
hhv. vektor
og vektor
.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
20
Arealet af trekant ABC er bestemt til 2,24 (afrundet til 2 decimaler).
c)
Vi bestemmer en ligning for planen, der indeholder trekant ABC. Planens ligning består af et punkt (x
0
, y
0
,
z
0
) og en normalvektor til planen
=
:
Vi bestemmer en normalvektor til planen, som krydsproduktet mellem vektor
og vektor
:
Vi vælger A som det kendte punkt, og opskriver en ligning for planen, der indeholder trekant ABC:
Vi bestemmer projektionen af punktet D på trekant ABC, som projektionen af punktet D på planen, der
indeholder trekant ABC. Projektionen bestemmes som skæringspunktet mellem linjen, der står vinkelret på
planen, der indeholder trekant ABC og går igennem punktet D. Vi bestemmer en parameterfremstilling for
denne linje. Retningsvektoren for linjen, vil være lig normalvektoren til planen. Vi bestemmer en
normalvektor til planen, der indeholder trekant ABC:
Vi opstiller en parameterfremstillingen for linjen, hvor det kendte punkt betegner punktet D:
Vi bestemmer parameterværdien t, der betegner skæringspunktet mellem linjen og planen, ved at indsætte
hhv. de tre koordinatligninger for parameterfremstillingen i planens ligning, og løse for t:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017
21
Vi bestemmer skæringspunktet mellem linjen og planen:
Koordinatsættet til projektionen af punktet D på trekant ABC er bestemt til (8/5, 1, 6/5).