Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så du præcist kan se hvilken formel,
der bruges til at løse opgaven.
Opgave 9
a)
Når der kendes to sider og vinklen imellem dem kan den sidste side bestemmes ved hjælp af
cosinusrelationen, jf. formel 25.
Sidelængden
bestemmes idet sidelængder altid er positive.
Der gælder altså at længden af er
Når nu samtlige sider kendes kan vinkelen bestemmes ved hjælp af cosinusrelationen, jf. formel 26.
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Der gælder altså at
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Opgave 10
a)
For at bestemmes tallene og udføres der regression. Da det angives at er på formen
udføres potensregression.
Tabellens data defineres og regressionen udføres. Endelig udskrives resultatet.
Bemærk: TI-spire CAS er et amerikansk produkt og bruger derfor amerikansk notation. Komma og
punktum bruges således forskelligt fra, hvad der er gængs dansk notation.
Bemærk: TI-spire CAS bruger symbolerne og modsat af hvad opgave teksten gør. Lignende ses ofte
når TI-spire CAS bruges til at løse opgaver på gymnasiet. Man bør derfor være særlig opmærksom på
hvordan symbolerne indgår i udtrykkene.
De to værdier fås således til
og
b)
Længden af en tunfist der vejer 14 kg fås ved at løse ligningen
.
Funktionen defineres og ligningen løses.
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
En tunfisk der vejer 14 kg har altså ifølge modellen en længde på ca. 87,9 centimer.
c)
Den relative ændring, jf. modellen, for en tunfisk vægt når dens længde øges med 30 % er givet ved
Den relative ændring bestemmes.
Den relative ændring er ca. . Ifølge modellen gælder altså, at hvis en tunfisks længde øges med 30 %,
øges dens vægt med hele 110 %.
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Opgave 11
a)
Herunder er grafen skitseret ved hjælp af TI-spire CAS.
Det ses umiddelbart af forskriften for at
. Arealet af er altså givet ved, jf. formel 153
Arealet bestemmes.
Arealet af er altså
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Opgave 12
a)
For at lave det ønskede skema åbnes filen bilag 1 i Microsoft Excel. Feltet dreng under meget ringe
interesse beregnes ved hjælp af formlen
=SUMPRODUKT((A2:A450=”dreng”)*(B2:B450=”meget ringe interesse”))
De syv andre manglende felter beregnes tilsvarende. Det givet følgende skema.
meget ringe interesse
ringe interesse
gennemsnitlig interesse
kraftig interesse
Total
dreng
101
62
27
15
205
pige
69
68
59
48
244
Total
170
130
86
63
449
b)
Da der testes for uafhængig mellem køn og interessen for talkshows, bestemmes de forventede værdier
ved hjælp af funktionen chi22way. På TI-spire CAS defineres dataet i en matrix og beregningerne
foretages. Endelig udskrives de forventede værdier.
En matrix laves i TI-spire CAS ved under menuen at vælge 7: Matricer og vektorer
1: Opret
1:
Matrix…
Da samtlige forventede værdier er større end 5 udskrives resultatet af
-testen.
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Således fås at
. Med en frihedsgrad på 3, giver dette en p-værdi på ca.
.
Da p-værdien er mindre end 5 % må
forkastes. Der er altså fundet en sammenhæng mellem køn og
interessen for talkshows, der er statistisk signifikant på 5 % niveau.
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Opgave 13
a)
Differentialligningen med startbetingelsen
løses.
er altså bestemt ved forskriften
b)
Væksttilvæksten er
. For at bestemme det tidspunkt hvor vægttilvæksten er størst, bestemmes først
vægten til den tid hvor vægttilvæksten er størst.
Det tidspunkt hvor vægttilvæksten er størst bestemmes nu ved at løse ligningen
Ligningen løses.
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Det tidspunkt hvor vægttilvæksten er størst er altså efter ca. 466 døgn.
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Opgave 14
a)
Snitfladen er en trekant. De tre hjørner kaldes , og . Disse aflæses til
,
og
Snitfladen er nu halvdelen af det parallelogram der udspændes af
og
. Arealet af dette
parallelogram er givet ved, jf. formel 70
Arealet af snitfladen er altså
.
b)
Det modstående hjørne er
. Det ses let at afstanden mellem snitfladen og er den samme som
afstanden mellem og den plan snitfladen er en del af. Denne plan er givet ved, jf. formel 71
hvor , , er koordinaterne til en normalvektor og hvor
,
,
er koordinaterne til et punkt i planen.
En normalvektor bestemmes og en ligning for planen opskrives.
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Nu kan afstanden endelig bestemmes ved hjælp af, jf. formel 72
Afstanden bestemmes.
Afstanden mellem snitfladen og det modstående hjørne er altså
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
Opgave 15
a)
I Excel kan laves to nye søjler. En hvor der kun forekommer BMI for drenge og en kun for piger. Ved hjælp
af formlen
=HVIS(A2="dreng";B2;"")
kommer en værdi kun med hvis den er for en dreng. Denne formel trækkes hele vejen ned til enden på data
sættet. En tilsvarende søjle lavet for pige. Forekommer drengenes værdier i søjlen C og pigernes i D, kan de
ønskede tal nu bestemmes ved
drenge
piger
min
=MIN(C2:C450)
=MIN(D2:D450)
1.kvartil
=FRAKTIL(C2:C450;0,25)
=FRAKTIL(D2:D450;0,25)
median
=MEDIAN(C2:C450)
=MEDIAN(D2:D450)
3.kvartil
=FRAKTIL(C2:C450;0,75)
=FRAKTIL(D2:D450;0,75)
max
=MAKS(C2:C450)
=MAKS(D2:D450)
Det giver værdierne
drenge
piger
min
15,61
14,87
1.kvartil
19,94
18,73
median
20,99
19,84
3.kvartil
22,40
21,17
max
29,41
29,74
Kvartilsættene er altså
Drenge:
Piger:
Ved hjælp af disse tal kan de to boksplot nu tegnes.
Det ses at drengenes BMI er højere end pigernes. Pigerne er mere ekstreme end drengene i begge ender.
Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-
b)
Lad
og
hhv. betegne middelværdien for drengenes (1) og pigernes (2) BMI.
Vi ønsker at teste:
For at bestemme om nulhypotesen kan forkastes på et 5 % signifikansniveau estimerer først
middelværdierne og varianserne under denne model (ens varians).
Der er 205 drenge og 244 piger. Middelværdien for drengene hhv. pigerne fås til
hhv.
Varianserne estimeres til
hhv.
Middelværdierne og varianserne bestemmes lettest ved hjælp af Excel. Lav en kolonne kun med
drengenes værdier og en kun med pigernes. Dette gøres lettest ved at bruge HVIS kommandoen.
Middelværdierne hhv. varianserne bestemmes med kommandoerne MIDDEL hhv. VARIANSS.
Da der er 205 drenge og 244 piger bliver den samlede varians da
Teststørrelsen kan da bestemmes
Frihedsgraden bliver
. Nu kan T-fordelingen bestemmes ved hjælp af
=T.FORDELING(5,2077;447;SAND)
i Excel. Der fås
Endelig bestemmes sandsynligheden
Nulhypotesen må altså forkastes på et 5 % signifikansniveau.